Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 9: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}<2

.

Vezi rezolvarea

Observăm că termenii sumei $\displaystyle S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dots+\dfrac{1}{2^8}$ formează o progresie geometrică cu primul termen $\displaystyle b_1=1$ , rația $\displaystyle q=\dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle 9$ termeni, deoarece $\displaystyle 1=\dfrac{1}{2^0}$ .
$\displaystyle b_1=1$ , $\displaystyle \ q=\dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle \ n=9$
Aplicăm formula $\displaystyle S_n=b_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ pentru $\displaystyle n=9$ .
$\displaystyle S=1\cdot\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^9}{1-\frac{1}{2}}$
Calculăm numitorul: $\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ , iar împărțirea la $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ este înmulțire cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle S=2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^9\right)$
Deoarece $\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^9>0$ , avem $\displaystyle 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^9<1$ . Înmulțind cu $\displaystyle 2$ , obținem $\displaystyle S<2$ , adică inegalitatea cerută.
$\displaystyle 2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^9\right)<2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=-x^2-4x+5

. Determinați produsul absciselor punctelor de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f

cu axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Punctele de intersecție cu axa $\displaystyle Ox$ au ordonata $\displaystyle 0$ , deci rezolvăm ecuația $\displaystyle f(x)=0$ , adică $\displaystyle -x^{2}-4x+5=0$ .
$\displaystyle -x^{2}-4x+5=0$
Înmulțim ecuația cu $\displaystyle -1$ și obținem o ecuație de gradul II cu coeficientul dominant $\displaystyle 1$ : $\displaystyle x^{2}+4x-5=0$ .
$\displaystyle x^{2}+4x-5=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=4^{2}-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36$ . Fiind pozitiv, ecuația are două rădăcini reale distincte, deci graficul taie axa $\displaystyle Ox$ în două puncte.
$\displaystyle \Delta=36>0$
Aplicăm relațiile lui Viète: produsul rădăcinilor este $\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-5}{1}$ .
$\displaystyle x_1x_2=\dfrac{-5}{1}=-5$
Verificare: rădăcinile sunt $\displaystyle x_1=1$ și $\displaystyle x_2=-5$ , iar produsul lor este $\displaystyle 1\cdot(-5)=-5$ . Produsul absciselor punctelor de intersecție este $\displaystyle -5$ .
$\displaystyle -5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3^x+3^{x-2}+3^{x+2}=91

.

Vezi rezolvarea

Exprimăm toate puterile prin $\displaystyle 3^{x-2}$ : $\displaystyle 3^{x}=3^{x-2}\cdot 3^{2}$ și $\displaystyle 3^{x+2}=3^{x-2}\cdot 3^{4}$ .
$\displaystyle 3^{x}=3^{x-2}\cdot 3^{2}\text{ și }3^{x+2}=3^{x-2}\cdot 3^{4}$
Dăm factor comun $\displaystyle 3^{x-2}$ în ecuația dată.
$\displaystyle 3^{x-2}\left(3^{2}+1+3^{4}\right)=91$
Calculăm suma din paranteză: $\displaystyle 9+1+81=91$ . Apoi împărțim ecuația la $\displaystyle 91$ și obținem $\displaystyle 3^{x-2}=1$ .
$\displaystyle 91\cdot 3^{x-2}=91\Leftrightarrow 3^{x-2}=1$
Cum $\displaystyle 1=3^{0}$ , iar funcția exponențială de bază $\displaystyle 3$ este injectivă, rezultă $\displaystyle x-2=0$ , deci $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați termenul care nu îl conține pe

\displaystyle x

din dezvoltarea

\displaystyle \left(\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)^9

, unde

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Scriem termenul general din dezvoltarea binomială $\displaystyle \left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}\right)^9$ , unde $\displaystyle k\in\{0,1,2,\ldots,9\}$ .
$\displaystyle T_{k+1}=C_9^k\left(\sqrt{x}\right)^{9-k}\left(\dfrac{1}{x}\right)^k$
Scriem $\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ și $\displaystyle \dfrac{1}{x}=x^{-1}$ , deci $\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)^{9-k}=x^{\frac{9-k}{2}}$ și $\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)^k=x^{-k}$ . Adunăm exponenții: $\displaystyle \dfrac{9-k}{2}-k=\dfrac{9-3k}{2}$ .
$\displaystyle T_{k+1}=C_9^k\,x^{\frac{9-3k}{2}}$ , $\displaystyle \ k\in\{0,1,2,\ldots,9\}$
Termenul nu conține pe $\displaystyle x$ când exponentul lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle 0$ : $\displaystyle \dfrac{9-3k}{2}=0$ , deci $\displaystyle 9-3k=0$ .
$\displaystyle k=3$
Valoarea $\displaystyle k=3$ se află în $\displaystyle \{0,1,\ldots,9\}$ , deci convine. Termenul căutat este $\displaystyle T_4=C_9^3\,x^0=C_9^3=\dfrac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}$ .
$\displaystyle T_4=C_9^3=84$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-1,1)

,

\displaystyle B(1,3)

și

\displaystyle C(3,2)

. Determinați ecuația dreptei

\displaystyle OG

, știind că

\displaystyle G

este centrul de greutate al triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Centrul de greutate al triunghiului are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor vârfurilor: $\displaystyle x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$ și $\displaystyle y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$ .
$\displaystyle x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$ , $\displaystyle \ y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$
Înlocuim coordonatele punctelor $\displaystyle A(-1,1)$ , $\displaystyle B(1,3)$ , $\displaystyle C(3,2)$ : $\displaystyle x_G=\dfrac{-1+1+3}{3}=1$ și $\displaystyle y_G=\dfrac{1+3+2}{3}=2$ .
$\displaystyle G\left(\dfrac{-1+1+3}{3},\dfrac{1+3+2}{3}\right)$ , $\displaystyle \ G(1,2)$
Dreapta $\displaystyle OG$ trece prin $\displaystyle O(0,0)$ și $\displaystyle G(1,2)$ . Panta ei este $\displaystyle m=\dfrac{y_G-y_O}{x_G-x_O}=\dfrac{2-0}{1-0}=2$ .
$\displaystyle m=\dfrac{2-0}{1-0}=2$
Ecuația dreptei prin $\displaystyle O$ cu panta $\displaystyle 2$ este $\displaystyle y-0=2(x-0)$ , adică $\displaystyle y=2x$ .
$\displaystyle y-0=\dfrac{2-0}{1-0}(x-0)$ , $\displaystyle \ y=2x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați raza cercului circumscris triunghiului

\displaystyle ABC

, știind că

\displaystyle AB=2

și

\displaystyle \cos C=-\frac{\sqrt{2}}{2}

.

Vezi rezolvarea

Într-un triunghi, $\displaystyle C\in(0^\circ,180^\circ)$ , deci $\displaystyle \sin C>0$ . Folosim identitatea fundamentală: $\displaystyle \sin^{2}C+\cos^{2}C=1$ .
$\displaystyle \sin^{2}C=1-\cos^{2}C$
Înlocuim $\displaystyle \cos C=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ și calculăm: $\displaystyle \cos^{2}C=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin^{2}C=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
Cum $\displaystyle \sin C>0$ , luăm rădăcina pozitivă și raționalizăm: $\displaystyle \sin C=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle \sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Aplicăm teorema sinusurilor: $\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2R$ , unde $\displaystyle R$ este raza cercului circumscris.
$\displaystyle 2R=\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa: $\displaystyle 2R=2\cdot\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ . Împărțind la 2, obținem raza.
$\displaystyle 2R=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\Rightarrow R=\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\a&1&1\\3&0&2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr întreg. Arătați că

\displaystyle \det(A(1))=7

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ în matricea $\displaystyle A(a)$ și scriem determinantul matricei obținute.
$\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&2&-1\\1&1&1\\3&0&2\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi adunăm produsele pe diagonala principală și pe cele două paralele cu ea: $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2$ , $\displaystyle 2\cdot 1\cdot 3$ și $\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 0$ .
$\displaystyle 1\cdot1\cdot2+2\cdot1\cdot3+(-1)\cdot1\cdot0=2+6+0=8$
Calculăm produsele pe diagonala secundară și pe cele două paralele cu ea: $\displaystyle (-1)\cdot1\cdot3$ , $\displaystyle 2\cdot1\cdot2$ și $\displaystyle 1\cdot1\cdot0$ . Acestea se vor scădea din suma anterioară.
$\displaystyle (-1)\cdot1\cdot3+2\cdot1\cdot2+1\cdot1\cdot0=-3+4+0=1$
Scădem suma produselor de pe diagonala secundară din suma anterioară și obținem valoarea determinantului. Astfel am arătat că $\displaystyle \det(A(1))=7$ .
$\displaystyle \det(A(1))=2+0+6-(-3)-4-0=8-1=7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\a&1&1\\3&0&2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr întreg.

Demonstrați că rangul matricei

\displaystyle A(a)

este egal cu

\displaystyle 3

, pentru orice număr întreg

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Matricea $\displaystyle A(a)$ este pătratică, de ordin $\displaystyle 3$ . Rangul ei este $\displaystyle 3$ exact atunci când determinantul ei este nenul, deci calculăm $\displaystyle \det(A(a))$ .
$\displaystyle \operatorname{rang}A(a)=3\Leftrightarrow \det(A(a))\neq 0$
Dezvoltăm determinantul după prima linie: $\displaystyle \det(A(a))=1\cdot(1\cdot 2-1\cdot 0)-2\cdot(a\cdot 2-1\cdot 3)+(-1)\cdot(a\cdot 0-1\cdot 3)$ .
$\displaystyle \det(A(a))=2-2(2a-3)+3$
Efectuăm calculele: $\displaystyle 2-4a+6+3=11-4a$ .
$\displaystyle \det(A(a))=11-4a$
Vedem când determinantul s-ar anula: rezolvăm ecuația $\displaystyle 11-4a=0$ și obținem $\displaystyle a=\dfrac{11}{4}$ .
$\displaystyle 11-4a=0\Leftrightarrow a=\frac{11}{4}$
Numărul $\displaystyle \dfrac{11}{4}$ nu este întreg, deci pentru niciun $\displaystyle a$ întreg determinantul nu se anulează. Prin urmare $\displaystyle \det(A(a))\neq 0$ pentru orice $\displaystyle a\in\mathbb{Z}$ , iar rangul matricei $\displaystyle A(a)$ este $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle \det(A(a))=0\Leftrightarrow a=\frac{11}{4}\notin\mathbb{Z}\text{, deci }\det(A(a))\neq 0\text{ și }\operatorname{rang}A(a)=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\a&1&1\\3&0&2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr întreg.

Determinați numărul întreg

\displaystyle m

pentru care inversa matricei

\displaystyle A(m)

are toate elementele numere întregi.

Vezi rezolvarea

Dacă $\displaystyle A^{-1}(m)$ are elemente întregi, atunci $\displaystyle \det(A(m))$ și $\displaystyle \det(A^{-1}(m))$ sunt numere întregi cu produsul $\displaystyle 1$ , deci $\displaystyle \det(A(m))\in\{-1,1\}$ . Reciproc, $\displaystyle A^{-1}(m)=\dfrac{1}{\det(A(m))}A^{*}(m)$ , iar $\displaystyle A^{*}(m)$ are elemente întregi, deci pentru determinant $\displaystyle \pm 1$ inversa are elemente întregi.
$\displaystyle \det(A(m))=-1\text{ sau }\det(A(m))=1$
Calculăm $\displaystyle \det(A(m))$ prin dezvoltare după prima linie: $\displaystyle \det(A(m))=1\cdot(1\cdot 2-1\cdot 0)-2\cdot(2m-3)+(-1)\cdot(0-3)$ .
$\displaystyle \det(A(m))=2-2(2m-3)+3=11-4m$
Din condiția $\displaystyle \det(A(m))=\pm 1$ obținem ecuațiile $\displaystyle 11-4m=1$ și $\displaystyle 11-4m=-1$ .
$\displaystyle 11-4m=1\text{ sau }11-4m=-1$
Din $\displaystyle 11-4m=1$ obținem $\displaystyle m=\dfrac{5}{2}$ , care nu este număr întreg, deci nu convine. Din $\displaystyle 11-4m=-1$ obținem $\displaystyle 4m=12$ , deci $\displaystyle m=3$ , număr întreg. Deci singura valoare este $\displaystyle m=3$ .
$\displaystyle m=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=(0,+\infty)

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{xy}{x+y}

.

Arătați că

\displaystyle 2\circ 2=1

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii de compoziție: $\displaystyle x\circ y=\dfrac{xy}{x+y}$ , pentru $\displaystyle x,y\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle x\circ y=\dfrac{xy}{x+y}$
Înlocuim $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=2$ în definiție. Numărătorul este $\displaystyle 2\cdot 2$ , iar numitorul este $\displaystyle 2+2$ .
$\displaystyle 2\circ 2=\dfrac{2\cdot 2}{2+2}$
Calculăm numărătorul și numitorul: $\displaystyle 2\cdot 2=4$ și $\displaystyle 2+2=4$ . Fracția cu numărătorul și numitorul egale are valoarea 1, deci $\displaystyle 2\circ 2=1$ .
$\displaystyle \dfrac{4}{4}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=(0,+\infty)

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{xy}{x+y}

.

Demonstrați că

\displaystyle x\circ y\circ z=\left(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}\right)^{-1}

, pentru orice

\displaystyle x,y,z\in M

.

Vezi rezolvarea

Legea este asociativă, deci putem calcula întâi $\displaystyle x\circ y$ . Folosim definiția legii pentru $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ : $\displaystyle x\circ y=\dfrac{xy}{x+y}$ .
$\displaystyle x\circ y=\dfrac{xy}{x+y}$
Aplicăm legea a doua oară, între rezultatul obținut și $\displaystyle z$ . Numărul $\displaystyle \dfrac{xy}{x+y}$ este strict pozitiv, deci aparține lui $\displaystyle M$ și legea se poate aplica: $\displaystyle a\circ z=\dfrac{az}{a+z}$ , unde $\displaystyle a=\dfrac{xy}{x+y}$ .
$\displaystyle x\circ y\circ z=\left(\dfrac{xy}{x+y}\right)\circ z=\dfrac{\dfrac{xy}{x+y}\cdot z}{\dfrac{xy}{x+y}+z}$
Aducem la același numitor în numitorul fracției mari și simplificăm cu $\displaystyle x+y$ . Numărătorul este $\displaystyle \dfrac{xyz}{x+y}$ , iar numitorul este $\displaystyle \dfrac{xy+z(x+y)}{x+y}=\dfrac{xy+xz+yz}{x+y}$ .
$\displaystyle x\circ y\circ z=\dfrac{xyz}{xy+xz+yz}$
Pentru a face să apară inversele, împărțim numărătorul și numitorul cu $\displaystyle xyz$ , care este nenul. Atunci numărătorul devine $\displaystyle 1$ , iar numitorul devine suma $\displaystyle \dfrac{xy}{xyz}+\dfrac{xz}{xyz}+\dfrac{yz}{xyz}$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{xy}{xyz}+\dfrac{xz}{xyz}+\dfrac{yz}{xyz}}$
Simplificăm fiecare fracție din numitor: $\displaystyle \dfrac{xy}{xyz}=\dfrac{1}{z}=z^{-1}$ , $\displaystyle \dfrac{xz}{xyz}=\dfrac{1}{y}=y^{-1}$ , $\displaystyle \dfrac{yz}{xyz}=\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ . Deci expresia este inversul sumei inverselor, adică forma cerută.
$\displaystyle \dfrac{1}{z^{-1}+y^{-1}+x^{-1}}=\left(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}\right)^{-1}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=(0,+\infty)

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{xy}{x+y}

.

Demonstrați că

\displaystyle \frac{1}{2}\circ\frac{1}{3}\circ\frac{1}{4}\circ\ldots\circ\frac{1}{10}=\frac{1}{54}

.

Vezi rezolvarea

Rescriem legea în funcție de inverse. Pentru $\displaystyle x,y>0$ avem $\displaystyle \dfrac{1}{x\circ y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{x\circ y}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
Legea este asociativă, deci extindem formula la mai mulți termeni. Dacă $\displaystyle \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{x_1}+\ldots+\dfrac{1}{x_k}$ , atunci $\displaystyle \dfrac{1}{a\circ x_{k+1}}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{x_{k+1}}$ . Deci inversul compunerii este suma inverselor.
$\displaystyle \dfrac{1}{x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n}=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\ldots+\dfrac{1}{x_n}$
Aplicăm formula pentru $\displaystyle \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\ldots,\dfrac{1}{10}$ . Inversele lor sunt $\displaystyle 2,3,\ldots,10$ , deci compunerea este inversul sumei acestor numere.
$\displaystyle \frac{1}{2}\circ\frac{1}{3}\circ\ldots\circ\frac{1}{10}=\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}+\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}+\ldots+\left(\frac{1}{10}\right)^{-1}\right)^{-1}=(2+3+4+\ldots+10)^{-1}$
Calculăm suma: $\displaystyle 2+3+\ldots+10=(1+2+\ldots+10)-1=\dfrac{10\cdot 11}{2}-1=55-1$ .
$\displaystyle 2+3+\ldots+10=\frac{10\cdot 11}{2}-1=54$
Inversăm suma obținută: $\displaystyle \left(\dfrac{10\cdot 11}{2}-1\right)^{-1}=54^{-1}=\dfrac{1}{54}$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle \left(\frac{10\cdot 11}{2}-1\right)^{-1}=54^{-1}=\frac{1}{54}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to(0,+\infty)

,

\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{x^2-1}

,

\displaystyle x\in(1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția termen cu termen. Folosim formula $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ . Pentru $\displaystyle \ln(x+1)$ avem $\displaystyle u=x+1$ și $\displaystyle u'=1$ , deci $\displaystyle (\ln(x+1))'=\dfrac{1}{x+1}$ .
$\displaystyle (\ln(x+1))'=\dfrac{1}{x+1}$
La fel, pentru $\displaystyle \ln(x-1)$ avem $\displaystyle u=x-1$ și $\displaystyle u'=1$ , deci $\displaystyle (\ln(x-1))'=\dfrac{1}{x-1}$ . Scădem cele două derivate.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}$
Aducem fracțiile la același numitor $\displaystyle (x-1)(x+1)$ , amplificând prima fracție cu $\displaystyle x-1$ și a doua cu $\displaystyle x+1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-1-(x+1)}{(x-1)(x+1)}$
La numărător, $\displaystyle x-1-(x+1)=x-1-x-1=-2$ . La numitor aplicăm formula $\displaystyle (x-1)(x+1)=x^{2}-1$ . Obținem rezultatul cerut, pentru $\displaystyle x\in(1,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{x^{2}-1}$ , $\displaystyle \ x\in(1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to(0,+\infty)

,

\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este bijectivă.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (1,+\infty)$ , folosind $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ : $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}$
Aducem fracțiile la același numitor: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}$ , deci numărătorul este $\displaystyle -2$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2}{x^{2}-1}$
Pentru $\displaystyle x>1$ avem $\displaystyle x^{2}-1>0$ , deci $\displaystyle f'(x)<0$ pentru orice $\displaystyle x\in(1,+\infty)$ . Rezultă că $\displaystyle f$ este strict descrescătoare, deci injectivă.
$\displaystyle f'(x)<0$ , $\displaystyle \ \forall x\in(1,+\infty)\Rightarrow f\text{ strict descrescătoare, }$ $\displaystyle \text{deci injectivă}$
Scriem funcția sub forma $\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{x+1}{x-1}$ , ca să calculăm mai ușor limitele.
$\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{x+1}{x-1}$
Când $\displaystyle x\to1$ , $\displaystyle x>1$ , numărătorul $\displaystyle x+1\to2$ , iar $\displaystyle x-1\to0$ prin valori pozitive, deci $\displaystyle \dfrac{x+1}{x-1}\to+\infty$ și $\displaystyle \ln\dfrac{x+1}{x-1}\to+\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=+\infty$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ , $\displaystyle \dfrac{x+1}{x-1}\to1$ , deci $\displaystyle f(x)\to\ln 1=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle (1,+\infty)$ și strict descrescătoare, cu limitele $\displaystyle +\infty$ la $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 0$ la $\displaystyle +\infty$ . Din proprietatea lui Darboux, $\displaystyle f$ ia toate valorile din $\displaystyle (0,+\infty)$ , deci este surjectivă. Fiind și injectivă, $\displaystyle f$ este bijectivă.
$\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=+\infty\text{ și }\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\Rightarrow f\text{ este surjectivă, deci }$ $\displaystyle \text{bijectivă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to(0,+\infty)

,

\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(x f(x)\right)

.

Vezi rezolvarea

Folosim proprietatea $\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}$ . Astfel $\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{x+1}{x-1}$ .
$\displaystyle f(x)=\ln\frac{x+1}{x-1}$
Introducem factorul $\displaystyle x$ în logaritm, ca exponent, folosind $\displaystyle a\ln b=\ln b^{a}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(x\ln\frac{x+1}{x-1}\right)=\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}$
Scriem $\displaystyle \dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{x-1+2}{x-1}=1+\dfrac{2}{x-1}$ , pentru a ajunge la forma $\displaystyle 1+\dfrac{1}{u}$ .
$\displaystyle \frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$
Scriem $\displaystyle x=\dfrac{x-1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x-1}$ . Atunci expresia de sub logaritm devine o putere a lui $\displaystyle \left(1+\dfrac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\left(\left(1+\frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}}\right)^{\frac{2x}{x-1}}$
Notăm $\displaystyle u=\dfrac{x-1}{2}\to+\infty$ . Atunci $\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{u}\to e$ , iar $\displaystyle \dfrac{2x}{x-1}\to 2$ . Cum $\displaystyle \ln$ este continuă, limita este $\displaystyle \ln e^{2}$ .
$\displaystyle \ln e^{2}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-3x+2

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{5}{6}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)$ cu expresia ei sub integrală: $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\left(x^{2}-3x+2\right)dx$ .
$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\left(x^{2}-3x+2\right)dx$
Integrăm termen cu termen: o primitivă pentru $\displaystyle x^{2}$ este $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}$ , pentru $\displaystyle 3x$ este $\displaystyle 3\cdot\dfrac{x^{2}}{2}$ , iar pentru $\displaystyle 2$ este $\displaystyle 2x$ .
$\displaystyle \int_0^1\left(x^{2}-3x+2\right)dx=\left(\frac{x^{3}}{3}-3\cdot\frac{x^{2}}{2}+2x\right)\Big|_0^1$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în $\displaystyle 1$ minus valoarea ei în $\displaystyle 0$ . În $\displaystyle 0$ toți termenii sunt nuli, deci rămâne doar valoarea în $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \left(\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2\right)-0$
Aducem fracțiile la numitorul comun $\displaystyle 6$ : $\displaystyle \dfrac{2}{6}-\dfrac{9}{6}+\dfrac{12}{6}=\dfrac{5}{6}$ . Deci integrala este egală cu $\displaystyle \dfrac{5}{6}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{2-9+12}{6}=\frac{5}{6}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-3x+2

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^e\frac{f(x)}{x}\ln x\,dx=\frac{e^2-7}{4}

.

Vezi rezolvarea

Împărțim polinomul $\displaystyle f(x)=x^2-3x+2$ la $\displaystyle x$ termen cu termen: $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=x-3+\dfrac{2}{x}$ . Astfel integrala se desparte în două integrale: $\displaystyle I=\int_1^e(x-3)\ln x\,dx+\int_1^e\dfrac{2}{x}\ln x\,dx$ .
$\displaystyle I=\int_1^e(x-3)\ln x\,dx+\int_1^e\frac{2}{x}\ln x\,dx$
Prima integrală se calculează prin părți: alegem $\displaystyle u=\ln x$ și $\displaystyle dv=(x-3)\,dx$ , deci $\displaystyle u'=\dfrac{1}{x}$ și $\displaystyle v=\dfrac{x^2}{2}-3x$ . Pentru a doua integrală folosim substituția $\displaystyle t=\ln x$ , cu $\displaystyle dt=\dfrac{1}{x}dx$ , deci $\displaystyle \int \dfrac{2}{x}\ln x\,dx=2\cdot\dfrac{\ln^2 x}{2}$ . Obținem relația de mai jos.
$\displaystyle I=\left(\frac{x^2}{2}-3x\right)\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\left(\frac{x}{2}-3\right)dx+2\cdot\frac{1}{2}\cdot\ln^2 x\Big|_1^e$
Calculăm termenul din afara integralei de la integrarea prin părți. Pentru $\displaystyle x=e$ avem $\displaystyle \ln e=1$ , iar pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle \ln 1=0$ , deci capătul de jos dă $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \left(\frac{x^2}{2}-3x\right)\ln x\Big|_1^e=\frac{e^2}{2}-3e$
Calculăm integrala rămasă din prima parte, cu primitiva $\displaystyle \dfrac{x^2}{4}-3x$ , între $\displaystyle 1$ și $\displaystyle e$ .
$\displaystyle \int_1^e\left(\frac{x}{2}-3\right)dx=\left(\frac{x^2}{4}-3x\right)\Big|_1^e=\frac{e^2}{4}-3e-\left(\frac{1}{4}-3\right)=\frac{e^2}{4}-3e+\frac{11}{4}$
Calculăm a doua parte: $\displaystyle \ln^2 e=1$ , iar $\displaystyle \ln^2 1=0$ .
$\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\ln^2 x\Big|_1^e=\ln^2 e-\ln^2 1=1$
Adunăm rezultatele: termenul din afara integralei, minus integrala rămasă, plus a doua parte. Termenii $\displaystyle 3e$ se reduc, iar $\displaystyle -\dfrac{11}{4}+1=-\dfrac{7}{4}$ . Obținem rezultatul cerut.
$\displaystyle I=\frac{e^2}{2}-3e-\left(\frac{e^2}{4}-3e+\frac{11}{4}\right)+1=\frac{e^2}{4}-\frac{7}{4}=\frac{e^2-7}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-3x+2

.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

,

\displaystyle a>1

, pentru care

\displaystyle \int_1^a f(x)e^x\,dx=e^a-3e

.

Vezi rezolvarea

Integrăm prin părți: alegem $\displaystyle u=x^{2}-3x+2$ și $\displaystyle dv=e^{x}dx$ , deci $\displaystyle du=(2x-3)\,dx$ și $\displaystyle v=e^{x}$ . Cum $\displaystyle f(1)=0$ , la limita inferioară termenul de frontieră se anulează.
$\displaystyle \int_1^a f(x)e^x\,dx=\left(x^2-3x+2\right)e^x\Big|_1^a-\int_1^a(2x-3)e^x\,dx=\left(a^2-3a+2\right)e^a-\int_1^a(2x-3)e^x\,dx$
Calculăm integrala rămasă tot prin părți: alegem $\displaystyle u=2x-3$ și $\displaystyle dv=e^{x}dx$ , deci $\displaystyle du=2\,dx$ și $\displaystyle v=e^{x}$ . Integrala rămasă din $\displaystyle e^{x}$ se calculează direct.
$\displaystyle \int_1^a(2x-3)e^x\,dx=(2x-3)e^x\Big|_1^a-2\int_1^a e^x\,dx=(2x-5)e^x\Big|_1^a$
Grupăm cele două rezultate: $\displaystyle \left(x^{2}-3x+2\right)e^{x}-(2x-5)e^{x}=\left(x^{2}-5x+7\right)e^{x}$ . Calculăm între $\displaystyle 1$ și $\displaystyle a$ ; la limita inferioară valoarea este $\displaystyle (1-5+7)e=3e$ .
$\displaystyle \int_1^a f(x)e^x\,dx=\left(x^2-5x+7\right)e^x\Big|_1^a=\left(a^2-5a+7\right)e^a-3e$
Egalăm rezultatul cu valoarea dată: $\displaystyle \left(a^{2}-5a+7\right)e^{a}-3e=e^{a}-3e$ . Termenul $\displaystyle -3e$ se reduce, apoi împărțim la $\displaystyle e^{a}\neq 0$ și obținem o ecuație de gradul al doilea.
$\displaystyle \left(a^2-5a+7\right)e^a=e^a\Leftrightarrow a^2-5a+7=1\Leftrightarrow a^2-5a+6=0$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle a^{2}-5a+6=0$ : discriminantul este $\displaystyle \Delta=25-24=1$ , deci $\displaystyle a=\dfrac{5\pm 1}{2}$ . Ambele soluții sunt mai mari decât $\displaystyle 1$ , deci convin condiției $\displaystyle a>1$ .
$\displaystyle a=2\text{ sau }a=3\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 9: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani