Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 18: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că, dacă z=3+i\displaystyle z=3+i, unde z\displaystyle z este număr complex, atunci z2−6z+10=0\displaystyle z^2-6z+10=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z=3+i\displaystyle z=3+i în expresia z2−6z+10\displaystyle z^{2}-6z+10.
    z2−6z+10=(3+i)2−6(3+i)+10\displaystyle z^{2}-6z+10=(3+i)^{2}-6(3+i)+10
  2. Dezvoltăm pătratul cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, apoi distribuim −6\displaystyle -6 în paranteză.
    (3+i)2−6(3+i)+10=9+6i+i2−18−6i+10\displaystyle (3+i)^{2}-6(3+i)+10=9+6i+i^{2}-18-6i+10
  3. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1 și observăm că 6i\displaystyle 6i și −6i\displaystyle -6i se anulează.
    9+6i+i2−18−6i+10=9+(−1)−18+10\displaystyle 9+6i+i^{2}-18-6i+10=9+(-1)-18+10
  4. Calculăm: 9−1−18+10=0\displaystyle 9-1-18+10=0, deci z2−6z+10=0\displaystyle z^{2}-6z+10=0.
    9+(−1)−8=0\displaystyle 9+(-1)-8=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x\displaystyle f(x)=x^2-4x și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2+2x−6\displaystyle g(x)=x^2+2x-6. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f\displaystyle f și g\displaystyle g.
Vezi rezolvarea
  1. Abscisa punctului de intersecție este valoarea lui x\displaystyle x pentru care cele două funcții au aceeași valoare, deci punem condiția f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)
  2. Înlocuim expresiile celor două funcții: x2−4x=x2+2x−6\displaystyle x^{2}-4x=x^{2}+2x-6.
    x2−4x=x2+2x−6\displaystyle x^{2}-4x=x^{2}+2x-6
  3. Mutăm toți termenii într-o parte. Termenii x2\displaystyle x^{2} se reduc, iar rămâne −4x−2x=−6\displaystyle -4x-2x=-6, adică −6x=−6\displaystyle -6x=-6.
    −6x=−6\displaystyle -6x=-6
  4. Împărțim ambii membri la −6\displaystyle -6 și obținem x=1\displaystyle x=1. Este singura soluție, deci graficele se intersectează într-un singur punct, iar abscisa lui este 1\displaystyle 1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x+3=x+1\displaystyle \sqrt{2x+3}=x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că ecuația are sens doar dacă 2x+3≥0\displaystyle 2x+3\ge 0, iar radicalul este mereu pozitiv sau nul, deci trebuie ca x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0. Condiția este x≥−1\displaystyle x\ge -1.
    x≥−1\displaystyle x\ge -1
  2. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat: (2x+3)2=(x+1)2\displaystyle \left(\sqrt{2x+3}\right)^{2}=(x+1)^{2}.
    2x+3=(x+1)2\displaystyle 2x+3=(x+1)^{2}
  3. Dezvoltăm pătratul: 2x+3=x2+2x+1\displaystyle 2x+3=x^{2}+2x+1. Reducem termenii asemenea: 2x\displaystyle 2x se reduce cu 2x\displaystyle 2x, iar 3−1=2\displaystyle 3-1=2. Obținem x2=2\displaystyle x^{2}=2.
    2x+3=x2+2x+1⇒x2=2\displaystyle 2x+3=x^{2}+2x+1\Rightarrow x^{2}=2
  4. Rezolvăm ecuația x2=2\displaystyle x^{2}=2. Soluțiile sunt x=−2\displaystyle x=-\sqrt{2} și x=2\displaystyle x=\sqrt{2}.
    x=−2 sau x=2\displaystyle x=-\sqrt{2}\text{ sau }x=\sqrt{2}
  5. Verificăm soluțiile în ecuația inițială. Pentru x=−2\displaystyle x=-\sqrt{2}, membrul drept este 1−2<0\displaystyle 1-\sqrt{2}<0, deci nu poate fi egal cu un radical; soluția nu convine (nici condiția x≥−1\displaystyle x\ge -1 nu este îndeplinită). Pentru x=2\displaystyle x=\sqrt{2}, avem x+1>0\displaystyle x+1>0 și 22+3=(2+1)2=2+1\displaystyle \sqrt{2\sqrt{2}+3}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}=\sqrt{2}+1, deci soluția convine.
    x=−2, care nu convine sau x=2, care convine\displaystyle x=-\sqrt{2}\text{, care nu convine sau }x=\sqrt{2}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor sale să fie un număr prim.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt numerele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul lor este 99−9=90\displaystyle 99-9=90. Acesta este numărul cazurilor posibile.
    90\displaystyle 90
  2. Scriem numărul ca ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu a∈{1,…,9}\displaystyle a\in\{1,\dots,9\} și b∈{0,…,9}\displaystyle b\in\{0,\dots,9\}. Produsul a⋅b\displaystyle a\cdot b este prim doar dacă are exact doi divizori, 1\displaystyle 1 și el însuși. Asta se întâmplă când una dintre cifre este 1\displaystyle 1, iar cealaltă este un număr prim. Dacă ambele cifre ar fi cel puțin 2\displaystyle 2, produsul ar avea cel puțin trei divizori. Dacă ambele ar fi 1\displaystyle 1, produsul ar fi 1\displaystyle 1, care nu este prim. Dacă b=0\displaystyle b=0, produsul este 0\displaystyle 0, care nu este prim.
    {a,b}={1,p}\displaystyle \{a,b\}=\{1,p\}, p∈{2,3,5,7}\displaystyle \ p\in\{2,3,5,7\}
  3. Dacă prima cifră este 1\displaystyle 1, a doua cifră poate fi 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3, 5\displaystyle 5 sau 7\displaystyle 7. Obținem numerele 12,13,15,17\displaystyle 12,13,15,17. Dacă a doua cifră este 1\displaystyle 1, prima cifră poate fi 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3, 5\displaystyle 5 sau 7\displaystyle 7. Obținem numerele 21,31,51,71\displaystyle 21,31,51,71. Cele două liste nu au elemente comune, deci sunt 4+4=8\displaystyle 4+4=8 cazuri favorabile.
    {12,13,15,17,21,31,51,71}\displaystyle \{12,13,15,17,21,31,51,71\}, 8 cazuri favorabile\displaystyle \ 8\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm formula probabilității, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=890=445\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{8}{90}=\frac{4}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,2)\displaystyle A(-1,2) și B(3,−1)\displaystyle B(3,-1). Știind că punctul M\displaystyle M este simetricul lui A\displaystyle A față de B\displaystyle B și punctul N\displaystyle N este simetricul lui B\displaystyle B față de M\displaystyle M, determinați coordonatele punctului N\displaystyle N.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul M(xM,yM)\displaystyle M(x_M,y_M) este simetricul lui A\displaystyle A față de B\displaystyle B, deci B\displaystyle B este mijlocul segmentului AM\displaystyle AM. Scriem: xB=xA+xM2\displaystyle x_B=\dfrac{x_A+x_M}{2} și yB=yA+yM2\displaystyle y_B=\dfrac{y_A+y_M}{2}.
    {3=−1+xM2−1=2+yM2\displaystyle \begin{cases}3=\dfrac{-1+x_M}{2}\\-1=\dfrac{2+y_M}{2}\end{cases}
  2. Din prima ecuație −1+xM=6\displaystyle -1+x_M=6, deci xM=7\displaystyle x_M=7. Din a doua, 2+yM=−2\displaystyle 2+y_M=-2, deci yM=−4\displaystyle y_M=-4.
    M(7,−4)\displaystyle M(7,-4)
  3. Punctul N(xN,yN)\displaystyle N(x_N,y_N) este simetricul lui B\displaystyle B față de M\displaystyle M, deci M\displaystyle M este mijlocul segmentului BN\displaystyle BN. Scriem: xM=xB+xN2\displaystyle x_M=\dfrac{x_B+x_N}{2} și yM=yB+yN2\displaystyle y_M=\dfrac{y_B+y_N}{2}.
    {7=3+xN2−4=−1+yN2\displaystyle \begin{cases}7=\dfrac{3+x_N}{2}\\-4=\dfrac{-1+y_N}{2}\end{cases}
  4. Din prima ecuație 3+xN=14\displaystyle 3+x_N=14, deci xN=11\displaystyle x_N=11. Din a doua, −1+yN=−8\displaystyle -1+y_N=-8, deci yN=−7\displaystyle y_N=-7. Deci punctul căutat este N(11,−7)\displaystyle N(11,-7).
    N(11,−7)\displaystyle N(11,-7)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că, dacă x∈[0,π2]\displaystyle x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] și sin⁡x+cos⁡x=cos⁡2x\displaystyle \sin x+\cos x=\cos 2x, atunci sin⁡x−cos⁡x=−1\displaystyle \sin x-\cos x=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem cosinusul unghiului dublu ca diferență de pătrate: cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\displaystyle \cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x.
    cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\displaystyle \cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x
  2. Înlocuim în egalitatea dată sin⁡x+cos⁡x=cos⁡2x\displaystyle \sin x+\cos x=\cos 2x și descompunem diferența de pătrate: a2−b2=(a+b)(a−b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).
    sin⁡x+cos⁡x=(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x)\displaystyle \sin x+\cos x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)
  3. Arătăm că sin⁡x+cos⁡x≠0\displaystyle \sin x+\cos x\neq 0: pentru x∈[0,π2]\displaystyle x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] avem sin⁡x≥0\displaystyle \sin x\ge 0 și cos⁡x≥0\displaystyle \cos x\ge 0, iar cele două nu se anulează simultan, deci suma este strict pozitivă.
    sin⁡x+cos⁡x>0\displaystyle \sin x+\cos x>0
  4. Împărțim egalitatea la sin⁡x+cos⁡x≠0\displaystyle \sin x+\cos x\neq 0 și obținem cos⁡x−sin⁡x=1\displaystyle \cos x-\sin x=1.
    cos⁡x−sin⁡x=1\displaystyle \cos x-\sin x=1
  5. Înmulțim relația cu −1\displaystyle -1 și obținem sin⁡x−cos⁡x=−1\displaystyle \sin x-\cos x=-1, ceea ce trebuia arătat.
    cos⁡x−sin⁡x=1, deci sin⁡x−cos⁡x=−1\displaystyle \cos x-\sin x=1\text{, deci }\sin x-\cos x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A(x)=(2x00012x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2^x & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} și I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=2\displaystyle \det(A(1))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Elementul 2x\displaystyle 2^x devine 21=2\displaystyle 2^1=2, iar elementul 2x\displaystyle 2x devine 2\displaystyle 2.
    A(1)=(200012001)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1).
    det⁡(A(1))=∣200012001∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus. Produsul elementelor de pe diagonala principală este 2⋅1⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1\cdot 1=2, iar ceilalți cinci termeni conțin fiecare cel puțin un element nul, deci sunt egali cu 0\displaystyle 0.
    det⁡(A(1))=2⋅1⋅1+0+0−0−0−0=2+0+0−0−0−0\displaystyle \det(A(1))=2\cdot1\cdot1+0+0-0-0-0=2+0+0-0-0-0
  4. Adunăm și scădem termenii: 2+0+0−0−0−0=2\displaystyle 2+0+0-0-0-0=2. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    det⁡(A(1))=2\displaystyle \det(A(1))=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A(x)=(2x00012x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2^x & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} și I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(x)\displaystyle A(x) și A(y)\displaystyle A(y) și formăm produsul lor: A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y), pe care îl calculăm cu regula linie pe coloană.
    A(x)⋅A(y)=(2x00012x001)⋅(2y00012y001)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}2^x & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2^y & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2y\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
  2. Prima linie: 2x⋅2y+0+0=2x⋅2y\displaystyle 2^x\cdot 2^y+0+0=2^x\cdot 2^y, iar celelalte două elemente sunt 0\displaystyle 0. Linia a treia este (0, 0, 1)\displaystyle (0,\ 0,\ 1), deoarece are zerouri în afara ultimului element.
    (2x⋅2y00∗∗∗001)\displaystyle \begin{pmatrix}2^x\cdot 2^y & 0 & 0\\ \ast & \ast & \ast\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
  3. Linia a doua: elementul din dreapta este 1⋅2y+2x⋅1=2y+2x\displaystyle 1\cdot 2y+2x\cdot 1=2y+2x, elementul din mijloc este 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar primul element este 0\displaystyle 0. Rezultă produsul complet.
    A(x)⋅A(y)=(2x⋅2y00012y+2x001)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}2^x\cdot 2^y & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2y+2x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
  4. Folosim proprietatea puterilor 2x⋅2y=2x+y\displaystyle 2^x\cdot 2^y=2^{x+y} și dăm factor comun: 2y+2x=2(x+y)\displaystyle 2y+2x=2(x+y).
    2x⋅2y=2x+y\displaystyle 2^x\cdot 2^y=2^{x+y},2y+2x=2(x+y)\displaystyle \quad 2y+2x=2(x+y)
  5. Înlocuim în produs și recunoaștem forma matricei A(x+y)\displaystyle A(x+y). Egalitatea este adevărată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    (2x+y00012(x+y)001)=A(x+y), pentru orice numere \displaystyle \begin{pmatrix}2^{x+y} & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2(x+y)\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=A(x+y)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A(x)=(2x00012x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2^x & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} și I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați rangul matricei B=A(1)⋅A(2)⋅A(3)−I3\displaystyle B=A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)-I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm proprietatea A(x)A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y). În stânga sus avem 2x⋅2y=2x+y\displaystyle 2^x\cdot 2^y=2^{x+y}, iar în blocul de jos: (12x01)(12y01)=(12x+2y01)\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2x\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2y\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2x+2y\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
    A(x)A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y)
  2. Aplicăm proprietatea de două ori: A(1)⋅A(2)⋅A(3)=A(1+2+3)=A(6)\displaystyle A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)=A(1+2+3)=A(6), deci B=A(6)−I3\displaystyle B=A(6)-I_3.
    B=A(6)−I3\displaystyle B=A(6)-I_3
  3. Avem A(6)=(26000112001)\displaystyle A(6)=\begin{pmatrix}2^6 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 12\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}. Scădem I3\displaystyle I_3 element cu element: diagonala devine 26−1, 0, 0\displaystyle 2^6-1,\ 0,\ 0.
    B=(26−1000012000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2^6-1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 12\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
  4. Ultima linie a lui B\displaystyle B este formată doar din zerouri, deci det⁡B=0\displaystyle \det B=0. Astfel rangul lui B\displaystyle B este cel mult 2\displaystyle 2.
    det⁡B=0\displaystyle \det B=0
  5. Alegem minorul de ordin 2 format din liniile 1, 2 și coloanele 1, 3: ∣26−10012∣=12(26−1)=12⋅63=756≠0\displaystyle \begin{vmatrix}2^6-1 & 0\\ 0 & 12\end{vmatrix}=12(2^6-1)=12\cdot 63=756\neq 0.
    ∣26−10012∣=12(26−1)≠0\displaystyle \begin{vmatrix}2^6-1 & 0\\ 0 & 12\end{vmatrix}=12(2^6-1)\neq 0
  6. Cum det⁡B=0\displaystyle \det B=0 și există un minor de ordin 2\displaystyle 2 nenul, rezultă că rangul lui B\displaystyle B este 2\displaystyle 2.
    det⁡B=0 și ∣26−10012∣≠0, deci rangul este 2\displaystyle \det B=0\text{ și }\begin{vmatrix}2^6-1 & 0\\ 0 & 12\end{vmatrix}\neq 0\text{, deci rangul este }2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor raționale se definește legea de compoziție x∗y=x2y2−2x2−2y2+6\displaystyle x*y=x^2y^2-2x^2-2y^2+6.

Arătați că 1∗1=3\displaystyle 1*1=3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=x2y2−2x2−2y2+6\displaystyle x*y=x^2y^2-2x^2-2y^2+6. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1.
    1∗1=12⋅12−2⋅12−2⋅12+6\displaystyle 1*1=1^2\cdot 1^2-2\cdot 1^2-2\cdot 1^2+6
  2. Calculăm puterile: 12=1\displaystyle 1^2=1, deci fiecare termen cu pătrat se simplifică.
    1⋅1−2⋅1−2⋅1+6=1−2−2+6\displaystyle 1\cdot 1-2\cdot 1-2\cdot 1+6=1-2-2+6
  3. Efectuăm calculele: 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, −1−2=−3\displaystyle -1-2=-3, −3+6=3\displaystyle -3+6=3. Deci 1∗1=3\displaystyle 1*1=3.
    1−2−2+6=3, deci 1∗1=3\displaystyle 1-2-2+6=3\text{, deci }1*1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor raționale se definește legea de compoziție x∗y=x2y2−2x2−2y2+6\displaystyle x*y=x^2y^2-2x^2-2y^2+6.

Arătați că x∗y≠2\displaystyle x*y\neq 2, pentru orice numere raționale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem prin reducere la absurd că există numere raționale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care x∗y=2\displaystyle x*y=2. Atunci x2y2−2x2−2y2+6=2\displaystyle x^2y^2-2x^2-2y^2+6=2.
    x2y2−2x2−2y2+6=2\displaystyle x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}+6=2
  2. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri, ca să avem 0\displaystyle 0 în membrul drept.
    x2y2−2x2−2y2+4=0\displaystyle x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}+4=0
  3. Grupăm termenii: x2y2−2x2=x2(y2−2)\displaystyle x^{2}y^{2}-2x^{2}=x^{2}(y^{2}-2) și −2y2+4=−2(y2−2)\displaystyle -2y^{2}+4=-2(y^{2}-2). Obținem x2(y2−2)−2(y2−2)=0\displaystyle x^{2}(y^{2}-2)-2(y^{2}-2)=0.
    x2(y2−2)−2(y2−2)=0\displaystyle x^{2}(y^{2}-2)-2(y^{2}-2)=0
  4. Dăm factor comun y2−2\displaystyle y^{2}-2 și obținem produsul de mai jos, egal cu 0\displaystyle 0.
    (x2−2)(y2−2)=0\displaystyle (x^{2}-2)(y^{2}-2)=0
  5. Un produs este nul doar dacă un factor este nul, deci x2−2=0\displaystyle x^{2}-2=0 sau y2−2=0\displaystyle y^{2}-2=0, adică x2=2\displaystyle x^{2}=2 sau y2=2\displaystyle y^{2}=2.
    x2=2 sau y2=2\displaystyle x^{2}=2\text{ sau }y^{2}=2
  6. Din x2=2\displaystyle x^{2}=2 rezultă x=±2\displaystyle x=\pm\sqrt{2}, iar din y2=2\displaystyle y^{2}=2 rezultă y=±2\displaystyle y=\pm\sqrt{2}. Cum 2\displaystyle \sqrt{2} este irațional, aceasta contrazice faptul că x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt raționale. Deci egalitatea x∗y=2\displaystyle x*y=2 este imposibilă.
    x2=2 sau y2=2, imposibil pentru numere \displaystyle x^{2}=2\text{ sau }y^{2}=2\text{, imposibil pentru numere }raționale, deci x∗y≠2\displaystyle \text{raționale, deci }x*y\neq 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor raționale se definește legea de compoziție x∗y=x2y2−2x2−2y2+6\displaystyle x*y=x^2y^2-2x^2-2y^2+6.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere întregi pentru care m∗n=3\displaystyle m*n=3.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția legii, condiția m∗n=3\displaystyle m*n=3 devine o ecuație în m\displaystyle m și n\displaystyle n.
    m2n2−2m2−2n2+6=3\displaystyle m^2n^2-2m^2-2n^2+6=3
  2. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri, ca să avem în stânga termenul liber 4\displaystyle 4, potrivit pentru factorizare.
    m2n2−2m2−2n2+4=1\displaystyle m^2n^2-2m^2-2n^2+4=1
  3. Observăm că (m2−2)(n2−2)=m2n2−2m2−2n2+4\displaystyle (m^2-2)(n^2-2)=m^2n^2-2m^2-2n^2+4, deci ecuația se scrie ca un produs egal cu 1\displaystyle 1.
    (m2−2)(n2−2)=1\displaystyle (m^2-2)(n^2-2)=1
  4. Cum m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt întregi, m2−2\displaystyle m^2-2 și n2−2\displaystyle n^2-2 sunt numere întregi cu produsul 1\displaystyle 1. Deci ambele sunt egale cu 1\displaystyle 1 sau ambele sunt egale cu −1\displaystyle -1.
    m2−2=n2−2=1 sau m2−2=n2−2=−1\displaystyle m^2-2=n^2-2=1\text{ sau }m^2-2=n^2-2=-1
  5. Cazul 1: m2−2=1\displaystyle m^2-2=1 și n2−2=1\displaystyle n^2-2=1 dau m2=3\displaystyle m^2=3 și n2=3\displaystyle n^2=3, imposibil pentru numere întregi, deoarece 3\displaystyle 3 nu este pătrat perfect.
    m2=3 (imposibil ıˆn Z)\displaystyle m^2=3\text{ (imposibil în }\mathbb{Z}\text{)}
  6. Cazul 2: m2−2=−1\displaystyle m^2-2=-1 și n2−2=−1\displaystyle n^2-2=-1 dau m2=1\displaystyle m^2=1 și n2=1\displaystyle n^2=1, deci m,n∈{−1,1}\displaystyle m,n\in\{-1,1\}.
    m\displaystyle m,n∈{−1,1}\displaystyle n\in\{-1,1\}
  7. Combinăm cele două valori posibile pentru m\displaystyle m cu cele două pentru n\displaystyle n și obținem toate perechile căutate.
    (m,n)∈{(−1,−1),(−1,1),(1,−1),(1,1)}\displaystyle (m,n)\in\{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x−2ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x^2+2x-2\ln(x+1).

Arătați că f′(x)=2x(x+2)x+1\displaystyle f'(x)=\frac{2x(x+2)}{x+1}, x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, iar (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle \left(\ln(x+1)\right)'=\dfrac{1}{x+1}, deoarece (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1.
    f′(x)=2x+2−2⋅1x+1\displaystyle f'(x)=2x+2-2\cdot\dfrac{1}{x+1}
  2. Scriem derivata sub forma f′(x)=2x+2−2x+1\displaystyle f'(x)=2x+2-\dfrac{2}{x+1}, pentru x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
    f′(x)=2x+2−2x+1\displaystyle f'(x)=2x+2-\dfrac{2}{x+1}
  3. Aducem la același numitor x+1\displaystyle x+1: 2x+2=(2x+2)(x+1)x+1\displaystyle 2x+2=\dfrac{(2x+2)(x+1)}{x+1}, iar (2x+2)(x+1)=2x2+2x+2x+2=2x2+4x+2\displaystyle (2x+2)(x+1)=2x^{2}+2x+2x+2=2x^{2}+4x+2.
    f′(x)=2x2+4x+2−2x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}+4x+2-2}{x+1}
  4. Reducem termenii: 2−2=0\displaystyle 2-2=0, deci numărătorul este 2x2+4x\displaystyle 2x^{2}+4x. Dăm factor comun 2x\displaystyle 2x și obținem 2x(x+2)\displaystyle 2x(x+2).
    f′(x)=2x2+4xx+1=2x(x+2)x+1, x∈(−1,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}+4x}{x+1}=\dfrac{2x(x+2)}{x+1}\text{, }x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x−2ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x^2+2x-2\ln(x+1).

Determinați numărul real a∈(−1,+∞)\displaystyle a\in(-1,+\infty), știind că tangenta la graficul funcției f\displaystyle f în punctul A(a,f(a))\displaystyle A(a,f(a)) este paralelă cu dreapta de ecuație y=3x+2020\displaystyle y=3x+2020.
Vezi rezolvarea
  1. Două drepte paralele au aceeași pantă. Dreapta y=3x+2020\displaystyle y=3x+2020 are panta 3\displaystyle 3, iar panta tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă a\displaystyle a este f′(a)\displaystyle f'(a). Deci condiția este f′(a)=3\displaystyle f'(a)=3.
    f′(a)=3\displaystyle f'(a)=3
  2. Derivăm funcția f\displaystyle f pe intervalul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty): derivata lui x2\displaystyle x^{2} este 2x\displaystyle 2x, a lui 2x\displaystyle 2x este 2\displaystyle 2, iar a lui 2ln⁡(x+1)\displaystyle 2\ln(x+1) este 2x+1\displaystyle \dfrac{2}{x+1}.
    f′(x)=2x+2−2x+1\displaystyle f'(x)=2x+2-\dfrac{2}{x+1}
  3. Aducem la același numitor: 2x+2−2x+1=2(x+1)2−2x+1\displaystyle 2x+2-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{2(x+1)^{2}-2}{x+1}. Dezvoltăm și simplificăm numărătorul: 2(x2+2x+1)−2=2x2+4x=2x(x+2)\displaystyle 2(x^{2}+2x+1)-2=2x^{2}+4x=2x(x+2).
    f′(x)=2x(x+2)x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x+2)}{x+1}
  4. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în condiția f′(a)=3\displaystyle f'(a)=3 și obținem o ecuație cu numitorul a+1\displaystyle a+1, care este nenul deoarece a>−1\displaystyle a>-1.
    2a(a+2)a+1=3\displaystyle \dfrac{2a(a+2)}{a+1}=3
  5. Înmulțim cu a+1>0\displaystyle a+1>0 și aducem toți termenii într-o parte: 2a2+4a=3a+3\displaystyle 2a^{2}+4a=3a+3, deci 2a2+a−3=0\displaystyle 2a^{2}+a-3=0.
    2a2+a−3=0\displaystyle 2a^{2}+a-3=0
  6. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: Δ=1+24=25\displaystyle \Delta=1+24=25, deci a=−1±54\displaystyle a=\dfrac{-1\pm5}{4}, adică a=1\displaystyle a=1 sau a=−32\displaystyle a=-\dfrac{3}{2}. Cum a>−1\displaystyle a>-1, soluția −32\displaystyle -\dfrac{3}{2} nu convine, deci a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x−2ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=x^2+2x-2\ln(x+1).

Demonstrați că (x+1)2≥2ln⁡(x+1)+1\displaystyle (x+1)^2\geq 2\ln(x+1)+1, pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty), folosind că (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle (\ln(x+1))'=\dfrac{1}{x+1}: f′(x)=2x+2−2x+1\displaystyle f'(x)=2x+2-\dfrac{2}{x+1}.
    f′(x)=2x+2−2x+1\displaystyle f'(x)=2x+2-\dfrac{2}{x+1}
  2. Aducem la același numitor: f′(x)=2(x+1)2−2x+1=2x2+4xx+1=2x(x+2)x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x+1)^{2}-2}{x+1}=\dfrac{2x^{2}+4x}{x+1}=\dfrac{2x(x+2)}{x+1}. Pe domeniu avem x+1>0\displaystyle x+1>0.
    f′(x)=2x(x+2)x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x+2)}{x+1}
  3. Studiem semnul lui f′\displaystyle f'. Pentru x∈(−1,0)\displaystyle x\in(-1,0) avem x<0\displaystyle x<0, x+2>0\displaystyle x+2>0, x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. Pentru x>0\displaystyle x>0 toți factorii sunt pozitivi, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0. Iar f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0.
    f′(x)≤0 pe (−1,0]\displaystyle f'(x)\leq 0\text{ pe }(-1,0],f′(x)≥0 pe [0,+∞)\displaystyle \quad f'(x)\geq 0\text{ pe }[0,+\infty)
  4. Deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (−1,0]\displaystyle (-1,0] și crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), iar x=0\displaystyle x=0 este punct de minim. Calculăm f(0)=02+2⋅0−2ln⁡1=0\displaystyle f(0)=0^{2}+2\cdot 0-2\ln 1=0. Rezultă f(x)≥f(0)=0\displaystyle f(x)\geq f(0)=0 pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
    f(x)≥f(0)=0\displaystyle f(x)\geq f(0)=0
  5. Inegalitatea f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq 0 înseamnă x2+2x−2ln⁡(x+1)≥0\displaystyle x^{2}+2x-2\ln(x+1)\geq 0, adică x2+2x≥2ln⁡(x+1)\displaystyle x^{2}+2x\geq 2\ln(x+1). Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și folosim x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}. Obținem inegalitatea cerută, pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
    (x+1)2≥2ln⁡(x+1)+1\displaystyle (x+1)^{2}\geq 2\ln(x+1)+1, ∀x∈(−1,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2}. Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xnf(x) dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n f(x)\,dx.

Arătați că ∫03f2(x) dx=15\displaystyle \int_0^3 f^2(x)\,dx=15.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f2(x)\displaystyle f^2(x). Deoarece f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2} și x2+2>0\displaystyle x^2+2>0, pătratul radicalului este chiar expresia de sub radical: f2(x)=x2+2\displaystyle f^2(x)=x^2+2.
    f2(x)=x2+2\displaystyle f^2(x)=x^2+2
  2. Înlocuim în integrală și căutăm o primitivă a polinomului: o primitivă a lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}, iar o primitivă a lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫03(x2+2) dx=(x33+2x)∣03\displaystyle \int_0^3 (x^2+2)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x\right)\Big|_0^3
  3. Calculăm valoarea primitivei în x=3\displaystyle x=3 și în x=0\displaystyle x=0 și facem diferența. Pentru x=3\displaystyle x=3 avem 273+2⋅3=9+6\displaystyle \dfrac{27}{3}+2\cdot 3=9+6, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0.
    333+2⋅3−0=9+6\displaystyle \frac{3^3}{3}+2\cdot 3-0=9+6
  4. Adunăm și obținem rezultatul cerut: 9+6=15\displaystyle 9+6=15, deci integrala este egală cu 15\displaystyle 15.
    ∫03f2(x) dx=9+6=15\displaystyle \int_0^3 f^2(x)\,dx=9+6=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2}. Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xnf(x) dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n f(x)\,dx.

Demonstrați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty} I_n=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] și n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^* avem xn≥0\displaystyle x^n\geq 0 și x2+2>0\displaystyle \sqrt{x^2+2}>0. Integrandul este deci pozitiv sau zero, iar integrala este pozitivă sau zero.
    In=∫01xnx2+2 dx≥0\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n\sqrt{x^2+2}\,dx\geq 0
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x2≤1\displaystyle x^2\leq 1, deci x2+2≤3\displaystyle x^2+2\leq 3. Cum radicalul este crescător, obținem x2+2≤3\displaystyle \sqrt{x^2+2}\leq\sqrt{3}.
    x2+2≤3\displaystyle \sqrt{x^2+2}\leq\sqrt{3}
  3. Înmulțim inegalitatea cu xn≥0\displaystyle x^n\geq 0 și integrăm pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Scoatem constanta 3\displaystyle \sqrt{3} în fața integralei.
    0≤In≤3∫01xn dx\displaystyle 0\leq I_n\leq\sqrt{3}\int_0^1 x^n\,dx
  4. Calculăm ∫01xn dx\displaystyle \int_0^1 x^n\,dx folosind primitiva xn+1n+1\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Obținem încadrarea dorită.
    0≤In≤3⋅xn+1n+1∣01=3n+1\displaystyle 0\leq I_n\leq\sqrt{3}\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\frac{\sqrt{3}}{n+1}
  5. Avem lim⁡n→+∞3n+1=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{3}}{n+1}=0, iar marginea din stânga este constant 0\displaystyle 0. Din criteriul clemei rezultă că In\displaystyle I_n are limita 0\displaystyle 0.
    lim⁡n→+∞3n+1=0, deci lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{3}}{n+1}=0\text{, deci }\lim_{n\to+\infty}I_n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2}. Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xnf(x) dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n f(x)\,dx.

Arătați că (n+2)In+2(n−1)In−2=33\displaystyle (n+2)I_n+2(n-1)I_{n-2}=3\sqrt{3}, pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥3\displaystyle n\geq 3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem x2+2=x2+2x2+2\displaystyle \sqrt{x^2+2}=\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^2+2}} și separăm integrala în două: xn(x2+2)=xn+2+2xn\displaystyle x^n(x^2+2)=x^{n+2}+2x^n, iar xn+2=xn+1⋅x\displaystyle x^{n+2}=x^{n+1}\cdot x, respectiv xn=xn−1⋅x\displaystyle x^n=x^{n-1}\cdot x.
    In=∫01xn+1⋅xx2+2 dx+2∫01xn−1⋅xx2+2 dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^{n+1}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\,dx+2\int_0^1 x^{n-1}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\,dx
  2. Avem (x2+2)′=2x2x2+2=xx2+2\displaystyle \left(\sqrt{x^2+2}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}, deci putem lua dv=xx2+2 dx\displaystyle dv=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}\,dx cu v=x2+2\displaystyle v=\sqrt{x^2+2}.
    (x2+2)′=xx2+2\displaystyle \left(\sqrt{x^2+2}\right)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}
  3. Alegem u=xn+1\displaystyle u=x^{n+1}, u′=(n+1)xn\displaystyle u'=(n+1)x^n. Atunci ∫01xn+1⋅xx2+2 dx=xn+1x2+2 ∣01−(n+1)∫01xnx2+2 dx\displaystyle \int_0^1 x^{n+1}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}\,dx=x^{n+1}\sqrt{x^2+2}\,\Big|_0^1-(n+1)\int_0^1 x^n\sqrt{x^2+2}\,dx. Cum 1⋅3−0=3\displaystyle 1\cdot\sqrt{3}-0=\sqrt{3}, iar ultima integrală este In\displaystyle I_n, obținem:
    ∫01xn+1⋅xx2+2 dx=3−(n+1)In\displaystyle \int_0^1 x^{n+1}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\,dx=\sqrt{3}-(n+1)I_n
  4. Alegem u=xn−1\displaystyle u=x^{n-1}, u′=(n−1)xn−2\displaystyle u'=(n-1)x^{n-2}. Atunci ∫01xn−1⋅xx2+2 dx=xn−1x2+2 ∣01−(n−1)∫01xn−2x2+2 dx\displaystyle \int_0^1 x^{n-1}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}\,dx=x^{n-1}\sqrt{x^2+2}\,\Big|_0^1-(n-1)\int_0^1 x^{n-2}\sqrt{x^2+2}\,dx. Pentru n≥3\displaystyle n\geq 3 avem n−1>0\displaystyle n-1>0, deci termenul de la 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0, iar integrala rămasă este In−2\displaystyle I_{n-2}:
    ∫01xn−1⋅xx2+2 dx=3−(n−1)In−2\displaystyle \int_0^1 x^{n-1}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\,dx=\sqrt{3}-(n-1)I_{n-2}
  5. Înlocuim în In\displaystyle I_n: In=3−(n+1)In+2(3−(n−1)In−2)=33−(n+1)In−2(n−1)In−2\displaystyle I_n=\sqrt{3}-(n+1)I_n+2\left(\sqrt{3}-(n-1)I_{n-2}\right)=3\sqrt{3}-(n+1)I_n-2(n-1)I_{n-2}. Mutăm (n+1)In\displaystyle (n+1)I_n în stânga și adunăm cu In\displaystyle I_n: In+(n+1)In=(n+2)In\displaystyle I_n+(n+1)I_n=(n+2)I_n. Rezultă:
    (n+2)In+2(n−1)In−2=33\displaystyle (n+2)I_n+2(n-1)I_{n-2}=3\sqrt{3}, ∀n≥3\displaystyle \ \forall n\geq 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.