Bac matematică M1 mate-info 2018, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că numărul

\displaystyle n=\log_3\left(\sqrt{7}-2\right)+\log_3\left(\sqrt{7}+2\right)

este natural.

Vezi rezolvarea

Verificăm că argumentele logaritmilor sunt pozitive, deci logaritmii există. Deoarece $\displaystyle \sqrt{7}>\sqrt{4}=2$ , avem $\displaystyle \sqrt{7}-2>0$ , iar $\displaystyle \sqrt{7}+2>0$ evident.
$\displaystyle \sqrt{7}-2>0\text{ și }\sqrt{7}+2>0$
Folosim formula $\displaystyle \log_a x+\log_a y=\log_a (xy)$ , valabilă pentru $\displaystyle x,y>0$ , cu baza $\displaystyle a=3$ .
$\displaystyle n=\log_3\left(\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}+2\right)\right)$
Calculăm produsul cu formula $\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , unde $\displaystyle a=\sqrt{7}$ și $\displaystyle b=2$ . Obținem $\displaystyle \left(\sqrt{7}\right)^{2}-2^{2}=7-4$ .
$\displaystyle n=\log_3\left(7-4\right)=\log_3 3$
Deoarece $\displaystyle \log_a a=1$ , obținem $\displaystyle n=1$ , iar $\displaystyle 1$ este număr natural.
$\displaystyle \log_3 3=1\in\mathbb{N}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-1

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=x^2+6x+3

.

Vezi rezolvarea

Punctele de intersecție ale graficelor au aceeași abscisă și aceeași ordonată, deci egalăm expresiile celor două funcții: $\displaystyle f(x)=g(x)$ .
$\displaystyle 2x-1=x^{2}+6x+3$
Mutăm toți termenii în membrul drept și reducem termenii asemenea: $\displaystyle x^{2}+6x-2x+3+1=0$ .
$\displaystyle x^{2}+4x+4=0$
Observăm că membrul stâng este pătrat perfect: $\displaystyle (x+2)^{2}=0$ , deci ecuația are o singură soluție (dublă). Același rezultat se obține cu discriminantul: $\displaystyle \Delta=16-16=0$ .
$\displaystyle x=-2$
Calculăm ordonata punctului de intersecție, înlocuind abscisa în $\displaystyle f$ : $\displaystyle f(-2)=2\cdot(-2)-1=-5$ . Verificare: $\displaystyle g(-2)=4-12+3=-5$ , deci valorile coincid. Graficele se intersectează în punctul $\displaystyle (-2,-5)$ .
$\displaystyle x=-2\text{ și }y=f(-2)=-5$ , $\displaystyle \text{ adică punctul }(-2,-5)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle (x+2)^3=(2-x)^3

.

Vezi rezolvarea

Observăm că funcția cub, $\displaystyle f(t)=t^{3}$ , este injectivă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ (este strict crescătoare). Deci două numere reale au același cub doar dacă sunt egale: $\displaystyle a^{3}=b^{3}\Leftrightarrow a=b$ .
$\displaystyle a^{3}=b^{3}\Leftrightarrow a=b$
Aplicăm echivalența pentru $\displaystyle a=x+2$ și $\displaystyle b=2-x$ , deci egalăm bazele cuburilor.
$\displaystyle (x+2)^{3}=(2-x)^{3}\Leftrightarrow x+2=2-x$
Rezolvăm ecuația de gradul întâi: mutăm termenii cu $\displaystyle x$ în stânga și numerele în dreapta, deci $\displaystyle x+x=2-2$ , adică $\displaystyle 2x=0$ .
$\displaystyle 2x=0$
Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem soluția ecuației. Verificare: $\displaystyle (0+2)^{3}=8$ și $\displaystyle (2-0)^{3}=8$ , deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elemente ale mulțimii

\displaystyle \{0,2,4,6,8\}

.

Vezi rezolvarea

Un număr de două cifre are cifra zecilor nenulă, deci cifra zecilor nu poate fi $\displaystyle 0$ . Din mulțimea $\displaystyle \{0,2,4,6,8\}$ rămân cifrele $\displaystyle 2,4,6,8$ , adică $\displaystyle 4$ posibilități pentru cifra zecilor.
$\displaystyle 4$
Cifra unităților trebuie să fie diferită de cifra zecilor. Mulțimea are $\displaystyle 5$ elemente, iar unul este deja folosit, deci rămân $\displaystyle 5-1=4$ posibilități pentru cifra unităților. Aici poate apărea și cifra $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle 5-1=4$
Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de alegeri pentru cifra zecilor cu numărul de alegeri pentru cifra unităților. Se pot forma $\displaystyle 16$ numere.
$\displaystyle 4\cdot 4=16$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Punctele

\displaystyle M

,

\displaystyle N

și

\displaystyle P

verifică relația

\displaystyle 2\overrightarrow{MN}+3\overrightarrow{NP}=\vec{0}

. Calculați lungimea segmentului

\displaystyle MP

, știind că

\displaystyle MN=3

.

Vezi rezolvarea

Din relația $\displaystyle 2\overrightarrow{MN}+3\overrightarrow{NP}=\vec{0}$ obținem $\displaystyle 3\overrightarrow{NP}=-2\overrightarrow{MN}$ , deci $\displaystyle \overrightarrow{NP}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MN}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{NP}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MN}$
Luăm lungimile vectorilor: $\displaystyle NP=\dfrac{2}{3}\cdot MN=\dfrac{2}{3}\cdot 3$ , deci $\displaystyle NP=2$ .
$\displaystyle NP=\dfrac{2}{3}\cdot 3=2$
Deoarece $\displaystyle -\dfrac{2}{3}<0$ , vectorii $\displaystyle \overrightarrow{NP}$ și $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ au sensuri opuse. Din N mergem spre M pe distanța $\displaystyle NP=2<3=MN$ , deci P se află pe segmentul $\displaystyle MN$ , între M și N.
$\displaystyle P\in (MN)$
Cum P este pe segmentul $\displaystyle MN$ , avem $\displaystyle MP+PN=MN$ , deci $\displaystyle MP=MN-NP=3-2=1$ .
$\displaystyle MP=MN-NP=3-2=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \sin x+\sin(\pi-x)+\sin(\pi+x)+\sin(2\pi-x)=0

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula de reducere la primul cadran pentru sinus: $\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x$ , deoarece unghiurile $\displaystyle x$ și $\displaystyle \pi-x$ sunt suplementare.
$\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x$
Pentru $\displaystyle \sin(\pi+x)$ , folosim faptul că adăugarea lui $\displaystyle \pi$ schimbă semnul sinusului: $\displaystyle \sin(\pi+x)=-\sin x$ .
$\displaystyle \sin(\pi+x)=-\sin x$
Pentru $\displaystyle \sin(2\pi-x)$ , folosim periodicitatea și imparitatea sinusului: $\displaystyle \sin(2\pi-x)=\sin(-x)=-\sin x$ . Am obținut astfel toate cele trei reduceri.
$\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x$ , $\displaystyle \ \sin(\pi+x)=-\sin x$ , $\displaystyle \ \sin(2\pi-x)=-\sin x$
Înlocuim aceste valori în suma din enunț.
$\displaystyle \sin x+\sin x+(-\sin x)+(-\sin x)$
Reducem termenii: doi termeni sunt $\displaystyle \sin x$ , iar doi sunt $\displaystyle -\sin x$ , deci suma este zero pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \sin x+\sin x-\sin x-\sin x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x&y&1\\1&x&y\\x&1&y\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Arătați că

\displaystyle \det(A(2,3))=12

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=3$ în matricea $\displaystyle A(x,y)$ și scriem determinantul obținut.
$\displaystyle \det(A(2,3))=\begin{vmatrix}2&3&1\\1&2&3\\2&1&3\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt produsul elementelor de pe diagonala principală și produsele elementelor din cele două triunghiuri paralele cu ea: $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 3$ , $\displaystyle 3\cdot 3\cdot 2$ și $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ .
$\displaystyle 2\cdot 2\cdot 3+3\cdot 3\cdot 2+1\cdot 1\cdot 1=12+18+1$
Termenii cu minus sunt produsul elementelor de pe diagonala secundară și produsele elementelor din cele două triunghiuri paralele cu ea: $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 2$ , $\displaystyle 2\cdot 3\cdot 1$ și $\displaystyle 3\cdot 1\cdot 3$ .
$\displaystyle 1\cdot 2\cdot 2+2\cdot 3\cdot 1+3\cdot 1\cdot 3=4+6+9$
Scădem suma termenilor negativi din suma termenilor pozitivi: $\displaystyle 31-19=12$ . Deci determinantul este egal cu $\displaystyle 12$ .
$\displaystyle 12+1+18-4-6-9=31-19=12$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x&y&1\\1&x&y\\x&1&y\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Demonstrați că

\displaystyle \det\left(A(n^2,n)\right)\ge 0

, pentru orice număr natural

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=n^{2}$ și $\displaystyle y=n$ în matricea $\displaystyle A(x,y)$ și obținem determinantul de calculat.
$\displaystyle \det(A(n^2,n))=\begin{vmatrix}n^2&n&1\\1&n^2&n\\n^2&1&n\end{vmatrix}$
Observăm că pe fiecare linie suma elementelor este aceeași, $\displaystyle n^2+n+1$ . Adunăm coloanele a doua și a treia la prima coloană, iar prima coloană devine formată din această sumă.
$\displaystyle \begin{vmatrix}n^2+n+1&n&1\\n^2+n+1&n^2&n\\n^2+n+1&1&n\end{vmatrix}$
Scoatem factor comun $\displaystyle n^2+n+1$ de pe prima coloană, iar în locul ei rămân numai de $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle (n^2+n+1)\begin{vmatrix}1&n&1\\1&n^2&n\\1&1&n\end{vmatrix}$
Scădem prima linie din a doua și din a treia linie, ca să obținem zerouri sub elementul $\displaystyle 1$ din colțul stânga sus.
$\displaystyle \det(A(n^2,n))=(n^2+n+1)\begin{vmatrix}1&n&1\\0&n^2-n&n-1\\0&1-n&n-1\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după prima coloană. Rămâne un determinant de ordinul doi, înmulțit cu $\displaystyle n^2+n+1$ .
$\displaystyle (n^2+n+1)\left[(n^2-n)(n-1)-(n-1)(1-n)\right]$
Scoatem factor comun $\displaystyle n-1$ : $\displaystyle (n^2-n)(n-1)-(n-1)(1-n)=(n-1)\left[n(n-1)+(n-1)\right]$ . Apoi $\displaystyle n(n-1)+(n-1)=(n-1)(n+1)$ .
$\displaystyle \det(A(n^2,n))=(n^2+n+1)(n-1)^2(n+1)$
Verificăm semnul fiecărui factor pentru $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ : $\displaystyle n^2+n+1>0$ , $\displaystyle (n-1)^2\ge 0$ și $\displaystyle n+1>0$ . Produsul lor este deci nenegativ, iar afirmația este demonstrată.
$\displaystyle (n^2+n+1)(n-1)^2(n+1)\ge 0\text{, deci }\det(A(n^2,n))\ge 0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x&y&1\\1&x&y\\x&1&y\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care inversa matricei

\displaystyle B=A(x,0)\cdot A(x,0)

este matricea

\displaystyle A(x,0)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle y=0$ în matricea dată și obținem matricea $\displaystyle A(x,0)$ .
$\displaystyle A(x,0)=\begin{pmatrix}x&0&1\\1&x&0\\x&1&0\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle B=A(x,0)\cdot A(x,0)$ , linie cu linie. Prima linie este $\displaystyle x\cdot(x,0,1)+(x,1,0)=(x^2+x,1,x)$ . A doua linie este $\displaystyle (x,0,1)+x\cdot(1,x,0)=(2x,x^2,1)$ . A treia linie este $\displaystyle x\cdot(x,0,1)+(1,x,0)=(x^2+1,x,x)$ .
$\displaystyle B=\begin{pmatrix}x^2+x&1&x\\2x&x^2&1\\x^2+1&x&x\end{pmatrix}$
Dacă inversa lui $\displaystyle B$ este $\displaystyle A(x,0)$ , atunci $\displaystyle B\cdot A(x,0)=I_3$ . Calculăm produsul linie cu linie. De exemplu, prima linie este $\displaystyle (x^2+x)(x,0,1)+1\cdot(1,x,0)+x\cdot(x,1,0)=(x^3+2x^2+1,\,2x,\,x^2+x)$ . Celelalte linii se calculează la fel.
$\displaystyle B\cdot A(x,0)=\begin{pmatrix}x^3+2x^2+1&2x&x^2+x\\3x^2+x&x^3+1&2x\\x^3+x^2+2x&x^2+x&x^2+1\end{pmatrix}$
Impunem $\displaystyle B\cdot A(x,0)=I_3$ . Elementul de pe linia 1, coloana 2 trebuie să fie $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle 2x=0$ .
$\displaystyle 2x=0\Rightarrow x=0$
Verificăm pentru $\displaystyle x=0$ : matricea $\displaystyle B\cdot A(0,0)$ are pe diagonală $\displaystyle 1,1,1$ , iar celelalte elemente sunt $\displaystyle 0$ . Deci $\displaystyle B\cdot A(0,0)=I_3$ . Cum $\displaystyle B=A\cdot A$ , avem și $\displaystyle A\cdot B=A^3=B\cdot A=I_3$ , deci $\displaystyle A(0,0)$ este inversa lui $\displaystyle B$ .
$\displaystyle B\cdot A(x,0)=A(x,0)\cdot B=I_3\text{, deci }x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=nX^n+X^2-nX-1

, unde

\displaystyle n

este număr natural,

\displaystyle n\ge 3

.

Arătați că

\displaystyle f(1)=0

, pentru orice număr natural

\displaystyle n

,

\displaystyle n\ge 3

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 1$ în expresia polinomului $\displaystyle f=nX^n+X^2-nX-1$ .
$\displaystyle f(1)=n\cdot 1^n+1^2-n\cdot 1-1$
Orice putere a lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle 1$ , deci $\displaystyle 1^n=1$ și $\displaystyle 1^2=1$ . Produsele cu $\displaystyle 1$ nu schimbă valoarea: $\displaystyle n\cdot 1=n$ .
$\displaystyle f(1)=n+1-n-1$
Reducem termenii opuși: $\displaystyle n-n=0$ și $\displaystyle 1-1=0$ . Rezultă $\displaystyle f(1)=0$ pentru orice $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ , $\displaystyle n\ge 3$ .
$\displaystyle n+1-n-1=0\text{, deci }f(1)=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=nX^n+X^2-nX-1

, unde

\displaystyle n

este număr natural,

\displaystyle n\ge 3

.

Arătați că, dacă

\displaystyle n

este număr natural impar,

\displaystyle n\ge 3

, atunci polinomul

\displaystyle f

este divizibil cu

\displaystyle X^2-1

.

Vezi rezolvarea

Descompunem $\displaystyle X^2-1=(X-1)(X+1)$ . Factorii sunt prime între ei, deci este suficient să arătăm că $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -1$ sunt rădăcini ale lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle X^2-1=(X-1)(X+1)$
Calculăm $\displaystyle f(-1)$ înlocuind $\displaystyle X$ cu $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle f(-1)=n\cdot(-1)^n+(-1)^2-n\cdot(-1)-1$
Cum $\displaystyle n$ este impar, $\displaystyle (-1)^n=-1$ , iar $\displaystyle (-1)^2=1$ . Înlocuim și reducem termenii: $\displaystyle -n+1+n-1=0$ .
$\displaystyle f(-1)=-n+1+n-1=0$
Calculăm $\displaystyle f(1)$ : $\displaystyle 1$ la orice putere este $\displaystyle 1$ , deci $\displaystyle f(1)=n\cdot 1^n+1^2-n\cdot 1-1=n+1-n-1=0$ . Așadar $\displaystyle 1$ este rădăcină a lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f(1)=n+1-n-1=0$
Deoarece $\displaystyle f(1)=0$ și $\displaystyle f(-1)=0$ , $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X-1$ și cu $\displaystyle X+1$ . Acestea fiind prime între ele, $\displaystyle f$ se divide cu produsul lor, adică cu $\displaystyle X^2-1$ .
$\displaystyle f(1)=0\Rightarrow f\text{ divizibil cu }X-1\text{, deci }f\text{ divizibil cu }X^2-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=nX^n+X^2-nX-1

, unde

\displaystyle n

este număr natural,

\displaystyle n\ge 3

.

Arătați că, pentru orice număr natural

\displaystyle n

,

\displaystyle n\ge 5

, polinomul

\displaystyle f

nu are rădăcini în mulțimea

\displaystyle \mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}

.

Vezi rezolvarea

Presupunem prin absurd că $\displaystyle f$ are o rădăcină rațională neîntreagă. O scriem ca fracție ireductibilă $\displaystyle \dfrac{p}{q}$ , cu $\displaystyle q>1$ . Conform teoremei rădăcinilor raționale, $\displaystyle p$ divide termenul liber $\displaystyle -1$ , deci $\displaystyle p\in\{-1,1\}$ , iar $\displaystyle q$ divide coeficientul dominant $\displaystyle n$ . Notăm cu $\displaystyle d$ numărul $\displaystyle q$ , cu semnul lui $\displaystyle p$ inclus, deci $\displaystyle d$ poate fi și negativ. Atunci rădăcina este $\displaystyle \alpha=\dfrac{1}{d}$ , cu $\displaystyle d\in\mathbb{Z}^*$ , $\displaystyle d\neq\pm1$ (altfel rădăcina ar fi întreagă), iar $\displaystyle d$ este divizor al lui $\displaystyle n$ .
$\displaystyle \alpha=\frac{1}{d}$ , $\displaystyle \ d\in\mathbb{Z}^*\setminus\{\pm 1\}$ , $\displaystyle \ d\mid n$
Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle \dfrac{1}{d}$ în $\displaystyle f$ și punem condiția $\displaystyle f(\alpha)=0$ .
$\displaystyle \frac{n}{d^{n}}+\frac{1}{d^{2}}-\frac{n}{d}-1=0$
Înmulțim egalitatea cu $\displaystyle d^{n}\neq0$ ca să scăpăm de numitori și obținem $\displaystyle n+d^{n-2}-nd^{n-1}-d^{n}=0$ . Mutăm termenii cu $\displaystyle d$ în partea cealaltă și dăm factor comun $\displaystyle d^{n-2}$ .
$\displaystyle n=d^{n}+nd^{n-1}-d^{n-2}=d^{n-2}\left(d^{2}+nd-1\right)$
Deoarece $\displaystyle d^{2}+nd-1$ este număr întreg, egalitatea arată că $\displaystyle d^{n-2}$ divide $\displaystyle n$ . Cum $\displaystyle n\neq0$ , un divizor al lui $\displaystyle n$ are valoarea absolută cel mult $\displaystyle n$ .
$\displaystyle d^{n-2}\mid n\Rightarrow |d|^{n-2}\le n$
Cum $\displaystyle d$ este întreg și $\displaystyle d\notin\{-1,0,1\}$ , avem $\displaystyle |d|\ge 2$ . Deci, pentru $\displaystyle n\ge5$ , $\displaystyle |d|^{n-2}\ge 2^{n-2}$ .
$\displaystyle |d|^{n-2}\ge 2^{n-2}$
Arătăm prin inducție că $\displaystyle 2^{n-2}>n$ pentru $\displaystyle n\ge5$ . Pentru $\displaystyle n=5$ avem $\displaystyle 2^{3}=8>5$ . Dacă $\displaystyle 2^{n-2}>n$ , atunci $\displaystyle 2^{n-1}=2\cdot2^{n-2}>2n\ge n+1$ , deci inegalitatea rămâne adevărată și pentru $\displaystyle n+1$ .
$\displaystyle 2^{n-2}>n$ , $\displaystyle \ \forall n\ge5$
Din pașii anteriori rezultă $\displaystyle |d|^{n-2}\ge2^{n-2}>n$ . Dar mai sus am obținut $\displaystyle |d|^{n-2}\le n$ . Aceasta este o contradicție, deci presupunerea făcută este falsă și $\displaystyle f$ nu are rădăcini în $\displaystyle \mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}$ .
$\displaystyle |d|^{n-2}\ge 2^{n-2}>n\text{, contradicție}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x-x

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=-\frac{x^2}{x^2+1}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x-x$ este o diferență, deci o derivăm termen cu termen: $\displaystyle f'(x)=(\operatorname{arctg}x)'-(x)'$ .
$\displaystyle f'(x)=(\operatorname{arctg}x)'-(x)'$
Folosim derivatele cunoscute $\displaystyle (\operatorname{arctg}x)'=\dfrac{1}{x^{2}+1}$ și $\displaystyle (x)'=1$ , deci $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}-1$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x^{2}+1}-1$
Aducem la același numitor, scriind $\displaystyle 1=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}$ (numitorul $\displaystyle x^{2}+1$ este nenul pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ ): $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}-\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}=\dfrac{1-(x^{2}+1)}{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{1-(x^{2}+1)}{x^{2}+1}$
Desfacem paranteza la numărător: $\displaystyle 1-x^{2}-1=-x^{2}$ . Deci $\displaystyle f'(x)=-\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}$ , pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{1-x^{2}-1}{x^{2}+1}=-\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x-x

.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ are ecuația $\displaystyle y=mx+n$ , unde $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ și $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)$ . Începem cu panta $\displaystyle m$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$
Înlocuim $\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x-x$ și împărțim fiecare termen la $\displaystyle x$ . Funcția $\displaystyle \operatorname{arctg}$ este mărginită, $\displaystyle \operatorname{arctg}x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ , deci $\displaystyle \dfrac{\operatorname{arctg}x}{x}\to 0$ , iar limita este $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\operatorname{arctg}x}{x}-1\right)=0-1=-1$
Cu $\displaystyle m=-1$ , calculăm $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)+x\right)$ . Termenii $\displaystyle -x$ și $\displaystyle x$ se reduc.
$\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(\operatorname{arctg}x-x+x)=\lim_{x\to+\infty}\operatorname{arctg}x$
Limita $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\operatorname{arctg}x=\dfrac{\pi}{2}$ , deci $\displaystyle n=\dfrac{\pi}{2}$ . Ecuația asimptotei oblice este $\displaystyle y=-x+\dfrac{\pi}{2}$ .
$\displaystyle n=\frac{\pi}{2}\text{, deci }y=-x+\frac{\pi}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x-x

.

Demonstrați că

\displaystyle f(x)+g(x)=\frac{\pi}{2}

, pentru orice număr real

\displaystyle x

, unde

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=\operatorname{arcctg}x+x

.

Vezi rezolvarea

Adunăm cele două funcții: $\displaystyle f(x)+g(x)=\operatorname{arctg}x-x+\operatorname{arcctg}x+x$ . Termenii $\displaystyle -x$ și $\displaystyle x$ se reduc.
$\displaystyle f(x)+g(x)=\operatorname{arctg}x+\operatorname{arcctg}x$
Notăm $\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)$ , definită pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Derivatele sunt $\displaystyle (\operatorname{arctg}x)'=\dfrac{1}{x^{2}+1}$ și $\displaystyle (\operatorname{arcctg}x)'=-\dfrac{1}{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle (f(x)+g(x))'=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{-1}{x^{2}+1}=0$
Cum $\displaystyle h'(x)=0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , iar $\displaystyle \mathbb{R}$ este un interval, funcția $\displaystyle h$ este constantă: $\displaystyle h(x)=c$ pentru orice $\displaystyle x$ .
$\displaystyle f(x)+g(x)=c$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Aflăm constanta evaluând în $\displaystyle x=0$ : $\displaystyle \operatorname{arctg}0=0$ și $\displaystyle \operatorname{arcctg}0=\dfrac{\pi}{2}$ , deci $\displaystyle c=f(0)+g(0)=0-0+\dfrac{\pi}{2}+0$ . Rezultă $\displaystyle f(x)+g(x)=\dfrac{\pi}{2}$ pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle f(0)+g(0)=\frac{\pi}{2}\text{, deci }f(x)+g(x)=\frac{\pi}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^{-x^2}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 f\left(\sqrt{x}\right)dx=\frac{e-1}{e}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle \sqrt{x}$ în $\displaystyle f(x)=e^{-x^2}$ . Deoarece $\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)^2=x$ pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ , obținem $\displaystyle f\left(\sqrt{x}\right)=e^{-x}$ .
$\displaystyle f\left(\sqrt{x}\right)=e^{-\left(\sqrt{x}\right)^{2}}=e^{-x}$
Integrala devine $\displaystyle \int_0^1 e^{-x}dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle e^{-x}$ este $\displaystyle -e^{-x}$ , pentru că $\displaystyle \left(-e^{-x}\right)'=e^{-x}$ .
$\displaystyle \int_0^1 f\left(\sqrt{x}\right)dx=\int_0^1 e^{-x}dx=-e^{-x}\Big|_0^1$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle -e^{-x}\Big|_0^1=-e^{-1}-\left(-e^{0}\right)$ .
$\displaystyle -e^{-1}-\left(-e^{0}\right)=-\frac{1}{e}+1$
Aducem la același numitor: $\displaystyle -\dfrac{1}{e}+1=\dfrac{-1+e}{e}=\dfrac{e-1}{e}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle -\frac{1}{e}+1=\frac{e-1}{e}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^{-x^2}

.

Arătați că orice primitivă a funcției

\displaystyle f

este concavă pe

\displaystyle (0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Fie $\displaystyle F$ o primitivă oarecare a lui $\displaystyle f$ pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Din definiția primitivei, derivata lui $\displaystyle F$ este $\displaystyle f$ , adică $\displaystyle F'(x)=e^{-x^{2}}$ .
$\displaystyle F'(x)=f(x)=e^{-x^{2}}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$
Pentru a studia concavitatea lui $\displaystyle F$ , calculăm derivata a doua, adică derivata lui $\displaystyle f$ . Folosim derivata funcției compuse: $\displaystyle \left(e^{u}\right)'=e^{u}\cdot u'$ , iar pentru $\displaystyle u=-x^{2}$ avem $\displaystyle u'=-2x$ .
$\displaystyle F''(x)=f'(x)=e^{-x^{2}}\cdot\left(-x^{2}\right)'=-2x\,e^{-x^{2}}$
Studiem semnul lui $\displaystyle F''$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ . Pentru $\displaystyle x>0$ avem $\displaystyle 2x>0$ , iar $\displaystyle e^{-x^{2}}>0$ pentru orice $\displaystyle x$ , deci produsul $\displaystyle 2x\,e^{-x^{2}}$ este pozitiv, iar cu semnul minus rezultă $\displaystyle F''(x)<0$ .
$\displaystyle F''(x)=-2x\,e^{-x^{2}}<0\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)$
Deoarece $\displaystyle F''(x)<0$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , funcția $\displaystyle F$ este concavă pe $\displaystyle (0,+\infty)$ . Cum $\displaystyle F$ a fost aleasă arbitrar, concluzia este valabilă pentru orice primitivă a lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle F''(x)=-2xe^{-x^{2}}<0\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este concavă pe }(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^{-x^2}

.

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(x)dx

. Demonstrați că șirul

\displaystyle (I_n)_{n\ge 1}

este convergent.

Vezi rezolvarea

Scriem diferența a doi termeni consecutivi: $\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_{\frac{1}{n+1}}^{1}f(x)dx-\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(x)dx$ . Cum $\displaystyle \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}<1$ , prima integrală se desparte în integrala pe $\displaystyle \left[\dfrac{1}{n+1},\dfrac{1}{n}\right]$ plus integrala pe $\displaystyle \left[\dfrac{1}{n},1\right]$ , deci rămâne doar prima parte.
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(x)dx$
Avem $\displaystyle f(x)=e^{-x^2}>0$ pentru orice $\displaystyle x$ , iar limita inferioară $\displaystyle \dfrac{1}{n+1}$ este mai mică decât cea superioară $\displaystyle \dfrac{1}{n}$ . Deci integrala este pozitivă, adică $\displaystyle I_{n+1}\ge I_n$ , iar șirul $\displaystyle (I_n)$ este crescător.
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(x)dx\ge 0\text{, deci }I_{n+1}\ge I_n$
Pentru marginea inferioară: $\displaystyle e^{-x^2}>0$ și $\displaystyle \dfrac{1}{n}\le 1$ , deci $\displaystyle I_n=\int_{\frac{1}{n}}^{1}e^{-x^2}dx\ge 0$ .
$\displaystyle I_n\ge 0$
Pentru marginea superioară: $\displaystyle x^2\ge 0$ , deci $\displaystyle -x^2\le 0$ și $\displaystyle e^{-x^2}\le e^0=1$ . Integrând inegalitatea pe $\displaystyle \left[\dfrac{1}{n},1\right]$ , obținem $\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{1}e^{-x^2}dx\le\int_{\frac{1}{n}}^{1}1\,dx$ .
$\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{1}e^{-x^2}dx\le\int_{\frac{1}{n}}^{1}1\,dx$
Calculăm $\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{1}1\,dx=1-\dfrac{1}{n}<1$ . Împreună cu marginea inferioară, obținem că șirul este mărginit.
$\displaystyle 0\le I_n=\int_{\frac{1}{n}}^{1}e^{-x^2}dx\le\int_{\frac{1}{n}}^{1}1dx=1-\frac{1}{n}<1$
Șirul $\displaystyle (I_n)_{n\ge 1}$ este crescător și mărginit ( $\displaystyle 0\le I_n<1$ ), deci, conform teoremei lui Weierstrass (orice șir monoton și mărginit este convergent), este convergent.
$\displaystyle \text{Șirul }(I_n)_{n\ge 1}\text{ este convergent}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2018, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani