Bac matematică M1 mate-info 2010, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}

. Calculați

\displaystyle (f\circ f)(512)

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția compunerii: $\displaystyle (f\circ f)(512)=f\left(f(512)\right)$ . Calculăm mai întâi $\displaystyle f(512)$ .
$\displaystyle (f\circ f)(512)=f\left(f(512)\right)$
Rădăcina cubică din 512 este 8, pentru că $\displaystyle 8^{3}=512$ . Deci $\displaystyle f(512)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{512}}=\dfrac{1}{8}$ .
$\displaystyle f(512)=\frac{1}{\sqrt[3]{512}}=\frac{1}{8}$
Aplicăm din nou funcția, acum pentru valoarea $\displaystyle \dfrac{1}{8}$ : $\displaystyle f\left(\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{8}}}$ .
$\displaystyle f\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{8}}}$
Rădăcina cubică din $\displaystyle \dfrac{1}{8}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ , pentru că $\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1}{8}$ . Deci $\displaystyle f\left(\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$ , adică $\displaystyle (f\circ f)(512)=2$ .
$\displaystyle (f\circ f)(512)=f\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \cos 2x+\sin x=0

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula $\displaystyle \cos 2x=1-2\sin^{2}x$ , ca să exprimăm ecuația doar în funcție de $\displaystyle \sin x$ .
$\displaystyle 1-2\sin^{2}x+\sin x=0$
Înmulțim ecuația cu $\displaystyle -1$ și ordonăm termenii; obținem o ecuație de gradul al doilea în $\displaystyle \sin x$ .
$\displaystyle 2\sin^{2}x-\sin x-1=0$
Notăm $\displaystyle t=\sin x$ , cu $\displaystyle t\in[-1,1]$ . Ecuația devine $\displaystyle 2t^{2}-t-1=0$ , cu $\displaystyle \Delta=1+8=9$ . Rădăcinile sunt $\displaystyle t=\dfrac{1\pm 3}{4}$ , adică $\displaystyle t=1$ și $\displaystyle t=-\dfrac{1}{2}$ . Ambele se află în $\displaystyle [-1,1]$ .
$\displaystyle \sin x=-\frac{1}{2}\text{ și }\sin x=1$
Pentru $\displaystyle \sin x=1$ soluțiile sunt $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ , cu $\displaystyle k\in\mathbb{Z}$ .
$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ , $\displaystyle \ k\in\mathbb{Z}$
Pentru $\displaystyle \sin x=-\dfrac{1}{2}$ avem $\displaystyle x=(-1)^{k}\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)+k\pi$ . Cum $\displaystyle \arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{6}$ , obținem $\displaystyle x=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ , cu $\displaystyle k\in\mathbb{Z}$ . Mulțimea soluțiilor este reuniunea celor două serii.
$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ , $\displaystyle \ k\in\mathbb{Z}\text{, sau }x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+k\pi$ , $\displaystyle \ k\in\mathbb{Z}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle M=\{0,1,2,3,4,5\}

. Determinați numărul tripletelor

\displaystyle (a,b,c)

cu proprietatea că

\displaystyle a,b,c\in M

și

\displaystyle a<b<c

.

Vezi rezolvarea

Observăm că un triplet $\displaystyle (a,b,c)$ cu $\displaystyle a<b<c$ este determinat de mulțimea $\displaystyle \{a,b,c\}$ a celor trei elemente ale sale, pentru că ordinea lor este fixată: le scriem crescător.
$\displaystyle (a,b,c)\leftrightarrow\{a,b,c\}$
Invers, orice submulțime cu trei elemente a lui $\displaystyle M$ , ordonată crescător, dă exact un triplet. Deci numărul tripletelor este egal cu numărul submulțimilor cu 3 elemente ale unei mulțimi cu 6 elemente, adică $\displaystyle C_6^3$ .
$\displaystyle C_6^3$
Calculăm cu formula $\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ , apoi simplificăm.
$\displaystyle C_6^3=\dfrac{6!}{3!\cdot 3!}=\dfrac{4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3}=\dfrac{120}{6}$
Efectuăm împărțirea și obținem numărul tripletelor: $\displaystyle C_6^3=20$ .
$\displaystyle C_6^3=20$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Calculați distanța dintre dreptele paralele de ecuații

\displaystyle x+2y=6

și

\displaystyle 2x+4y=11

.

Vezi rezolvarea

Alegem un punct pe prima dreaptă, $\displaystyle x+2y=6$ . Pentru $\displaystyle x=0$ obținem $\displaystyle 2y=6$ , deci $\displaystyle y=3$ . Punctul este $\displaystyle A(0,3)$ .
$\displaystyle A(0,3)$
Distanța dintre două drepte paralele este egală cu distanța de la orice punct al unei drepte la cealaltă dreaptă. Scriem a doua dreaptă sub forma $\displaystyle d_2: 2x+4y-11=0$ , iar formula distanței de la punctul $\displaystyle A(x_0,y_0)$ la dreapta $\displaystyle ax+by+c=0$ este $\displaystyle \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ .
$\displaystyle d(A,d_2)=\dfrac{|2x_0+4y_0-11|}{\sqrt{2^{2}+4^{2}}}$
Înlocuim coordonatele lui $\displaystyle A$ : la numărător avem $\displaystyle |2\cdot 0+4\cdot 3-11|=|12-11|=1$ , iar la numitor $\displaystyle \sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ .
$\displaystyle d(A,d_2)=\dfrac{|2\cdot 0+4\cdot 3-11|}{\sqrt{2^{2}+4^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{20}}$
Simplificăm: $\displaystyle \sqrt{20}=2\sqrt{5}$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{5}}$ . Amplificăm cu $\displaystyle \sqrt{5}$ și obținem $\displaystyle \dfrac{\sqrt{5}}{10}$ . Aceasta este distanța dintre cele două drepte.
$\displaystyle d=\dfrac{1}{\sqrt{20}}=\dfrac{\sqrt{5}}{10}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Paralelogramul

\displaystyle ABCD

are

\displaystyle AB=1

,

\displaystyle BC=2

și

\displaystyle m(\angle BAD)=60^\circ

. Calculați produsul scalar

\displaystyle \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}

.

Vezi rezolvarea

Într-un paralelogram $\displaystyle AD=BC=2$ . Folosim regula paralelogramului: diagonala $\displaystyle AC$ este suma vectorilor $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ și $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
Înlocuim $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ în produsul scalar și distribuim înmulțirea față de adunare.
$\displaystyle \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}^2$
Calculăm $\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$ cu definiția: produsul lungimilor și cosinusul unghiului dintre vectori. Unghiul dintre ei este $\displaystyle \angle BAD=60^\circ$ , iar $\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=1\cdot 2\cdot\cos 60^\circ=1\cdot 2\cdot\dfrac{1}{2}=1$
Pătratul scalar al vectorului $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ este pătratul lungimii lui: $\displaystyle \overrightarrow{AD}^2=AD^2=2^2$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AD}^2=2^2=4$
Adunăm cele două rezultate și obținem produsul scalar cerut.
$\displaystyle \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=1+2^2=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Pentru

\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R}^*

, se consideră sistemul

\begin{cases} ax+by+cz=b\\ cx+ay+bz=a\\ bx+cy+az=c\end{cases},\ x,y,z\in\mathbb{R}.

Arătați că determinantul sistemului este

\displaystyle \Delta=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul sistemului, format din coeficienții necunoscutelor $\displaystyle x,y,z$ din cele trei ecuații.
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{vmatrix}$
Adunăm coloanele a doua și a treia la prima coloană. Pe fiecare linie, suma elementelor este $\displaystyle a+b+c$ .
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}a+b+c&b&c\\a+b+c&a&b\\a+b+c&c&a\end{vmatrix}$
Scoatem factor comun $\displaystyle a+b+c$ de pe prima coloană.
$\displaystyle \Delta=(a+b+c)\begin{vmatrix}1&b&c\\1&a&b\\1&c&a\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul rămas după prima coloană. Minorul elementului de pe linia a doua este $\displaystyle \begin{vmatrix}b&c\\c&a\end{vmatrix}=ab-c^2$ , iar al elementului de pe linia a treia este $\displaystyle \begin{vmatrix}b&c\\a&b\end{vmatrix}=b^2-ac$ , cu semnele $\displaystyle +,-,+$ ale pozițiilor.
$\displaystyle \begin{vmatrix}1&b&c\\1&a&b\\1&c&a\end{vmatrix}=(a^2-bc)-(ab-c^2)+(b^2-ac)$
Desfacem parantezele și ordonăm termenii. Obținem valoarea determinantului rămas, iar înlocuind în $\displaystyle \Delta$ se obține formula cerută.
$\displaystyle \begin{vmatrix}1&b&c\\1&a&b\\1&c&a\end{vmatrix}=a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\text{, deci }\Delta=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Pentru

\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R}^*

, se consideră sistemul

\begin{cases} ax+by+cz=b\\ cx+ay+bz=a\\ bx+cy+az=c\end{cases}

, unde

\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}

.

Rezolvați sistemul în cazul în care este compatibil determinat.

Vezi rezolvarea

Observăm că în fiecare ecuație termenul din dreapta este exact coeficientul lui $\displaystyle y$ . Încercăm deci soluția $\displaystyle x=0,\ y=1,\ z=0$ și o verificăm în sistem.
$\displaystyle (x,y,z)=(0,1,0)$
Înlocuim $\displaystyle x=0,\ y=1,\ z=0$ în cele trei ecuații. Prima ecuație devine $\displaystyle a\cdot 0+b\cdot 1+c\cdot 0=b$ , a doua $\displaystyle c\cdot 0+a\cdot 1+b\cdot 0=a$ , a treia $\displaystyle b\cdot 0+c\cdot 1+a\cdot 0=c$ . Toate trei sunt adevărate pentru orice $\displaystyle a,b,c$ , deci $\displaystyle (0,1,0)$ este soluție a sistemului.
$\displaystyle b=b$ , $\displaystyle \ a=a$ , $\displaystyle \ c=c\ \Rightarrow\ (0,1,0)\text{ este soluție}$
Dacă sistemul este compatibil determinat, el are o singură soluție. Aceasta are loc când determinantul matricei sistemului este nenul, adică $\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\neq 0$ . Cum $\displaystyle (0,1,0)$ este soluție, ea este singura soluție.
$\displaystyle \Delta=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\neq 0\ \Rightarrow\ \text{soluția este unică}$
Prin unicitate, în cazul compatibil determinat soluția sistemului este $\displaystyle x=0,\ y=1,\ z=0$ .
$\displaystyle x=0$ , $\displaystyle \ y=1$ , $\displaystyle \ z=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Pentru

\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R}^*

, se consideră sistemul

\begin{cases} ax+by+cz=b\\ cx+ay+bz=a\\ bx+cy+az=c\end{cases},\ x,y,z\in\mathbb{R}.

Știind că

\displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0

, arătați că sistemul are o infinitate de soluții

\displaystyle (x,y,z)

astfel încât

\displaystyle x^2+y^2=z-1

.

Vezi rezolvarea

Înmulțim condiția $\displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$ cu $\displaystyle 2$ și grupăm termenii în pătrate perfecte: $\displaystyle (a-b)^2+(a-c)^2+(c-b)^2=0$ . O sumă de trei pătrate este zero doar dacă fiecare pătrat este zero, deci $\displaystyle a=b=c$ .
$\displaystyle (a-b)^2+(a-c)^2+(c-b)^2=0\Leftrightarrow a=b=c$
Înlocuim $\displaystyle b=a$ și $\displaystyle c=a$ în sistem. Fiecare ecuație devine $\displaystyle a(x+y+z)=a$ . Cum $\displaystyle a\neq 0$ , împărțim la $\displaystyle a$ și sistemul se reduce la o singură ecuație: $\displaystyle x+y+z=1$ .
$\displaystyle x+y+z=1$
Ecuația are trei necunoscute, deci alegem doi parametri reali $\displaystyle \alpha,\beta$ pentru $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ . Atunci $\displaystyle z=1-\alpha-\beta$ și obținem soluțiile sistemului.
$\displaystyle x=\alpha$ , $\displaystyle \ y=\beta$ , $\displaystyle \ z=1-\alpha-\beta$
Impunem condiția $\displaystyle x^2+y^2=z-1$ . Cum $\displaystyle z-1=-\alpha-\beta$ , obținem $\displaystyle \alpha^2+\beta^2=-\alpha-\beta$ . Mutăm totul în stânga și obținem ecuația de gradul al doilea în $\displaystyle \beta$ .
$\displaystyle \beta^2+\beta+\alpha^2+\alpha=0$
Discriminantul ecuației în $\displaystyle \beta$ este $\displaystyle \Delta=1-4(\alpha^2+\alpha)=1-4\alpha^2-4\alpha$ . Ecuația are soluții reale când $\displaystyle \Delta\ge 0$ , adică $\displaystyle 4\alpha^2+4\alpha-1\le 0$ . Atunci $\displaystyle \beta=\dfrac{-1+\sqrt{\Delta}}{2}$ (alegem una dintre cele două rădăcini).
$\displaystyle \Delta=1-4\alpha^2-4\alpha\ge 0\Leftrightarrow 4\alpha^2+4\alpha-1\le 0$
Inecuația $\displaystyle 4\alpha^2+4\alpha-1\le 0$ are rădăcinile $\displaystyle \dfrac{-1\pm\sqrt{2}}{2}$ , deci $\displaystyle \alpha\in\left[\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}\right]$ , un interval nedegenerat, cu o infinitate de valori. Pentru fiecare astfel de $\displaystyle \alpha$ , luăm $\displaystyle \beta$ dat de formula de mai jos și $\displaystyle z=1-\alpha-\beta$ . Obținem o infinitate de soluții $\displaystyle (x,y,z)$ ale sistemului cu $\displaystyle x^2+y^2=z-1$ .
$\displaystyle \beta=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{1-4\alpha^2-4\alpha}\right)$ , $\displaystyle \ 4\alpha^2+4\alpha-1\le 0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle G=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\\hat{0}&c\end{pmatrix}\ \middle|\ a,b,c\in\mathbb{Z}_4\right\}

.

Determinați numărul elementelor mulțimii

\displaystyle G

.

Vezi rezolvarea

Matricea $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\\hat{0}&c\end{pmatrix}$ este determinată de intrările $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ , pentru că elementul din stânga jos este fixat la $\displaystyle \hat{0}$ . Două matrice sunt egale doar dacă au același triplet $\displaystyle (a,b,c)$ , deci numărăm tripletele $\displaystyle (a,b,c)$ cu $\displaystyle a,b,c\in\mathbb{Z}_4$ .
$\displaystyle |G|=\left|\{(a,b,c)\mid a,b,c\in\mathbb{Z}_4\}\right|$
Mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_4=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}\}$ are 4 elemente. Fiecare dintre $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ se alege independent de celelalte, deci pentru fiecare avem 4 valori posibile.
$\displaystyle 4\text{ valori pentru fiecare}$
Din regula produsului, numărul de triplete este $\displaystyle 4\cdot 4\cdot 4=4^{3}=64$ . Deci mulțimea $\displaystyle G$ are 64 de elemente.
$\displaystyle 4^3=64$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle G=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\\hat{0}&c\end{pmatrix}\ \middle|\ a,b,c\in\mathbb{Z}_4\right\}

.

Dați un exemplu de matrice

\displaystyle A\in G

cu proprietatea că

\displaystyle \det A\neq\hat{0}

și

\displaystyle \det A^2=\hat{0}

.

Vezi rezolvarea

Determinantul unei matrice din $\displaystyle G$ este $\displaystyle \hat{a}\cdot\hat{c}$ , deoarece sub diagonala principală se află $\displaystyle \hat{0}$ . Avem nevoie de $\displaystyle \det A\neq\hat{0}$ și $\displaystyle \det A^2=(\det A)^2=\hat{0}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_4$ . Singurul element nenul din $\displaystyle \mathbb{Z}_4$ al cărui pătrat este $\displaystyle \hat{0}$ este $\displaystyle \hat{2}$ , pentru că $\displaystyle \hat{2}\cdot\hat{2}=\hat{4}=\hat{0}$ . Deci căutăm o matrice cu $\displaystyle \det A=\hat{2}$ .
$\displaystyle \det A=a\cdot c=\hat{2}$
Alegem $\displaystyle a=\hat{1}$ , $\displaystyle b=\hat{0}$ , $\displaystyle c=\hat{2}$ , deci $\displaystyle a\cdot c=\hat{2}$ . Matricea are forma cerută, deci aparține lui $\displaystyle G$ .
$\displaystyle A=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{0}\\\hat{0}&\hat{2}\end{pmatrix}$
Verificăm: $\displaystyle \det A=\hat{1}\cdot\hat{2}-\hat{0}\cdot\hat{0}=\hat{2}\neq\hat{0}$ . Apoi $\displaystyle \det A^2=(\det A)^2=\hat{2}\cdot\hat{2}=\hat{4}=\hat{0}$ . Așadar matricea $\displaystyle A$ îndeplinește ambele condiții.
$\displaystyle \det(A)=\hat{2}$ , $\displaystyle \ \det(A^2)=\hat{0}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle G=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\\hat{0}&c\end{pmatrix}\ \middle|\ a,b,c\in\mathbb{Z}_4\right\}

.

Determinați numărul soluțiilor ecuației

\displaystyle X^2=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{0}\\\hat{0}&\hat{0}\end{pmatrix}

,

\displaystyle X\in G

.

Vezi rezolvarea

Luăm $\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\\hat{0}&c\end{pmatrix}\in G$ și calculăm $\displaystyle X^2=X\cdot X$ . Elementul din dreapta-sus este $\displaystyle ab+bc=b(a+c)$ , iar cel din stânga-jos rămâne $\displaystyle \hat{0}$ .
$\displaystyle X^2=\begin{pmatrix}a^2&b(a+c)\\\hat{0}&c^2\end{pmatrix}$
Egalăm $\displaystyle X^2$ cu $\displaystyle \begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{0}\\\hat{0}&\hat{0}\end{pmatrix}$ element cu element. Obținem trei ecuații în $\displaystyle \mathbb{Z}_4$ .
$\displaystyle a^2=\hat{1}$ , $\displaystyle \ b(a+c)=\hat{0}$ , $\displaystyle \ c^2=\hat{0}$
Calculăm pătratele elementelor din $\displaystyle \mathbb{Z}_4$ , pentru a rezolva ecuațiile cu $\displaystyle a^2$ și $\displaystyle c^2$ .
$\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}$ , $\displaystyle \ \hat{1}^2=\hat{1}$ , $\displaystyle \ \hat{2}^2=\hat{4}=\hat{0}$ , $\displaystyle \ \hat{3}^2=\hat{9}=\hat{1}$
Din tabelul pătratelor, ecuația $\displaystyle a^2=\hat{1}$ are soluțiile $\displaystyle \hat{1}$ și $\displaystyle \hat{3}$ , iar ecuația $\displaystyle c^2=\hat{0}$ are soluțiile $\displaystyle \hat{0}$ și $\displaystyle \hat{2}$ .
$\displaystyle a\in\{\hat{1},\hat{3}\}$ , $\displaystyle \ c\in\{\hat{0},\hat{2}\}$
Rămâne ecuația $\displaystyle b(a+c)=\hat{0}$ . Cum $\displaystyle a$ este impar și $\displaystyle c$ este par, suma $\displaystyle a+c$ este $\displaystyle \hat{1}$ sau $\displaystyle \hat{3}$ . Ambele sunt inversabile în $\displaystyle \mathbb{Z}_4$ , deoarece $\displaystyle \hat{1}\cdot\hat{1}=\hat{1}$ și $\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{3}=\hat{1}$ . Înmulțind cu inversul lui $\displaystyle a+c$ , obținem $\displaystyle b=\hat{0}$ .
$\displaystyle a+c\in\{\hat{1},\hat{3}\}\Rightarrow b=\hat{0}$
Numărăm soluțiile: $\displaystyle a$ are 2 alegeri, $\displaystyle c$ are 2 alegeri, iar $\displaystyle b=\hat{0}$ este unic determinat. În total sunt $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 1=4$ soluții.
$\displaystyle a\in\{\hat{1},\hat{3}\}$ , $\displaystyle \ c\in\{\hat{0},\hat{2}\}$ , $\displaystyle \ b=\hat{0}\text{, deci există }4\text{ soluții}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+1}

.

Determinați ecuația asimptotei spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Funcția este rațională, iar gradul numărătorului este cu 1 mai mare decât gradul numitorului. Căutăm asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ de forma $\displaystyle y=mx+n$ , unde $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$
Scriem raportul explicit: $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^{2}+x+1}{x(x+1)}=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x}$ .
$\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x}$
Numărătorul și numitorul au același grad, deci limita este raportul coeficienților dominanți: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x}=1$ . Deci $\displaystyle m=1$ .
$\displaystyle m=1$
Termenul liber este $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)$ . Aducem la același numitor: $\displaystyle f(x)-x=\dfrac{x^{2}+x+1-x(x+1)}{x+1}$ .
$\displaystyle f(x)-x=\dfrac{x^{2}+x+1-x^{2}-x}{x+1}$
După reducere, numărătorul devine $\displaystyle 1$ , deci $\displaystyle f(x)-x=\dfrac{1}{x+1}$ . Cum $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x+1}=0$ , rezultă $\displaystyle n=0$ .
$\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x+1}=0$
Cu $\displaystyle m=1$ și $\displaystyle n=0$ , asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$ este dreapta $\displaystyle y=x$ .
$\displaystyle y=x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+1}

.

Calculați

\displaystyle f'(x)

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un raport, deci folosim formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=x^{2}+x+1$ și $\displaystyle v=x+1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}+x+1)'(x+1)-(x^{2}+x+1)(x+1)'}{(x+1)^{2}}$
Calculăm $\displaystyle (x^{2}+x+1)'=2x+1$ și $\displaystyle (x+1)'=1$ . Înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x+1)-(x^{2}+x+1)}{(x+1)^{2}}$
Desfacem parantezele la numărător: $\displaystyle (2x+1)(x+1)=2x^{2}+2x+x+1=2x^{2}+3x+1$ .
$\displaystyle (2x+1)(x+1)=2x^{2}+3x+1$
Scădem: $\displaystyle 2x^{2}+3x+1-(x^{2}+x+1)=x^{2}+2x$ . Numitorul rămâne $\displaystyle (x+1)^{2}$ , deci rezultatul final este:
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+1}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este concavă pe intervalul

\displaystyle (-\infty,-1)

.

Vezi rezolvarea

Simplificăm funcția: scriem $\displaystyle x^{2}+x+1=x(x+1)+1$ , deci $\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x+1}$ .
$\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x+1}$
Calculăm prima derivată: $\displaystyle (x)'=1$ și $\displaystyle \left(\dfrac{1}{x+1}\right)'=-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$ , deci $\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$
Derivăm încă o dată: $\displaystyle f'(x)=1-(x+1)^{-2}$ , deci $\displaystyle f''(x)=2(x+1)^{-3}=\dfrac{2}{(x+1)^{3}}$ .
$\displaystyle f''(x)=\dfrac{2}{(x+1)^{3}}$
Studiem semnul lui $\displaystyle f''$ pe $\displaystyle (-\infty,-1)$ . Pentru $\displaystyle x<-1$ avem $\displaystyle x+1<0$ , deci $\displaystyle (x+1)^{3}<0$ , iar numărătorul $\displaystyle 2$ este pozitiv. Rezultă $\displaystyle f''(x)<0$ pe tot intervalul.
$\displaystyle f''(x)<0$ , $\displaystyle \ \forall x\in(-\infty,-1)$
Deoarece $\displaystyle f''(x)<0$ pe $\displaystyle (-\infty,-1)$ , funcția $\displaystyle f$ este concavă pe acest interval.
$\displaystyle f''(x)<0$ , $\displaystyle \forall x\in(-\infty,-1)\text{, deci } f\text{ este concavă pe }(-\infty,-1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Pentru orice

\displaystyle n\in\mathbb{N}^*

se consideră funcțiile

\displaystyle f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f_n(x)=|\sin nx|

și numerele

\displaystyle I_n=\int_{\pi}^{2\pi}\frac{f_n(x)}{x}\,dx

.

Calculați

\displaystyle \int_0^{\pi} f_2(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x\in[0,\pi]$ avem $\displaystyle 2x\in[0,2\pi]$ . Avem $\displaystyle \sin 2x\ge 0$ pentru $\displaystyle x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ și $\displaystyle \sin 2x\le 0$ pentru $\displaystyle x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ .
$\displaystyle |\sin 2x|=\begin{cases}\sin 2x, & x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\\ -\sin 2x, & x\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\end{cases}$
Desfacem modulul și împărțim integrala pe cele două subintervale: $\displaystyle f_2(x)=|\sin 2x|$ .
$\displaystyle \int_0^{\pi}|\sin 2x|\,dx=\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx-\int_{\pi/2}^{\pi}\sin 2x\,dx$
O primitivă a lui $\displaystyle \sin 2x$ este $\displaystyle -\dfrac{\cos 2x}{2}$ . Scriem integralele cu această primitivă, iar semnul minus din fața celei de-a doua integrale schimbă primitiva în $\displaystyle \dfrac{\cos 2x}{2}$ .
$\displaystyle I=\frac{-\cos 2x}{2}\Big|_0^{\pi/2}+\frac{\cos 2x}{2}\Big|_{\pi/2}^{\pi}$
Calculăm prima parte, folosind $\displaystyle \cos\pi=-1$ și $\displaystyle \cos 0=1$ .
$\displaystyle \frac{-\cos\pi}{2}-\frac{-\cos 0}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
Calculăm a doua parte, folosind $\displaystyle \cos 2\pi=1$ și $\displaystyle \cos\pi=-1$ .
$\displaystyle \frac{\cos 2\pi}{2}-\frac{\cos\pi}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
Adunăm cele două rezultate și obținem valoarea integralei: $\displaystyle I=1+1$ .
$\displaystyle I=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Pentru orice

\displaystyle n\in\mathbb{N}^*

se consideră funcțiile

\displaystyle f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f_n(x)=|\sin nx|

și numerele

\displaystyle I_n=\int_{\pi}^{2\pi}\frac{f_n(x)}{x}\,dx

.

Arătați că

\displaystyle I_n\le\ln 2

.

Vezi rezolvarea

Pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle |\sin nx|\le 1$ , deci $\displaystyle f_n(x)\le 1$ pentru orice $\displaystyle n\in\mathbb{N}^*$ .
$\displaystyle f_n(x)\le 1$
Pe intervalul $\displaystyle [\pi,2\pi]$ avem $\displaystyle x>0$ , deci putem împărți inegalitatea cu $\displaystyle x$ fără să schimbăm sensul ei.
$\displaystyle \frac{f_n(x)}{x}\le\frac{1}{x}$ , $\displaystyle \ x\in[\pi,2\pi]$
Integrala păstrează inegalitățile dintre funcții, deci integrăm inegalitatea de la $\displaystyle \pi$ la $\displaystyle 2\pi$ și obținem o margine superioară pentru $\displaystyle I_n$ .
$\displaystyle I_n=\int_{\pi}^{2\pi}\frac{f_n(x)}{x}\,dx\le\int_{\pi}^{2\pi}\frac{1}{x}\,dx$
Calculăm integrala din membrul drept cu primitiva $\displaystyle \ln x$ , apoi aplicăm formula Leibniz-Newton și folosim proprietatea diferenței de logaritmi: $\displaystyle \ln 2\pi-\ln\pi=\ln\dfrac{2\pi}{\pi}$ .
$\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi}\frac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_{\pi}^{2\pi}=\ln 2\pi-\ln\pi=\ln 2$
Din inegalitatea obținută și valoarea calculată rezultă $\displaystyle I_n\le\ln 2$ , ceea ce era de demonstrat.
$\displaystyle I_n\le\ln 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Pentru orice

\displaystyle n\in\mathbb{N}^*

se consideră funcțiile

\displaystyle f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f_n(x)=|\sin nx|

și numerele

\displaystyle I_n=\int_{\pi}^{2\pi}\frac{f_n(x)}{x}\,dx

.

Arătați că

\displaystyle I_n\ge\frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}\right)

.

Vezi rezolvarea

Avem $\displaystyle I_n=\int_{\pi}^{2\pi}\frac{|\sin nx|}{x}\,dx$ . Facem schimbarea de variabilă $\displaystyle t=nx$ , deci $\displaystyle dx=\frac{dt}{n}$ și $\displaystyle x=\frac{t}{n}$ . Limitele devin $\displaystyle n\pi$ și $\displaystyle 2n\pi$ , iar $\displaystyle \frac{1}{x}\,dx=\frac{n}{t}\cdot\frac{dt}{n}=\frac{dt}{t}$ .
$\displaystyle I_n=\int_{n\pi}^{2n\pi}\frac{|\sin t|}{t}\,dt$
Intervalul $\displaystyle [n\pi,2n\pi]$ are lungimea $\displaystyle n\pi$ , deci îl împărțim în $\displaystyle n$ intervale de lungime $\displaystyle \pi$ , cu capetele $\displaystyle n\pi,\ n\pi+\pi,\ n\pi+2\pi,\ \ldots,\ 2n\pi$ . Integrala devine suma integralelor pe aceste intervale.
$\displaystyle I_n=\int_{n\pi}^{n\pi+\pi}\frac{|\sin t|}{t}\,dt+\int_{n\pi+\pi}^{n\pi+2\pi}\frac{|\sin t|}{t}\,dt+\ldots+\int_{2n\pi-\pi}^{2n\pi}\frac{|\sin t|}{t}\,dt$
Pe al $\displaystyle k$ -lea interval, cu $\displaystyle k=1,\ldots,n$ , avem $\displaystyle (n+k-1)\pi\le t\le(n+k)\pi$ . Funcția $\displaystyle \frac{1}{t}$ este descrescătoare pe $\displaystyle (0,\infty)$ , deci $\displaystyle \frac{1}{t}\ge\frac{1}{(n+k)\pi}$ . Cum $\displaystyle |\sin t|\ge0$ , obținem $\displaystyle \frac{|\sin t|}{t}\ge\frac{|\sin t|}{(n+k)\pi}$ .
$\displaystyle \frac{|\sin t|}{t}\ge\frac{|\sin t|}{(n+k)\pi}$ , $\displaystyle \ t\in[(n+k-1)\pi,(n+k)\pi]$
Integrăm inegalitatea pe fiecare interval, scoatem constanta $\displaystyle \frac{1}{(n+k)\pi}$ în fața integralei și adunăm cele $\displaystyle n$ inegalități.
$\displaystyle I_n\ge\frac{1}{\pi(n+1)}\int_{n\pi}^{n\pi+\pi}|\sin t|\,dt+\frac{1}{\pi(n+2)}\int_{n\pi+\pi}^{n\pi+2\pi}|\sin t|\,dt+\ldots+\frac{1}{2n\pi}\int_{2n\pi-\pi}^{2n\pi}|\sin t|\,dt$
Funcția $\displaystyle |\sin t|$ are perioada $\displaystyle \pi$ , deci pentru orice $\displaystyle k\in\mathbb{Z}$ avem $\displaystyle \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|\,dt=\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt=-\cos t\Big|_0^{\pi}=1+1=2$ . Înlocuim valoarea $\displaystyle 2$ în fiecare termen și scoatem factorul $\displaystyle \frac{2}{\pi}$ în față.
$\displaystyle \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|\,dt=2\Rightarrow I_n\ge\frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2010, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani