Bac matematică M1 mate-info 2021, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul N=log⁡26−2log⁡23+log⁡224\displaystyle N=\log_2 6-2\log_2 3+\log_2 24 este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea alog⁡2b=log⁡2ba\displaystyle a\log_2 b=\log_2 b^{a}: avem 2log⁡23=log⁡232=log⁡29\displaystyle 2\log_2 3=\log_2 3^{2}=\log_2 9.
    2log⁡23=log⁡29\displaystyle 2\log_2 3=\log_2 9
  2. Înlocuim în N\displaystyle N și obținem N=log⁡26−log⁡29+log⁡224\displaystyle N=\log_2 6-\log_2 9+\log_2 24.
    N=log⁡26−log⁡29+log⁡224\displaystyle N=\log_2 6-\log_2 9+\log_2 24
  3. Folosim log⁡2a+log⁡2b=log⁡2(ab)\displaystyle \log_2 a+\log_2 b=\log_2 (ab) și log⁡2a−log⁡2b=log⁡2ab\displaystyle \log_2 a-\log_2 b=\log_2\dfrac{a}{b}, deci N=log⁡26⋅249\displaystyle N=\log_2\dfrac{6\cdot 24}{9}.
    N=log⁡26⋅249\displaystyle N=\log_2\frac{6\cdot 24}{9}
  4. Calculăm: 6⋅24=144\displaystyle 6\cdot 24=144, iar 1449=16\displaystyle \dfrac{144}{9}=16.
    6⋅249=16\displaystyle \frac{6\cdot 24}{9}=16
  5. Cum 16=24\displaystyle 16=2^{4}, rezultă N=log⁡216=4\displaystyle N=\log_2 16=4, care este număr natural.
    N=log⁡216=4, care este numa˘r natural\displaystyle N=\log_2 16=4\text{, care este număr natural}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+2\displaystyle f(x)=x^2-x+2. Arătați că dreapta de ecuație y=2\displaystyle y=2 intersectează graficul funcției f\displaystyle f în două puncte distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție dintre dreapta y=2\displaystyle y=2 și graficul funcției f\displaystyle f au ordonata 2\displaystyle 2, deci abscisele lor sunt soluțiile ecuației f(x)=2\displaystyle f(x)=2.
    f(x)=2\displaystyle f(x)=2
  2. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu x2−x+2\displaystyle x^2-x+2 și scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri, ca să obținem o ecuație de gradul al doilea fără termen liber.
    x2−x+2=2⇔x2−x=0\displaystyle x^2-x+2=2\Leftrightarrow x^2-x=0
  3. Descompunem prin scoaterea factorului comun x\displaystyle x, apoi egalăm fiecare factor cu zero.
    x(x−1)=0⇔x=0 sau x=1\displaystyle x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\text{ sau }x=1
  4. Ecuația are două soluții reale distincte, 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1 (la fel, discriminantul este Δ=1>0\displaystyle \Delta=1>0). Deci dreapta y=2\displaystyle y=2 intersectează graficul în punctele (0,2)\displaystyle (0,2) și (1,2)\displaystyle (1,2), adică în două puncte distincte.
    x1=0≠x2=1, deci punctele (0,2) și (1,2)\displaystyle x_1=0\neq x_2=1\text{, deci punctele }(0,2)\text{ și }(1,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−5=3x−1\displaystyle \sqrt{x^2-5}=\sqrt{3x-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Condițiile de existență sunt x2−5≥0\displaystyle x^2-5\ge 0 și 3x−1≥0\displaystyle 3x-1\ge 0. Deoarece cei doi radicali sunt egali, vom verifica la final soluțiile obținute în aceste condiții.
    x2−5≥0 și 3x−1≥0\displaystyle x^{2}-5\ge 0\text{ și }3x-1\ge 0
  2. Ridicăm ambii membri la pătrat: (x2−5)2=(3x−1)2\displaystyle \left(\sqrt{x^2-5}\right)^2=\left(\sqrt{3x-1}\right)^2, deci x2−5=3x−1\displaystyle x^2-5=3x-1.
    x2−5=3x−1\displaystyle x^{2}-5=3x-1
  3. Mutăm termenii în membrul stâng: x2−3x−5+1=0\displaystyle x^2-3x-5+1=0, adică x2−3x−4=0\displaystyle x^2-3x-4=0.
    x2−3x−4=0\displaystyle x^{2}-3x-4=0
  4. Avem a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=−4\displaystyle c=-4, deci Δ=b2−4ac=(−3)2−4⋅1⋅(−4)=9+16=25\displaystyle \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25.
    Δ=25\displaystyle \Delta=25
  5. Rădăcinile sunt x=3±52\displaystyle x=\dfrac{3\pm 5}{2}, adică x1=3−52=−1\displaystyle x_1=\dfrac{3-5}{2}=-1 și x2=3+52=4\displaystyle x_2=\dfrac{3+5}{2}=4.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1,x2=4\displaystyle \quad x_2=4
  6. Pentru x=−1\displaystyle x=-1: x2−5=−4<0\displaystyle x^2-5=-4<0 și 3x−1=−4<0\displaystyle 3x-1=-4<0, deci radicalii nu există și x=−1\displaystyle x=-1 nu convine. Pentru x=4\displaystyle x=4: x2−5=11\displaystyle x^2-5=11 și 3x−1=11\displaystyle 3x-1=11, deci 11=11\displaystyle \sqrt{11}=\sqrt{11} și x=4\displaystyle x=4 convine. Soluția ecuației este x=4\displaystyle x=4.
    x=−1, care nu convine, x=4, care convine\displaystyle x=-1\text{, care nu convine, }x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi A\displaystyle A, știind că mulțimea A\displaystyle A are exact 15\displaystyle 15 submulțimi cu două elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu n\displaystyle n numărul de elemente ale mulțimii A\displaystyle A. Numărul de submulțimi cu două elemente ale lui A\displaystyle A este numărul de combinări de n\displaystyle n luate câte 2\displaystyle 2, adică Cn2\displaystyle C_n^2, cu n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, n≥2\displaystyle n\geq 2.
    Cn2 submulțimi cu 2 elemente, n∈N\displaystyle C_n^2\text{ submulțimi cu }2\text{ elemente, }n\in\mathbb{N}, n≥2\displaystyle \ n\geq 2
  2. Din ipoteză, numărul de submulțimi cu două elemente este 15\displaystyle 15, deci Cn2=15\displaystyle C_n^2=15.
    Cn2=15\displaystyle C_n^2=15
  3. Scriem formula combinărilor: Cn2=n!2! (n−2)!=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\dfrac{n!}{2!\,(n-2)!}=\dfrac{n(n-1)}{2}. Obținem ecuația n(n−1)2=15\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}=15.
    n(n−1)2=15\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=15
  4. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem n(n−1)=30\displaystyle n(n-1)=30, adică n2−n−30=0\displaystyle n^{2}-n-30=0. Discriminantul este Δ=1+120=121\displaystyle \Delta=1+120=121, deci n=6\displaystyle n=6 sau n=−5\displaystyle n=-5. Cum n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N} și n≥2\displaystyle n\geq 2, rămâne n=6\displaystyle n=6. Verificare: 6⋅52=15\displaystyle \dfrac{6\cdot 5}{2}=15.
    n2−n−30=0⇒n=6 (deoarece n≥2)\displaystyle n^{2}-n-30=0\Rightarrow n=6\text{ (deoarece }n\geq 2\text{)}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC și punctele M\displaystyle M, N\displaystyle N și P\displaystyle P mijloacele segmentelor BC\displaystyle BC, BM\displaystyle BM, respectiv CM\displaystyle CM. Arătați că AM→+AN→+AP→=32(AB→+AC→)\displaystyle \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece M\displaystyle M este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, folosim formula vectorului median: AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} este jumătate din suma vectorilor AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} și AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}.
    AM→=12(AB→+AC→)\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)
  2. Arătăm că M\displaystyle M este mijlocul segmentului NP\displaystyle NP. Punctul N\displaystyle N este mijlocul lui BM\displaystyle BM, iar P\displaystyle P este mijlocul lui CM\displaystyle CM. Cum M\displaystyle M este mijlocul lui BC\displaystyle BC, avem BN=NM=MP=PC=BC4\displaystyle BN=NM=MP=PC=\dfrac{BC}{4}. Deci M\displaystyle M se află între N\displaystyle N și P\displaystyle P, la distanțe egale de ele.
    NM=MP, deci M este mijlocul lui NP\displaystyle NM=MP\text{, deci }M\text{ este mijlocul lui }NP
  3. Aplicăm din nou formula vectorului median, acum pentru mijlocul M\displaystyle M al segmentului NP\displaystyle NP: AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} este jumătate din suma vectorilor AN→\displaystyle \overrightarrow{AN} și AP→\displaystyle \overrightarrow{AP}.
    AM→=12(AN→+AP→)\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP}\right)
  4. Din relația precedentă obținem AN→+AP→=2AM→\displaystyle \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AM}. Adunăm AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} la ambii membri și obținem că suma celor trei vectori este 3AM→\displaystyle 3\overrightarrow{AM}.
    AM→+AN→+AP→=3AM→\displaystyle \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AM}
  5. Înlocuim AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} cu expresia din primul pas și obținem egalitatea cerută.
    AM→+AN→+AP→=3⋅12(AB→+AC→)=32(AB→+AC→)\displaystyle \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP}=3\cdot\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{3}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π)\displaystyle x\in(0,\pi), știind că sin⁡2x+2sin⁡2x=0\displaystyle \sin 2x+2\sin^2 x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm formula sinusului unghiului dublu: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x. Înlocuim în ecuație.
    2sin⁡xcos⁡x+2sin⁡2x=0\displaystyle 2\sin x\cos x+2\sin^{2}x=0
  2. Dăm factor comun 2sin⁡x\displaystyle 2\sin x și obținem un produs egal cu zero.
    2sin⁡x(cos⁡x+sin⁡x)=0\displaystyle 2\sin x(\cos x+\sin x)=0
  3. Un produs este zero când un factor este zero. Primul caz: sin⁡x=0\displaystyle \sin x=0. Pe intervalul (0,π)\displaystyle (0,\pi) sinusul este strict pozitiv, deci acest caz nu are soluții.
    sin⁡x>0 pe (0,π)⇒sin⁡x=0 nu convine\displaystyle \sin x>0\text{ pe }(0,\pi)\Rightarrow \sin x=0\text{ nu convine}
  4. Al doilea caz: cos⁡x+sin⁡x=0\displaystyle \cos x+\sin x=0. Deoarece sin⁡x≠0\displaystyle \sin x\neq 0, rezultă cos⁡x≠0\displaystyle \cos x\neq 0, deci împărțim la cos⁡x\displaystyle \cos x și obținem tg⁡x=−1\displaystyle \operatorname{tg}x=-1.
    tg⁡x=−1\displaystyle \operatorname{tg}x=-1
  5. În intervalul (0,π)\displaystyle (0,\pi) tangenta este egală cu −1\displaystyle -1 doar în cadranul al doilea, adică pentru x=π−π4\displaystyle x=\pi-\dfrac{\pi}{4}.
    x=π−π4=3π4\displaystyle x=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b,c)=(111abcbcacab)\displaystyle A(a,b,c)=\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\bc&ac&ab\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(0,1,2))=2\displaystyle \det(A(0,1,2))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0, b=1\displaystyle b=1, c=2\displaystyle c=2 în matricea A(a,b,c)\displaystyle A(a,b,c). Prima linie rămâne (1,1,1)\displaystyle (1,1,1). A doua linie este (a,b,c)=(0,1,2)\displaystyle (a,b,c)=(0,1,2). A treia linie este (bc,ac,ab)\displaystyle (bc,ac,ab), adică bc=1⋅2=2\displaystyle bc=1\cdot 2=2, ac=0⋅2=0\displaystyle ac=0\cdot 2=0, ab=0⋅1=0\displaystyle ab=0\cdot 1=0.
    A(0,1,2)=(111012200)⇒det⁡(A(0,1,2))=∣111012200∣\displaystyle A(0,1,2)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\2&0&0\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(0,1,2))=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&2\\2&0&0\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Suma produselor pe diagonala principală și pe paralelele ei este 1⋅1⋅0+0⋅0⋅1+2⋅1⋅2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0+0\cdot 0\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2. Din ea scădem produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei: 2⋅1⋅1+0⋅0⋅1+1⋅2⋅0\displaystyle 2\cdot 1\cdot 1+0\cdot 0\cdot 1+1\cdot 2\cdot 0.
    0+0+4−2−0−0\displaystyle 0+0+4-2-0-0
  3. Efectuăm calculul: 0+0+4−2−0−0=2\displaystyle 0+0+4-2-0-0=2. Deci det⁡(A(0,1,2))=2\displaystyle \det(A(0,1,2))=2, așa cum trebuia arătat.
    det⁡(A(0,1,2))=0+0+4−2−0−0=2\displaystyle \det(A(0,1,2))=0+0+4-2-0-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b,c)=(111abcbcacab)\displaystyle A(a,b,c)=\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\bc&ac&ab\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt numere reale.

Demonstrați că det⁡(A(a,b,c))=(b−a)(c−a)(c−b)\displaystyle \det(A(a,b,c))=(b-a)(c-a)(c-b), pentru orice numere reale a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a,b,c)\displaystyle A(a,b,c) conform enunțului.
    det⁡(A(a,b,c))=∣111abcbcacab∣\displaystyle \det(A(a,b,c))=\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\bc&ac&ab\end{vmatrix}
  2. Pentru a obține zerouri pe prima linie, facem operațiile C2→C2−C1\displaystyle C_2\to C_2-C_1 și C3→C3−C1\displaystyle C_3\to C_3-C_1. Aceste operații nu modifică valoarea determinantului.
    det⁡(A(a,b,c))=∣100ab−ac−abcac−bcab−bc∣\displaystyle \det(A(a,b,c))=\begin{vmatrix}1&0&0\\a&b-a&c-a\\bc&ac-bc&ab-bc\end{vmatrix}
  3. Factorizăm elementele din ultima linie: ac−bc=c(a−b)=−c(b−a)\displaystyle ac-bc=c(a-b)=-c(b-a) și ab−bc=b(a−c)=−b(c−a)\displaystyle ab-bc=b(a-c)=-b(c-a).
    ∣100ab−ac−abc−c(b−a)−b(c−a)∣\displaystyle \begin{vmatrix}1&0&0\\a&b-a&c-a\\bc&-c(b-a)&-b(c-a)\end{vmatrix}
  4. Dezvoltăm determinantul după prima linie, care are un singur element nenul, 1\displaystyle 1. Rămâne un determinant de ordin 2\displaystyle 2.
    ∣b−ac−a−c(b−a)−b(c−a)∣\displaystyle \begin{vmatrix}b-a&c-a\\-c(b-a)&-b(c-a)\end{vmatrix}
  5. Calculăm determinantul de ordin 2\displaystyle 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară.
    (b−a)⋅(−b(c−a))−(c−a)⋅(−c(b−a))=−b(b−a)(c−a)+c(b−a)(c−a)\displaystyle (b-a)\cdot\left(-b(c-a)\right)-(c-a)\cdot\left(-c(b-a)\right)=-b(b-a)(c-a)+c(b-a)(c-a)
  6. Dăm factor comun (b−a)(c−a)\displaystyle (b-a)(c-a) și obținem rezultatul cerut.
    (b−a)(c−a)(c−b)\displaystyle (b-a)(c-a)(c-b)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b,c)=(111abcbcacab)\displaystyle A(a,b,c)=\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\bc&ac&ab\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt numere reale.

Demonstrați că, dacă m\displaystyle m, n\displaystyle n și p\displaystyle p sunt numere naturale, cu m<n<p\displaystyle m<n<p, astfel încât determinantul matricei A(m,n,p)\displaystyle A(m,n,p) este număr prim, atunci numerele m\displaystyle m, n\displaystyle n și p\displaystyle p sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(a,b,c)\displaystyle A(a,b,c) prin regula lui Sarrus: det⁡A=1⋅b⋅ab+1⋅c⋅bc+1⋅a⋅ac−1⋅b⋅bc−1⋅a⋅ab−1⋅c⋅ac\displaystyle \det A=1\cdot b\cdot ab+1\cdot c\cdot bc+1\cdot a\cdot ac-1\cdot b\cdot bc-1\cdot a\cdot ab-1\cdot c\cdot ac.
    det⁡A(a,b,c)=ab2+bc2+a2c−b2c−a2b−ac2\displaystyle \det A(a,b,c)=ab^{2}+bc^{2}+a^{2}c-b^{2}c-a^{2}b-ac^{2}
  2. Expresia se anulează când a=b\displaystyle a=b, b=c\displaystyle b=c sau a=c\displaystyle a=c, deci se divide cu (b−a)\displaystyle (b-a), (c−a)\displaystyle (c-a) și (c−b)\displaystyle (c-b). Gradul este 3\displaystyle 3, deci determinantul este produsul acestor diferențe, până la o constantă. Pentru a=0\displaystyle a=0, b=1\displaystyle b=1, c=2\displaystyle c=2 obținem bc2−b2c=4−2=2=(1−0)(2−0)(2−1)\displaystyle bc^{2}-b^{2}c=4-2=2=(1-0)(2-0)(2-1), deci constanta este 1\displaystyle 1. Pentru m\displaystyle m, n\displaystyle n, p\displaystyle p avem:
    det⁡(A(m,n,p))=(n−m)(p−m)(p−n)\displaystyle \det(A(m,n,p))=(n-m)(p-m)(p-n)
  3. Din m<n<p\displaystyle m<n<p rezultă că n−m>0\displaystyle n-m>0, p−n>0\displaystyle p-n>0 și p−m>0\displaystyle p-m>0, toți fiind numere naturale. Cum p−m=(p−n)+(n−m)\displaystyle p-m=(p-n)+(n-m), iar ambii termeni sunt strict pozitivi, avem p−m>p−n\displaystyle p-m>p-n și p−m>n−m\displaystyle p-m>n-m.
    p−m>p−n>0 și p−m>n−m>0\displaystyle p-m>p-n>0\text{ și }p-m>n-m>0
  4. Numărul (n−m)(p−m)(p−n)\displaystyle (n-m)(p-m)(p-n) este prim, deci are doar divizorii 1\displaystyle 1 și el însuși. Factorul p−m≥2\displaystyle p-m\geq 2, fiindcă este strict mai mare decât p−n≥1\displaystyle p-n\geq 1. Dacă n−m≥2\displaystyle n-m\geq 2 sau p−n≥2\displaystyle p-n\geq 2, atunci p−m\displaystyle p-m ar fi un divizor propriu al produsului, diferit de 1\displaystyle 1 și de produs, deoarece celălalt factor ar fi cel puțin 2\displaystyle 2 sau n−m\displaystyle n-m și p−n\displaystyle p-n nu ar fi ambii egali cu 1\displaystyle 1. Contradicție, deci cei doi factori mai mici sunt egali cu 1\displaystyle 1.
    n−m=1 și p−n=1\displaystyle n-m=1\text{ și }p-n=1
  5. Cum p−n=n−m=1\displaystyle p-n=n-m=1, avem n=m+1\displaystyle n=m+1 și p=m+2\displaystyle p=m+2. Diferența dintre doi termeni vecini este constantă, deci m\displaystyle m, n\displaystyle n, p\displaystyle p sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, cu rația 1\displaystyle 1.
    p−n=n−m=1\displaystyle p-n=n-m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
În mulțimea Z3[X]\displaystyle \mathbb{Z}_3[X] se consideră polinomul f=X4+aX3+2^X+b\displaystyle f=X^4+aX^3+\hat{2}X+b, unde a,b∈Z3\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}_3.

Pentru a=1^\displaystyle a=\hat{1} și b=2^\displaystyle b=\hat{2}, arătați că f(0^)+f(2^)=2^\displaystyle f(\hat{0})+f(\hat{2})=\hat{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1^\displaystyle a=\hat{1} și b=2^\displaystyle b=\hat{2} în f=X4+aX3+2^X+b\displaystyle f=X^4+aX^3+\hat{2}X+b și obținem polinomul concret.
    f=X4+X3+2^X+2^\displaystyle f=X^4+X^3+\hat{2}X+\hat{2}
  2. Calculăm f(0^)\displaystyle f(\hat{0}): termenii care conțin pe X\displaystyle X devin 0^\displaystyle \hat{0}, deci rămâne termenul liber.
    f(0^)=0^4+0^3+2^⋅0^+2^=2^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{0}^4+\hat{0}^3+\hat{2}\cdot\hat{0}+\hat{2}=\hat{2}
  3. Calculăm f(2^)\displaystyle f(\hat{2}). Folosim 2^4=16^=1^\displaystyle \hat{2}^4=\hat{16}=\hat{1}, 2^3=8^=2^\displaystyle \hat{2}^3=\hat{8}=\hat{2} și 2^⋅2^=4^=1^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{2}=\hat{4}=\hat{1}. Suma se reduce modulo 3.
    f(2^)=1^+2^+1^+2^=6^=0^\displaystyle f(\hat{2})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}
  4. Adunăm valorile f(0^)=2^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{2} și f(2^)=0^\displaystyle f(\hat{2})=\hat{0} în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3.
    f(0^)+f(2^)=2^+0^=2^\displaystyle f(\hat{0})+f(\hat{2})=\hat{2}+\hat{0}=\hat{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
În mulțimea Z3[X]\displaystyle \mathbb{Z}_3[X] se consideră polinomul f=X4+aX3+2^X+b\displaystyle f=X^4+aX^3+\hat{2}X+b, unde a,b∈Z3\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}_3.

Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b), cu a,b∈Z3\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}_3, pentru care polinomul f\displaystyle f este divizibil cu X+2^\displaystyle X+\hat{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Rezolvăm ecuația X+2^=0^\displaystyle X+\hat{2}=\hat{0}. Obținem X=−2^=1^\displaystyle X=-\hat{2}=\hat{1}, deci rădăcina lui X+2^\displaystyle X+\hat{2} în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3 este 1^\displaystyle \hat{1}.
    X+2^=0^⇒X=1^\displaystyle X+\hat{2}=\hat{0}\Rightarrow X=\hat{1}
  2. Conform teoremei lui Bézout, f\displaystyle f este divizibil cu X+2^\displaystyle X+\hat{2} dacă și numai dacă f(1^)=0^\displaystyle f(\hat{1})=\hat{0}.
    f divizibil cu X+2^⇔f(1^)=0^\displaystyle f\text{ divizibil cu }X+\hat{2}\Leftrightarrow f(\hat{1})=\hat{0}
  3. Calculăm f(1^)=1^4+a⋅1^3+2^⋅1^+b=1^+a+2^+b\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}^4+a\cdot\hat{1}^3+\hat{2}\cdot\hat{1}+b=\hat{1}+a+\hat{2}+b. Cum 1^+2^=3^=0^\displaystyle \hat{1}+\hat{2}=\hat{3}=\hat{0} în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3, obținem f(1^)=a+b\displaystyle f(\hat{1})=a+b. Condiția f(1^)=0^\displaystyle f(\hat{1})=\hat{0} devine a+b=0^\displaystyle a+b=\hat{0}.
    f(1^)=a+b=0^\displaystyle f(\hat{1})=a+b=\hat{0}
  4. Din a+b=0^\displaystyle a+b=\hat{0} avem b=−a\displaystyle b=-a. Pentru a=0^\displaystyle a=\hat{0} obținem b=0^\displaystyle b=\hat{0}. Pentru a=1^\displaystyle a=\hat{1} obținem b=−1^=2^\displaystyle b=-\hat{1}=\hat{2}. Pentru a=2^\displaystyle a=\hat{2} obținem b=−2^=1^\displaystyle b=-\hat{2}=\hat{1}.
    a=0^⇒b=0^; a=1^⇒b=2^; a=2^⇒b=1^\displaystyle a=\hat{0}\Rightarrow b=\hat{0};\ a=\hat{1}\Rightarrow b=\hat{2};\ a=\hat{2}\Rightarrow b=\hat{1}
  5. Perechile (a,b)\displaystyle (a,b) cerute sunt (0^,0^)\displaystyle (\hat{0},\hat{0}), (1^,2^)\displaystyle (\hat{1},\hat{2}) și (2^,1^)\displaystyle (\hat{2},\hat{1}).
    (0^,0^)\displaystyle (\hat{0},\hat{0}),(1^,2^) și (2^,1^)\displaystyle (\hat{1},\hat{2})\text{ și }(\hat{2},\hat{1})
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
În mulțimea Z3[X]\displaystyle \mathbb{Z}_3[X] se consideră polinomul f=X4+aX3+2^X+b\displaystyle f=X^4+aX^3+\hat{2}X+b, unde a,b∈Z3\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}_3.

Arătați că, pentru orice a,b∈Z3\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}_3, există x,y∈Z3\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}_3, cu x≠y\displaystyle x\neq y, astfel încât f(x)=f(y)\displaystyle f(x)=f(y).
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem prin absurd că pentru orice x,y∈Z3\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}_3 cu x≠y\displaystyle x\neq y avem f(x)≠f(y)\displaystyle f(x)\neq f(y). Atunci f(0^),f(1^),f(2^)\displaystyle f(\hat{0}),f(\hat{1}),f(\hat{2}) sunt trei elemente distincte din Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3, deci sunt exact elementele 0^,1^,2^\displaystyle \hat{0},\hat{1},\hat{2} luate într-o anumită ordine.
    {f(0^),f(1^),f(2^)}={0^,1^,2^}\displaystyle \{f(\hat{0}),f(\hat{1}),f(\hat{2})\}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2}\}
  2. Calculăm f(0^)\displaystyle f(\hat{0}): rămâne doar termenul liber.
    f(0^)=b\displaystyle f(\hat{0})=b
  3. Calculăm f(1^)\displaystyle f(\hat{1}), folosind 1^+2^=3^=0^\displaystyle \hat{1}+\hat{2}=\hat{3}=\hat{0} în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3.
    f(1^)=1^+a+2^+b=a+b\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}+a+\hat{2}+b=a+b
  4. Calculăm f(2^)\displaystyle f(\hat{2}), folosind 2^4=16^=1^\displaystyle \hat{2}^4=\hat{16}=\hat{1}, 2^3=8^=2^\displaystyle \hat{2}^3=\hat{8}=\hat{2} și 2^⋅2^=4^=1^\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{2}=\hat{4}=\hat{1} în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3.
    f(2^)=1^+2^a+1^+b=2^a+b+2^\displaystyle f(\hat{2})=\hat{1}+\hat{2}a+\hat{1}+b=\hat{2}a+b+\hat{2}
  5. Adunăm cele trei valori. Termenii cu a\displaystyle a și b\displaystyle b se adună la 3^a\displaystyle \hat{3}a și 3^b\displaystyle \hat{3}b, care sunt 0^\displaystyle \hat{0} în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3, deci rămâne 2^\displaystyle \hat{2}, indiferent de a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    f(0^)+f(1^)+f(2^)=b+(a+b)+(2^a+b+2^)=3^a+3^b+2^=2^\displaystyle f(\hat{0})+f(\hat{1})+f(\hat{2})=b+(a+b)+(\hat{2}a+b+\hat{2})=\hat{3}a+\hat{3}b+\hat{2}=\hat{2}
  6. Dacă valorile ar fi 0^,1^,2^\displaystyle \hat{0},\hat{1},\hat{2} în altă ordine, suma lor ar fi 0^+1^+2^=3^=0^\displaystyle \hat{0}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{3}=\hat{0}. Dar am obținut suma 2^\displaystyle \hat{2}, deci contradicție. Presupunerea este falsă, deci există x≠y\displaystyle x\neq y în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3 cu f(x)=f(y)\displaystyle f(x)=f(y).
    f(0^)+f(1^)+f(2^)=0^+1^+2^=0^, ceea ce este fals\displaystyle f(\hat{0})+f(\hat{1})+f(\hat{2})=\hat{0}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}\text{, ceea ce este fals}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xexex+2\displaystyle f(x)=\frac{xe^x}{e^x+2}.

Arătați că f′(x)=ex(ex+2x+2)(ex+2)2\displaystyle f'(x)=\frac{e^x\left(e^x+2x+2\right)}{\left(e^x+2\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția ca un cât: u(x)=xex\displaystyle u(x)=xe^{x} și v(x)=ex+2\displaystyle v(x)=e^{x}+2. Vom aplica formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f=uv\displaystyle f=\frac{u}{v},u(x)=xex\displaystyle \quad u(x)=xe^{x},v(x)=ex+2\displaystyle \quad v(x)=e^{x}+2
  2. Derivăm numărătorul cu formula produsului: u′(x)=(x)′ex+x(ex)′=ex+xex\displaystyle u'(x)=(x)'e^{x}+x\left(e^{x}\right)'=e^{x}+xe^{x}.
    u′(x)=ex+xex\displaystyle u'(x)=e^{x}+xe^{x}
  3. Derivăm numitorul: v′(x)=(ex+2)′=ex\displaystyle v'(x)=\left(e^{x}+2\right)'=e^{x}.
    v′(x)=ex\displaystyle v'(x)=e^{x}
  4. Înlocuim în formula câtului. Termenul uv′\displaystyle uv' este xex⋅ex=xe2x\displaystyle xe^{x}\cdot e^{x}=xe^{2x}.
    f′(x)=(ex+xex)(ex+2)−xe2x(ex+2)2\displaystyle f'(x)=\frac{\left(e^{x}+xe^{x}\right)\left(e^{x}+2\right)-xe^{2x}}{\left(e^{x}+2\right)^{2}}
  5. Desfacem parantezele de la numărător: (ex+xex)(ex+2)=e2x+2ex+xe2x+2xex\displaystyle \left(e^{x}+xe^{x}\right)\left(e^{x}+2\right)=e^{2x}+2e^{x}+xe^{2x}+2xe^{x}. Scădem xe2x\displaystyle xe^{2x}, deci termenii cu xe2x\displaystyle xe^{2x} se reduc.
    e2x+2ex+2xex(ex+2)2\displaystyle \frac{e^{2x}+2e^{x}+2xe^{x}}{\left(e^{x}+2\right)^{2}}
  6. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător: e2x+2ex+2xex=ex(ex+2x+2)\displaystyle e^{2x}+2e^{x}+2xe^{x}=e^{x}\left(e^{x}+2x+2\right). Astfel se obține egalitatea cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=ex(ex+2x+2)(ex+2)2, x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{e^{x}\left(e^{x}+2x+2\right)}{\left(e^{x}+2\right)^{2}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xexex+2\displaystyle f(x)=\frac{xe^x}{e^x+2}. Arătați că dreapta de ecuație y=x\displaystyle y=x este asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: dreapta y=mx+n\displaystyle y=mx+n este asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty dacă m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right) sunt finite. Trebuie să arătăm că m=1\displaystyle m=1 și n=0\displaystyle n=0.
    m=lim⁡x→+∞f(x)x și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\text{ și }n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Calculăm raportul f(x)x=xexx(ex+2)\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{xe^x}{x\left(e^x+2\right)}. Simplificăm cu x\displaystyle x (pentru x≠0\displaystyle x\neq 0) și obținem exex+2\displaystyle \dfrac{e^x}{e^x+2}.
    f(x)x=exex+2\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{e^x}{e^x+2}
  3. Trecem la limită: exex+2=11+2ex\displaystyle \dfrac{e^x}{e^x+2}=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{e^x}}. Cum 2ex→0\displaystyle \dfrac{2}{e^x}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, limita este 1\displaystyle 1. Deci panta este m=1\displaystyle m=1.
    lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞exex+2=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{e^x+2}=1
  4. Pentru termenul liber, scriem f(x)−x=xex−x(ex+2)ex+2\displaystyle f(x)-x=\dfrac{xe^x-x\left(e^x+2\right)}{e^x+2}.
    f(x)−x=xex−x(ex+2)ex+2\displaystyle f(x)-x=\frac{xe^x-x\left(e^x+2\right)}{e^x+2}
  5. Desfacem paranteza la numărător: xex−xex−2x=−2x\displaystyle xe^x-xe^x-2x=-2x. Deci f(x)−x=−2xex+2\displaystyle f(x)-x=\dfrac{-2x}{e^x+2}.
    f(x)−x=−2xex+2\displaystyle f(x)-x=\frac{-2x}{e^x+2}
  6. Exponențiala crește mai repede decât x\displaystyle x, deci lim⁡x→+∞xex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0 (de exemplu cu regula lui l'Hospital: xex→1ex→0\displaystyle \dfrac{x}{e^x}\to\dfrac{1}{e^x}\to 0). Atunci −2xex+2=−2⋅xex1+2ex→0\displaystyle \dfrac{-2x}{e^x+2}=\dfrac{-2\cdot\dfrac{x}{e^x}}{1+\dfrac{2}{e^x}}\to 0. Așadar n=0\displaystyle n=0 și dreapta y=x\displaystyle y=x este asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty la graficul lui f\displaystyle f.
    lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞−2xex+2=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x}{e^x+2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xexex+2\displaystyle f(x)=\frac{xe^x}{e^x+2}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f are un unic punct de extrem.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata lui f\displaystyle f cu formula derivatei unui cât: f′(x)=(ex+xex)(ex+2)−xex⋅ex(ex+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(e^{x}+xe^{x})(e^{x}+2)-xe^{x}\cdot e^{x}}{(e^{x}+2)^{2}}.
    f′(x)=(ex+xex)(ex+2)−xex⋅ex(ex+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(e^{x}+xe^{x})(e^{x}+2)-xe^{x}\cdot e^{x}}{(e^{x}+2)^{2}}
  2. Desfacem parantezele la numărător: e2x+2ex+xe2x+2xex−xe2x\displaystyle e^{2x}+2e^{x}+xe^{2x}+2xe^{x}-xe^{2x}. Termenii xe2x\displaystyle xe^{2x} se reduc, apoi dăm factor comun ex\displaystyle e^{x}. Obținem factorul ex+2x+2\displaystyle e^{x}+2x+2.
    f′(x)=ex(ex+2x+2)(ex+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}\left(e^{x}+2x+2\right)}{(e^{x}+2)^{2}}
  3. Notăm g(x)=ex+2x+2\displaystyle g(x)=e^{x}+2x+2. Numitorul și ex\displaystyle e^{x} sunt strict pozitivi, deci semnul lui f′\displaystyle f' este semnul lui g\displaystyle g. Derivata lui g\displaystyle g este g′(x)=ex+2>0\displaystyle g'(x)=e^{x}+2>0, deci g\displaystyle g este strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    g′(x)=ex+2>0, deci g este strict cresca˘toare\displaystyle g'(x)=e^{x}+2>0\text{, deci }g\text{ este strict crescătoare}
  4. Calculăm limitele lui g\displaystyle g la capetele domeniului. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, ex→0\displaystyle e^{x}\to 0, iar 2x+2→−∞\displaystyle 2x+2\to-\infty. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, g(x)→+∞\displaystyle g(x)\to+\infty. Funcția g\displaystyle g este continuă și strict crescătoare, deci ia o singură dată valoarea 0\displaystyle 0, într-un punct c\displaystyle c. De exemplu g(−2)=e−2−2<0\displaystyle g(-2)=e^{-2}-2<0 și g(−1)=e−1>0\displaystyle g(-1)=e^{-1}>0, deci c∈(−2,−1)\displaystyle c\in(-2,-1).
    lim⁡x→−∞g(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty, lim⁡x→+∞g(x)=+∞, deci exista˘ un unic c cu g(c)=0\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\text{, deci există un unic }c\text{ cu }g(c)=0
  5. Deoarece g\displaystyle g este strict crescătoare și g(c)=0\displaystyle g(c)=0, avem g(x)<0\displaystyle g(x)<0 pentru x<c\displaystyle x<c și g(x)>0\displaystyle g(x)>0 pentru x>c\displaystyle x>c. Prin urmare f′\displaystyle f' este negativă pe (−∞,c)\displaystyle (-\infty,c) și pozitivă pe (c,+∞)\displaystyle (c,+\infty). Derivata își schimbă semnul doar în c\displaystyle c, deci f\displaystyle f este strict descrescătoare înainte de c\displaystyle c și strict crescătoare după c\displaystyle c. Așadar c\displaystyle c este singurul punct de extrem al lui f\displaystyle f (un punct de minim).
    f′(x)<0 pe (−∞,c), f′(x)>0 pe (c,+∞), deci f are un unic punct de \displaystyle f'(x)<0\text{ pe }(-\infty,c)\text{, }f'(x)>0\text{ pe }(c,+\infty)\text{, deci }f\text{ are un unic punct de }extrem\displaystyle \text{extrem}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2(x+3)x2+4x+5\displaystyle f(x)=\frac{2(x+3)}{\sqrt{x^2+4x+5}}.

Arătați că ∫01f(x)x2+4x+5 dx=7\displaystyle \int_0^1 f(x)\sqrt{x^2+4x+5}\,dx=7.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată: I=∫01f(x)x2+4x+5 dx\displaystyle I=\int_0^1 f(x)\sqrt{x^2+4x+5}\,dx.
    I=∫012(x+3)x2+4x+5⋅x2+4x+5 dx\displaystyle I=\int_0^1 \frac{2(x+3)}{\sqrt{x^2+4x+5}}\cdot\sqrt{x^2+4x+5}\,dx
  2. Radicalul de la numitor se simplifică cu factorul x2+4x+5\displaystyle \sqrt{x^2+4x+5}, care este nenul, deoarece x2+4x+5=(x+2)2+1>0\displaystyle x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0. Rămâne de integrat 2(x+3)\displaystyle 2(x+3).
    I=∫012(x+3) dx=∫01(2x+6) dx\displaystyle I=\int_0^1 2(x+3)\,dx=\int_0^1 (2x+6)\,dx
  3. O primitivă a funcției 2x+6\displaystyle 2x+6 este x2+6x\displaystyle x^2+6x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    I=(x2+6x)∣01\displaystyle I=\left(x^2+6x\right)\Big|_0^1
  4. Înlocuim limitele: 12+6⋅1−(02+6⋅0)=1+6−0−0=7\displaystyle 1^2+6\cdot 1-\left(0^2+6\cdot 0\right)=1+6-0-0=7. Deci integrala este egală cu 7\displaystyle 7, ceea ce trebuia arătat.
    I=1+6−0−0=7\displaystyle I=1+6-0-0=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2(x+3)x2+4x+5\displaystyle f(x)=\frac{2(x+3)}{\sqrt{x^2+4x+5}}.

Arătați că ∫01(f2(x)−4)dx=4ln⁡2\displaystyle \int_0^1\left(f^2(x)-4\right)dx=4\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratul funcției: f2(x)=4(x+3)2x2+4x+5\displaystyle f^2(x)=\dfrac{4(x+3)^2}{x^2+4x+5}, deoarece pătratul radicalului este chiar expresia de sub radical (aceasta este strict pozitivă, deci f\displaystyle f este bine definită).
    f2(x)=4(x+3)2x2+4x+5\displaystyle f^2(x)=\frac{4(x+3)^2}{x^2+4x+5}
  2. Scădem 4 și aducem la același numitor, scriind 4=4(x2+4x+5)x2+4x+5\displaystyle 4=\dfrac{4\left(x^2+4x+5\right)}{x^2+4x+5}.
    f2(x)−4=4(x+3)2−4(x2+4x+5)x2+4x+5\displaystyle f^2(x)-4=\frac{4(x+3)^2-4\left(x^2+4x+5\right)}{x^2+4x+5}
  3. Dezvoltăm numărătorul: (x+3)2=x2+6x+9\displaystyle (x+3)^2=x^2+6x+9, deci 4(x2+6x+9)−4(x2+4x+5)=4(2x+4)\displaystyle 4\left(x^2+6x+9\right)-4\left(x^2+4x+5\right)=4(2x+4). Scoatem constanta 4\displaystyle 4 în fața integralei.
    ∫01(f2(x)−4)dx=∫014(x+3)2−4(x2+4x+5)x2+4x+5dx=4∫012x+4x2+4x+5dx\displaystyle \int_0^1\left(f^2(x)-4\right)dx=\int_0^1\frac{4(x+3)^2-4\left(x^2+4x+5\right)}{x^2+4x+5}dx=4\int_0^1\frac{2x+4}{x^2+4x+5}dx
  4. Observăm că (x2+4x+5)′=2x+4\displaystyle \left(x^2+4x+5\right)'=2x+4, adică exact numărătorul. Integrandul are deci forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u}.
    4∫01(x2+4x+5)′x2+4x+5dx\displaystyle 4\int_0^1\frac{\left(x^2+4x+5\right)'}{x^2+4x+5}dx
  5. Integrăm: o primitivă este ln⁡(x2+4x+5)\displaystyle \ln\left(x^2+4x+5\right) (argumentul este pozitiv, deci nu este nevoie de modul). Aplicăm formula Leibniz-Newton: la x=1\displaystyle x=1 valoarea expresiei este 10\displaystyle 10, iar la x=0\displaystyle x=0 este 5\displaystyle 5. Atunci 4(ln⁡10−ln⁡5)=4ln⁡105=4ln⁡2\displaystyle 4(\ln 10-\ln 5)=4\ln\dfrac{10}{5}=4\ln 2.
    4ln⁡(x2+4x+5)∣01=4(ln⁡10−ln⁡5)=4ln⁡2\displaystyle 4\ln\left(x^2+4x+5\right)\Big|_0^1=4(\ln 10-\ln 5)=4\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2(x+3)x2+4x+5\displaystyle f(x)=\frac{2(x+3)}{\sqrt{x^2+4x+5}}.

Se consideră numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, cu 0≤a<b\displaystyle 0\leq a<b. Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫abfn(x) dx\displaystyle I_n=\int_a^b f^n(x)\,dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=+∞\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=+\infty.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că numitorul este pozitiv, deoarece x2+4x+5=(x+2)2+1>0\displaystyle x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0. Pentru x≥0\displaystyle x\geq 0 avem x+3>0\displaystyle x+3>0, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 pe intervalul [a,b]\displaystyle [a,b], care este conținut în [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    f(x)>0 pentru x∈[a,b]\displaystyle f(x)>0\text{ pentru }x\in[a,b]
  2. Calculăm f2(x)−4\displaystyle f^2(x)-4: aducem la același numitor și desfacem parantezele de la numărător.
    f2(x)−4=4(x+3)2−4(x2+4x+5)x2+4x+5=4(2x+4)x2+4x+5\displaystyle f^2(x)-4=\frac{4(x+3)^2-4(x^2+4x+5)}{x^2+4x+5}=\frac{4(2x+4)}{x^2+4x+5}
  3. Pentru x≥0\displaystyle x\geq 0 avem 2x+4>0\displaystyle 2x+4>0 și numitorul este pozitiv, deci f2(x)−4≥0\displaystyle f^2(x)-4\geq 0, adică f2(x)≥4\displaystyle f^2(x)\geq 4. Cum f(x)>0\displaystyle f(x)>0, rezultă f(x)≥2\displaystyle f(x)\geq 2. Ridicând la puterea n\displaystyle n (ambii membri sunt pozitivi), obținem fn(x)≥2n\displaystyle f^n(x)\geq 2^n.
    f2(x)−4≥0, f(x)≥2, deci fn(x)≥2n pentru x∈[a,b]\displaystyle f^2(x)-4\geq 0\text{, }f(x)\geq 2\text{, deci }f^n(x)\geq 2^n\text{ pentru }x\in[a,b]
  4. Folosim monotonia integralei pe [a,b]\displaystyle [a,b], unde a<b\displaystyle a<b: integrala lui fn\displaystyle f^n este mai mare sau egală cu integrala constantei 2n\displaystyle 2^n, iar aceasta din urmă este 2n(b−a)\displaystyle 2^n(b-a).
    In=∫abfn(x) dx≥∫ab2n dx=2n(b−a)\displaystyle I_n=\int_a^b f^n(x)\,dx\geq\int_a^b 2^n\,dx=2^n(b-a)
  5. Deoarece b−a>0\displaystyle b-a>0 și lim⁡n→+∞2n=+∞\displaystyle \lim_{n\to+\infty}2^n=+\infty, rezultă că 2n(b−a)→+∞\displaystyle 2^n(b-a)\to+\infty. Fiind minorat de un șir care tinde la +∞\displaystyle +\infty, In\displaystyle I_n tinde și el la +∞\displaystyle +\infty.
    In≥2n(b−a) și lim⁡n→+∞2n=+∞, deci lim⁡n→+∞In=+∞\displaystyle I_n\geq 2^n(b-a)\text{ și }\lim_{n\to+\infty}2^n=+\infty\text{, deci }\lim_{n\to+\infty}I_n=+\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.