Bac matematică M1 mate-info 2011, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați modulul numărului complex z=1−i3\displaystyle z=1-i\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem numărul sub forma z=a+bi\displaystyle z=a+bi și identificăm a\displaystyle a și b\displaystyle b. Din z=1−i3\displaystyle z=1-i\sqrt{3} obținem partea reală a=1\displaystyle a=1 și partea imaginară b=−3\displaystyle b=-\sqrt{3}.
    a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle \ b=-\sqrt{3}
  2. Folosim formula modulului ∣a+bi∣=a2+b2\displaystyle |a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Înlocuind a=1\displaystyle a=1 și b=−3\displaystyle b=-\sqrt{3}, obținem ∣z∣=1+(−3)2\displaystyle |z|=\sqrt{1+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}}.
    ∣1−i3∣=1+(−3)2\displaystyle |1-i\sqrt{3}|=\sqrt{1+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}}
  3. Calculăm (−3)2=3\displaystyle \left(-\sqrt{3}\right)^{2}=3, deci sub radical avem 1+3=4\displaystyle 1+3=4.
    1+3=4\displaystyle \sqrt{1+3}=\sqrt{4}
  4. Cum 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, rezultă că modulul este ∣z∣=2\displaystyle |z|=2.
    ∣z∣=4=2\displaystyle |z|=\sqrt{4}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați mulțimea valorilor funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1\displaystyle f(x)=x^2+x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr real y\displaystyle y aparține mulțimii valorilor funcției dacă există x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} cu f(x)=y\displaystyle f(x)=y. Scriem condiția ca ecuație: x2+x+1=y\displaystyle x^{2}+x+1=y.
    x2+x+1=y\displaystyle x^{2}+x+1=y
  2. Mutăm pe y\displaystyle y în membrul stâng și obținem o ecuație de gradul al doilea în necunoscuta x\displaystyle x, cu parametrul y\displaystyle y: x2+x+1−y=0\displaystyle x^{2}+x+1-y=0.
    x2+x+1−y=0\displaystyle x^{2}+x+1-y=0
  3. Identificăm coeficienții ecuației: a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=1−y\displaystyle c=1-y.
    a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle \ b=1, c=1−y\displaystyle \ c=1-y
  4. Calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=1−4(1−y)=1−4+4y\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=1-4(1-y)=1-4+4y, deci Δ=4y−3\displaystyle \Delta=4y-3.
    Δ=4y−3\displaystyle \Delta=4y-3
  5. Ecuația are soluții reale dacă și numai dacă Δ≥0\displaystyle \Delta\ge 0. Rezolvăm inegalitatea 4y−3≥0\displaystyle 4y-3\ge 0, deci 4y≥3\displaystyle 4y\ge 3.
    y≥34\displaystyle y\ge \dfrac{3}{4}
  6. Prin urmare, valorile funcției sunt exact numerele reale y≥34\displaystyle y\ge \dfrac{3}{4}. Mulțimea valorilor este intervalul [34,+∞)\displaystyle \left[\dfrac{3}{4},+\infty\right).
    Imf=[34,+∞)\displaystyle \mathrm{Im}_f=\left[\dfrac{3}{4},+\infty\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Știind că doi termeni ai unei progresii geometrice sunt b3=6\displaystyle b_3=6 și b5=24\displaystyle b_5=24, determinați termenul b7\displaystyle b_7.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem termenii dați cu formula termenului general bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}: b3=b1⋅q2=6\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}=6 și b5=b1⋅q4=24\displaystyle b_5=b_1\cdot q^{4}=24.
    b1q2=6\displaystyle b_1q^{2}=6,b1q4=24\displaystyle \quad b_1q^{4}=24
  2. Împărțim a doua egalitate la prima (b1≠0\displaystyle b_1\neq 0 și q≠0\displaystyle q\neq 0, pentru că b3=6\displaystyle b_3=6): b1q4b1q2=q2\displaystyle \dfrac{b_1q^{4}}{b_1q^{2}}=q^{2}, iar 246=4\displaystyle \dfrac{24}{6}=4.
    q2=4\displaystyle q^{2}=4
  3. Înlocuim q2=4\displaystyle q^{2}=4 în b1⋅q2=6\displaystyle b_1\cdot q^{2}=6, deci 4b1=6\displaystyle 4b_1=6, de unde b1=64=32\displaystyle b_1=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}.
    b1=32\displaystyle b_1=\dfrac{3}{2}
  4. Termenul cerut este b7=b5⋅q2\displaystyle b_7=b_5\cdot q^{2}, pentru că între indicii 5\displaystyle 5 și 7\displaystyle 7 sunt două poziții. Nu avem nevoie de semnul lui q\displaystyle q, deoarece apare doar q2=4\displaystyle q^{2}=4.
    b7=b5⋅q2=24⋅4\displaystyle b_7=b_5\cdot q^{2}=24\cdot 4
  5. Calculăm: 24⋅4=96\displaystyle 24\cdot 4=96. Verificare cu formula generală: b7=b1⋅q6=32⋅43=32⋅64=96\displaystyle b_7=b_1\cdot q^{6}=\dfrac{3}{2}\cdot 4^{3}=\dfrac{3}{2}\cdot 64=96.
    b7=96\displaystyle b_7=96
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați x>0\displaystyle x>0, știind că log⁡ax=2log⁡a3−3log⁡a2\displaystyle \log_a x=2\log_a 3-3\log_a 2, unde a>0\displaystyle a>0, a≠1\displaystyle a\ne 1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea nlog⁡ab=log⁡abn\displaystyle n\log_a b=\log_a b^{n}. Astfel, 2log⁡a3=log⁡a32=log⁡a9\displaystyle 2\log_a 3=\log_a 3^{2}=\log_a 9.
    2log⁡a3=log⁡a9\displaystyle 2\log_a 3=\log_a 9
  2. Aplicăm aceeași proprietate: 3log⁡a2=log⁡a23=log⁡a8\displaystyle 3\log_a 2=\log_a 2^{3}=\log_a 8.
    3log⁡a2=log⁡a8\displaystyle 3\log_a 2=\log_a 8
  3. Înlocuim în egalitatea dată și obținem log⁡ax=log⁡a9−log⁡a8\displaystyle \log_a x=\log_a 9-\log_a 8.
    log⁡ax=log⁡a9−log⁡a8\displaystyle \log_a x=\log_a 9-\log_a 8
  4. Folosim proprietatea log⁡ab−log⁡ac=log⁡abc\displaystyle \log_a b-\log_a c=\log_a\dfrac{b}{c}. Rezultă log⁡ax=log⁡a98\displaystyle \log_a x=\log_a\dfrac{9}{8}.
    log⁡ax=log⁡a98\displaystyle \log_a x=\log_a\dfrac{9}{8}
  5. Logaritmul în baza a\displaystyle a, cu a>0\displaystyle a>0 și a≠1\displaystyle a\ne 1, este funcție injectivă, deci argumentele sunt egale. Prin urmare x=98\displaystyle x=\dfrac{9}{8}, valoare care respectă condiția x>0\displaystyle x>0.
    x=98\displaystyle x=\dfrac{9}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Scrieți ecuația dreptei care conține punctul A(3,2)\displaystyle A(3,2) și este perpendiculară pe dreapta d:x+2y+5=0\displaystyle d: x+2y+5=0.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem ecuația dreptei d\displaystyle d la forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, ca să citim panta: izolăm pe y\displaystyle y din x+2y+5=0\displaystyle x+2y+5=0.
    y=−12x−52\displaystyle y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}
  2. Panta dreptei d\displaystyle d este coeficientul lui x\displaystyle x, adică md=−12\displaystyle m_d=-\dfrac{1}{2}. Două drepte perpendiculare au produsul pantelor egal cu −1\displaystyle -1, deci md⋅md′=−1\displaystyle m_d\cdot m_{d'}=-1, de unde panta dreptei căutate d′\displaystyle d'.
    md=−12⇒md′=−1md=2\displaystyle m_d=-\frac{1}{2}\Rightarrow m_{d'}=-\frac{1}{m_d}=2
  3. Scriem ecuația dreptei care trece prin A(3,2)\displaystyle A(3,2) și are panta 2\displaystyle 2, folosind formula y−yA=md′(x−xA)\displaystyle y-y_A=m_{d'}(x-x_A).
    y−2=2(x−3)\displaystyle y-2=2(x-3)
  4. Desfacem parantezele: y−2=2x−6\displaystyle y-2=2x-6, apoi mutăm −2\displaystyle -2 în membrul drept și obținem ecuația dreptei căutate.
    y=2x−4\displaystyle y=2x-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Știind că x∈(π2,π)\displaystyle x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right) și sin⁡x=223\displaystyle \sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}, calculați cos⁡x\displaystyle \cos x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. De aici exprimăm cos⁡2x=1−sin⁡2x\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x.
    cos⁡2x=1−sin⁡2x\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x
  2. Calculăm sin⁡2x=(223)2=4⋅29=89\displaystyle \sin^{2}x=\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)^{2}=\dfrac{4\cdot 2}{9}=\dfrac{8}{9}.
    sin⁡2x=89\displaystyle \sin^{2}x=\frac{8}{9}
  3. Înlocuim în formulă: cos⁡2x=1−89=19\displaystyle \cos^{2}x=1-\dfrac{8}{9}=\dfrac{1}{9}.
    cos⁡2x=1−89=19\displaystyle \cos^{2}x=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}
  4. Extragem rădăcina pătrată din ambii membri: cos⁡x=±19=±13\displaystyle \cos x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\pm\dfrac{1}{3}.
    cos⁡x=±13\displaystyle \cos x=\pm\frac{1}{3}
  5. Alegem semnul: x∈(π2,π)\displaystyle x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right), deci x\displaystyle x este în cadranul al II-lea, unde cosinusul este negativ. Eliminăm valoarea 13\displaystyle \dfrac{1}{3}.
    cos⁡x<0\displaystyle \cos x<0
  6. Răspuns final: cos⁡x=−13\displaystyle \cos x=-\dfrac{1}{3}.
    cos⁡x=−13\displaystyle \cos x=-\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Fie matricea A(x)=(1−2x4x201−4x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-2x&4x^2\\0&1&-4x\\0&0&1\end{pmatrix} din mulțimea M3(R)\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{R}).

Calculați (A(2)−A(0))2010\displaystyle \left(A(2)-A(0)\right)^{2010}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A(2)\displaystyle A(2): înlocuim x=2\displaystyle x=2 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Obținem −2x=−4\displaystyle -2x=-4, 4x2=16\displaystyle 4x^{2}=16 și −4x=−8\displaystyle -4x=-8.
    A(2)=(1−41601−8001)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&-4&16\\0&1&-8\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm A(0)\displaystyle A(0): pentru x=0\displaystyle x=0 toate elementele care conțin x\displaystyle x devin 0\displaystyle 0, deci A(0)\displaystyle A(0) este matricea unitate.
    A(0)=I3=(100010001)\displaystyle A(0)=I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element. Pe diagonală 1−1=0\displaystyle 1-1=0, iar celelalte elemente rămân cele din A(2)\displaystyle A(2). Notăm B=A(2)−A(0)\displaystyle B=A(2)-A(0).
    B=A(2)−A(0)=(0−41600−8000)\displaystyle B=A(2)-A(0)=\begin{pmatrix}0&-4&16\\0&0&-8\\0&0&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm B2=B⋅B\displaystyle B^{2}=B\cdot B. Singurul element nenul este cel de pe linia 1, coloana 3: (−4)⋅(−8)=32\displaystyle (-4)\cdot(-8)=32.
    B2=(0032000000)\displaystyle B^{2}=\begin{pmatrix}0&0&32\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
  5. Calculăm B3=B2⋅B\displaystyle B^{3}=B^{2}\cdot B. Elementele liniei 1 sunt sume de produse cu un factor nul (coloana 1 din B\displaystyle B este nulă, iar B2\displaystyle B^{2} are doar elementul din coloana 3), iar celelalte linii sunt nule, deci obținem matricea nulă.
    B3=O3\displaystyle B^{3}=O_3
  6. Scriem 2010=3⋅670\displaystyle 2010=3\cdot 670. Atunci B2010=(B3)670=O3670=O3\displaystyle B^{2010}=\left(B^{3}\right)^{670}=O_3^{670}=O_3.
    (A(2)−A(0))2010=O3\displaystyle \left(A(2)-A(0)\right)^{2010}=O_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Fie matricea A(x)=(1−2x4x201−4x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-2x&4x^2\\0&1&-4x\\0&0&1\end{pmatrix} din mulțimea M3(R)\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{R}). Arătați că A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y), oricare ar fi x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y), unde A(y)=(1−2y4y201−4y001)\displaystyle A(y)=\begin{pmatrix}1&-2y&4y^2\\0&1&-4y\\0&0&1\end{pmatrix}. Înmulțim fiecare linie a lui A(x)\displaystyle A(x) cu fiecare coloană a lui A(y)\displaystyle A(y).
    A(x)⋅A(y)=(1−2x4x201−4x001)(1−2y4y201−4y001)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1&-2x&4x^2\\0&1&-4x\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2y&4y^2\\0&1&-4y\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Prima linie a produsului: 1⋅1+(−2x)⋅0+4x2⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+(-2x)\cdot 0+4x^2\cdot 0=1; apoi 1⋅(−2y)+(−2x)⋅1+4x2⋅0=−2x−2y\displaystyle 1\cdot(-2y)+(-2x)\cdot 1+4x^2\cdot 0=-2x-2y; apoi 1⋅4y2+(−2x)⋅(−4y)+4x2⋅1=4y2+8xy+4x2\displaystyle 1\cdot 4y^2+(-2x)\cdot(-4y)+4x^2\cdot 1=4y^2+8xy+4x^2.
    (1−2x−2y4y2+8xy+4x2)\displaystyle \begin{pmatrix}1&-2x-2y&4y^2+8xy+4x^2\end{pmatrix}
  3. A doua linie a produsului: 0⋅1+1⋅0+(−4x)⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0+(-4x)\cdot 0=0; apoi 0⋅(−2y)+1⋅1+(−4x)⋅0=1\displaystyle 0\cdot(-2y)+1\cdot 1+(-4x)\cdot 0=1; apoi 0⋅4y2+1⋅(−4y)+(−4x)⋅1=−4x−4y\displaystyle 0\cdot 4y^2+1\cdot(-4y)+(-4x)\cdot 1=-4x-4y. A treia linie a produsului este (001)\displaystyle \begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}, deoarece ultima linie a lui A(x)\displaystyle A(x) este (001)\displaystyle \begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix} și se înmulțește cu A(y)\displaystyle A(y) dând tot (001)\displaystyle \begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}.
    (01−4x−4y001)\displaystyle \begin{pmatrix}0&1&-4x-4y\\0&0&1\end{pmatrix}
  4. Reunim cele trei linii și obținem matricea produs A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y).
    A(x)⋅A(y)=(1−2x−2y4y2+8xy+4x201−4x−4y001)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1&-2x-2y&4y^2+8xy+4x^2\\0&1&-4x-4y\\0&0&1\end{pmatrix}
  5. Înlocuim x\displaystyle x cu x+y\displaystyle x+y în definiția lui A\displaystyle A: −2(x+y)=−2x−2y\displaystyle -2(x+y)=-2x-2y, 4(x+y)2=4x2+8xy+4y2\displaystyle 4(x+y)^2=4x^2+8xy+4y^2 și −4(x+y)=−4x−4y\displaystyle -4(x+y)=-4x-4y. Aceste elemente coincid cu cele din produs, deci A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y).
    A(x+y)=(1−2x−2y4x2+8xy+4y201−4x−4y001)=A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x+y)=\begin{pmatrix}1&-2x-2y&4x^2+8xy+4y^2\\0&1&-4x-4y\\0&0&1\end{pmatrix}=A(x)\cdot A(y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Fie matricea A(x)=(1−2x4x201−4x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&-2x&4x^2\\0&1&-4x\\0&0&1\end{pmatrix} din mulțimea M3(R)\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{R}).

Demonstrați că matricea A(x)\displaystyle A(x) este inversabilă și calculați inversa matricei A(x)\displaystyle A(x).
Vezi rezolvarea
  1. Matricea A(x)\displaystyle A(x) este superior triunghiulară, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonala principală: det⁡(A(x))=1⋅1⋅1=1\displaystyle \det(A(x))=1\cdot 1\cdot 1=1, indiferent de x\displaystyle x.
    det⁡(A(x))=1≠0\displaystyle \det(A(x))=1\ne 0
  2. Cum determinantul este nenul, matricea A(x)\displaystyle A(x) este inversabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Pentru a găsi inversa, înlocuim x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în matrice și obținem A(−x)\displaystyle A(-x).
    A(−x)=(12x4x2014x001)\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix}1&2x&4x^2\\0&1&4x\\0&0&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul A(x)A(−x)\displaystyle A(x)A(-x) element cu element. Pe prima linie: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, apoi 1⋅2x+(−2x)⋅1=0\displaystyle 1\cdot 2x+(-2x)\cdot 1=0, apoi 1⋅4x2+(−2x)⋅4x+4x2⋅1=4x2−8x2+4x2=0\displaystyle 1\cdot 4x^2+(-2x)\cdot 4x+4x^2\cdot 1=4x^2-8x^2+4x^2=0. Pe a doua linie: 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 1⋅4x+(−4x)⋅1=0\displaystyle 1\cdot 4x+(-4x)\cdot 1=0. A treia linie este 0,0,1\displaystyle 0,0,1.
    A(x)A(−x)=(100010001)\displaystyle A(x)A(-x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  4. Rezultatul este matricea unitate I3\displaystyle I_3, care este chiar A(0)\displaystyle A(0). Deci A(x)A(−x)=A(0)=I3\displaystyle A(x)A(-x)=A(0)=I_3. Analog se verifică și A(−x)A(x)=I3\displaystyle A(-x)A(x)=I_3, deoarece A(−x)\displaystyle A(-x) este A(y)\displaystyle A(y) cu y=−x\displaystyle y=-x, iar relația are loc pentru orice y\displaystyle y real.
    A(x)A(−x)=A(0)=I3\displaystyle A(x)A(-x)=A(0)=I_3
  5. Din A(x)A(−x)=I3\displaystyle A(x)A(-x)=I_3 rezultă că inversa matricei A(x)\displaystyle A(x) este A(−x)\displaystyle A(-x).
    A−1(x)=A(−x)=(12x4x2014x001)\displaystyle A^{-1}(x)=A(-x)=\begin{pmatrix}1&2x&4x^2\\0&1&4x\\0&0&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,1)\displaystyle G=(0,1) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy2xy−x−y+1\displaystyle x*y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}.

Verificați dacă e=12\displaystyle e=\frac{1}{2} este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca 12\displaystyle \dfrac{1}{2} să fie element neutru, trebuie să arătăm că 12∈G\displaystyle \dfrac{1}{2}\in G și că x∗12=12∗x=x\displaystyle x*\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}*x=x pentru orice x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1). Observăm că 12∈(0,1)\displaystyle \dfrac{1}{2}\in(0,1).
    x∗12=12∗x=x\displaystyle x*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}*x=x, ∀x∈G\displaystyle \ \forall x\in G
  2. Înlocuim y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2} în definiția legii. Numărătorul devine x⋅12=x2\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{x}{2}.
    x∗12=x22x⋅12−x−12+1\displaystyle x*\frac{1}{2}=\frac{\frac{x}{2}}{2x\cdot\frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1}
  3. Simplificăm numitorul: 2x⋅12=x\displaystyle 2x\cdot\dfrac{1}{2}=x, deci x−x−12+1=12\displaystyle x-x-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}.
    2x⋅12−x−12+1=12\displaystyle 2x\cdot\frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}
  4. Împărțim numărătorul la numitor: x212=x\displaystyle \dfrac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x. Deci x∗12=x\displaystyle x*\dfrac{1}{2}=x.
    x∗12=x212=x\displaystyle x*\frac{1}{2}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x
  5. Expresia xy2xy−x−y+1\displaystyle \dfrac{xy}{2xy-x-y+1} este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea este comutativă. Rezultă că și 12∗x=x∗12=x\displaystyle \dfrac{1}{2}*x=x*\dfrac{1}{2}=x.
    12∗x=x∗12=x\displaystyle \frac{1}{2}*x=x*\frac{1}{2}=x
  6. Am verificat egalitățile pentru orice x∈G\displaystyle x\in G, deci 12\displaystyle \dfrac{1}{2} este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    e=12\displaystyle e=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,1)\displaystyle G=(0,1) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy2xy−x−y+1\displaystyle x*y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}.

Arătați că orice element din mulțimea G\displaystyle G este simetrizabil în raport cu legea „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Găsim elementul neutru. Legea este comutativă, deoarece expresia este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y. Calculăm x∗12\displaystyle x*\dfrac{1}{2}. La numitor, 2x⋅12−x−12+1=12\displaystyle 2x\cdot\dfrac{1}{2}-x-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}, iar numărătorul este x2\displaystyle \dfrac{x}{2}. Deci x∗12=x\displaystyle x*\dfrac{1}{2}=x, adică elementul neutru este e=12∈G\displaystyle e=\dfrac{1}{2}\in G.
    x∗12=x212=x, deci e=12\displaystyle x*\dfrac{1}{2}=\dfrac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x\text{, deci }e=\dfrac{1}{2}
  2. Pentru x∈G\displaystyle x\in G căutăm x′\displaystyle x' astfel încât x∗x′=e=12\displaystyle x*x'=e=\dfrac{1}{2}. Scriem egalitatea cu definiția legii. Numitorul 2xx′−x−x′+1=xx′+(1−x)(1−x′)\displaystyle 2xx'-x-x'+1=xx'+(1-x)(1-x') este pozitiv pe G\displaystyle G, deci fracția are sens.
    xx′2xx′−x−x′+1=12\displaystyle \dfrac{xx'}{2xx'-x-x'+1}=\dfrac{1}{2}
  3. Înmulțim în cruce: 2xx′=2xx′−x−x′+1\displaystyle 2xx'=2xx'-x-x'+1. Reducem termenii 2xx′\displaystyle 2xx' și obținem x+x′=1\displaystyle x+x'=1, deci x′=1−x\displaystyle x'=1-x. Cum legea este comutativă, avem și x′∗x=12\displaystyle x'*x=\dfrac{1}{2}, deci x′\displaystyle x' este simetricul lui x\displaystyle x.
    x+x′=1⇒x′=1−x\displaystyle x+x'=1\Rightarrow x'=1-x
  4. Verificăm că x′\displaystyle x' aparține lui G\displaystyle G. Din 0<x<1\displaystyle 0<x<1 rezultă −1<−x<0\displaystyle -1<-x<0, deci 0<1−x<1\displaystyle 0<1-x<1. Așadar x′∈G\displaystyle x'\in G, iar orice element al lui G\displaystyle G este simetrizabil în raport cu legea „∗\displaystyle *”.
    0<x′<1, deci x′∈G\displaystyle 0<x'<1\text{, deci }x'\in G
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,1)\displaystyle G=(0,1) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy2xy−x−y+1\displaystyle x*y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}.

Demonstrați că funcția f:G→R+∗\displaystyle f:G\to\mathbb{R}_+^*, f(x)=1x−1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}-1 este un izomorfism de la grupul (G,∗)\displaystyle (G,*) la grupul (R+∗,⋅)\displaystyle (\mathbb{R}_+^*,\cdot).
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că f\displaystyle f este bine definită: pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) avem 1x>1\displaystyle \dfrac{1}{x}>1, deci f(x)=1x−1>0\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}-1>0.
    f(x)=1x−1>0\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}-1>0
  2. Arătăm că f\displaystyle f este injectivă: dacă f(x)=f(y)\displaystyle f(x)=f(y), atunci 1x−1=1y−1\displaystyle \dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1}{y}-1, deci 1x=1y\displaystyle \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}, adică x=y\displaystyle x=y.
    f(x)=f(y)⇒x=y\displaystyle f(x)=f(y)\Rightarrow x=y
  3. Arătăm că f\displaystyle f este surjectivă: fie y>0\displaystyle y>0 și rezolvăm ecuația 1x−1=y\displaystyle \dfrac{1}{x}-1=y. Obținem x=1y+1\displaystyle x=\dfrac{1}{y+1}. Cum y+1>1\displaystyle y+1>1, rezultă că x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1), iar f(x)=y\displaystyle f(x)=y.
    x=1y+1∈(0,1) și f(x)=y\displaystyle x=\frac{1}{y+1}\in(0,1)\text{ și }f(x)=y
  4. Fiind injectivă și surjectivă, funcția f\displaystyle f este bijectivă.
    f este bijectiva˘\displaystyle f\text{ este bijectivă}
  5. Pentru x,y∈(0,1)\displaystyle x,y\in(0,1), numitorul legii este strict pozitiv, deoarece 2xy−x−y+1=xy+(1−x)(1−y)\displaystyle 2xy-x-y+1=xy+(1-x)(1-y), o sumă de numere pozitive. Deci x∗y\displaystyle x*y este bine definit și putem calcula f(x∗y)\displaystyle f(x*y).
    2xy−x−y+1=xy+(1−x)(1−y)>0\displaystyle 2xy-x-y+1=xy+(1-x)(1-y)>0
  6. Calculăm f(x∗y)\displaystyle f(x*y): inversul lui x∗y\displaystyle x*y este 2xy−x−y+1xy\displaystyle \dfrac{2xy-x-y+1}{xy}. Scădem 1\displaystyle 1, reducem termenii de la numărător și descompunem numărătorul în factori: xy−x−y+1=(x−1)(y−1)\displaystyle xy-x-y+1=(x-1)(y-1).
    f(x∗y)=2xy−x−y+1xy−1=xy−x−y+1xy=(x−1)(y−1)xy\displaystyle f(x*y)=\frac{2xy-x-y+1}{xy}-1=\frac{xy-x-y+1}{xy}=\frac{(x-1)(y-1)}{xy}
  7. Calculăm produsul f(x)f(y)\displaystyle f(x)f(y): aducem fiecare factor la același numitor, 1x−1=1−xx\displaystyle \dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}, și înmulțim. Deoarece (1−x)(1−y)=(x−1)(y−1)\displaystyle (1-x)(1-y)=(x-1)(y-1), obținem exact f(x∗y)\displaystyle f(x*y). Așadar f\displaystyle f este bijectivă și f(x∗y)=f(x)f(y)\displaystyle f(x*y)=f(x)f(y), deci f\displaystyle f este izomorfism de la (G,∗)\displaystyle (G,*) la (R+∗,⋅)\displaystyle (\mathbb{R}_+^*,\cdot).
    f(x)f(y)=(1x−1)(1y−1)=(x−1)(y−1)xy=f(x∗y)\displaystyle f(x)f(y)=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)=\frac{(x-1)(y-1)}{xy}=f(x*y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Fie funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)+1\displaystyle f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1.

Calculați f′(5)\displaystyle f'(5).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(5)\displaystyle f(5). Factorul (x−5)\displaystyle (x-5) se anulează pentru x=5\displaystyle x=5, deci produsul este 0\displaystyle 0 și f(5)=1\displaystyle f(5)=1.
    f(5)=3⋅2⋅1⋅0+1=1\displaystyle f(5)=3\cdot 2\cdot 1\cdot 0+1=1
  2. Scriem derivata în punctul 5\displaystyle 5 folosind definiția: f′(5)=lim⁡x→5f(x)−f(5)x−5\displaystyle f'(5)=\lim_{x\to5}\dfrac{f(x)-f(5)}{x-5}.
    f′(5)=lim⁡x→5f(x)−f(5)x−5\displaystyle f'(5)=\lim_{x\to5}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}
  3. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) și f(5)=1\displaystyle f(5)=1. Termenii +1\displaystyle +1 și −1\displaystyle -1 se reduc, iar numărătorul rămâne produsul celor patru factori.
    lim⁡x→5(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)+1−1x−5=lim⁡x→5(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)x−5\displaystyle \lim_{x\to5}\frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1-1}{x-5}=\lim_{x\to5}\frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{x-5}
  4. Pentru x≠5\displaystyle x\neq5 simplificăm cu x−5\displaystyle x-5, apoi rămâne o limită a unui produs de funcții continue.
    lim⁡x→5(x−2)(x−3)(x−4)\displaystyle \lim_{x\to5}(x-2)(x-3)(x-4)
  5. Înlocuim x=5\displaystyle x=5 în expresia rămasă: (5−2)(5−3)(5−4)=3⋅2⋅1=6\displaystyle (5-2)(5-3)(5-4)=3\cdot2\cdot1=6. Deci f′(5)=6\displaystyle f'(5)=6.
    f′(5)=3⋅2⋅1=6\displaystyle f'(5)=3\cdot 2\cdot 1=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Fie funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)+1\displaystyle f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1.

Calculați lim⁡n→+∞(f(n+1)−1f(n)−1)n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}\right)^n.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția funcției, f(x)−1=(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)\displaystyle f(x)-1=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5).
    f(x)−1=(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)\displaystyle f(x)-1=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
  2. Înlocuim x=n+1\displaystyle x=n+1: f(n+1)−1=(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)\displaystyle f(n+1)-1=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4).
    f(n+1)−1=(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)\displaystyle f(n+1)-1=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
  3. Avem f(n)−1=(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)\displaystyle f(n)-1=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5). Raportul este (n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)\displaystyle \dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}, iar după simplificarea factorilor n−2\displaystyle n-2, n−3\displaystyle n-3, n−4\displaystyle n-4 rămâne o fracție simplă.
    f(n+1)−1f(n)−1=n−1n−5\displaystyle \frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}=\frac{n-1}{n-5}
  4. Limita devine lim⁡n→+∞(n−1n−5)n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n-1}{n-5}\right)^n. Este o nedeterminare de forma 1∞\displaystyle 1^{\infty}, deoarece fracția tinde la 1.
    lim⁡n→+∞(n−1n−5)n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n-1}{n-5}\right)^n
  5. Deoarece n−1=(n−5)+4\displaystyle n-1=(n-5)+4, avem n−1n−5=1+4n−5\displaystyle \dfrac{n-1}{n-5}=1+\dfrac{4}{n-5}.
    lim⁡n→+∞(1+4n−5)n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{4}{n-5}\right)^n
  6. Scriem (1+4n−5)n=[(1+4n−5)n−54]4nn−5\displaystyle \left(1+\dfrac{4}{n-5}\right)^n=\left[\left(1+\dfrac{4}{n-5}\right)^{\frac{n-5}{4}}\right]^{\frac{4n}{n-5}}. Paranteza pătrată tinde la e\displaystyle e, deoarece 4n−5→0\displaystyle \dfrac{4}{n-5}\to 0 (limita remarcabilă (1+1u)u→e\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{u}\right)^u\to e).
    [(1+4n−5)n−54]4nn−5\displaystyle \left[\left(1+\frac{4}{n-5}\right)^{\frac{n-5}{4}}\right]^{\frac{4n}{n-5}}
  7. Exponentul are limita lim⁡n→+∞4nn−5=4\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{4n}{n-5}=4. Deci limita cerută este e4\displaystyle e^4.
    e4\displaystyle e^4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Fie funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)+1\displaystyle f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1.

Arătați că ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 are exact trei soluții reale distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm valorile funcției în punctele 2,3,4,5\displaystyle 2,3,4,5. În fiecare dintre ele unul dintre factorii produsului (x−2)(x−3)(x−4)(x−5)\displaystyle (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) se anulează, deci produsul este 0\displaystyle 0 și rămâne doar termenul 1\displaystyle 1.
    f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=1\displaystyle f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=1
  2. Funcția f\displaystyle f este polinomială, deci este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}. În particular, este continuă pe fiecare dintre intervalele închise [2,3]\displaystyle [2,3], [3,4]\displaystyle [3,4] și [4,5]\displaystyle [4,5].
    f continua˘ pe [2,3]\displaystyle f\text{ continuă pe }[2,3],[3,4]\displaystyle [3,4],[4,5]\displaystyle [4,5]
  3. Funcția f\displaystyle f este polinomială, deci este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. În particular, este derivabilă pe fiecare dintre intervalele deschise (2,3)\displaystyle (2,3), (3,4)\displaystyle (3,4) și (4,5)\displaystyle (4,5).
    f derivabila˘ pe (2,3)\displaystyle f\text{ derivabilă pe }(2,3),(3,4)\displaystyle (3,4),(4,5)\displaystyle (4,5)
  4. Aplicăm teorema lui Rolle pe fiecare dintre cele trei intervale. Deoarece f(2)=f(3)\displaystyle f(2)=f(3), f(3)=f(4)\displaystyle f(3)=f(4) și f(4)=f(5)\displaystyle f(4)=f(5), există a∈(2,3)\displaystyle a\in(2,3), b∈(3,4)\displaystyle b\in(3,4), c∈(4,5)\displaystyle c\in(4,5) astfel încât f′(a)=f′(b)=f′(c)=0\displaystyle f'(a)=f'(b)=f'(c)=0. Punctele sunt distincte, pentru că intervalele deschise sunt disjuncte.
    ∃ a∈(2,3)\displaystyle \exists\, a\in(2,3), b∈(3,4)\displaystyle \ b\in(3,4), c∈(4,5) cu f′(a)=f′(b)=f′(c)=0\displaystyle \ c\in(4,5)\text{ cu }f'(a)=f'(b)=f'(c)=0
  5. Funcția f\displaystyle f este polinom de gradul 4\displaystyle 4, deci f′\displaystyle f' este polinom de gradul 3\displaystyle 3. Un polinom de gradul 3\displaystyle 3 are cel mult 3\displaystyle 3 rădăcini reale. Am găsit deja trei rădăcini distincte a,b,c\displaystyle a,b,c, deci acestea sunt toate soluțiile ecuației f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0.
    f′(x)=0 are exact trei soluții \displaystyle f'(x)=0\text{ are exact trei soluții }reale distincte\displaystyle \text{reale distincte}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Fie șirul (In)n≥0\displaystyle (I_n)_{n\ge0}, In=∫01(x2+x+1)n−xx2+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{(x^2+x+1)^n-x}{x^2+1}\,dx.

Calculați I0\displaystyle I_0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=0\displaystyle n=0 avem (x2+x+1)0=1\displaystyle (x^{2}+x+1)^{0}=1, deci numărătorul devine 1−x\displaystyle 1-x. Obținem I0\displaystyle I_0 ca integrală din 1−xx2+1\displaystyle \dfrac{1-x}{x^{2}+1}.
    I0=∫011−xx2+1 dx\displaystyle I_0=\int_0^1\frac{1-x}{x^2+1}\,dx
  2. Separăm fracția în două integrale, folosind liniaritatea integralei: 1−xx2+1=1x2+1−xx2+1\displaystyle \dfrac{1-x}{x^{2}+1}=\dfrac{1}{x^{2}+1}-\dfrac{x}{x^{2}+1}.
    I0=∫011x2+1 dx−∫01xx2+1 dx\displaystyle I_0=\int_0^1\frac{1}{x^2+1}\,dx-\int_0^1\frac{x}{x^2+1}\,dx
  3. Prima integrală este uzuală: o primitivă a lui 1x2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1} este arctg x\displaystyle \mathrm{arctg}\,x. Evaluăm între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1: arctg 1=π4\displaystyle \mathrm{arctg}\,1=\dfrac{\pi}{4} și arctg 0=0\displaystyle \mathrm{arctg}\,0=0.
    ∫011x2+1 dx=arctg x∣01=π4\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x^2+1}\,dx=\mathrm{arctg}\,x\Big|_0^1=\frac{\pi}{4}
  4. La a doua integrală observăm că (x2+1)′=2x\displaystyle (x^{2}+1)'=2x, deci x\displaystyle x este jumătate din derivata numitorului. O primitivă a lui xx2+1\displaystyle \dfrac{x}{x^{2}+1} este 12ln⁡(x2+1)\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
    ∫xx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)+C\displaystyle \int\frac{x}{x^2+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C
  5. Evaluăm între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1: 12(ln⁡2−ln⁡1)\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\ln 2-\ln 1\right), iar ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    ∫01xx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)∣01=ln⁡22\displaystyle \int_0^1\frac{x}{x^2+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)\Big|_0^1=\frac{\ln 2}{2}
  6. Scădem cele două rezultate: I0=π4−ln⁡22\displaystyle I_0=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\ln 2}{2}.
    I0=π4−ln⁡22\displaystyle I_0=\frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Fie șirul (In)n≥0\displaystyle (I_n)_{n\ge0}, In=∫01(x2+x+1)n−xx2+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{(x^2+x+1)^n-x}{x^2+1}\,dx.

Verificați dacă I2−I0∈Q\displaystyle I_2-I_0\in\mathbb{Q}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem diferența I2−I0\displaystyle I_2-I_0 sub o singură integrală, având același numitor x2+1\displaystyle x^2+1: I2−I0=∫01(x2+x+1)2−x−(1−x)x2+1 dx\displaystyle I_2-I_0=\int_0^1\dfrac{(x^2+x+1)^2-x-(1-x)}{x^2+1}\,dx. Termenii cu x\displaystyle x se reduc, deoarece (x2+x+1)0=1\displaystyle (x^2+x+1)^0=1, deci rămâne (x2+x+1)2−1\displaystyle (x^2+x+1)^2-1 la numărător.
    I2−I0=∫01(x2+x+1)2−1x2+1 dx\displaystyle I_2-I_0=\int_0^1\frac{(x^2+x+1)^2-1}{x^2+1}\,dx
  2. Dezvoltăm pătratul: (x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1\displaystyle (x^2+x+1)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1. Scăzând 1\displaystyle 1, numărătorul devine x4+2x3+3x2+2x\displaystyle x^4+2x^3+3x^2+2x.
    (x2+x+1)2−1=x4+2x3+3x2+2x\displaystyle (x^2+x+1)^2-1=x^4+2x^3+3x^2+2x
  3. Împărțim numărătorul la x2+1\displaystyle x^2+1. Avem (x2+1)(x2+2x+2)=x4+2x3+3x2+2x+2\displaystyle (x^2+1)(x^2+2x+2)=x^4+2x^3+3x^2+2x+2, deci numărătorul este (x2+1)(x2+2x+2)−2\displaystyle (x^2+1)(x^2+2x+2)-2. Fracția se separă în doi termeni, iar integrala devine suma a două integrale.
    ∫01(x2+2x+2) dx−∫012x2+1 dx\displaystyle \int_0^1(x^2+2x+2)\,dx-\int_0^1\frac{2}{x^2+1}\,dx
  4. Prima integrală este polinomială: ∫01(x2+2x+2) dx=(x33+x2+2x)∣01=13+1+2=103\displaystyle \int_0^1(x^2+2x+2)\,dx=\left(\dfrac{x^3}{3}+x^2+2x\right)\Big|_0^1=\dfrac{1}{3}+1+2=\dfrac{10}{3}. Constanta 2\displaystyle 2 din a doua integrală se scoate în fața ei.
    103−2∫01dxx2+1\displaystyle \frac{10}{3}-2\int_0^1\frac{dx}{x^2+1}
  5. Primitiva lui 1x2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^2+1} este arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x, deci ∫01dxx2+1=arctg⁡1−arctg⁡0=π4\displaystyle \int_0^1\dfrac{dx}{x^2+1}=\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0=\dfrac{\pi}{4}. Atunci 2⋅π4=π2\displaystyle 2\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}.
    I2−I0=103−π2\displaystyle I_2-I_0=\frac{10}{3}-\frac{\pi}{2}
  6. Numărul 103\displaystyle \dfrac{10}{3} este rațional, iar π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} este irațional, deci diferența lor este irațională. Prin urmare I2−I0∉Q\displaystyle I_2-I_0\notin\mathbb{Q}.
    103−π2∉Q\displaystyle \frac{10}{3}-\frac{\pi}{2}\notin\mathbb{Q}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Fie șirul (In)n≥0\displaystyle (I_n)_{n\ge0}, In=∫01(x2+x+1)n−xx2+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{(x^2+x+1)^n-x}{x^2+1}\,dx.

Arătați că I4n+1∈Q\displaystyle I_{4n+1}\in\mathbb{Q}, oricare ar fi n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2+x+1=(x2+1)+x\displaystyle x^{2}+x+1=(x^{2}+1)+x. Deci, la împărțirea cu x2+1\displaystyle x^{2}+1, polinomul x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 dă restul x\displaystyle x.
    x2+x+1=(x2+1)+x\displaystyle x^{2}+x+1=(x^{2}+1)+x
  2. Folosim faptul că a−b\displaystyle a-b divide ak−bk\displaystyle a^{k}-b^{k}. Cu a=x2+x+1\displaystyle a=x^{2}+x+1 și b=x\displaystyle b=x, diferența a−b\displaystyle a-b este x2+1\displaystyle x^{2}+1. Rezultă că x2+1\displaystyle x^{2}+1 divide (x2+x+1)4n+1−x4n+1\displaystyle (x^{2}+x+1)^{4n+1}-x^{4n+1}.
    (x2+1) divide (x2+x+1)4n+1−x4n+1\displaystyle (x^{2}+1)\text{ divide }(x^{2}+x+1)^{4n+1}-x^{4n+1}
  3. Scriem x4n+1−x=x(x4n−1)\displaystyle x^{4n+1}-x=x\left(x^{4n}-1\right). Avem x4n=(x4)n\displaystyle x^{4n}=\left(x^{4}\right)^{n}, iar x4−1=(x2−1)(x2+1)\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1). Deoarece x4−1\displaystyle x^{4}-1 divide (x4)n−1\displaystyle \left(x^{4}\right)^{n}-1, rezultă că x2+1\displaystyle x^{2}+1 divide x4n+1−x\displaystyle x^{4n+1}-x.
    (x2+1) divide x4n+1−x\displaystyle (x^{2}+1)\text{ divide }x^{4n+1}-x
  4. Scriem numărătorul ca sumă a două polinoame divizibile cu x2+1\displaystyle x^{2}+1: (x2+x+1)4n+1−x=[(x2+x+1)4n+1−x4n+1]+[x4n+1−x]\displaystyle (x^{2}+x+1)^{4n+1}-x=\left[(x^{2}+x+1)^{4n+1}-x^{4n+1}\right]+\left[x^{4n+1}-x\right]. Deci x2+1\displaystyle x^{2}+1 divide numărătorul.
    X2+1 divide (X2+X+1)4n+1−X\displaystyle X^{2}+1\text{ divide }\left(X^{2}+X+1\right)^{4n+1}-X
  5. Câtul g\displaystyle g este polinom. Are coeficienți întregi, deoarece numărătorul are coeficienți întregi, iar împărțitorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 este monic, deci algoritmul de împărțire nu introduce fracții. Integrandul este astfel un polinom cu coeficienți întregi.
    (x2+x+1)4n+1−xx2+1=g(x)\displaystyle \frac{\left(x^{2}+x+1\right)^{4n+1}-x}{x^{2}+1}=g(x), g∈Z[X]\displaystyle \ g\in\mathbb{Z}[X]
  6. Scriem g(x)=∑k=0makxk\displaystyle g(x)=\sum_{k=0}^{m}a_kx^{k}, cu ak∈Z\displaystyle a_k\in\mathbb{Z}. Integrala ∫01akxk dx=akk+1\displaystyle \int_0^1 a_kx^{k}\,dx=\dfrac{a_k}{k+1} este număr rațional. Suma finită de numere raționale este rațională, deci I4n+1∈Q\displaystyle I_{4n+1}\in\mathbb{Q} pentru orice n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}.
    I4n+1=∫01g(x) dx=∑k=0makk+1∈Q\displaystyle I_{4n+1}=\int_0^1 g(x)\,dx=\sum_{k=0}^{m}\frac{a_k}{k+1}\in\mathbb{Q}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.