Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 1: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul elementelor mulțimii M={n∈N∣n2<7+7}\displaystyle M=\{n\in\mathbb{N}\mid n^2<7+\sqrt{7}\}.
Vezi rezolvarea
  1. Estimăm 7\displaystyle \sqrt{7}: deoarece 4<7<9\displaystyle 4<7<9, avem 4<7<9\displaystyle \sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}, adică 2<7<3\displaystyle 2<\sqrt{7}<3.
    2<7<3\displaystyle 2<\sqrt{7}<3
  2. Adunăm 7\displaystyle 7 în fiecare membru al inegalității: 7+2<7+7<7+3\displaystyle 7+2<7+\sqrt{7}<7+3, deci 9<7+7<10\displaystyle 9<7+\sqrt{7}<10.
    7+7∈(9,10)\displaystyle 7+\sqrt{7}\in(9,10)
  3. Pătratele perfecte mai mici decât 7+7\displaystyle 7+\sqrt{7} sunt cele mai mici sau egale cu 9\displaystyle 9, deoarece 9<7+7<10\displaystyle 9<7+\sqrt{7}<10. Avem 02=0\displaystyle 0^2=0, 12=1\displaystyle 1^2=1, 22=4\displaystyle 2^2=4, 32=9\displaystyle 3^2=9, toate mai mici decât 7+7\displaystyle 7+\sqrt{7}, iar 42=16>10\displaystyle 4^2=16>10. Deci n2≤9\displaystyle n^2\le 9, adică n≤3\displaystyle n\le 3.
    M={0,1,2,3}\displaystyle M=\{0,1,2,3\}
  4. Numărăm elementele mulțimii M={0,1,2,3}\displaystyle M=\{0,1,2,3\}: sunt patru elemente.
    M are 4 elemente\displaystyle M\text{ are }4\text{ elemente}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−6x+m\displaystyle f(x)=x^2-6x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care vârful parabolei asociate funcției f\displaystyle f are ordonata strict mai mare decât 0\displaystyle 0.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții funcției f(x)=x2−6x+m\displaystyle f(x)=x^2-6x+m: a=1\displaystyle a=1, b=−6\displaystyle b=-6, c=m\displaystyle c=m.
    a=1\displaystyle a=1, b=−6\displaystyle \ b=-6, c=m\displaystyle \ c=m
  2. Calculăm discriminantul Δ=b2−4ac=(−6)2−4⋅1⋅m\displaystyle \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 1\cdot m.
    Δ=36−4m\displaystyle \Delta=36-4m
  3. Ordonata vârfului este yV=−Δ4a\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}. Înlocuim: yV=−36−4m4=−36+4m4\displaystyle y_V=-\dfrac{36-4m}{4}=\dfrac{-36+4m}{4}, adică m−9\displaystyle m-9.
    yV=−36−4m4=m−9\displaystyle y_V=-\frac{36-4m}{4}=m-9
  4. Impunem yV>0\displaystyle y_V>0, adică m−9>0\displaystyle m-9>0, deci m>9\displaystyle m>9. Valorile căutate formează intervalul (9,+∞)\displaystyle (9,+\infty).
    m−9>0⇔m∈(9,+∞)\displaystyle m-9>0\Leftrightarrow m\in(9,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+3=x−3\displaystyle \sqrt{x+3}=x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm condițiile de existență: x+3≥0\displaystyle x+3\ge 0, iar radicalul este mereu mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0, deci și x−3≥0\displaystyle x-3\ge 0. Prin urmare x≥3\displaystyle x\ge 3.
    x≥3\displaystyle x\ge 3
  2. Ridicăm ecuația la pătrat. Membrul stâng devine x+3\displaystyle x+3, iar membrul drept (x−3)2\displaystyle (x-3)^{2}.
    x+3=(x−3)2\displaystyle x+3=(x-3)^{2}
  3. Desfacem pătratul: (x−3)2=x2−6x+9\displaystyle (x-3)^{2}=x^{2}-6x+9. Mutăm totul în același membru și reducem termenii asemenea: x+3=x2−6x+9\displaystyle x+3=x^{2}-6x+9, deci obținem ecuația de gradul II.
    x2−7x+6=0\displaystyle x^{2}-7x+6=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul II. Discriminantul este Δ=49−24=25\displaystyle \Delta=49-24=25, deci x=7±52\displaystyle x=\dfrac{7\pm 5}{2}.
    x1=1\displaystyle x_{1}=1, x2=6\displaystyle \ x_{2}=6
  5. Verificăm soluțiile. Pentru x=1\displaystyle x=1: 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, iar 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2, deci egalitatea nu are loc (și 1<3\displaystyle 1<3). Pentru x=6\displaystyle x=6: 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3, iar 6−3=3\displaystyle 6-3=3, deci egalitatea are loc. Rămâne doar x=6\displaystyle x=6.
    x=1, care nu convine; x=6, care convine\displaystyle x=1\text{, care nu convine; }x=6\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu cel mult 2\displaystyle 2 elemente ale unei mulțimi cu 12\displaystyle 12 elemente.
Vezi rezolvarea
  1. O submulțime cu cel mult 2\displaystyle 2 elemente are 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 sau 2\displaystyle 2 elemente. Numărăm separat submulțimile din fiecare caz și apoi adunăm rezultatele. Numărul submulțimilor cu k\displaystyle k elemente ale unei mulțimi cu 12\displaystyle 12 elemente este C12k\displaystyle C_{12}^{k}.
    C120+C121+C122\displaystyle C_{12}^{0}+C_{12}^{1}+C_{12}^{2}
  2. Calculăm fiecare combinare: există o singură submulțime cu 0\displaystyle 0 elemente (mulțimea vidă), C121=12\displaystyle C_{12}^{1}=12 submulțimi cu un element, iar pentru două elemente folosim formula Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_{n}^{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}, deci C122=12⋅112\displaystyle C_{12}^{2}=\dfrac{12\cdot 11}{2}.
    C120+C121+C122=1+12+12⋅112\displaystyle C_{12}^{0}+C_{12}^{1}+C_{12}^{2}=1+12+\frac{12\cdot 11}{2}
  3. Calculăm 12⋅112=1322=66\displaystyle \dfrac{12\cdot 11}{2}=\dfrac{132}{2}=66. Adunăm apoi 1+12=13\displaystyle 1+12=13 și 13+66\displaystyle 13+66.
    1+12+66=13+66=79 de submulțimi\displaystyle 1+12+66=13+66=79\text{ de submulțimi}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,1)\displaystyle A(4,1) și B(−1,2)\displaystyle B(-1,2). Determinați coordonatele punctului de intersecție a paralelei prin A\displaystyle A la OB\displaystyle OB cu paralela prin B\displaystyle B la OA\displaystyle OA.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu C\displaystyle C punctul de intersecție al paralelei prin A\displaystyle A la OB\displaystyle OB cu paralela prin B\displaystyle B la OA\displaystyle OA. Atunci AC∥OB\displaystyle AC \parallel OB și BC∥OA\displaystyle BC \parallel OA, deci patrulaterul OACB\displaystyle OACB are laturile opuse paralele două câte două. Rezultă că OACB\displaystyle OACB este paralelogram, cu diagonalele OC\displaystyle OC și AB\displaystyle AB.
    OACB paralelogram\displaystyle OACB\text{ paralelogram}
  2. Într-un paralelogram diagonalele au același mijloc. Mijlocul lui OC\displaystyle OC coincide cu mijlocul lui AB\displaystyle AB, deci suma coordonatelor extremităților este aceeași pentru cele două diagonale, pe fiecare axă.
    xO+xC=xA+xB\displaystyle x_O+x_C=x_A+x_B, yO+yC=yA+yB\displaystyle \ y_O+y_C=y_A+y_B
  3. Înlocuim coordonatele cunoscute: O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(4,1)\displaystyle A(4,1), B(−1,2)\displaystyle B(-1,2). Obținem 0+xC=4+(−1)\displaystyle 0+x_C=4+(-1) și 0+yC=1+2\displaystyle 0+y_C=1+2, deci xC=3\displaystyle x_C=3 și yC=3\displaystyle y_C=3. Punctul de intersecție este C(3,3)\displaystyle C(3,3).
    xC=3\displaystyle x_C=3, yC=3\displaystyle \ y_C=3, C(3,3)\displaystyle \ C(3,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 11+tg⁡x+11+ctg⁡x=1\displaystyle \frac{1}{1+\operatorname{tg}x}+\frac{1}{1+\operatorname{ctg}x}=1, pentru orice x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), tg⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x și ctg⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x sunt definite și strict pozitive, deci numitorii 1+tg⁡x\displaystyle 1+\operatorname{tg}x și 1+ctg⁡x\displaystyle 1+\operatorname{ctg}x sunt nenuli. Folosim relația ctg⁡x=1tg⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x=\dfrac{1}{\operatorname{tg}x}.
    ctg⁡x=1tg⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x=\frac{1}{\operatorname{tg}x}
  2. Înlocuim ctg⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x în al doilea termen al sumei: 11+ctg⁡x=11+1tg⁡x\displaystyle \dfrac{1}{1+\operatorname{ctg}x}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\operatorname{tg}x}}.
    11+tg⁡x+11+1tg⁡x\displaystyle \frac{1}{1+\operatorname{tg}x}+\frac{1}{1+\frac{1}{\operatorname{tg}x}}
  3. Aducem la același numitor expresia din numitorul celei de-a doua fracții: 1+1tg⁡x=tg⁡x+1tg⁡x\displaystyle 1+\dfrac{1}{\operatorname{tg}x}=\dfrac{\operatorname{tg}x+1}{\operatorname{tg}x}. Atunci 11+1tg⁡x=tg⁡xtg⁡x+1\displaystyle \dfrac{1}{1+\frac{1}{\operatorname{tg}x}}=\dfrac{\operatorname{tg}x}{\operatorname{tg}x+1}.
    11+tg⁡x+11+1tg⁡x=11+tg⁡x+tg⁡xtg⁡x+1\displaystyle \frac{1}{1+\operatorname{tg}x}+\frac{1}{1+\frac{1}{\operatorname{tg}x}}=\frac{1}{1+\operatorname{tg}x}+\frac{\operatorname{tg}x}{\operatorname{tg}x+1}
  4. Cele două fracții au același numitor, 1+tg⁡x\displaystyle 1+\operatorname{tg}x, deci adunăm numărătorii: 1+tg⁡x1+tg⁡x\displaystyle \dfrac{1+\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}x}. Numărătorul coincide cu numitorul, care este nenul, deci suma este 1\displaystyle 1 pentru orice x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).
    1+tg⁡x1+tg⁡x=1\displaystyle \frac{1+\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}x}=1, pentru orice x∈(0,π2)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−a2a0−a1+2a0001+a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-a & 2a & 0\\ -a & 1+2a & 0\\ 0 & 0 & 1+a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real. Arătați că det⁡(A(1))=4\displaystyle \det(A(1))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a): prima linie devine 1−1=0\displaystyle 1-1=0, 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, 0\displaystyle 0; a doua linie devine −1\displaystyle -1, 1+2⋅1=3\displaystyle 1+2\cdot 1=3, 0\displaystyle 0; a treia linie devine 0\displaystyle 0, 0\displaystyle 0, 1+1=2\displaystyle 1+1=2.
    A(1)=(020−130002)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}0 & 2 & 0\\ -1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}
  2. Scriem det⁡(A(1))\displaystyle \det(A(1)). Observăm că ultima linie și ultima coloană conțin un singur element nenul, 2\displaystyle 2, deci calculul se simplifică.
    det⁡(A(1))=∣020−130002∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}0 & 2 & 0\\ -1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și paralelele ei sunt nule, fiecare conținând un factor 0\displaystyle 0. Pentru diagonala secundară și paralelele ei, singurul produs nenul este 2⋅(−1)⋅2=−4\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 2=-4.
    0⋅3⋅2+2⋅0⋅0+0⋅(−1)⋅0−(0⋅3⋅0+0⋅0⋅0+2⋅(−1)⋅2)\displaystyle 0\cdot 3\cdot 2+2\cdot 0\cdot 0+0\cdot(-1)\cdot 0-\left(0\cdot 3\cdot 0+0\cdot 0\cdot 0+2\cdot(-1)\cdot 2\right)
  4. Determinantul este suma produselor de pe diagonala principală minus suma produselor de pe diagonala secundară: 0−(−4)=4\displaystyle 0-(-4)=4.
    0+0+0−0−0−(−4)=4\displaystyle 0+0+0-0-0-(-4)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−a2a0−a1+2a0001+a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-a & 2a & 0\\ -a & 1+2a & 0\\ 0 & 0 & 1+a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real. Demonstrați că A(a)⋅A(b)=A(a+b+ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a+b+ab), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că matricele A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b) au aceeași structură: un bloc de ordin 2 în colțul din stânga sus, iar în rest zerouri, cu excepția elementului din colțul din dreapta jos. La produs, elementele de pe linia a treia și coloana a treia, în afară de cel din colț, vor fi 0\displaystyle 0. Calculăm blocul de ordin 2 și elementul din colț separat.
    A(a)⋅A(b)=(1−a2a0−a1+2a0001+a)⋅(1−b2b0−b1+2b0001+b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1-a & 2a & 0\\ -a & 1+2a & 0\\ 0 & 0 & 1+a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1-b & 2b & 0\\ -b & 1+2b & 0\\ 0 & 0 & 1+b\end{pmatrix}
  2. Calculăm prima linie a produsului: elementul de pe linia 1, coloana 1, este (1−a)(1−b)+2a⋅(−b)\displaystyle (1-a)(1-b)+2a\cdot(-b), iar cel de pe linia 1, coloana 2, este (1−a)⋅2b+2a(1+2b)\displaystyle (1-a)\cdot 2b+2a(1+2b).
    (1−a−b−ab2a+2b+2ab)\displaystyle \begin{pmatrix}1-a-b-ab & 2a+2b+2ab\end{pmatrix}
  3. Calculăm a doua linie a produsului: elementul de pe linia 2, coloana 1, este (−a)(1−b)+(1+2a)(−b)\displaystyle (-a)(1-b)+(1+2a)(-b), iar cel de pe linia 2, coloana 2, este (−a)⋅2b+(1+2a)(1+2b)\displaystyle (-a)\cdot 2b+(1+2a)(1+2b).
    (−a−b−ab1+2a+2b+2ab)\displaystyle \begin{pmatrix}-a-b-ab & 1+2a+2b+2ab\end{pmatrix}
  4. Elementul din colțul din dreapta jos este (1+a)(1+b)=1+a+b+ab\displaystyle (1+a)(1+b)=1+a+b+ab. Celelalte elemente de pe linia a treia și de pe coloana a treia sunt 0\displaystyle 0.
    1+a+b+ab\displaystyle 1+a+b+ab
  5. Adunăm rezultatele și scriem matricea produs.
    A(a)⋅A(b)=(1−a−b−ab2b+2ab+2a0−a−b−ab1+2a+2b+2ab0001+a+b+ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1-a-b-ab & 2b+2ab+2a & 0\\ -a-b-ab & 1+2a+2b+2ab & 0\\ 0 & 0 & 1+a+b+ab\end{pmatrix}
  6. Grupăm termenii în fiecare element, punând în evidență expresia a+b+ab\displaystyle a+b+ab. Obținem exact forma matricei A\displaystyle A cu parametrul a+b+ab\displaystyle a+b+ab, deci egalitatea este demonstrată pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    (1−(a+b+ab)2(a+b+ab)0−(a+b+ab)1+2(a+b+ab)0001+(a+b+ab))=A(a+b+ab)\displaystyle \begin{pmatrix}1-(a+b+ab) & 2(a+b+ab) & 0\\ -(a+b+ab) & 1+2(a+b+ab) & 0\\ 0 & 0 & 1+(a+b+ab)\end{pmatrix}=A(a+b+ab)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−a2a0−a1+2a0001+a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-a & 2a & 0\\ -a & 1+2a & 0\\ 0 & 0 & 1+a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, dacă a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt numere reale pentru care A(a)⋅A(b)⋅A(c)=A(0)\displaystyle A(a)\cdot A(b)\cdot A(c)=A(0), atunci (1+a)(1+b)(1+c)=1\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim regula de înmulțire: calculăm A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b) element cu element. Pentru primul element al primei linii: (1−a)(1−b)−2ab=1−(a+b+ab)\displaystyle (1-a)(1-b)-2ab=1-(a+b+ab). Analog, al doilea element al primei linii este 2b(1−a)+2a(1+2b)=2(a+b+ab)\displaystyle 2b(1-a)+2a(1+2b)=2(a+b+ab), iar pe linia a doua obținem −(a+b+ab)\displaystyle -(a+b+ab) și 1+2(a+b+ab)\displaystyle 1+2(a+b+ab). Elementul din colț este (1+a)(1+b)=1+(a+b+ab)\displaystyle (1+a)(1+b)=1+(a+b+ab). Deci produsul are forma lui A\displaystyle A cu parametrul a+b+ab\displaystyle a+b+ab.
    A(a)⋅A(b)=A(a+b+ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a+b+ab)
  2. Aplicăm regula pentru primii doi factori: A(a)⋅A(b)⋅A(c)=A(a+b+ab)⋅A(c)\displaystyle A(a)\cdot A(b)\cdot A(c)=A(a+b+ab)\cdot A(c).
    A(a)⋅A(b)⋅A(c)=A(a+b+ab)⋅A(c)\displaystyle A(a)\cdot A(b)\cdot A(c)=A(a+b+ab)\cdot A(c)
  3. Aplicăm regula încă o dată, cu parametrii a+b+ab\displaystyle a+b+ab și c\displaystyle c. Noul parametru este (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c\displaystyle (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c, care după desfacerea parantezelor devine a+b+c+ab+ac+bc+abc\displaystyle a+b+c+ab+ac+bc+abc.
    A(a)⋅A(b)⋅A(c)=A(a+b+c+ab+ac+bc+abc)\displaystyle A(a)\cdot A(b)\cdot A(c)=A(a+b+c+ab+ac+bc+abc)
  4. Din egalitatea A(a+b+c+ab+ac+bc+abc)=A(0)\displaystyle A(a+b+c+ab+ac+bc+abc)=A(0) rezultă egalitatea parametrilor. De exemplu, elementul din colț (linia 3, coloana 3) dă 1+(a+b+c+ab+ac+bc+abc)=1\displaystyle 1+(a+b+c+ab+ac+bc+abc)=1, deci parametrul este 0\displaystyle 0.
    a+b+c+ab+ac+bc+abc=0\displaystyle a+b+c+ab+ac+bc+abc=0
  5. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri ai egalității, ca să obținem în stânga o expresie ușor de factorizat.
    1+a+b+c+ab+ac+bc+abc=1\displaystyle 1+a+b+c+ab+ac+bc+abc=1
  6. Grupăm termenii: (1+a)+b(1+a)+c(1+a)+bc(1+a)=1\displaystyle (1+a)+b(1+a)+c(1+a)+bc(1+a)=1. Dăm factor comun 1+a\displaystyle 1+a: (1+a)(1+b+c+bc)=1\displaystyle (1+a)(1+b+c+bc)=1. Cum 1+b+c+bc=(1+b)+c(1+b)=(1+b)(1+c)\displaystyle 1+b+c+bc=(1+b)+c(1+b)=(1+b)(1+c), obținem relația cerută.
    (1+a)(1+b)(1+c)=1\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2\displaystyle x*y=\sqrt{x^2+y^2}.

Arătați că 3∗4=5\displaystyle 3*4=5.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție x∗y=x2+y2\displaystyle x*y=\sqrt{x^{2}+y^{2}} și înlocuim x=3\displaystyle x=3, y=4\displaystyle y=4.
    3∗4=32+42\displaystyle 3*4=\sqrt{3^{2}+4^{2}}
  2. Calculăm pătratele: 32=9\displaystyle 3^{2}=9 și 42=16\displaystyle 4^{2}=16, apoi le adunăm.
    32+42=9+16=25\displaystyle 3^{2}+4^{2}=9+16=25
  3. 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, deoarece 52=25\displaystyle 5^{2}=25 și 5>0\displaystyle 5>0. Deci 3∗4=5\displaystyle 3*4=5.
    3∗4=25=5\displaystyle 3*4=\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2\displaystyle x*y=\sqrt{x^2+y^2}.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∗5<x+1\displaystyle x*\sqrt{5}<x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru y=5\displaystyle y=\sqrt{5}: x∗5=x2+(5)2=x2+5\displaystyle x*\sqrt{5}=\sqrt{x^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{x^{2}+5}, pentru x∈M\displaystyle x\in M.
    x∗5=x2+5\displaystyle x*\sqrt{5}=\sqrt{x^{2}+5}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Inegalitatea x∗5<x+1\displaystyle x*\sqrt{5}<x+1 devine x2+5<x+1\displaystyle \sqrt{x^{2}+5}<x+1.
    x2+5<x+1\displaystyle \sqrt{x^{2}+5}<x+1
  3. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x2+5>0\displaystyle \sqrt{x^{2}+5}>0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci ridicarea la pătrat păstrează sensul inegalității: x2+5<(x+1)2\displaystyle x^{2}+5<(x+1)^{2}.
    x2+5<(x+1)2\displaystyle x^{2}+5<(x+1)^{2}
  4. Dezvoltăm (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1, deci obținem x2+5<x2+2x+1\displaystyle x^{2}+5<x^{2}+2x+1.
    x2+5<x2+2x+1\displaystyle x^{2}+5<x^{2}+2x+1
  5. Reducem x2\displaystyle x^{2} din ambii membri: 5<2x+1\displaystyle 5<2x+1, deci 2x>4\displaystyle 2x>4, adică x>2\displaystyle x>2.
    x>2\displaystyle x>2
  6. Cum (2,+∞)⊂(0,+∞)=M\displaystyle (2,+\infty)\subset(0,+\infty)=M, soluția este intervalul (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2\displaystyle x*y=\sqrt{x^2+y^2}.

Demonstrați că există o infinitate de perechi (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale nenule, pentru care numerele m\displaystyle m, n\displaystyle n și m∗n\displaystyle m*n sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția ca m\displaystyle m, n\displaystyle n și m∗n\displaystyle m*n să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice înseamnă 2n=m+m∗n\displaystyle 2n=m+m*n. Cu legea dată, ecuația devine 2n=m+m2+n2\displaystyle 2n=m+\sqrt{m^2+n^2}.
    2n=m+m2+n2\displaystyle 2n=m+\sqrt{m^2+n^2}
  2. Căutăm perechi proporționale cu tripleta pitagoreică 3,4,5\displaystyle 3,4,5. Alegem m=3k\displaystyle m=3k și n=4k\displaystyle n=4k, cu k∈N∗\displaystyle k\in\mathbb{N}^*.
    m=3k\displaystyle m=3k, n=4k\displaystyle \ n=4k, k∈N∗\displaystyle \ k\in\mathbb{N}^*
  3. Calculăm m∗n=(3k)2+(4k)2=9k2+16k2=25k2=5k\displaystyle m*n=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=\sqrt{9k^2+16k^2}=\sqrt{25k^2}=5k, deoarece k>0\displaystyle k>0.
    m∗n=5k\displaystyle m*n=5k
  4. Numerele sunt 3k\displaystyle 3k, 4k\displaystyle 4k, 5k\displaystyle 5k. Avem 4k−3k=k\displaystyle 4k-3k=k și 5k−4k=k\displaystyle 5k-4k=k, deci m\displaystyle m, n\displaystyle n, m∗n\displaystyle m*n sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice de rație k\displaystyle k.
    4k−3k=5k−4k=k\displaystyle 4k-3k=5k-4k=k
  5. Pentru fiecare k∈N∗\displaystyle k\in\mathbb{N}^* obținem o pereche distinctă de numere naturale nenule cu proprietatea cerută. Cum există o infinitate de valori ale lui k\displaystyle k, există o infinitate de perechi (m,n)\displaystyle (m,n).
    (m,n)=(3k,4k)\displaystyle (m,n)=(3k,4k), k∈N∗\displaystyle \ k\in\mathbb{N}^*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−x2−4x+5\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2-4x+5}.

Arătați că f′(x)=x2−4x+5−x+2x2−4x+5\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x^2-4x+5}-x+2}{\sqrt{x^2-4x+5}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că expresia de sub radical, x2−4x+5\displaystyle x^{2}-4x+5, este strict pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece Δ=16−20=−4<0\displaystyle \Delta=16-20=-4<0. Deci funcția radical este derivabilă pe întreg R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2−4x+5=(x−2)2+1>0\displaystyle x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1>0, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm f\displaystyle f folosind (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și formula (u)′=u′2u\displaystyle (\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}. Aici u=x2−4x+5\displaystyle u=x^{2}-4x+5, iar u′=2x−4\displaystyle u'=2x-4.
    f′(x)=1−2x−42x2−4x+5\displaystyle f'(x)=1-\frac{2x-4}{2\sqrt{x^{2}-4x+5}}
  3. Simplificăm fracția cu 2\displaystyle 2, dând factor comun pe 2\displaystyle 2 la numărător: 2x−4=2(x−2)\displaystyle 2x-4=2(x-2).
    f′(x)=1−x−2x2−4x+5\displaystyle f'(x)=1-\frac{x-2}{\sqrt{x^{2}-4x+5}}
  4. Aducem la numitor comun, scriind 1=x2−4x+5x2−4x+5\displaystyle 1=\dfrac{\sqrt{x^{2}-4x+5}}{\sqrt{x^{2}-4x+5}}.
    f′(x)=x2−4x+5−(x−2)x2−4x+5\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4x+5}-(x-2)}{\sqrt{x^{2}-4x+5}}
  5. Desfacem parantezele de la numărător: −(x−2)=−x+2\displaystyle -(x-2)=-x+2. Obținem exact egalitatea cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=x2−4x+5−x+2x2−4x+5\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4x+5}-x+2}{\sqrt{x^{2}-4x+5}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−x2−4x+5\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2-4x+5}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem expresia de sub radical sub formă canonică: x2−4x+5=(x−2)2+1\displaystyle x^2-4x+5=(x-2)^2+1. Ea este strict pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci radicalul este definit și derivabil pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2−4x+5=(x−2)2+1>0\displaystyle x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0
  2. Derivăm folosind (u)′=u′2u\displaystyle (\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, cu u=x2−4x+5\displaystyle u=x^2-4x+5 și u′=2x−4\displaystyle u'=2x-4. Obținem f′(x)=1−2x−42x2−4x+5\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+5}}.
    f′(x)=1−x−2x2−4x+5\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}
  3. Aducem la același numitor: f′(x)=x2−4x+5−(x−2)x2−4x+5\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-4x+5}-(x-2)}{\sqrt{x^2-4x+5}}. Numitorul este strict pozitiv, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de numărător.
    f′(x)=x2−4x+5−(x−2)x2−4x+5\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-4x+5}-(x-2)}{\sqrt{x^2-4x+5}}
  4. Avem x2−4x+5=(x−2)2+1\displaystyle \sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{(x-2)^2+1}. Dacă x−2≤0\displaystyle x-2\le 0, inegalitatea (x−2)2+1>x−2\displaystyle \sqrt{(x-2)^2+1}>x-2 este evidentă, deoarece radicalul este pozitiv. Dacă x−2>0\displaystyle x-2>0, comparăm pătratele: (x−2)2+1>(x−2)2\displaystyle (x-2)^2+1>(x-2)^2. Deci pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem inegalitatea de mai jos.
    x2−4x+5=(x−2)2+1>x−2\displaystyle \sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{(x-2)^2+1}>x-2
  5. Din pasul anterior, numărătorul x2−4x+5−(x−2)\displaystyle \sqrt{x^2-4x+5}-(x-2) este strict pozitiv, iar numitorul este strict pozitiv. Deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, așadar f\displaystyle f este strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′(x)>0, deci f este strict cresca˘toare \displaystyle f'(x)>0\text{, deci }f\text{ este strict crescătoare }pe R\displaystyle \text{pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−x2−4x+5\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2-4x+5}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă limita este finită. Avem forma nedeterminată ∞−∞\displaystyle \infty-\infty, deci amplificăm cu conjugata x+x2−4x+5\displaystyle x+\sqrt{x^2-4x+5}.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(x−x2−4x+5)(x+x2−4x+5)x+x2−4x+5\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-4x+5}\right)\left(x+\sqrt{x^2-4x+5}\right)}{x+\sqrt{x^2-4x+5}}
  2. Aplicăm formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^2-b^2 la numărător: x2−(x2−4x+5)=4x−5\displaystyle x^2-\left(x^2-4x+5\right)=4x-5.
    lim⁡x→+∞4x−5x+x2−4x+5\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{4x-5}{x+\sqrt{x^2-4x+5}}
  3. Dăm factor comun x\displaystyle x la numărător și la numitor. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x2−4x+5=x1−4x+5x2\displaystyle \sqrt{x^2-4x+5}=x\sqrt{1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{x^2}}, deci putem simplifica prin x\displaystyle x.
    lim⁡x→+∞x(4−5x)x(1+1−4x+5x2)=lim⁡x→+∞4−5x1+1−4x+5x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(4-\frac{5}{x}\right)}{x\left(1+\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{4-\frac{5}{x}}{1+\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}}
  4. Termenii 5x\displaystyle \dfrac{5}{x}, 4x\displaystyle \dfrac{4}{x} și 5x2\displaystyle \dfrac{5}{x^2} tind la 0\displaystyle 0, deci limita este 41+1=2\displaystyle \dfrac{4}{1+1}=2. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty este y=2\displaystyle y=2.
    4−01+1−0+0=2\displaystyle \frac{4-0}{1+\sqrt{1-0+0}}=2, y=2\displaystyle \ y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1.

Arătați că ∫01f(x) dx=43\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{4}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu x2+1\displaystyle x^{2}+1 în integrala dată: ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx.
    ∫01f(x) dx=∫01(x2+1) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 (x^{2}+1)\,dx
  2. Găsim o primitivă a funcției: o primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫01(x2+1) dx=(x33+x)∣01\displaystyle \int_0^1 (x^{2}+1)\,dx=\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\Big|_0^1
  3. Calculăm valoarea primitivei în limita superioară 1\displaystyle 1 și scădem valoarea din limita inferioară 0\displaystyle 0, care este 0\displaystyle 0.
    (133+1)−(033+0)=13+1\displaystyle \left(\frac{1^{3}}{3}+1\right)-\left(\frac{0^{3}}{3}+0\right)=\frac{1}{3}+1
  4. Aducem la același numitor: 1=33\displaystyle 1=\dfrac{3}{3}, deci obținem rezultatul cerut.
    13+1=13+33=43\displaystyle \frac{1}{3}+1=\frac{1}{3}+\frac{3}{3}=\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1.

Calculați ∫01exf(x) dx\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala ∫01ex(x2+1)dx\displaystyle \int_0^1 e^x\left(x^{2}+1\right)dx și aplicăm integrarea prin părți: alegem u=x2+1\displaystyle u=x^{2}+1 și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=2x dx\displaystyle du=2x\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫01ex(x2+1) dx=ex(x2+1)∣01−∫012xex dx\displaystyle \int_0^1 e^x(x^2+1)\,dx=e^x(x^2+1)\Big|_0^1-\int_0^1 2xe^x\,dx
  2. Calculăm primul termen între limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1: la x=1\displaystyle x=1 obținem e⋅2=2e\displaystyle e\cdot 2=2e, iar la x=0\displaystyle x=0 obținem e0⋅1=1\displaystyle e^0\cdot 1=1.
    ex(x2+1)∣01=2e−1\displaystyle e^x(x^2+1)\Big|_0^1=2e-1
  3. Pentru integrala rămasă aplicăm din nou integrarea prin părți: u=2x\displaystyle u=2x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=2 dx\displaystyle du=2\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Atunci ∫2xex dx=2xex−∫2ex dx=2xex−2ex\displaystyle \int 2xe^x\,dx=2xe^x-\int 2e^x\,dx=2xe^x-2e^x.
    ∫01ex(x2+1) dx=2e−1−(2x−2)ex∣01\displaystyle \int_0^1 e^x(x^2+1)\,dx=2e-1-(2x-2)e^x\Big|_0^1
  4. Calculăm (2x−2)ex\displaystyle (2x-2)e^x între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1: la x=1\displaystyle x=1 valoarea este 0⋅e=0\displaystyle 0\cdot e=0, iar la x=0\displaystyle x=0 valoarea este −2\displaystyle -2, deci diferența este 0−(−2)=2\displaystyle 0-(-2)=2.
    (2x−2)ex∣01=2\displaystyle (2x-2)e^x\Big|_0^1=2
  5. Înlocuim în rezultatul de la pasul 3: 2e−1−2=2e−3\displaystyle 2e-1-2=2e-3.
    ∫01exf(x) dx=2e−3\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx=2e-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1. Arătați că ∫−11∣xln⁡(f(x))∣dx=2ln⁡2−1\displaystyle \int_{-1}^{1}\left|x\ln\left(f(x)\right)\right|dx=2\ln 2-1.
Vezi rezolvarea
  1. Studiem semnul expresiei de sub modul. Deoarece x2+1≥1\displaystyle x^{2}+1\ge 1, avem ln⁡(x2+1)≥0\displaystyle \ln(x^{2}+1)\ge 0. Deci semnul produsului xln⁡(x2+1)\displaystyle x\ln(x^{2}+1) este dat de semnul lui x\displaystyle x: pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] produsul este negativ sau zero, iar pe [0,1]\displaystyle [0,1] este pozitiv sau zero.
    xln⁡(x2+1){≤0x∈[−1,0]≥0x∈[0,1]\displaystyle x\ln(x^{2}+1)\begin{cases}\le 0 & x\in[-1,0]\\ \ge 0 & x\in[0,1]\end{cases}
  2. Eliminăm modulul și despărțim integrala în două integrale, pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] și [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫−11∣xln⁡(x2+1)∣dx=∫−10(−x)ln⁡(x2+1) dx+∫01xln⁡(x2+1) dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left|x\ln(x^{2}+1)\right|dx=\int_{-1}^{0}(-x)\ln(x^{2}+1)\,dx+\int_{0}^{1}x\ln(x^{2}+1)\,dx
  3. În prima integrală facem schimbarea de variabilă x=−t\displaystyle x=-t. Funcția xln⁡(x2+1)\displaystyle x\ln(x^{2}+1) este impară, deci modulul ei este pară și cele două integrale sunt egale. Obținem 2∫01xln⁡(x2+1) dx\displaystyle 2\int_{0}^{1}x\ln(x^{2}+1)\,dx, adică integrala de mai jos.
    ∫−10(−x)ln⁡(x2+1) dx+∫01xln⁡(x2+1) dx=∫012xln⁡(x2+1) dx\displaystyle \int_{-1}^{0}(-x)\ln(x^{2}+1)\,dx+\int_{0}^{1}x\ln(x^{2}+1)\,dx=\int_{0}^{1}2x\ln(x^{2}+1)\,dx
  4. Observăm că 2x=(x2+1)′\displaystyle 2x=(x^{2}+1)', deci scriem integrala sub forma care pregătește integrarea prin părți, cu u=ln⁡(x2+1)\displaystyle u=\ln(x^{2}+1) și dv=(x2+1)′dx\displaystyle dv=(x^{2}+1)'dx.
    ∫01(x2+1)′ln⁡(x2+1) dx\displaystyle \int_{0}^{1}(x^{2}+1)'\ln(x^{2}+1)\,dx
  5. Aplicăm formula integrării prin părți. Derivata lui ln⁡(x2+1)\displaystyle \ln(x^{2}+1) este 2xx2+1\displaystyle \dfrac{2x}{x^{2}+1}, iar v=x2+1\displaystyle v=x^{2}+1.
    (x2+1)ln⁡(x2+1)∣01−∫01(x2+1)⋅2xx2+1 dx\displaystyle (x^{2}+1)\ln(x^{2}+1)\Big|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(x^{2}+1)\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx
  6. Calculăm termenul integrat: la 1\displaystyle 1 avem 2ln⁡2\displaystyle 2\ln 2, iar la 0\displaystyle 0 avem 1⋅ln⁡1=0\displaystyle 1\cdot\ln 1=0. În integrală simplificăm fracția și rămâne ∫012x dx\displaystyle \int_{0}^{1}2x\,dx, cu primitiva x2\displaystyle x^{2}. Evaluăm între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1 și obținem 2ln⁡2−1\displaystyle 2\ln 2-1, adică egalitatea cerută.
    2ln⁡2−∫012x dx=2ln⁡2−x2∣01=2ln⁡2−1\displaystyle 2\ln 2-\int_{0}^{1}2x\,dx=2\ln 2-x^{2}\Big|_{0}^{1}=2\ln 2-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.