Bac matematică M1 mate-info 2015, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Se consideră numărul complex

\displaystyle z=1+i

. Calculați

\displaystyle (z-1)^2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim valoarea lui $\displaystyle z$ în expresia $\displaystyle z-1$ și reducem termenii: $\displaystyle z-1=(1+i)-1=i$ .
$\displaystyle z-1=i$
Ridicăm la pătrat rezultatul obținut: $\displaystyle (z-1)^{2}=i^{2}$ .
$\displaystyle (z-1)^{2}=i^{2}$
Folosim faptul că $\displaystyle i^{2}=-1$ , deci $\displaystyle (z-1)^{2}=-1$ .
$\displaystyle (z-1)^{2}=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 3(x_1+x_2)-4x_1x_2=3

, știind că

\displaystyle x_1

și

\displaystyle x_2

sunt soluțiile ecuației

\displaystyle x^2-5x+3=0

.

Vezi rezolvarea

Ecuația $\displaystyle x^{2}-5x+3=0$ are forma $\displaystyle ax^{2}+bx+c=0$ , cu $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-5$ , $\displaystyle c=3$ .
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=-5$ , $\displaystyle \ c=3$
Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este $\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-5}{1}$ .
$\displaystyle x_1+x_2=5$
Produsul rădăcinilor este $\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{1}$ .
$\displaystyle x_1x_2=3$
Înlocuim în expresie: $\displaystyle 3(x_1+x_2)-4x_1x_2=3\cdot 5-4\cdot 3=15-12$ , deci expresia este egală cu $\displaystyle 3$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle 3(x_1+x_2)-4x_1x_2=3\cdot 5-4\cdot 3=15-12=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 4^x-3\cdot 2^x+2=0

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle 4^x=(2^2)^x=(2^x)^2$ , deci ecuația devine $\displaystyle (2^x)^2-3\cdot 2^x+2=0$ .
$\displaystyle (2^x)^2-3\cdot 2^x+2=0$
Notăm $\displaystyle t=2^x$ , cu $\displaystyle t>0$ . Ecuația devine $\displaystyle t^2-3t+2=0$ .
$\displaystyle t^2-3t+2=0$ , $\displaystyle \quad t>0$
Discriminantul este $\displaystyle \Delta=9-8=1$ , deci $\displaystyle t=\dfrac{3\pm 1}{2}$ , adică $\displaystyle t_1=1$ și $\displaystyle t_2=2$ . Ambele sunt pozitive, deci convin. Echivalent, $\displaystyle t^2-3t+2=(t-1)(t-2)$ .
$\displaystyle t_1=1$ , $\displaystyle \ t_2=2$
Revenind la $\displaystyle x$ , ecuația este $\displaystyle (2^x-1)(2^x-2)=0$ , deci $\displaystyle 2^x=1$ sau $\displaystyle 2^x=2$ .
$\displaystyle (2^x-1)(2^x-2)=0\Leftrightarrow 2^x=1\text{ sau }2^x=2$
Din $\displaystyle 2^x=1=2^0$ obținem $\displaystyle x=0$ , iar din $\displaystyle 2^x=2=2^1$ obținem $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu

\displaystyle 13

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Cazurile posibile sunt numerele naturale de două cifre, adică numerele de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ .
$\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$
Numerele de două cifre divizibile cu $\displaystyle 13$ sunt multiplii de forma $\displaystyle 13k$ . Cel mai mic este $\displaystyle 13\cdot 1=13$ , iar cel mai mare este $\displaystyle 13\cdot 7=91$ . Pentru $\displaystyle k=8$ obținem $\displaystyle 13\cdot 8=104$ , care are trei cifre. Deci $\displaystyle k\in\{1,2,\ldots,7\}$ .
$\displaystyle \{13,26,39,52,65,78,91\}$
Numărăm multiplii găsiți: sunt $\displaystyle 7$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 7$
Numerele naturale de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ sunt în număr de $\displaystyle 99-10+1=90$ , deci avem $\displaystyle 90$ de cazuri posibile.
$\displaystyle 90$
Înlocuim în formula probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{7}{90}$ . Fracția este ireductibilă, deoarece $\displaystyle 7$ este prim și nu divide $\displaystyle 90$ .
$\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{7}{90}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră dreapta

\displaystyle d

de ecuație

\displaystyle y=3x+4

și punctul

\displaystyle A(1,0)

. Determinați ecuația paralelei duse prin punctul

\displaystyle A

la dreapta

\displaystyle d

.

Vezi rezolvarea

Dreapta $\displaystyle d$ are ecuația $\displaystyle y=3x+4$ , deci panta ei este coeficientul lui $\displaystyle x$ , adică $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle m_d=3$
Dreptele paralele au aceeași pantă, deci paralela prin $\displaystyle A$ la $\displaystyle d$ are panta egală cu $\displaystyle m_d$ .
$\displaystyle m=m_d=3$
Scriem ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(1,0)$ și are panta $\displaystyle 3$ , folosind formula $\displaystyle y-y_A=m(x-x_A)$ .
$\displaystyle y-0=3(x-1)$
Desfacem parantezele și obținem ecuația paralelei căutate.
$\displaystyle y=3x-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați raza cercului circumscris triunghiului

\displaystyle ABC

, știind că

\displaystyle AB=12

și

\displaystyle C=\frac{\pi}{6}

.

Vezi rezolvarea

Scriem teorema sinusurilor în triunghiul $\displaystyle ABC$ : raportul dintre latura $\displaystyle AB$ și sinusul unghiului opus $\displaystyle C$ este egal cu dublul razei cercului circumscris, adică $\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2R$ .
$\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2R$
Calculăm sinusul unghiului $\displaystyle C$ , știind că $\displaystyle C=\dfrac{\pi}{6}$ .
$\displaystyle \sin C=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$
Înlocuim $\displaystyle AB=12$ și $\displaystyle \sin C=\dfrac{1}{2}$ în relația din teorema sinusurilor.
$\displaystyle \dfrac{12}{\frac{1}{2}}=2R\Rightarrow 24=2R$
Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem raza cercului circumscris.
$\displaystyle R=12$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Calculați

\displaystyle \det(A(a))

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(a)$ , cu liniile date în enunț.
$\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{vmatrix}$
Observăm că linia a treia seamănă cu linia a doua. Valoarea determinantului nu se schimbă dacă scădem linia a doua din linia a treia: $\displaystyle L_3\to L_3-L_2$ .
$\displaystyle L_3\to L_3-L_2$
Calculăm elementele noii linii a treia, element cu element: $\displaystyle 2-0=2$ , $\displaystyle (a+2)-a=2$ , $\displaystyle (a+3)-(a+1)=2$ .
$\displaystyle L_3=\begin{pmatrix}2&2&2\end{pmatrix}$
Noua linie a treia este dublul primei linii $\displaystyle (1,1,1)$ , deci două linii sunt proporționale. Un determinant cu două linii proporționale este egal cu zero.
$\displaystyle \begin{vmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&2&2\end{vmatrix}=0\text{, deci }\det(A(a))=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul natural

\displaystyle n

, știind că

\displaystyle 2A(n^2)-A(n)=A(6)

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele $\displaystyle A(n^{2})$ și $\displaystyle A(n)$ , înlocuind pe $\displaystyle a$ cu $\displaystyle n^{2}$ , respectiv cu $\displaystyle n$ : $\displaystyle A(n^{2})=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&n^{2}&n^{2}+1\\2&n^{2}+2&n^{2}+3\end{pmatrix}$ , $\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&n&n+1\\2&n+2&n+3\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(n^{2})=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&n^{2}&n^{2}+1\\2&n^{2}+2&n^{2}+3\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ A(n)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&n&n+1\\2&n+2&n+3\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle 2A(n^{2})-A(n)$ element cu element. De exemplu, $\displaystyle 2\cdot 1-1=1$ , $\displaystyle 2\cdot 2-2=2$ , $\displaystyle 2n^{2}-n$ , $\displaystyle 2(n^{2}+1)-(n+1)=2n^{2}-n+1$ , $\displaystyle 2(n^{2}+2)-(n+2)=2n^{2}-n+2$ , $\displaystyle 2(n^{2}+3)-(n+3)=2n^{2}-n+3$ .
$\displaystyle 2A(n^{2})-A(n)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2n^{2}-n&2n^{2}-n+1\\2&2n^{2}-n+2&2n^{2}-n+3\end{pmatrix}$
Scriem matricea $\displaystyle A(6)$ , înlocuind $\displaystyle a$ cu $\displaystyle 6$ : $\displaystyle 6+1=7$ , $\displaystyle 6+2=8$ , $\displaystyle 6+3=9$ .
$\displaystyle A(6)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&6&7\\2&8&9\end{pmatrix}$
Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Din poziția $\displaystyle (2,2)$ obținem $\displaystyle 2n^{2}-n=6$ , iar celelalte egalități, $\displaystyle 2n^{2}-n+1=7$ , $\displaystyle 2n^{2}-n+2=8$ , $\displaystyle 2n^{2}-n+3=9$ , conduc la aceeași ecuație.
$\displaystyle 2n^{2}-n-6=0$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle 2n^{2}-n-6=0$ . Discriminantul este $\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-6)=49$ , deci $\displaystyle n=\dfrac{1\pm 7}{4}$ , adică $\displaystyle n=-\dfrac{3}{2}$ sau $\displaystyle n=2$ . Cum $\displaystyle n$ trebuie să fie număr natural, convine doar $\displaystyle n=2$ .
$\displaystyle n=-\dfrac{3}{2}\notin\mathbb{N}$ , $\displaystyle \ n=2\in\mathbb{N}\Rightarrow n=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că există o infinitate de matrice

\displaystyle X\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})

care verifică relația

\displaystyle A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

.

Vezi rezolvarea

Notăm $\displaystyle X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ . Relația $\displaystyle A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ dă sistemul omogen asociat:
$\displaystyle \begin{cases}x+y+z=0\\2015y+2016z=0\\2x+2017y+2018z=0\end{cases}$
$\displaystyle \begin{cases}x+y+z=0\\2015y+2016z=0\\2x+2017y+2018z=0\end{cases}$
Calculăm determinantul lui $\displaystyle A(2015)$ după prima linie: $\displaystyle \det A(2015)=1\cdot(2015\cdot 2018-2016\cdot 2017)-1\cdot(0\cdot 2018-2016\cdot 2)+1\cdot(0\cdot 2017-2015\cdot 2)$ . Avem $\displaystyle 2015\cdot 2018-2016\cdot 2017=-2$ , deci suma este $\displaystyle -2+4032-4030=0$ .
$\displaystyle \det A(2015)=-2+4032-4030=0$
Observăm că a treia ecuație este combinația $\displaystyle 2\cdot(x+y+z)+(2015y+2016z)$ , adică $\displaystyle 2x+2017y+2018z$ . Deci sistemul se reduce la două ecuații cu trei necunoscute, în concordanță cu faptul că $\displaystyle \det A(2015)=0$ .
$\displaystyle \begin{cases}x+y+z=0\\2015y+2016z=0\end{cases}$
Luăm $\displaystyle z=t$ , cu $\displaystyle t\in\mathbb{R}$ . Din a doua ecuație, $\displaystyle y=-\dfrac{2016}{2015}t$ . Din prima ecuație, $\displaystyle x=-y-z=\dfrac{t}{2015}$ . Verificarea: $\displaystyle x+y+z=\dfrac{1-2016+2015}{2015}t=0$ și $\displaystyle 2015y+2016z=-2016t+2016t=0$ .
$\displaystyle X=t\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2015}\\-\dfrac{2016}{2015}\\1\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ t\in\mathbb{R}$
Pentru fiecare $\displaystyle t\in\mathbb{R}$ obținem o matrice $\displaystyle X$ care verifică relația. Vectorul $\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{1}{2015}\\-\frac{2016}{2015}\\1\end{pmatrix}$ este nenul, deci valori diferite ale lui $\displaystyle t$ dau matrice diferite. Prin urmare, există o infinitate de matrice $\displaystyle X\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ care verifică relația $\displaystyle A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle \text{există o infinitate de }$ $\displaystyle \text{matrice }X\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+mX-3

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Pentru

\displaystyle m=2

, arătați că

\displaystyle f(1)=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=2$ în $\displaystyle f=X^3+mX-3$ și obținem polinomul $\displaystyle f=X^3+2X-3$ .
$\displaystyle f=X^3+2X-3$
Înlocuim $\displaystyle X=1$ în polinom: $\displaystyle f(1)=1^3+2\cdot 1-3$ .
$\displaystyle f(1)=1^3+2\cdot 1-3=1+2-3$
Efectuăm calculul: $\displaystyle 1+2-3=3-3=0$ . Deci $\displaystyle f(1)=0$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle f(1)=1+2-3=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+mX-3

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

, știind că polinomul

\displaystyle f

este divizibil cu

\displaystyle X+1

.

Vezi rezolvarea

Folosim teorema lui Bézout (teorema restului): polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X+1$ dacă și numai dacă $\displaystyle f(-1)=0$ , adică $\displaystyle -1$ este rădăcină a lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f\text{ este divizibil cu }X+1\Leftrightarrow f(-1)=0$
Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle -1$ în $\displaystyle f$ : $\displaystyle (-1)^3=-1$ , iar $\displaystyle m\cdot(-1)=-m$ .
$\displaystyle f(-1)=(-1)^3+m\cdot(-1)-3=-1-m-3=-m-4$
Punem condiția $\displaystyle f(-1)=0$ și rezolvăm ecuația în $\displaystyle m$ .
$\displaystyle -m-4=0\Rightarrow m=-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3+mX-3

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că, pentru orice număr real strict pozitiv

\displaystyle m

, polinomul

\displaystyle f

are două rădăcini de module egale.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ . Din relațiile lui Viète, $\displaystyle x_1+x_2+x_3=0$ (coeficientul lui $\displaystyle X^2$ este $\displaystyle 0$ ) și $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=0$ , $\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m$
Folosim identitatea $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$ și înlocuim valorile din Viète.
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=0^2-2m=-2m$
Cum $\displaystyle m>0$ , avem $\displaystyle -2m<0$ . Dacă toate rădăcinile ar fi reale, suma pătratelor lor ar fi $\displaystyle \ge 0$ , contradicție. Deci $\displaystyle f$ are cel puțin o rădăcină din $\displaystyle \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ .
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2m<0\Rightarrow f\text{ are cel puțin o rădăcină }$ $\displaystyle \text{din }\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$
Polinomul $\displaystyle f$ are coeficienți reali, deci dacă $\displaystyle z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ este rădăcină, atunci și $\displaystyle \overline{z}$ este rădăcină a lui $\displaystyle f$ , iar $\displaystyle z\neq\overline{z}$ .
$\displaystyle f(z)=0\Rightarrow f(\overline{z})=\overline{f(z)}=0$
Un număr complex și conjugatul său au același modul: $\displaystyle |z|=|\overline{z}|$ . Deci $\displaystyle f$ are două rădăcini de module egale.
$\displaystyle f\in\mathbb{R}[X]\Rightarrow f\text{ are două rădăcini }$ $\displaystyle \text{conjugate din }\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}\text{, care au modulele egale}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}

.

Calculați

\displaystyle f'(x)

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Folosim regula de derivare a câtului: $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ . Aici $\displaystyle u(x)=x+1$ și $\displaystyle v(x)=e^x-x$ . Numitorul nu se anulează, deoarece $\displaystyle e^x>x$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+1)'(e^x-x)-(x+1)(e^x-x)'}{(e^x-x)^2}$
Calculăm derivatele: $\displaystyle u'(x)=(x+1)'=1$ și $\displaystyle v'(x)=(e^x-x)'=e^x-1$ .
$\displaystyle u'(x)=1$ , $\displaystyle \quad v'(x)=e^x-1$
Înlocuim derivatele în formula câtului și obținem expresia:
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x-x-(x+1)(e^x-1)}{(e^x-x)^2}$
Desfacem produsul de la numărător: $\displaystyle (x+1)(e^x-1)=xe^x-x+e^x-1$ .
$\displaystyle (x+1)(e^x-1)=xe^x+e^x-x-1$
Scădem produsul din $\displaystyle e^x-x$ și reducem termenii asemenea: $\displaystyle e^x-x-xe^x-e^x+x+1=1-xe^x$ .
$\displaystyle e^x-x-\left(xe^x+e^x-x-1\right)=1-xe^x$
Scriem rezultatul final, cu numitorul neschimbat, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x_0=0

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Scriem ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=0$ : $\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ . Trebuie deci să calculăm $\displaystyle f(0)$ și $\displaystyle f'(0)$ .
$\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)$
Calculăm $\displaystyle f(0)$ : la numărător avem $\displaystyle 0+1=1$ , iar la numitor $\displaystyle e^{0}-0=1$ .
$\displaystyle f(0)=\dfrac{0+1}{e^{0}-0}=1$
Derivăm $\displaystyle f$ cu formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , unde $\displaystyle u=x+1$ și $\displaystyle v=e^{x}-x$ , deci $\displaystyle u'=1$ și $\displaystyle v'=e^{x}-1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(e^{x}-x)-(x+1)(e^{x}-1)}{(e^{x}-x)^{2}}$
Înlocuim $\displaystyle x=0$ în $\displaystyle f'(x)$ : numărătorul este $\displaystyle (1-0)-1\cdot(1-1)=1$ , iar numitorul este $\displaystyle 1^{2}=1$ .
$\displaystyle f'(0)=\dfrac{(e^{0}-0)-(0+1)(e^{0}-1)}{(e^{0}-0)^{2}}=\dfrac{1-0}{1}=1$
Înlocuim $\displaystyle f(0)=1$ și $\displaystyle f'(0)=1$ în ecuația tangentei: $\displaystyle y-1=1\cdot(x-0)$ , deci tangenta are ecuația $\displaystyle y=x+1$ .
$\displaystyle f(0)=1$ , $\displaystyle \ f'(0)=1$ , $\displaystyle \ y=x+1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(-x)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ în $\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{e^{x}-x}$ și obținem $\displaystyle f(-x)=\dfrac{-x+1}{e^{-x}-(-x)}=\dfrac{-x+1}{e^{-x}+x}$ . Limita cerută devine $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{-x+1}{e^{-x}+x}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}$
Numărătorul și numitorul tind la infinit în modul, deci împărțim ambii termeni ai fracției la $\displaystyle x$ , cu $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle \frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\frac{-1+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{e^{-x}}{x}+1}$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ avem $\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0$ și $\displaystyle e^{-x}\to 0$ , deci $\displaystyle \dfrac{e^{-x}}{x}\to 0$ . Înlocuim în fracție.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{-1+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{e^{-x}}{x}+1}=\frac{-1+0}{0+1}$
Efectuăm calculul: $\displaystyle \dfrac{-1+0}{0+1}=-1$ . Deci limita cerută este $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(-x)=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}

.

Calculați

\displaystyle \int_0^2 f^2(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Ridicăm funcția la pătrat: $\displaystyle f^2(x)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)^2$ . Cum $\displaystyle x^2+4>0$ , radicalul la pătrat dispare.
$\displaystyle f^2(x)=\frac{1}{x^2+4}$
Integrala devine $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 f^2(x)\,dx=\int_0^2\dfrac{1}{x^2+4}\,dx$ . Numitorul se scrie $\displaystyle x^2+2^2$ , deci putem folosi formula primitivei pentru arctangentă.
$\displaystyle \int_0^2\frac{1}{x^2+2^2}\,dx$
Folosim formula $\displaystyle \displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+a^2}\,dx=\dfrac{1}{a}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{a}+C$ cu $\displaystyle a=2$ .
$\displaystyle \int_0^2 f^2(x)\,dx=\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{x}{2}\Big|_0^2$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: pentru $\displaystyle x=2$ obținem $\displaystyle \dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}1$ , iar pentru $\displaystyle x=0$ obținem $\displaystyle \dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}0$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0\right)$
Folosim $\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}$ și $\displaystyle \operatorname{arctg}0=0$ . Obținem $\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{8}$ .
$\displaystyle \int_0^2 f^2(x)\,dx=\frac{\pi}{8}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}

.

Arătați că orice primitivă a funcției

\displaystyle f

este funcție crescătoare pe

\displaystyle \mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Fie $\displaystyle F$ o primitivă oarecare a funcției $\displaystyle f$ pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Din definiția primitivei, $\displaystyle F$ este derivabilă și derivata ei este chiar $\displaystyle f$ : $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle F'(x)=f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Studiem semnul numitorului. Pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle x^2\ge 0$ , deci $\displaystyle x^2+4\ge 4>0$ . Rezultă că $\displaystyle \sqrt{x^2+4}$ este bine definită și strict pozitivă.
$\displaystyle x^2+4\ge 4>0\Rightarrow \sqrt{x^2+4}>0$
Fracția are numărătorul $\displaystyle 1>0$ și numitorul pozitiv, deci $\displaystyle F'(x)>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . O funcție cu derivata pozitivă pe un interval este crescătoare pe acel interval, deci $\displaystyle F$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Cum $\displaystyle F$ a fost aleasă oarecare, orice primitivă a lui $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle F'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}>0\text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{, deci }F\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}

.

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1 x^nf(x)\,dx

. Arătați că

\displaystyle nI_n=\sqrt{5}-4(n-1)I_{n-2}

pentru orice număr natural

\displaystyle n

,

\displaystyle n\geq 3

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle I_n=\int_0^1 \dfrac{x^{n}}{\sqrt{x^2+4}}\,dx$ și observăm că $\displaystyle \dfrac{x^{n}}{\sqrt{x^2+4}}=x^{n-1}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ , unde $\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}=\left(\sqrt{x^2+4}\right)'$ .
$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^{n-1}\left(\sqrt{x^2+4}\right)'\,dx$
Aplicăm integrarea prin părți, cu $\displaystyle u=x^{n-1}$ și $\displaystyle dv=\left(\sqrt{x^2+4}\right)'dx$ . Atunci $\displaystyle du=(n-1)x^{n-2}dx$ și $\displaystyle v=\sqrt{x^2+4}$ . Termenul liber în $\displaystyle x=1$ este $\displaystyle \sqrt{5}$ , iar în $\displaystyle x=0$ este $\displaystyle 0$ , deoarece $\displaystyle n-1\geq 2$ .
$\displaystyle I_n=x^{n-1}\sqrt{x^2+4}\Big|_0^1-(n-1)\int_0^1 x^{n-2}\sqrt{x^2+4}\,dx=\sqrt{5}-(n-1)\int_0^1 x^{n-2}\sqrt{x^2+4}\,dx$
Scriem $\displaystyle \sqrt{x^2+4}=\dfrac{x^2+4}{\sqrt{x^2+4}}$ , deci integrala devine una cu numitorul $\displaystyle \sqrt{x^2+4}$ , ca în definiția lui $\displaystyle I_n$ .
$\displaystyle I_n=\sqrt{5}-(n-1)\int_0^1\frac{x^{n-2}(x^2+4)}{\sqrt{x^2+4}}\,dx$
Desfacem numărătorul: $\displaystyle x^{n-2}(x^2+4)=x^{n}+4x^{n-2}$ . Separăm integrala în două, iar primul termen este $\displaystyle I_n$ , iar al doilea este $\displaystyle 4I_{n-2}$ .
$\displaystyle I_n=\sqrt{5}-(n-1)I_n-4(n-1)I_{n-2}$
Mutăm $\displaystyle (n-1)I_n$ în membrul stâng: $\displaystyle I_n+(n-1)I_n=nI_n$ . Obținem relația cerută, valabilă pentru orice număr natural $\displaystyle n\geq 3$ .
$\displaystyle nI_n=\sqrt{5}-4(n-1)I_{n-2}\text{ pentru orice număr }$ $\displaystyle \text{natural }n\text{, }n\geq 3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2015, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani