Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 11: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 7(6+1)−6(7+1)=17+6\displaystyle \sqrt{7}\left(\sqrt{6}+1\right)-\sqrt{6}\left(\sqrt{7}+1\right)=\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele din membrul stâng: 7(6+1)=42+7\displaystyle \sqrt{7}\left(\sqrt{6}+1\right)=\sqrt{42}+\sqrt{7} și 6(7+1)=42+6\displaystyle \sqrt{6}\left(\sqrt{7}+1\right)=\sqrt{42}+\sqrt{6}.
    42+7−(42+6)\displaystyle \sqrt{42}+\sqrt{7}-\left(\sqrt{42}+\sqrt{6}\right)
  2. Reducem termenii asemenea: 42\displaystyle \sqrt{42} se anulează, deci membrul stâng este 7−6\displaystyle \sqrt{7}-\sqrt{6}.
    7(6+1)−6(7+1)=42+7−42−6=7−6\displaystyle \sqrt{7}\left(\sqrt{6}+1\right)-\sqrt{6}\left(\sqrt{7}+1\right)=\sqrt{42}+\sqrt{7}-\sqrt{42}-\sqrt{6}=\sqrt{7}-\sqrt{6}
  3. Raționalizăm fracția din membrul drept, amplificând-o cu conjugatul numitorului, 7−6\displaystyle \sqrt{7}-\sqrt{6}.
    17+6=7−6(7+6)(7−6)\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)}
  4. Aplicăm formula (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} la numitor: 72−62=7−6=1\displaystyle \sqrt{7}^{2}-\sqrt{6}^{2}=7-6=1. Rezultă că membrul drept este egal cu membrul stâng, deci egalitatea este demonstrată.
    17+6=7−672−62=7−61=7−6\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}^{2}-\sqrt{6}^{2}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{1}=\sqrt{7}-\sqrt{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1\displaystyle f(x)=x^2+x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x+2\displaystyle g(x)=2x+2. Demonstrați că f(x+1)−f(x)=g(x)\displaystyle f(x+1)-f(x)=g(x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x+1)\displaystyle f(x+1) înlocuind pe x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 în expresia lui f\displaystyle f: f(x+1)=(x+1)2+(x+1)+1\displaystyle f(x+1)=(x+1)^{2}+(x+1)+1.
    f(x+1)=(x+1)2+(x+1)+1\displaystyle f(x+1)=(x+1)^{2}+(x+1)+1
  2. Scriem diferența f(x+1)−f(x)\displaystyle f(x+1)-f(x), punând f(x)\displaystyle f(x) între paranteze, ca să scădem toți termenii lui.
    f(x+1)−f(x)=(x+1)2+(x+1)+1−(x2+x+1)\displaystyle f(x+1)-f(x)=(x+1)^{2}+(x+1)+1-(x^{2}+x+1)
  3. Dezvoltăm pătratul cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, apoi eliminăm parantezele, schimbând semnele termenilor scăzuți.
    x2+2x+1+x+1+1−x2−x−1\displaystyle x^{2}+2x+1+x+1+1-x^{2}-x-1
  4. Reducem termenii asemenea: x2−x2=0\displaystyle x^{2}-x^{2}=0, 2x+x−x=2x\displaystyle 2x+x-x=2x, iar 1+1+1−1=2\displaystyle 1+1+1-1=2. Rezultatul este exact g(x)\displaystyle g(x), deci egalitatea este demonstrată pentru orice x\displaystyle x real.
    f(x+1)−f(x)=2x+2=g(x)\displaystyle f(x+1)-f(x)=2x+2=g(x), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x−1=x2−2x−1\displaystyle \sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-2x-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația conține radicali de ordin 2, deci trebuie ca expresiile de sub radical să fie mai mari sau egale cu zero. Ridicăm ecuația x−1=x2−2x−1\displaystyle \sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}-2x-1} la pătrat, ca să scăpăm de radicali.
    x−1=x2−2x−1\displaystyle x-1=x^{2}-2x-1
  2. Mutăm toți termenii în membrul drept: 0=x2−2x−1−x+1\displaystyle 0=x^{2}-2x-1-x+1. Reducem termenii asemenea și obținem o ecuație de gradul al doilea incompletă.
    x2−3x=0\displaystyle x^{2}-3x=0
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x−3)=0\displaystyle x(x-3)=0. Rezultă x=0\displaystyle x=0 sau x=3\displaystyle x=3.
    x(x−3)=0⇒x=0 sau x=3\displaystyle x(x-3)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=3
  4. Ridicarea la pătrat poate introduce soluții false, deci verificăm în ecuația inițială. Pentru x=0\displaystyle x=0 avem x−1=−1<0\displaystyle x-1=-1<0, deci x−1\displaystyle \sqrt{x-1} nu este definit și x=0\displaystyle x=0 nu convine.
    x=0: x−1=−1<0, nu convine\displaystyle x=0:\ x-1=-1<0\text{, nu convine}
  5. Pentru x=3\displaystyle x=3 avem 3−1=2\displaystyle \sqrt{3-1}=\sqrt{2} și 9−6−1=2\displaystyle \sqrt{9-6-1}=\sqrt{2}. Cei doi membri sunt egali, deci x=3\displaystyle x=3 convine. Soluția ecuației este x=3\displaystyle x=3.
    x=0, care nu convine, sau x=3, care convine\displaystyle x=0\text{, care nu convine, sau }x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea M={1,2,3,4,5}\displaystyle M=\{1,2,3,4,5\}. Determinați numărul de submulțimi ale lui M\displaystyle M care au cel puțin trei elemente.
Vezi rezolvarea
  1. O submulțime cu cel puțin trei elemente are 3\displaystyle 3, 4\displaystyle 4 sau 5\displaystyle 5 elemente, deoarece M\displaystyle M are 5\displaystyle 5 elemente. Numărul submulțimilor cu k\displaystyle k elemente este C5k\displaystyle C_5^k.
    k∈{3,4,5}\displaystyle k\in\{3,4,5\}
  2. Adunăm numerele de submulțimi cu 3\displaystyle 3, cu 4\displaystyle 4 și cu 5\displaystyle 5 elemente.
    C53+C54+C55\displaystyle C_5^3+C_5^4+C_5^5
  3. Calculăm fiecare combinare: C53=5!3!⋅2!=10\displaystyle C_5^3=\dfrac{5!}{3!\cdot 2!}=10, C54=5!4!⋅1!=5\displaystyle C_5^4=\dfrac{5!}{4!\cdot 1!}=5, iar C55=1\displaystyle C_5^5=1.
    C53=10\displaystyle C_5^3=10, C54=5\displaystyle \ C_5^4=5, C55=1\displaystyle \ C_5^5=1
  4. Adunăm valorile obținute: 10+5+1=16\displaystyle 10+5+1=16. Deci M are 16 submulțimi cu cel puțin trei elemente.
    10+5+1=16\displaystyle 10+5+1=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră trapezul ABCD\displaystyle ABCD cu AB∥CD\displaystyle AB\parallel CD și A(1,2)\displaystyle A(1,2), B(4,5)\displaystyle B(4,5) și D(−3,2)\displaystyle D(-3,2). Determinați ecuația dreptei MN\displaystyle MN, știind că segmentul MN\displaystyle MN este linia mijlocie a trapezului ABCD\displaystyle ABCD.
Vezi rezolvarea
  1. Linia mijlocie MN\displaystyle MN unește mijloacele laturilor neparalele AD\displaystyle AD și BC\displaystyle BC. Alegem M\displaystyle M mijlocul lui AD\displaystyle AD și calculăm coordonatele lui cu formula mijlocului: xM=1+(−3)2\displaystyle x_M=\dfrac{1+(-3)}{2}, yM=2+22\displaystyle y_M=\dfrac{2+2}{2}.
    M(−1,2)\displaystyle M(-1,2)
  2. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB: mAB=yB−yAxB−xA=5−24−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5-2}{4-1}.
    mAB=33=1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{3}{3}=1
  3. Linia mijlocie este paralelă cu bazele trapezului, deci MN∥AB\displaystyle MN\parallel AB și are aceeași pantă: mMN=mAB=1\displaystyle m_{MN}=m_{AB}=1. Dreapta trece prin M(−1,2)\displaystyle M(-1,2).
    M(−1,2)\displaystyle M(-1,2), mMN=1\displaystyle \ m_{MN}=1
  4. Scriem ecuația dreptei prin M\displaystyle M cu panta 1\displaystyle 1: y−yM=m(x−xM)\displaystyle y-y_M=m(x-x_M), adică y−2=1⋅(x+1)\displaystyle y-2=1\cdot(x+1). Rezultă y=x+1+2\displaystyle y=x+1+2.
    y−2=x+1, deci y=x+3\displaystyle y-2=x+1\text{, deci }y=x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați sin⁡2x\displaystyle \sin 2x, știind că (2sin⁡x+cos⁡x)2=2+3sin⁡2x\displaystyle (2\sin x+\cos x)^2=2+3\sin^2 x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul din membrul stâng folosind formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=2sin⁡x\displaystyle a=2\sin x și b=cos⁡x\displaystyle b=\cos x.
    4sin⁡2x+4sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=2+3sin⁡2x\displaystyle 4\sin^2 x+4\sin x\cos x+\cos^2 x=2+3\sin^2 x
  2. Mutăm termenii cu sin⁡2x\displaystyle \sin^2 x în membrul drept: scădem 3sin⁡2x\displaystyle 3\sin^2 x din ambii membri și apoi scădem cos⁡2x\displaystyle \cos^2 x, astfel încât rămâne doar termenul cu produsul sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin x\cos x în stânga.
    sin⁡2x+4sin⁡xcos⁡x=2−cos⁡2x  ⇔  4sin⁡xcos⁡x=2−(sin⁡2x+cos⁡2x)\displaystyle \sin^2 x+4\sin x\cos x=2-\cos^2 x\;\Leftrightarrow\;4\sin x\cos x=2-\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)
  3. Aplicăm identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1.
    4sin⁡xcos⁡x=2−1=1\displaystyle 4\sin x\cos x=2-1=1
  4. Scriem membrul stâng cu formula sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x: 4sin⁡xcos⁡x=2⋅(2sin⁡xcos⁡x)=2sin⁡2x\displaystyle 4\sin x\cos x=2\cdot(2\sin x\cos x)=2\sin 2x.
    2sin⁡2x=2−1\displaystyle 2\sin 2x=2-1
  5. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem valoarea cerută.
    2sin⁡2x=2−1, deci sin⁡2x=12\displaystyle 2\sin 2x=2-1\text{, deci }\sin 2x=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a2aia−1a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&2\\a&i&a\\-1&a&-1\end{pmatrix}, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1 și a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=i\displaystyle \det(A(0))=i.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(1020i0−10−1)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&i&0\\-1&0&-1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0).
    det⁡(A(0))=∣1020i0−10−1∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&0&2\\0&i&0\\-1&0&-1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele elementelor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Diagonala principală dă 1⋅i⋅(−1)=−i\displaystyle 1\cdot i\cdot(-1)=-i, iar diagonala secundară dă 2⋅i⋅(−1)=−2i\displaystyle 2\cdot i\cdot(-1)=-2i.
    det⁡(A(0))=1⋅i⋅(−1)+0⋅0⋅2+0⋅0⋅(−1)−2⋅i⋅(−1)−0⋅0⋅(−1)−0⋅0⋅1\displaystyle \det(A(0))=1\cdot i\cdot(-1)+0\cdot 0\cdot 2+0\cdot 0\cdot(-1)-2\cdot i\cdot(-1)-0\cdot 0\cdot(-1)-0\cdot 0\cdot 1
  4. Calculăm: termenii care conțin factorul 0\displaystyle 0 se anulează, iar −i−(−2i)=−i+2i=i\displaystyle -i-(-2i)=-i+2i=i. Deci det⁡(A(0))=i\displaystyle \det(A(0))=i.
    det⁡(A(0))=−i+0+0−(−2i)−0−0=i\displaystyle \det(A(0))=-i+0+0-(-2i)-0-0=i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a2aia−1a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&2\\a&i&a\\-1&a&-1\end{pmatrix}, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1 și a\displaystyle a este număr real. Demonstrați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Deci calculăm det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)) și arătăm că este diferit de 0\displaystyle 0 pentru orice a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.
    A(a) inversabila˘  ⟺  det⁡(A(a))≠0\displaystyle A(a)\text{ inversabilă}\iff \det(A(a))\neq 0
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie, cu minorii corespunzători și semnele +,−,+\displaystyle +,-,+.
    det⁡(A(a))=1⋅∣iaa−1∣−a⋅∣aa−1−1∣+2⋅∣ai−1a∣\displaystyle \det(A(a))=1\cdot\begin{vmatrix}i&a\\a&-1\end{vmatrix}-a\cdot\begin{vmatrix}a&a\\-1&-1\end{vmatrix}+2\cdot\begin{vmatrix}a&i\\-1&a\end{vmatrix}
  3. Calculăm fiecare minor de ordin 2\displaystyle 2. Al doilea minor este nul, deoarece are două coloane egale. Valorile minorilor, în ordinea în care apar, sunt −i−a2\displaystyle -i-a^{2}, 0\displaystyle 0 și a2+i\displaystyle a^{2}+i.
    −i−a20a2+i\displaystyle \begin{aligned}-i-a^{2}\\0\\a^{2}+i\end{aligned}
  4. Înlocuim minorii în dezvoltare și reducem termenii asemenea: det⁡(A(a))=(−i−a2)−a⋅0+2(a2+i)\displaystyle \det(A(a))=(-i-a^{2})-a\cdot 0+2(a^{2}+i).
    det⁡(A(a))=−i−a2+2a2+2i=a2+i\displaystyle \det(A(a))=-i-a^{2}+2a^{2}+2i=a^{2}+i
  5. Numărul a2\displaystyle a^{2} este real, deoarece a\displaystyle a este real, iar i\displaystyle i nu este real. Deci a2+i\displaystyle a^{2}+i are partea imaginară 1\displaystyle 1, adică este diferit de 0\displaystyle 0. Prin urmare determinantul este nenul pentru orice a\displaystyle a real, deci matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
    a2+i≠0⇒det⁡(A(a))≠0⇒A(a) este inversabila˘, ∀a∈R\displaystyle a^{2}+i\neq 0\Rightarrow \det(A(a))\neq 0\Rightarrow A(a)\text{ este inversabilă, }\forall a\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a2aia−1a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&2\\a&i&a\\-1&a&-1\end{pmatrix}, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1 și a\displaystyle a este număr real.

Calculați A(0)⋅A(0)⋅A(0)⋅…⋅A(0)⏟de 2020 ori A(0)\displaystyle \underbrace{A(0)\cdot A(0)\cdot A(0)\cdot\ldots\cdot A(0)}_{\text{de 2020 ori }A(0)}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matrice și obținem A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(1020i0−10−1)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&i&0\\-1&0&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului A(0)⋅A(0)\displaystyle A(0)\cdot A(0), linie cu coloană. Prima linie: 1⋅1+0⋅0+2⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 0+2\cdot(-1)=-1, apoi 0\displaystyle 0, apoi 1⋅2+2⋅(−1)=0\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot(-1)=0. A doua linie are doar elementul i⋅i=i2\displaystyle i\cdot i=i^2 pe diagonală. A treia linie: (−1)⋅1+(−1)(−1)=0\displaystyle (-1)\cdot 1+(-1)(-1)=0, apoi 0\displaystyle 0, apoi (−1)⋅2+(−1)(−1)=−1\displaystyle (-1)\cdot 2+(-1)(-1)=-1.
    A(0)⋅A(0)=(−1000i2000−1)\displaystyle A(0)\cdot A(0)=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&i^2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
  3. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1 și observăm că matricea obținută este minus matricea unitate.
    A(0)⋅A(0)=(−1000−1000−1)=−I3\displaystyle A(0)\cdot A(0)=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=-I_3
  4. Cei 2020\displaystyle 2020 de factori se grupează în 1010\displaystyle 1010 perechi A(0)⋅A(0)\displaystyle A(0)\cdot A(0), iar fiecare pereche este egală cu −I3\displaystyle -I_3.
    (A(0)⋅A(0))⋯(A(0)⋅A(0))⏟de 1010 ori=(−I3)⋅(−I3)⋯(−I3)⏟de 1010 ori (−I3)\displaystyle \underbrace{(A(0)\cdot A(0))\cdots(A(0)\cdot A(0))}_{\text{de 1010 ori}}=\underbrace{(-I_3)\cdot(-I_3)\cdots(-I_3)}_{\text{de 1010 ori }(-I_3)}
  5. Matricea unitate se comportă ca 1\displaystyle 1 la înmulțire, deci produsul este (−1)1010⋅I3\displaystyle (-1)^{1010}\cdot I_3. Cum 1010\displaystyle 1010 este par, (−1)1010=1\displaystyle (-1)^{1010}=1.
    (−I3)1010=(−1)1010⋅I3=I3\displaystyle (-I_3)^{1010}=(-1)^{1010}\cdot I_3=I_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x+y−3x+1−3y+1+12\displaystyle x*y=3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12.

Arătați că x∗1=3\displaystyle x*1=3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=1\displaystyle y=1 în definiția x∗y=3x+y−3x+1−3y+1+12\displaystyle x*y=3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12.
    x∗1=3x+1−3x+1−31+1+12\displaystyle x*1=3^{x+1}-3^{x+1}-3^{1+1}+12
  2. Primii doi termeni, 3x+1\displaystyle 3^{x+1} și −3x+1\displaystyle -3^{x+1}, se reduc. Rămâne −32=−9\displaystyle -3^{2}=-9.
    x∗1=−32+12=−9+12\displaystyle x*1=-3^{2}+12=-9+12
  3. Calculăm −9+12=3\displaystyle -9+12=3. Rezultatul nu depinde de x\displaystyle x, deci egalitatea are loc pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗1=3\displaystyle x*1=3, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x+y−3x+1−3y+1+12\displaystyle x*y=3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 0∗x=−9\displaystyle 0*x=-9.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii pe x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 și pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x: 0∗x=30+x−30+1−3x+1+12\displaystyle 0*x=3^{0+x}-3^{0+1}-3^{x+1}+12.
    0∗x=3x−3−3x+1+12\displaystyle 0*x=3^{x}-3-3^{x+1}+12
  2. Reducem termenii constanți: −3+12=9\displaystyle -3+12=9, deci 0∗x=3x−3x+1+9\displaystyle 0*x=3^x-3^{x+1}+9. Din condiția 0∗x=−9\displaystyle 0*x=-9 obținem 3x−3x+1+9=−9\displaystyle 3^x-3^{x+1}+9=-9.
    3x−3x+1+9=−9\displaystyle 3^{x}-3^{x+1}+9=-9
  3. Mutăm 9\displaystyle 9 în dreapta și schimbăm semnele: 3x+1−3x=18\displaystyle 3^{x+1}-3^x=18.
    3x+1−3x=18\displaystyle 3^{x+1}-3^{x}=18
  4. Folosim 3x+1=3⋅3x\displaystyle 3^{x+1}=3\cdot 3^x și dăm factor comun 3x\displaystyle 3^x: 3x(3−1)=18\displaystyle 3^x(3-1)=18, adică 2⋅3x=18\displaystyle 2\cdot 3^x=18.
    3x(3−1)=18\displaystyle 3^{x}(3-1)=18
  5. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem 3x=9\displaystyle 3^x=9. Cum 9=32\displaystyle 9=3^2, rezultă 3x=32\displaystyle 3^x=3^2.
    3x=9=32\displaystyle 3^{x}=9=3^{2}
  6. Funcția t↦3t\displaystyle t\mapsto 3^t este injectivă, deci exponenții sunt egali: x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x+y−3x+1−3y+1+12\displaystyle x*y=3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12.

Demonstrați că, dacă x∗y=3\displaystyle x*y=3, atunci (x−1)(y−1)=0\displaystyle (x-1)(y-1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim definiția legii în egalitatea x∗y=3\displaystyle x*y=3 și obținem 3x+y−3x+1−3y+1+12=3\displaystyle 3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12=3.
    3x+y−3x+1−3y+1+12=3\displaystyle 3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12=3
  2. Scădem 3 din ambii membri, deci 12−3=9\displaystyle 12-3=9, și obținem ecuația echivalentă de mai jos.
    3x+y−3x+1−3y+1+9=0\displaystyle 3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+9=0
  3. Folosim 3x+y=3x⋅3y\displaystyle 3^{x+y}=3^{x}\cdot 3^{y}, 3x+1=3⋅3x\displaystyle 3^{x+1}=3\cdot 3^{x} și 3y+1=3⋅3y\displaystyle 3^{y+1}=3\cdot 3^{y}.
    3x⋅3y−3⋅3x−3⋅3y+9=0\displaystyle 3^{x}\cdot 3^{y}-3\cdot 3^{x}-3\cdot 3^{y}+9=0
  4. Grupăm primii doi termeni și ultimii doi: 3x(3y−3)−3(3y−3)=0\displaystyle 3^{x}(3^{y}-3)-3(3^{y}-3)=0, deoarece −3⋅3y+9=−3(3y−3)\displaystyle -3\cdot 3^{y}+9=-3(3^{y}-3).
    3x(3y−3)−3(3y−3)=0\displaystyle 3^{x}(3^{y}-3)-3(3^{y}-3)=0
  5. Scoatem factorul comun 3y−3\displaystyle 3^{y}-3 și obținem produsul de mai jos.
    (3x−3)(3y−3)=0\displaystyle (3^{x}-3)(3^{y}-3)=0
  6. Produsul este nul, deci 3x−3=0\displaystyle 3^{x}-3=0 sau 3y−3=0\displaystyle 3^{y}-3=0, adică 3x=31\displaystyle 3^{x}=3^{1} sau 3y=31\displaystyle 3^{y}=3^{1}.
    3x−3=0 sau 3y−3=0\displaystyle 3^{x}-3=0\text{ sau }3^{y}-3=0
  7. Din injectivitatea funcției t↦3t\displaystyle t\mapsto 3^{t} obținem x=1\displaystyle x=1 sau y=1\displaystyle y=1.
    x=1 sau y=1\displaystyle x=1\text{ sau }y=1
  8. Dacă x=1\displaystyle x=1, atunci x−1=0\displaystyle x-1=0; dacă y=1\displaystyle y=1, atunci y−1=0\displaystyle y-1=0. În ambele cazuri produsul (x−1)(y−1)\displaystyle (x-1)(y-1) este nul, ceea ce trebuia demonstrat.
    (x−1)(y−1)=0\displaystyle (x-1)(y-1)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−ln⁡(x2+1)\displaystyle f(x)=x^2-\ln\left(x^2+1\right).

Arătați că f′(x)=2x3x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^3}{x^2+1}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen: (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, iar pentru logaritm folosim derivata funcției compuse, (ln⁡u)′=u′u\displaystyle \left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}, cu u=x2+1\displaystyle u=x^{2}+1.
    (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x,(ln⁡(x2+1))′=2xx2+1\displaystyle \quad \left(\ln\left(x^{2}+1\right)\right)'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}
  2. Scădem cele două derivate: f′(x)=(x2)′−(ln⁡(x2+1))′\displaystyle f'(x)=(x^{2})'-\left(\ln\left(x^{2}+1\right)\right)'.
    f′(x)=2x−2xx2+1\displaystyle f'(x)=2x-\dfrac{2x}{x^{2}+1}
  3. Aducem la același numitor, amplificând pe 2x\displaystyle 2x cu x2+1\displaystyle x^{2}+1: 2x=2x(x2+1)x2+1=2x3+2xx2+1\displaystyle 2x=\dfrac{2x\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1}=\dfrac{2x^{3}+2x}{x^{2}+1}.
    f′(x)=2x3+2x−2xx2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{3}+2x-2x}{x^{2}+1}
  4. Reducem termenii 2x\displaystyle 2x și −2x\displaystyle -2x de la numărător. Numitorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci egalitatea este adevărată pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′(x)=2x3x2+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{3}}{x^{2}+1}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−ln⁡(x2+1)\displaystyle f(x)=x^2-\ln\left(x^2+1\right).

Demonstrați că axa Ox\displaystyle Ox este tangentă graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei în punctul de abscisă a\displaystyle a este y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a). Axa Ox\displaystyle Ox are ecuația y=0\displaystyle y=0, deci este tangentă graficului dacă panta f′(a)\displaystyle f'(a) este zero și f(a)=0\displaystyle f(a)=0. Condiția este: există a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} astfel încât f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0 și f(a)=0\displaystyle f(a)=0.
    y−f(a)=f′(a)(x−a); axa Ox este tangenta˘⇔∃a∈R astfel ıˆncaˆt f′(a)=0 și f(a)=0\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)\text{; axa }Ox\text{ este tangentă}\Leftrightarrow\exists a\in\mathbb{R}\text{ astfel încât }f'(a)=0\text{ și }f(a)=0
  2. Calculăm derivata: f′(x)=2x−(x2+1)′x2+1=2x−2xx2+1\displaystyle f'(x)=2x-\dfrac{\left(x^{2}+1\right)'}{x^{2}+1}=2x-\dfrac{2x}{x^{2}+1}.
    f′(x)=2x−2xx2+1\displaystyle f'(x)=2x-\dfrac{2x}{x^{2}+1}
  3. Verificăm pentru a=0\displaystyle a=0: f′(0)=2⋅0−2⋅002+1=0\displaystyle f'(0)=2\cdot 0-\dfrac{2\cdot 0}{0^{2}+1}=0 și f(0)=02−ln⁡1=0\displaystyle f(0)=0^{2}-\ln 1=0.
    f′(0)=0 și f(0)=0\displaystyle f'(0)=0\text{ și }f(0)=0
  4. Deoarece pentru a=0\displaystyle a=0 avem f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0 și f(0)=0\displaystyle f(0)=0, tangenta în punctul (0,0)\displaystyle (0,0) este y=0\displaystyle y=0, deci axa Ox\displaystyle Ox este tangentă graficului funcției f\displaystyle f.
    f′(0)=0 și f(0)=0\displaystyle f'(0)=0\text{ și }f(0)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−ln⁡(x2+1)\displaystyle f(x)=x^2-\ln\left(x^2+1\right).

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n, ecuația f(x)=n\displaystyle f(x)=n are două soluții reale distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm limita funcției la +∞\displaystyle +\infty. Scriem f(x)=x2(1−ln⁡(x2+1)x2)\displaystyle f(x)=x^{2}\left(1-\dfrac{\ln\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}}\right). Deoarece ln⁡(x2+1)\displaystyle \ln\left(x^{2}+1\right) crește mai lent decât x2\displaystyle x^{2}, fracția tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞⋅(1−0)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\cdot(1-0)=+\infty
  2. Funcția f\displaystyle f este pară, deoarece f(−x)=f(x)\displaystyle f(-x)=f(x). Deci limita la −∞\displaystyle -\infty este aceeași ca la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=+∞ și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\text{ și }\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  3. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f și o aducem la același numitor.
    f′(x)=2x−2xx2+1=2x(x2+1)−2xx2+1=2x3x2+1\displaystyle f'(x)=2x-\dfrac{2x}{x^{2}+1}=\dfrac{2x\left(x^{2}+1\right)-2x}{x^{2}+1}=\dfrac{2x^{3}}{x^{2}+1}
  4. Numitorul este pozitiv, deci semnul derivatei este semnul lui x3\displaystyle x^{3}, adică semnul lui x\displaystyle x. Pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0) derivata este negativă, deci f\displaystyle f este strict descrescătoare. Pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) derivata este pozitivă, deci f\displaystyle f este strict crescătoare.
    f′(x)<0 pe (−∞,0)\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }(-\infty,0),f′(x)>0 pe (0,+∞)\displaystyle \quad f'(x)>0\text{ pe }(0,+\infty)
  5. Calculăm valoarea funcției în 0\displaystyle 0: f(0)=02−ln⁡1\displaystyle f(0)=0^{2}-\ln 1.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0
  6. Pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] funcția f\displaystyle f este continuă și strict descrescătoare, cu lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty și f(0)=0\displaystyle f(0)=0, deci este bijecție de la (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] la [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty). Analog, pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) funcția f\displaystyle f este continuă și strict crescătoare, cu f(0)=0\displaystyle f(0)=0 și limita +∞\displaystyle +\infty, deci este bijecție pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty). Pentru n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^{*} avem n∈(0,+∞)\displaystyle n\in(0,+\infty), deci ecuația f(x)=n\displaystyle f(x)=n are exact o soluție negativă și exact o soluție pozitivă. Cele două soluții sunt distincte, fiind de semne diferite.
    f(x)=n are doua˘ soluții reale \displaystyle f(x)=n\text{ are două soluții reale }distincte, x1<0<x2\displaystyle \text{distincte, }x_{1}<0<x_{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{x}.

Arătați că ∫1ef(x)exdx=1\displaystyle \displaystyle\int_1^e\dfrac{f(x)}{e^x}dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=exx\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{x}}{x} în integrala dată.
    ∫1ef(x)exdx=∫1eexxexdx\displaystyle \int_1^e\dfrac{f(x)}{e^{x}}dx=\int_1^e\dfrac{\frac{e^{x}}{x}}{e^{x}}dx
  2. Simplificăm prin ex≠0\displaystyle e^{x}\neq 0 și obținem integrala lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}. O calculăm cu primitiva ln⁡x\displaystyle \ln x, valabilă pe [1,e]\displaystyle [1,e], unde x>0\displaystyle x>0.
    ∫1ef(x)exdx=∫1e1xdx=ln⁡x∣1e\displaystyle \int_1^e\dfrac{f(x)}{e^{x}}dx=\int_1^e\dfrac{1}{x}dx=\ln x\Big|_1^e
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: scădem valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 din valoarea ei în e\displaystyle e. Folosim ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    ln⁡e−ln⁡1=1−0=1\displaystyle \ln e-\ln 1=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{x}.

Arătați că ∫12x3f(x2)dx=e(e−1)(e2+e+1)2\displaystyle \displaystyle\int_1^2 x^3 f\left(x^2\right)dx=\dfrac{e(e-1)\left(e^2+e+1\right)}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} în formula funcției: f(x2)=ex2x2\displaystyle f\left(x^{2}\right)=\dfrac{e^{x^{2}}}{x^{2}}.
    f(x2)=ex2x2\displaystyle f\left(x^{2}\right)=\dfrac{e^{x^{2}}}{x^{2}}
  2. Înmulțim cu x3\displaystyle x^{3} și simplificăm: x3⋅ex2x2=xex2\displaystyle x^{3}\cdot\dfrac{e^{x^{2}}}{x^{2}}=xe^{x^{2}}. Deci integrala devine ∫12xex2dx\displaystyle \displaystyle\int_1^2 xe^{x^{2}}dx.
    ∫12x3f(x2)dx=∫12xex2dx\displaystyle \int_1^2 x^3 f\left(x^2\right)dx=\int_1^2 xe^{x^{2}}dx
  3. Observăm că (ex2)′=2xex2\displaystyle \left(e^{x^{2}}\right)'=2xe^{x^{2}}, deci o primitivă a lui xex2\displaystyle xe^{x^{2}} este 12ex2\displaystyle \dfrac{1}{2}e^{x^{2}}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫12xex2dx=12ex2∣12\displaystyle \int_1^2 xe^{x^{2}}dx=\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}\Big|_1^2
  4. Calculăm valorile la limite: pentru x=2\displaystyle x=2 obținem e4\displaystyle e^{4}, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem e\displaystyle e. Rezultă e4−e2\displaystyle \dfrac{e^{4}-e}{2}.
    12(e4−e)=e4−e2\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(e^{4}-e\right)=\dfrac{e^{4}-e}{2}
  5. Scoatem e\displaystyle e factor comun: e4−e=e(e3−1)\displaystyle e^{4}-e=e\left(e^{3}-1\right). Apoi aplicăm formula a3−1=(a−1)(a2+a+1)\displaystyle a^{3}-1=(a-1)\left(a^{2}+a+1\right) pentru a=e\displaystyle a=e. Obținem forma cerută.
    e4−e2=e(e3−1)2=e(e−1)(e2+e+1)2\displaystyle \dfrac{e^{4}-e}{2}=\dfrac{e\left(e^{3}-1\right)}{2}=\dfrac{e(e-1)\left(e^{2}+e+1\right)}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{x}.

Demonstrați că ∫1ef(x)dx+∫1eexln⁡x dx=ee\displaystyle \displaystyle\int_1^e f(x)dx+\int_1^e e^x\ln x\,dx=e^e.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 1x=(ln⁡x)′\displaystyle \dfrac{1}{x}=(\ln x)', deci f(x)=(ln⁡x)′ex\displaystyle f(x)=(\ln x)'e^x, iar prima integrală se scrie ∫1ef(x)dx=∫1e(ln⁡x)′exdx\displaystyle \displaystyle\int_1^e f(x)dx=\int_1^e(\ln x)'e^x dx.
    ∫1ef(x)dx=∫1e(ln⁡x)′exdx\displaystyle \int_1^e f(x)dx=\int_1^e(\ln x)'e^x dx
  2. Integrăm prin părți, cu u=ex\displaystyle u=e^x și v=ln⁡x\displaystyle v=\ln x, folosind formula ∫1eu v′ dx=uv∣1e−∫1eu′v dx\displaystyle \displaystyle\int_1^e u\,v'\,dx=uv\Big|_1^e-\int_1^e u'v\,dx. Cum u′=ex\displaystyle u'=e^x, obținem ∫1e(ln⁡x)′exdx=exln⁡x∣1e−∫1eexln⁡x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^e(\ln x)'e^x dx=e^x\ln x\Big|_1^e-\int_1^e e^x\ln x\,dx.
    ∫1e(ln⁡x)′exdx=exln⁡x∣1e−∫1eexln⁡x dx\displaystyle \int_1^e(\ln x)'e^x dx=e^x\ln x\Big|_1^e-\int_1^e e^x\ln x\,dx
  3. Adunăm și a doua integrală din enunț: ∫1ef(x)dx+∫1eexln⁡x dx=exln⁡x∣1e−∫1eexln⁡x dx+∫1eexln⁡x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^e f(x)dx+\int_1^e e^x\ln x\,dx=e^x\ln x\Big|_1^e-\int_1^e e^x\ln x\,dx+\int_1^e e^x\ln x\,dx. Integralele se reduc și rămâne doar termenul fără integrală.
    ∫1eexxdx+∫1eexln⁡x dx=exln⁡x∣1e\displaystyle \int_1^e\dfrac{e^x}{x}dx+\int_1^e e^x\ln x\,dx=e^x\ln x\Big|_1^e
  4. Calculăm între limite: exln⁡x∣1e=eeln⁡e−e1ln⁡1\displaystyle e^x\ln x\Big|_1^e=e^e\ln e-e^1\ln 1. Cum ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem ee⋅1−e⋅0=ee\displaystyle e^e\cdot 1-e\cdot 0=e^e, adică egalitatea cerută.
    eeln⁡e−e1ln⁡1=ee\displaystyle e^e\ln e-e^1\ln 1=e^e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.