Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 3: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=1+i\displaystyle z=1+i. Arătați că z2−z−i=−1\displaystyle z^2-z-i=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z=1+i\displaystyle z=1+i în expresia z2−z−i\displaystyle z^2-z-i.
    z2−z−i=(1+i)2−(1+i)−i\displaystyle z^2-z-i=(1+i)^2-(1+i)-i
  2. Dezvoltăm pătratul cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 și eliminăm parantezele, având grijă la semnul minus din fața lui (1+i)\displaystyle (1+i).
    1+2i+i2−1−i−i\displaystyle 1+2i+i^2-1-i-i
  3. Folosim faptul că i2=−1\displaystyle i^2=-1.
    1+2i−1−1−2i\displaystyle 1+2i-1-1-2i
  4. Reducem termenii: 1−1−1=−1\displaystyle 1-1-1=-1, iar 2i−i−i=0\displaystyle 2i-i-i=0. Obținem rezultatul cerut.
    z2−z−i=−1\displaystyle z^2-z-i=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați cel mai mic număr natural n\displaystyle n pentru care ecuația x2−3x+3−n=0\displaystyle x^2-3x+3-n=0 are două soluții distincte în mulțimea numerelor reale.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−3x+3−n=0\displaystyle x^2-3x+3-n=0 este de gradul al doilea, cu coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=3−n\displaystyle c=3-n.
    a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle \ b=-3, c=3−n\displaystyle \ c=3-n
  2. Ecuația are două soluții reale distincte exact când Δ>0\displaystyle \Delta>0. Calculăm Δ=b2−4ac=(−3)2−4⋅1⋅(3−n)=9−12+4n\displaystyle \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(3-n)=9-12+4n.
    Δ=9−4(3−n)=4n−3\displaystyle \Delta=9-4(3-n)=4n-3
  3. Impunem Δ>0\displaystyle \Delta>0, adică 4n−3>0\displaystyle 4n-3>0, deci 4n>3\displaystyle 4n>3, de unde n>34\displaystyle n>\dfrac{3}{4}.
    Δ>0⇔n>34\displaystyle \Delta>0\Leftrightarrow n>\frac{3}{4}
  4. Cel mai mic număr natural mai mare decât 34\displaystyle \dfrac{3}{4} este 1\displaystyle 1, deoarece 0\displaystyle 0 nu verifică 0>34\displaystyle 0>\dfrac{3}{4}. Verificare: pentru n=1\displaystyle n=1, Δ=4⋅1−3=1>0\displaystyle \Delta=4\cdot 1-3=1>0.
    Δ>0⇔n>34, deci n=1\displaystyle \Delta>0\Leftrightarrow n>\frac{3}{4}\text{, deci }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(25x)+log⁡x5=4\displaystyle \log_5(25x)+\log_x 5=4.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență: 25x>0\displaystyle 25x>0, iar baza x\displaystyle x trebuie să fie pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Rezultă x>0\displaystyle x>0 și x≠1\displaystyle x\neq 1.
    x∈(0,1)∪(1,∞)\displaystyle x\in(0,1)\cup(1,\infty)
  2. Folosim logaritmul produsului: log⁡5(25x)=log⁡525+log⁡5x=2+log⁡5x\displaystyle \log_5(25x)=\log_5 25+\log_5 x=2+\log_5 x.
    log⁡5(25x)=2+log⁡5x\displaystyle \log_5(25x)=2+\log_5 x
  3. Scriem log⁡x5=1log⁡5x\displaystyle \log_x 5=\dfrac{1}{\log_5 x}, cu log⁡5x≠0\displaystyle \log_5 x\neq 0 deoarece x≠1\displaystyle x\neq 1.
    log⁡x5=1log⁡5x\displaystyle \log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}
  4. Notăm t=log⁡5x\displaystyle t=\log_5 x, cu t≠0\displaystyle t\neq 0. Ecuația devine 2+t+1t=4\displaystyle 2+t+\dfrac{1}{t}=4.
    2+t+1t=4\displaystyle 2+t+\frac{1}{t}=4
  5. Din 2+t+1t=4\displaystyle 2+t+\dfrac{1}{t}=4 obținem t+1t=2\displaystyle t+\dfrac{1}{t}=2. Înmulțim cu t≠0\displaystyle t\neq 0 și obținem t2+1=2t\displaystyle t^{2}+1=2t, deci t2−2t+1=0\displaystyle t^{2}-2t+1=0. Aceasta este (t−1)2=0\displaystyle (t-1)^{2}=0, adică (log⁡5x−1)2=0\displaystyle (\log_5 x-1)^2=0.
    (log⁡5x−1)2=0\displaystyle (\log_5 x-1)^2=0
  6. Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci log⁡5x=1\displaystyle \log_5 x=1. Rezultă x=5\displaystyle x=5. Verificăm: 5>0\displaystyle 5>0 și 5≠1\displaystyle 5\neq 1, deci soluția convine.
    log⁡5x=1, deci x=5, care convine\displaystyle \log_5 x=1\text{, deci }x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 2\displaystyle 2 sau cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Numărăm multiplii lui 2\displaystyle 2 dintre ele: de la 10\displaystyle 10 la 98\displaystyle 98, adică 98−102+1=45\displaystyle \dfrac{98-10}{2}+1=45 numere.
    45\displaystyle 45
  3. Numărăm multiplii lui 3\displaystyle 3: de la 12\displaystyle 12 la 99\displaystyle 99, adică 99−123+1=30\displaystyle \dfrac{99-12}{3}+1=30 de numere.
    30\displaystyle 30
  4. Numerele divizibile și cu 2\displaystyle 2, și cu 3\displaystyle 3 sunt multiplii lui 6\displaystyle 6: de la 12\displaystyle 12 la 96\displaystyle 96, adică 96−126+1=15\displaystyle \dfrac{96-12}{6}+1=15 numere.
    15\displaystyle 15
  5. Aplicăm principiul includerii și excluderii: numărul cazurilor favorabile este 45+30−15=60\displaystyle 45+30-15=60.
    45+30−15=60\displaystyle 45+30-15=60
  6. Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: p=6090=23\displaystyle p=\dfrac{60}{90}=\dfrac{2}{3}.
    p=6090=23\displaystyle p=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,2)\displaystyle A(-1,2), B(4,2)\displaystyle B(4,2) și C(3,0)\displaystyle C(3,0). Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că punctele A\displaystyle A și B\displaystyle B au aceeași ordonată, 2\displaystyle 2, deci dreapta AB\displaystyle AB este orizontală, de ecuație y=2\displaystyle y=2. Atunci înălțimea din C\displaystyle C pe AB\displaystyle AB este distanța de la C\displaystyle C la această dreaptă, adică diferența ordonatelor.
    AB: y=2\displaystyle AB:\ y=2
  2. Calculăm înălțimea din C\displaystyle C: ordonata lui C\displaystyle C este 0\displaystyle 0, iar dreapta AB\displaystyle AB este la y=2\displaystyle y=2, deci înălțimea este ∣2−0∣=2\displaystyle |2-0|=2.
    h=∣2−0∣=2\displaystyle h=|2-0|=2
  3. Calculăm lungimea bazei AB\displaystyle AB; deoarece A\displaystyle A și B\displaystyle B au aceeași ordonată, ea este diferența absolută a absciselor: AB=∣4−(−1)∣=5\displaystyle AB=|4-(-1)|=5.
    AB=∣4−(−1)∣=5\displaystyle AB=|4-(-1)|=5
  4. Aplicăm formula ariei: A=AB⋅h2=5⋅22=5\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot h}{2}=\dfrac{5\cdot 2}{2}=5.
    AΔABC=5⋅22=5\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{5\cdot 2}{2}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=sin⁡x−sin⁡(π−x)+cos⁡x+cos⁡(π−x)+tg⁡2x\displaystyle E(x)=\sin x-\sin(\pi-x)+\cos x+\cos(\pi-x)+\operatorname{tg}2x, unde x∈(0,π4)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right). Arătați că E(π8)=1\displaystyle E\left(\frac{\pi}{8}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formulele de reducere la primul cadran: sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x și cos⁡(π−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x.
    sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x, cos⁡(π−x)=−cos⁡x\displaystyle \ \cos(\pi-x)=-\cos x
  2. Înlocuim în expresie: E(x)=sin⁡x−sin⁡x+cos⁡x+(−cos⁡x)+tg⁡2x\displaystyle E(x)=\sin x-\sin x+\cos x+(-\cos x)+\operatorname{tg}2x.
    E(x)=sin⁡x−sin⁡x+cos⁡x−cos⁡x+tg⁡2x\displaystyle E(x)=\sin x-\sin x+\cos x-\cos x+\operatorname{tg}2x
  3. Termenii cu sinus se reduc între ei, la fel și cei cu cosinus, deci E(x)=tg⁡2x\displaystyle E(x)=\operatorname{tg}2x.
    E(x)=tg⁡2x\displaystyle E(x)=\operatorname{tg}2x
  4. Pentru x=π8\displaystyle x=\dfrac{\pi}{8} avem 2x=2⋅π8=π4\displaystyle 2x=2\cdot\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}, deci E(π8)=tg⁡π4\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}.
    E(π8)=tg⁡π4\displaystyle E\left(\frac{\pi}{8}\right)=\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}
  5. Deoarece tg⁡π4=1\displaystyle \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1, obținem E(π8)=1\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=1, ceea ce trebuia arătat.
    E(π8)=tg⁡π4=1\displaystyle E\left(\frac{\pi}{8}\right)=\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(010001000)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A+I3)=1\displaystyle \det(A+I_3)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A\displaystyle A și I3\displaystyle I_3 element cu element: pe diagonala principală apare 1\displaystyle 1, iar celelalte elemente rămân cele ale lui A\displaystyle A.
    A+I3=(110011001)\displaystyle A+I_3=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A+I3\displaystyle A+I_3. Matricea este superior triunghiulară, deci determinantul se poate calcula direct.
    det⁡(A+I3)=∣110011001∣\displaystyle \det(A+I_3)=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus: suma produselor pe diagonala principală și pe paralelele ei, minus suma produselor pe diagonala secundară și pe paralelele ei. Toți termenii, în afară de produsul elementelor diagonalei principale, conțin un element nul.
    det⁡(A+I3)=1⋅1⋅1+1⋅1⋅0+0⋅0⋅0−0⋅1⋅0−1⋅1⋅0−1⋅0⋅1=1+0+0−0−0−0=1\displaystyle \det(A+I_3)=1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot0+0\cdot0\cdot0-0\cdot1\cdot0-1\cdot1\cdot0-1\cdot0\cdot1=1+0+0-0-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(010001000)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A⋅A=O3\displaystyle A\cdot A\cdot A=O_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A. Elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j este suma produselor dintre elementele liniei i\displaystyle i din prima matrice și ale coloanei j\displaystyle j din a doua matrice.
    A⋅A=(010001000)⋅(010001000)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}
  2. Prima linie a lui A\displaystyle A este (0 1 0)\displaystyle (0\ 1\ 0), deci prima linie a produsului este chiar a doua linie a lui A\displaystyle A, adică (0 0 1)\displaystyle (0\ 0\ 1). A doua linie (0 0 1)\displaystyle (0\ 0\ 1) dă a treia linie a lui A\displaystyle A, adică (0 0 0)\displaystyle (0\ 0\ 0). A treia linie este nulă, deci și rezultatul are a treia linie nulă.
    A⋅A=(001000000)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
  3. Scriem A⋅A⋅A=(A⋅A)⋅A\displaystyle A\cdot A\cdot A=(A\cdot A)\cdot A și înmulțim matricea obținută cu A\displaystyle A.
    A⋅A⋅A=(001000000)⋅(010001000)\displaystyle A\cdot A\cdot A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}
  4. Prima linie (0 0 1)\displaystyle (0\ 0\ 1) înmulțită cu A\displaystyle A dă a treia linie a lui A\displaystyle A, adică (0 0 0)\displaystyle (0\ 0\ 0). Celelalte două linii sunt nule, deci produsul lor cu A\displaystyle A este nul. Toate elementele sunt zero, deci A⋅A⋅A=O3\displaystyle A\cdot A\cdot A=O_3.
    A⋅A⋅A=(000000000)=O3\displaystyle A\cdot A\cdot A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=O_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(010001000)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} și I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

Demonstrați că, dacă X∈M3(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) pentru care A⋅X=X⋅A\displaystyle A\cdot X=X\cdot A, atunci există numerele reale a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c, astfel încât X=aI3+bA+cA⋅A\displaystyle X=aI_3+bA+cA\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem o matrice generală X∈M3(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), cu elemente reale a,b,c,d,e,f,g,h,i\displaystyle a,b,c,d,e,f,g,h,i.
    X=(abcdefghi)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A⋅X\displaystyle A\cdot X. Prima linie a lui A⋅X\displaystyle A\cdot X este a doua linie a lui X\displaystyle X, a doua linie este a treia linie a lui X\displaystyle X, iar a treia linie este nulă, pentru că a treia linie a lui A\displaystyle A este nulă.
    A⋅X=(defghi000)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}d&e&f\\g&h&i\\0&0&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul X⋅A\displaystyle X\cdot A. Prima coloană a lui X⋅A\displaystyle X\cdot A este nulă, a doua coloană este prima coloană a lui X\displaystyle X, iar a treia coloană este a doua coloană a lui X\displaystyle X. Obținem ambele produse, conform baremului.
    A⋅X=(defghi000) și X⋅A=(0ab0de0gh)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}d&e&f\\g&h&i\\0&0&0\end{pmatrix}\text{ și }X\cdot A=\begin{pmatrix}0&a&b\\0&d&e\\0&g&h\end{pmatrix}
  4. Din egalitatea A⋅X=X⋅A\displaystyle A\cdot X=X\cdot A, egalăm elementele de pe aceleași poziții. Pe prima linie obținem d=0\displaystyle d=0, e=a\displaystyle e=a, f=b\displaystyle f=b. Pe a doua linie obținem g=0\displaystyle g=0, h=d\displaystyle h=d, i=e\displaystyle i=e. Pe a treia linie obținem 0=0\displaystyle 0=0, 0=g\displaystyle 0=g, 0=h\displaystyle 0=h.
    d=0\displaystyle d=0, g=0\displaystyle \ g=0, h=0\displaystyle \ h=0, e=a\displaystyle \ e=a, i=e=a\displaystyle \ i=e=a, f=b\displaystyle \ f=b
  5. Elementul c\displaystyle c nu apare în nicio condiție, deci rămâne arbitrar. Înlocuind valorile găsite, obținem forma lui X\displaystyle X.
    X=(abc0ab00a)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b&c\\0&a&b\\0&0&a\end{pmatrix}
  6. Calculăm A⋅A=(001000000)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, care are doar elementul 1\displaystyle 1 în colțul din dreapta sus. Apoi descompunem X\displaystyle X ca aI3+bA+cA⋅A\displaystyle aI_3+bA+cA\cdot A, adunând matricele element cu element. Astfel există numerele reale a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c cerute.
    X=(abc0ab00a)=aI3+bA+cA⋅A\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b&c\\0&a&b\\0&0&a\end{pmatrix}=aI_3+bA+cA\cdot A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=∣x−y∣\displaystyle x*y=|x-y|.

Arătați că (5∗2)∗1=2\displaystyle (5*2)*1=2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=∣x−y∣\displaystyle x*y=|x-y| pentru paranteză: 5∗2=∣5−2∣\displaystyle 5*2=|5-2|.
    5∗2=∣5−2∣\displaystyle 5*2=|5-2|
  2. Calculăm 5−2=3\displaystyle 5-2=3, iar ∣3∣=3\displaystyle |3|=3, deci 5∗2=3\displaystyle 5*2=3.
    5∗2=3\displaystyle 5*2=3
  3. Înlocuim paranteza cu 3\displaystyle 3 și aplicăm din nou definiția: (5∗2)∗1=3∗1=∣3−1∣\displaystyle (5*2)*1=3*1=|3-1|.
    (5∗2)∗1=3∗1=∣3−1∣\displaystyle (5*2)*1=3*1=|3-1|
  4. Calculăm 3−1=2\displaystyle 3-1=2, iar ∣2∣=2\displaystyle |2|=2. Deci (5∗2)∗1=2\displaystyle (5*2)*1=2, ceea ce trebuia demonstrat.
    (5∗2)∗1=∣3−1∣=2\displaystyle (5*2)*1=|3-1|=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=∣x−y∣\displaystyle x*y=|x-y|.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Fixăm x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R} oarecare și scriem, conform definiției, x∗y=∣x−y∣\displaystyle x*y=|x-y|.
    x∗y=∣x−y∣\displaystyle x*y=|x-y|
  2. Observăm că x−y=−(y−x)\displaystyle x-y=-(y-x), deci ∣x−y∣=∣−(y−x)∣\displaystyle |x-y|=|-(y-x)|.
    x∗y=∣x−y∣=∣−(y−x)∣\displaystyle x*y=|x-y|=|-(y-x)|
  3. Folosim proprietatea ∣u∣=∣−u∣\displaystyle |u|=|-u| pentru u=y−x\displaystyle u=y-x, de unde ∣−(y−x)∣=∣y−x∣\displaystyle |-(y-x)|=|y-x|.
    ∣−(y−x)∣=∣y−x∣\displaystyle |-(y-x)|=|y-x|
  4. Dar ∣y−x∣=y∗x\displaystyle |y-x|=y*x, conform definiției legii. Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, adică legea „∗\displaystyle *” este comutativă.
    x∗y=∣x−y∣=∣−(y−x)∣=∣y−x∣=y∗x, pentru orice numere \displaystyle x*y=|x-y|=|-(y-x)|=|y-x|=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=∣x−y∣\displaystyle x*y=|x-y|.

Demonstrați că (a∗b)+(b∗c)≥a∗c\displaystyle (a*b)+(b*c)\ge a*c, pentru orice numere reale a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție, x∗y=∣x−y∣\displaystyle x*y=|x-y|, și scriem fiecare compunere din membrul stâng: a∗b=∣a−b∣\displaystyle a*b=|a-b| și b∗c=∣b−c∣\displaystyle b*c=|b-c|.
    (a∗b)+(b∗c)=∣a−b∣+∣b−c∣\displaystyle (a*b)+(b*c)=|a-b|+|b-c|
  2. Aplicăm inegalitatea ∣u∣+∣v∣≥∣u+v∣\displaystyle |u|+|v|\ge|u+v|, valabilă pentru orice numere reale u\displaystyle u și v\displaystyle v, cu u=a−b\displaystyle u=a-b și v=b−c\displaystyle v=b-c.
    ∣a−b∣+∣b−c∣≥∣(a−b)+(b−c)∣\displaystyle |a-b|+|b-c|\ge|(a-b)+(b-c)|
  3. Reducem termenii opuși b\displaystyle b și −b\displaystyle -b de sub modul: (a−b)+(b−c)=a−c\displaystyle (a-b)+(b-c)=a-c. Obținem ∣a−c∣\displaystyle |a-c|, care este chiar a∗c\displaystyle a*c, după definiție.
    ∣a−b+b−c∣=∣a−c∣=a∗c\displaystyle |a-b+b-c|=|a-c|=a*c
  4. Legând cele două relații, obținem inegalitatea cerută, pentru orice numere reale a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c.
    (a∗b)+(b∗c)≥a∗c, pentru orice numere \displaystyle (a*b)+(b*c)\ge a*c\text{, pentru orice numere }reale a, b și c\displaystyle \text{reale }a\text{, }b\text{ și }c
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x+1}{e^x}.

Arătați că f′(x)=−(x−1)(x−3)ex\displaystyle f'(x)=\frac{-(x-1)(x-3)}{e^x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, cu u(x)=x2−2x+1\displaystyle u(x)=x^{2}-2x+1 și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^{x}. Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=u′(x) v(x)−u(x) v′(x)v(x)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}
  2. Calculăm u′(x)=2x−2\displaystyle u'(x)=2x-2 și v′(x)=ex\displaystyle v'(x)=e^{x}. Numitorul este v(x)2=(ex)2=e2x\displaystyle v(x)^{2}=\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}.
    u′(x)=2x−2\displaystyle u'(x)=2x-2,v′(x)=ex\displaystyle \quad v'(x)=e^{x},v(x)2=e2x\displaystyle \quad v(x)^{2}=e^{2x}
  3. Înlocuim în formulă și obținem derivata, apoi dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător.
    f′(x)=(2x−2)ex−(x2−2x+1)exe2x=ex(2x−2−x2+2x−1)e2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-2)e^{x}-(x^{2}-2x+1)e^{x}}{e^{2x}}=\dfrac{e^{x}(2x-2-x^{2}+2x-1)}{e^{2x}}
  4. Simplificăm fracția prin ex\displaystyle e^{x}, deoarece e2xex=ex\displaystyle \dfrac{e^{2x}}{e^{x}}=e^{x}. În paranteză reducem termenii asemenea: 2x+2x=4x\displaystyle 2x+2x=4x și −2−1=−3\displaystyle -2-1=-3.
    f′(x)=−x2+4x−3ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x^{2}+4x-3}{e^{x}}
  5. Scoatem semnul minus: −x2+4x−3=−(x2−4x+3)\displaystyle -x^{2}+4x-3=-(x^{2}-4x+3). Cum 1+3=4\displaystyle 1+3=4 și 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3, avem x2−4x+3=(x−1)(x−3)\displaystyle x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3). Deci relația cerută este adevărată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=−(x−1)(x−3)ex, x∈R\displaystyle f'(x)=\dfrac{-(x-1)(x-3)}{e^{x}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x+1}{e^x}.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este un cât de funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} cu u=x2−2x+1\displaystyle u=x^{2}-2x+1 și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    f′(x)=(x2−2x+1)′⋅ex−(x2−2x+1)⋅(ex)′(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}-2x+1)'\cdot e^{x}-(x^{2}-2x+1)\cdot (e^{x})'}{(e^{x})^{2}}
  2. Avem (x2−2x+1)′=2x−2\displaystyle (x^{2}-2x+1)'=2x-2 și (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător și simplificăm cu e2x\displaystyle e^{2x}.
    f′(x)=ex(2x−2−x2+2x−1)e2x=−x2+4x−3ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}\left(2x-2-x^{2}+2x-1\right)}{e^{2x}}=\dfrac{-x^{2}+4x-3}{e^{x}}
  3. Cum ex>0\displaystyle e^{x}>0, avem f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 exact când −x2+4x−3=0\displaystyle -x^{2}+4x-3=0, adică x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0. Discriminantul este Δ=16−12=4\displaystyle \Delta=16-12=4, deci x=4±22\displaystyle x=\dfrac{4\pm 2}{2}. Descompunem: −x2+4x−3=−(x−1)(x−3)\displaystyle -x^{2}+4x-3=-(x-1)(x-3).
    f′(x)=0⇔x=1 sau x=3\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\text{ sau }x=3
  4. Deoarece ex>0\displaystyle e^{x}>0, semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui −(x−1)(x−3)\displaystyle -(x-1)(x-3). Coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este negativ, deci trinomul este negativ în afara rădăcinilor și pozitiv între ele.
    f′(x)<0 pe (−∞,1)\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }(-\infty,1),f′(x)>0 pe (1,3)\displaystyle \quad f'(x)>0\text{ pe }(1,3),f′(x)<0 pe (3,+∞)\displaystyle \quad f'(x)<0\text{ pe }(3,+\infty)
  5. Unde f′<0\displaystyle f'<0 funcția este descrescătoare, iar unde f′>0\displaystyle f'>0 este crescătoare. Funcția f\displaystyle f fiind continuă, includem capetele 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3 în intervale.
    f este descresca˘toare pe (−∞,1], cresca˘toare pe [1,3] și descresca˘toare pe [3,+∞)\displaystyle f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,1]\text{, crescătoare pe }[1,3]\text{ și descrescătoare pe }[3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+1ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x+1}{e^x}.

Demonstrați că x−1≤2ex−32\displaystyle x-1\le 2e^{\frac{x-3}{2}}, pentru orice x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2−2x+1=(x−1)2\displaystyle x^2-2x+1=(x-1)^2, deci f(x)=(x−1)2e−x\displaystyle f(x)=(x-1)^2e^{-x}. Derivăm funcția ca produs.
    f′(x)=2(x−1)e−x−(x−1)2e−x\displaystyle f'(x)=2(x-1)e^{-x}-(x-1)^2e^{-x}
  2. Dăm factor comun (x−1)e−x\displaystyle (x-1)e^{-x} și simplificăm paranteza: 2−(x−1)=3−x\displaystyle 2-(x-1)=3-x.
    f′(x)=(x−1)(3−x)e−x\displaystyle f'(x)=(x-1)(3-x)e^{-x}
  3. Studiem semnul derivatei pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Avem e−x>0\displaystyle e^{-x}>0 și x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0, deci semnul este dat de 3−x\displaystyle 3-x: f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru x∈(1,3)\displaystyle x\in(1,3) și f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pentru x∈(3,+∞)\displaystyle x\in(3,+\infty). Deci f\displaystyle f crește pe [1,3]\displaystyle [1,3] și descrește pe [3,+∞)\displaystyle [3,+\infty).
    f crește pe [1,3] și descrește pe [3,+∞)\displaystyle f\text{ crește pe }[1,3]\text{ și descrește pe }[3,+\infty)
  4. Rezultă că f\displaystyle f are maximul pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) în x=3\displaystyle x=3. Calculăm f(3)=(3−1)2e3=4e3\displaystyle f(3)=\dfrac{(3-1)^2}{e^3}=\dfrac{4}{e^3}, deci f(x)≤f(3)\displaystyle f(x)\le f(3) pentru orice x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty).
    f(3)=4e3, deci f(x)≤4e3, pentru orice x∈[1,+∞)\displaystyle f(3)=\frac{4}{e^3}\text{, deci }f(x)\le\frac{4}{e^3}\text{, pentru orice }x\in[1,+\infty)
  5. Scriem (x−1)2ex≤4e−3\displaystyle \dfrac{(x-1)^2}{e^x}\le 4e^{-3} și înmulțim cu ex>0\displaystyle e^x>0, deci sensul inegalității se păstrează. Obținem (x−1)2≤4ex−3\displaystyle (x-1)^2\le 4e^{x-3}.
    (x−1)2ex≤4e−3⇒(x−1)2≤4ex−3\displaystyle \frac{(x-1)^2}{e^x}\le 4e^{-3}\Rightarrow(x-1)^2\le 4e^{x-3}
  6. Pentru x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty) avem x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0, iar ambii membri sunt pozitivi, deci extragem rădăcina pătrată: 4ex−3=2ex−32\displaystyle \sqrt{4e^{x-3}}=2e^{\frac{x-3}{2}}. Obținem inegalitatea cerută.
    x−1≤2ex−32, pentru orice x∈[1,+∞)\displaystyle x-1\le 2e^{\frac{x-3}{2}}\text{, pentru orice }x\in[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1}.

Arătați că ∫02f2(x) dx=4\displaystyle \int_0^2 f^2(x)\,dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f2(x)\displaystyle f^{2}(x): pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty) avem x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f2(x)=(x+1)2=x+1\displaystyle f^{2}(x)=\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=x+1.
    f2(x)=x+1\displaystyle f^{2}(x)=x+1
  2. Înlocuim în integrală: ∫02f2(x) dx=∫02(x+1) dx\displaystyle \int_0^2 f^2(x)\,dx=\int_0^2 (x+1)\,dx.
    ∫02f2(x) dx=∫02(x+1) dx\displaystyle \int_0^2 f^2(x)\,dx=\int_0^2 (x+1)\,dx
  3. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫02(x+1) dx=(x22+x)∣02\displaystyle \int_0^2 (x+1)\,dx=\left(\dfrac{x^{2}}{2}+x\right)\Big|_0^2.
    ∫02f2(x) dx=∫02(x+1) dx=(x22+x)∣02\displaystyle \int_0^2 f^2(x)\,dx=\int_0^2(x+1)\,dx=\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right)\Big|_0^2
  4. Pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 222+2=42+2=4\displaystyle \dfrac{2^{2}}{2}+2=\dfrac{4}{2}+2=4, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 022+0=0\displaystyle \dfrac{0^{2}}{2}+0=0. Diferența este 4−0=4\displaystyle 4-0=4.
    42+2−0=4\displaystyle \frac{4}{2}+2-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1}.

Calculați ∫01ln⁡(f(x)) dx\displaystyle \int_0^1\ln(f(x))\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1} și folosim x+1=(x+1)12\displaystyle \sqrt{x+1}=(x+1)^{\frac{1}{2}}, deci ln⁡x+1=12ln⁡(x+1)\displaystyle \ln\sqrt{x+1}=\dfrac{1}{2}\ln(x+1). Constanta 12\displaystyle \dfrac{1}{2} iese în fața integralei.
    ∫01ln⁡x+1 dx=12∫01ln⁡(x+1) dx\displaystyle \int_0^1\ln\sqrt{x+1}\,dx=\frac{1}{2}\int_0^1\ln(x+1)\,dx
  2. Observăm că (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1, deci integrala se scrie 12∫01(x+1)′ln⁡(x+1) dx\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_0^1(x+1)'\ln(x+1)\,dx.
    12∫01(x+1)′ln⁡(x+1) dx\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^1(x+1)'\ln(x+1)\,dx
  3. Aplicăm integrarea prin părți ∫01u′v dx=uv∣01−∫01uv′ dx\displaystyle \int_0^1 u'v\,dx=uv\Big|_0^1-\int_0^1 uv'\,dx cu u=x+1\displaystyle u=x+1 și v=ln⁡(x+1)\displaystyle v=\ln(x+1). Cum v′=1x+1\displaystyle v'=\dfrac{1}{x+1}, avem u⋅v′=(x+1)⋅1x+1=1\displaystyle u\cdot v'=(x+1)\cdot\dfrac{1}{x+1}=1.
    12(x+1)ln⁡(x+1)∣01−12∫01dx\displaystyle \frac{1}{2}(x+1)\ln(x+1)\Big|_0^1-\frac{1}{2}\int_0^1dx
  4. Calculăm 12(x+1)ln⁡(x+1)∣01=12(2ln⁡2−1⋅ln⁡1)\displaystyle \dfrac{1}{2}(x+1)\ln(x+1)\Big|_0^1=\dfrac{1}{2}\left(2\ln 2-1\cdot\ln 1\right). Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem ln⁡2\displaystyle \ln 2.
    12(2ln⁡2−0)=ln⁡2\displaystyle \frac{1}{2}\left(2\ln 2-0\right)=\ln 2
  5. Avem ∫01dx=x∣01=1\displaystyle \int_0^1dx=x\Big|_0^1=1, deci termenul al doilea este 12⋅1=12\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 1=\dfrac{1}{2}.
    12∫01dx=12x∣01=12\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^1dx=\frac{1}{2}x\Big|_0^1=\frac{1}{2}
  6. Scădem cele două rezultate: ln⁡2−12\displaystyle \ln 2-\dfrac{1}{2}.
    ln⁡2−12\displaystyle \ln 2-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1}.

Demonstrați că există un singur număr real x\displaystyle x, x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty), pentru care ∫0xef(t) dt=2021\displaystyle \int_0^x e^{f(t)}\,dt=2021.
Vezi rezolvarea
  1. Definim F:[0,+∞)→R\displaystyle F:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=∫0xef(t) dt\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{f(t)}\,dt. Funcția t↦et+1\displaystyle t\mapsto e^{\sqrt{t+1}} este continuă pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), deci F\displaystyle F este derivabilă și F′(x)=ef(x)\displaystyle F'(x)=e^{f(x)}.
    F′(x)=ef(x)=ex+1\displaystyle F'(x)=e^{f(x)}=e^{\sqrt{x+1}}
  2. Exponențiala este strict pozitivă, deci F′(x)=ef(x)>0\displaystyle F'(x)=e^{f(x)}>0 pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty). Rezultă că F\displaystyle F este strict crescătoare, deci injectivă, și continuă (fiind derivabilă).
    F′(x)=ef(x)>0\displaystyle F'(x)=e^{f(x)}>0, ∀x∈[0,+∞)⇒F strict cresca˘toare\displaystyle \ \forall x\in[0,+\infty)\Rightarrow F\text{ strict crescătoare}
  3. Calculăm F(0)\displaystyle F(0): o integrală pe un interval de lungime zero este nulă.
    F(0)=∫00ef(t) dt=0\displaystyle F(0)=\int_0^0 e^{f(t)}\,dt=0
  4. Pentru t∈[0,2021]\displaystyle t\in[0,2021] avem t+1≥1>0\displaystyle \sqrt{t+1}\ge 1>0, deci et+1≥e>1\displaystyle e^{\sqrt{t+1}}\ge e>1. Integrând inegalitatea pe [0,2021]\displaystyle [0,2021] obținem F(2021)≥2021\displaystyle F(2021)\ge 2021.
    F(2021)=∫02021et+1 dt≥∫020211 dt=2021\displaystyle F(2021)=\int_0^{2021}e^{\sqrt{t+1}}\,dt\ge\int_0^{2021}1\,dt=2021
  5. Avem F(0)=0<2021≤F(2021)\displaystyle F(0)=0<2021\le F(2021), iar F\displaystyle F este continuă. Din proprietatea lui Darboux există x∈[0,2021]\displaystyle x\in[0,2021] cu F(x)=2021\displaystyle F(x)=2021. Cum F\displaystyle F este strict crescătoare, acest x\displaystyle x este unic. Deci există un singur x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty) pentru care ∫0xef(t) dt=2021\displaystyle \int_0^x e^{f(t)}\,dt=2021.
    F(0)=0 și F(2021)≥2021, deci exista˘ un singur x∈[0,+∞) cu ∫0xef(t) dt=2021\displaystyle F(0)=0\text{ și }F(2021)\ge 2021\text{, deci există un singur }x\in[0,+\infty)\text{ cu }\int_0^x e^{f(t)}\,dt=2021
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.