Bac matematică M1 mate-info 2012, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați numărul elementelor mulțimii

\displaystyle A=\{x\in\mathbb{Z}\mid |x+1|\le 24\}

.

Vezi rezolvarea

Inegalitatea $\displaystyle |x+1|\le 24$ este echivalentă cu faptul că $\displaystyle x+1$ se află între $\displaystyle -24$ și $\displaystyle 24$ .
$\displaystyle -24\le x+1\le 24$
Scădem $\displaystyle 1$ din toate cele trei părți ale dublei inegalități, ca să izolăm pe $\displaystyle x$ .
$\displaystyle -24-1\le x\le 24-1$
Efectuăm calculele și obținem intervalul în care se află $\displaystyle x$ .
$\displaystyle -25\le x\le 23$
Deoarece $\displaystyle x\in\mathbb{Z}$ , mulțimea $\displaystyle A$ conține toate numerele întregi de la $\displaystyle -25$ până la $\displaystyle 23$ .
$\displaystyle A=\{-25,-24,\dots,22,23\}$
Numărul de întregi dintre două capete incluse este cel mai mare minus cel mai mic plus $\displaystyle 1$ : $\displaystyle 23-(-25)+1$ .
$\displaystyle 23-(-25)+1=49$
Mulțimea $\displaystyle A$ are $\displaystyle 49$ de elemente.
$\displaystyle \text{Card }A=49$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați coordonatele punctelor de intersecție a dreptei

\displaystyle y=2x-1

cu parabola

\displaystyle y=2x^2-3x+1

.

Vezi rezolvarea

Punctele de intersecție au coordonatele care verifică ambele ecuații, deci egalăm expresiile lui $\displaystyle y$ din dreaptă și din parabolă: $\displaystyle 2x-1=2x^{2}-3x+1$ .
$\displaystyle 2x-1=2x^{2}-3x+1$
Mutăm toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 2x^{2}-3x+1-2x+1=0$ , adică $\displaystyle 2x^{2}-5x+2=0$ .
$\displaystyle 2x^{2}-5x+2=0$
Calculăm discriminantul pentru $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle b=-5$ , $\displaystyle c=2$ : $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=25-16=9$ .
$\displaystyle \Delta=9$
Aplicăm formula $\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5\pm 3}{4}$ . Rezultă $\displaystyle x_1=2$ și $\displaystyle x_2=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle x_1=2$ , $\displaystyle \ x_2=\frac{1}{2}$
Aflăm ordonatele înlocuind abscisele în ecuația dreptei $\displaystyle y=2x-1$ , care este mai simplă. Pentru $\displaystyle x=2$ obținem $\displaystyle y=2\cdot 2-1=3$ , iar pentru $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}$ obținem $\displaystyle y=2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0$ .
$\displaystyle y_1=3$ , $\displaystyle \ y_2=0$
Dreapta și parabola se intersectează în două puncte, ale căror coordonate sunt perechile (abscisă, ordonată) obținute mai sus.
$\displaystyle (2,3)\text{ și }\left(\frac{1}{2},0\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația

\displaystyle \sqrt[3]{1+7x}=1+x

.

Vezi rezolvarea

Ridicăm ambii membri ai ecuației $\displaystyle \sqrt[3]{1+7x}=1+x$ la puterea a treia. Radicalul de ordin 3 este definit pentru orice număr real, iar ridicarea la cub este echivalentă cu ecuația inițială, deci nu apar soluții străine. Obținem $\displaystyle 1+7x=(1+x)^{3}$ .
$\displaystyle 1+7x=(1+x)^{3}$
Dezvoltăm cubul sumei cu formula $\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ , pentru $\displaystyle a=1$ și $\displaystyle b=x$ .
$\displaystyle 1+7x=1+3x+3x^{2}+x^{3}$
Mutăm toți termenii în membrul drept și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 1-1=0$ , iar $\displaystyle 7x-3x=4x$ . Rămâne $\displaystyle x^{3}+3x^{2}-4x=0$ .
$\displaystyle x^{3}+3x^{2}-4x=0$
Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ și obținem ecuația de mai jos.
$\displaystyle x\left(x^{2}+3x-4\right)=0$
Un produs este nul dacă un factor este nul. Din primul factor obținem $\displaystyle x=0$ . Pentru al doilea factor rezolvăm $\displaystyle x^{2}+3x-4=0$ , cu $\displaystyle \Delta=3^{2}-4\cdot 1\cdot(-4)=25$ .
$\displaystyle \Delta=25$
Calculăm rădăcinile cu formula $\displaystyle x=\dfrac{-3\pm 5}{2}$ , deci $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=-4$ . Împreună cu $\displaystyle x=0$ , acestea sunt soluțiile ecuației. Ridicarea la cub fiind echivalentă cu ecuația inițială, nu este nevoie de verificare suplimentară.
$\displaystyle x_{1}=0$ , $\displaystyle \ x_{2}=1$ , $\displaystyle \ x_{3}=-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Se consideră mulțimea

\displaystyle A=\{1,2,\ldots,10\}

. Determinați numărul de submulțimi cu 3 elemente ale mulțimii

\displaystyle A

, submulțimi care conțin exact 2 numere impare.

Vezi rezolvarea

În mulțimea $\displaystyle A$ sunt 5 numere impare ( $\displaystyle 1,3,5,7,9$ ) și 5 numere pare ( $\displaystyle 2,4,6,8,10$ ). O submulțime cu 3 elemente care are exact 2 numere impare are deci 2 elemente impare și 1 element par.
$\displaystyle 2\text{ impare și }1\text{ par}$
Alegem cele 2 numere impare dintre cele 5 impare. Ordinea nu contează, deci numărul de alegeri este $\displaystyle C_5^2=\dfrac{5!}{2!\cdot 3!}=\dfrac{5\cdot 4}{2}$ .
$\displaystyle C_5^2=\dfrac{5\cdot 4}{2}=10$
Alegem numărul par dintre cele 5 numere pare: $\displaystyle C_5^1=5$ posibilități.
$\displaystyle C_5^1=5$
Alegerea părții impare și alegerea părții pare sunt independente, deci înmulțim numerele de posibilități: $\displaystyle 10\cdot 5$ . Obținem numărul de submulțimi cerut.
$\displaystyle 10\cdot 5=50$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Determinați ecuația mediatoarei segmentului

\displaystyle [AB]

, unde

\displaystyle A(1,-2)

și

\displaystyle B(3,4)

.

Vezi rezolvarea

Mediatoarea trece prin mijlocul $\displaystyle M$ al segmentului $\displaystyle [AB]$ . Coordonatele lui $\displaystyle M$ sunt mediile aritmetice ale coordonatelor: $\displaystyle x_M=\dfrac{1+3}{2}=2$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{-2+4}{2}=1$ .
$\displaystyle M(2,1)$
Panta dreptei $\displaystyle AB$ este $\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{4-(-2)}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3$ .
$\displaystyle m_{AB}=3$
Mediatoarea este perpendiculară pe $\displaystyle AB$ , deci $\displaystyle m\cdot m_{AB}=-1$ , adică $\displaystyle m\cdot 3=-1$ , de unde $\displaystyle m=-\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle m=-\dfrac{1}{3}$
Ecuația dreptei prin $\displaystyle M(2,1)$ cu panta $\displaystyle -\dfrac{1}{3}$ este $\displaystyle y-1=-\dfrac{1}{3}(x-2)$ . Desfacem parantezele: $\displaystyle y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}+1=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{3}$ .
$\displaystyle y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Știind că

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

și

\displaystyle \cos 2x=\frac{1}{3}

, calculați

\displaystyle \sin x

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula $\displaystyle \cos 2x=1-2\sin^2 x$ . Înlocuim cu valoarea dată $\displaystyle \cos 2x=\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle 1-2\sin^2 x=\frac{1}{3}$
Izolăm termenul cu sinus: $\displaystyle 2\sin^2 x=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ .
$\displaystyle 2\sin^2 x=\frac{2}{3}$
Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle \sin^2 x=\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle \sin^2 x=\frac{1}{3}$
Extragem radicalul din ambii membri și obținem două valori posibile pentru $\displaystyle \sin x$ .
$\displaystyle \sin x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$
Deoarece $\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , adică x este în primul cadran, avem $\displaystyle \sin x>0$ . Eliminăm valoarea negativă.
$\displaystyle \sin x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră sistemul de ecuații

\begin{cases} x+my+m^2z=0\\ mx+m^2y+z=0\\ m^2x+y+mz=0\end{cases}

unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Determinați valorile lui

\displaystyle m

pentru care determinantul matricei sistemului este nul.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea sistemului, formată din coeficienții necunoscutelor $\displaystyle x,y,z$ , și determinantul ei $\displaystyle \Delta$ .
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}1&m&m^2\\ m&m^2&1\\ m^2&1&m\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după prima linie: $\displaystyle \Delta=1\cdot(m^2\cdot m-1\cdot 1)-m\cdot(m\cdot m-1\cdot m^2)+m^2\cdot(m\cdot 1-m^2\cdot m^2)$ .
$\displaystyle \Delta=(m^3-1)-m\cdot 0+m^2(m-m^4)$
Efectuăm calculele: al doilea termen este zero, iar al treilea devine $\displaystyle m^3-m^6$ . Obținem $\displaystyle \Delta=2m^3-m^6-1$ , adică minus pătratul lui $\displaystyle m^3-1$ .
$\displaystyle \Delta=-m^6+2m^3-1=-(m^3-1)^2$
Punem condiția $\displaystyle \Delta=0$ . Pătratul unei expresii este zero doar când expresia este zero, deci $\displaystyle m^3-1=0$ .
$\displaystyle (m^3-1)^2=0\Rightarrow m^3=1$
Descompunem $\displaystyle m^3-1=(m-1)(m^2+m+1)$ . Factorul $\displaystyle m^2+m+1$ are $\displaystyle \Delta=-3<0$ , deci nu are rădăcini reale. Rămâne singura valoare reală $\displaystyle m=1$ .
$\displaystyle m=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră sistemul de ecuații

\begin{cases} x+my+m^2z=0\\ mx+m^2y+z=0\\ m^2x+y+mz=0\end{cases}

unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Arătați că, pentru nicio valoare a lui

\displaystyle m

, sistemul nu are o soluție

\displaystyle (x_0,y_0,z_0)

cu

\displaystyle x_0,y_0,z_0

numere reale strict pozitive.

Vezi rezolvarea

Sistemul este omogen. Dacă ar avea o soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ cu $\displaystyle x_0,y_0,z_0>0$ , ea ar fi nenulă. Un sistem liniar omogen de $\displaystyle 3$ ecuații cu $\displaystyle 3$ necunoscute are soluții nenule doar dacă determinantul matricei sistemului este nul: $\displaystyle \Delta=0$ .
$\displaystyle \Delta=0$
Calculăm determinantul prin dezvoltare după prima linie: $\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}1&m&m^2\\ m&m^2&1\\ m^2&1&m\end{vmatrix}=(m^3-1)-m(m^2-m^2)+m^2(m-m^4)$ . Termenul al doilea se anulează.
$\displaystyle \Delta=m^3-1+m^3-m^6=-(m^3-1)^2$
Din $\displaystyle \Delta=0$ rezultă $\displaystyle (m^3-1)^2=0$ , deci $\displaystyle m^3=1$ . Singura valoare reală posibilă este $\displaystyle m=1$ .
$\displaystyle \Delta=0\Rightarrow m=1$
Pentru $\displaystyle m=1$ , fiecare dintre cele trei ecuații devine aceeași ecuație: $\displaystyle x+y+z=0$ .
$\displaystyle x+y+z=0$
Dacă $\displaystyle x_0,y_0,z_0>0$ , atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0>0$ , deci suma nu poate fi $\displaystyle 0$ . Așadar, pentru nicio valoare a lui $\displaystyle m$ sistemul nu are soluții strict pozitive.
$\displaystyle x+y+z=0\text{ nu are soluții strict }$ $\displaystyle \text{pozitive}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră sistemul de ecuații

\begin{cases} x+my+m^2z=0\\ mx+m^2y+z=0\\ m^2x+y+mz=0\end{cases}

unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Arătați că rangul matricei sistemului este diferit de

\displaystyle 2

, oricare ar fi

\displaystyle m\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Matricea sistemului este $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&m&m^2\\ m&m^2&1\\ m^2&1&m\end{pmatrix}$ . Discutăm separat cazurile $\displaystyle m=1$ și $\displaystyle m\neq 1$ .
$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&m&m^2\\ m&m^2&1\\ m^2&1&m\end{pmatrix}$
Pentru $\displaystyle m=1$ obținem $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}$ . Toate liniile sunt egale și matricea este nenulă, deci $\displaystyle \operatorname{rang}A=1\neq 2$ .
$\displaystyle \text{rangul este }1$
Dezvoltăm după prima linie: $\displaystyle \det A=1\cdot(m^3-1)-m\cdot(m^2-m^2)+m^2\cdot(m-m^4)=2m^3-1-m^6$ . Deci $\displaystyle \det A=-(m^3-1)^2$ .
$\displaystyle \det A=-(m^3-1)^2$
Cum $\displaystyle m\in\mathbb{R}$ , avem $\displaystyle m^3=1$ doar pentru $\displaystyle m=1$ . Pentru $\displaystyle m\neq 1$ rezultă $\displaystyle \det A=-(m^3-1)^2\neq 0$ , deci $\displaystyle \operatorname{rang}A=3\neq 2$ . Prin urmare rangul este $\displaystyle 1$ sau $\displaystyle 3$ , niciodată $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \text{rangul este }3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=\frac{1}{2}(x+y-xy+1)

.

Verificați dacă legea de compoziție „

\displaystyle *

” este asociativă.

Vezi rezolvarea

Rescriem legea de compoziție cu ajutorul produsului $\displaystyle (x-1)(y-1)$ . Cum $\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1$ , avem $\displaystyle x+y-xy+1=2-(x-1)(y-1)$ . Deci $\displaystyle x*y-1$ este egal cu $\displaystyle -\dfrac{1}{2}(x-1)(y-1)$ .
$\displaystyle x*y=1-\frac{1}{2}(x-1)(y-1)$
Calculăm $\displaystyle (x*y)*z$ . Folosim forma de la pasul 1 pentru perechea $\displaystyle (x*y,\ z)$ : $\displaystyle (x*y)*z-1=-\dfrac{1}{2}(x*y-1)(z-1)$ . Apoi înlocuim $\displaystyle x*y-1$ cu $\displaystyle -\dfrac{1}{2}(x-1)(y-1)$ .
$\displaystyle (x*y)*z-1=-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}(x-1)(y-1)\right)(z-1)=\frac{1}{4}(x-1)(y-1)(z-1)$
Calculăm $\displaystyle x*(y*z)$ în același mod: $\displaystyle x*(y*z)-1=-\dfrac{1}{2}(x-1)(y*z-1)$ , iar $\displaystyle y*z-1=-\dfrac{1}{2}(y-1)(z-1)$ . Obținem aceeași expresie ca la $\displaystyle (x*y)*z$ , adică $\displaystyle \dfrac{1}{4}(x-1)(y-1)(z-1)$ , plus 1.
$\displaystyle (x*y)*z=\frac{1}{4}(x-1)(y-1)(z-1)+1\text{ și }x*(y*z)=\frac{1}{4}(x-1)(y-1)(z-1)+1$
Cele două expresii sunt egale pentru orice $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}$ , deci legea de compoziție „ $\displaystyle *$ ” este asociativă.
$\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$ , $\displaystyle \ \forall x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z\in\mathbb{R}\text{, deci legea este }$ $\displaystyle \text{asociativă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=\frac{1}{2}(x+y-xy+1)

.

Arătați că legea de compoziție „

\displaystyle *

” admite element neutru.

Vezi rezolvarea

Un element neutru $\displaystyle e$ trebuie să verifice $\displaystyle x*e=e*x=x$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Legea este comutativă, deoarece expresia $\displaystyle \dfrac{1}{2}(x+y-xy+1)$ este simetrică în $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , deci $\displaystyle e*x=x*e$ și este suficient să rezolvăm condiția $\displaystyle x*e=x$ .
$\displaystyle x*e=e*x=x$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Scriem condiția $\displaystyle x*e=x$ folosind definiția legii: $\displaystyle \dfrac{1}{2}(x+e-xe+1)=x$ . Înmulțim cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle x+e-xe+1=2x$ .
$\displaystyle x+e-xe+1=2x$
Mutăm toți termenii într-o parte: $\displaystyle e-xe+1-x=0$ . Grupăm termenii: $\displaystyle e(1-x)+(1-x)=0$ , adică $\displaystyle (e+1)(1-x)=0$ , echivalent cu $\displaystyle (e+1)(x-1)=0$ .
$\displaystyle (e+1)(x-1)=0$
Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Pentru $\displaystyle x=0$ factorul $\displaystyle x-1$ este $\displaystyle -1$ , nenul, deci $\displaystyle e+1=0$ . Rezultă $\displaystyle e=-1$ .
$\displaystyle (e+1)(x-1)=0$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ e=-1$
Verificăm că $\displaystyle e=-1$ este într-adevăr element neutru: $\displaystyle (-1)*x=\dfrac{1}{2}(-1+x+x+1)=\dfrac{1}{2}\cdot 2x=x$ . Din comutativitate, $\displaystyle x*(-1)=x$ , deci legea admite element neutru, $\displaystyle e=-1$ .
$\displaystyle (-1)*x=\frac{1}{2}(-1+x+x+1)=x$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=\frac{1}{2}(x+y-xy+1)

.

Rezolvați ecuația

\displaystyle x*x*x=3

.

Vezi rezolvarea

Calculăm mai întâi $\displaystyle x*x$ , înlocuind $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x$ în definiția legii: $\displaystyle x*x=\dfrac{1}{2}(x+x-x\cdot x+1)$ .
$\displaystyle x*x=\dfrac{-x^{2}+2x+1}{2}$
Calculăm $\displaystyle (x*x)*x$ , notând $\displaystyle a=x*x$ . Avem $\displaystyle a*x=\dfrac{1}{2}\left(a(1-x)+x+1\right)$ . Înlocuim $\displaystyle a$ : $\displaystyle a(1-x)=\dfrac{(-x^{2}+2x+1)(1-x)}{2}=\dfrac{x^{3}-3x^{2}+x+1}{2}$ . Adunăm $\displaystyle x+1=\dfrac{2x+2}{2}$ și obținem numărătorul $\displaystyle \dfrac{x^{3}-3x^{2}+3x+3}{2}$ . Înmulțim cu $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle x*x*x=\dfrac{x^{3}-3x^{2}+3x+3}{4}$
Egalăm cu $\displaystyle 3$ : $\displaystyle \dfrac{x^{3}-3x^{2}+3x+3}{4}=3$ . Înmulțim cu $\displaystyle 4$ și mutăm totul în membrul stâng.
$\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-9=0$
Grupăm termenii: $\displaystyle x^{2}(x-3)+3(x-3)=0$ . Scoatem factorul comun $\displaystyle x-3$ .
$\displaystyle (x-3)(x^{2}+3)=0$
Un produs este nul dacă un factor este nul. Cum $\displaystyle x^{2}+3\geq 3>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , factorul $\displaystyle x^{2}+3$ nu se anulează. Rămâne $\displaystyle x-3=0$ .
$\displaystyle (x-3)(x^{2}+3)=0\Rightarrow x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^3-3x+2

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f(-x)}

.

Vezi rezolvarea

Avem $\displaystyle f(x)=x^3-3x+2$ . Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ : $\displaystyle f(-x)=(-x)^3-3(-x)+2$ .
$\displaystyle f(-x)=(-x)^3-3(-x)+2$
Deoarece $\displaystyle (-x)^3=-x^3$ și $\displaystyle -3\cdot(-x)=3x$ , obținem $\displaystyle f(-x)=-x^3+3x+2$ .
$\displaystyle f(-x)=-x^3+3x+2$
Limita devine $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^3-3x+2}{-x^3+3x+2}$ . Numărătorul tinde la $\displaystyle +\infty$ , iar numitorul la $\displaystyle -\infty$ , deci avem o nedeterminare de tip $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-3x+2}{-x^3+3x+2}$
Dăm factor comun $\displaystyle x^3$ la numărător și la numitor: $\displaystyle \dfrac{x^3\left(1-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}\right)}{x^3\left(-1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}\right)}$ . Simplificăm cu $\displaystyle x^3$ .
$\displaystyle \frac{1-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}}{-1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}}$
Pentru $\displaystyle x\to+\infty$ avem $\displaystyle \dfrac{3}{x^2}\to 0$ și $\displaystyle \dfrac{2}{x^3}\to 0$ . Limita este raportul coeficienților dominanți: $\displaystyle \dfrac{1}{-1}=-1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-3x+2}{-x^3+3x+2}=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^3-3x+2

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este descrescătoare pe intervalul

\displaystyle [-1,1]

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este polinomială, deci derivabilă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Calculăm derivata termen cu termen: derivata lui $\displaystyle x^{3}$ este $\displaystyle 3x^{2}$ , derivata lui $\displaystyle -3x$ este $\displaystyle -3$ , iar derivata constantei $\displaystyle 2$ este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3$
Factorizăm derivata: dăm factor comun $\displaystyle 3$ și folosim formula diferenței de pătrate, ca să putem studia ușor semnul.
$\displaystyle f'(x)=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1)$
Pentru $\displaystyle x\in[-1,1]$ avem $\displaystyle x^{2}\le 1$ (deoarece $\displaystyle |x|\le 1$ ). Rezultă că $\displaystyle x^{2}-1\le 0$ . Același lucru se vede din semne: $\displaystyle x-1\le 0$ , iar $\displaystyle x+1\ge 0$ , deci produsul lor este negativ sau nul.
$\displaystyle x^{2}-1\le 0$ , $\displaystyle \ \forall x\in[-1,1]$
Înmulțind cu $\displaystyle 3>0$ , obținem că derivata este mai mică sau egală cu $\displaystyle 0$ pe tot intervalul $\displaystyle [-1,1]$ . Cum $\displaystyle f'\le 0$ pe interval (și se anulează doar în capete), funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle [-1,1]$ .
$\displaystyle f'(x)\le 0$ , $\displaystyle \ \forall x\in[-1,1]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[-1,1]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^3-3x+2

.

Determinați

\displaystyle m\in\mathbb{R}

pentru care ecuația

\displaystyle f(x)=m

are trei soluții reale distincte.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției: $\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$ .
$\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ și obținem punctele critice $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=-1\text{ și }x=1$
Stabilim semnul derivatei: $\displaystyle f'(x)>0$ pe $\displaystyle (-\infty,-1)$ , $\displaystyle f'(x)<0$ pe $\displaystyle (-1,1)$ , $\displaystyle f'(x)>0$ pe $\displaystyle (1,+\infty)$ . Deci $\displaystyle f$ crește pe $\displaystyle (-\infty,-1]$ , descrește pe $\displaystyle [-1,1]$ și crește pe $\displaystyle [1,+\infty)$ . Rezultă că $\displaystyle x=-1$ este punct de maxim local, iar $\displaystyle x=1$ este punct de minim local.
$\displaystyle x=-1\text{ maxim local}$ , $\displaystyle \ x=1\text{ minim local}$
Calculăm valorile funcției în punctele critice: $\displaystyle f(1)=1-3+2=0$ și $\displaystyle f(-1)=-1+3+2=4$ . Calculăm și limitele la infinit: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ , iar $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ .
$\displaystyle f(1)=0$ , $\displaystyle \ f(-1)=4$ , $\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ , $\displaystyle \ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$
Numărăm soluțiile ecuației $\displaystyle f(x)=m$ pe fiecare interval de monotonie. Pe $\displaystyle (-\infty,-1]$ , $\displaystyle f$ ia strict crescător toate valorile din $\displaystyle (-\infty,4]$ . Pe $\displaystyle [-1,1]$ , $\displaystyle f$ ia strict descrescător toate valorile din $\displaystyle [0,4]$ . Pe $\displaystyle [1,+\infty)$ , $\displaystyle f$ ia strict crescător toate valorile din $\displaystyle [0,+\infty)$ . Pentru $\displaystyle m\in(0,4)$ fiecare interval de monotonie conține exact o soluție, iar soluțiile sunt în interiorul intervalelor, deci sunt distincte: trei soluții. Pentru $\displaystyle m=0$ sau $\displaystyle m=4$ apare o soluție dublă (în $\displaystyle x=1$ , respectiv $\displaystyle x=-1$ ), deci sunt doar două soluții distincte. Pentru $\displaystyle m<0$ sau $\displaystyle m>4$ există o singură soluție reală.
$\displaystyle m\in(0,4)\Rightarrow\text{ trei soluții distincte}$
Concluzie: ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are trei soluții reale distincte exact când $\displaystyle m$ este strict cuprins între minimul local $\displaystyle 0$ și maximul local $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle m\in(0,4)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră șirul

\displaystyle (I_n)_{n\ge 1}

,

\displaystyle I_n=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx

.

Calculați

\displaystyle I_2

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle n=2$ avem $\displaystyle I_2=\int_0^1(1-x^2)^2\,dx$ . Dezvoltăm pătratul cu formula $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ .
$\displaystyle (1-x^2)^2=1-2x^2+x^4$
Înlocuim dezvoltarea în integrală și folosim liniaritatea integralei: constanta $\displaystyle 2$ iese în fața integralei, iar integrala sumei este suma integralelor.
$\displaystyle I_2=\int_0^1 1\,dx-2\int_0^1x^2\,dx+\int_0^1x^4\,dx$
Aflăm primitivele termenilor cu formula $\displaystyle \int x^k\,dx=\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$ , adică $\displaystyle \int 1\,dx=x$ , $\displaystyle \int x^2\,dx=\dfrac{x^3}{3}$ și $\displaystyle \int x^4\,dx=\dfrac{x^5}{5}$ .
$\displaystyle x-2\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}$
Aplicăm formula Leibniz-Newton, cu limitele $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle I_2=\left(x-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right)\Big|_0^1$
În $\displaystyle x=0$ toți termenii sunt nuli, deci rămâne valoarea în $\displaystyle x=1$ . Aducem la numitorul $\displaystyle 15$ : $\displaystyle 1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{15}{15}-\dfrac{10}{15}+\dfrac{3}{15}$ .
$\displaystyle 1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{15-10+3}{15}=\frac{8}{15}$
Deci $\displaystyle I_2=\dfrac{8}{15}$ .
$\displaystyle I_2=\frac{8}{15}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră șirul

\displaystyle (I_n)_{n\ge 1}

,

\displaystyle I_n=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx

.

Demonstrați că șirul

\displaystyle (I_n)_{n\ge1}

este convergent.

Vezi rezolvarea

Ideea: arătăm că șirul este descrescător și mărginit inferior. Scriem diferența a doi termeni consecutivi: $\displaystyle I_n-I_{n+1}=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx-\int_0^1(1-x^2)^{n+1}\,dx$ .
$\displaystyle I_n-I_{n+1}=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx-\int_0^1(1-x^2)^{n+1}\,dx$
Reunim integralele și dăm factor comun $\displaystyle (1-x^2)^n$ : $\displaystyle I_n-I_{n+1}=\int_0^1(1-x^2)^n\,[1-(1-x^2)]\,dx$ . Cum $\displaystyle 1-(1-x^2)=x^2$ , obținem diferența sub forma de mai jos.
$\displaystyle I_n-I_{n+1}=\int_0^1x^2(1-x^2)^n\,dx$
Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle x^2\ge 0$ și $\displaystyle 1-x^2\ge 0$ , deci $\displaystyle x^2(1-x^2)^n\ge 0$ . Integrala unei funcții pozitive pe $\displaystyle [0,1]$ este pozitivă sau nulă, deci $\displaystyle I_n-I_{n+1}\ge 0$ , adică $\displaystyle I_{n+1}\le I_n$ : șirul este descrescător.
$\displaystyle I_n-I_{n+1}=\int_0^1x^2(1-x^2)^n\,dx\ge 0\Rightarrow I_{n+1}\le I_n$
Arătăm că șirul este mărginit inferior. Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle 1-x^2\ge 0$ , deci $\displaystyle (1-x^2)^n\ge 0$ . Integrând pe $\displaystyle [0,1]$ , obținem că $\displaystyle I_n\ge 0$ pentru orice $\displaystyle n\ge 1$ .
$\displaystyle I_n=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx\ge 0$
Șirul $\displaystyle (I_n)$ este descrescător și mărginit inferior de $\displaystyle 0$ . Conform teoremei lui Weierstrass (orice șir monoton și mărginit este convergent), șirul $\displaystyle (I_n)_{n\ge1}$ este convergent.
$\displaystyle \text{șirul }(I_n)_{n\ge1}\text{ este convergent}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră șirul

\displaystyle (I_n)_{n\ge 1}

,

\displaystyle I_n=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx

.

Demonstrați că

\displaystyle (2n+1)I_n=2nI_{n-1}

, pentru orice

\displaystyle n\ge2

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle I_n=\int_0^1 1\cdot(1-x^2)^n\,dx$ și integrăm prin părți, cu $\displaystyle u=(1-x^2)^n$ și $\displaystyle dv=dx$ , deci $\displaystyle du=n(1-x^2)^{n-1}\cdot(-2x)\,dx$ și $\displaystyle v=x$ .
$\displaystyle I_n=x(1-x^2)^n\Big|_0^1-n\int_0^1 x(1-x^2)^{n-1}\cdot(-2x)\,dx$
Termenul din afara integralei: la $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle 1\cdot 0^n=0$ , iar la $\displaystyle x=0$ avem $\displaystyle 0\cdot 1^n=0$ . Deci $\displaystyle x(1-x^2)^n\Big|_0^1=0$ .
$\displaystyle x(1-x^2)^n\Big|_0^1=0$
Rămâne $\displaystyle I_n=-n\int_0^1(-2x^2)(1-x^2)^{n-1}dx=2n\int_0^1 x^2(1-x^2)^{n-1}dx$ . Scriem $\displaystyle x^2=1-(1-x^2)$ , adică $\displaystyle -x^2=(1-x^2)-1$ , și obținem o integrală cu paranteza $\displaystyle (1-x^2)-1$ .
$\displaystyle I_n=-2n\int_0^1\left[(1-x^2)-1\right](1-x^2)^{n-1}\,dx$
Desfacem parantezele: $\displaystyle \left[(1-x^2)-1\right](1-x^2)^{n-1}=(1-x^2)^n-(1-x^2)^{n-1}$ . Separăm integrala și recunoaștem $\displaystyle I_n$ și $\displaystyle I_{n-1}$ (pentru $\displaystyle n\ge2$ , $\displaystyle n-1\ge1$ ).
$\displaystyle I_n=-2n\left(I_n-I_{n-1}\right)=-2nI_n+2nI_{n-1}$
Adunăm $\displaystyle 2nI_n$ în ambii membri: $\displaystyle I_n+2nI_n=2nI_{n-1}$ , adică relația cerută, valabilă pentru orice $\displaystyle n\ge2$ .
$\displaystyle (2n+1)I_n=2nI_{n-1}$ , $\displaystyle \ \forall n\ge2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2012, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani