Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați partea reală a numărului complex z=(3+2i)(3−2i)−(4−i)\displaystyle z=(3+2i)(3-2i)-(4-i).
Vezi rezolvarea
  1. Produsul (3+2i)(3−2i)\displaystyle (3+2i)(3-2i) are forma (a+b)(a−b)\displaystyle (a+b)(a-b), deci aplicăm formula diferenței de pătrate, cu a=3\displaystyle a=3 și b=2i\displaystyle b=2i.
    (3+2i)(3−2i)=32−(2i)2\displaystyle (3+2i)(3-2i)=3^{2}-(2i)^{2}
  2. Calculăm pătratele, folosind i2=−1\displaystyle i^{2}=-1: 32=9\displaystyle 3^{2}=9, iar (2i)2=4i2=−4\displaystyle (2i)^{2}=4i^{2}=-4.
    32−(2i)2=9−(−4)=13\displaystyle 3^{2}-(2i)^{2}=9-(-4)=13
  3. Scădem și numărul 4−i\displaystyle 4-i, schimbând semnele termenilor din paranteză. Conform baremului, scriem z=32−(2i)2−4+i=9+i\displaystyle z=3^{2}-(2i)^{2}-4+i=9+i, unde 9\displaystyle 9 provine din 9+4−4\displaystyle 9+4-4.
    z=32−(2i)2−4+i=9+i\displaystyle z=3^{2}-(2i)^{2}-4+i=9+i
  4. Partea reală a numărului a+bi\displaystyle a+bi este a\displaystyle a. Pentru z=9+i\displaystyle z=9+i, partea reală este 9\displaystyle 9.
    Re⁡(z)=9\displaystyle \operatorname{Re}(z)=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+2\displaystyle f(x)=3x+2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x−3\displaystyle g(x)=2x-3. Calculați (f∘g)(2)\displaystyle (f\circ g)(2).
Vezi rezolvarea
  1. Compunerea funcțiilor înseamnă că (f∘g)(2)=f(g(2))\displaystyle (f\circ g)(2)=f(g(2)). Deci calculăm mai întâi g(2)\displaystyle g(2), apoi aplicăm f\displaystyle f rezultatului.
    (f∘g)(2)=f(g(2))\displaystyle (f\circ g)(2)=f(g(2))
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în g(x)=2x−3\displaystyle g(x)=2x-3: g(2)=2⋅2−3=4−3=1\displaystyle g(2)=2\cdot 2-3=4-3=1.
    g(2)=2⋅2−3=1\displaystyle g(2)=2\cdot 2-3=1
  3. Acum calculăm f(1)\displaystyle f(1), înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=3x+2\displaystyle f(x)=3x+2: f(1)=3⋅1+2=5\displaystyle f(1)=3\cdot 1+2=5. Deci (f∘g)(2)=5\displaystyle (f\circ g)(2)=5.
    (f∘g)(2)=f(1)=3⋅1+2=5\displaystyle (f\circ g)(2)=f(1)=3\cdot 1+2=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 26x3=16\displaystyle \sqrt[3]{2^{6x}}=16.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem radicalul ca putere cu exponent fracționar: 26x3=26x3\displaystyle \sqrt[3]{2^{6x}}=2^{\frac{6x}{3}}.
    26x3=16\displaystyle 2^{\frac{6x}{3}}=16
  2. Simplificăm exponentul: 6x3=2x\displaystyle \dfrac{6x}{3}=2x, deci ecuația devine 22x=16\displaystyle 2^{2x}=16.
    22x=16\displaystyle 2^{2x}=16
  3. Scriem membrul drept ca putere a lui 2: 16=24\displaystyle 16=2^{4}. Ecuația devine 26x3=24\displaystyle 2^{\frac{6x}{3}}=2^{4}. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci egalăm exponenții.
    26x3=24⇔2x=4\displaystyle 2^{\frac{6x}{3}}=2^{4}\Leftrightarrow 2x=4
  4. Împărțim ecuația 2x=4\displaystyle 2x=4 la 2\displaystyle 2 și obținem soluția ecuației.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor un număr impar.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de trei cifre sunt de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999, deci sunt 999−100+1=900\displaystyle 999-100+1=900 de numere.
    900\displaystyle 900
  2. Produsul cifrelor este impar exact când toate cele trei cifre sunt impare, deoarece o cifră pară ar face produsul par. Cifrele impare sunt 1,3,5,7,9\displaystyle 1,3,5,7,9, deci avem 5\displaystyle 5 variante.
    {1,3,5,7,9}, adica˘ 5 variante pentru fiecare \displaystyle \{1,3,5,7,9\}\text{, adică }5\text{ variante pentru fiecare }cifra˘\displaystyle \text{cifră}
  3. Cifra sutelor, cifra zecilor și cifra unităților se aleg independent, fiecare în 5\displaystyle 5 moduri. Numărul cazurilor favorabile este 5⋅5⋅5\displaystyle 5\cdot 5\cdot 5.
    5⋅5⋅5=125\displaystyle 5\cdot 5\cdot 5=125
  4. Aplicăm formula probabilității, p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}, și simplificăm fracția prin 25\displaystyle 25.
    p=125900=536\displaystyle p=\frac{125}{900}=\frac{5}{36}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră paralelogramul ABCD\displaystyle ABCD cu AD=6\displaystyle AD=6, AB=4\displaystyle AB=4 și m(∠ADC)=120∘\displaystyle m(\angle ADC)=120^\circ. Determinați modulul vectorului v⃗=AB→+AD→\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim regula paralelogramului: suma vectorilor AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} și AD→\displaystyle \overrightarrow{AD}, cu aceeași origine A\displaystyle A, este vectorul diagonalei AC\displaystyle AC. Deci modulul lui v⃗\displaystyle \vec{v} este lungimea segmentului AC\displaystyle AC.
    v⃗=AB→+AD→=AC→⇒∣v⃗∣=AC\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\Rightarrow |\vec{v}|=AC
  2. Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale, deci DC=AB=4\displaystyle DC=AB=4. Unghiul ∠ADC=120∘\displaystyle \angle ADC=120^\circ este cuprins între laturile AD\displaystyle AD și DC\displaystyle DC ale triunghiului ADC\displaystyle ADC.
    DC=4\displaystyle DC=4
  3. Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ADC\displaystyle ADC, pentru latura AC\displaystyle AC opusă unghiului de 120∘\displaystyle 120^\circ.
    AC2=AD2+DC2−2⋅AD⋅DC⋅cos⁡(∠ADC)\displaystyle AC^2=AD^2+DC^2-2\cdot AD\cdot DC\cdot\cos(\angle ADC)
  4. Înlocuim valorile și folosim cos⁡120∘=−12\displaystyle \cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}. Apoi calculăm AC2\displaystyle AC^2.
    AC2=36+16−2⋅6⋅4⋅(−12)=36+16+24=76\displaystyle AC^2=36+16-2\cdot 6\cdot 4\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=36+16+24=76
  5. Extragem rădăcina pătrată și scoatem factorul 4\displaystyle 4 de sub radical: 76=4⋅19\displaystyle 76=4\cdot 19. Deci modulul vectorului v⃗\displaystyle \vec{v} este 219\displaystyle 2\sqrt{19}.
    ∣v⃗∣=AC=76=219\displaystyle |\vec{v}|=AC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=60\displaystyle AB=60, AC=80\displaystyle AC=80 și BC=100\displaystyle BC=100. Calculați lungimea înălțimii AD\displaystyle AD a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratele laturilor: AB2=602=3600\displaystyle AB^{2}=60^{2}=3600, AC2=802=6400\displaystyle AC^{2}=80^{2}=6400, BC2=1002=10000\displaystyle BC^{2}=100^{2}=10000.
    AB2=3600\displaystyle AB^{2}=3600, AC2=6400\displaystyle \ AC^{2}=6400, BC2=10000\displaystyle \ BC^{2}=10000
  2. Observăm că AB2+AC2=3600+6400=10000=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=3600+6400=10000=BC^{2}, deci, din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, cu ipotenuza BC\displaystyle BC.
    BC2=AB2+AC2⇒△ABC este dreptunghic ıˆn A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow \triangle ABC\text{ este dreptunghic în }A
  3. Scriem aria triunghiului în două moduri: A=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC}{2} și A=BC⋅AD2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{BC\cdot AD}{2}.
    AB⋅AC2=BC⋅AD2\displaystyle \dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{BC\cdot AD}{2}
  4. Din egalitatea ariilor obținem AD=AB⋅ACBC\displaystyle AD=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}. Înlocuim: AD=60⋅80100=4800100=48\displaystyle AD=\dfrac{60\cdot 80}{100}=\dfrac{4800}{100}=48.
    AD=AB⋅ACBC=60⋅80100=48\displaystyle AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{60\cdot 80}{100}=48
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a+11−2a−1−112a−21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a+1 & 1 & -2\\ a-1 & -1 & 1\\ 2a & -2 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {(2a+1)x+y−2z=a(a−1)x−y+z=a+12ax−2y+z=1\displaystyle \begin{cases}(2a+1)x+y-2z=a\\ (a-1)x-y+z=a+1\\ 2ax-2y+z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real. Arătați că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a): 2a+1=3\displaystyle 2a+1=3, a−1=0\displaystyle a-1=0, 2a=2\displaystyle 2a=2. Obținem matricea A(1)\displaystyle A(1) și scriem determinantul ei.
    det⁡(A(1))=∣31−20−112−21∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}3 & 1 & -2\\ 0 & -1 & 1\\ 2 & -2 & 1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 3⋅(−1)⋅1\displaystyle 3\cdot(-1)\cdot 1, 1⋅1⋅2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2 și (−2)⋅0⋅(−2)\displaystyle (-2)\cdot 0\cdot(-2).
    −3+2+0=−1\displaystyle -3+2+0=-1
  3. Calculăm apoi produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: (−2)⋅(−1)⋅2\displaystyle (-2)\cdot(-1)\cdot 2, 3⋅1⋅(−2)\displaystyle 3\cdot 1\cdot(-2) și 1⋅0⋅1\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1. Acestea se scad din prima sumă.
    4+(−6)+0=−2\displaystyle 4+(-6)+0=-2
  4. Scădem a doua sumă din prima: −3+0+2−4−(−6)−0=−1−(−2)\displaystyle -3+0+2-4-(-6)-0=-1-(-2). Am arătat că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
    −3+0+2−4−(−6)−0=1\displaystyle -3+0+2-4-(-6)-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a+11−2a−1−112a−21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a+1 & 1 & -2\\ a-1 & -1 & 1\\ 2a & -2 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {(2a+1)x+y−2z=a(a−1)x−y+z=a+12ax−2y+z=1\displaystyle \begin{cases}(2a+1)x+y-2z=a\\ (a-1)x-y+z=a+1\\ 2ax-2y+z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) nu este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci A(a)\displaystyle A(a) nu este inversabilă când det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0. Calculăm mai întâi determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a).
    det⁡(A(a))=∣2a+11−2a−1−112a−21∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}2a+1 & 1 & -2\\ a-1 & -1 & 1\\ 2a & -2 & 1\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie, cu minorii de ordin 2 corespunzători elementelor ei.
    det⁡(A(a))=(2a+1)∣−11−21∣−1⋅∣a−112a1∣+(−2)∣a−1−12a−2∣\displaystyle \det(A(a))=(2a+1)\begin{vmatrix}-1 & 1\\ -2 & 1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}a-1 & 1\\ 2a & 1\end{vmatrix}+(-2)\begin{vmatrix}a-1 & -1\\ 2a & -2\end{vmatrix}
  3. Calculăm cei trei minori de ordin 2: primul este −1⋅1−1⋅(−2)=1\displaystyle -1\cdot 1-1\cdot(-2)=1, al doilea este (a−1)⋅1−1⋅2a=−a−1\displaystyle (a-1)\cdot 1-1\cdot 2a=-a-1, al treilea este (a−1)(−2)−(−1)⋅2a=2\displaystyle (a-1)(-2)-(-1)\cdot 2a=2.
    1\displaystyle 1,−a−1\displaystyle \quad -a-1,2\displaystyle \quad 2
  4. Înlocuim minorii în dezvoltare și reducem termenii asemenea: det⁡(A(a))=(2a+1)⋅1−1⋅(−a−1)−2⋅2=2a+1+a+1−4\displaystyle \det(A(a))=(2a+1)\cdot 1-1\cdot(-a-1)-2\cdot 2=2a+1+a+1-4.
    det⁡(A(a))=3a−2\displaystyle \det(A(a))=3a-2
  5. Matricea nu este inversabilă când determinantul este zero. Rezolvăm ecuația 3a−2=0\displaystyle 3a-2=0 și obținem a=23\displaystyle a=\dfrac{2}{3}.
    det⁡(A(a))=0, deci a=23\displaystyle \det(A(a))=0\text{, deci }a=\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a+11−2a−1−112a−21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a+1 & 1 & -2\\ a-1 & -1 & 1\\ 2a & -2 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {(2a+1)x+y−2z=a(a−1)x−y+z=a+12ax−2y+z=1\displaystyle \begin{cases}(2a+1)x+y-2z=a\\ (a-1)x-y+z=a+1\\ 2ax-2y+z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care există y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0, numere reale, astfel încât (2,y0,z0)\displaystyle (2,y_0,z_0) să fie soluție a sistemului de ecuații.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului: det⁡A(a)=(2a+1)⋅1−1⋅(−a−1)+(−2)⋅2\displaystyle \det A(a)=(2a+1)\cdot 1-1\cdot(-a-1)+(-2)\cdot 2. Prin reducere obținem det⁡A(a)=3a−2\displaystyle \det A(a)=3a-2.
    det⁡A(a)=3a−2\displaystyle \det A(a)=3a-2
  2. Determinantul se anulează pentru a=23\displaystyle a=\dfrac{2}{3}. Atunci L1=−3L2+L3\displaystyle L_1=-3L_2+L_3 pe coeficienți, dar pentru termenii liberi −3⋅53+1=−4≠23\displaystyle -3\cdot\dfrac{5}{3}+1=-4\neq\dfrac{2}{3}. Deci sistemul este incompatibil și acest caz nu convine.
    a=23, sistemul este \displaystyle a=\frac{2}{3}\text{, sistemul este }incompatibil\displaystyle \text{incompatibil}
  3. Pentru a≠23\displaystyle a\neq\dfrac{2}{3} sistemul este compatibil determinat. Calculăm Δx\displaystyle \Delta_x, înlocuind prima coloană cu termenii liberi: Δx=a⋅1−1⋅a+(−2)(−2a−1)=4a+2\displaystyle \Delta_x=a\cdot 1-1\cdot a+(-2)(-2a-1)=4a+2.
    Δx=4a+2=2(2a+1)\displaystyle \Delta_x=4a+2=2(2a+1)
  4. Din formula lui Cramer, x=Δxdet⁡A(a)=2(2a+1)3a−2\displaystyle x=\dfrac{\Delta_x}{\det A(a)}=\dfrac{2(2a+1)}{3a-2}. Cerem ca x=2\displaystyle x=2.
    2(2a+1)3a−2=2\displaystyle \frac{2(2a+1)}{3a-2}=2
  5. Simplificăm cu 2 și obținem 2a+1=3a−2\displaystyle 2a+1=3a-2, de unde a=3\displaystyle a=3. Cum 3≠23\displaystyle 3\neq\dfrac{2}{3}, sistemul este compatibil determinat, iar soluția lui are x=2\displaystyle x=2, deci există y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 reale.
    a=3, care convine\displaystyle a=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,+∞)\displaystyle G=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xlog⁡2y3\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^{\log_2 y}}.

Arătați că 2∗64=4\displaystyle 2*64=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=64\displaystyle y=64 în definiția x∗y=xlog⁡2y3\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^{\log_2 y}}.
    2∗64=2log⁡2643\displaystyle 2*64=\sqrt[3]{2^{\log_2 64}}
  2. Calculăm logaritmul: 64=26\displaystyle 64=2^6, deci log⁡264=6\displaystyle \log_2 64=6.
    log⁡264=log⁡226=6\displaystyle \log_2 64=\log_2 2^6=6
  3. Înlocuim log⁡264=6\displaystyle \log_2 64=6 sub radical, ceea ce este echivalent cu 2log⁡264=64\displaystyle 2^{\log_2 64}=64 și 64=26\displaystyle 64=2^6.
    2∗64=263\displaystyle 2*64=\sqrt[3]{2^{6}}
  4. Scoatem radicalul de ordin 3: 263=26/3=22=4\displaystyle \sqrt[3]{2^{6}}=2^{6/3}=2^{2}=4.
    263=22=4\displaystyle \sqrt[3]{2^{6}}=2^{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,+∞)\displaystyle G=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xlog⁡2y3\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^{\log_2 y}}.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem radicalul ca putere cu exponent fracționar: x∗y=xlog⁡2y3=x13log⁡2y\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^{\log_2 y}}=x^{\frac{1}{3}\log_2 y}.
    x∗y=x13log⁡2y\displaystyle x*y=x^{\frac{1}{3}\log_2 y}
  2. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x=2log⁡2x\displaystyle x=2^{\log_2 x}. Înlocuim în baza puterii: x13log⁡2y=(2log⁡2x)13log⁡2y\displaystyle x^{\frac{1}{3}\log_2 y}=\left(2^{\log_2 x}\right)^{\frac{1}{3}\log_2 y}.
    x13log⁡2y=(2log⁡2x)13log⁡2y\displaystyle x^{\frac{1}{3}\log_2 y}=\left(2^{\log_2 x}\right)^{\frac{1}{3}\log_2 y}
  3. Aplicăm regula (am)n=amn\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn} și înmulțim exponenții: x∗y=213log⁡2x⋅log⁡2y\displaystyle x*y=2^{\frac{1}{3}\log_2 x\cdot\log_2 y}.
    x∗y=213log⁡2x⋅log⁡2y\displaystyle x*y=2^{\frac{1}{3}\log_2 x\cdot\log_2 y}
  4. Înmulțirea numerelor reale este comutativă, deci în exponent putem schimba ordinea factorilor: 213log⁡2x⋅log⁡2y=213log⁡2y⋅log⁡2x\displaystyle 2^{\frac{1}{3}\log_2 x\cdot\log_2 y}=2^{\frac{1}{3}\log_2 y\cdot\log_2 x}.
    213log⁡2x⋅log⁡2y=213log⁡2y⋅log⁡2x\displaystyle 2^{\frac{1}{3}\log_2 x\cdot\log_2 y}=2^{\frac{1}{3}\log_2 y\cdot\log_2 x}
  5. Scriem 213log⁡2y⋅log⁡2x=(2log⁡2y)13log⁡2x\displaystyle 2^{\frac{1}{3}\log_2 y\cdot\log_2 x}=\left(2^{\log_2 y}\right)^{\frac{1}{3}\log_2 x} și folosim 2log⁡2y=y\displaystyle 2^{\log_2 y}=y. Obținem y13log⁡2x=ylog⁡2x3=y∗x\displaystyle y^{\frac{1}{3}\log_2 x}=\sqrt[3]{y^{\log_2 x}}=y*x, pentru orice x,y∈G\displaystyle x,y\in G, deci legea „∗\displaystyle *” este comutativă.
    x∗y=y∗x, pentru orice x\displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice }x,y∈G\displaystyle y\in G
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,+∞)\displaystyle G=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xlog⁡2y3\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^{\log_2 y}}.

Determinați x∈G\displaystyle x\in G care sunt egale cu simetricele lor în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm elementul neutru e\displaystyle e. Scriem legea sub forma x∗y=xlog⁡2y3\displaystyle x*y=x^{\frac{\log_2 y}{3}}, deoarece a3=a13\displaystyle \sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}.
    x∗y=xlog⁡2y3\displaystyle x*y=x^{\frac{\log_2 y}{3}}
  2. Cerem ca x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G. Aceasta înseamnă log⁡2e3=1\displaystyle \frac{\log_2 e}{3}=1, deci log⁡2e=3\displaystyle \log_2 e=3, adică e=8\displaystyle e=8.
    e=8\displaystyle e=8
  3. Verificăm: x∗8=xlog⁡283=x33=x\displaystyle x*8=\sqrt[3]{x^{\log_2 8}}=\sqrt[3]{x^{3}}=x. Apoi 8∗x=8log⁡2x3=(23)log⁡2x3=2log⁡2x=x\displaystyle 8*x=\sqrt[3]{8^{\log_2 x}}=\left(2^{3}\right)^{\frac{\log_2 x}{3}}=2^{\log_2 x}=x. Deci x∗8=8∗x=x\displaystyle x*8=8*x=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G, adică e=8\displaystyle e=8.
    x∗8=8∗x=x, pentru orice x∈G⇒e=8\displaystyle x*8=8*x=x\text{, pentru orice }x\in G\Rightarrow e=8
  4. Un element x\displaystyle x este egal cu simetricul său dacă x∗x=e\displaystyle x*x=e, adică x∗x=8\displaystyle x*x=8. Scriem condiția: xlog⁡2x3=8\displaystyle \sqrt[3]{x^{\log_2 x}}=8.
    xlog⁡2x3=8\displaystyle \sqrt[3]{x^{\log_2 x}}=8
  5. Ridicăm la puterea a treia ambii membri: xlog⁡2x=83\displaystyle x^{\log_2 x}=8^{3}. Logaritmăm în baza 2: log⁡2xlog⁡2x=log⁡2(83)\displaystyle \log_2 x^{\log_2 x}=\log_2\left(8^{3}\right). Folosim log⁡2ab=blog⁡2a\displaystyle \log_2 a^{b}=b\log_2 a și log⁡283=3⋅3=9\displaystyle \log_2 8^{3}=3\cdot 3=9, deci obținem (log⁡2x)2=9\displaystyle (\log_2 x)^2=9.
    x∗x=8⇔xlog⁡2x=83⇔log⁡2xlog⁡2x=log⁡2(83)⇔(log⁡2x)2=9\displaystyle x*x=8\Leftrightarrow x^{\log_2 x}=8^3\Leftrightarrow \log_2 x^{\log_2 x}=\log_2\left(8^3\right)\Leftrightarrow(\log_2 x)^2=9
  6. Din (log⁡2x)2=9\displaystyle (\log_2 x)^2=9 rezultă log⁡2x=−3\displaystyle \log_2 x=-3 sau log⁡2x=3\displaystyle \log_2 x=3. Deci x=2−3=18\displaystyle x=2^{-3}=\frac{1}{8} sau x=23=8\displaystyle x=2^{3}=8. Ambele valori sunt pozitive, deci aparțin lui G\displaystyle G și convin.
    log⁡2x=−3 sau log⁡2x=3, deci x=18 sau x=8, care convin\displaystyle \log_2 x=-3\text{ sau }\log_2 x=3\text{, deci }x=\frac{1}{8}\text{ sau }x=8\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−5)(x−4)(x−3)(x−2)+1\displaystyle f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)+1.

Arătați că f′(5)=6\displaystyle f'(5)=6.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția ca f(x)=(x−5)⋅g(x)+1\displaystyle f(x)=(x-5)\cdot g(x)+1, unde g(x)=(x−4)(x−3)(x−2)\displaystyle g(x)=(x-4)(x-3)(x-2). Derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, deci f′(x)=((x−5)g(x))′\displaystyle f'(x)=\left((x-5)g(x)\right)'.
    f(x)=(x−5) g(x)+1\displaystyle f(x)=(x-5)\,g(x)+1,g(x)=(x−4)(x−3)(x−2)\displaystyle \quad g(x)=(x-4)(x-3)(x-2)
  2. Folosim regula (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv' cu u=x−5\displaystyle u=x-5 și v=g(x)\displaystyle v=g(x). Cum (x−5)′=1\displaystyle (x-5)'=1, obținem f′(x)=g(x)+(x−5)g′(x)\displaystyle f'(x)=g(x)+(x-5)g'(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=(x−4)(x−3)(x−2)+(x−5)((x−4)(x−3)(x−2))′, x∈R\displaystyle f'(x)=(x-4)(x-3)(x-2)+(x-5)\left((x-4)(x-3)(x-2)\right)'\text{, }x\in\mathbb{R}
  3. Înlocuim x=5\displaystyle x=5. În al doilea termen factorul x−5\displaystyle x-5 devine 5−5=0\displaystyle 5-5=0, deci acest termen este 0\displaystyle 0, oricare ar fi valoarea lui g′(5)\displaystyle g'(5).
    f′(5)=(5−4)(5−3)(5−2)+0\displaystyle f'(5)=(5-4)(5-3)(5-2)+0
  4. Calculăm: 5−4=1\displaystyle 5-4=1, 5−3=2\displaystyle 5-3=2, 5−2=3\displaystyle 5-2=3, deci f′(5)=1⋅2⋅3+0=6\displaystyle f'(5)=1\cdot 2\cdot 3+0=6, ceea ce trebuia demonstrat.
    f′(5)=1⋅2⋅3+0=6\displaystyle f'(5)=1\cdot 2\cdot 3+0=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−5)(x−4)(x−3)(x−2)+1\displaystyle f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)+1.

Calculați lim⁡n→+∞(f(n+1)−1f(n)−1)n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}\right)^n.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția funcției, f(n)−1=(n−5)(n−4)(n−3)(n−2)\displaystyle f(n)-1=(n-5)(n-4)(n-3)(n-2).
    f(n)−1=(n−5)(n−4)(n−3)(n−2)\displaystyle f(n)-1=(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)
  2. Înlocuind x=n+1\displaystyle x=n+1 obținem f(n+1)−1=(n−4)(n−3)(n−2)(n−1)\displaystyle f(n+1)-1=(n-4)(n-3)(n-2)(n-1).
    f(n+1)−1=(n−4)(n−3)(n−2)(n−1)\displaystyle f(n+1)-1=(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)
  3. Formăm raportul și simplificăm factorii comuni n−4\displaystyle n-4, n−3\displaystyle n-3, n−2\displaystyle n-2, nenuli pentru n≥6\displaystyle n\geq 6.
    f(n+1)−1f(n)−1=(n−4)(n−3)(n−2)(n−1)(n−5)(n−4)(n−3)(n−2)=n−1n−5\displaystyle \frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}=\frac{(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)}{(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)}=\frac{n-1}{n-5}, n∈N\displaystyle \ n\in\mathbb{N}, n≥6\displaystyle \ n\geq 6
  4. Scriem n−1=(n−5)+4\displaystyle n-1=(n-5)+4, deci fracția devine 1+4n−5\displaystyle 1+\dfrac{4}{n-5}, iar expresia cerută este (1+4n−5)n\displaystyle \left(1+\dfrac{4}{n-5}\right)^n.
    (n−1n−5)n=(1+4n−5)n\displaystyle \left(\frac{n-1}{n-5}\right)^n=\left(1+\frac{4}{n-5}\right)^n
  5. Scriem n=n−54⋅4nn−5\displaystyle n=\dfrac{n-5}{4}\cdot\dfrac{4n}{n-5}, deci puterea se rescrie astfel încât baza interioară să fie de forma (1+1un)un\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)^{u_n} cu un=n−54→+∞\displaystyle u_n=\dfrac{n-5}{4}\to+\infty.
    (1+4n−5)n=((1+4n−5)n−54)4nn−5\displaystyle \left(1+\frac{4}{n-5}\right)^n=\left(\left(1+\frac{4}{n-5}\right)^{\frac{n-5}{4}}\right)^{\frac{4n}{n-5}}
  6. Deoarece (1+4n−5)n−54→e\displaystyle \left(1+\dfrac{4}{n-5}\right)^{\frac{n-5}{4}}\to e și 4nn−5→4\displaystyle \dfrac{4n}{n-5}\to 4, limita cerută este e4\displaystyle e^4.
    lim⁡n→+∞(1+4n−5)n=e4\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{4}{n-5}\right)^n=e^4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−5)(x−4)(x−3)(x−2)+1\displaystyle f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)+1.

Demonstrați că ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 are trei soluții reale.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm valorile funcției în punctele 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3, 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5. În fiecare dintre aceste puncte unul dintre factorii produsului (x−5)(x−4)(x−3)(x−2)\displaystyle (x-5)(x-4)(x-3)(x-2) este zero, deci produsul este zero, iar f\displaystyle f ia valoarea 1\displaystyle 1.
    f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=1\displaystyle f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=1
  2. Funcția f\displaystyle f este polinomială, deci continuă și derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Prin urmare, pe fiecare interval [2,3]\displaystyle [2,3], [3,4]\displaystyle [3,4], [4,5]\displaystyle [4,5] sunt îndeplinite ipotezele teoremei lui Rolle: continuitate pe intervalul închis, derivabilitate pe intervalul deschis și valori egale la capete, conform pasului anterior.
    f(2)=f(3)\displaystyle f(2)=f(3), f(3)=f(4)\displaystyle \ f(3)=f(4), f(4)=f(5)\displaystyle \ f(4)=f(5)
  3. Aplicăm teorema lui Rolle pe fiecare dintre cele trei intervale: există câte un punct în interiorul intervalului în care derivata se anulează. Intervalele deschise (2,3)\displaystyle (2,3), (3,4)\displaystyle (3,4), (4,5)\displaystyle (4,5) sunt disjuncte, deci cele trei puncte sunt distincte. Ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 are astfel cel puțin trei soluții reale.
    ∃ x1∈(2,3)\displaystyle \exists\, x_1\in(2,3), x2∈(3,4)\displaystyle \ x_2\in(3,4), x3∈(4,5) cu f′(x1)=f′(x2)=f′(x3)=0\displaystyle \ x_3\in(4,5)\text{ cu }f'(x_1)=f'(x_2)=f'(x_3)=0
  4. Funcția f\displaystyle f este polinomială de gradul 4\displaystyle 4, deci f′\displaystyle f' are gradul 3\displaystyle 3 și are cel mult trei rădăcini reale. Așadar ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 are exact trei soluții reale, câte una în fiecare dintre intervalele (2,3)\displaystyle (2,3), (3,4)\displaystyle (3,4), (4,5)\displaystyle (4,5).
    f′(x)=0 are o soluție ıˆn fiecare \displaystyle f'(x)=0\text{ are o soluție în fiecare }dintre intervalele (2,3), (3,4), (4,5)\displaystyle \text{dintre intervalele }(2,3)\text{, }(3,4)\text{, }(4,5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−ex1+ex\displaystyle f(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}.

Determinați primitiva G\displaystyle G a funcției g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=(1+ex)f(x)\displaystyle g(x)=\left(1+e^x\right)f(x) pentru care G(0)=0\displaystyle G(0)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1−ex1+ex\displaystyle f(x)=\dfrac{1-e^x}{1+e^x} în g(x)=(1+ex)f(x)\displaystyle g(x)=\left(1+e^x\right)f(x) și simplificăm cu 1+ex\displaystyle 1+e^x, care este nenul pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    g(x)=(1+ex)⋅1−ex1+ex=1−ex\displaystyle g(x)=\left(1+e^x\right)\cdot\dfrac{1-e^x}{1+e^x}=1-e^x
  2. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x. Adăugăm o constantă c∈R\displaystyle c\in\mathbb{R}.
    ∫g(x) dx=∫(1−ex)dx=x−ex+c⇒G(x)=x−ex+c, unde c∈R\displaystyle \int g(x)\,dx=\int\left(1-e^x\right)dx=x-e^x+c\Rightarrow G(x)=x-e^x+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}
  3. Impunem condiția G(0)=0\displaystyle G(0)=0. Calculăm G(0)=0−e0+c=−1+c\displaystyle G(0)=0-e^0+c=-1+c și o egalăm cu 0\displaystyle 0.
    G(0)=−1+c=0⇒c=1\displaystyle G(0)=-1+c=0\Rightarrow c=1
  4. Înlocuim c=1\displaystyle c=1 în forma generală a primitivei și obținem primitiva cerută.
    c=1, deci G:R→R, G(x)=x−ex+1\displaystyle c=1\text{, deci }G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\text{, }G(x)=x-e^x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−ex1+ex\displaystyle f(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}.

Calculați ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată: ∫01f(x) dx=∫011−ex1+ex dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\dfrac{1-e^x}{1+e^x}\,dx.
    ∫01f(x) dx=∫011−ex1+ex dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\frac{1-e^x}{1+e^x}\,dx
  2. Scriem numărătorul astfel: 1−ex=(1+ex)−2ex\displaystyle 1-e^x=(1+e^x)-2e^x. Împărțim la numitorul 1+ex\displaystyle 1+e^x și obținem 1\displaystyle 1 minus o fracție care are la numărător de două ori derivata numitorului, deoarece (1+ex)′=ex\displaystyle (1+e^x)'=e^x.
    1−ex1+ex=1−2ex1+ex\displaystyle \frac{1-e^x}{1+e^x}=1-\frac{2e^x}{1+e^x}
  3. Aflăm o primitivă. Integrala lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar fracția 2ex1+ex\displaystyle \dfrac{2e^x}{1+e^x} are forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} cu u=1+ex>0\displaystyle u=1+e^x>0, deci o primitivă este 2ln⁡(1+ex)\displaystyle 2\ln(1+e^x). Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫01(1−2ex1+ex)dx=(x−2ln⁡(1+ex))∣01\displaystyle \int_0^1\left(1-\frac{2e^x}{1+e^x}\right)dx=\left(x-2\ln\left(1+e^x\right)\right)\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile primitivei în limitele de integrare: la x=1\displaystyle x=1 obținem 1−2ln⁡(1+e)\displaystyle 1-2\ln(1+e), iar la x=0\displaystyle x=0 obținem 0−2ln⁡2\displaystyle 0-2\ln 2. Scădem cele două valori.
    (1−2ln⁡(1+e))−(0−2ln⁡2)=1−2ln⁡(1+e)+2ln⁡2\displaystyle \left(1-2\ln(1+e)\right)-\left(0-2\ln 2\right)=1-2\ln(1+e)+2\ln 2
  5. Grupăm logaritmii folosind ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b} și obținem răspunsul final: 2ln⁡2−2ln⁡(1+e)=2ln⁡2e+1\displaystyle 2\ln 2-2\ln(1+e)=2\ln\dfrac{2}{e+1}.
    ∫01f(x) dx=1+2ln⁡2e+1\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=1+2\ln\frac{2}{e+1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−ex1+ex\displaystyle f(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}.

Demonstrați că ∫−11f(x)cos⁡x dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)\cos x\,dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm I=∫−11f(x)cos⁡x dx\displaystyle I=\int_{-1}^{1}f(x)\cos x\,dx. Facem schimbarea de variabilă t=−x\displaystyle t=-x, deci dt=−dx\displaystyle dt=-dx. Când x\displaystyle x merge de la −1\displaystyle -1 la 1\displaystyle 1, t\displaystyle t merge de la 1\displaystyle 1 la −1\displaystyle -1.
    I=∫1−1f(−t)cos⁡(−t)⋅(−1) dt\displaystyle I=\int_{1}^{-1}f(-t)\cos(-t)\cdot(-1)\,dt
  2. Schimbăm ordinea limitelor, ceea ce anulează factorul −1\displaystyle -1, și folosim faptul că cos⁡(−x)=cos⁡x\displaystyle \cos(-x)=\cos x. Redenumim variabila de integrare în x\displaystyle x.
    I=∫−11f(−x)cos⁡x dx\displaystyle I=\int_{-1}^{1}f(-x)\cos x\,dx
  3. Scriem explicit f(−x)=1−e−x1+e−x\displaystyle f(-x)=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}} și amplificăm fracția cu ex\displaystyle e^{x}.
    f(−x)=1−e−x1+e−x=ex−1ex+1\displaystyle f(-x)=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}
  4. Numărătorul ex−1\displaystyle e^{x}-1 este opusul lui 1−ex\displaystyle 1-e^{x}, deci f(−x)=−f(x)\displaystyle f(-x)=-f(x), adică f\displaystyle f este impară. Înlocuim în integrală.
    I=∫−11ex−1ex+1cos⁡x dx=−∫−111−exex+1cos⁡x dx=−∫−11f(x)cos⁡x dx=−I\displaystyle I=\int_{-1}^{1}\frac{e^x-1}{e^x+1}\cos x\,dx=-\int_{-1}^{1}\frac{1-e^x}{e^x+1}\cos x\,dx=-\int_{-1}^{1}f(x)\cos x\,dx=-I
  5. Din I=−I\displaystyle I=-I rezultă 2I=0\displaystyle 2I=0, deci I=0\displaystyle I=0.
    2∫−11f(x)cos⁡x dx=0, deci ∫−11f(x)cos⁡x dx=0\displaystyle 2\int_{-1}^{1}f(x)\cos x\,dx=0\text{, deci }\int_{-1}^{1}f(x)\cos x\,dx=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.