Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 14: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că numerele

\displaystyle \log_3 5

,

\displaystyle \sqrt{2}

și

\displaystyle \log_5 9

sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Vezi rezolvarea

Trei numere nenule $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă $\displaystyle b^{2}=a\cdot c$ . Trebuie să arătăm că $\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{2}=\log_3 5\cdot\log_5 9$ .
$\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{2}=\log_3 5\cdot\log_5 9$
Scriem $\displaystyle 9=3^{2}$ și folosim $\displaystyle \log_a x^{n}=n\log_a x$ , deci $\displaystyle \log_5 9=\log_5 3^{2}=2\log_5 3$ .
$\displaystyle \log_5 9=2\log_5 3$
Înlocuim în produs: $\displaystyle \log_3 5\cdot\log_5 9=\log_3 5\cdot 2\log_5 3$ . Deoarece $\displaystyle \log_3 5\cdot\log_5 3=1$ (sunt inverse), obținem produsul egal cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \log_3 5\cdot\log_5 9=\log_3 5\cdot\left(2\log_5 3\right)=2$
Pătratul termenului din mijloc este $\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{2}=2$ , egal cu produsul celorlalți doi termeni. Deci relația caracteristică este verificată și numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
$\displaystyle \log_3 5\cdot\log_5 9=2=\left(\sqrt{2}\right)^{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră o funcție

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

. Demonstrați că funcția

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)

este impară.

Vezi rezolvarea

Reamintim definiția: o funcție $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ este impară dacă pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle g(-x)=-g(x)$ . Domeniul $\displaystyle \mathbb{R}$ este simetric față de $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle -x\in\mathbb{R}$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle g(-x)=-g(x)$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\text{ (de demonstrat)}$
Calculăm $\displaystyle g(-x)$ : în formula $\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)$ înlocuim peste tot $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ .
$\displaystyle g(-x)=f(-x)-f(-(-x))$
Simplificăm: $\displaystyle -(-x)=x$ , deci $\displaystyle f(-(-x))=f(x)$ .
$\displaystyle g(-x)=f(-x)-f(x)$
Dăm factor comun pe $\displaystyle -1$ în expresia obținută, ca să apară $\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)$ .
$\displaystyle f(-x)-f(x)=-\left(f(x)-f(-x)\right)$
Expresia din paranteză este chiar $\displaystyle g(x)$ , deci $\displaystyle g(-x)=-g(x)$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Prin urmare, funcția $\displaystyle g$ este impară.
$\displaystyle g(-x)=-\left(f(x)-f(-x)\right)=-g(x)\text{, deci }g\text{ este impară}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3^x+3^{\frac{1}{2}-x}=1+\sqrt{3}

.

Vezi rezolvarea

Folosim proprietățile puterilor: $\displaystyle 3^{\frac{1}{2}-x}=\dfrac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{x}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3^{x}}$ .
$\displaystyle 3^{\frac{1}{2}-x}=\dfrac{\sqrt{3}}{3^{x}}$
Ecuația devine $\displaystyle 3^x+\dfrac{\sqrt{3}}{3^x}=1+\sqrt{3}$ .
$\displaystyle 3^x+\dfrac{\sqrt{3}}{3^x}=1+\sqrt{3}$
Notăm $\displaystyle t=3^x$ , cu $\displaystyle t>0$ . Înmulțim ecuația cu $\displaystyle t$ și mutăm toți termenii în partea stângă: $\displaystyle t^2+\sqrt{3}=\left(1+\sqrt{3}\right)t$ , adică $\displaystyle 3^{2x}-\left(1+\sqrt{3}\right)\cdot 3^x+\sqrt{3}=0$ .
$\displaystyle 3^{2x}-\left(1+\sqrt{3}\right)\cdot 3^x+\sqrt{3}=0$
Ecuația $\displaystyle t^2-\left(1+\sqrt{3}\right)t+\sqrt{3}=0$ are suma rădăcinilor $\displaystyle 1+\sqrt{3}$ și produsul $\displaystyle \sqrt{3}=1\cdot\sqrt{3}$ , deci rădăcinile sunt $\displaystyle 1$ și $\displaystyle \sqrt{3}$ . Descompunem: $\displaystyle (t-1)\left(t-\sqrt{3}\right)=0$ .
$\displaystyle \left(3^x-1\right)\left(3^x-\sqrt{3}\right)=0$
Din $\displaystyle 3^x=1=3^0$ obținem $\displaystyle x=0$ , iar din $\displaystyle 3^x=\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$ obținem $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}$ . Ambele valori ale lui $\displaystyle t$ sunt pozitive, deci convin.
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=\dfrac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați termenul care îl conține pe

\displaystyle x^{10}

din dezvoltarea

\displaystyle \left(x^3+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{20}

, unde

\displaystyle x\in\mathbb{R}^*

.

Vezi rezolvarea

Termenul general al dezvoltării $\displaystyle \left(x^3+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{20}$ este $\displaystyle T_{k+1}=C_{20}^k\left(x^3\right)^{20-k}\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^k$ , unde $\displaystyle k\in\{0,1,\ldots,20\}$ .
$\displaystyle T_{k+1}=C_{20}^k\left(x^3\right)^{20-k}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^k$
Avem $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac{1}{3}}$ , deci $\displaystyle \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^k=x^{-\frac{k}{3}}$ , iar $\displaystyle \left(x^3\right)^{20-k}=x^{3(20-k)}$ . Adunăm exponenții: $\displaystyle 3(20-k)-\dfrac{k}{3}$ .
$\displaystyle T_{k+1}=C_{20}^k x^{3(20-k)-\frac{k}{3}}$
Calculăm exponentul: $\displaystyle 60-3k-\dfrac{k}{3}=60-\dfrac{9k+k}{3}=60-\dfrac{10k}{3}$ .
$\displaystyle T_{k+1}=C_{20}^k x^{60-\frac{10k}{3}}\text{, }k\in\{0,1,\ldots,20\}$
Cerem ca $\displaystyle 60-\dfrac{10k}{3}=10$ . Atunci $\displaystyle \dfrac{10k}{3}=50$ , deci $\displaystyle 10k=150$ , adică $\displaystyle k=15$ , valoare convenabilă deoarece $\displaystyle k\in\{0,1,\ldots,20\}$ .
$\displaystyle k=15$
Pentru $\displaystyle k=15$ obținem termenul $\displaystyle T_{16}$ , care îl conține pe $\displaystyle x^{10}$ : $\displaystyle T_{16}=C_{20}^{15}x^{10}$ .
$\displaystyle T_{16}=C_{20}^{15}x^{10}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În planul triunghiului

\displaystyle ABC

se consideră punctul

\displaystyle G

, astfel încât

\displaystyle 3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}

. Demonstrați că

\displaystyle G

este centrul de greutate al triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Folosim regula triunghiului (relația lui Chasles) ca să exprimăm vectorii $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ și $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ prin punctul $\displaystyle G$ : $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}$ și $\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC})$
Înlocuim cei doi vectori în relația dată $\displaystyle 3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ și adunăm termenii asemenea din membrul drept: $\displaystyle \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AG}$ .
$\displaystyle 3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$
Trecem $\displaystyle 2\overrightarrow{AG}$ în membrul stâng și reducem: $\displaystyle 3\overrightarrow{AG}-2\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AG}$ . Apoi mutăm toți termenii în același membru.
$\displaystyle \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$
Vectorii opuși se schimbă între ei: $\displaystyle -\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{BG}$ și $\displaystyle -\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{CG}$ . Obținem relația $\displaystyle \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0}$ , care caracterizează centrul de greutate. Deci $\displaystyle G$ este centrul de greutate al triunghiului $\displaystyle ABC$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0}\Rightarrow G\text{ este centrul de greutate }$ $\displaystyle \text{al triunghiului }ABC$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Determinați

\displaystyle x\in(0,\pi)

, știind că

\displaystyle \sin 2x-3\sin x-2\cos x+3=0

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula sinusului unghiului dublu: $\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$ . Ecuația devine $\displaystyle 2\sin x\cos x-3\sin x-2\cos x+3=0$ .
$\displaystyle 2\sin x\cos x-3\sin x-2\cos x+3=0$
Grupăm primii doi termeni, scoțând factor comun $\displaystyle \sin x$ , iar ultimii doi termeni, scoțând factor comun $\displaystyle -1$ : $\displaystyle 2\sin x\cos x-3\sin x=\sin x(2\cos x-3)$ și $\displaystyle -2\cos x+3=-(2\cos x-3)$ . Se obține $\displaystyle \sin x(2\cos x-3)-(2\cos x-3)=0$ .
$\displaystyle \sin x\left(2\cos x-3\right)-\left(2\cos x-3\right)=0$
Scoatem factor comun paranteza $\displaystyle 2\cos x-3$ și obținem un produs egal cu zero.
$\displaystyle \left(\sin x-1\right)\left(2\cos x-3\right)=0$
Un produs este zero când cel puțin un factor este zero. Factorul $\displaystyle 2\cos x-3$ nu se poate anula, deoarece ar însemna $\displaystyle \cos x=\dfrac{3}{2}>1$ , imposibil. Rămâne $\displaystyle \sin x-1=0$ , adică $\displaystyle \sin x=1$ .
$\displaystyle 2\cos x-3\neq 0\text{, deci }\sin x=1$
Pe intervalul $\displaystyle (0,\pi)$ , ecuația $\displaystyle \sin x=1$ are o singură soluție: $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}$ , care aparține intervalului.
$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det A=1

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A$ și aplicăm regula lui Sarrus: $\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&-1&-1\\-1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&-1&-1\\-1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix}$
Produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei sunt: $\displaystyle 3\cdot 1\cdot 1=3$ , $\displaystyle (-1)\cdot 0\cdot(-1)=0$ și $\displaystyle (-1)\cdot(-1)\cdot 0=0$ .
$\displaystyle 3\cdot 1\cdot 1+(-1)\cdot 0\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)\cdot 0=3+0+0$
Produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei sunt: $\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot(-1)=1$ , $\displaystyle 3\cdot 0\cdot 0=0$ și $\displaystyle (-1)\cdot(-1)\cdot 1=1$ , iar ele se scad.
$\displaystyle -1-0-1$
Împreunăm cele două grupe: $\displaystyle \det A=3+0+0-1-0-1$ .
$\displaystyle \det A=3+0+0-1-0-1$
Calculăm: $\displaystyle 3-2=1$ , deci $\displaystyle \det A=1$ .
$\displaystyle \det A=3-2=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr real

\displaystyle m

, rangul matricei

\displaystyle M(m)

este diferit de

\displaystyle 2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle \det(M(m))$ prin regula lui Sarrus: $\displaystyle \det(M(m))=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det(M(m))=m^{2}+1+1-m-m-1$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}$ , pentru orice număr real $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \det(M(m))=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}$
Dacă $\displaystyle m\neq 1$ , atunci $\displaystyle (m-1)^{2}>0$ , deci $\displaystyle \det(M(m))\neq 0$ . Matricea are un minor de ordin $\displaystyle 3$ nenul, deci rangul ei este $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle m\neq 1\Rightarrow \det(M(m))\neq 0\Rightarrow \operatorname{rang}M(m)=3$
Dacă $\displaystyle m=1$ , atunci $\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ . Toți minorii de ordin $\displaystyle 2$ sunt nuli, iar matricea are elemente nenule, deci rangul este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \operatorname{rang}M(1)=1$
Rangul lui $\displaystyle M(m)$ este $\displaystyle 1$ pentru $\displaystyle m=1$ și $\displaystyle 3$ pentru $\displaystyle m\neq 1$ , deci nu este niciodată $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle m=1\Rightarrow\operatorname{rang}M(1)=1\text{; }m\neq 1\Rightarrow\operatorname{rang}M(m)=3\text{, deci rangul este }$ $\displaystyle \text{diferit de }2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

,

\displaystyle m\neq 1

, știind că inversa matricei

\displaystyle M(m)

este matricea

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Dacă inversa matricei $\displaystyle M(m)$ este $\displaystyle A$ , atunci $\displaystyle M(m)\cdot A=I_3$ . Impunem această condiție.
$\displaystyle M(m)\cdot A=I_3$
Calculăm produsul linie cu coloană. Prima linie $\displaystyle (1,1,1)$ dă $\displaystyle 3-1-1=1$ , apoi $\displaystyle -1+1+0=0$ și $\displaystyle -1+0+1=0$ . A doua linie $\displaystyle (1,m,1)$ dă $\displaystyle 3-m-1=2-m$ , apoi $\displaystyle -1+m=m-1$ și $\displaystyle -1+0+1=0$ . A treia linie $\displaystyle (1,1,m)$ dă $\displaystyle 3-1-m=2-m$ , apoi $\displaystyle -1+1+0=0$ și $\displaystyle -1+0+m=m-1$ . Egalăm rezultatul cu matricea unitate.
$\displaystyle M(m)\cdot A=I_3\Leftrightarrow\begin{pmatrix}1&0&0\\2-m&m-1&0\\2-m&0&m-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
Identificăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Obținem $\displaystyle 2-m=0$ și $\displaystyle m-1=1$ . Ambele ecuații dau $\displaystyle m=2$ .
$\displaystyle 2-m=0\text{ și }m-1=1\Rightarrow m=2$
Verificăm condiția din enunț: $\displaystyle m=2\neq 1$ , deci valoarea convine.
$\displaystyle m=2\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție

\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2+z_1z_2

.

Arătați că

\displaystyle (1+i)\circ(2-i)=6+i

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii de compoziție, cu $\displaystyle z_1=1+i$ și $\displaystyle z_2=2-i$ : suma celor două numere plus produsul lor.
$\displaystyle (1+i)\circ(2-i)=1+i+2-i+(1+i)(2-i)$
Calculăm suma: termenii cu $\displaystyle i$ se reduc.
$\displaystyle 1+i+2-i=3$
Calculăm produsul prin distributivitate, înmulțind fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua.
$\displaystyle (1+i)(2-i)=2-i+2i-i^{2}$
Folosim faptul că $\displaystyle i^{2}=-1$ și reducem termenii asemenea.
$\displaystyle 2-i+2i-i^{2}=2+i+1=3+i$
Adunăm suma și produsul și obținem rezultatul cerut.
$\displaystyle (1+i)\circ(2-i)=3+3+i=6+i$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție

\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2+z_1z_2

.

Demonstrați că numărul

\displaystyle z\circ\overline{z}

este număr real, pentru orice număr complex

\displaystyle z

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle z=a+ib$ , cu $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ . Atunci conjugatul lui $\displaystyle z$ este $\displaystyle \overline{z}=a-ib$ .
$\displaystyle z=a+ib$ , $\displaystyle \quad \overline{z}=a-ib$
Aplicăm definiția $\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2+z_1z_2$ pentru $\displaystyle z_1=z$ și $\displaystyle z_2=\overline{z}$ .
$\displaystyle z\circ\overline{z}=a+ib+a-ib+(a+ib)(a-ib)$
În sumă, $\displaystyle ib$ și $\displaystyle -ib$ se anulează, deci $\displaystyle a+ib+a-ib=2a$ . Pentru produs folosim $\displaystyle (a+ib)(a-ib)=a^2-i^2b^2=a^2+b^2$ , deoarece $\displaystyle i^2=-1$ .
$\displaystyle a+ib+a-ib=2a$ , $\displaystyle \quad (a+ib)(a-ib)=a^{2}+b^{2}$
Adunăm rezultatele: $\displaystyle z\circ\overline{z}=2a+a^2+b^2$ . Cum $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ , numărul obținut este real, pentru orice număr complex $\displaystyle z$ .
$\displaystyle z\circ\overline{z}=2a+a^{2}+b^{2}\in\mathbb{R}\text{, pentru orice număr }$ $\displaystyle \text{complex }z$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție

\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2+z_1z_2

.

Determinați numerele complexe

\displaystyle z

pentru care

\displaystyle z\circ z=-2

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii pentru $\displaystyle z_1=z_2=z$ : $\displaystyle z\circ z=z+z+z\cdot z=2z+z^{2}$ .
$\displaystyle z\circ z=z^{2}+2z$
Impunem condiția $\displaystyle z\circ z=-2$ , deci $\displaystyle z^{2}+2z=-2$ . Mutăm termenul $\displaystyle -2$ în membrul stâng.
$\displaystyle z^{2}+2z+2=0$
Calculăm discriminantul pentru $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=2$ , $\displaystyle c=2$ : $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=4-8$ .
$\displaystyle \Delta=-4$
Cum $\displaystyle \Delta<0$ , ecuația are rădăcini complexe, iar $\displaystyle \sqrt{\Delta}=2i$ , pentru că $\displaystyle (2i)^{2}=-4$ . Aplicăm formula: $\displaystyle z=\dfrac{-2\pm 2i}{2}$ .
$\displaystyle z=\dfrac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i$
Soluțiile sunt $\displaystyle z=-1-i$ și $\displaystyle z=-1+i$ .
$\displaystyle z=-1-i\text{ sau }z=-1+i$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{2(x-1)(x+1)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm formula $\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ , cu $\displaystyle u(x)=\dfrac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$ . Atunci $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{u}\cdot u'$ , iar $\displaystyle \dfrac{1}{u}=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\cdot\left(\dfrac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}\right)'$
Derivăm fracția cu formula $\displaystyle \left(\dfrac{a}{b}\right)'=\dfrac{a'b-ab'}{b^{2}}$ , unde $\displaystyle a=x^{2}-x+1$ , $\displaystyle a'=2x-1$ , $\displaystyle b=x^{2}+x+1$ , $\displaystyle b'=2x+1$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}\right)'=\dfrac{(2x-1)\left(x^{2}+x+1\right)-(2x+1)\left(x^{2}-x+1\right)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}$
Înlocuim în $\displaystyle f'(x)$ derivata calculată la pasul anterior.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\cdot\dfrac{(2x-1)\left(x^{2}+x+1\right)-(2x+1)\left(x^{2}-x+1\right)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}$
Calculăm separat produsele de la numărător. Primul: $\displaystyle (2x-1)\left(x^{2}+x+1\right)=2x^{3}+2x^{2}+2x-x^{2}-x-1=2x^{3}+x^{2}+x-1$ . Al doilea: $\displaystyle (2x+1)\left(x^{2}-x+1\right)=2x^{3}-2x^{2}+2x+x^{2}-x+1=2x^{3}-x^{2}+x+1$ .
$\displaystyle (2x-1)\left(x^{2}+x+1\right)=2x^{3}+x^{2}+x-1$ , $\displaystyle \quad (2x+1)\left(x^{2}-x+1\right)=2x^{3}-x^{2}+x+1$
Scădem: $\displaystyle \left(2x^{3}+x^{2}+x-1\right)-\left(2x^{3}-x^{2}+x+1\right)=2x^{2}-2$ .
$\displaystyle 2x^{2}-2$
Înlocuim numărătorul și simplificăm cu $\displaystyle x^{2}+x+1$ . Apoi $\displaystyle 2x^{2}-2=2\left(x^{2}-1\right)=2(x-1)(x+1)$ . Numitorii nu se anulează, deoarece trinoamele $\displaystyle x^{2}\pm x+1$ au discriminantul $\displaystyle -3<0$ , deci sunt strict pozitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}-2}{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}\text{, }x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}

.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

\displaystyle -\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota orizontală spre $\displaystyle -\infty$ are ecuația $\displaystyle y=l$ , unde $\displaystyle l=\lim_{x\to-\infty}f(x)$ , dacă această limită este finită. Calculăm deci această limită.
$\displaystyle l=\lim_{x\to-\infty}\ln\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$
Dăm factor comun $\displaystyle x^2$ la numărător și la numitor, pentru a elimina nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\ln\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}$
Simplificăm fracția cu $\displaystyle x^2$ . Când $\displaystyle x\to-\infty$ , avem $\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0$ și $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}\to 0$ , deci argumentul logaritmului tinde la $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\ln\frac{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=\ln\frac{1-0+0}{1+0+0}=\ln 1=0$
Limita este finită și egală cu $\displaystyle 0$ , deci asimptota orizontală spre $\displaystyle -\infty$ are ecuația $\displaystyle y=0$ .
$\displaystyle y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(f(1)+f(2)+\ldots+f(n)+2\ln n\right)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm primii termeni ai sumei: $\displaystyle f(k)=\ln\dfrac{k^{2}-k+1}{k^{2}+k+1}$ , deci $\displaystyle f(1)=\ln\dfrac{1}{3}$ , $\displaystyle f(2)=\ln\dfrac{3}{7}$ , $\displaystyle f(3)=\ln\dfrac{7}{13}$ .
$\displaystyle f(1)=\ln\frac{1}{3}$ , $\displaystyle \quad f(2)=\ln\frac{3}{7}$ , $\displaystyle \quad f(3)=\ln\frac{7}{13}$
Observăm că $\displaystyle (k+1)^{2}-(k+1)+1=k^{2}+k+1$ , deci numitorul fracției de la $\displaystyle k$ este numărătorul fracției de la $\displaystyle k+1$ . Folosind suma logaritmilor ca logaritm al produsului și $\displaystyle 2\ln n=\ln n^{2}$ , obținem expresia de mai jos.
$\displaystyle f(1)+\ldots+f(n)+2\ln n=\ln\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{7}{13}\cdot\ldots\cdot\frac{n^{2}-n+1}{n^{2}+n+1}\right)+\ln n^{2}$
Produsul este telescopic: se simplifică toți factorii intermediari și rămân numărătorul primei fracții, $\displaystyle 1$ , și numitorul ultimei, $\displaystyle n^{2}+n+1$ . Adunăm apoi logaritmii: $\displaystyle \ln\dfrac{1}{n^{2}+n+1}+\ln n^{2}=\ln\dfrac{n^{2}}{n^{2}+n+1}$ .
$\displaystyle f(1)+\ldots+f(n)+2\ln n=\ln\frac{1}{n^{2}+n+1}+\ln n^{2}=\ln\frac{n^{2}}{n^{2}+n+1}$
Trecem la limită. Funcția $\displaystyle \ln$ este continuă, iar $\displaystyle \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^{2}}{n^{2}+n+1}=1$ (polinoame de același grad, raportul coeficienților dominanți). Deci limita cerută este $\displaystyle \ln 1=0$ .
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\ln\frac{n^{2}}{n^{2}+n+1}=\ln 1=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{e^x}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx=\frac{4}{3}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{e^{x}}$ în produs și simplificăm: $\displaystyle e^{x}f(x)=e^{x}\cdot\dfrac{x^{2}+1}{e^{x}}=x^{2}+1$ .
$\displaystyle e^{x}f(x)=x^{2}+1$
Integrala devine $\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(x^{2}+1\right)dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle x^{2}+1$ este $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}+x$ , deci integrala este egală cu valoarea acestei primitive între $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \int_0^1 e^{x}f(x)\,dx=\int_0^1\left(x^{2}+1\right)dx=\left.\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\right|_0^1$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: în $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle \dfrac{1}{3}+1$ , iar în $\displaystyle x=0$ avem $\displaystyle 0$ . Diferența este $\displaystyle \dfrac{1}{3}+1-0=\dfrac{4}{3}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \frac{1}{3}+1-0=\frac{4}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{e^x}

.

Calculați

\displaystyle \int_0^1 f(-x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(-x)$ : înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ în $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{e^{x}}$ . Obținem $\displaystyle f(-x)=\dfrac{x^{2}+1}{e^{-x}}=(x^{2}+1)e^{x}$ .
$\displaystyle f(-x)=(x^{2}+1)e^{x}$
Aplicăm prima integrare prin părți, cu $\displaystyle u=x^{2}+1$ și $\displaystyle dv=e^{x}dx$ . Atunci $\displaystyle u'=2x$ și $\displaystyle v=e^{x}$ , deci $\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du$ .
$\displaystyle \int_0^1 (x^{2}+1)e^{x}\,dx=\left.(x^{2}+1)e^{x}\right|_0^1-\int_0^1 2xe^{x}\,dx$
Calculăm termenul integrat: la limita $\displaystyle 1$ avem $\displaystyle (1+1)e=2e$ , iar la limita $\displaystyle 0$ avem $\displaystyle (0+1)e^{0}=1$ .
$\displaystyle \left.(x^{2}+1)e^{x}\right|_0^1=2e-1$
Aplicăm a doua integrare prin părți pentru $\displaystyle \int 2xe^{x}\,dx$ , cu $\displaystyle u=2x$ și $\displaystyle dv=e^{x}dx$ . Atunci $\displaystyle u'=2$ și $\displaystyle v=e^{x}$ , deci $\displaystyle \int 2xe^{x}\,dx=2xe^{x}-\int 2e^{x}\,dx=2xe^{x}-2e^{x}$ .
$\displaystyle \int 2xe^{x}\,dx=2xe^{x}-2e^{x}=2(x-1)e^{x}$
Înlocuim primitiva găsită în rezultatul primei integrări prin părți.
$\displaystyle \int_0^1 f(-x)\,dx=2e-1-\left.2(x-1)e^{x}\right|_0^1$
Evaluăm $\displaystyle 2(x-1)e^{x}$ între $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ : la $\displaystyle x=1$ valoarea este $\displaystyle 0$ , iar la $\displaystyle x=0$ valoarea este $\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 1=-2$ .
$\displaystyle \left.2(x-1)e^{x}\right|_0^1=0-(-2)=2$
Scădem acest rezultat din $\displaystyle 2e-1$ și obținem răspunsul final.
$\displaystyle \int_0^1 f(-x)\,dx=2e-1-2=2e-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{e^x}

.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

, știind că funcția

\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=e^{-x}\left(-x^2+ax+b\right)

este o primitivă a funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle F$ este primitivă a lui $\displaystyle f$ dacă $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Derivăm $\displaystyle F$ ca produs, folosind $\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}$ .
$\displaystyle F'(x)=-e^{-x}\left(-x^{2}+ax+b\right)+e^{-x}\left(-2x+a\right)$
Impunem $\displaystyle F'(x)=f(x)$ , unde $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{e^{x}}=e^{-x}\left(x^{2}+1\right)$ , pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle -e^{-x}\left(-x^{2}+ax+b\right)+e^{-x}(-2x+a)=e^{-x}\left(x^{2}+1\right)\text{, pentru orice număr real }x$
Împărțim egalitatea la $\displaystyle e^{-x}>0$ și desfacem parantezele.
$\displaystyle x^{2}-ax-b-2x+a=x^{2}+1$
Grupăm termenii din stânga după puterile lui $\displaystyle x$ : coeficientul lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle -(a+2)$ , iar termenul liber este $\displaystyle a-b$ .
$\displaystyle x^{2}-(a+2)x+a-b=x^{2}+1\text{, pentru orice număr real }x$
Două polinoame egale pentru orice $\displaystyle x$ real au aceiași coeficienți. Coeficientul lui $\displaystyle x$ : $\displaystyle -(a+2)=0$ , deci $\displaystyle a=-2$ . Termenul liber: $\displaystyle a-b=1$ .
$\displaystyle \begin{cases}-(a+2)=0\\ a-b=1\end{cases}$
Din $\displaystyle a=-2$ și $\displaystyle a-b=1$ obținem $\displaystyle -2-b=1$ , deci $\displaystyle b=-3$ .
$\displaystyle a=-2\text{ și }b=-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 14: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani