Bac matematică M1 mate-info 2023, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care (a+bi)(1+i)=4\displaystyle (a+bi)(1+i)=4, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se desface produsul de numere complexe folosind distributivitatea și proprietatea i2=−1\displaystyle i^{2}=-1.
    (a+bi)(1+i)=a+ai+bi+bi2=a+ai+bi−b\displaystyle (a+bi)(1+i)=a+ai+bi+bi^2=a+ai+bi-b
  2. Se grupează termenii reali și cei imaginari pentru a obține forma algebrică a expresiei.
    (a+bi)(1+i)=(a−b)+(a+b)i\displaystyle (a+bi)(1+i)=(a-b)+(a+b)i
  3. Se scrie egalitatea dată sub forma algebrică 4=4+0i\displaystyle 4=4+0i și se identifică partea reală, respectiv partea imaginară, obținându-se sistemul de ecuații.
    a−b=4 și a+b=0\displaystyle a-b=4\text{ și }a+b=0
  4. Se adună cele două ecuații ale sistemului pentru a elimina necunoscuta b\displaystyle b.
    (a−b)+(a+b)=4+0⇒2a=4\displaystyle (a-b)+(a+b)=4+0\Rightarrow 2a=4
  5. Se determină valoarea lui a\displaystyle a din ecuația obținută.
    a=2\displaystyle a=2
  6. Se înlocuiește valoarea lui a\displaystyle a în ecuația a+b=0\displaystyle a+b=0 pentru a determina valoarea lui b\displaystyle b, obținând soluția finală a sistemului.
    a=2 și b=−2\displaystyle a=2\text{ și }b=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=mx2−2x+m\displaystyle f(x)=mx^2-2x+m, unde m\displaystyle m este număr real nenul. Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care f(m−x)=f(m+x)\displaystyle f(m-x)=f(m+x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f(m−x)\displaystyle f(m-x), înlocuind x\displaystyle x cu (m−x)\displaystyle (m-x) în formula lui f.
    f(m−x)=m(m−x)2−2(m−x)+m\displaystyle f(m-x)=m(m-x)^2-2(m-x)+m
  2. Se dezvoltă pătratul și se desface paranteza, obținând forma explicită a lui f(m−x)\displaystyle f(m-x).
    f(m−x)=m3−2m2x+mx2−m+2x\displaystyle f(m-x)=m^3-2m^2x+mx^2-m+2x
  3. Se scrie expresia funcției f(m+x)\displaystyle f(m+x), înlocuind x\displaystyle x cu (m+x)\displaystyle (m+x) în formula lui f.
    f(m+x)=m(m+x)2−2(m+x)+m\displaystyle f(m+x)=m(m+x)^2-2(m+x)+m
  4. Se dezvoltă pătratul și se desface paranteza, obținând forma explicită a lui f(m+x)\displaystyle f(m+x).
    f(m+x)=m3+2m2x+mx2−m−2x\displaystyle f(m+x)=m^3+2m^2x+mx^2-m-2x
  5. Se pune condiția f(m−x)=f(m+x)\displaystyle f(m-x)=f(m+x) pentru orice x\displaystyle x, egalând cele două expresii dezvoltate.
    m3−2m2x+mx2−m+2x=m3+2m2x+mx2−m−2x\displaystyle m^3-2m^2x+mx^2-m+2x=m^3+2m^2x+mx^2-m-2x
  6. Se reduc termenii identici (m3\displaystyle m^{3}, mx2\displaystyle mx^{2}, −m\displaystyle -m) din ambii membri ai egalității.
    −2m2x+2x=2m2x−2x\displaystyle -2m^2x+2x=2m^2x-2x
  7. Se trec toți termenii într-un singur membru și se factorizează, obținând o egalitate ce trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x, ceea ce impune ca factorul lui x\displaystyle x să fie nul.
    4x(1−m2)=0⇒1−m2=0\displaystyle 4x(1-m^2)=0\Rightarrow 1-m^2=0
  8. Se rescrie condiția obținută sub forma cerută de barem.
    m2−1=0\displaystyle m^2-1=0
  9. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea în m\displaystyle m și se verifică faptul că ambele soluții sunt nenule, deci convin condiției din enunț (m\displaystyle m nenul).
    m=−1 sau m=1, care convin\displaystyle m=-1\text{ sau }m=1\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log⁡2(2x)−1=log⁡2(x2+x+2)\displaystyle 2\log_2(2x)-1=\log_2(x^2+x+2).
Vezi rezolvarea
  1. Se pun condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive.
    2x>0 si x2+x+2>0\displaystyle 2x>0\text{ si }x^2+x+2>0
  2. Se observă că x2+x+2\displaystyle x^2+x+2 are discriminantul negativ (Δ=1−8=−7<0\displaystyle \Delta=1-8=-7<0), deci expresia este strict pozitivă pentru orice x real; condiția rămasă este 2x>0\displaystyle 2x>0, adică x>0\displaystyle x>0.
    x>0\displaystyle x>0
  3. Se scrie 2log⁡2(2x)\displaystyle 2\log_{2}(2x) ca log⁡2((2x)2)\displaystyle \log_{2}((2x)^{2}), folosind proprietatea alog⁡b(c)=log⁡b(ca)\displaystyle a\log_{b}(c)=\log_{b}(c^{a}).
    log⁡2((2x)2)−1=log⁡2(x2+x+2)\displaystyle \log_2\left((2x)^2\right)-1=\log_2(x^2+x+2)
  4. Se scrie constanta 1\displaystyle 1 ca log⁡22\displaystyle \log_2 2, pentru a putea combina termenii din membrul stâng într-un singur logaritm.
    log⁡2((2x)2)−log⁡22=log⁡2(x2+x+2)\displaystyle \log_2\left((2x)^2\right)-\log_2 2=\log_2(x^2+x+2)
  5. Se aplică proprietatea log⁡b(m)−log⁡b(n)=log⁡b(m/n)\displaystyle \log_b(m)-\log_b(n)=\log_b(m/n) în membrul stâng.
    log⁡2((2x)22)=log⁡2(x2+x+2)\displaystyle \log_2\left(\frac{(2x)^2}{2}\right)=\log_2(x^2+x+2)
  6. Cei doi membri fiind logaritmi de aceeași bază, se egalează argumentele.
    4x22=x2+x+2\displaystyle \frac{4x^2}{2}=x^2+x+2
  7. Se simplifică fracția din stânga și se aduc toți termenii într-un singur membru pentru a obține ecuația de gradul al doilea.
    2x2=x2+x+2⇒x2−x−2=0\displaystyle 2x^2=x^2+x+2\Rightarrow x^2-x-2=0
  8. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea.
    Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)=1+8=9\displaystyle \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9
  9. Se determină rădăcinile ecuației folosind formula x=−b±Δ2a\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
    x=1±32⇒x1=2\displaystyle x=\frac{1\pm 3}{2}\Rightarrow x_1=2, x2=−1\displaystyle \ x_2=-1
  10. Se verifică fiecare soluție cu condiția de existență x>0\displaystyle x>0: x=−1\displaystyle x=-1 nu satisface condiția, iar x=2\displaystyle x=2 o satisface.
    x=−1, care nu convine; x=2, care convine\displaystyle x=-1\text{, care nu convine; }x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimile A={1,2,3,4}\displaystyle A=\{1,2,3,4\} și F={f∣f:A→A}\displaystyle F=\{f\mid f:A\to A\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un element f\displaystyle f din mulțimea F\displaystyle F, acesta să verifice inegalitatea f(n)≤n\displaystyle f(n)\le n, pentru orice n∈A\displaystyle n\in A.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină numărul total de funcții f:A→A\displaystyle f:A\to A, unde ∣A∣=4\displaystyle |A|=4. Fiecare element din A\displaystyle A poate avea ca imagine oricare dintre cele 4\displaystyle 4 elemente ale lui A\displaystyle A, deci numărul total de funcții este 44\displaystyle 4^4.
    ∣F∣=44=256\displaystyle |F|=4^4=256
  2. Se analizează condiția f(n)≤n\displaystyle f(n)\leq n pentru fiecare element n\displaystyle n din A\displaystyle A, determinând câte valori posibile poate lua f(n)\displaystyle f(n) astfel încât condiția să fie respectată.
    f(1)∈{1}, deci 1 varianta˘f(2)∈{1,2}, deci 2 variantef(3)∈{1,2,3}, deci 3 variantef(4)∈{1,2,3,4}, deci 4 variante\displaystyle f(1)\in\{1\}\text{, deci }1\text{ variantă}\quad f(2)\in\{1,2\}\text{, deci }2\text{ variante}\quad f(3)\in\{1,2,3\}\text{, deci }3\text{ variante}\quad f(4)\in\{1,2,3,4\}\text{, deci }4\text{ variante}
  3. Se calculează numărul de funcții favorabile (care verifică inegalitatea pentru orice n\displaystyle n) prin regula produsului, deoarece alegerile pentru f(1),f(2),f(3),f(4)\displaystyle f(1), f(2), f(3), f(4) sunt independente.
    Cazuri favorabile=1⋅2⋅3⋅4=24\displaystyle \text{Cazuri favorabile}=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24
  4. Se calculează probabilitatea ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul total de cazuri posibile, apoi se simplifică fracția.
    p=24256=332\displaystyle p=\dfrac{24}{256}=\dfrac{3}{32}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(5,3)\displaystyle A(5,3) și B(−1,5)\displaystyle B(-1,5). Determinați coordonatele punctului C\displaystyle C, știind că CA→+CB→=2OC→\displaystyle \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{OC}.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină coordonatele mijlocului M al segmentului AB, folosind formula punctului de mijloc.
    M(5+(−1)2,3+52)=M(2,4)\displaystyle M\left(\dfrac{5+(-1)}{2},\dfrac{3+5}{2}\right)=M(2,4)
  2. Se scrie relația vectorială care leagă suma vectorilor CA și CB de vectorul CM, folosind proprietatea mijlocului unui segment: pentru orice punct C, suma vectorilor către capetele segmentului este egală cu dublul vectorului către mijlocul segmentului.
    CA→+CB→=2CM→\displaystyle \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}
  3. Se înlocuiește suma din enunț cu expresia obținută mai sus, folosind egalitatea dată: CA→+CB→=2OC→\displaystyle \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{OC}. Se obține astfel o relație între CM→\displaystyle \overrightarrow{CM} și OC→\displaystyle \overrightarrow{OC}.
    2CM→=2OC→\displaystyle 2\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{OC}
  4. Se simplifică prin 2\displaystyle 2 relația obținută, ajungând la concluzia cerută de barem.
    CM→=OC→\displaystyle \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OC}
  5. Se interpretează egalitatea vectorilor CM→\displaystyle \overrightarrow{CM} și OC→\displaystyle \overrightarrow{OC}: acestea au aceeași direcție, sens și lungime, ceea ce înseamnă că punctul C este mijlocul segmentului OM (vectorul de la C la M este egal cu vectorul de la O la C).
    C este mijlocul segmentului OM\displaystyle C\text{ este mijlocul segmentului } OM
  6. Se calculează coordonatele lui C ca mijloc al segmentului OM, folosind O(0,0)\displaystyle O(0,0) și M(2,4)\displaystyle M(2,4).
    xC=0+22=1\displaystyle x_C=\dfrac{0+2}{2}=1,yC=0+42=2\displaystyle \quad y_C=\dfrac{0+4}{2}=2
  7. Se scrie rezultatul final: coordonatele punctului C.
    xC=1 și yC=2\displaystyle x_C=1\text{ și }y_C=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, cu AB=8\displaystyle AB=8, măsura unghiului C\displaystyle C de 30∘\displaystyle 30^{\circ} și punctul O\displaystyle O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC. Determinați distanța de la punctul O\displaystyle O la latura AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm teorema sinusurilor în triunghiul ABC pentru a lega latura AB de unghiul C și raza cercului circumscris R.
    ABsin⁡C=2R\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2R
  2. Înlocuim AB=8\displaystyle AB=8 și C=30°\displaystyle C=30°, știind că sin⁡30°=12\displaystyle \sin 30°=\dfrac{1}{2}, pentru a determina raza R.
    8sin⁡30∘=2R⇒812=2R⇒16=2R\displaystyle \dfrac{8}{\sin 30^{\circ}}=2R \Rightarrow \dfrac{8}{\tfrac{1}{2}}=2R \Rightarrow 16=2R
  3. Rezolvăm ecuația obținută pentru a afla raza cercului circumscris triunghiului ABC.
    R=8\displaystyle R=8
  4. Observăm că unghiul la centru AOB corespunzător coardei AB este dublul unghiului înscris C, deoarece C este unghi înscris în cerc care subîntinde același arc AB.
    ∠AOB=2⋅∠C=2⋅30∘=60∘\displaystyle \angle AOB=2\cdot \angle C=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}
  5. În triunghiul OAB\displaystyle OAB, OA\displaystyle OA și OB\displaystyle OB sunt raze ale cercului circumscris, deci sunt egale cu R\displaystyle R; astfel OAB\displaystyle OAB este isoscel cu unghiul la vârf O\displaystyle O de 60°\displaystyle 60°, ceea ce îl face echilateral.
    OA=OB=R=8\displaystyle OA=OB=R=8, ∠AOB=60∘ ⇒ △OAB echilateral, cu latura AB=8\displaystyle \ \angle AOB=60^{\circ}\ \Rightarrow\ \triangle OAB\ \text{echilateral, cu latura } AB=8
  6. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB; distanța cerută de la O\displaystyle O la AB\displaystyle AB este chiar înălțimea OM\displaystyle OM a triunghiului echilateral OAB\displaystyle OAB, calculată cu formula înălțimii triunghiului echilateral.
    OM=AB32=832=43\displaystyle OM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3a−22a+11−a−1a+2−21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a & -2\\ 2a+1 & 1-a & -1\\ a+2 & -2 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {3x+ay−2z=b(2a+1)x+(1−a)y−z=c(a+2)x−2y+z=−1\displaystyle \begin{cases}3x+ay-2z=b\\ (2a+1)x+(1-a)y-z=c\\ (a+2)x-2y+z=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(0))=5\displaystyle \det(A(0))=5.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) pentru a obține matricea numerică și se scrie determinantul de calculat.
    A(0)=(30−211−12−21)⇒det⁡(A(0))=∣30−211−12−21∣\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}3 & 0 & -2\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & -2 & 1\end{pmatrix}\Rightarrow \det(A(0))=\begin{vmatrix}3 & 0 & -2\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & -2 & 1\end{vmatrix}
  2. Se aplică regula lui Sarrus: se rescriu primele două coloane după determinant și se formează cele șase produse (trei de pe diagonalele principale, cu semnul plus, și trei de pe diagonalele secundare, cu semnul minus).
    det⁡(A(0))=3⋅1⋅1+0⋅(−1)⋅2+(−2)⋅1⋅(−2)−[2⋅1⋅(−2)+(−2)⋅(−1)⋅3+1⋅0⋅1]\displaystyle \det(A(0))=3\cdot1\cdot1+0\cdot(-1)\cdot2+(-2)\cdot1\cdot(-2)-\left[2\cdot1\cdot(-2)+(-2)\cdot(-1)\cdot3+1\cdot0\cdot1\right]
  3. Se calculează fiecare produs în parte: termenii pozitivi sunt 3\displaystyle 3, 0\displaystyle 0 și 4\displaystyle 4, iar din paranteza cu termenii negativi rezultă −4\displaystyle -4, 6\displaystyle 6 și 0\displaystyle 0; scăzând paranteza obținem +4\displaystyle +4, −6\displaystyle -6 și −0\displaystyle -0.
    det⁡(A(0))=3+0+4−(−4+6+0)=3+4+0+4−6−0\displaystyle \det(A(0))=3+0+4-(-4+6+0)=3+4+0+4-6-0
  4. Se adună toți cei șase termeni pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    =3+4+0+4−6−0=5\displaystyle =3+4+0+4-6-0=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3a−22a+11−a−1a+2−21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a & -2\\ 2a+1 & 1-a & -1\\ a+2 & -2 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {3x+ay−2z=b(2a+1)x+(1−a)y−z=c(a+2)x−2y+z=−1\displaystyle \begin{cases}3x+ay-2z=b\\ (2a+1)x+(1-a)y-z=c\\ (a+2)x-2y+z=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt numere reale.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) și se alege dezvoltarea după prima linie pentru calcul.
    det⁡(A(a))=3∣1−a−1−21∣−a∣2a+1−1a+21∣+(−2)∣2a+11−aa+2−2∣\displaystyle \det(A(a))=3\begin{vmatrix}1-a & -1\\ -2 & 1\end{vmatrix}-a\begin{vmatrix}2a+1 & -1\\ a+2 & 1\end{vmatrix}+(-2)\begin{vmatrix}2a+1 & 1-a\\ a+2 & -2\end{vmatrix}
  2. Se calculează fiecare minor de ordin 2 în parte.
    ∣1−a−1−21∣=(1−a)⋅1−(−1)(−2)=1−a−2=−1−a\displaystyle \begin{vmatrix}1-a & -1\\ -2 & 1\end{vmatrix}=(1-a)\cdot1-(-1)(-2)=1-a-2=-1-a
  3. Se calculează al doilea minor de ordin 2.
    ∣2a+1−1a+21∣=(2a+1)⋅1−(−1)(a+2)=2a+1+a+2=3a+3\displaystyle \begin{vmatrix}2a+1 & -1\\ a+2 & 1\end{vmatrix}=(2a+1)\cdot1-(-1)(a+2)=2a+1+a+2=3a+3
  4. Se calculează al treilea minor de ordin 2.
    ∣2a+11−aa+2−2∣=(2a+1)(−2)−(1−a)(a+2)=(−4a−2)−(−a2−a+2)=a2−3a−4\displaystyle \begin{vmatrix}2a+1 & 1-a\\ a+2 & -2\end{vmatrix}=(2a+1)(-2)-(1-a)(a+2)=(-4a-2)-(-a^2-a+2)=a^2-3a-4
  5. Se înlocuiesc minorii calculați în dezvoltarea determinantului și se efectuează înmulțirile.
    det⁡(A(a))=3(−1−a)−a(3a+3)−2(a2−3a−4)\displaystyle \det(A(a))=3(-1-a)-a(3a+3)-2(a^2-3a-4)
  6. Se efectuează calculele și se reduc termenii asemenea.
    det⁡(A(a))=(−3−3a)+(−3a2−3a)+(−2a2+6a+8)=−5a2+5\displaystyle \det(A(a))=(-3-3a)+(-3a^2-3a)+(-2a^2+6a+8)=-5a^2+5
  7. Se factorizează expresia obținută, scoțând factorul comun 5 și apoi diferența de pătrate.
    det⁡(A(a))=−5a2+5=5(1−a2)=5(1+a)(1−a), pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a))=-5a^2+5=5(1-a^2)=5(1+a)(1-a)\text{, pentru orice număr real }a
  8. Se pune condiția ca determinantul să fie nenul, deoarece matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este diferit de zero.
    A(a) este inversabila˘⇔det⁡(A(a))≠0⇔5(1+a)(1−a)≠0\displaystyle A(a)\text{ este inversabilă}\Leftrightarrow\det(A(a))\neq0\Leftrightarrow5(1+a)(1-a)\neq0
  9. Deoarece factorul 5 este nenul, se rezolvă ecuația obținută din anularea celorlalți factori, pentru a găsi valorile lui a\displaystyle a care exclud inversabilitatea.
    det⁡(A(a))=0⇔(1+a)(1−a)=0⇔a=−1 sau a=1\displaystyle \det(A(a))=0\Leftrightarrow(1+a)(1-a)=0\Leftrightarrow a=-1\text{ sau }a=1
  10. Se concluzionează pentru ce valori ale lui a\displaystyle a matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
    det⁡(A(a))=0⇔a=−1 sau a=1, deci matricea A(a) este inversabila˘ daca˘ și \displaystyle \det(A(a))=0\Leftrightarrow a=-1\text{ sau }a=1\text{, deci matricea }A(a)\text{ este inversabilă dacă și }numai daca˘ a∈R∖{−1,1}\displaystyle \text{numai dacă }a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3a−22a+11−a−1a+2−21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a & -2\\ 2a+1 & 1-a & -1\\ a+2 & -2 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {3x+ay−2z=b(2a+1)x+(1−a)y−z=c(a+2)x−2y+z=−1\displaystyle \begin{cases}3x+ay-2z=b\\ (2a+1)x+(1-a)y-z=c\\ (a+2)x-2y+z=-1\end{cases}, unde a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt numere reale.

Determinați numerele reale b\displaystyle b și c\displaystyle c pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) pentru a determina valorile parametrului a\displaystyle a pentru care sistemul poate fi compatibil pentru orice b\displaystyle b, c\displaystyle c sau nu. Dezvoltând determinantul obținem o expresie factorizată.
    det⁡A(a)=−5a2+5=−5(a−1)(a+1)\displaystyle \det A(a)=-5a^2+5=-5(a-1)(a+1)
  2. Observăm că determinantul se anulează exact pentru a=1\displaystyle a=1 sau a=−1\displaystyle a=-1. Pentru orice altă valoare a lui a\displaystyle a, determinantul sistemului este nenul, deci, conform regulii lui Cramer, sistemul este compatibil determinat, indiferent de valorile lui b\displaystyle b și c\displaystyle c.
    det⁡A(a)=0⇔a=1 sau a=−1; pentru a≠±1 sistemul este compatibil \displaystyle \det A(a)=0\Leftrightarrow a=1\text{ sau }a=-1;\ \text{pentru }a\neq\pm1\text{ sistemul este compatibil }determinat ∀b\displaystyle \text{determinat }\forall b,c∈R\displaystyle c\in\mathbb{R}
  3. Analizăm cazul a=−1\displaystyle a=-1. Înlocuind în sistem obținem coeficienții particularizați. Verificăm că rangul matricei coeficienților este 2\displaystyle 2 (există un minor 2×2\displaystyle 2\times 2 nenul), deci pentru compatibilitate trebuie ca determinantul caracteristic asociat (obținut prin bordarea minorului principal cu linia rămasă și coloana termenilor liberi) să fie nul.
    a=−1: {3x−y−2z=b−x+2y−z=cx−2y+z=−1\displaystyle a=-1:\ \begin{cases}3x-y-2z=b\\-x+2y-z=c\\x-2y+z=-1\end{cases}, ∣−1−22−1∣=5≠0⇒∣−1−2b2−1c−21−1∣=0\displaystyle \ \begin{vmatrix}-1 & -2\\ 2 & -1\end{vmatrix}=5\neq0\Rightarrow\begin{vmatrix}-1 & -2 & b\\ 2 & -1 & c\\ -2 & 1 & -1\end{vmatrix}=0
  4. Analizăm cazul a=1\displaystyle a=1. Înlocuind în sistem obținem coeficienții particularizați. Verificăm că rangul matricei coeficienților este 2\displaystyle 2, deci pentru compatibilitate trebuie ca determinantul caracteristic corespunzător (bordarea minorului principal cu coloana termenilor liberi) să fie nul.
    a=1: {3x+y−2z=b3x−z=c3x−2y+z=−1\displaystyle a=1:\ \begin{cases}3x+y-2z=b\\3x-z=c\\3x-2y+z=-1\end{cases}, ∣0−1−21∣=−2≠0⇒∣1−2b0−1c−21−1∣=0\displaystyle \ \begin{vmatrix}0 & -1\\ -2 & 1\end{vmatrix}=-2\neq0\Rightarrow\begin{vmatrix}1 & -2 & b\\ 0 & -1 & c\\ -2 & 1 & -1\end{vmatrix}=0
  5. Punem cap la cap condițiile de compatibilitate obținute pentru cele două valori speciale ale lui a\displaystyle a (a=−1\displaystyle a=-1 și a=1\displaystyle a=1): ambii determinanți caracteristici trebuie să fie nuli.
    ∣−1−2b2−1c−21−1∣=0 și ∣1−2b0−1c−21−1∣=0\displaystyle \begin{vmatrix}-1 & -2 & b\\ 2 & -1 & c\\ -2 & 1 & -1\end{vmatrix}=0\text{ și }\begin{vmatrix}1 & -2 & b\\ 0 & -1 & c\\ -2 & 1 & -1\end{vmatrix}=0
  6. Dezvoltăm efectiv cei doi determinanți după prima linie, respectiv prima coloană, pentru a obține ecuații în b\displaystyle b și c\displaystyle c. Primul determinant conduce la o ecuație numai în c\displaystyle c, iar al doilea la o relație între b\displaystyle b și c\displaystyle c.
    ∣−1−2b2−1c−21−1∣=5c−5=0⇒c=1;∣1−2b0−1c−21−1∣=1+3c−2b=0\displaystyle \begin{vmatrix}-1 & -2 & b\\ 2 & -1 & c\\ -2 & 1 & -1\end{vmatrix}=5c-5=0\Rightarrow c=1;\quad \begin{vmatrix}1 & -2 & b\\ 0 & -1 & c\\ -2 & 1 & -1\end{vmatrix}=1+3c-2b=0
  7. Înlocuim c=1\displaystyle c=1 în a doua ecuație obținută și rezolvăm pentru b\displaystyle b, obținând astfel valorile căutate ale parametrilor b\displaystyle b și c\displaystyle c pentru care sistemul este compatibil în cazurile a=−1\displaystyle a=-1 și a=1\displaystyle a=1.
    1+3⋅1−2b=0⇒4−2b=0⇒b=2\displaystyle 1+3\cdot1-2b=0\Rightarrow4-2b=0\Rightarrow b=2, c=1\displaystyle \ c=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4+aX3+aX2+8X−8\displaystyle f=X^4+aX^3+aX^2+8X-8, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că f(−1)=−15\displaystyle f(-1)=-15, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în expresia polinomului f\displaystyle f.
    f(−1)=(−1)4+a⋅(−1)3+a⋅(−1)2+8⋅(−1)−8\displaystyle f(-1)=(-1)^4+a\cdot(-1)^3+a\cdot(-1)^2+8\cdot(-1)-8
  2. Calculăm puterile lui −1\displaystyle -1: (−1)4=1\displaystyle (-1)^4=1, (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1 și (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1.
    (−1)4=1\displaystyle (-1)^4=1,(−1)3=−1\displaystyle \quad (-1)^3=-1,(−1)2=1\displaystyle \quad (-1)^2=1
  3. Înlocuim puterile calculate și efectuăm 8⋅(−1)=−8\displaystyle 8\cdot(-1)=-8.
    f(−1)=1−a+a−8−8\displaystyle f(-1)=1-a+a-8-8
  4. Termenii cu a\displaystyle a se reduc: −a+a=0\displaystyle -a+a=0. Rămâne 1−8−8=−15\displaystyle 1-8-8=-15, valoare care nu depinde de a\displaystyle a.
    f(−1)=−15, pentru orice numa˘r real a\displaystyle f(-1)=-15\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4+aX3+aX2+8X−8\displaystyle f=X^4+aX^3+aX^2+8X-8, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul g=X2−1\displaystyle g=X^2-1 este egal cu 15X\displaystyle 15X.
Vezi rezolvarea
  1. Se efectuează împărțirea polinomului f\displaystyle f la g=X2−1\displaystyle g=X^{2}-1, determinând mai întâi termenul de gradul cel mai mare al câtului: se împarte X4\displaystyle X^{4} la X2\displaystyle X^{2}, obținând X2\displaystyle X^{2}, apoi se înmulțește X2\displaystyle X^{2} cu g\displaystyle g și se scade din f\displaystyle f.
    f−X2⋅g=X4+aX3+aX2+8X−8−X2(X2−1)=aX3+(a+1)X2+8X−8\displaystyle f-X^{2}\cdot g=X^{4}+aX^{3}+aX^{2}+8X-8-X^{2}(X^{2}-1)=aX^{3}+(a+1)X^{2}+8X-8
  2. Se continuă împărțirea: se împarte termenul aX3\displaystyle aX^{3} la X2\displaystyle X^{2}, obținând aX\displaystyle aX, se înmulțește aX\displaystyle aX cu g\displaystyle g și se scade din restul obținut anterior.
    aX3+(a+1)X2+8X−8−aX(X2−1)=(a+1)X2+(a+8)X−8\displaystyle aX^{3}+(a+1)X^{2}+8X-8-aX(X^{2}-1)=(a+1)X^{2}+(a+8)X-8
  3. Se continuă împărțirea: se împarte termenul (a+1)X2\displaystyle (a+1)X^{2} la X2\displaystyle X^{2}, obținând a+1\displaystyle a+1, se înmulțește a+1\displaystyle a+1 cu g\displaystyle g și se scade, rezultând restul final al împărțirii.
    (a+1)X2+(a+8)X−8−(a+1)(X2−1)=(a+8)X+(a−7)\displaystyle (a+1)X^{2}+(a+8)X-8-(a+1)(X^{2}-1)=(a+8)X+(a-7)
  4. Se identifică restul obținut și câtul împărțirii: câtul este X2+aX+(a+1)\displaystyle X^{2}+aX+(a+1), iar restul este (a+8)X+a−7\displaystyle (a+8)X+a-7, valabil pentru orice număr real a\displaystyle a.
    Restul ıˆmpa˘rțirii \displaystyle \text{Restul împărțirii }polinomului f la polinomul g este egal cu (a+8)X+a−7, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \text{polinomului }f\text{ la polinomul }g\text{ este egal cu }(a+8)X+a-7\text{, pentru orice număr real }a
  5. Se pune condiția ca restul obținut să fie egal cu polinomul 15X\displaystyle 15X, obținându-se un sistem de două ecuații prin identificarea coeficienților.
    (a+8)X+a−7=15X⇒{a+8=15a−7=0\displaystyle (a+8)X+a-7=15X\Rightarrow\begin{cases}a+8=15\\a-7=0\end{cases}
  6. Se rezolvă sistemul de ecuații obținut: ambele ecuații conduc la aceeași valoare pentru a\displaystyle a, deci soluția este a=7\displaystyle a=7.
    (a+8)X+a−7=15X, de unde obținem a=7\displaystyle (a+8)X+a-7=15X\text{, de unde obținem }a=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4+aX3+aX2+8X−8\displaystyle f=X^4+aX^3+aX^2+8X-8, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, polinomul f\displaystyle f nu are toate rădăcinile numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem, prin reducere la absurd, că toate cele patru rădăcini ale polinomului f\displaystyle f sunt numere întregi. Fie acestea x1,x2,x3,x4∈Z\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb{Z}.
    x1\displaystyle x_1,x2\displaystyle x_2,x3\displaystyle x_3,x4∈Z\displaystyle x_4\in\mathbb{Z}
  2. Aplicăm relațiile lui Viète pentru suma rădăcinilor polinomului f=X4+aX3+aX2+8X−8\displaystyle f=X^4+aX^3+aX^2+8X-8: coeficientul lui X3\displaystyle X^3 este a\displaystyle a, iar cel al lui X4\displaystyle X^4 este 1\displaystyle 1, deci suma rădăcinilor este −a\displaystyle -a.
    x1+x2+x3+x4=−a\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=-a
  3. Cum x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4 sunt numere întregi, suma lor este un număr întreg, deci −a\displaystyle -a este întreg, adică a\displaystyle a este întreg.
    x1+x2+x3+x4=−a⇒a∈Z\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=-a\Rightarrow a\in\mathbb{Z}
  4. Aplicăm relația lui Viète pentru produsul rădăcinilor: pentru un polinom de gradul 4, produsul rădăcinilor este (−1)4⋅termen libercoeficient dominant=−81=−8\displaystyle (-1)^{4}\cdot\dfrac{\text{termen liber}}{\text{coeficient dominant}}=\dfrac{-8}{1}=-8.
    x1x2x3x4=−8\displaystyle x_1x_2x_3x_4=-8
  5. Trecând la module, obținem că produsul modulelor rădăcinilor este 8\displaystyle 8. Deoarece 8=23\displaystyle 8=2^3 are un număr limitat de factori primi, iar avem patru factori întregi nenuli al căror produs în modul este 8\displaystyle 8, nu toți pot avea modulul cel puțin 2\displaystyle 2 (altfel produsul ar fi cel puțin 16\displaystyle 16). Prin urmare, cel puțin o rădăcină are modulul egal cu 1\displaystyle 1.
    ∣x1∣⋅∣x2∣⋅∣x3∣⋅∣x4∣=8⇒∃i\displaystyle |x_1|\cdot|x_2|\cdot|x_3|\cdot|x_4|=8\Rightarrow\exists i, ∣xi∣=1\displaystyle \ |x_i|=1
  6. O rădăcină întreagă de modul 1\displaystyle 1 este fie 1\displaystyle 1, fie −1\displaystyle -1. Verificăm dacă −1\displaystyle -1 poate fi rădăcină, calculând f(−1)\displaystyle f(-1) pentru orice a\displaystyle a real: f(−1)=(−1)4+a(−1)3+a(−1)2+8(−1)−8=1−a+a−8−8=−15\displaystyle f(-1)=(-1)^4+a(-1)^3+a(-1)^2+8(-1)-8=1-a+a-8-8=-15.
    f(−1)=1−a+a−8−8=−15≠0\displaystyle f(-1)=1-a+a-8-8=-15\neq0
  7. Cum f(−1)≠0\displaystyle f(-1)\neq0 pentru orice a\displaystyle a real, rădăcina de modul 1\displaystyle 1 nu poate fi −1\displaystyle -1, deci ea trebuie să fie 1\displaystyle 1. Astfel, f(1)=0\displaystyle f(1)=0. Calculăm: f(1)=1+a+a+8−8=2a+1\displaystyle f(1)=1+a+a+8-8=2a+1, deci 2a+1=0\displaystyle 2a+1=0, adică a=−12\displaystyle a=-\dfrac{1}{2}.
    f(1)=1+a+a+8−8=2a+1=0⇒a=−12\displaystyle f(1)=1+a+a+8-8=2a+1=0\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}
  8. Am obținut că a=−12\displaystyle a=-\dfrac{1}{2}, care nu este număr întreg, contrazicând faptul stabilit anterior că a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z}. Această contradicție arată că presupunerea inițială (toate rădăcinile sunt întregi) este falsă, deci polinomul f\displaystyle f nu poate avea toate rădăcinile numere întregi, pentru niciun a\displaystyle a real.
    x1x2x3x4=−8⇒∣x1∣⋅∣x2∣⋅∣x3∣⋅∣x4∣=8, de unde obținem ca˘ cel \displaystyle x_1x_2x_3x_4=-8\Rightarrow |x_1|\cdot|x_2|\cdot|x_3|\cdot|x_4|=8\text{, de unde obținem că cel }puțin o ra˘da˘cina˘ a \displaystyle \text{puțin o rădăcină a }polinomului f are modulul egal cu 1 și, cum f(−1)≠0 pentru orice numa˘r real a, obținem f(1)=0, deci a=−12, ceea ce este fals\displaystyle \text{polinomului }f\text{ are modulul egal cu }1\text{ și, cum }f(-1)\neq0\text{ pentru orice număr real }a\text{, obținem }f(1)=0\text{, deci }a=-\dfrac{1}{2}\text{, ceea ce este fals}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−x−(x4−1)arctg⁡x\displaystyle f(x)=1-x-(x^4-1)\operatorname{arctg}x.

Arătați că f′(x)=−x2(4xarctg⁡x+1)\displaystyle f'(x)=-x^2(4x\operatorname{arctg}x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția dată și se identifică structura ei ca sumă/diferență de termeni, dintre care unul este un produs de două funcții: (x4−1)\displaystyle (x^{4}-1) și arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg} x, pentru a aplica regula de derivare a produsului.
    f(x)=1−x−(x4−1)arctg⁡x\displaystyle f(x)=1-x-(x^{4}-1)\operatorname{arctg}x
  2. Se derivează termen cu termen: derivata lui 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, derivata lui −x\displaystyle -x este −1\displaystyle -1, iar pentru produsul (x4−1)⋅arctg⁡x\displaystyle (x^{4}-1)\cdot\operatorname{arctg}x se aplică regula (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv', cu u=x4−1\displaystyle u=x^{4}-1, u′=4x3\displaystyle u'=4x^{3}, v=arctg⁡x\displaystyle v=\operatorname{arctg}x, v′=1x2+1\displaystyle v'=\dfrac{1}{x^{2}+1}.
    f′(x)=−1−[4x3arctg⁡x+(x4−1)⋅1x2+1]\displaystyle f'(x)=-1-\left[4x^{3}\operatorname{arctg}x+(x^{4}-1)\cdot\dfrac{1}{x^{2}+1}\right]
  3. Se desface paranteza dreaptă, obținându-se forma finală a derivatei înainte de simplificare, conform pasului de control din barem.
    f′(x)=−1−4x3arctg⁡x−(x4−1)⋅1x2+1=\displaystyle f'(x)=-1-4x^{3}\operatorname{arctg}x-(x^{4}-1)\cdot\dfrac{1}{x^{2}+1}=
  4. Se simplifică fracția x4−1x2+1\displaystyle \dfrac{x^{4}-1}{x^{2}+1}, observând că x4−1\displaystyle x^{4}-1 se descompune ca diferență de pătrate: x4−1=(x2−1)(x2+1)\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1), astfel încât factorul (x2+1)\displaystyle (x^{2}+1) se reduce cu numitorul.
    x4−1x2+1=(x2−1)(x2+1)x2+1=x2−1\displaystyle \dfrac{x^{4}-1}{x^{2}+1}=\dfrac{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x^{2}+1}=x^{2}-1
  5. Se înlocuiește rezultatul simplificării în expresia derivatei și se efectuează calculele cu semnele, obținând −1−4x3arctg⁡x−x2+1\displaystyle -1-4x^{3}\operatorname{arctg}x-x^{2}+1.
    f′(x)=−1−4x3arctg⁡x−(x2−1)=−1−4x3arctg⁡x−x2+1\displaystyle f'(x)=-1-4x^{3}\operatorname{arctg}x-(x^{2}-1)=-1-4x^{3}\operatorname{arctg}x-x^{2}+1
  6. Se reduc termenii constanți (−1\displaystyle -1 și +1\displaystyle +1 se anulează) și se factorizează termenii rămași, scoțând factor comun −x2\displaystyle -x^{2}, pentru a obține forma finală simplificată a derivatei, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    =−1−4x3arctg⁡x−x2+1=−x2(4xarctg⁡x+1), x∈R\displaystyle =-1-4x^{3}\operatorname{arctg}x-x^{2}+1=-x^{2}(4x\operatorname{arctg}x+1)\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−x−(x4−1)arctg⁡x\displaystyle f(x)=1-x-(x^4-1)\operatorname{arctg}x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f care este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția ca tangenta la grafic în punctul de abscisă x0\displaystyle x_0 să fie paralelă cu axa Ox, adică panta tangentei (derivata în acel punct) să fie nulă.
    f′(x0)=0\displaystyle f'(x_0)=0
  2. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula produsului pentru termenul (x4−1)arctg⁡x\displaystyle (x^4-1)\operatorname{arctg}x și derivata funcției arctg⁡\displaystyle \operatorname{arctg}.
    f′(x)=−1−4x3arctg⁡x−(x4−1)⋅11+x2\displaystyle f'(x)=-1-4x^3\operatorname{arctg}x-(x^4-1)\cdot\dfrac{1}{1+x^2}
  3. Se observă că fracția x4−11+x2\displaystyle \frac{x^4-1}{1+x^2} se simplifică, deoarece x4−1=(x2−1)(x2+1)\displaystyle x^4-1=(x^2-1)(x^2+1).
    x4−11+x2=(x2−1)(x2+1)x2+1=x2−1\displaystyle \dfrac{x^4-1}{1+x^2}=\dfrac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}=x^2-1
  4. Se înlocuiește această simplificare în expresia derivatei, obținându-se o formă mai simplă pentru f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=−1−4x3arctg⁡x−(x2−1)=−x2−4x3arctg⁡x\displaystyle f'(x)=-1-4x^3\operatorname{arctg}x-(x^2-1)=-x^2-4x^3\operatorname{arctg}x
  5. Se scoate factor comun x2\displaystyle x^2, obținându-se forma factorizată a derivatei, care va fi folosită pentru rezolvarea ecuației f′(x0)=0\displaystyle f'(x_0)=0.
    f′(x)=−x2(4xarctg⁡x+1)\displaystyle f'(x)=-x^2(4x\operatorname{arctg}x+1)
  6. Se scrie ecuația f′(x0)=0\displaystyle f'(x_0)=0 folosind forma factorizată obținută, condiție necesară pentru ca tangenta în x0\displaystyle x_0 să fie orizontală.
    −x02(4x0arctg⁡x0+1)=0\displaystyle -x_0^2(4x_0\operatorname{arctg}x_0+1)=0
  7. Se analizează semnul termenului x0arctg⁡x0\displaystyle x_0\operatorname{arctg}x_0: pentru x0>0\displaystyle x_0>0, arctg⁡x0>0\displaystyle \operatorname{arctg}x_0>0, iar pentru x0<0\displaystyle x_0<0, arctg⁡x0<0\displaystyle \operatorname{arctg}x_0<0, deci produsul este întotdeauna nenegativ; pentru x0=0\displaystyle x_0=0 produsul este 0. Astfel, 4x0arctg⁡x0+1≥1>0\displaystyle 4x_0\operatorname{arctg}x_0+1\ge 1>0, deci acest factor nu se poate anula niciodată, iar unica posibilitate ca produsul să fie zero este ca x02=0\displaystyle x_0^2=0.
    x0arctg⁡x0≥0\displaystyle x_0\operatorname{arctg}x_0\ge0, ∀x0∈R⇒4x0arctg⁡x0+1≥1>0⇒x02=0⇒x0=0\displaystyle \ \forall x_0\in\mathbb{R}\Rightarrow 4x_0\operatorname{arctg}x_0+1\ge1>0\Rightarrow x_0^2=0\Rightarrow x_0=0
  8. Se calculează valoarea funcției în punctul x0=0\displaystyle x_0=0, necesară pentru scrierea ecuației tangentei.
    f(0)=1−0−(04−1)arctg⁡0=1−(−1)⋅0=1\displaystyle f(0)=1-0-(0^4-1)\operatorname{arctg}0=1-(-1)\cdot0=1
  9. Se scrie ecuația tangentei în punctul (x0,f(x0))=(0,1)\displaystyle (x_0,f(x_0))=(0,1), folosind faptul că panta este f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0, obținându-se astfel concluzia finală, în concordanță cu rezultatul din barem.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1−x−(x4−1)arctg⁡x\displaystyle f(x)=1-x-(x^4-1)\operatorname{arctg}x.

Demonstrați că tg⁡(f(x))≥f(x)≥f(tg⁡x)\displaystyle \operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\ge f(\operatorname{tg}x), pentru orice x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1].
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a produsului pentru termenul (x4−1)arctan⁡x\displaystyle (x^4-1)\arctan x.
    f′(x)=−1−4x3arctg⁡x−x4−11+x2\displaystyle f'(x)=-1-4x^3\operatorname{arctg}x-\dfrac{x^4-1}{1+x^2}
  2. Se simplifică fracția, observând că x4−1=(x2−1)(x2+1)\displaystyle x^4-1=(x^2-1)(x^2+1), și se obține o formă mai simplă pentru f′(x)\displaystyle f'(x).
    x4−11+x2=(x2−1)(x2+1)x2+1=x2−1 ⇒ f′(x)=−1−4x3arctg⁡x−x2+1=−x2(1+4xarctg⁡x)\displaystyle \dfrac{x^4-1}{1+x^2}=\dfrac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}=x^2-1\ \Rightarrow\ f'(x)=-1-4x^3\operatorname{arctg}x-x^2+1=-x^2(1+4x\operatorname{arctg}x)
  3. Se analizează semnul expresiei 1+4xarctan⁡x\displaystyle 1+4x\arctan x, observând că produsul xarctan⁡x\displaystyle x\arctan x este întotdeauna nenegativ, iar x2≥0\displaystyle x^2\ge 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 pe tot domeniul.
    xarctg⁡x≥0, pentru orice x∈R ⇒ 1+4xarctg⁡x>0 ⇒ f′(x)=−x2(1+4xarctg⁡x)≤0\displaystyle x\operatorname{arctg}x\ge0\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ 1+4x\operatorname{arctg}x>0\ \Rightarrow\ f'(x)=-x^2(1+4x\operatorname{arctg}x)\le0
  4. Se concluzionează monotonia funcției f\displaystyle f, se calculează valorile f(0)\displaystyle f(0) și f(1)\displaystyle f(1), și se obține încadrarea lui f(x)\displaystyle f(x) pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    f′(x)≤0, pentru orice x∈R, deci funcția f este descresca˘toare pe R și, cum f(0)=1 și f(1)=0, obținem 0≤f(x)≤1, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle f'(x)\le0\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{, deci funcția }f\text{ este descrescătoare pe }\mathbb{R}\text{ și, cum }f(0)=1\text{ și }f(1)=0\text{, obținem }0\le f(x)\le1\text{, pentru orice }x\in[0,1]
  5. Se definește funcția auxiliară g\displaystyle g pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] și se calculează derivata acesteia.
    Pentru g:[0,1]→R, g(x)=tg⁡x−x, avem g′(x)=1cos⁡2x−1=tg⁡2x\displaystyle \text{Pentru }g:[0,1]\to\mathbb{R}\text{, }g(x)=\operatorname{tg}x-x\text{, avem }g'(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}-1=\operatorname{tg}^2x
  6. Se observă că g′(x)≥0\displaystyle g'(x)\ge 0 pe [0,1]\displaystyle [0,1], deci g\displaystyle g este crescătoare, iar cum g(0)=0\displaystyle g(0)=0, rezultă că g(x)≥0\displaystyle g(x)\ge 0 pe acest interval, adică tan⁡x≥x\displaystyle \tan x\ge x.
    g′(x)=tg⁡2x≥0, pentru orice x∈[0,1] ⇒ g cresca˘toare ⇒ g(x)≥g(0)=0 ⇒ tg⁡x≥x, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle g'(x)=\operatorname{tg}^2x\ge0\text{, pentru orice }x\in[0,1]\ \Rightarrow\ g\text{ crescătoare}\ \Rightarrow\ g(x)\ge g(0)=0\ \Rightarrow\ \operatorname{tg}x\ge x\text{, pentru orice }x\in[0,1]
  7. Se aplică inegalitatea tan⁡t≥t\displaystyle \tan t \geq t pentru t=f(x)\displaystyle t=f(x), care aparține intervalului [0,1]\displaystyle [0,1] conform pasului anterior, obținând tan⁡(f(x))≥f(x)\displaystyle \tan(f(x))\geq f(x).
    f(x)∈[0,1] ⇒ tg⁡(f(x))≥f(x), pentru orice x∈[0,1]\displaystyle f(x)\in[0,1]\ \Rightarrow\ \operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\text{, pentru orice }x\in[0,1]
  8. Se folosește monotonia descrescătoare a lui f pe R\displaystyle \mathbb{R} și inegalitatea tan⁡x≥x\displaystyle \tan x\geq x pentru a obține f(tan⁡x)≤f(x)\displaystyle f(\tan x)\leq f(x).
    tg⁡x≥x și f descresca˘toare pe R ⇒ f(tg⁡x)≤f(x), pentru orice x∈[0,1]\displaystyle \operatorname{tg}x\ge x\text{ și }f\text{ descrescătoare pe }\mathbb{R}\ \Rightarrow\ f(\operatorname{tg}x)\le f(x)\text{, pentru orice }x\in[0,1]
  9. Se combină cele două inegalități obținute pentru a scrie inegalitatea dublă finală.
    Pentru g:[0,1]→R, g(x)=tg⁡x−x, g′(x)=1cos⁡2x−1≥0, pentru orice x∈[0,1], deci g este cresca˘toare, de unde \displaystyle \text{Pentru }g:[0,1]\to\mathbb{R}\text{, }g(x)=\operatorname{tg}x-x\text{, }g'(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}-1\ge0\text{, pentru orice }x\in[0,1]\text{, deci }g\text{ este crescătoare, de unde }obținem tg⁡x≥x, pentru orice x∈[0,1], deci tg⁡(f(x))≥f(x)≥f(tg⁡x), pentru orice x∈[0,1]\displaystyle \text{obținem }\operatorname{tg}x\ge x\text{, pentru orice }x\in[0,1]\text{, deci }\operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\ge f(\operatorname{tg}x)\text{, pentru orice }x\in[0,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ex1+e−x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}.

Arătați că ∫03(1+e−x)f(x) dx=8+e3\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{3}(1+e^{-x})f(x)\,dx=8+e^3.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm structura funcției f(x)\displaystyle f(x) și înmulțim cu (1+e−x)\displaystyle (1+e^{-x}) pentru a simplifica fracția: numitorul lui f(x)\displaystyle f(x) se reduce cu factorul adăugat.
    (1+e−x)f(x)=(1+e−x)⋅x2+ex1+e−x=x2+ex\displaystyle (1+e^{-x})f(x)=(1+e^{-x})\cdot\dfrac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}=x^2+e^x
  2. Înlocuim în integrala cerută expresia simplificată și scriem integrala nedefinită (primitiva) care se calculează ușor, apoi indicăm evaluarea ei pe capete.
    ∫03(1+e−x)f(x)dx=∫03(x2+ex)dx=(x33+ex)∣03=\displaystyle \int_{0}^{3}(1+e^{-x})f(x)dx=\int_{0}^{3}(x^2+e^x)dx=\left(\dfrac{x^3}{3}+e^x\right)\Big|_0^3=
  3. Calculăm valoarea primitivei în capătul superior, x=3\displaystyle x=3.
    (x33+ex)∣x=3=273+e3=9+e3\displaystyle \left(\dfrac{x^3}{3}+e^x\right)\Big|_{x=3}=\dfrac{27}{3}+e^3=9+e^3
  4. Calculăm valoarea primitivei în capătul inferior, x=0\displaystyle x=0.
    (x33+ex)∣x=0=0+e0=1\displaystyle \left(\dfrac{x^3}{3}+e^x\right)\Big|_{x=0}=0+e^0=1
  5. Facem diferența valorilor obținute la cele două capete pentru a finaliza calculul integralei definite.
    =273+e3−0−1=8+e3\displaystyle =\dfrac{27}{3}+e^3-0-1=8+e^3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ex1+e−x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}.

Arătați că ∫−mmf(x)x2+ex dx=m\displaystyle \displaystyle\int_{-m}^{m}\dfrac{f(x)}{x^2+e^x}\,dx=m, pentru orice m∈(0,+∞)\displaystyle m\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem explicit expresia lui f(x)\displaystyle f(x) și formăm raportul f(x)x2+ex\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^{2}+e^{x}}, simplificând factorul comun x2+ex\displaystyle x^{2}+e^{x}.
    f(x)x2+ex=x2+ex1+e−xx2+ex=11+e−x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^2+e^x}=\dfrac{\dfrac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}}{x^2+e^x}=\dfrac{1}{1+e^{-x}}
  2. Amplificăm fracția cu ex\displaystyle e^{x} pentru a elimina exponentul negativ, obținând o formă în care numărătorul este derivata numitorului.
    11+e−x=exex(1+e−x)=exex+1=(ex+1)′ex+1\displaystyle \dfrac{1}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^x}{e^x\left(1+e^{-x}\right)}=\dfrac{e^x}{e^x+1}=\dfrac{(e^x+1)'}{e^x+1}
  3. Scriem integrala cerută folosind egalitățile obținute mai sus, recunoscând derivata logaritmică a lui ex+1\displaystyle e^{x}+1.
    ∫−mmf(x)x2+exdx=∫−mm11+e−xdx=∫−mm(ex+1)′ex+1dx=\displaystyle \int_{-m}^{m}\dfrac{f(x)}{x^2+e^x}dx=\int_{-m}^{m}\dfrac{1}{1+e^{-x}}dx=\int_{-m}^{m}\dfrac{(e^x+1)'}{e^x+1}dx=
  4. Calculăm o primitivă a funcției (ex+1)′ex+1\displaystyle \dfrac{(e^{x}+1)'}{e^{x}+1}, care este ln⁡(ex+1)\displaystyle \ln(e^{x}+1).
    ∫(ex+1)′ex+1dx=ln⁡(ex+1)+C\displaystyle \int \dfrac{(e^x+1)'}{e^x+1}dx=\ln(e^x+1)+C
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [−m,m]\displaystyle [-m,m], obținând diferența valorilor primitivei în capete.
    ln⁡(1+ex)∣−mm=ln⁡(1+em)−ln⁡(1+e−m)\displaystyle \ln(1+e^x)\Big|_{-m}^{m}=\ln(1+e^m)-\ln(1+e^{-m})
  6. Rescriem termenul ln⁡(1+e−m)\displaystyle \ln(1+e^{-m}) aducând la același numitor em\displaystyle e^{m}, pentru a putea simplifica expresia.
    ln⁡(1+e−m)=ln⁡(em+1em)=ln⁡(1+emem)\displaystyle \ln(1+e^{-m})=\ln\left(\dfrac{e^m+1}{e^m}\right)=\ln\left(\dfrac{1+e^m}{e^m}\right)
  7. Înlocuim în diferența de logaritmi, folosim proprietățile logaritmilor pentru a simplifica ln⁡(1+em)−ln⁡(1+emem)\displaystyle \ln(1+e^{m}) - \ln\left(\dfrac{1+e^m}{e^m}\right) și rămânem cu ln⁡(em)\displaystyle \ln(e^{m}), obținând rezultatul final valabil pentru orice m>0\displaystyle m>0.
    =ln⁡(1+em)−ln⁡(1+emem)=ln⁡em=m, pentru orice m∈(0,+∞)\displaystyle =\ln(1+e^m)-\ln\left(\dfrac{1+e^m}{e^m}\right)=\ln e^m=m\text{, pentru orice }m\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ex1+e−x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}.

Determinați numărul real nenul a\displaystyle a pentru care lim⁡x→0(1eax−1∫0xf(t) dt)=1\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{e^{ax}-1}\int_{0}^{x}f(t)\,dt\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că pentru x\displaystyle x tinzând la 0\displaystyle 0, atât integrala de la 0\displaystyle 0 la x\displaystyle x din f(t)\displaystyle f(t) (care se anulează la x=0\displaystyle x=0) cât și numitorul eax−1\displaystyle e^{ax}-1 tind la 0\displaystyle 0, deci limita are forma nedeterminată 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡x→0(∫0xf(t)dt)=0 si lim⁡x→0(eax−1)=0⇒ forma 00\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\int_{0}^{x}f(t)dt\right)=0\text{ si }\lim_{x\to0}(e^{ax}-1)=0\Rightarrow\text{ forma }\dfrac{0}{0}
  2. Fiind formă nedeterminată 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, se aplică regula lui L'Hopital, derivând numărătorul (integrala cu limită variabilă) și numitorul.
    lim⁡x→0(1eax−1∫0xf(t)dt)=lim⁡x→0(∫0xf(t)dt)′(eax−1)′\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{e^{ax}-1}\int_{0}^{x}f(t)dt\right)=\lim_{x\to0}\dfrac{\left(\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt\right)'}{(e^{ax}-1)'}
  3. Se derivează numărătorul folosind teorema fundamentală a calculului integral: derivata funcției integrale este chiar funcția de sub integrală.
    (∫0xf(t)dt)′=f(x)\displaystyle \left(\int_{0}^{x}f(t)dt\right)'=f(x)
  4. Se derivează numitorul folosind regula de derivare a funcției exponențiale compuse.
    (eax−1)′=a⋅eax\displaystyle (e^{ax}-1)'=a\cdot e^{ax}
  5. Se înlocuiesc derivatele obținute în raportul de limită, rezultând noua expresie a limitei.
    lim⁡x→0f(x)a⋅eax\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{a\cdot e^{ax}}
  6. Se calculează valoarea funcției f în x=0\displaystyle x=0, folosind definiția f(x)=x2+ex1+e−x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+e^{x}}{1+e^{-x}}.
    f(0)=02+e01+e−0=12\displaystyle f(0)=\dfrac{0^2+e^0}{1+e^{-0}}=\dfrac{1}{2}
  7. Se evaluează și numitorul la x=0\displaystyle x=0, obținând a⋅e0=a\displaystyle a\cdot e^{0}=a, apoi se calculează limita rezultată și se rezolvă ecuația pentru a\displaystyle a, verificând soluția.
    =lim⁡x→0f(x)aeax=12a, de unde obținem 12a=1, deci a=12, care convine\displaystyle =\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{ae^{ax}}=\dfrac{1}{2a}\text{, de unde obținem }\dfrac{1}{2a}=1\text{, deci }a=\dfrac{1}{2}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.