Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 13: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați rația progresiei geometrice

\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}

, știind că

\displaystyle b_1=2

și

\displaystyle b_3-4b_2=-8

.

Vezi rezolvarea

Într-o progresie geometrică cu rația $\displaystyle q$ , fiecare termen se obține înmulțind termenul precedent cu $\displaystyle q$ . Scriem $\displaystyle b_2$ și $\displaystyle b_3$ în funcție de $\displaystyle b_1=2$ și de $\displaystyle q$ : $\displaystyle b_2=b_1q$ și $\displaystyle b_3=b_1q^{2}$ .
$\displaystyle b_2=2q\text{ și }b_3=2q^{2}$
Înlocuim $\displaystyle b_2$ și $\displaystyle b_3$ în relația dată $\displaystyle b_3-4b_2=-8$ .
$\displaystyle 2q^{2}-4\cdot 2q=-8$
Simplificăm și aducem toți termenii în partea stângă: $\displaystyle 2q^{2}-8q+8=0$ .
$\displaystyle 2q^{2}-8q+8=0$
Împărțim ecuația la $\displaystyle 2$ și obținem o ecuație de gradul al doilea mai simplă.
$\displaystyle q^{2}-4q+4=0$
Recunoaștem pătratul unei diferențe: $\displaystyle q^{2}-4q+4=(q-2)^{2}$ . Deci $\displaystyle (q-2)^{2}=0$ , de unde $\displaystyle q=2$ . Rația progresiei este $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle q=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+m

, unde

\displaystyle m

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle m

, știind că punctul

\displaystyle A(f(1),1)

aparține graficului funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle (a,b)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$ dacă și numai dacă $\displaystyle f(a)=b$ . Pentru punctul $\displaystyle A(f(1),1)$ , abscisa este $\displaystyle f(1)$ , iar ordonata este $\displaystyle 1$ , deci condiția devine $\displaystyle f(f(1))=1$ .
$\displaystyle A(f(1),1)\in G_f \Leftrightarrow f(f(1))=1$
Calculăm $\displaystyle f(1)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 1$ în $\displaystyle f(x)=x+m$ : $\displaystyle f(1)=1+m$ .
$\displaystyle f(1)=1+m$
Calculăm $\displaystyle f(f(1))$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle f(1)$ : $\displaystyle f(f(1))=f(1)+m$ . Cum $\displaystyle f(1)=1+m$ , obținem $\displaystyle f(f(1))=1+m+m=2m+1$ .
$\displaystyle f(f(1))=f(1)+m=2m+1$
Punem condiția $\displaystyle f(f(1))=1$ , adică $\displaystyle 2m+1=1$ . Scăzând $\displaystyle 1$ din ambii membri obținem $\displaystyle 2m=0$ , deci $\displaystyle m=0$ .
$\displaystyle f(1)+m=1\Leftrightarrow 2m+1=1\text{, deci }m=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x+1}

.

Vezi rezolvarea

Stabilim condițiile de existență: numitorul trebuie să fie nenul, deci $\displaystyle x-1>0$ , adică $\displaystyle x>1$ . Atunci și $\displaystyle x+1>0$ , deci și al doilea radical există.
$\displaystyle x\in(1,+\infty)$
Înmulțim ecuația cu $\displaystyle \sqrt{x-1}$ , care este nenul: $\displaystyle x^{2}-1=\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x-1}$ .
$\displaystyle x^{2}-1=\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x-1}$
Pentru $\displaystyle x>1$ ambii radicali există, deci $\displaystyle \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}-1}$ și ecuația devine $\displaystyle x^{2}-1=\sqrt{x^{2}-1}$ .
$\displaystyle x^{2}-1=\sqrt{x^{2}-1}$
Notăm $\displaystyle t=\sqrt{x^{2}-1}\ge 0$ . Ecuația devine $\displaystyle t^{2}=t$ , adică $\displaystyle t(t-1)=0$ , deci $\displaystyle t=0$ sau $\displaystyle t=1$ . Revenind, $\displaystyle \sqrt{x^{2}-1}=0$ sau $\displaystyle \sqrt{x^{2}-1}=1$ , adică $\displaystyle x^{2}-1=0$ sau $\displaystyle x^{2}-1=1$ .
$\displaystyle x^{2}-1=0\text{ sau }x^{2}-1=1$
Din $\displaystyle x^{2}=1$ obținem $\displaystyle x=-1$ sau $\displaystyle x=1$ , iar din $\displaystyle x^{2}=2$ obținem $\displaystyle x=-\sqrt{2}$ sau $\displaystyle x=\sqrt{2}$ .
$\displaystyle x\in\{-\sqrt{2},-1,1,\sqrt{2}\}$
Verificăm condiția $\displaystyle x>1$ . Numerele $\displaystyle -\sqrt{2}$ , $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 1$ nu o respectă, deci nu convin. Cum $\displaystyle \sqrt{2}>1$ , numărul $\displaystyle \sqrt{2}$ convine. Soluția ecuației este $\displaystyle x=\sqrt{2}$ .
$\displaystyle x=-\sqrt{2}\text{, care nu convine, sau }x=-1\text{, care nu convine, sau }x=1\text{, care nu convine, sau }x=\sqrt{2}\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați numărul numerelor naturale de trei cifre care au proprietatea că pătratul cifrei zecilor este egal cu diferența dintre cifra unităților și cifra sutelor.

Vezi rezolvarea

Notăm numărul cu $\displaystyle \overline{abc}$ , unde $\displaystyle a$ este cifra sutelor, $\displaystyle b$ cifra zecilor și $\displaystyle c$ cifra unităților. Avem $\displaystyle a\in\{1,\dots,9\}$ și $\displaystyle b,c\in\{0,\dots,9\}$ . Condiția din enunț este $\displaystyle b^{2}=c-a$ .
$\displaystyle b^{2}=c-a$
Deoarece $\displaystyle c\le 9$ și $\displaystyle a\ge 1$ , avem $\displaystyle c-a\le 9-1=8$ . Deci $\displaystyle b^{2}\le 8$ . Cum $\displaystyle 3^{2}=9>8$ , rămân doar valorile $\displaystyle b\in\{0,1,2\}$ .
$\displaystyle b^{2}\leq 8\text{, deci }b\in\{0,1,2\}$
Cazul $\displaystyle b=0$ : condiția devine $\displaystyle 0=c-a$ , adică $\displaystyle c=a$ . Cifra $\displaystyle a$ poate fi oricare din $\displaystyle 1,2,\dots,9$ , iar $\displaystyle c$ este determinată. Obținem $\displaystyle 9$ numere (de exemplu $\displaystyle 101$ , $\displaystyle 202$ , $\displaystyle \dots$ , $\displaystyle 909$ ).
$\displaystyle b=0\Rightarrow c=a\text{, adică }9\text{ numere}$
Cazul $\displaystyle b=1$ : condiția devine $\displaystyle 1=c-a$ , adică $\displaystyle c=a+1$ . Cum $\displaystyle c\le 9$ , rezultă $\displaystyle a\le 8$ . Deci $\displaystyle a\in\{1,\dots,8\}$ și obținem $\displaystyle 8$ numere.
$\displaystyle b=1\Rightarrow c=a+1\text{, adică }8\text{ numere}$
Cazul $\displaystyle b=2$ : condiția devine $\displaystyle 4=c-a$ , adică $\displaystyle c=a+4$ . Cum $\displaystyle c\le 9$ , rezultă $\displaystyle a\le 5$ . Deci $\displaystyle a\in\{1,\dots,5\}$ și obținem $\displaystyle 5$ numere.
$\displaystyle b=2\Rightarrow c=a+4\text{, adică }5\text{ numere}$
Cazurile sunt disjuncte, pentru că $\displaystyle b$ diferă de la un caz la altul. Adunăm: $\displaystyle 9+8+5=22$ . Deci există $\displaystyle 22$ de numere cu proprietatea cerută.
$\displaystyle 9+8+5=22$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,1)

și

\displaystyle H(3,2)

. Știind că

\displaystyle H

este ortocentrul triunghiului

\displaystyle ABC

, determinați panta dreptei

\displaystyle BC

.

Vezi rezolvarea

Deoarece $\displaystyle H$ este ortocentrul triunghiului $\displaystyle ABC$ , dreapta $\displaystyle AH$ este înălțimea din $\displaystyle A$ , deci este perpendiculară pe $\displaystyle BC$ . Ca să aflăm panta lui $\displaystyle BC$ , calculăm mai întâi panta dreptei $\displaystyle AH$ cu formula $\displaystyle m_{AH}=\dfrac{y_H-y_A}{x_H-x_A}$ .
$\displaystyle m_{AH}=\dfrac{y_H-y_A}{x_H-x_A}$
Înlocuim coordonatele punctelor $\displaystyle A(0,1)$ și $\displaystyle H(3,2)$ : $\displaystyle m_{AH}=\dfrac{2-1}{3-0}=\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle m_{AH}=\dfrac{1}{3}$
Înălțimea $\displaystyle AH$ este perpendiculară pe $\displaystyle BC$ , iar două drepte neverticale sunt perpendiculare când produsul pantelor lor este $\displaystyle -1$ . Scriem condiția: $\displaystyle m_{AH}\cdot m_{BC}=-1$ , adică $\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot m_{BC}=-1$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot m_{BC}=-1$
Înmulțim ambii membri ai egalității cu $\displaystyle 3$ și obținem $\displaystyle m_{BC}=-1\cdot 3=-3$ .
$\displaystyle m_{BC}=-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Determinați

\displaystyle x\in(0,\pi)

, știind că

\displaystyle \sin x-\cos x=\sqrt{2}

.

Vezi rezolvarea

Ridicăm la pătrat ambii membri ai egalității $\displaystyle \sin x-\cos x=\sqrt{2}$ . Membrul drept devine $\displaystyle (\sqrt{2})^{2}=2$ .
$\displaystyle (\sin x-\cos x)^{2}=2$
Dezvoltăm pătratul diferenței cu formula $\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ .
$\displaystyle \sin^{2}x-2\sin x\cos x+\cos^{2}x=2$
Folosim identitatea $\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ , deci egalitatea devine $\displaystyle 1-2\sin x\cos x=2$ . De aici rezultă $\displaystyle 2\sin x\cos x=-1$ .
$\displaystyle 2\sin x\cos x=-1$
Din formula $\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$ obținem relația pentru unghiul dublu.
$\displaystyle \sin 2x=-1$
Deoarece $\displaystyle x\in(0,\pi)$ , avem $\displaystyle 2x\in(0,2\pi)$ . În acest interval, $\displaystyle \sin 2x=-1$ doar pentru $\displaystyle 2x=\dfrac{3\pi}{2}$ .
$\displaystyle 2x=\dfrac{3\pi}{2}$
Împărțim la 2 și obținem $\displaystyle x=\dfrac{3\pi}{4}$ . Verificare: $\displaystyle \sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ și $\displaystyle \cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , deci diferența este $\displaystyle \sqrt{2}$ .
$\displaystyle x=\dfrac{3\pi}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ m&m^2&1\\ m+1&(m+1)^2&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(0))=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=0$ în matricea $\displaystyle A(m)$ : prima linie rămâne $\displaystyle (1,1,1)$ , a doua devine $\displaystyle (0,0,1)$ , iar a treia devine $\displaystyle (0+1,(0+1)^2,1)=(1,1,1)$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&0&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(0)$ .
$\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&1&1\\ 0&0&1\\ 1&1&1\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Termenii pozitivi sunt $\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1$ și $\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0$ . Termenii cu minus sunt $\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1$ și $\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0$ .
$\displaystyle \det(A(0))=0+0+1-0-1-0$
Efectuăm calculul: $\displaystyle 0+0+1-0-1-0=1-1=0$ , deci $\displaystyle \det(A(0))=0$ , adică ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \det(A(0))=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ m&m^2&1\\ m+1&(m+1)^2&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui

\displaystyle m

pentru care matricea

\displaystyle A(m)

este inversabilă.

Vezi rezolvarea

O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci calculăm $\displaystyle \det(A(m))$ .
$\displaystyle A(m)\text{ inversabilă}\iff\det(A(m))\neq 0$
Dezvoltăm determinantul după prima linie, care are toate elementele egale cu $\displaystyle 1$ . Obținem trei minori de ordin $\displaystyle 2$ , cu semnele plus, minus, plus.
$\displaystyle \det(A(m))=\begin{vmatrix}m^2&1\\(m+1)^2&1\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}m&1\\m+1&1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}m&m^2\\m+1&(m+1)^2\end{vmatrix}$
Calculăm fiecare minor. Primul este $\displaystyle m^2-(m+1)^2=-2m-1$ . Al doilea este $\displaystyle m-(m+1)=-1$ . Al treilea este $\displaystyle m(m+1)^2-m^2(m+1)=m(m+1)(m+1-m)=m(m+1)$ .
$\displaystyle (-2m-1)-(-1)+m(m+1)$
Adunăm termenii: $\displaystyle -2m-1+1+m^2+m=m^2-m$ , adică $\displaystyle m(m-1)$ , pentru orice $\displaystyle m$ real.
$\displaystyle \det(A(m))=m(m-1)$
Matricea este inversabilă când $\displaystyle m(m-1)\neq 0$ . Produsul este nul doar pentru $\displaystyle m=0$ sau $\displaystyle m=1$ , deci aceste două valori se exclud.
$\displaystyle \det(A(m))\neq 0\text{, deci }m\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ m&m^2&1\\ m+1&(m+1)^2&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele necoliniare

\displaystyle A(1,1)

,

\displaystyle B(m,m^2)

și

\displaystyle C(m+1,(m+1)^2)

, unde

\displaystyle m

este număr real. Determinați numerele reale

\displaystyle m

, știind că triunghiul

\displaystyle ABC

are aria egală cu

\displaystyle 1

.

Vezi rezolvarea

Aria triunghiului este $\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{1}{2}|\Delta|$ , unde $\displaystyle \Delta$ este determinantul coordonatelor vârfurilor, completat cu o coloană de $\displaystyle 1$ . Pentru $\displaystyle A(1,1)$ , $\displaystyle B(m,m^2)$ , $\displaystyle C(m+1,(m+1)^2)$ obținem $\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}1&1&1\\ m&m^2&1\\ m+1&(m+1)^2&1\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|\Delta|$ , $\displaystyle \quad \Delta=\begin{vmatrix}1&1&1\\ m&m^2&1\\ m+1&(m+1)^2&1\end{vmatrix}$
Scădem prima linie din celelalte două: $\displaystyle L_2-L_1=(m-1,\ m^2-1,\ 0)$ și $\displaystyle L_3-L_1=(m,\ m^2+2m,\ 0)$ . Dezvoltând după ultima coloană, $\displaystyle \Delta=(m-1)(m^2+2m)-m(m^2-1)$ . Dăm factor comun: $\displaystyle \Delta=m(m-1)(m+2)-m(m-1)(m+1)=m(m-1)\left[(m+2)-(m+1)\right]=m(m-1)$ .
$\displaystyle \Delta=m(m-1)$
Din $\displaystyle \mathcal{A}=1$ obținem $\displaystyle \dfrac{1}{2}|m(m-1)|=1$ , deci $\displaystyle |m(m-1)|=2$ . Aceasta înseamnă $\displaystyle m^2-m=2$ sau $\displaystyle m^2-m=-2$ .
$\displaystyle |m(m-1)|=2\iff m^2-m=2\text{ sau }m^2-m=-2$
Dacă $\displaystyle m^2-m=-2$ , ecuația este $\displaystyle m^2-m+2=0$ , cu discriminantul $\displaystyle \Delta_m=1-8=-7<0$ . Nu există soluții reale, deci acest caz nu convine.
$\displaystyle m^2-m+2=0$ , $\displaystyle \ \Delta_m=-7<0\text{, nu convine}$
Dacă $\displaystyle m^2-m=2$ , ecuația este $\displaystyle m^2-m-2=0$ , adică $\displaystyle (m+1)(m-2)=0$ . Obținem $\displaystyle m=-1$ sau $\displaystyle m=2$ . Ambele valori convin: pentru ele $\displaystyle |m(m-1)|=2$ , deci aria este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle m=-1\text{ sau }m=2\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle G=(0,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=2^{\ln x\cdot\ln y}

.

Arătați că

\displaystyle x*1=1

, pentru orice

\displaystyle x\in G

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii $\displaystyle x*y=2^{\ln x\cdot\ln y}$ pentru $\displaystyle y=1$ : $\displaystyle x*1=2^{\ln x\cdot\ln 1}$ .
$\displaystyle x*1=2^{\ln x\cdot\ln 1}$
Folosim $\displaystyle \ln 1=0$ , deoarece $\displaystyle e^{0}=1$ . Exponentul devine $\displaystyle \ln x\cdot 0$ .
$\displaystyle 2^{\ln x\cdot\ln 1}=2^{\ln x\cdot 0}$
Orice număr înmulțit cu $\displaystyle 0$ dă $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle 2^{\ln x\cdot 0}=2^{0}=1$ . Cum $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle \ln x$ există, deci egalitatea are loc pentru orice $\displaystyle x\in G$ .
$\displaystyle 2^{\ln x\cdot 0}=2^{0}=1\text{, pentru orice }x\in G$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle G=(0,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=2^{\ln x\cdot\ln y}

.

Determinați

\displaystyle f\in G

, știind că

\displaystyle f

este elementul neutru al legii de compoziție „

\displaystyle *

”.

Vezi rezolvarea

Elementul neutru $\displaystyle f$ trebuie să verifice $\displaystyle x*f=x$ pentru orice $\displaystyle x\in G$ . Înlocuim definiția legii: $\displaystyle x*f=2^{\ln x\cdot\ln f}$ .
$\displaystyle 2^{\ln x\cdot\ln f}=x$
Aplicăm $\displaystyle \ln$ în ambii membri: $\displaystyle \ln\left(2^{\ln x\cdot\ln f}\right)=\ln x\cdot\ln f\cdot\ln 2$ , iar în dreapta rămâne $\displaystyle \ln x$ .
$\displaystyle \ln x\cdot\ln f\cdot\ln 2=\ln x$
Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice $\displaystyle x$ , deci și pentru $\displaystyle x\neq 1$ , când $\displaystyle \ln x\neq 0$ . Împărțim la $\displaystyle \ln x$ și obținem $\displaystyle \ln f\cdot\ln 2=1$ .
$\displaystyle \ln f\cdot\ln 2=1$
Rezultă $\displaystyle \ln f=\dfrac{1}{\ln 2}$ , deci $\displaystyle f=e^{\frac{1}{\ln 2}}$ . Cum $\displaystyle f>0$ , avem $\displaystyle f\in G$ .
$\displaystyle f=e^{\frac{1}{\ln 2}}\in G$
Verificăm: $\displaystyle f*x=2^{\ln f\cdot\ln x}=2^{\frac{1}{\ln 2}\cdot\ln x}=2^{\log_2 x}=x$ pentru orice $\displaystyle x\in G$ . Legea este comutativă, deci $\displaystyle x*f=f*x=x$ .
$\displaystyle e^{\frac{1}{\ln 2}}*x=2^{\frac{1}{\ln 2}\cdot\ln x}=x$
Deci elementul neutru al legii „ $\displaystyle *$ ” este $\displaystyle f=e^{\frac{1}{\ln 2}}$ .
$\displaystyle f=e^{\frac{1}{\ln 2}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle G=(0,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=2^{\ln x\cdot\ln y}

.

Determinați

\displaystyle x\in G

pentru care

\displaystyle x*\frac{1}{x}=\frac{1}{2}

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii pentru $\displaystyle y=\dfrac{1}{x}$ : $\displaystyle x*\dfrac{1}{x}=2^{\ln x\cdot\ln\frac{1}{x}}$ .
$\displaystyle x*\frac{1}{x}=2^{\ln x\cdot\ln\frac{1}{x}}$
Folosim $\displaystyle \ln\dfrac{1}{x}=-\ln x$ , deci exponentul devine $\displaystyle \ln x\cdot(-\ln x)=-\ln^{2}x$ . Relația este valabilă pentru orice $\displaystyle x\in G$ .
$\displaystyle x*\frac{1}{x}=2^{-\ln^{2}x}$
Ecuația cerută este $\displaystyle 2^{-\ln^{2}x}=\dfrac{1}{2}$ , adică $\displaystyle 2^{-\ln^{2}x}=2^{-1}$ .
$\displaystyle 2^{-\ln^{2}x}=2^{-1}$
Bazele fiind egale, egalăm exponenții: $\displaystyle -\ln^{2}x=-1$ , deci $\displaystyle \ln^{2}x=1$ .
$\displaystyle \ln^{2}x=1$
Rezultă $\displaystyle \ln x=-1$ sau $\displaystyle \ln x=1$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{1}{e}$ sau $\displaystyle x=e$ . Ambele valori sunt strict pozitive, deci aparțin lui $\displaystyle G$ și convin.
$\displaystyle x=\frac{1}{e}\text{ sau }x=e\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x-\ln\left(e^x+x-1\right)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{e^x+x-1}

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția termen cu termen. Derivata lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle 1$ , iar pentru logaritm folosim formula $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ , cu $\displaystyle u=e^x+x-1$ .
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{\left(e^x+x-1\right)'}{e^x+x-1}$
Calculăm derivata lui $\displaystyle u$ : derivata lui $\displaystyle e^x$ este $\displaystyle e^x$ , derivata lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle 1$ , iar derivata constantei $\displaystyle -1$ este $\displaystyle 0$ . Obținem $\displaystyle u'=e^x+1$ .
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{e^x+1}{e^x+x-1}$
Aducem la același numitor: scriem $\displaystyle 1$ ca fracție cu numitorul $\displaystyle e^x+x-1$ (acesta este strict pozitiv pentru $\displaystyle x>0$ , deci fracția are sens).
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x+x-1-\left(e^x+1\right)}{e^x+x-1}=\dfrac{e^x+x-1-e^x-1}{e^x+x-1}$
Reducem termenii: $\displaystyle e^x$ se reduce cu $\displaystyle -e^x$ , iar $\displaystyle -1-1=-2$ . Rămâne $\displaystyle x-2$ la numărător, adică formula cerută.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-2}{e^x+x-1}\text{, }x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x-\ln\left(e^x+x-1\right)

.

Demonstrați că dreapta de ecuație

\displaystyle y=0

este asimptotă orizontală spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Dreapta $\displaystyle y=0$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ dacă $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ . Calculăm această limită.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(x-\ln\left(e^x+x-1\right)\right)$
Scriem $\displaystyle x=\ln e^x$ , pentru că $\displaystyle \ln e^x=x$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\ln e^x-\ln\left(e^x+x-1\right)\right)$
Folosim formula $\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}$ și obținem logaritmul unui raport.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\frac{e^x}{e^x+x-1}$
Împărțim numărătorul și numitorul fracției la $\displaystyle e^x$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\frac{1}{1+\frac{x-1}{e^x}}$
Exponențiala crește mai repede decât funcția liniară, deci $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x-1}{e^x}=0$ . Atunci fracția din logaritm tinde la $\displaystyle \dfrac{1}{1+0}=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x-1}{e^x}=0$
Datorită continuității logaritmului, limita este $\displaystyle \ln 1=0$ . Deci dreapta $\displaystyle y=0$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle \ln 1=0\text{, deci dreapta de ecuație }y=0\text{ este asimptotă orizontală }$ $\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x-\ln\left(e^x+x-1\right)

.

Determinați imaginea funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției: $\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{\left(e^x+x-1\right)'}{e^x+x-1}=1-\dfrac{e^x+1}{e^x+x-1}$ . Aducem la același numitor: $\displaystyle \dfrac{e^x+x-1-e^x-1}{e^x+x-1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-2}{e^x+x-1}$
Pentru $\displaystyle x>0$ avem $\displaystyle e^x>1$ , deci $\displaystyle e^x+x-1>0$ . Semnul lui $\displaystyle f'(x)$ este atunci semnul lui $\displaystyle x-2$ . Derivata se anulează doar pentru $\displaystyle x=2$ , este negativă pe $\displaystyle (0,2)$ și pozitivă pe $\displaystyle (2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=2\text{; }f\text{ descrescătoare pe }(0,2]\text{, crescătoare pe }[2,+\infty)$
Calculăm limita în $\displaystyle 0$ . Pentru $\displaystyle x\to 0$ , $\displaystyle x>0$ , avem $\displaystyle e^x+x-1\to 0$ , cu valori pozitive, deci $\displaystyle \ln\left(e^x+x-1\right)\to-\infty$ . Atunci $\displaystyle f(x)\to 0-(-\infty)$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty$
Calculăm limita în $\displaystyle +\infty$ . Scriem $\displaystyle f(x)=x-\ln\left(e^x\left(1+\dfrac{x-1}{e^x}\right)\right)=-\ln\left(1+\dfrac{x-1}{e^x}\right)$ . Cum $\displaystyle \dfrac{x-1}{e^x}\to 0$ , logaritmul tinde la $\displaystyle \ln 1=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
Calculăm valoarea în punctul de minim $\displaystyle x=2$ : $\displaystyle f(2)=2-\ln\left(e^2+1\right)$ . Această valoare este negativă, deoarece $\displaystyle e^2+1>e^2$ , deci $\displaystyle \ln\left(e^2+1\right)>2$ .
$\displaystyle f(2)=2-\ln\left(e^2+1\right)<0$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle (0,+\infty)$ . Pe $\displaystyle (0,2]$ este descrescătoare, de la $\displaystyle +\infty$ la $\displaystyle f(2)$ , deci ia toate valorile din $\displaystyle \left[f(2),+\infty\right)$ . Pe $\displaystyle [2,+\infty)$ este crescătoare, de la $\displaystyle f(2)$ spre $\displaystyle 0$ , deci ia valorile din $\displaystyle \left[f(2),0\right)$ , cuprinse deja în primul interval. Reuniunea celor două intervale este imaginea funcției.
$\displaystyle \operatorname{Im}f=\left[2-\ln\left(e^2+1\right),+\infty\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=1+\ln\left(1+\sqrt{2}\right)

.

Vezi rezolvarea

Scriem integrala cerută, înlocuind $\displaystyle f(x)$ cu expresia dată, și folosim liniaritatea integralei: $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 1\,dx+\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx$ .
$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 1\,dx+\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx$
Primitiva lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle x$ . Pentru al doilea termen folosim primitiva cunoscută, pe care o verificăm prin derivare: $\displaystyle \left(\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right)'=\dfrac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ .
$\displaystyle \left(\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right)'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$
Rezultă că o primitivă a lui $\displaystyle f$ este $\displaystyle F(x)=x+\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\left(x+\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right)\Big|_0^1$
Calculăm valorile primitivei în $\displaystyle 1$ și în $\displaystyle 0$ . Avem $\displaystyle F(1)=1+\ln\left(1+\sqrt{2}\right)$ și $\displaystyle F(0)=0+\ln 1=0$ .
$\displaystyle F(1)-F(0)=1+\ln\left(1+\sqrt{2}\right)-\ln 1$
Deoarece $\displaystyle \ln 1=0$ , obținem rezultatul cerut.
$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=1+\ln\left(1+\sqrt{2}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

.

Calculați

\displaystyle \int_{-1}^{1}|x f(x)|\,dx

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle f(x)>0$ pentru orice $\displaystyle x$ , deoarece $\displaystyle 1+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$ . Deci semnul lui $\displaystyle xf(x)$ este dat de semnul lui $\displaystyle x$ : pentru $\displaystyle x\in[-1,0]$ avem $\displaystyle |xf(x)|=-xf(x)$ , iar pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle |xf(x)|=xf(x)$ .
$\displaystyle |xf(x)|=\begin{cases}-xf(x), & x\in[-1,0]\\ xf(x), & x\in[0,1]\end{cases}$
Despărțim integrala în două, pe intervalele $\displaystyle [-1,0]$ și $\displaystyle [0,1]$ , și scriem explicit funcția $\displaystyle f$ .
$\displaystyle \int_{-1}^{1}|xf(x)|\,dx=\int_{-1}^{0}-x\left(1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx+\int_0^1 x\left(1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx$
Desfacem parantezele: $\displaystyle x\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)=x+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ . Primitiva lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle \dfrac{x^2}{2}$ . Pentru al doilea termen, derivata lui $\displaystyle \sqrt{x^2+1}$ este $\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ , deci $\displaystyle \sqrt{x^2+1}$ este primitiva lui.
$\displaystyle \int x\left(1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx=\frac{x^2}{2}+\sqrt{x^2+1}+C$
Folosim această primitivă în cele două integrale; la prima integrală apare semnul minus. Obținem expresia evaluată între limitele respective.
$\displaystyle \left(-\frac{x^2}{2}-\sqrt{x^2+1}\right)\Big|_{-1}^{0}+\left(\frac{x^2}{2}+\sqrt{x^2+1}\right)\Big|_0^1$
Calculăm prima integrală: la $\displaystyle 0$ valoarea este $\displaystyle -1$ , iar la $\displaystyle -1$ valoarea este $\displaystyle -\dfrac{1}{2}-\sqrt{2}$ . Diferența este $\displaystyle -1+\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}$ .
$\displaystyle \left(0-1\right)-\left(-\frac{1}{2}-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-\frac{1}{2}$
Calculăm a doua integrală: la $\displaystyle 1$ valoarea este $\displaystyle \dfrac{1}{2}+\sqrt{2}$ , iar la $\displaystyle 0$ valoarea este $\displaystyle 1$ . Diferența este $\displaystyle \dfrac{1}{2}+\sqrt{2}-1$ .
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)-1=\sqrt{2}-\frac{1}{2}$
Adunăm cele două rezultate: $\displaystyle \left(\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\right)$ .
$\displaystyle 0-1+\frac{1}{2}+\sqrt{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

.

Arătați că

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt=2

.

Vezi rezolvarea

Scriem limita ca raport: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\int_0^x f(t)\,dt}{x}$ . Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci $\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt\to 0$ când $\displaystyle x\to 0$ , iar numitorul $\displaystyle x\to 0$ . Avem nedeterminare de tipul $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(t)\,dt}{x}=\frac{0}{0}$
Aplicăm regula lui l'Hospital. Deoarece $\displaystyle f$ este continuă, $\displaystyle \left(\int_0^x f(t)\,dt\right)'=f(x)$ , iar $\displaystyle (x)'=1$ . Obținem limita raportului derivatelor.
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(t)\,dt}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{1}$
Înlocuim $\displaystyle f(x)=1+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ . Funcția este continuă în $\displaystyle 0$ , deci limita este valoarea ei în $\displaystyle 0$ : $\displaystyle 1+\dfrac{1}{\sqrt{0^2+1}}=1+1=2$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)=1+\frac{1}{\sqrt{1}}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 13: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani