Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 17: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că, dacă

\displaystyle z^2+z+2=0

, unde

\displaystyle z

este număr complex, atunci

\displaystyle z^2+\frac{4}{z^2}=-3

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle z\neq 0$ : dacă $\displaystyle z=0$ , ecuația ar deveni $\displaystyle 2=0$ , fals. Deci putem împărți ecuația $\displaystyle z^2+z+2=0$ la $\displaystyle z$ .
$\displaystyle z\neq 0$
Împărțim la $\displaystyle z$ : $\displaystyle z+1+\dfrac{2}{z}=0$ . Mutând pe 1 în membrul drept, obținem relația de mai jos.
$\displaystyle z+\frac{2}{z}=-1$
Ridicăm la pătrat relația $\displaystyle z+\dfrac{2}{z}=-1$ și folosim formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ .
$\displaystyle \left(z+\frac{2}{z}\right)^2=1$
Dezvoltăm pătratul. Dublul produsului este $\displaystyle 2\cdot z\cdot\dfrac{2}{z}=4$ , iar pătratul ultimului termen este $\displaystyle \dfrac{4}{z^2}$ .
$\displaystyle z^2+4+\frac{4}{z^2}=1$
Scădem $\displaystyle 4$ din ambii membri: $\displaystyle z^2+\dfrac{4}{z^2}=1-4$ , deci obținem egalitatea cerută.
$\displaystyle z^2+\frac{4}{z^2}=-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\{2x\}

, unde

\displaystyle \{x\}

reprezintă partea fracționară a lui

\displaystyle x

. Arătați că

\displaystyle f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f(x)

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim în definiția funcției pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle x+\dfrac{1}{2}$ : $\displaystyle f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=\left\{2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right\}$ .
$\displaystyle f\left(x+\frac{1}{2}\right)=\left\{2\left(x+\frac{1}{2}\right)\right\}$
Distribuim factorul $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=2x+2\cdot\dfrac{1}{2}=2x+1$ . Deci $\displaystyle f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=\{2x+1\}$ .
$\displaystyle f\left(x+\frac{1}{2}\right)=\{2x+1\}$
Partea fracționară are perioada $\displaystyle 1$ : $\displaystyle \{a+k\}=\{a\}$ pentru orice $\displaystyle a\in\mathbb{R}$ și $\displaystyle k\in\mathbb{Z}$ , deoarece $\displaystyle [a+k]=[a]+k$ , deci $\displaystyle \{a+k\}=a+k-[a]-k=\{a\}$ .
$\displaystyle \{a+k\}=\{a\}$ , $\displaystyle \ \forall a\in\mathbb{R}$ , $\displaystyle \ k\in\mathbb{Z}$
Aplicăm proprietatea pentru $\displaystyle a=2x$ și $\displaystyle k=1$ : $\displaystyle \{2x+1\}=\{2x\}=f(x)$ . Prin urmare $\displaystyle f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=f(x)$ , pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \{2x+1\}=\{2x\}=f(x)\text{, deci }f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f(x)\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3^{x+1}-3^x=2^{x+2}-2^{x+1}

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 3^{x+1}=3\cdot 3^x$ și scoatem factor comun $\displaystyle 3^x$ în membrul stâng: $\displaystyle 3^{x+1}-3^x=3^x(3-1)$ .
$\displaystyle 3^{x+1}-3^x=3^x(3-1)=2\cdot 3^x$
Scriem $\displaystyle 2^{x+2}=2\cdot 2^{x+1}$ și scoatem factor comun $\displaystyle 2^{x+1}$ în membrul drept: $\displaystyle 2^{x+2}-2^{x+1}=2^{x+1}(2-1)$ .
$\displaystyle 2^{x+2}-2^{x+1}=2^{x+1}(2-1)=2^{x+1}$
Ecuația devine $\displaystyle 2\cdot 3^x=2^{x+1}$ , adică $\displaystyle 2\cdot 3^x=2\cdot 2^x$ . Împărțind la $\displaystyle 2$ obținem $\displaystyle 3^x=2^x$ .
$\displaystyle 2\cdot 3^x=2^{x+1}\Leftrightarrow 3^x=2^x$
Cum $\displaystyle 2^x>0$ , împărțim la $\displaystyle 2^x$ și obținem $\displaystyle \left(\dfrac{3}{2}\right)^x=1$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{3}{2}\right)^x=1$
Deoarece $\displaystyle \dfrac{3}{2}>0$ și $\displaystyle \dfrac{3}{2}\neq 1$ , egalitatea $\displaystyle \left(\dfrac{3}{2}\right)^x=\left(\dfrac{3}{2}\right)^0$ are loc doar pentru $\displaystyle x=0$ . Verificare: $\displaystyle 3-1=2$ și $\displaystyle 4-2=2$ .
$\displaystyle x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr

\displaystyle a

din mulțimea

\displaystyle A=\{\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\ldots,\sqrt{25}\}

, numerele

\displaystyle 3

,

\displaystyle 4

și

\displaystyle a

să reprezinte lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Vezi rezolvarea

Numărăm cazurile posibile: elementele mulțimii $\displaystyle A$ sunt $\displaystyle \sqrt{n}$ cu $\displaystyle n$ număr întreg de la $\displaystyle 3$ la $\displaystyle 25$ , deci sunt $\displaystyle 25-3+1=23$ de elemente.
$\displaystyle 25-3+1=23$
Triunghiul este dreptunghic dacă lungimile laturilor verifică teorema lui Pitagora. Considerăm cazurile: $\displaystyle a$ este ipotenuză sau $\displaystyle 4$ este ipotenuză (cazul în care $\displaystyle 3$ este ipotenuză se tratează la fel).
$\displaystyle a^{2}=3^{2}+4^{2}\text{ sau }4^{2}=3^{2}+a^{2}$
Dacă $\displaystyle a$ este ipotenuză, atunci $\displaystyle a^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$ , deci $\displaystyle a=\sqrt{25}$ , care aparține lui $\displaystyle A$ .
$\displaystyle a=\sqrt{25}$
Dacă $\displaystyle 4$ este ipotenuză, atunci $\displaystyle a^{2}=4^{2}-3^{2}=16-9=7$ , deci $\displaystyle a=\sqrt{7}$ , care aparține lui $\displaystyle A$ . Cazul în care $\displaystyle 3$ este ipotenuză dă $\displaystyle a^{2}=9-16<0$ , imposibil.
$\displaystyle a=\sqrt{7}$
Cazurile favorabile sunt $\displaystyle \sqrt{7}$ și $\displaystyle \sqrt{25}$ , deci sunt $\displaystyle 2$ cazuri favorabile.
$\displaystyle \sqrt{7}\text{ și }\sqrt{25}\text{, deci }2\text{ cazuri favorabile}$
Aplicăm formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, adică $\displaystyle p=\dfrac{2}{23}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{23}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră paralelogramul

\displaystyle ABCD

și punctele

\displaystyle M

și

\displaystyle N

astfel încât

\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}

și

\displaystyle \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}

. Demonstrați că punctele

\displaystyle D

,

\displaystyle M

și

\displaystyle N

sunt coliniare.

Vezi rezolvarea

Pentru a arăta că $\displaystyle D$ , $\displaystyle M$ și $\displaystyle N$ sunt coliniare, este suficient să arătăm că vectorii $\displaystyle \overrightarrow{DM}$ și $\displaystyle \overrightarrow{DN}$ sunt coliniari. Exprimăm ambii vectori în funcție de $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ și $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ , care sunt doi vectori necoliniari.
$\displaystyle \overrightarrow{DM}=\lambda\,\overrightarrow{DN}\Rightarrow D$ , $\displaystyle M$ , $\displaystyle N\text{ coliniare}$
Folosim regula triunghiului pentru vectorul $\displaystyle \overrightarrow{DM}$ : mergem de la $\displaystyle D$ la $\displaystyle A$ , apoi de la $\displaystyle A$ la $\displaystyle M$ .
$\displaystyle \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{DA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
Deoarece $\displaystyle ABCD$ este paralelogram, după regula paralelogramului $\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ . Mai observăm că $\displaystyle \overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{DM}=-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$
Reducem termenii asemenea: coeficientul lui $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ este $\displaystyle -1+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{3}{4}$ . Scoatem factor comun $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{DM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}\right)$
Procedăm la fel pentru vectorul $\displaystyle \overrightarrow{DN}$ : mergem de la $\displaystyle D$ la $\displaystyle A$ , apoi de la $\displaystyle A$ la $\displaystyle N$ , unde $\displaystyle \overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
Scoatem factor comun $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ și obținem $\displaystyle \overrightarrow{DN}$ în funcție de aceiași vectori $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ și $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ ca la $\displaystyle \overrightarrow{DM}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{DN}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}\right)$
Din expresia lui $\displaystyle \overrightarrow{DM}$ avem $\displaystyle \overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{DM}$ . Înlocuim în expresia lui $\displaystyle \overrightarrow{DN}$ și obținem $\displaystyle \overrightarrow{DN}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{DM}$ , deci vectorii sunt coliniari, iar punctele $\displaystyle D$ , $\displaystyle M$ și $\displaystyle N$ sunt coliniare.
$\displaystyle \overrightarrow{DN}=\frac{1}{3}\cdot 4\,\overrightarrow{DM}=\frac{4}{3}\overrightarrow{DM}\Rightarrow D$ , $\displaystyle M$ , $\displaystyle N\text{ coliniare}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că, dacă

\displaystyle ABC

este un triunghi oarecare, atunci

\displaystyle \cos A<\frac{1}{2}\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\right)

.

Vezi rezolvarea

Aducem la numitor comun suma fracțiilor din membrul drept. Numitorul comun este $\displaystyle AB\cdot AC$ .
$\displaystyle \frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}=\frac{AB^2+AC^2}{AB\cdot AC}$
Scriem membrul drept al inegalității cu factorul $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ , folosind rezultatul de la pasul anterior.
$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\right)=\frac{AB^2+AC^2}{2AB\cdot AC}$
Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul $\displaystyle ABC$ , pentru latura $\displaystyle BC$ opusă unghiului $\displaystyle A$ : $\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A$ . De aici scoatem $\displaystyle \cos A$ .
$\displaystyle \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}$
Într-un triunghi $\displaystyle BC>0$ , deci $\displaystyle BC^2>0$ . Numitorul $\displaystyle 2AB\cdot AC$ este pozitiv, deci scăderea lui $\displaystyle BC^2$ din numărător micșorează strict fracția. Obținem inegalitatea de mai jos, iar fracția din dreapta este exact membrul drept de la pasul 2, deci inegalitatea este demonstrată.
$\displaystyle \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}<\frac{AB^2+AC^2}{2AB\cdot AC}\text{, obținem }\cos A<\frac{1}{2}\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&m&1\\1&-3&2\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+2y+z=0\\2x+my+z=0\\x-3y+2z=0\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(m))=m-9

, pentru orice număr real

\displaystyle m

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei și aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele pe diagonala principală și pe cele două paralele cu ea. Obținem $\displaystyle 1\cdot m\cdot 2=2m$ , $\displaystyle 2\cdot 1\cdot 1=2$ și $\displaystyle 1\cdot 2\cdot(-3)=-6$ .
$\displaystyle 2m+2+(-6)$
Calculăm produsele pe diagonala secundară și pe cele două paralele cu ea, care se scad: $\displaystyle 1\cdot m\cdot 1=m$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-3)=-3$ și $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8$ .
$\displaystyle m+(-3)+8$
Scădem suma din pasul 2 din suma din pasul 1 și scriem determinantul ca o expresie cu toți termenii: $\displaystyle \det(A(m))=(2m-6+2)-(m-3+8)$ , adică fiecare termen apare cu semnul lui.
$\displaystyle \det(A(m))=2m+(-6)+2-m-(-3)-8$
Reducem termenii asemenea: termenii cu $\displaystyle m$ dau $\displaystyle 2m-m=m$ , iar numerele dau $\displaystyle -6+2+3-8=-9$ . Rezultă $\displaystyle \det(A(m))=m-9$ , pentru orice număr real $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \det(A(m))=m+5-14=m-9\text{, pentru orice număr real }m$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&m&1\\1&-3&2\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+2y+z=0\\2x+my+z=0\\x-3y+2z=0\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care sistemul de ecuații admite soluții diferite de

\displaystyle (0,0,0)

.

Vezi rezolvarea

Sistemul este omogen, deci are mereu soluția $\displaystyle (0,0,0)$ . Are și soluții nenule exact atunci când determinantul matricei sistemului este egal cu zero: $\displaystyle \det(A(m))=0$ .
$\displaystyle \det(A(m))=0$
Calculăm determinantul prin dezvoltare după prima linie: $\displaystyle \det(A(m))=1\cdot\begin{vmatrix}m&1\\-3&2\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}2&m\\1&-3\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det(A(m))=(2m+3)-2\cdot 3+(-6-m)$
Reducem termenii: $\displaystyle 2m+3-6-6-m=m-9$ . Condiția $\displaystyle \det(A(m))=0$ devine $\displaystyle m-9=0$ .
$\displaystyle \det(A(m))=m-9=0$
Din ecuația $\displaystyle m-9=0$ obținem $\displaystyle m=9$ . Pentru această valoare sistemul admite soluții diferite de $\displaystyle (0,0,0)$ .
$\displaystyle m=9$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&m&1\\1&-3&2\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+2y+z=0\\2x+my+z=0\\x-3y+2z=0\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Pentru

\displaystyle m=9

, se consideră

\displaystyle (x_0,y_0,z_0)

o soluție a sistemului de ecuații, cu

\displaystyle x_0

,

\displaystyle y_0

și

\displaystyle z_0

numere reale astfel încât

\displaystyle (x_0,y_0,z_0)\neq(0,0,0)

. Calculați

\displaystyle \frac{x_0^2+y_0^2-z_0^2}{x_0^2+y_0^2+z_0^2}

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle m=9$ matricea este $\displaystyle A(9)=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&9&1\\1&-3&2\end{pmatrix}$ . Dezvoltăm determinantul după prima linie.
$\displaystyle \det(A(9))=1\cdot(18+3)-2\cdot(4-1)+1\cdot(-6-9)=21-6-15=0$
Cum $\displaystyle \det(A(9))=0$ , sistemul omogen are și soluții nenule. Minorul din colțul stânga-sus este nenul, deci rangul este 2 și soluțiile depind de un singur parametru.
$\displaystyle \begin{vmatrix}1&2\\2&9\end{vmatrix}=5\neq 0\Rightarrow \operatorname{rang}(A(9))=2$
Scădem prima ecuație din a doua: $\displaystyle x+7y=0$ , deci $\displaystyle x=-7y$ . Din prima ecuație, $\displaystyle z=-x-2y=7y-2y=5y$ . Notăm $\displaystyle z=\alpha$ , cu $\displaystyle \alpha\neq 0$ , deci $\displaystyle y=\dfrac{\alpha}{5}$ și $\displaystyle x=-\dfrac{7\alpha}{5}$ .
$\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=\left(-\frac{7}{5}\alpha,\frac{1}{5}\alpha,\alpha\right)$ , $\displaystyle \ \alpha\in\mathbb{R}^*$
Verificăm a treia ecuație: $\displaystyle x_0-3y_0+2z_0=-\dfrac{7\alpha}{5}-\dfrac{3\alpha}{5}+2\alpha=0$ .
$\displaystyle -\frac{7\alpha}{5}-\frac{3\alpha}{5}+2\alpha=0$
Calculăm pătratele: $\displaystyle x_0^2=\dfrac{49\alpha^2}{25}$ , $\displaystyle y_0^2=\dfrac{\alpha^2}{25}$ , $\displaystyle z_0^2=\alpha^2$ . Înlocuim în raport.
$\displaystyle \frac{x_0^2+y_0^2-z_0^2}{x_0^2+y_0^2+z_0^2}=\frac{\frac{49\alpha^2}{25}+\frac{\alpha^2}{25}-\alpha^2}{\frac{49\alpha^2}{25}+\frac{\alpha^2}{25}+\alpha^2}$
Amplificăm cu $\displaystyle 25$ : numărătorul devine $\displaystyle 49\alpha^2+\alpha^2-25\alpha^2=25\alpha^2$ , iar numitorul $\displaystyle 49\alpha^2+\alpha^2+25\alpha^2=75\alpha^2$ . Simplificăm cu $\displaystyle \alpha^2\neq 0$ .
$\displaystyle \frac{25\alpha^2}{75\alpha^2}=\frac{1}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+5x+5y+20

.

Arătați că

\displaystyle 2*(-1)=23

.

Vezi rezolvarea

Legea este $\displaystyle x*y=xy+5x+5y+20$ . Pentru $\displaystyle 2*(-1)$ luăm $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=-1$ .
$\displaystyle x=2$ , $\displaystyle \ y=-1$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle 2*(-1)=2\cdot(-1)+5\cdot 2+5\cdot(-1)+20$ .
$\displaystyle 2*(-1)=2\cdot(-1)+5\cdot 2+5\cdot(-1)+20$
Calculăm produsele: $\displaystyle 2\cdot(-1)=-2$ , $\displaystyle 5\cdot 2=10$ , $\displaystyle 5\cdot(-1)=-5$ .
$\displaystyle -2+10+(-5)+20$
Adunăm termenii: $\displaystyle -2+10=8$ , apoi $\displaystyle 8-5=3$ , apoi $\displaystyle 3+20=23$ . Deci $\displaystyle 2*(-1)=23$ .
$\displaystyle 2*(-1)=-2+10-5+20=23$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+5x+5y+20

.

Demonstrați că

\displaystyle e=-4

este elementul neutru al legii de compoziție „

\displaystyle *

”.

Vezi rezolvarea

Amintim definiția elementului neutru: $\displaystyle e$ este element neutru dacă $\displaystyle x*e=e*x=x$ pentru orice $\displaystyle x$ întreg. Verificăm această egalitate pentru $\displaystyle e=-4$ .
$\displaystyle x*(-4)=(-4)*x=x$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{Z}$
Înlocuim $\displaystyle y$ cu $\displaystyle -4$ în definiția legii: $\displaystyle x*(-4)=x\cdot(-4)+5x+5\cdot(-4)+20$ .
$\displaystyle x*(-4)=x\cdot(-4)+5x+5\cdot(-4)+20$
Efectuăm înmulțirile și reducem termenii: $\displaystyle -4x+5x=x$ , iar $\displaystyle -20+20=0$ . Rezultă $\displaystyle x*(-4)=x$ .
$\displaystyle x*(-4)=-4x+5x-20+20=x$
Verificăm și cealaltă ordine, înlocuind pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -4$ și pe $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x$ în definiție: $\displaystyle (-4)*x=(-4)\cdot x+5\cdot(-4)+5x+20$ .
$\displaystyle (-4)*x=(-4)\cdot x+5\cdot(-4)+5x+20$
Reducem termenii: $\displaystyle -4x+5x=x$ , iar $\displaystyle -20+20=0$ . Deci $\displaystyle (-4)*x=x$ . Cum $\displaystyle x*(-4)=(-4)*x=x$ pentru orice $\displaystyle x$ întreg, $\displaystyle -4$ este elementul neutru.
$\displaystyle (-4)*x=-4x-20+5x+20=x\text{, deci }e=-4\text{ este elementul neutru}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+5x+5y+20

.

Pentru

\displaystyle r\in\{0,1,2\}

, notăm cu

\displaystyle A(r)

mulțimea numerelor naturale care au restul

\displaystyle r

la împărțirea cu

\displaystyle 3

. Determinați numerele

\displaystyle r\in\{0,1,2\}

pentru care

\displaystyle A(r)

este parte stabilă a lui

\displaystyle \mathbb{Z}

în raport cu legea de compoziție „

\displaystyle *

”.

Vezi rezolvarea

Rescriem legea de compoziție ca să calculele cu resturile să fie mai simple: $\displaystyle xy+5x+5y+20=(x+5)(y+5)-5$ . Deci $\displaystyle x*y=(x+5)(y+5)-5$ .
$\displaystyle x*y=(x+5)(y+5)-5$
Pentru $\displaystyle r=0$ : numărul $\displaystyle 0$ aparține lui $\displaystyle A(0)$ , deoarece $\displaystyle 0$ dă restul $\displaystyle 0$ la împărțirea cu $\displaystyle 3$ . Calculăm $\displaystyle 0*0=20$ . Dar $\displaystyle 20=3\cdot 6+2$ are restul $\displaystyle 2$ , deci $\displaystyle 20\notin A(0)$ . Așadar $\displaystyle A(0)$ nu este parte stabilă și $\displaystyle r=0$ nu convine.
$\displaystyle 0*0=20\text{, }0\in A(0)\text{ și }20\notin A(0)\Rightarrow r=0\text{ nu convine}$
Pentru $\displaystyle r=1$ : luăm două elemente oarecare din $\displaystyle A(1)$ , adică $\displaystyle x=3m+1$ și $\displaystyle y=3n+1$ , cu $\displaystyle m,n\in\mathbb{N}$ . Atunci $\displaystyle x+5=3m+6$ și $\displaystyle y+5=3n+6$ .
$\displaystyle x+5=3m+6$ , $\displaystyle \ y+5=3n+6$
Calculăm $\displaystyle x*y=(3m+6)(3n+6)-5=9mn+18m+18n+31$ . Scriem $\displaystyle 31=30+1$ și dăm factor comun $\displaystyle 3$ : $\displaystyle x*y=3(3mn+6m+6n+10)+1$ . Deci $\displaystyle x*y$ dă restul $\displaystyle 1$ la împărțirea cu $\displaystyle 3$ , adică $\displaystyle x*y\in A(1)$ . Rezultă că $\displaystyle r=1$ convine.
$\displaystyle x*y=9mn+18m+18n+31=3(3mn+6m+6n+10)+1\in A(1)\text{, deci }r=1\text{ convine}$
Pentru $\displaystyle r=2$ : luăm $\displaystyle x=3k+2$ și $\displaystyle y=3l+2$ , cu $\displaystyle k,l\in\mathbb{N}$ . Atunci $\displaystyle x+5=3k+7$ și $\displaystyle y+5=3l+7$ .
$\displaystyle x+5=3k+7$ , $\displaystyle \ y+5=3l+7$
Calculăm $\displaystyle x*y=(3k+7)(3l+7)-5=9kl+21k+21l+44$ . Scriem $\displaystyle 44=42+2$ și dăm factor comun $\displaystyle 3$ : $\displaystyle x*y=3(3kl+7k+7l+14)+2$ . Deci $\displaystyle x*y$ dă restul $\displaystyle 2$ , adică $\displaystyle x*y\in A(2)$ , iar $\displaystyle r=2$ convine. Concluzie: $\displaystyle A(r)$ este parte stabilă pentru $\displaystyle r=1$ și $\displaystyle r=2$ .
$\displaystyle x*y=9kl+21k+21l+44=3(3kl+7k+7l+14)+2\in A(2)\text{, deci }r\in\{1,2\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x-1)(e^x-e)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=xe^x-e

,

\displaystyle x\in(-1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un produs de două funcții derivabile: $\displaystyle u(x)=x-1$ și $\displaystyle v(x)=e^{x}-e$ . Aplicăm formula de derivare a produsului: $\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ .
$\displaystyle f'(x)=(x-1)'(e^{x}-e)+(x-1)(e^{x}-e)'$
Calculăm derivatele: $\displaystyle (x-1)'=1$ , iar $\displaystyle (e^{x}-e)'=e^{x}$ , deoarece $\displaystyle e$ este constantă și derivata ei este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle (x-1)'=1$ , $\displaystyle \quad (e^{x}-e)'=e^{x}$
Înlocuim derivatele în formula produsului.
$\displaystyle f'(x)=e^{x}-e+(x-1)e^{x}$
Desfacem parantezele: $\displaystyle (x-1)e^{x}=xe^{x}-e^{x}$ .
$\displaystyle f'(x)=e^{x}-e+xe^{x}-e^{x}$
Termenii $\displaystyle e^{x}$ și $\displaystyle -e^{x}$ se reduc, deci rămâne $\displaystyle xe^{x}-e$ , pentru orice $\displaystyle x\in(-1,+\infty)$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle f'(x)=xe^{x}-e\text{, }x\in(-1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x-1)(e^x-e)

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

, în punctul de abscisă

\displaystyle x=1

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$ : $\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ .
$\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)$
Calculăm $\displaystyle f(1)=(1-1)(e^{1}-e)=0\cdot 0$ .
$\displaystyle f(1)=0$
Derivăm cu regula produsului: $\displaystyle f'(x)=(x-1)'(e^x-e)+(x-1)(e^x-e)'=(e^x-e)+(x-1)e^x$ .
$\displaystyle f'(x)=e^{x}-e+(x-1)e^{x}$
Calculăm $\displaystyle f'(1)=(e-e)+(1-1)e=0+0$ .
$\displaystyle f'(1)=0$
Înlocuim $\displaystyle f(1)=0$ și $\displaystyle f'(1)=0$ în formula tangentei: $\displaystyle y-0=0\cdot(x-1)$ , deci tangenta este dreapta orizontală.
$\displaystyle y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x-1)(e^x-e)

.

Determinați punctul de extrem al funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Derivăm $\displaystyle f(x)=(x-1)(e^x-e)$ cu regula produsului: $\displaystyle f'(x)=(x-1)'(e^x-e)+(x-1)(e^x-e)'$ .
$\displaystyle f'(x)=(e^x-e)+(x-1)e^x=xe^x-e$
Semnul lui $\displaystyle f'$ nu se vede direct, așa că derivăm încă o dată: $\displaystyle f''(x)=(xe^x-e)'=e^x+xe^x$ .
$\displaystyle f''(x)=(x+1)e^x$
Pentru $\displaystyle x\in(-1,+\infty)$ avem $\displaystyle x+1>0$ și $\displaystyle e^x>0$ , deci $\displaystyle f''(x)>0$ . Rezultă că $\displaystyle f'$ este strict crescătoare pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ .
$\displaystyle f''(x)>0\text{, deci }f'\text{ strict crescătoare}$
Calculăm $\displaystyle f'(1)=1\cdot e^1-e=0$ . Cum $\displaystyle f'$ este strict crescătoare, pentru $\displaystyle x<1$ avem $\displaystyle f'(x)<f'(1)=0$ , iar pentru $\displaystyle x>1$ avem $\displaystyle f'(x)>0$ .
$\displaystyle f'(1)=0\text{, }f'(x)<0\text{ pentru }x\in(-1,1)\text{ și }f'(x)>0\text{ pentru }x\in(1,+\infty)$
Funcția $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe $\displaystyle (-1,1)$ și strict crescătoare pe $\displaystyle (1,+\infty)$ . Derivata își schimbă semnul din minus în plus în $\displaystyle x=1$ , deci acesta este punct de minim și singurul punct de extrem.
$\displaystyle x_0=1\text{ este punctul de extrem al }$ $\displaystyle \text{funcției }f$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{\ln(x+2)}{x^2+1}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{\ln(x+2)}dx=\frac{\pi}{4}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln(x+2)}{x^{2}+1}$ în expresia de sub integrală. Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle x+2\geq 2$ , deci $\displaystyle \ln(x+2)\neq 0$ și putem simplifica.
$\displaystyle \frac{f(x)}{\ln(x+2)}=\frac{\ln(x+2)}{(x^{2}+1)\ln(x+2)}$
După simplificarea cu $\displaystyle \ln(x+2)$ rămâne $\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1}$ , deci integrala devine integrala acestei fracții pe $\displaystyle [0,1]$ .
$\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{\ln(x+2)}dx=\int_0^1\frac{1}{x^{2}+1}dx$
O primitivă a funcției $\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1}$ este $\displaystyle \operatorname{arctg}x$ , deoarece $\displaystyle (\operatorname{arctg}x)'=\dfrac{1}{x^{2}+1}$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton pe $\displaystyle [0,1]$ .
$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x^{2}+1}dx=\operatorname{arctg}x\Big|_0^1$
Calculăm diferența valorilor în capete. Cum $\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}$ și $\displaystyle \operatorname{arctg}0=0$ , obținem $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{\ln(x+2)}{x^2+1}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt

.

Vezi rezolvarea

Scriem limita ca $\displaystyle \dfrac{\int_0^x f(t)\,dt}{x}$ . Pentru $\displaystyle x\to 0$ numitorul tinde la $\displaystyle 0$ . Și numărătorul tinde la $\displaystyle 0$ , deoarece $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle (-2,+\infty)$ și $\displaystyle \int_0^0 f(t)\,dt=0$ . Avem deci o nedeterminare de tipul $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(t)\,dt}{x}=\frac{0}{0}$
Aplicăm regula lui l'Hospital. Deoarece $\displaystyle f$ este continuă, $\displaystyle \left(\int_0^x f(t)\,dt\right)'=f(x)$ , iar $\displaystyle (x)'=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(t)\,dt}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{1}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+2)}{x^{2}+1}$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle 0$ , deci înlocuim $\displaystyle x=0$ : $\displaystyle \dfrac{\ln(0+2)}{0^{2}+1}=\dfrac{\ln 2}{1}$ . Limita cerută este $\displaystyle \ln 2$ .
$\displaystyle \ln 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{\ln(x+2)}{x^2+1}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1\left(f(x)+\frac{\operatorname{arctg}x}{x+2}\right)dx=\frac{\pi}{4}\ln 3

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln(x+2)}{x^{2}+1}$ în integrand și scriem fiecare termen ca produs: $\displaystyle \dfrac{\ln(x+2)}{x^{2}+1}=\dfrac{1}{x^{2}+1}\cdot\ln(x+2)$ și $\displaystyle \dfrac{\operatorname{arctg}x}{x+2}=\operatorname{arctg}x\cdot\dfrac{1}{x+2}$ .
$\displaystyle \int_0^1\left(\frac{1}{x^2+1}\cdot\ln(x+2)+\operatorname{arctg}x\cdot\frac{1}{x+2}\right)dx$
Folosim $\displaystyle (\operatorname{arctg}x)'=\dfrac{1}{x^{2}+1}$ și $\displaystyle (\ln(x+2))'=\dfrac{1}{x+2}$ . Din formula $\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv'$ rezultă că integrandul este derivata produsului $\displaystyle \operatorname{arctg}x\cdot\ln(x+2)$ .
$\displaystyle \int_0^1\left(\operatorname{arctg}x\cdot\ln(x+2)\right)'dx$
Aplicăm formula Leibniz-Newton, $\displaystyle \int_a^b F'(x)\,dx=F(b)-F(a)$ , pentru $\displaystyle F(x)=\operatorname{arctg}x\cdot\ln(x+2)$ pe intervalul $\displaystyle [0,1]$ .
$\displaystyle \operatorname{arctg}x\cdot\ln(x+2)\Big|_0^1=\operatorname{arctg}1\cdot\ln 3-\operatorname{arctg}0\cdot\ln 2$
Avem $\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}$ și $\displaystyle \operatorname{arctg}0=0$ , deci al doilea termen este $\displaystyle 0\cdot\ln 2=0$ . Rămâne $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\ln 3$ , adică exact valoarea cerută.
$\displaystyle \frac{\pi}{4}\cdot\ln 3-0\cdot\ln 2=\frac{\pi}{4}\ln 3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 17: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani