Bac matematică M1 mate-info 2022, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numerele 6−33\displaystyle 6-3\sqrt{3}, 3\displaystyle \sqrt{3} și 2+3\displaystyle 2+\sqrt{3} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
Vezi rezolvarea
  1. Trei numere nenule a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă b2=a⋅c\displaystyle b^{2}=a\cdot c. Aici a=6−33\displaystyle a=6-3\sqrt{3}, b=3\displaystyle b=\sqrt{3}, c=2+3\displaystyle c=2+\sqrt{3}, deci trebuie verificat că (3)2=(6−33)(2+3)\displaystyle \left(\sqrt{3}\right)^{2}=\left(6-3\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right).
    b2=a⋅c\displaystyle b^{2}=a\cdot c
  2. Calculăm produsul primului și al ultimului număr. Mai întâi dăm factor comun 3\displaystyle 3 în primul număr: 6−33=3(2−3)\displaystyle 6-3\sqrt{3}=3\left(2-\sqrt{3}\right).
    6−33=3(2−3)\displaystyle 6-3\sqrt{3}=3\left(2-\sqrt{3}\right)
  3. Înlocuim în produs și folosim formula diferenței de pătrate: (2−3)(2+3)=22−(3)2=4−3=1\displaystyle \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}=4-3=1. Rezultă că produsul este 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3.
    (6−33)(2+3)=3(2−3)(2+3)=3\displaystyle \left(6-3\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=3\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=3
  4. Pătratul termenului din mijloc este (3)2=3\displaystyle \left(\sqrt{3}\right)^{2}=3, deci este egal cu produsul calculat. Relația este verificată, deci numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
    3=(3)2\displaystyle 3=\left(\sqrt{3}\right)^{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+mx+1\displaystyle f(x)=x^2+mx+1, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care axa Ox\displaystyle Ox este tangentă graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul unei funcții de gradul II este tangent axei Ox\displaystyle Ox exact atunci când ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are o singură soluție reală (rădăcină dublă), adică atunci când discriminantul este nul. Aici f(x)=0\displaystyle f(x)=0 devine x2+mx+1=0\displaystyle x^2+mx+1=0.
    x2+mx+1=0, Δ=0\displaystyle x^2+mx+1=0\text{, }\Delta=0
  2. Calculăm discriminantul cu a=1\displaystyle a=1, b=m\displaystyle b=m, c=1\displaystyle c=1: Δ=b2−4ac=m2−4⋅1⋅1=m2−4\displaystyle \Delta=b^2-4ac=m^2-4\cdot 1\cdot 1=m^2-4. Condiția Δ=0\displaystyle \Delta=0 dă m2−4=0\displaystyle m^2-4=0.
    Δ=0⇔m2−4=0\displaystyle \Delta=0\Leftrightarrow m^2-4=0
  3. Rezolvăm ecuația m2=4\displaystyle m^2=4, deci m=−2\displaystyle m=-2 sau m=2\displaystyle m=2. Pentru ambele valori ecuația are rădăcină dublă (x=1\displaystyle x=1, respectiv x=−1\displaystyle x=-1), deci axa Ox\displaystyle Ox este tangentă graficului.
    m=−2 sau m=2\displaystyle m=-2\text{ sau }m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+2=5x+24\displaystyle 5^{x+2}=5^x+24.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem puterea cu exponentul x+2\displaystyle x+2 ca produs: 5x+2=5x⋅52=25⋅5x\displaystyle 5^{x+2}=5^{x}\cdot 5^{2}=25\cdot 5^{x}.
    5x+2=25⋅5x\displaystyle 5^{x+2}=25\cdot 5^{x}
  2. Înlocuim în ecuație: 25⋅5x=5x+24\displaystyle 25\cdot 5^{x}=5^{x}+24. Mutăm 5x\displaystyle 5^{x} în partea stângă și obținem 25⋅5x−5x=24\displaystyle 25\cdot 5^{x}-5^{x}=24.
    25⋅5x−5x=24\displaystyle 25\cdot 5^{x}-5^{x}=24
  3. Dăm factor comun 5x\displaystyle 5^{x}: 24⋅5x=24\displaystyle 24\cdot 5^{x}=24. Împărțim la 24\displaystyle 24 și obținem 5x=1\displaystyle 5^{x}=1.
    25⋅5x−5x=24, deci 5x=1\displaystyle 25\cdot 5^x-5^x=24\text{, deci }5^x=1
  4. Cum 1=50\displaystyle 1=5^{0}, iar funcția exponențială cu baza 5\displaystyle 5 este injectivă, din 5x=50\displaystyle 5^{x}=5^{0} rezultă x=0\displaystyle x=0. Soluția ecuației este x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numerele de două cifre cu cifre distincte. Cifra zecilor se alege în 9\displaystyle 9 moduri (de la 1\displaystyle 1 la 9\displaystyle 9), iar cifra unităților în 9\displaystyle 9 moduri (orice cifră de la 0\displaystyle 0 la 9\displaystyle 9, în afară de cifra zecilor).
    9⋅9=81\displaystyle 9\cdot 9=81
  2. Numărăm cazurile favorabile: cifra zecilor este nenulă și multiplu de 3\displaystyle 3, deci poate fi 3\displaystyle 3, 6\displaystyle 6 sau 9\displaystyle 9, adică 3\displaystyle 3 variante.
    a∈{3,6,9}\displaystyle a\in\{3,6,9\}
  3. Pentru fiecare dintre aceste 3\displaystyle 3 variante, cifra unităților se alege în 9\displaystyle 9 moduri, diferită de cifra zecilor. Obținem numărul cazurilor favorabile.
    3⋅9=27\displaystyle 3\cdot 9=27
  4. Aplicăm formula probabilității, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, și simplificăm fracția prin 27\displaystyle 27.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=2781=13\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, punctul D\displaystyle D mijlocul laturii AC\displaystyle AC și punctul M\displaystyle M astfel încât MA→+2MB→+3MC→=0⃗\displaystyle \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}. Arătați că dreptele MD\displaystyle MD și AB\displaystyle AB sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Exprimăm vectorii din relație prin AB→\displaystyle \overrightarrow{AB}, AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} și AM→\displaystyle \overrightarrow{AM}: MA→=−AM→\displaystyle \overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM}, MB→=AB→−AM→\displaystyle \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}, MC→=AC→−AM→\displaystyle \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}.
    MA→=−AM→\displaystyle \overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM}, MB→=AB→−AM→\displaystyle \ \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}, MC→=AC→−AM→\displaystyle \ \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}
  2. Înlocuim în MA→+2MB→+3MC→=0⃗\displaystyle \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0} și obținem −AM→+2AB→−2AM→+3AC→−3AM→=0⃗\displaystyle -\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AM}=\vec{0}, adică 2AB→+3AC→−6AM→=0⃗\displaystyle 2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}-6\overrightarrow{AM}=\vec{0}.
    2AB→+3AC→−6AM→=0⃗\displaystyle 2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}-6\overrightarrow{AM}=\vec{0}
  3. Din relația precedentă, 6AM→=2AB→+3AC→\displaystyle 6\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}, deci AM→=13AB→+12AC→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}.
    AM→=13AB→+12AC→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
  4. Deoarece D\displaystyle D este mijlocul lui AC\displaystyle AC, avem AD→=12AC→\displaystyle \overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}.
    AD→=12AC→\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
  5. Calculăm MD→=AD→−AM→=12AC→−13AB→−12AC→\displaystyle \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}. Termenii cu AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} se reduc, deci MD→=−13AB→\displaystyle \overrightarrow{MD}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}.
    MD→=−13AB→\displaystyle \overrightarrow{MD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}
  6. Din MD→=−13AB→\displaystyle \overrightarrow{MD}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} rezultă că vectorii MD→\displaystyle \overrightarrow{MD} și AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} sunt coliniari, deci dreptele MD\displaystyle MD și AB\displaystyle AB sunt paralele.
    MD∥AB\displaystyle MD\parallel AB
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii AB\displaystyle AB a triunghiului ABC\displaystyle ABC, în care AC=3\displaystyle AC=3 și măsurile unghiurilor A\displaystyle A și B\displaystyle B sunt de 30∘\displaystyle 30^\circ, respectiv 60∘\displaystyle 60^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Suma unghiurilor unui triunghi este 180∘\displaystyle 180^\circ, deci C=180∘−A−B=180∘−30∘−60∘\displaystyle C=180^\circ-A-B=180^\circ-30^\circ-60^\circ. Rezultă că triunghiul este dreptunghic în C\displaystyle C.
    C=90∘\displaystyle C=90^\circ
  2. În triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC ipotenuza este AB\displaystyle AB, iar cateta AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B. Deci sin⁡B=ACAB\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{AB}.
    sin⁡B=ACAB=3AB\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{AB}
  3. Cum sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, obținem 32=3AB\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{AB}, deci AB=63=633=23\displaystyle AB=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}.
    sin⁡B=32, deci AB=23\displaystyle \sin B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{, deci }AB=2\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, B=(1010i0−20−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{pmatrix} și A(z)=aI3+bB\displaystyle A(z)=aI_3+bB, unde z=a+ib\displaystyle z=a+ib, cu a\displaystyle a și b\displaystyle b numere reale și i2=−1\displaystyle i^2=-1.

Arătați că det⁡B=i\displaystyle \det B=i.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul det⁡B=∣1010i0−20−1∣\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{vmatrix} și aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡B=∣1010i0−20−1∣\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{vmatrix}
  2. Termenii cu plus sunt: diagonala principală 1⋅i⋅(−1)\displaystyle 1\cdot i\cdot(-1), apoi 0⋅0⋅(−2)=0\displaystyle 0\cdot 0\cdot(-2)=0 și 1⋅0⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 0=0. Ultimii doi conțin factorul 0\displaystyle 0.
    1⋅i⋅(−1)+0+0=−i\displaystyle 1\cdot i\cdot(-1)+0+0=-i
  3. Termenii cu minus sunt: diagonala secundară (−2)⋅i⋅1\displaystyle (-2)\cdot i\cdot 1, apoi 0⋅0⋅(−1)=0\displaystyle 0\cdot 0\cdot(-1)=0 și 1⋅0⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 0=0. Scriem determinantul complet.
    det⁡B=1⋅i⋅(−1)+0+0−(−2)⋅i⋅1−0−0\displaystyle \det B=1\cdot i\cdot(-1)+0+0-(-2)\cdot i\cdot 1-0-0
  4. Efectuăm calculele: −(−2)⋅i⋅1=2i\displaystyle -(-2)\cdot i\cdot 1=2i, deci det⁡B=−i+2i=i\displaystyle \det B=-i+2i=i.
    det⁡B=−i+2i=i\displaystyle \det B=-i+2i=i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, B=(1010i0−20−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{pmatrix} și A(z)=aI3+bB\displaystyle A(z)=aI_3+bB, unde z=a+ib\displaystyle z=a+ib, cu a\displaystyle a și b\displaystyle b numere reale și i2=−1\displaystyle i^2=-1.

Demonstrați că A(z1)⋅A(z2)=A(z1z2)\displaystyle A(z_1)\cdot A(z_2)=A(z_1z_2), pentru orice numere complexe z1\displaystyle z_1 și z2\displaystyle z_2.
Vezi rezolvarea
  1. Fie z1=a+ib\displaystyle z_1=a+ib și z2=c+id\displaystyle z_2=c+id, cu a,b,c,d∈R\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{R}. Atunci A(z1)=aI3+bB\displaystyle A(z_1)=aI_3+bB și A(z2)=cI3+dB\displaystyle A(z_2)=cI_3+dB.
    A(z1)=aI3+bB\displaystyle A(z_1)=aI_3+bB,A(z2)=cI3+dB\displaystyle \quad A(z_2)=cI_3+dB
  2. Calculăm B2\displaystyle B^2, înmulțind matricea B\displaystyle B cu ea însăși, linie cu coloană. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1. Obținem minus matricea unitate.
    B2=(1−201−10i20−2+20−2+1)=(−1000−1000−1)=−I3\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}1-2&0&1-1\\0&i^2&0\\-2+2&0&-2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=-I_3
  3. Înmulțim A(z1)\displaystyle A(z_1) cu A(z2)\displaystyle A(z_2) și desfacem parantezele. Matricea I3\displaystyle I_3 comută cu B\displaystyle B, iar I3⋅I3=I3\displaystyle I_3\cdot I_3=I_3, deci B\displaystyle B se înmulțește cu ea însăși doar în termenul cu bd\displaystyle bd.
    A(z1)⋅A(z2)=(aI3+bB)(cI3+dB)=acI3+adB+bcB+bdB⋅B\displaystyle A(z_1)\cdot A(z_2)=(aI_3+bB)(cI_3+dB)=acI_3+adB+bcB+bdB\cdot B
  4. Înlocuim B2=−I3\displaystyle B^2=-I_3 și grupăm termenii care conțin I3\displaystyle I_3, respectiv B\displaystyle B.
    acI3+adB+bcB−bdI3=(ac−bd)I3+(ad+bc)B\displaystyle acI_3+adB+bcB-bdI_3=(ac-bd)I_3+(ad+bc)B
  5. Calculăm produsul z1z2=(a+ib)(c+id)=(ac−bd)+i(ad+bc)\displaystyle z_1z_2=(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc). Partea reală este ac−bd\displaystyle ac-bd, iar partea imaginară este ad+bc\displaystyle ad+bc. Din definiția lui A\displaystyle A, expresia obținută este chiar A(z1z2)\displaystyle A(z_1z_2). Deci egalitatea este demonstrată.
    (ac−bd)I3+(ad+bc)B=A(z1z2), deci A(z1)⋅A(z2)=A(z1z2)\displaystyle (ac-bd)I_3+(ad+bc)B=A(z_1z_2)\text{, deci }A(z_1)\cdot A(z_2)=A(z_1z_2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, B=(1010i0−20−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{pmatrix} și A(z)=aI3+bB\displaystyle A(z)=aI_3+bB, unde z=a+ib\displaystyle z=a+ib, cu a\displaystyle a și b\displaystyle b numere reale și i2=−1\displaystyle i^2=-1.

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care A(1+i)⋅A(2+i)⋅A(3+i)⋅A(1−i)⋅A(2−i)⋅A(3−i)=nI3\displaystyle A(1+i)\cdot A(2+i)\cdot A(3+i)\cdot A(1-i)\cdot A(2-i)\cdot A(3-i)=nI_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm B2\displaystyle B^{2}, înmulțind matricea B\displaystyle B cu ea însăși. Obținem B2=−I3\displaystyle B^{2}=-I_3.
    B2=(−1000−1000−1)=−I3\displaystyle B^{2}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=-I_3
  2. Demonstrăm relația A(z1)A(z2)=A(z1z2)\displaystyle A(z_1)A(z_2)=A(z_1z_2). Dezvoltăm (a1I3+b1B)(a2I3+b2B)\displaystyle (a_1I_3+b_1B)(a_2I_3+b_2B) și folosim B2=−I3\displaystyle B^{2}=-I_3. Se obține matricea A(z1z2)\displaystyle A(z_1z_2), deoarece z1z2=(a1a2−b1b2)+i(a1b2+a2b1)\displaystyle z_1z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+a_2b_1).
    A(z1)A(z2)=(a1a2−b1b2)I3+(a1b2+a2b1)B=A(z1z2)\displaystyle A(z_1)A(z_2)=(a_1a_2-b_1b_2)I_3+(a_1b_2+a_2b_1)B=A(z_1z_2)
  3. Aplicăm relația de mai multe ori, pentru toți cei șase factori. Produsul matricelor este A\displaystyle A de produsul celor șase numere complexe.
    A((1+i)(2+i)(3+i)(1−i)(2−i)(3−i))\displaystyle A\left((1+i)(2+i)(3+i)(1-i)(2-i)(3-i)\right)
  4. Grupăm factorii conjugați și folosim (a+i)(a−i)=a2+1\displaystyle (a+i)(a-i)=a^{2}+1.
    (1+i)(1−i)=2\displaystyle (1+i)(1-i)=2,(2+i)(2−i)=5\displaystyle \quad (2+i)(2-i)=5,(3+i)(3−i)=10\displaystyle \quad (3+i)(3-i)=10
  5. Înmulțim cele trei rezultate: 2⋅5⋅10=100\displaystyle 2\cdot 5\cdot 10=100. Numărul este real, deci a=100\displaystyle a=100 și b=0\displaystyle b=0, iar A(100)=100I3\displaystyle A(100)=100I_3. Rezultă n=100\displaystyle n=100.
    A(2⋅5⋅10)=A(100)=100I3, deci n=100\displaystyle A(2\cdot 5\cdot 10)=A(100)=100I_3\text{, deci }n=100
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe M=[1,+∞)\displaystyle M=[1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=log⁡2(2x+y−2x+1−2y+1+6)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6\right).

Arătați că x∗y=log⁡2((2x−2)(2y−2)+2)\displaystyle x*y=\log_2\left(\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)+2\right), pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiție: x∗y=log⁡2(2x+y−2x+1−2y+1+6)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6\right). Folosim 2x+y=2x⋅2y\displaystyle 2^{x+y}=2^x\cdot 2^y și 2x+1=2⋅2x\displaystyle 2^{x+1}=2\cdot 2^x.
    x∗y=log⁡2(2x⋅2y−2⋅2x−2y+1+6)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x\cdot 2^y-2\cdot 2^x-2^{y+1}+6\right)
  2. Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun 2x\displaystyle 2^x: 2x⋅2y−2⋅2x=2x(2y−2)\displaystyle 2^x\cdot 2^y-2\cdot 2^x=2^x\left(2^y-2\right). Scriem 6=4+2\displaystyle 6=4+2.
    x∗y=log⁡2(2x(2y−2)−2y+1+4+2)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x\left(2^y-2\right)-2^{y+1}+4+2\right)
  3. Cum 2y+1=2⋅2y\displaystyle 2^{y+1}=2\cdot 2^y, avem −2y+1+4=−2⋅2y+4=−2(2y−2)\displaystyle -2^{y+1}+4=-2\cdot 2^y+4=-2\left(2^y-2\right).
    −2y+1+4=−2(2y−2)\displaystyle -2^{y+1}+4=-2\left(2^y-2\right)
  4. Înlocuim și dăm factor comun 2y−2\displaystyle 2^y-2: 2x(2y−2)−2(2y−2)+2=(2x−2)(2y−2)+2\displaystyle 2^x\left(2^y-2\right)-2\left(2^y-2\right)+2=\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)+2. Deci egalitatea este demonstrată, pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
    x∗y=log⁡2(2x(2y−2)−2(2y−2)+2)=log⁡2((2x−2)(2y−2)+2)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^x\left(2^y-2\right)-2\left(2^y-2\right)+2\right)=\log_2\left(\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)+2\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe M=[1,+∞)\displaystyle M=[1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=log⁡2(2x+y−2x+1−2y+1+6)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6\right).

Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Expresia din logaritm este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea este comutativă. Este suficient să impunem x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M. Scriem condiția: log⁡2(2x+e−2x+1−2e+1+6)=x\displaystyle \log_2\left(2^{x+e}-2^{x+1}-2^{e+1}+6\right)=x.
    log⁡2(2x+e−2x+1−2e+1+6)=x\displaystyle \log_2\left(2^{x+e}-2^{x+1}-2^{e+1}+6\right)=x
  2. Din log⁡2A=x\displaystyle \log_2 A=x rezultă A=2x\displaystyle A=2^x. Obținem ecuația 2x+e−2x+1−2e+1+6=2x\displaystyle 2^{x+e}-2^{x+1}-2^{e+1}+6=2^x.
    2x+e−2x+1−2e+1+6=2x\displaystyle 2^{x+e}-2^{x+1}-2^{e+1}+6=2^x
  3. Folosim 2x+e=2x⋅2e\displaystyle 2^{x+e}=2^x\cdot 2^e, 2x+1=2⋅2x\displaystyle 2^{x+1}=2\cdot 2^x și 2e+1=2⋅2e\displaystyle 2^{e+1}=2\cdot 2^e. Mutăm 2x\displaystyle 2^x în stânga și reducem termenii cu 2x\displaystyle 2^x: 2x⋅2e−3⋅2x−2⋅2e+6=0\displaystyle 2^x\cdot 2^e-3\cdot 2^x-2\cdot 2^e+6=0.
    2x⋅2e−3⋅2x−2⋅2e+6=0\displaystyle 2^x\cdot 2^e-3\cdot 2^x-2\cdot 2^e+6=0
  4. Grupăm: 2x(2e−3)−2(2e−3)=0\displaystyle 2^x\left(2^e-3\right)-2\left(2^e-3\right)=0. Dăm factor comun paranteza 2e−3\displaystyle 2^e-3 și obținem (2x−2)(2e−3)=0\displaystyle \left(2^x-2\right)\left(2^e-3\right)=0.
    (2x−2)(2e−3)=0\displaystyle \left(2^x-2\right)\left(2^e-3\right)=0
  5. Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x∈M\displaystyle x\in M. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem 2x−2=2≠0\displaystyle 2^x-2=2\neq 0, deci 2e−3=0\displaystyle 2^e-3=0, adică 2e=3\displaystyle 2^e=3 și e=log⁡23\displaystyle e=\log_2 3. Cum 3>2\displaystyle 3>2, avem log⁡23>1\displaystyle \log_2 3>1, deci e∈M\displaystyle e\in M.
    2e=3⇒e=log⁡23∈M\displaystyle 2^e=3\Rightarrow e=\log_2 3\in M
  6. Legea este comutativă, deci e∗x=x∗e=x\displaystyle e*x=x*e=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M. Elementul neutru este e=log⁡23\displaystyle e=\log_2 3.
    e=log⁡23\displaystyle e=\log_2 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe M=[1,+∞)\displaystyle M=[1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=log⁡2(2x+y−2x+1−2y+1+6)\displaystyle x*y=\log_2\left(2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6\right).

Arătați că x∗x∗x<3x\displaystyle x*x*x<3x, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 6=4+2\displaystyle 6=4+2 și grupăm: 2x+y−2x+1−2y+1+4=(2x−2)(2y−2)\displaystyle 2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+4=\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right). Deci x∗y=log⁡2((2x−2)(2y−2)+2)\displaystyle x*y=\log_2\left(\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)+2\right).
    x∗y=log⁡2((2x−2)(2y−2)+2)\displaystyle x*y=\log_2\left(\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)+2\right)
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x luând y=x\displaystyle y=x și notăm a=2x−2\displaystyle a=2^x-2. Obținem x∗x=log⁡2(a2+2)\displaystyle x*x=\log_2\left(a^2+2\right), deci 2x∗x−2=a2\displaystyle 2^{x*x}-2=a^2.
    x∗x=log⁡2((2x−2)2+2)\displaystyle x*x=\log_2\left(\left(2^x-2\right)^2+2\right)
  3. Aplicăm formula de la primul pas pentru (x∗x)∗x\displaystyle (x*x)*x: 2x∗x−2=a2\displaystyle 2^{x*x}-2=a^2 și 2x−2=a\displaystyle 2^x-2=a, deci x∗x∗x=log⁡2(a2⋅a+2)=log⁡2((2x−2)3+2)\displaystyle x*x*x=\log_2\left(a^2\cdot a+2\right)=\log_2\left(\left(2^x-2\right)^3+2\right).
    x∗x∗x=log⁡2((2x−2)3+2)\displaystyle x*x*x=\log_2\left(\left(2^x-2\right)^3+2\right)
  4. Folosim 3x=log⁡223x\displaystyle 3x=\log_2 2^{3x}. Atunci (x∗x∗x)−3x=log⁡2(2x−2)3+223x\displaystyle (x*x*x)-3x=\log_2\dfrac{\left(2^x-2\right)^3+2}{2^{3x}}.
    (x∗x∗x)−3x=log⁡2(2x−2)3+223x\displaystyle (x*x*x)-3x=\log_2\dfrac{\left(2^x-2\right)^3+2}{2^{3x}}
  5. Notăm t=2x\displaystyle t=2^x și dezvoltăm: (t−2)3+2=t3−6t2+12t−6=t3−6(t−1)2\displaystyle (t-2)^3+2=t^3-6t^2+12t-6=t^3-6\left(t-1\right)^2. Cum t3=23x\displaystyle t^3=2^{3x}, avem (2x−2)3+2=23x−6(2x−1)2\displaystyle \left(2^x-2\right)^3+2=2^{3x}-6\left(2^x-1\right)^2.
    (2x−2)3+2=23x−6(2x−1)2\displaystyle \left(2^x-2\right)^3+2=2^{3x}-6\left(2^x-1\right)^2
  6. Împărțim la 23x\displaystyle 2^{3x}: (x∗x∗x)−3x=log⁡2(1−6(2x−1)223x)\displaystyle (x*x*x)-3x=\log_2\left(1-\dfrac{6\left(2^x-1\right)^2}{2^{3x}}\right). Pentru x≥1\displaystyle x\ge 1 avem 2x−1≥1>0\displaystyle 2^x-1\ge 1>0, deci fracția este strict pozitivă și argumentul este mai mic decât 1\displaystyle 1. Argumentul este și pozitiv, pentru că 2x−2≥0\displaystyle 2^x-2\ge 0 implică (2x−2)3+2≥2>0\displaystyle \left(2^x-2\right)^3+2\ge 2>0. Deci logaritmul este negativ și x∗x∗x<3x\displaystyle x*x*x<3x.
    (x∗x∗x)−3x=log⁡2(1−6(2x−1)223x)<0\displaystyle (x*x*x)-3x=\log_2\left(1-\dfrac{6\left(2^x-1\right)^2}{2^{3x}}\right)<0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x3+3x+1)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^3+3x+1\right)e^{-x}.

Arătați că f′(x)=(2−x)(x2−x+1)e−x\displaystyle f'(x)=(2-x)\left(x^2-x+1\right)e^{-x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs de două funcții: polinomul x3+3x+1\displaystyle x^3+3x+1 și e−x\displaystyle e^{-x}. Aplicăm formula de derivare a produsului, (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x3+3x+1)′e−x+(x3+3x+1)(e−x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^3+3x+1\right)'e^{-x}+\left(x^3+3x+1\right)\left(e^{-x}\right)'
  2. Calculăm derivatele: derivata polinomului este 3x2+3\displaystyle 3x^2+3, iar derivata lui e−x\displaystyle e^{-x} este −e−x\displaystyle -e^{-x}, conform formulei de derivare a funcției compuse.
    (x3+3x+1)′=3x2+3\displaystyle \left(x^3+3x+1\right)'=3x^2+3,(e−x)′=−e−x\displaystyle \quad \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}
  3. Înlocuim derivatele în formula produsului și obținem expresia derivatei.
    f′(x)=(3x2+3)e−x−(x3+3x+1)e−x\displaystyle f'(x)=\left(3x^2+3\right)e^{-x}-\left(x^3+3x+1\right)e^{-x}
  4. Dăm factor comun e−x\displaystyle e^{-x} și reducem termenii asemenea din paranteză: 3x2+3−x3−3x−1=−x3+3x2−3x+2\displaystyle 3x^2+3-x^3-3x-1=-x^3+3x^2-3x+2.
    f′(x)=(−x3+3x2−3x+2)e−x\displaystyle f'(x)=\left(-x^3+3x^2-3x+2\right)e^{-x}
  5. Verificăm factorizarea prin înmulțire: (2−x)(x2−x+1)=2x2−2x+2−x3+x2−x=−x3+3x2−3x+2\displaystyle (2-x)\left(x^2-x+1\right)=2x^2-2x+2-x^3+x^2-x=-x^3+3x^2-3x+2. Deci polinomul se scrie ca produs, iar derivata are forma cerută.
    f′(x)=(−x3+3x2−3x+2)e−x=(2−x)(x2−x+1)e−x\displaystyle f'(x)=\left(-x^3+3x^2-3x+2\right)e^{-x}=(2-x)\left(x^2-x+1\right)e^{-x}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x3+3x+1)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^3+3x+1\right)e^{-x}.

Arătați că lim⁡x→+∞(f(x)−e−xf(x)+e−x)f(x)ex=e−2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}\right)^{f(x)e^x}=e^{-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Din f(x)=(x3+3x+1)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^3+3x+1\right)e^{-x} obținem f(x)ex=x3+3x+1\displaystyle f(x)e^{x}=x^3+3x+1, deci acesta este exponentul.
    f(x)ex=x3+3x+1\displaystyle f(x)e^{x}=x^{3}+3x+1
  2. Cum f(x)=(x3+3x+1)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^3+3x+1\right)e^{-x}, dăm factor comun e−x≠0\displaystyle e^{-x}\neq 0 la numărător și la numitor și simplificăm: f(x)−e−xf(x)+e−x=x3+3x+1−1x3+3x+1+1\displaystyle \dfrac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}=\dfrac{x^3+3x+1-1}{x^3+3x+1+1}.
    f(x)−e−xf(x)+e−x=x3+3xx3+3x+2\displaystyle \frac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}=\frac{x^{3}+3x}{x^{3}+3x+2}
  3. Limita devine lim⁡x→+∞(x3+3xx3+3x+2)x3+3x+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^3+3x}{x^3+3x+2}\right)^{x^3+3x+1}. Baza tinde la 1\displaystyle 1, iar exponentul la +∞\displaystyle +\infty, deci avem cazul 1∞\displaystyle 1^{\infty}.
    lim⁡x→+∞(x3+3xx3+3x+2)x3+3x+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{3}+3x}{x^{3}+3x+2}\right)^{x^{3}+3x+1}
  4. Scriem x3+3xx3+3x+2=1+−2x3+3x+2\displaystyle \dfrac{x^3+3x}{x^3+3x+2}=1+\dfrac{-2}{x^3+3x+2}, unde −2x3+3x+2→0\displaystyle \dfrac{-2}{x^3+3x+2}\to 0. Punem exponentul sub forma x3+3x+1=x3+3x+2−2⋅−2(x3+3x+1)x3+3x+2\displaystyle x^3+3x+1=\dfrac{x^3+3x+2}{-2}\cdot\dfrac{-2\left(x^3+3x+1\right)}{x^3+3x+2}.
    lim⁡x→+∞((1+−2x3+3x+2)x3+3x+2−2)−2(x3+3x+1)x3+3x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{-2}{x^{3}+3x+2}\right)^{\frac{x^{3}+3x+2}{-2}}\right)^{\frac{-2\left(x^{3}+3x+1\right)}{x^{3}+3x+2}}
  5. Cum u=−2x3+3x+2→0\displaystyle u=\dfrac{-2}{x^3+3x+2}\to 0, avem (1+u)1u→e\displaystyle (1+u)^{\frac{1}{u}}\to e. Limita devine elim⁡x→+∞−2(x3+3x+1)x3+3x+2\displaystyle e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{-2\left(x^3+3x+1\right)}{x^3+3x+2}}. Polinoamele de la numărător și numitor au același grad, deci limita exponentului este raportul coeficienților dominanți: −21=−2\displaystyle \dfrac{-2}{1}=-2.
    elim⁡x→+∞−2(x3+3x+1)x3+3x+2=e−2\displaystyle e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{-2\left(x^{3}+3x+1\right)}{x^{3}+3x+2}}=e^{-2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x3+3x+1)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^3+3x+1\right)e^{-x}.

Demonstrați că funcția g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=∣f(x)e−x−1∣\displaystyle g(x)=\left|\frac{f(x)}{e^{-x}}-1\right| are un singur punct de extrem.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm raportul f(x)e−x\displaystyle \dfrac{f(x)}{e^{-x}}: factorul e−x\displaystyle e^{-x} se reduce, deci raportul este x3+3x+1\displaystyle x^3+3x+1. Scăzând 1\displaystyle 1, obținem x3+3x\displaystyle x^3+3x.
    f(x)e−x−1=x3+3x\displaystyle \frac{f(x)}{e^{-x}}-1=x^3+3x
  2. Deci g(x)=∣x3+3x∣\displaystyle g(x)=\left|x^3+3x\right|. Descompunem expresia: x3+3x=x(x2+3)\displaystyle x^3+3x=x\left(x^2+3\right). Factorul x2+3\displaystyle x^2+3 este mereu pozitiv, deci semnul expresiei este semnul lui x\displaystyle x: negativ pentru x<0\displaystyle x<0, pozitiv pentru x≥0\displaystyle x\geq 0.
    x3+3x=x(x2+3)\displaystyle x^3+3x=x\left(x^2+3\right)
  3. Scriem funcția g\displaystyle g fără modul: pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0) expresia este negativă, deci g(x)\displaystyle g(x) este opusul ei; pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), g(x)\displaystyle g(x) este chiar expresia.
    g(x)=∣x3+3x∣={−x3−3x,x∈(−∞,0)x3+3x,x∈[0,+∞)\displaystyle g(x)=\left|x^3+3x\right|=\begin{cases}-x^3-3x,&x\in(-\infty,0)\\x^3+3x,&x\in[0,+\infty)\end{cases}
  4. Derivăm g\displaystyle g pe fiecare interval. Pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0): g′(x)=−3x2−3\displaystyle g'(x)=-3x^2-3, iar pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): g′(x)=3x2+3\displaystyle g'(x)=3x^2+3.
    g′(x)={−3x2−3,x<03x2+3,x>0\displaystyle g'(x)=\begin{cases}-3x^2-3,&x<0\\3x^2+3,&x>0\end{cases}
  5. Stabilim semnul derivatei: 3x2+3>0\displaystyle 3x^2+3>0 pentru orice x\displaystyle x, deci g′(x)=−3x2−3<0\displaystyle g'(x)=-3x^2-3<0 pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0) și g′(x)=3x2+3>0\displaystyle g'(x)=3x^2+3>0 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Funcția g\displaystyle g este continuă în 0\displaystyle 0, scade strict pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] și crește strict pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty). Monotonia se schimbă doar în 0\displaystyle 0, deci g\displaystyle g are un singur punct de extrem, anume x=0\displaystyle x=0 (punct de minim).
    g′(x)=−3x2−3<0 pe (−∞,0)\displaystyle g'(x)=-3x^2-3<0\text{ pe }(-\infty,0), g′(x)=3x2+3>0 pe (0,+∞), deci g are un singur punct de \displaystyle \ g'(x)=3x^2+3>0\text{ pe }(0,+\infty)\text{, deci }g\text{ are un singur punct de }extrem, x=0\displaystyle \text{extrem, }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=x\ln(x-1).

Arătați că ∫46f(x)ln⁡(x−1)dx=10\displaystyle \int_4^6\frac{f(x)}{\ln(x-1)}dx=10.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=x\ln(x-1) în integrandul f(x)ln⁡(x−1)\displaystyle \dfrac{f(x)}{\ln(x-1)}.
    ∫46f(x)ln⁡(x−1)dx=∫46xln⁡(x−1)ln⁡(x−1)dx\displaystyle \int_4^6\frac{f(x)}{\ln(x-1)}dx=\int_4^6\frac{x\ln(x-1)}{\ln(x-1)}dx
  2. Pe intervalul [4,6]\displaystyle [4,6] avem x−1≥3>1\displaystyle x-1\geq 3>1, deci ln⁡(x−1)≠0\displaystyle \ln(x-1)\neq 0 și putem simplifica fracția. Rămâne integrala funcției x\displaystyle x.
    ∫46x dx\displaystyle \int_4^6 x\,dx
  3. Calculăm integrala folosind primitiva x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2} și formula Leibniz-Newton.
    ∫46x dx=x22∣46\displaystyle \int_4^6 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_4^6
  4. Înlocuim limitele de integrare: 622−422=362−162\displaystyle \dfrac{6^{2}}{2}-\dfrac{4^{2}}{2}=\dfrac{36}{2}-\dfrac{16}{2}, adică 18−8\displaystyle 18-8, deci rezultatul cerut.
    362−162=18−8=10\displaystyle \frac{36}{2}-\frac{16}{2}=18-8=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=x\ln(x-1).

Demonstrați că F(7)<F(3)\displaystyle F\left(\sqrt{7}\right)<F(3), pentru orice primitivă F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Orice primitivă F\displaystyle F a lui f\displaystyle f este derivabilă pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) și are derivata F′(x)=f(x)=xln⁡(x−1)\displaystyle F'(x)=f(x)=x\ln(x-1). Semnul lui F′\displaystyle F' este deci semnul lui f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)=xln⁡(x−1)\displaystyle F'(x)=f(x)=x\ln(x-1)
  2. Pentru x>2\displaystyle x>2 avem x−1>1\displaystyle x-1>1, deci ln⁡(x−1)>0\displaystyle \ln(x-1)>0. Cum și x>0\displaystyle x>0, produsul xln⁡(x−1)\displaystyle x\ln(x-1) este strict pozitiv.
    x>2⇒x−1>1⇒ln⁡(x−1)>0⇒xln⁡(x−1)>0\displaystyle x>2\Rightarrow x-1>1\Rightarrow \ln(x-1)>0\Rightarrow x\ln(x-1)>0
  3. Rezultă că F′(x)>0\displaystyle F'(x)>0 pentru orice x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty), deci F\displaystyle F este strict crescătoare pe intervalul (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    F′(x)=xln⁡(x−1)>0, pentru orice x∈(2,+∞)\displaystyle F'(x)=x\ln(x-1)>0\text{, pentru orice }x\in(2,+\infty)
  4. Comparăm numerele: 4<7<9\displaystyle 4<7<9, deci 2<7<3\displaystyle 2<\sqrt{7}<3. Ambele numere se află în intervalul (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty), unde F\displaystyle F este strict crescătoare.
    2<7<3\displaystyle 2<\sqrt{7}<3
  5. Din monotonia strict crescătoare a lui F\displaystyle F pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty) și din 2<7<3\displaystyle 2<\sqrt{7}<3 rezultă F(7)<F(3)\displaystyle F\left(\sqrt{7}\right)<F(3), pentru orice primitivă F\displaystyle F a lui f\displaystyle f.
    2<7<3⇒F(7)<F(3)\displaystyle 2<\sqrt{7}<3\Rightarrow F\left(\sqrt{7}\right)<F(3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=x\ln(x-1).

Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că ∫35f(x)dx=m(4ln⁡2−1)\displaystyle \int_3^5 f(x)dx=m(4\ln 2-1).
Vezi rezolvarea
  1. Avem de calculat ∫35xln⁡(x−1) dx\displaystyle \int_3^5 x\ln(x-1)\,dx. Alegem primitiva x2−12\displaystyle \dfrac{x^{2}-1}{2} pentru x\displaystyle x, deoarece (x2−12)′=x\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}-1}{2}\right)'=x.
    ∫35f(x) dx=∫35(x2−12)′ln⁡(x−1) dx\displaystyle \int_3^5 f(x)\,dx=\int_3^5\left(\frac{x^{2}-1}{2}\right)'\ln(x-1)\,dx
  2. Aplicăm formula de integrare prin părți. Derivata lui ln⁡(x−1)\displaystyle \ln(x-1) este 1x−1\displaystyle \dfrac{1}{x-1}, deci obținem termenul integrat minus integrala produsului dintre primitivă și această derivată.
    x2−12ln⁡(x−1)∣35−∫35x2−12⋅1x−1 dx\displaystyle \frac{x^{2}-1}{2}\ln(x-1)\Big|_3^5-\int_3^5\frac{x^{2}-1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}\,dx
  3. Descompunem x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1) și simplificăm cu x−1\displaystyle x-1, scoțând factorul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în fața integralei.
    ∫35f(x) dx=x2−12ln⁡(x−1)∣35−12∫35(x−1)(x+1)x−1 dx\displaystyle \int_3^5 f(x)\,dx=\frac{x^{2}-1}{2}\ln(x-1)\Big|_3^5-\frac{1}{2}\int_3^5\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\,dx
  4. Calculăm primul termen: pentru x=5\displaystyle x=5 avem 25−12ln⁡4=12ln⁡4\displaystyle \dfrac{25-1}{2}\ln 4=12\ln 4, iar pentru x=3\displaystyle x=3 avem 9−12ln⁡2=4ln⁡2\displaystyle \dfrac{9-1}{2}\ln 2=4\ln 2.
    x2−12ln⁡(x−1)∣35=12ln⁡4−4ln⁡2\displaystyle \frac{x^{2}-1}{2}\ln(x-1)\Big|_3^5=12\ln 4-4\ln 2
  5. Folosim ln⁡4=2ln⁡2\displaystyle \ln 4=2\ln 2, deci 12ln⁡4=24ln⁡2\displaystyle 12\ln 4=24\ln 2, și reducem termenii.
    12ln⁡4−4ln⁡2=24ln⁡2−4ln⁡2=20ln⁡2\displaystyle 12\ln 4-4\ln 2=24\ln 2-4\ln 2=20\ln 2
  6. După simplificare rămâne ∫35(x+1) dx\displaystyle \int_3^5 (x+1)\,dx, cu primitiva x22+x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}+x. Valoarea la 5\displaystyle 5 este 252+5=352\displaystyle \dfrac{25}{2}+5=\dfrac{35}{2}, iar la 3\displaystyle 3 este 92+3=152\displaystyle \dfrac{9}{2}+3=\dfrac{15}{2}.
    12(x22+x)∣35=12(352−152)=12⋅10=5\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right)\Big|_3^5=\frac{1}{2}\left(\frac{35}{2}-\frac{15}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 10=5
  7. Integrala este 20ln⁡2−5=5(4ln⁡2−1)\displaystyle 20\ln 2-5=5(4\ln 2-1). Comparând cu m(4ln⁡2−1)\displaystyle m(4\ln 2-1), obținem m=5\displaystyle m=5.
    20ln⁡2−5=5(4ln⁡2−1), deci m=5\displaystyle 20\ln 2-5=5(4\ln 2-1)\text{, deci }m=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.