Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 9: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}>\frac{3}{4}

.

Vezi rezolvarea

Termenii sumei $\displaystyle S=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^4}$ formează o progresie geometrică cu primul termen $\displaystyle b_1=1$ , rația $\displaystyle q=-\dfrac{1}{3}$ și $\displaystyle 5$ termeni.
$\displaystyle b_1=1$ , $\displaystyle \ q=-\dfrac{1}{3}$ , $\displaystyle \ n=5$
Aplicăm formula $\displaystyle S_n=b_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ pentru $\displaystyle n=5$ .
$\displaystyle S=1\cdot\dfrac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^5}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}$
Avem $\displaystyle \left(-\dfrac{1}{3}\right)^5=-\dfrac{1}{3^5}$ , deci numărătorul este $\displaystyle 1+\dfrac{1}{3^5}$ , iar numitorul este $\displaystyle 1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$ .
$\displaystyle S=\dfrac{1+\frac{1}{3^5}}{\frac{4}{3}}$
Împărțirea la $\displaystyle \dfrac{4}{3}$ înseamnă înmulțire cu $\displaystyle \dfrac{3}{4}$ .
$\displaystyle S=\dfrac{3}{4}\left(1+\dfrac{1}{3^5}\right)$
Deoarece $\displaystyle \dfrac{1}{3^5}>0$ , avem $\displaystyle 1+\dfrac{1}{3^5}>1$ , deci înmulțind cu $\displaystyle \dfrac{3}{4}>0$ obținem inegalitatea cerută.
$\displaystyle \dfrac{3}{4}\left(1+\dfrac{1}{3^5}\right)>\dfrac{3}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=-3x+18

. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f\circ f

cu axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Punctul de intersecție cu axa $\displaystyle Ox$ are ordonata zero, deci abscisa se află din condiția $\displaystyle (f\circ f)(x)=0$ .
$\displaystyle (f\circ f)(x)=0$
Scriem compunerea: $\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=-3f(x)+18$ .
$\displaystyle (f\circ f)(x)=-3f(x)+18$
Din $\displaystyle -3f(x)+18=0$ obținem $\displaystyle -3f(x)=-18$ , deci $\displaystyle f(x)=6$ .
$\displaystyle -3f(x)+18=0\Leftrightarrow f(x)=6$
Înlocuim $\displaystyle f(x)=-3x+18$ și obținem ecuația $\displaystyle -3x+18=6$ .
$\displaystyle -3x+18=6$
Rezolvăm: $\displaystyle -3x=6-18=-12$ , deci $\displaystyle x=4$ . Abscisa căutată este $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle x=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2^{3-x}-2^{2-x}+2^{5-x}=9

.

Vezi rezolvarea

Exprimăm toate puterile cu ajutorul lui $\displaystyle 2^{2-x}$ . Folosim $\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$ : $\displaystyle 2^{3-x}=2\cdot 2^{2-x}$ și $\displaystyle 2^{5-x}=2^{3}\cdot 2^{2-x}$ .
$\displaystyle \begin{aligned}2^{3-x}&=2\cdot 2^{2-x}\\2^{5-x}&=2^{3}\cdot 2^{2-x}\end{aligned}$
Înlocuim în ecuație și dăm factor comun pe $\displaystyle 2^{2-x}$ , puterea cu exponentul cel mai mic.
$\displaystyle 2^{2-x}\left(2-1+2^{3}\right)=9$
Calculăm paranteza: $\displaystyle 2-1+8=9$ , deci $\displaystyle 9\cdot 2^{2-x}=9$ . Împărțim la $\displaystyle 9$ și obținem ecuația echivalentă:
$\displaystyle 2^{2-x}=1$
Scriem $\displaystyle 1=2^{0}$ , deci $\displaystyle 2^{2-x}=2^{0}$ . Funcția exponențială de bază $\displaystyle 2$ este injectivă, deci $\displaystyle 2-x=0$ , de unde $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați termenul care nu îl conține pe

\displaystyle x

din dezvoltarea

\displaystyle \left(x^3+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}

, unde

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Termenul general al dezvoltării $\displaystyle \left(x^{3}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$ este $\displaystyle T_{k+1}=C_{14}^{k}\left(x^{3}\right)^{14-k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{k}$ , unde $\displaystyle k\in\{0,1,\ldots,14\}$ .
$\displaystyle T_{k+1}=C_{14}^{k}\left(x^{3}\right)^{14-k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{k}$
Avem $\displaystyle \left(x^{3}\right)^{14-k}=x^{42-3k}$ și $\displaystyle \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{k}=\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{k}=x^{-\frac{k}{2}}$ .
$\displaystyle T_{k+1}=C_{14}^{k}\,x^{42-3k-\frac{k}{2}}$
Aducem exponentul la același numitor: $\displaystyle 42-3k-\dfrac{k}{2}=\dfrac{84-6k-k}{2}=\dfrac{84-7k}{2}$ .
$\displaystyle T_{k+1}=C_{14}^{k}\,x^{\frac{84-7k}{2}}$ , $\displaystyle \ k\in\{0,1,\ldots,14\}$
Termenul nu îl conține pe $\displaystyle x$ când exponentul este $\displaystyle 0$ : $\displaystyle \dfrac{84-7k}{2}=0$ , deci $\displaystyle 84=7k$ , adică $\displaystyle k=12$ , valoare între $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 14$ , deci convine.
$\displaystyle \dfrac{84-7k}{2}=0\Leftrightarrow k=12$
Pentru $\displaystyle k=12$ avem $\displaystyle T_{13}=C_{14}^{12}$ . Din $\displaystyle C_{14}^{12}=C_{14}^{2}=\dfrac{14\cdot 13}{2}=91$ rezultă că termenul căutat este $\displaystyle 91$ .
$\displaystyle T_{13}=C_{14}^{12}=C_{14}^{2}=\dfrac{14\cdot 13}{2}=91$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(a,1)

și

\displaystyle B(-2,5)

, unde

\displaystyle a

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că mijlocul segmentului

\displaystyle AB

aparține dreptei de ecuație

\displaystyle y=2x+3

.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle M$ mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ . Coordonatele mijlocului sunt $\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$ .
$\displaystyle x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$ , $\displaystyle \quad y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$
Înlocuim $\displaystyle A(a,1)$ și $\displaystyle B(-2,5)$ : $\displaystyle x_M=\dfrac{a+(-2)}{2}=\dfrac{a-2}{2}$ , iar $\displaystyle y_M=\dfrac{1+5}{2}=3$ .
$\displaystyle M\left(\frac{a-2}{2},3\right)$
Punctul $\displaystyle M$ aparține dreptei $\displaystyle y=2x+3$ , deci coordonatele sale verifică ecuația dreptei: înlocuim $\displaystyle x=\dfrac{a-2}{2}$ și $\displaystyle y=3$ .
$\displaystyle 3=2\cdot\frac{a-2}{2}+3$
Simplificăm $\displaystyle 2\cdot\dfrac{a-2}{2}=a-2$ , deci ecuația devine $\displaystyle 3=a-2+3$ , adică $\displaystyle a-2=0$ . Rezultă că $\displaystyle a=2$ .
$\displaystyle a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați lungimea laturii

\displaystyle AB

a triunghiului

\displaystyle ABC

, știind că

\displaystyle \operatorname{tg} C=1

și că triunghiul

\displaystyle ABC

este înscris într-un cerc de rază

\displaystyle 3

.

Vezi rezolvarea

Din $\displaystyle \operatorname{tg} C=1$ rezultă că unghiul $\displaystyle C$ are $\displaystyle 45^\circ$ , adică $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$ . Unghiul $\displaystyle C$ este unghi al unui triunghi, deci $\displaystyle C\in(0,\pi)$ , iar tangenta este $\displaystyle 1$ doar pentru $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$ .
$\displaystyle \angle C=\frac{\pi}{4}$
Calculăm sinusul unghiului $\displaystyle C$ : $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle \angle C=\frac{\pi}{4}$ , $\displaystyle \ \sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Scriem teorema sinusurilor în triunghiul $\displaystyle ABC$ înscris în cercul de rază $\displaystyle R$ : latura $\displaystyle AB$ împărțită la sinusul unghiului opus $\displaystyle C$ este egală cu $\displaystyle 2R$ . Aici $\displaystyle R=3$ , deci $\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2\cdot 3$ .
$\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R=6$
Scoatem $\displaystyle AB$ , înmulțind cu $\displaystyle \sin C$ , și înlocuim valoarea sinusului: $\displaystyle AB=6\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ .
$\displaystyle AB=2\cdot 3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real. Arătați că

\displaystyle \det(A(3))=10

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=3$ în matrice: pe prima linie primul element devine $\displaystyle 3$ , pe a doua linie $\displaystyle a+1$ devine $\displaystyle 4$ , iar restul elementelor rămân neschimbate. Scriem determinantul matricei obținute.
$\displaystyle \det(A(3))=\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: $\displaystyle 3\cdot 4\cdot 1$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ și $\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-1)$ . Acestea se adună.
$\displaystyle 3\cdot 4\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot(-1)=12+1+(-1)$
Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: $\displaystyle 1\cdot 4\cdot 1$ , $\displaystyle 3\cdot 1\cdot(-1)$ și $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ . Acestea se adună între ele, iar suma lor se scade ulterior din prima sumă.
$\displaystyle (1\cdot 4\cdot 1)+(3\cdot 1\cdot(-1))+(1\cdot 1\cdot 1)=4+(-3)+1=2$
Scădem din prima sumă suma produselor de pe diagonala secundară și efectuăm calculele: $\displaystyle 12+1-1=12$ , iar $\displaystyle 4-3+1=2$ . Rezultă că determinantul este $\displaystyle 12-2=10$ .
$\displaystyle \det(A(3))=12+1+(-1)-4-(-3)-1=10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr natural

\displaystyle n

,

\displaystyle n\geq 2

, rangul matricei

\displaystyle A(n)

este egal cu

\displaystyle 3

.

Vezi rezolvarea

Matricea $\displaystyle A(n)$ este pătratică de ordin $\displaystyle 3$ , deci are rangul $\displaystyle 3$ exact când determinantul ei este nenul. Este suficient să calculăm $\displaystyle \det(A(a))$ și să vedem pentru ce valori ale lui $\displaystyle a$ se anulează.
$\displaystyle \operatorname{rang}A(n)=3\iff\det(A(n))\neq 0$
Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus. Suma produselor pe diagonala principală și pe paralelele ei este $\displaystyle a(a+1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot(-1)=a^{2}+a$ . Suma produselor pe diagonala secundară și pe paralelele ei este $\displaystyle 1\cdot(a+1)\cdot 1+a\cdot 1\cdot(-1)+1\cdot 1\cdot 1=2$ . Determinantul este diferența lor.
$\displaystyle \det(A(a))=(a^{2}+a)-2=a^{2}+a-2$
Descompunem trinomul $\displaystyle a^{2}+a-2$ în factori. Rădăcinile ecuației $\displaystyle a^{2}+a-2=0$ sunt $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -2$ , deci determinantul se anulează doar pentru $\displaystyle a=1$ sau $\displaystyle a=-2$ .
$\displaystyle \det(A(a))=(a-1)(a+2)$ , $\displaystyle \quad \det(A(a))=0\Leftrightarrow a=1\text{ sau }a=-2$
Pentru $\displaystyle n$ număr natural, $\displaystyle n\geq 2$ , avem $\displaystyle n-1\geq 1>0$ și $\displaystyle n+2>0$ , deci produsul $\displaystyle (n-1)(n+2)$ este strict pozitiv. Valorile $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -2$ nu sunt mai mari sau egale cu $\displaystyle 2$ , deci determinantul este nenul. Rezultă că rangul matricei $\displaystyle A(n)$ este $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle \det(A(n))=(n-1)(n+2)>0\Rightarrow \det(A(n))\neq 0\Rightarrow \operatorname{rang}A(n)=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că, pentru orice număr natural

\displaystyle m

,

\displaystyle m\geq 2

, inversa matricei

\displaystyle A(m)

nu are toate elementele numere întregi.

Vezi rezolvarea

Presupunem prin reducere la absurd că inversa $\displaystyle A(m)^{-1}$ există și are toate elementele numere întregi. Matricea $\displaystyle A(m)$ are elemente întregi, deci $\displaystyle \det(A(m))\in\mathbb{Z}$ , iar $\displaystyle \det(A(m)^{-1})\in\mathbb{Z}$ , fiind calculat din elemente întregi.
$\displaystyle \det(A(m))\in\mathbb{Z}\text{ și }\det(A(m)^{-1})\in\mathbb{Z}$
Din $\displaystyle \det(A(m))\cdot\det(A(m)^{-1})=\det(I_3)=1$ rezultă că două numere întregi cu produsul $\displaystyle 1$ sunt ambele $\displaystyle 1$ sau ambele $\displaystyle -1$ . Deci $\displaystyle \det(A(m))=\pm 1$ .
$\displaystyle \det(A(m))=-1\text{ sau }\det(A(m))=1$
Calculăm $\displaystyle \det(A(a))$ cu regula lui Sarrus. Termenii de pe diagonala principală și paralelele ei dau $\displaystyle a(a+1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot(-1)=a^{2}+a$ . Termenii de pe diagonala secundară și paralelele ei dau $\displaystyle 1\cdot(a+1)\cdot 1+a\cdot 1\cdot(-1)+1\cdot 1\cdot 1=2$ . Deci $\displaystyle \det(A(a))=a^{2}+a-2$ .
$\displaystyle \det(A(a))=a^{2}+a-2$
Pentru $\displaystyle a=m$ obținem $\displaystyle \det(A(m))=m^{2}+m-2=(m-1)(m+2)$ . Pentru $\displaystyle m\geq 2$ avem $\displaystyle m-1\geq 1$ și $\displaystyle m+2\geq 4$ , deci $\displaystyle \det(A(m))\geq 4$ . Atunci $\displaystyle \det(A(m))\neq\pm 1$ , ceea ce contrazice presupunerea. Deci inversa matricei $\displaystyle A(m)$ nu are toate elementele numere întregi.
$\displaystyle \det(A(m))=m^{2}+m-2\geq 4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=(2,+\infty)

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{xy-4}{x+y-4}

.

Arătați că

\displaystyle 8\circ 8=5

.

Vezi rezolvarea

Legea este $\displaystyle x\circ y=\dfrac{xy-4}{x+y-4}$ . Înlocuim $\displaystyle x=8$ și $\displaystyle y=8$ .
$\displaystyle 8\circ 8=\dfrac{8\cdot 8-4}{8+8-4}$
Numărătorul este $\displaystyle 8\cdot 8-4=64-4=60$ .
$\displaystyle 8\cdot 8-4=60$
Numitorul este $\displaystyle 8+8-4=16-4=12$ .
$\displaystyle 8+8-4=12$
Obținem $\displaystyle 8\circ 8=\dfrac{60}{12}=5$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle 8\circ 8=\dfrac{60}{12}=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=(2,+\infty)

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{xy-4}{x+y-4}

.

Arătați că

\displaystyle (x+2)\circ(y+2)>(x+y)\circ 4

, pentru orice

\displaystyle x,y\in M

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x,y>2$ avem $\displaystyle x+2>2$ , $\displaystyle y+2>2$ și $\displaystyle x+y>4>2$ , deci toate elementele aparțin lui $\displaystyle M$ . Aplicăm definiția: $\displaystyle (x+2)\circ(y+2)=\dfrac{(x+2)(y+2)-4}{(x+2)+(y+2)-4}$ .
$\displaystyle (x+2)\circ(y+2)=\dfrac{(x+2)(y+2)-4}{x+y}$
Desfacem parantezele: $\displaystyle (x+2)(y+2)-4=xy+2x+2y+4-4=xy+2x+2y$ , iar numitorul este $\displaystyle x+y+4-4=x+y$ .
$\displaystyle (x+2)\circ(y+2)=\dfrac{xy+2x+2y}{x+y}$
Pentru al doilea termen, $\displaystyle (x+y)\circ 4=\dfrac{(x+y)\cdot 4-4}{(x+y)+4-4}$ , adică numitorul este $\displaystyle x+y$ .
$\displaystyle (x+2)\circ(y+2)=\dfrac{xy+2x+2y}{x+y}$ , $\displaystyle \ (x+y)\circ 4=\dfrac{4x+4y-4}{x+y}$
Fracțiile au același numitor, deci diferența este $\displaystyle \dfrac{xy+2x+2y-(4x+4y-4)}{x+y}$ . Reducem termenii asemenea: $\displaystyle xy+2x+2y-4x-4y+4=xy-2x-2y+4$ .
$\displaystyle (x+2)\circ(y+2)-(x+y)\circ 4=\dfrac{xy-2x-2y+4}{x+y}$
Factorizăm numărătorul: $\displaystyle xy-2x-2y+4=x(y-2)-2(y-2)=(x-2)(y-2)$ . Deoarece $\displaystyle x>2$ și $\displaystyle y>2$ , avem $\displaystyle x-2>0$ , $\displaystyle y-2>0$ și $\displaystyle x+y>0$ , deci fracția este pozitivă. Prin urmare $\displaystyle (x+2)\circ(y+2)>(x+y)\circ 4$ .
$\displaystyle (x+2)\circ(y+2)-(x+y)\circ 4=\dfrac{xy-2x-2y+4}{x+y}=\dfrac{(x-2)(y-2)}{x+y}>0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=(2,+\infty)

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{xy-4}{x+y-4}

.

Demonstrați că, dacă

\displaystyle x\in M

și

\displaystyle n

este număr natural,

\displaystyle n\geq 2

, astfel încât

\displaystyle \underbrace{x\circ x\circ\ldots\circ x}_{\text{de }2^n\text{ ori }x}=2^n-\frac{1}{2^n}

, atunci

\displaystyle x

este pătratul unui număr natural.

Vezi rezolvarea

Calculăm compunerea a doi termeni egali: $\displaystyle x\circ x=\dfrac{x^{2}-4}{2x-4}$ . Deoarece $\displaystyle x>2$ , avem $\displaystyle x-2\neq 0$ , deci simplificăm fracția cu $\displaystyle x-2$ : $\displaystyle \dfrac{(x-2)(x+2)}{2(x-2)}$ .
$\displaystyle x\circ x=\dfrac{x^{2}-4}{2x-4}=\dfrac{x+2}{2}$
Observăm că pentru orice $\displaystyle a\in M$ avem $\displaystyle a\circ a=\dfrac{a+2}{2}$ . Notăm cu $\displaystyle E_k$ compunerea a $\displaystyle 2^{k}$ factori egali cu $\displaystyle x$ . Pentru $\displaystyle k=1$ formula $\displaystyle E_k=\dfrac{x+2^{k+1}-2}{2^{k}}$ dă $\displaystyle \dfrac{x+2}{2}$ , adevărat conform pasului anterior.
$\displaystyle E_1=\dfrac{x+2}{2}$
Pas de inducție: presupunem $\displaystyle E_k=\dfrac{x+2^{k+1}-2}{2^{k}}$ . Legea este asociativă, deci $\displaystyle E_{k+1}=E_k\circ E_k=\dfrac{E_k+2}{2}=\dfrac{x+2^{k+1}-2+2\cdot 2^{k}}{2^{k+1}}=\dfrac{x+2^{k+2}-2}{2^{k+1}}$ . Deci formula este adevărată pentru orice $\displaystyle k$ , în particular pentru $\displaystyle k=n$ .
$\displaystyle \underbrace{x\circ x\circ\ldots\circ x}_{2^{n}\text{ ori }x}=\dfrac{x+2^{n+1}-2}{2^{n}}$
Egalăm expresia cu valoarea dată în enunț: $\displaystyle \dfrac{x+2^{n+1}-2}{2^{n}}=2^{n}-\dfrac{1}{2^{n}}$ . Înmulțim cu $\displaystyle 2^{n}$ și obținem $\displaystyle x+2^{n+1}-2=2^{2n}-1$ .
$\displaystyle x+2^{n+1}-2=2^{2n}-1$
Izolăm $\displaystyle x$ : $\displaystyle x=2^{2n}-2^{n+1}+1=2^{2n}-2\cdot 2^{n}+1$ . Recunoaștem formula $\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ cu $\displaystyle a=2^{n}$ și $\displaystyle b=1$ . Cum $\displaystyle n$ este număr natural, $\displaystyle 2^{n}-1$ este număr natural, deci $\displaystyle x$ este pătratul unui număr natural.
$\displaystyle x=2^{2n}-2\cdot 2^{n}+1=\left(2^{n}-1\right)^{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(3,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln(x-3)-2\ln\left(x^2-9\right)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{3(1-x)}{x^2-9}

,

\displaystyle x\in(3,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția termen cu termen. Pentru logaritm folosim formula $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ . Pentru primul termen, $\displaystyle u=x-3$ , deci $\displaystyle u'=1$ și $\displaystyle (\ln(x-3))'=\dfrac{1}{x-3}$ .
$\displaystyle (\ln(x-3))'=\dfrac{1}{x-3}$
Pentru al doilea termen, $\displaystyle u=x^{2}-9$ , deci $\displaystyle u'=2x$ . Constanta $\displaystyle 2$ rămâne în fața derivatei: $\displaystyle \left(2\ln(x^{2}-9)\right)'=2\cdot\dfrac{2x}{x^{2}-9}$ .
$\displaystyle \left(2\ln(x^{2}-9)\right)'=2\cdot\dfrac{2x}{x^{2}-9}$
Scădem cele două derivate și obținem expresia lui $\displaystyle f'(x)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x-3}-2\cdot\dfrac{2x}{x^{2}-9}$
Descompunem $\displaystyle x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ , deci numitorul comun este $\displaystyle x^{2}-9$ . Amplificăm prima fracție cu $\displaystyle x+3$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+3}{(x-3)(x+3)}-\dfrac{4x}{x^{2}-9}=\dfrac{x+3}{x^{2}-9}-\dfrac{4x}{x^{2}-9}$
Scădem numărătorii, apoi reducem termenii asemenea: $\displaystyle x-4x=-3x$ , deci numărătorul devine $\displaystyle 3-3x=3(1-x)$ . Aceasta este egalitatea cerută, pentru $\displaystyle x\in(3,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+3-4x}{x^{2}-9}=\dfrac{3(1-x)}{x^{2}-9}$ , $\displaystyle \ x\in(3,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(3,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln(x-3)-2\ln\left(x^2-9\right)

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este bijectivă.

Vezi rezolvarea

Simplificăm expresia lui $\displaystyle f$ . Pentru $\displaystyle x>3$ , $\displaystyle x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ , cu ambii factori pozitivi, deci $\displaystyle \ln(x^{2}-9)=\ln(x-3)+\ln(x+3)$ . Obținem $\displaystyle f(x)=\ln(x-3)-2\ln(x-3)-2\ln(x+3)$ , adică $\displaystyle f(x)=-\ln(x-3)-2\ln(x+3)$ .
$\displaystyle f(x)=-\ln(x-3)-2\ln(x+3)$
Derivăm funcția, folosind $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ . Obținem $\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{2}{x+3}$ .
$\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{2}{x+3}$
Studiem semnul derivatei. Pentru $\displaystyle x>3$ avem $\displaystyle x-3>0$ și $\displaystyle x+3>0$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{x-3}>0$ și $\displaystyle \dfrac{2}{x+3}>0$ , iar suma lor cu semn minus este negativă. Deci $\displaystyle f'(x)<0$ pentru orice $\displaystyle x\in(3,+\infty)$ , adică $\displaystyle f$ este strict descrescătoare, deci injectivă.
$\displaystyle f'(x)<0$ , $\displaystyle \ \forall x\in(3,+\infty)\Rightarrow f\text{ strict descrescătoare, }$ $\displaystyle \text{deci injectivă}$
Calculăm limita în $\displaystyle 3$ . Când $\displaystyle x\to 3$ , $\displaystyle x>3$ , avem $\displaystyle x-3\to 0^{+}$ , deci $\displaystyle -\ln(x-3)\to+\infty$ , iar $\displaystyle -2\ln(x+3)\to-2\ln 6$ , un număr finit. Rezultă $\displaystyle \lim_{x\to 3}f(x)=+\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 3}f(x)=+\infty$
Calculăm limita la $\displaystyle +\infty$ . Când $\displaystyle x\to+\infty$ , $\displaystyle \ln(x-3)\to+\infty$ și $\displaystyle \ln(x+3)\to+\infty$ , deci ambii termeni $\displaystyle -\ln(x-3)$ și $\displaystyle -2\ln(x+3)$ tind la $\displaystyle -\infty$ . Rezultă $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$
Concluzia. Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle (3,+\infty)$ , fiind suma unor funcții logaritmice. Cum $\displaystyle \lim_{x\to 3}f(x)=+\infty$ și $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ , din proprietatea lui Darboux $\displaystyle f$ ia toate valorile reale, deci $\displaystyle f((3,+\infty))=\mathbb{R}$ și $\displaystyle f$ este surjectivă. Fiind și injectivă, $\displaystyle f$ este bijectivă.
$\displaystyle \lim_{x\to 3}f(x)=+\infty$ , $\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\Rightarrow f\text{ surjectivă, deci }$ $\displaystyle \text{bijectivă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(3,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln(x-3)-2\ln\left(x^2-9\right)

.

Arătați că

\displaystyle \lim_{x\to 3}\left((x-3)f(x)\right)=0

.

Vezi rezolvarea

Domeniul funcției este $\displaystyle (3,+\infty)$ , deci $\displaystyle x\to 3$ prin valori $\displaystyle x>3$ . Scriem produsul ca raport, ca să putem aplica regula lui l'Hôpital: $\displaystyle (x-3)f(x)$ este $\displaystyle f(x)$ împărțit la $\displaystyle \dfrac{1}{x-3}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 3}(x-3)f(x)=\lim_{x\to 3}\frac{f(x)}{\frac{1}{x-3}}$
Verificăm tipul de nedeterminare. Pentru $\displaystyle x>3$ avem $\displaystyle \ln(x^2-9)=\ln(x-3)+\ln(x+3)$ , deci $\displaystyle f(x)=-\ln(x-3)-2\ln(x+3)$ . Când $\displaystyle x\to 3$ , $\displaystyle f(x)\to+\infty$ , iar $\displaystyle \dfrac{1}{x-3}\to+\infty$ . Avem forma $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , deci regula lui l'Hôpital se poate aplica.
$\displaystyle f(x)=-\ln(x-3)-2\ln(x+3)\to+\infty$ , $\displaystyle \quad \frac{1}{x-3}\to+\infty$
Calculăm derivata lui $\displaystyle f$ . Derivata lui $\displaystyle \ln(x-3)$ este $\displaystyle \dfrac{1}{x-3}$ , iar derivata lui $\displaystyle 2\ln(x^2-9)$ este $\displaystyle 2\cdot\dfrac{2x}{x^2-9}=\dfrac{4x}{x^2-9}$ . Aducem la același numitor, folosind $\displaystyle x^2-9=(x-3)(x+3)$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x-3}-\frac{4x}{x^2-9}=\frac{x+3-4x}{x^2-9}=-\frac{3(x-1)}{x^2-9}$
Calculăm derivata numitorului, adică a funcției $\displaystyle \dfrac{1}{x-3}$ .
$\displaystyle \left(\frac{1}{x-3}\right)'=-\frac{1}{(x-3)^2}$
Aplicăm regula lui l'Hôpital: limita raportului este limita raportului derivatelor, în care înlocuim derivatele calculate.
$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{f(x)}{\frac{1}{x-3}}=\lim_{x\to 3}\frac{f'(x)}{\left(\frac{1}{x-3}\right)'}=\lim_{x\to 3}\frac{-\frac{3(x-1)}{x^2-9}}{-\frac{1}{(x-3)^2}}$
Simplificăm semnele minus și împărțirea la o fracție, adică înmulțim cu $\displaystyle (x-3)^2$ . Apoi descompunem $\displaystyle x^2-9=(x-3)(x+3)$ și simplificăm cu $\displaystyle x-3$ . La final înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 3$ : numărătorul se anulează, iar numitorul este $\displaystyle 6$ , deci limita este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{3(x-1)(x-3)^2}{x^2-9}=\lim_{x\to 3}\frac{3(x-1)(x-3)}{x+3}=\frac{3\cdot 2\cdot 0}{6}=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,2)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+\frac{x^2}{x^2-4}

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^{\frac{3}{2}}\left(f(x)-\frac{x^2}{x^2-4}\right)dx=\frac{5}{8}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x+\dfrac{x^{2}}{x^{2}-4}$ în integrand: $\displaystyle f(x)-\dfrac{x^{2}}{x^{2}-4}=x$ . Fracția se reduce, deci integrandul este doar $\displaystyle x$ .
$\displaystyle f(x)-\frac{x^{2}}{x^{2}-4}=x$
Integrala devine $\displaystyle \int_1^{\frac{3}{2}}x\,dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}$ , deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_1^{\frac{3}{2}}x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_1^{\frac{3}{2}}$
Calculăm diferența valorilor primitivei în capete: $\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-1^{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{9}{4}-1\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{8}$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{9}{4}-1\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{8}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,2)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+\frac{x^2}{x^2-4}

.

Arătați că

\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)+f(-x)\right)dx=4(1-\ln 3)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(-x)$ . Termenul $\displaystyle x$ devine $\displaystyle -x$ , iar fracția rămâne neschimbată, deoarece $\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}$ .
$\displaystyle f(-x)=-x+\frac{x^{2}}{x^{2}-4}$
Adunăm $\displaystyle f(x)$ cu $\displaystyle f(-x)$ : termenii $\displaystyle x$ și $\displaystyle -x$ se reduc, iar cele două fracții egale se adună.
$\displaystyle f(x)+f(-x)=\frac{2x^{2}}{x^{2}-4}$
Scriem integrala cerută cu expresia obținută. Intervalul $\displaystyle [-1,1]$ este inclus în $\displaystyle (-2,2)$ , deci numitorul $\displaystyle x^{2}-4$ nu se anulează.
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)+f(-x)\right)dx=\int_{-1}^{1}\frac{2x^{2}}{x^{2}-4}dx$
Descompunem fracția: scriem $\displaystyle x^{2}=x^{2}-4+4$ la numărător și separăm partea întreagă.
$\displaystyle 2\int_{-1}^{1}\frac{x^{2}-4+4}{x^{2}-4}dx=2\int_{-1}^{1}\left(1+\frac{4}{x^{2}-4}\right)dx$
Folosim formula $\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|$ , cu $\displaystyle a=2$ . Înmulțit cu $\displaystyle 4$ , obținem $\displaystyle \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle 2\left(x+\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|\right)\Big|_{-1}^{1}$
Înlocuim limitele. Pentru $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle \ln\left|\frac{-1}{3}\right|=\ln\frac{1}{3}$ . Pentru $\displaystyle x=-1$ : $\displaystyle \ln\left|\frac{-3}{1}\right|=\ln 3$ , iar în diferență apare cu minus.
$\displaystyle 2\left(1+\ln\frac{1}{3}-\left(-1+\ln 3\right)\right)=2\left(1+\ln\frac{1}{3}+1-\ln 3\right)$
Folosim $\displaystyle \ln\frac{1}{3}=-\ln 3$ și reducem termenii: $\displaystyle 2\left(2-2\ln 3\right)$ .
$\displaystyle 2\left(2-2\ln 3\right)=4(1-\ln 3)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,2)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+\frac{x^2}{x^2-4}

.

Determinați

\displaystyle a\in\left(0,\sqrt{3}\right)

, pentru care

\displaystyle \int_a^{\sqrt{3}}\sqrt{x-f(x)}\,dx=\sqrt{3}-1

.

Vezi rezolvarea

Calculăm expresia de sub radical: $\displaystyle x-f(x)=x-x-\dfrac{x^{2}}{x^{2}-4}=-\dfrac{x^{2}}{x^{2}-4}$ .
$\displaystyle x-f(x)=-\dfrac{x^{2}}{x^{2}-4}$
Schimbăm semnul la numitor: $\displaystyle -\dfrac{x^{2}}{x^{2}-4}=\dfrac{x^{2}}{4-x^{2}}$ , iar $\displaystyle 4-x^{2}>0$ . Pentru $\displaystyle x\in\left(0,\sqrt{3}\right)$ avem $\displaystyle \sqrt{x^{2}}=x$ , deci integrandul este $\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}$ .
$\displaystyle \sqrt{x-f(x)}=\dfrac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}$
Observăm că $\displaystyle \left(-\sqrt{4-x^{2}}\right)'=-\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-x^{2}}}=\dfrac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}$ , deci $\displaystyle -\sqrt{4-x^{2}}$ este o primitivă.
$\displaystyle \int\dfrac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx=-\sqrt{4-x^{2}}+C$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle -\sqrt{4-x^{2}}\Big|_a^{\sqrt{3}}=-\sqrt{4-3}+\sqrt{4-a^{2}}=\sqrt{4-a^{2}}-1$ .
$\displaystyle \int_a^{\sqrt{3}}\sqrt{x-f(x)}\,dx=\sqrt{4-a^{2}}-1$
Impunem condiția din enunț: $\displaystyle \sqrt{4-a^{2}}-1=\sqrt{3}-1$ , deci $\displaystyle \sqrt{4-a^{2}}=\sqrt{3}$ .
$\displaystyle \sqrt{4-a^{2}}=\sqrt{3}$
Ridicăm la pătrat: $\displaystyle 4-a^{2}=3$ , deci $\displaystyle a^{2}=1$ . Cum $\displaystyle a>0$ , rezultă $\displaystyle a=1$ , iar $\displaystyle 1\in\left(0,\sqrt{3}\right)$ .
$\displaystyle a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 9: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani