Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 19: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Se consideră progresia geometrică

\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}

cu

\displaystyle b_1=2

și rația

\displaystyle q=\sqrt{5}

. Calculați partea întreagă a lui

\displaystyle b_4

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula termenului general al progresiei geometrice: $\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ . Pentru $\displaystyle n=4$ obținem $\displaystyle b_4=b_1\cdot q^{3}$ .
$\displaystyle b_4=b_1\cdot q^{3}$
Înlocuim $\displaystyle b_1=2$ și $\displaystyle q=\sqrt{5}$ . Avem $\displaystyle \sqrt{5}^{3}=5\sqrt{5}$ , deci $\displaystyle b_4=2\cdot 5\sqrt{5}=10\sqrt{5}$ . Introducem factorul sub radical: $\displaystyle 10\sqrt{5}=\sqrt{100\cdot 5}=\sqrt{500}$ .
$\displaystyle b_4=2\cdot\sqrt{5}^{3}=10\sqrt{5}=\sqrt{500}$
Căutăm două pătrate perfecte consecutive între care se află $\displaystyle 500$ . Avem $\displaystyle 22^{2}=484$ și $\displaystyle 23^{2}=529$ , deci $\displaystyle 484<500<529$ .
$\displaystyle 22^{2}=484<500<529=23^{2}$
Funcția radical este crescătoare, deci din $\displaystyle 484<500<529$ obținem $\displaystyle 22<\sqrt{500}<23$ . Prin urmare partea întreagă a lui $\displaystyle b_4$ este $\displaystyle 22$ .
$\displaystyle 22<\sqrt{500}<23\text{, deci }[b_4]=22$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția bijectivă

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-3

. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor

\displaystyle f

și

\displaystyle f^{-1}

.

Vezi rezolvarea

Aflăm inversa funcției $\displaystyle f$ . Din $\displaystyle y=2x-3$ exprimăm $\displaystyle x=\dfrac{y+3}{2}$ , deci inversa este $\displaystyle f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}$ .
$\displaystyle f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}$
Abscisa punctului de intersecție verifică $\displaystyle f(x)=f^{-1}(x)$ . Cum $\displaystyle f$ este bijectivă, aplicând $\displaystyle f$ ambilor membri, egalitatea este echivalentă cu $\displaystyle f(f(x))=x$ . Scriem $\displaystyle f(f(x))=2f(x)-3$ și înlocuim $\displaystyle f(x)=2x-3$ .
$\displaystyle f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(f(x))=x\Leftrightarrow 2f(x)-3=x\Leftrightarrow 2(2x-3)-3=x$
Desfacem parantezele: $\displaystyle 2(2x-3)-3=4x-6-3=4x-9$ , deci ecuația devine $\displaystyle 4x-9=x$ .
$\displaystyle 4x-9=x$
Mutăm termenii cu $\displaystyle x$ în stânga: $\displaystyle 3x=9$ , deci $\displaystyle x=3$ . Verificare: $\displaystyle f(3)=3$ și $\displaystyle f^{-1}(3)=\dfrac{3+3}{2}=3$ , deci graficele se intersectează în punctul $\displaystyle (3,3)$ , iar abscisa este $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_2\left(2x^2+x+1\right)-\log_2\left(x^2-x+2\right)=1

.

Vezi rezolvarea

Determinăm condițiile de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive. Discriminantul lui $\displaystyle 2x^2+x+1$ este $\displaystyle \Delta=1-8=-7<0$ , iar coeficientul lui $\displaystyle x^2$ este pozitiv, deci $\displaystyle 2x^2+x+1>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Discriminantul lui $\displaystyle x^2-x+2$ este $\displaystyle \Delta=1-8=-7<0$ , deci și $\displaystyle x^2-x+2>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Ecuația are sens pe toată mulțimea numerelor reale.
$\displaystyle x\in\mathbb{R}$
Transformăm diferența de logaritmi în logaritmul câtului, folosind formula $\displaystyle \log_2 a-\log_2 b=\log_2\dfrac{a}{b}$ .
$\displaystyle \log_2\dfrac{2x^2+x+1}{x^2-x+2}=1$
Din definiția logaritmului, $\displaystyle \log_2 t=1$ înseamnă $\displaystyle t=2^1=2$ . Rezultă:
$\displaystyle \dfrac{2x^2+x+1}{x^2-x+2}=2$
Înmulțim cu numitorul $\displaystyle x^2-x+2$ , care este nenul, și desfacem parantezele din membrul drept:
$\displaystyle 2x^2+x+1=2x^2-2x+4$
Reducem termenii $\displaystyle 2x^2$ din ambii membri și grupăm termenii: $\displaystyle x+2x=4-1$ , adică $\displaystyle 3x=3$ . Deci:
$\displaystyle x=1$
Soluția convine, deoarece ecuația are sens pentru orice $\displaystyle x$ real. Verificare: pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle \log_2 4-\log_2 2=2-1=1$ .
$\displaystyle x=1\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, suma cifrelor sale să fie divizibilă cu

\displaystyle 11

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de două cifre sunt de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ , deci numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 99-10+1$ .
$\displaystyle 99-10+1=90$
Suma cifrelor unui număr de două cifre este cel mult $\displaystyle 9+9=18$ și cel puțin $\displaystyle 1$ . Singurul multiplu de $\displaystyle 11$ din acest interval este $\displaystyle 11$ , deci suma cifrelor trebuie să fie egală cu $\displaystyle 11$ .
$\displaystyle a+b=11$
Cifra zecilor $\displaystyle a$ poate fi doar de la $\displaystyle 2$ la $\displaystyle 9$ , deoarece cifra unităților $\displaystyle b$ este cel mult $\displaystyle 9$ . Pentru fiecare $\displaystyle a$ , cifra unităților este $\displaystyle b=11-a$ . Obținem numerele din listă, deci $\displaystyle 8$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 29$ , $\displaystyle 38$ , $\displaystyle 47$ , $\displaystyle 56$ , $\displaystyle 65$ , $\displaystyle 74$ , $\displaystyle 83$ , $\displaystyle 92\text{, deci sunt }8\text{ cazuri favorabile}$
Aplicăm definiția clasică a probabilității, cazuri favorabile pe cazuri posibile, și simplificăm fracția prin $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{8}{90}=\frac{4}{45}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră vectorii

\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}

și

\displaystyle \vec{v}=a\vec{i}-2\vec{j}

, unde

\displaystyle a

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle |\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2

.

Vezi rezolvarea

Adunăm vectorii $\displaystyle \vec{u}$ și $\displaystyle \vec{v}$ , grupând componentele pe $\displaystyle \vec{i}$ și pe $\displaystyle \vec{j}$ : coeficientul lui $\displaystyle \vec{i}$ este $\displaystyle 1+a$ , iar coeficientul lui $\displaystyle \vec{j}$ este $\displaystyle 1-2=-1$ .
$\displaystyle \vec{u}+\vec{v}=(1+a)\vec{i}-\vec{j}$
Pătratul modulului unui vector este suma pătratelor coordonatelor sale. Pentru $\displaystyle \vec{u}+\vec{v}$ obținem $\displaystyle (1+a)^2+(-1)^2$ .
$\displaystyle |\vec{u}+\vec{v}|^2=(1+a)^2+1=a^2+2a+2$
Calculăm pătratul modulului lui $\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}$ , care are coordonatele $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle |\vec{u}|^2=1^2+1^2=2$
Calculăm pătratul modulului lui $\displaystyle \vec{v}=a\vec{i}-2\vec{j}$ , care are coordonatele $\displaystyle a$ și $\displaystyle -2$ .
$\displaystyle |\vec{v}|^2=a^2+(-2)^2=a^2+4$
Înlocuim în egalitatea din enunț: $\displaystyle a^2+2a+2=2+a^2+4$ . Termenii $\displaystyle a^2$ se reduc, rămâne $\displaystyle 2a+2=6$ , adică $\displaystyle 2a=4$ .
$\displaystyle a^2+2a+2=2+a^2+4\Rightarrow 2a=4\text{, deci }a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că, dacă

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

astfel încât

\displaystyle \sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos x

, atunci

\displaystyle x=\frac{\pi}{8}

.

Vezi rezolvarea

Ridicăm la pătrat ambii membri ai egalității $\displaystyle \sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos x$ . Din ecuația dată rezultă că pătratele celor doi membri sunt egale.
$\displaystyle (\sin x+\cos x)^2=2\cos^2 x$
Desfacem pătratul sumei în membrul stâng: $\displaystyle (\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x$ .
$\displaystyle \sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=2\cos^2 x$
Folosim $\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1$ și $\displaystyle 2\sin x\cos x=\sin 2x$ , deci ecuația devine $\displaystyle 1+\sin 2x=2\cos^2 x$ . Atunci $\displaystyle \sin 2x=2\cos^2 x-1$ , iar $\displaystyle 2\cos^2 x-1=\cos 2x$ .
$\displaystyle \sin 2x=\cos 2x$
Arătăm că $\displaystyle \cos 2x\neq 0$ . Dacă $\displaystyle \cos 2x=0$ , atunci și $\displaystyle \sin 2x=0$ , ceea ce este imposibil deoarece $\displaystyle \sin^2 2x+\cos^2 2x=1$ . Împărțind la $\displaystyle \cos 2x$ obținem tangenta.
$\displaystyle \operatorname{tg}2x=1$
Din $\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ rezultă $\displaystyle 2x\in(0,\pi)$ . În acest interval $\displaystyle \operatorname{tg}2x=1$ doar pentru $\displaystyle 2x=\frac{\pi}{4}$ . Deci $\displaystyle x=\frac{\pi}{8}$ .
$\displaystyle 2x=\frac{\pi}{4}\text{, deci }x=\frac{\pi}{8}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 2 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1 \end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases} mx+y+z=1 \\ 2x+(m+1)y+z=2 \\ x+y+(m+1)z=m+1 \end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real. Arătați că

\displaystyle \det(A(0))=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m$ cu $\displaystyle 0$ în matricea $\displaystyle A(m)$ și obținem matricea $\displaystyle A(0)$ , apoi scriem determinantul ei.
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\Rightarrow \det(A(0))=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu semnul plus sunt produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: $\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ și $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1$ .
$\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 1=0+1+2$
Termenii cu semnul minus sunt produsele elementelor de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ , $\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1$ și $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1$ .
$\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1+0\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 1=1+0+2$
Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus și obținem determinantul: $\displaystyle 0+1+2-1-0-2=3-3=0$ .
$\displaystyle \det(A(0))=0+1+2-1-0-2=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 2 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1 \end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases} mx+y+z=1 \\ 2x+(m+1)y+z=2 \\ x+y+(m+1)z=m+1 \end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Demonstrați că, pentru

\displaystyle m=-3

, sistemul de ecuații nu are soluții.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=-3$ în sistem. Coeficienții sunt $\displaystyle m=-3$ și $\displaystyle m+1=-2$ , deci ecuațiile devin: $\displaystyle -3x+y+z=1$ , $\displaystyle 2x-2y+z=2$ , $\displaystyle x+y-2z=-2$ .
$\displaystyle \begin{cases} -3x+y+z=1 \\ 2x-2y+z=2 \\ x+y-2z=-2 \end{cases}$
Presupunem prin reducere la absurd că sistemul are o soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ . Atunci aceasta verifică toate cele trei ecuații.
$\displaystyle \begin{cases} -3x_0+y_0+z_0=1 \\ 2x_0-2y_0+z_0=2 \\ x_0+y_0-2z_0=-2 \end{cases}$
Adunăm cele trei ecuații membru cu membru. Coeficientul lui $\displaystyle x_0$ este $\displaystyle -3+2+1=0$ , al lui $\displaystyle y_0$ este $\displaystyle 1-2+1=0$ , iar al lui $\displaystyle z_0$ este $\displaystyle 1+1-2=0$ .
$\displaystyle 0\cdot x_0+0\cdot y_0+0\cdot z_0=0$
Adunăm și membrii drepți: $\displaystyle 1+2+(-2)=1$ . Așadar, din adunarea ecuațiilor obținem $\displaystyle 0=1$ , o contradicție. Deci presupunerea este falsă și sistemul nu are soluții.
$\displaystyle 0=1\text{, imposibil, deci }$ $\displaystyle \text{sistemul nu are soluții}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 2 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1 \end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases} mx+y+z=1 \\ 2x+(m+1)y+z=2 \\ x+y+(m+1)z=m+1 \end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real. Demonstrați că, pentru orice număr real

\displaystyle m

, sistemul de ecuații are cel mult o soluție.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei sistemului dezvoltându-l după prima linie: $\displaystyle m\left((m+1)^{2}-1\right)-\left(2(m+1)-1\right)+\left(2-(m+1)\right)$ . Prin reducerea termenilor asemenea se obține $\displaystyle m^{3}+2m^{2}-3m$ .
$\displaystyle \det(A(m))=m^{3}+2m^{2}-3m$
Dăm factor comun pe $\displaystyle m$ și descompunem trinomul $\displaystyle m^{2}+2m-3$ , care are rădăcinile $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -3$ .
$\displaystyle \det(A(m))=m(m-1)(m+3)$
Determinantul se anulează doar pentru $\displaystyle m\in\{-3,0,1\}$ . Dacă $\displaystyle \det(A(m))\neq 0$ , sistemul este de tip Cramer și are soluție unică. Rămân de studiat separat cele trei valori ale lui $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \det(A(m))=0\iff m\in\{-3,0,1\}$
Pentru $\displaystyle m=0$ înlocuim în sistem și obținem un sistem cu trei ecuații.
$\displaystyle \begin{cases} y+z=1 \\ 2x+y+z=2 \\ x+y+z=1 \end{cases}$
Scădem prima ecuație din a treia și obținem $\displaystyle x=0$ . Din a doua ecuație rezultă atunci $\displaystyle y+z=2$ , ceea ce contrazice prima ecuație, $\displaystyle y+z=1$ . Deci sistemul nu are soluții.
$\displaystyle x=0$ , $\displaystyle \ y+z=2\text{ și }y+z=1\Rightarrow\text{ fără soluții}$
Pentru $\displaystyle m=1$ înlocuim în sistem.
$\displaystyle \begin{cases} x+y+z=1 \\ 2x+2y+z=2 \\ x+y+2z=2 \end{cases}$
Scădem prima ecuație din a treia și obținem $\displaystyle z=1$ . Atunci prima ecuație dă $\displaystyle x+y=0$ , iar a doua ecuație devine $\displaystyle 2(x+y)+1=2$ , adică $\displaystyle x+y=\dfrac{1}{2}$ . Contradicție, deci sistemul nu are soluții.
$\displaystyle z=1$ , $\displaystyle \ x+y=0\text{ și }x+y=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\text{ fără soluții}$
Concluzie pentru cazurile $\displaystyle m=0$ și $\displaystyle m=1$ : în ambele cazuri sistemul nu are soluții.
$\displaystyle m=0\text{ sau }m=1\Rightarrow\text{ sistemul nu are soluții}$
Pentru $\displaystyle m=-3$ sistemul are ecuațiile $\displaystyle -3x+y+z=1$ , $\displaystyle 2x-2y+z=2$ și $\displaystyle x+y-2z=-2$ . Adunăm cele trei ecuații: coeficienții lui $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ și $\displaystyle z$ se anulează, iar în dreapta obținem $\displaystyle 1+2-2=1$ . Rezultă $\displaystyle 0=1$ , deci sistemul nu are soluții.
$\displaystyle 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=1\Rightarrow 0=1\text{, fără soluții}$
Concluzie: pentru $\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{-3,0,1\}$ determinantul este nenul, deci sistemul are soluție unică. Pentru $\displaystyle m\in\{-3,0,1\}$ sistemul nu are soluții. Prin urmare, pentru orice număr real $\displaystyle m$ , sistemul are cel mult o soluție.
$\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{-3,0,1\}\Rightarrow\det(A(m))\neq 0\text{, soluție unică; }m\in\{-3,0,1\}\Rightarrow\text{ fără soluții; deci cel }$ $\displaystyle \text{mult o soluție}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție

\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2-\frac{1}{2}\overline{z_1}-\frac{1}{2}\overline{z_2}

, unde

\displaystyle \overline{z}

este conjugatul lui

\displaystyle z

.

Arătați că

\displaystyle (1+i)\circ(1-i)=1

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii pentru $\displaystyle z_1=1+i$ și $\displaystyle z_2=1-i$ : $\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2-\dfrac{1}{2}\overline{z_1}-\dfrac{1}{2}\overline{z_2}$ .
$\displaystyle (1+i)\circ(1-i)=(1+i)+(1-i)-\frac{1}{2}\overline{1+i}-\frac{1}{2}\overline{1-i}$
Calculăm conjugații: $\displaystyle \overline{1+i}=1-i$ și $\displaystyle \overline{1-i}=1+i$ . Îi înlocuim în expresie.
$\displaystyle (1+i)\circ(1-i)=1+i+1-i-\frac{1}{2}(1-i)-\frac{1}{2}(1+i)$
Adunăm primii doi termeni: $\displaystyle 1+i+1-i=2$ .
$\displaystyle 1+i+1-i=2$
Desfacem parantezele: $\displaystyle -\dfrac{1}{2}(1-i)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i$ și $\displaystyle -\dfrac{1}{2}(1+i)=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i$ .
$\displaystyle 2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$
Termenii cu $\displaystyle i$ se reduc, iar $\displaystyle 2-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=1$ . Deci $\displaystyle (1+i)\circ(1-i)=1$ .
$\displaystyle (1+i)\circ(1-i)=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție

\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2-\frac{1}{2}\overline{z_1}-\frac{1}{2}\overline{z_2}

, unde

\displaystyle \overline{z}

este conjugatul lui

\displaystyle z

.

Se consideră

\displaystyle H=\{2+bi\mid b\in\mathbb{R}\}

. Arătați că

\displaystyle H

este parte stabilă a lui

\displaystyle \mathbb{C}

în raport cu legea de compoziție „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Pentru a arăta că $\displaystyle H$ este parte stabilă, luăm două elemente oarecare din $\displaystyle H$ și arătăm că rezultatul compunerii lor rămâne în $\displaystyle H$ . Scriem $\displaystyle z_1=2+bi$ și $\displaystyle z_2=2+ci$ , cu $\displaystyle b,c\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle z_1=2+bi$ , $\displaystyle \quad z_2=2+ci$ , $\displaystyle \quad b$ , $\displaystyle c\in\mathbb{R}$
Determinăm conjugatele: $\displaystyle \overline{z_1}=2-bi$ și $\displaystyle \overline{z_2}=2-ci$ .
$\displaystyle \overline{z_1}=2-bi$ , $\displaystyle \quad \overline{z_2}=2-ci$
Înlocuim în definiția legii: $\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2-\dfrac{1}{2}\overline{z_1}-\dfrac{1}{2}\overline{z_2}$ .
$\displaystyle z_1\circ z_2=2+bi+2+ci-\frac{1}{2}(2-bi)-\frac{1}{2}(2-ci)$
Desfacem parantezele: $\displaystyle -\dfrac{1}{2}(2-bi)=-1+\dfrac{1}{2}bi$ și $\displaystyle -\dfrac{1}{2}(2-ci)=-1+\dfrac{1}{2}ci$ . Obținem o sumă în care grupăm separat părțile reale și cele imaginare.
$\displaystyle z_1\circ z_2=4+bi+ci-1+\frac{1}{2}bi-1+\frac{1}{2}ci$
Adunăm termenii reali: $\displaystyle 4-1-1=2$ . Adunăm termenii cu $\displaystyle i$ : $\displaystyle bi+\dfrac{1}{2}bi=\dfrac{3}{2}bi$ și $\displaystyle ci+\dfrac{1}{2}ci=\dfrac{3}{2}ci$ . Rezultă $\displaystyle 2+\dfrac{3}{2}(b+c)i$ .
$\displaystyle z_1\circ z_2=2+\frac{3}{2}(b+c)i$
Deoarece $\displaystyle b,c\in\mathbb{R}$ , numărul $\displaystyle \dfrac{3}{2}(b+c)$ este real, deci $\displaystyle z_1\circ z_2$ are forma $\displaystyle 2+ti$ cu $\displaystyle t\in\mathbb{R}$ , adică aparține lui $\displaystyle H$ . Prin urmare $\displaystyle H$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{C}$ în raport cu legea „ $\displaystyle \circ$ ”.
$\displaystyle z_1\circ z_2=2+\frac{3}{2}(b+c)i\in H\text{, deci }H\text{ este parte stabilă a lui }\mathbb{C}\text{ în raport cu }\circ$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție

\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2-\frac{1}{2}\overline{z_1}-\frac{1}{2}\overline{z_2}

, unde

\displaystyle \overline{z}

este conjugatul lui

\displaystyle z

.

Se consideră numărul complex

\displaystyle z_0

. Arătați că există o infinitate de numere complexe

\displaystyle z

cu proprietatea că numărul

\displaystyle z_0\circ z

este real.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle z_0=a+ib$ , cu $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ . Atunci $\displaystyle \overline{z_0}=a-ib$ .
$\displaystyle z_0=a+ib$ , $\displaystyle \ \overline{z_0}=a-ib$ , $\displaystyle \ a$ , $\displaystyle b\in\mathbb{R}$
Alegem $\displaystyle z=x-ib$ , cu $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , adică partea imaginară a lui $\displaystyle z$ este opusa celei a lui $\displaystyle z_0$ . Atunci $\displaystyle \overline{z}=x+ib$ .
$\displaystyle z=x-ib$ , $\displaystyle \ \overline{z}=x+ib$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$
Înlocuim în definiția legii: $\displaystyle z_0\circ z=z_0+z-\frac{1}{2}\overline{z_0}-\frac{1}{2}\overline{z}$ .
$\displaystyle z_0\circ z=a+ib+x-ib-\frac{1}{2}(a-ib)-\frac{1}{2}(x+ib)$
În suma $\displaystyle a+ib+x-ib$ termenii $\displaystyle ib$ și $\displaystyle -ib$ se reduc, deci rămâne $\displaystyle a+x$ . Apoi $\displaystyle -\frac{1}{2}(a-ib)-\frac{1}{2}(x+ib)=-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}ib-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}ib=-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}x$ .
$\displaystyle z_0\circ z=a+x-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}x$
Adunăm termenii asemenea: $\displaystyle a-\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}a$ și $\displaystyle x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$ . Numărul $\displaystyle \frac{1}{2}a+\frac{1}{2}x$ este real pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , iar mulțimea $\displaystyle \mathbb{R}$ este infinită, deci există o infinitate de numere $\displaystyle z=x-ib$ cu $\displaystyle z_0\circ z$ real.
$\displaystyle z_0\circ z=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}x\in\mathbb{R}\text{, deci există o }$ $\displaystyle \text{infinitate de numere }$ $\displaystyle \text{complexe }z\text{ cu }z_0\circ z\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt[3]{\left(x^3-3x+2\right)^2}}

,

\displaystyle x\in(1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Scriem radicalul de ordin 3 ca putere cu exponent $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ , ca să putem aplica formula de derivare a unei puteri compuse: $\displaystyle f(x)=\left(x^3-3x+2\right)^{\frac{1}{3}}$ .
$\displaystyle f(x)=\left(x^3-3x+2\right)^{\frac{1}{3}}$
Aplicăm formula $\displaystyle \left(u^{\alpha}\right)'=\alpha\, u^{\alpha-1}\cdot u'$ , cu $\displaystyle u=x^3-3x+2$ și $\displaystyle \alpha=\dfrac{1}{3}$ . Avem $\displaystyle u'=3x^2-3$ , iar exponentul devine $\displaystyle \dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{3}\left(x^3-3x+2\right)^{-\frac{2}{3}}\left(3x^2-3\right)$
Dăm factor comun pe 3: $\displaystyle 3x^2-3=3\left(x^2-1\right)$ . Puterea negativă trece la numitor: $\displaystyle \left(x^3-3x+2\right)^{-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(x^3-3x+2\right)^2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\left(x^2-1\right)}{\sqrt[3]{\left(x^3-3x+2\right)^2}}$
Simplificăm cu $\displaystyle 3$ și descompunem diferența de pătrate $\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Obținem exact egalitatea cerută, pentru $\displaystyle x\in(1,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt[3]{\left(x^3-3x+2\right)^2}}\text{, }x\in(1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}

.

Vezi rezolvarea

Domeniul funcției este $\displaystyle (1,+\infty)$ , deci limita în $\displaystyle x=1$ se calculează doar pentru $\displaystyle x>1$ . Scriem limita cerută cu expresia lui $\displaystyle f(x)$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\frac{\sqrt[3]{x^3-3x+2}}{x-1}$
Observăm că $\displaystyle x=1$ este rădăcină a polinomului de sub radical, deoarece $\displaystyle 1-3+2=0$ . Împărțim polinomul la $\displaystyle x-1$ și obținem câtul $\displaystyle x^2+x-2$ .
$\displaystyle x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)$
Câtul $\displaystyle x^2+x-2$ are rădăcinile $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -2$ , deci se descompune ca $\displaystyle (x-1)(x+2)$ . Polinomul de sub radical devine $\displaystyle (x-1)^2(x+2)$ .
$\displaystyle x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$
Scriem numitorul $\displaystyle x-1$ ca $\displaystyle \sqrt[3]{(x-1)^3}$ , ceea ce se poate pentru orice $\displaystyle x$ real, și introducem totul sub un singur radical.
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\sqrt[3]{\frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^3}}$
Simplificăm fracția de sub radical cu $\displaystyle (x-1)^2$ , care este nenul pentru $\displaystyle x>1$ .
$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^3}}=\sqrt[3]{\frac{x+2}{x-1}}$
Când $\displaystyle x\to 1$ , $\displaystyle x>1$ , numărătorul $\displaystyle x+2$ tinde la $\displaystyle 3$ , iar numitorul $\displaystyle x-1$ tinde la $\displaystyle 0$ prin valori pozitive. Fracția tinde deci la $\displaystyle +\infty$ , iar radicalul de ordin 3 al ei tinde tot la $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\sqrt[3]{\frac{x+2}{x-1}}=+\infty$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}

.

Arătați că, pentru orice

\displaystyle a\in(0,+\infty)

, ecuația

\displaystyle f(x)=a

are soluție unică.

Vezi rezolvarea

Descompunem expresia de sub radical: $\displaystyle x^{3}-3x+2=(x-1)^{2}(x+2)$ . Pentru $\displaystyle x>1$ ea este strict pozitivă, deci funcția este bine definită și derivabilă pe $\displaystyle (1,+\infty)$ .
$\displaystyle x^{3}-3x+2=(x-1)^{2}(x+2)>0\text{, pentru }x>1$
Calculăm derivata, scriind $\displaystyle f(x)=(x^{3}-3x+2)^{\frac{1}{3}}$ : $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{3}(x^{3}-3x+2)^{-\frac{2}{3}}\cdot(3x^{2}-3)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-1}{\sqrt[3]{(x^{3}-3x+2)^{2}}}$
Stabilim semnul derivatei. Pentru $\displaystyle x>1$ avem $\displaystyle x^{2}-1>0$ , iar numitorul este pozitiv, pentru că $\displaystyle x^{3}-3x+2>0$ . Deci $\displaystyle f'(x)>0$ pe $\displaystyle (1,+\infty)$ , adică $\displaystyle f$ este strict crescătoare, deci injectivă.
$\displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\Rightarrow f\text{ strict crescătoare, deci }$ $\displaystyle \text{injectivă}$
Calculăm limita în $\displaystyle 1$ : când $\displaystyle x\to1$ , avem $\displaystyle x^{3}-3x+2=(x-1)^{2}(x+2)\to0$ , deci $\displaystyle \sqrt[3]{x^{3}-3x+2}\to0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=0$
Calculăm limita în $\displaystyle +\infty$ : dăm factor comun $\displaystyle x^{3}$ sub radical și obținem $\displaystyle f(x)=x\sqrt[3]{1-\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}}$ . Radicalul tinde la $\displaystyle 1$ , iar $\displaystyle x\to+\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă, fiind compunere de funcții elementare, și strict crescătoare, deci ia toate valorile din intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$ , cuprinse între limitele de la capete (proprietatea lui Darboux). Astfel, pentru orice $\displaystyle a\in(0,+\infty)$ , ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție, iar din injectivitate are cel mult una. Deci soluția este unică.
$\displaystyle f\text{ continuă, }f((1,+\infty))=(0,+\infty)\text{ și }f\text{ injectivă}\Rightarrow f(x)=a\text{ are soluție unică, pentru }$ $\displaystyle \text{orice }a\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\left(x^2+2\right)e^{-x}

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^4 e^x f(x)\,dx=27

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\left(x^2+2\right)e^{-x}$ în produs: $\displaystyle e^x f(x)=e^x\left(x^2+2\right)e^{-x}$ . Cum $\displaystyle e^x\cdot e^{-x}=1$ , rămâne un polinom.
$\displaystyle e^x f(x)=x^2+2$
Integrala devine $\displaystyle \int_1^4 \left(x^2+2\right)dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle x^2$ este $\displaystyle \dfrac{x^3}{3}$ , iar a lui $\displaystyle 2$ este $\displaystyle 2x$ .
$\displaystyle \int_1^4 e^x f(x)\,dx=\int_1^4\left(x^2+2\right)dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}+2x\right)\right|_1^4$
Calculăm primitiva în $\displaystyle 4$ și în $\displaystyle 1$ și scădem: $\displaystyle \dfrac{4^3}{3}+2\cdot 4-\left(\dfrac{1^3}{3}+2\cdot 1\right)$ .
$\displaystyle \frac{64}{3}+8-\frac{1}{3}-2$
Grupăm: $\displaystyle \dfrac{64}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{63}{3}=21$ și $\displaystyle 8-2=6$ . Rezultă $\displaystyle 21+6=27$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \frac{64}{3}-\frac{1}{3}+8-2=21+6=27$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\left(x^2+2\right)e^{-x}

.

Calculați

\displaystyle \int_1^e f(\ln x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle \ln x$ în expresia funcției: $\displaystyle f(\ln x)=\left(\ln^{2} x+2\right)e^{-\ln x}$ .
$\displaystyle f(\ln x)=\left(\ln^{2} x+2\right)e^{-\ln x}$
Folosim $\displaystyle e^{\ln x}=x$ , deci $\displaystyle e^{-\ln x}=\dfrac{1}{x}$ . Integrala devine $\displaystyle \int_1^e \dfrac{1}{x}\left(\ln^{2} x+2\right)dx$ .
$\displaystyle \int_1^e f(\ln x)\,dx=\int_1^e\frac{\ln^{2} x+2}{e^{\ln x}}\,dx=\int_1^e\frac{1}{x}\left(\ln^{2} x+2\right)dx$
Observăm că $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ , deci cu $\displaystyle u=\ln x$ avem integrala de forma $\displaystyle u^{2}u'+2u'$ . O primitivă este $\displaystyle \dfrac{1}{3}\ln^{3} x+2\ln x$ .
$\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}\left(\ln^{2} x+2\right)dx=\left.\left(\frac{1}{3}\ln^{3} x+2\ln x\right)\right|_1^e$
Aplicăm formula Leibniz-Newton, cu $\displaystyle \ln e=1$ și $\displaystyle \ln 1=0$ : $\displaystyle \dfrac{1}{3}\ln^{3} e+2\ln e-\dfrac{1}{3}\ln^{3} 1-2\ln 1=\dfrac{1}{3}+2-0$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}\ln^{3} e+2\ln e-\frac{1}{3}\ln^{3} 1-2\ln 1=\frac{1}{3}+2$
Adunăm: $\displaystyle \dfrac{1}{3}+2=\dfrac{7}{3}$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\left(x^2+2\right)e^{-x}

.

Arătați că

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt=2

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ (produs de funcții continue), deci admite primitive. Fie $\displaystyle F$ o primitivă a lui $\displaystyle f$ pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , adică $\displaystyle F'(x)=f(x)$ .
$\displaystyle F'(x)=f(x)$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$
Din formula Leibniz-Newton avem $\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt=F(x)-F(0)$ . Înlocuim în limita dată.
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt=\lim_{x\to 0}\frac{F(x)-F(0)}{x}$
Limita $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{F(x)-F(0)}{x}$ este definiția derivatei $\displaystyle F'(0)$ . Cum $\displaystyle F'=f$ și $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle 0$ , obținem $\displaystyle F'(0)=f(0)=\lim_{x\to 0}f(x)$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{F(x)-F(0)}{x}=F'(0)=\lim_{x\to 0}f(x)$
Scriem $\displaystyle f(x)=\left(x^2+2\right)e^{-x}=\dfrac{x^2+2}{e^x}$ . Funcția este continuă în $\displaystyle 0$ , deci înlocuim $\displaystyle x=0$ : numărătorul devine $\displaystyle 0^2+2=2$ , iar numitorul $\displaystyle e^0=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^2+2}{e^x}=\frac{0^2+2}{e^0}=\frac{2}{1}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 19: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani