Bac matematică M1 mate-info 2017, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=2+3i\displaystyle z_1 = 2+3i și z2=4−6i\displaystyle z_2 = 4-6i. Numărul z1z2+2z1+z2\displaystyle z_1 z_2 + 2z_1 + z_2 este real. Valoarea sa este:
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z1=2+3i\displaystyle z_1=2+3i și z2=4−6i\displaystyle z_2=4-6i în expresia z1z2+2z1+z2\displaystyle z_1z_2+2z_1+z_2.
    z1z2+2z1+z2=(2+3i)(4−6i)+2(2+3i)+4−6i\displaystyle z_1z_2+2z_1+z_2=(2+3i)(4-6i)+2(2+3i)+4-6i
  2. Calculăm produsul (2+3i)(4−6i)\displaystyle (2+3i)(4-6i) prin distributivitate și folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1.
    (2+3i)(4−6i)=8−12i+12i−18i2=8+18=26\displaystyle (2+3i)(4-6i)=8-12i+12i-18i^2=8+18=26
  3. Calculăm 2z1=2(2+3i)\displaystyle 2z_1=2(2+3i).
    2(2+3i)=4+6i\displaystyle 2(2+3i)=4+6i
  4. Adunăm cei trei termeni: părțile imaginare 6i\displaystyle 6i și −6i\displaystyle -6i se reduc, iar părțile reale se adună. Rezultatul 34\displaystyle 34 este un număr real.
    8−12i+12i−18i2+4+6i+4−6i=26+4+6i+4−6i=34, care este numa˘r real\displaystyle 8-12i+12i-18i^2+4+6i+4-6i=26+4+6i+4-6i=34\text{, care este număr real}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați (f∘g)(0)\displaystyle (f\circ g)(0), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2+x+1\displaystyle g(x)=x^2+x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Compunerea funcțiilor se definește prin (f∘g)(x)=f(g(x))\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x)). Deci (f∘g)(0)=f(g(0))\displaystyle (f\circ g)(0)=f(g(0)) și trebuie să calculăm mai întâi g(0)\displaystyle g(0).
    (f∘g)(0)=f(g(0))\displaystyle (f\circ g)(0)=f(g(0))
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în g(x)=x2+x+1\displaystyle g(x)=x^2+x+1 și obținem g(0)=02+0+1=1\displaystyle g(0)=0^2+0+1=1.
    g(0)=02+0+1=1\displaystyle g(0)=0^{2}+0+1=1
  3. Aplicăm f\displaystyle f rezultatului: f(g(0))=f(1)\displaystyle f(g(0))=f(1). Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1 și obținem f(1)=2⋅1−1=1\displaystyle f(1)=2\cdot 1-1=1. Așadar (f∘g)(0)=1\displaystyle (f\circ g)(0)=1.
    (f∘g)(0)=f(1)=2⋅1−1=1\displaystyle (f\circ g)(0)=f(1)=2\cdot 1-1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x2−4)=log⁡5(5x−8)\displaystyle \log_5\left(x^2-4\right)=\log_5(5x-8).
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive, adică x2−4>0\displaystyle x^{2}-4>0 și 5x−8>0\displaystyle 5x-8>0.
    x2−4>0 și 5x−8>0\displaystyle x^{2}-4>0\text{ și }5x-8>0
  2. Egalăm argumentele logaritmilor, deoarece logaritmul în baza 5\displaystyle 5 este injectiv: x2−4=5x−8\displaystyle x^{2}-4=5x-8.
    x2−4=5x−8\displaystyle x^{2}-4=5x-8
  3. Mutăm toți termenii în partea stângă și obținem ecuația de gradul II: x2−5x+4=0\displaystyle x^{2}-5x+4=0.
    x2−5x+4=0\displaystyle x^{2}-5x+4=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul II. Discriminantul este Δ=25−16=9\displaystyle \Delta=25-16=9, deci x=5±32\displaystyle x=\dfrac{5\pm 3}{2}.
    x1=1\displaystyle x_{1}=1, x2=4\displaystyle \ x_{2}=4
  5. Verificăm x=1\displaystyle x=1: 5x−8=−3<0\displaystyle 5x-8=-3<0 și x2−4=−3<0\displaystyle x^{2}-4=-3<0. Argumentele sunt negative, deci x=1\displaystyle x=1 nu convine.
    x=1 nu verifica˘ ecuația\displaystyle x=1\text{ nu verifică ecuația}
  6. Verificăm x=4\displaystyle x=4: x2−4=12>0\displaystyle x^{2}-4=12>0 și 5x−8=12>0\displaystyle 5x-8=12>0. Ambele sunt pozitive, deci x=4\displaystyle x=4 convine. Răspuns final: singura soluție este x=4\displaystyle x=4.
    x=1, care nu verifica˘ \displaystyle x=1\text{, care nu verifică }ecuația; x=4, care verifica˘ ecuația\displaystyle \text{ecuația; }x=4\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 7\displaystyle 7.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99. Numărul cazurilor posibile este 99−10+1\displaystyle 99-10+1.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  2. Multiplii de 7\displaystyle 7 de două cifre sunt de forma 7k\displaystyle 7k. Cel mai mic este 14=7⋅2\displaystyle 14=7\cdot 2, iar cel mai mare este 98=7⋅14\displaystyle 98=7\cdot 14, deoarece 7⋅15=105\displaystyle 7\cdot 15=105 are trei cifre.
    k∈{2,3,…,14}\displaystyle k\in\{2,3,\ldots,14\}
  3. Numărul cazurilor favorabile este numărul valorilor lui k\displaystyle k, adică 14−2+1\displaystyle 14-2+1.
    14−2+1=13\displaystyle 14-2+1=13
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=1390\displaystyle p=\frac{13}{90}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreapta d\displaystyle d de ecuație y=3x−2017\displaystyle y=3x-2017 și punctul A(1,0)\displaystyle A(1,0). Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A\displaystyle A la dreapta d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta d\displaystyle d are ecuația y=3x−2017\displaystyle y=3x-2017, scrisă sub forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n. Coeficientul lui x\displaystyle x este panta, deci md=3\displaystyle m_d=3.
    md=3\displaystyle m_d=3
  2. Dreptele paralele au aceeași pantă, deci paralela dusă prin A\displaystyle A la d\displaystyle d are panta m=md\displaystyle m=m_d.
    m=3\displaystyle m=3
  3. Folosim formula dreptei de pantă m\displaystyle m prin punctul A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A): y−yA=m(x−xA)\displaystyle y-y_A=m(x-x_A). Cu A(1,0)\displaystyle A(1,0) și m=3\displaystyle m=3 obținem y−0=3(x−1)\displaystyle y-0=3(x-1).
    y−0=3(x−1)\displaystyle y-0=3(x-1)
  4. Desfacem parantezele: y=3x−3\displaystyle y=3x-3. Verificare: pentru x=1\displaystyle x=1 obținem y=3⋅1−3=0\displaystyle y=3\cdot 1-3=0, deci punctul A(1,0)\displaystyle A(1,0) se află pe dreaptă.
    y=3x−3\displaystyle y=3x-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡(π2+x)sin⁡x+cos⁡(π2+x)cos⁡x=0\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\sin x+\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\cos x=0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că expresia are forma cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\displaystyle \cos a\cos b+\sin a\sin b, adică dezvoltarea lui cos⁡(a−b)\displaystyle \cos(a-b), cu a=π2+x\displaystyle a=\dfrac{\pi}{2}+x și b=x\displaystyle b=x.
    cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=cos⁡(a−b)\displaystyle \cos a\cos b+\sin a\sin b=\cos(a-b)
  2. Rearanjăm termenii: cos⁡(π2+x)cos⁡x+sin⁡(π2+x)sin⁡x\displaystyle \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\cos x+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\sin x și aplicăm formula cosinusului diferenței.
    cos⁡(π2+x−x)\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}+x-x\right)
  3. Reducem x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în argument și rămâne cos⁡π2\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{2}, care este 0\displaystyle 0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    cos⁡π2=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \cos\frac{\pi}{2}=0\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A(x)=(x000x0001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&0&0\\0&x&0\\0&0&1\end{pmatrix} și B(x)=(00x0x0200)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}0&0&x\\0&x&0\\2&0&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Calculați det⁡(A(2))\displaystyle \det(A(2)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(2)\displaystyle A(2), care are pe diagonală elementele 2\displaystyle 2, 2\displaystyle 2, 1\displaystyle 1, iar în rest zerouri.
    A(2)=(200020001)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2).
    det⁡(A(2))=∣200020001∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{vmatrix}
  3. Matricea este diagonală (toate elementele din afara diagonalei principale sunt 0\displaystyle 0), deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonală: 2⋅2⋅1\displaystyle 2\cdot 2\cdot 1.
    det⁡(A(2))=2⋅2⋅1=4\displaystyle \det(A(2))=2\cdot 2\cdot 1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A(x)=(x000x0001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&0&0\\0&x&0\\0&0&1\end{pmatrix} și B(x)=(00x0x0200)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}0&0&x\\0&x&0\\2&0&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(x)+B(x))=det⁡(B(x))\displaystyle \det(A(x)+B(x))=\det(B(x)), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele element cu element: pe diagonală obținem x+0\displaystyle x+0, x+x\displaystyle x+x, 1+0\displaystyle 1+0, iar pe pozițiile (1,3)\displaystyle (1,3) și (3,1)\displaystyle (3,1) obținem x\displaystyle x și 2\displaystyle 2.
    A(x)+B(x)=(x0x02x0201)\displaystyle A(x)+B(x)=\begin{pmatrix}x&0&x\\0&2x&0\\2&0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul sumei cu regula lui Sarrus. Termenii cu semnul plus sunt produsul de pe diagonala principală și cei doi produși paraleli cu ea, iar cei cu semnul minus sunt produsul de pe diagonala secundară și cei doi produși paraleli cu ea. Singurii produși nenuli sunt x⋅2x⋅1\displaystyle x\cdot 2x\cdot 1 (plus) și x⋅2x⋅2\displaystyle x\cdot 2x\cdot 2 (minus).
    det⁡(A(x)+B(x))=∣x0x02x0201∣=2x2−4x2\displaystyle \det(A(x)+B(x))=\begin{vmatrix}x&0&x\\0&2x&0\\2&0&1\end{vmatrix}=2x^2-4x^2
  3. Reducem termenii asemenea: 2x2−4x2=−2x2\displaystyle 2x^2-4x^2=-2x^2.
    det⁡(A(x)+B(x))=−2x2\displaystyle \det(A(x)+B(x))=-2x^2
  4. Calculăm determinantul lui B(x)\displaystyle B(x). În matricea B(x)\displaystyle B(x) singurii termeni nenuli sunt pe diagonala secundară (x\displaystyle x, x\displaystyle x, 2\displaystyle 2), iar produsul lor apare cu semnul minus.
    det⁡(B(x))=∣00x0x0200∣=−x⋅x⋅2=−2x2\displaystyle \det(B(x))=\begin{vmatrix}0&0&x\\0&x&0\\2&0&0\end{vmatrix}=-x\cdot x\cdot 2=-2x^2
  5. Cei doi determinanți sunt egali cu −2x2\displaystyle -2x^2, deci egalitatea cerută are loc pentru orice număr real x\displaystyle x.
    det⁡(A(x)+B(x))=−2x2=det⁡(B(x)), pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det(A(x)+B(x))=-2x^2=\det(B(x))\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A(x)=(x000x0001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&0&0\\0&x&0\\0&0&1\end{pmatrix} și B(x)=(00x0x0200)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}0&0&x\\0&x&0\\2&0&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n și p\displaystyle p, știind că A(n)B(p)=B(3)\displaystyle A(n)B(p)=B(3).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(n)\displaystyle A(n) și B(p)\displaystyle B(p), înlocuind pe x\displaystyle x cu n\displaystyle n, respectiv cu p\displaystyle p.
    A(n)=(n000n0001)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}n&0&0\\0&n&0\\0&0&1\end{pmatrix}, B(p)=(00p0p0200)\displaystyle \ B(p)=\begin{pmatrix}0&0&p\\0&p&0\\2&0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(n)B(p)\displaystyle A(n)B(p), linie cu coloană. Prima linie a lui A(n)\displaystyle A(n) are doar n\displaystyle n pe prima poziție, deci prima linie a produsului este n\displaystyle n ori prima linie a lui B(p)\displaystyle B(p). La fel pentru a doua linie. A treia linie a lui A(n)\displaystyle A(n) are doar 1\displaystyle 1 pe a treia poziție, deci a treia linie a produsului este chiar a treia linie a lui B(p)\displaystyle B(p).
    A(n)B(p)=(00np0np0200)\displaystyle A(n)B(p)=\begin{pmatrix}0&0&np\\0&np&0\\2&0&0\end{pmatrix}
  3. Scriem matricea B(3)\displaystyle B(3), înlocuind x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3, pentru a o compara cu produsul.
    A(n)B(p)=(00np0np0200)\displaystyle A(n)B(p)=\begin{pmatrix}0&0&np\\0&np&0\\2&0&0\end{pmatrix}, B(3)=(003030200)\displaystyle \ B(3)=\begin{pmatrix}0&0&3\\0&3&0\\2&0&0\end{pmatrix}
  4. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Elementele din poziții corespunzătoare dau aceeași condiție: np=3\displaystyle np=3. Celelalte elemente coincid deja.
    np=3\displaystyle np=3
  5. Cum n\displaystyle n și p\displaystyle p sunt numere naturale, ele sunt divizori naturali ai lui 3\displaystyle 3, deci iau valorile 1\displaystyle 1 sau 3\displaystyle 3, cu produsul 3\displaystyle 3. Obținem două perechi.
    n=1\displaystyle n=1, p=3 sau n=3\displaystyle \ p=3\text{ sau }n=3, p=1\displaystyle \ p=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+aX2+8X+3\displaystyle f=X^3+aX^2+8X+3, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f\displaystyle f și punem condiția f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    f(1)=13+a⋅12+8⋅1+3=0\displaystyle f(1)=1^3+a\cdot 1^2+8\cdot 1+3=0
  2. Calculăm puterile și produsele: 13=1\displaystyle 1^3=1, iar a⋅12=a\displaystyle a\cdot 1^2=a. Adunăm numerele: 1+8+3=12\displaystyle 1+8+3=12.
    1+a+8+3=0⇔a+12=0\displaystyle 1+a+8+3=0\Leftrightarrow a+12=0
  3. Rezolvăm ecuația liniară a+12=0\displaystyle a+12=0, scăzând 12\displaystyle 12 din ambii membri.
    a=−12\displaystyle a=-12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+aX2+8X+3\displaystyle f=X^3+aX^2+8X+3, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, dacă a∈(−4,4)\displaystyle a\in(-4,4), atunci polinomul f\displaystyle f nu are toate rădăcinile reale.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile polinomului f\displaystyle f (în mulțimea numerelor complexe). Din relațiile lui Viète pentru f=X3+aX2+8X+3\displaystyle f=X^3+aX^2+8X+3 avem suma rădăcinilor egală cu −a\displaystyle -a și suma produselor luate câte două egală cu 8\displaystyle 8.
    x1+x2+x3=−a\displaystyle x_1+x_2+x_3=-a,x1x2+x1x3+x2x3=8\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=8
  2. Folosim identitatea x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
  3. Înlocuim valorile din relațiile lui Viète: (−a)2−2⋅8=a2−16\displaystyle (-a)^2-2\cdot 8=a^2-16.
    x12+x22+x32=a2−16\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=a^2-16
  4. Din a∈(−4,4)\displaystyle a\in(-4,4) rezultă a2<16\displaystyle a^2<16, deci a2−16<0\displaystyle a^2-16<0.
    a2−16<0\displaystyle a^2-16<0
  5. Dacă x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 ar fi toate reale, atunci x12+x22+x32≥0\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2\ge 0, ceea ce contrazice x12+x22+x32=a2−16<0\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=a^2-16<0. Deci polinomul f\displaystyle f nu are toate rădăcinile reale.
    x12+x22+x32=a2−16<0, deci f nu are toate ra˘da˘cinile \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=a^2-16<0\text{, deci }f\text{ nu are toate rădăcinile }reale\displaystyle \text{reale}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2018+2018x+2\displaystyle f(x)=x^{2018}+2018x+2.

Arătați că f′(x)=2018(x2017+1)\displaystyle f'(x)=2018\left(x^{2017}+1\right), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x2018+2018x+2\displaystyle f(x)=x^{2018}+2018x+2 este o sumă de trei termeni, deci derivata ei este suma derivatelor acestor termeni.
    f′(x)=(x2018)′+(2018x)′+2′\displaystyle f'(x)=\left(x^{2018}\right)'+(2018x)'+2'
  2. Calculăm fiecare derivată. Pentru putere, (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle \left(x^{n}\right)'=n\cdot x^{n-1}, deci (x2018)′=2018x2017\displaystyle \left(x^{2018}\right)'=2018x^{2017}. Pentru funcția liniară, (2018x)′=2018\displaystyle (2018x)'=2018, iar derivata constantei este 2′=0\displaystyle 2'=0.
    (x2018)′=2018x2017\displaystyle \left(x^{2018}\right)'=2018x^{2017}, (2018x)′=2018\displaystyle \ (2018x)'=2018, 2′=0\displaystyle \ 2'=0
  3. Adunăm cele trei derivate: f′(x)=2018x2017+2018+0\displaystyle f'(x)=2018x^{2017}+2018+0. Dăm factor comun pe 2018\displaystyle 2018 și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=2018x2017+2018=2018(x2017+1)\displaystyle f'(x)=2018x^{2017}+2018=2018\left(x^{2017}+1\right), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2018+2018x+2\displaystyle f(x)=x^{2018}+2018x+2.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(a,2020)\displaystyle A(a,2020) aparține tangentei la graficul funcției f\displaystyle f care trece prin punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0 situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de pe grafic de abscisă x=0\displaystyle x=0 are ordonata f(0)\displaystyle f(0). Calculăm: f(0)=02018+2018⋅0+2\displaystyle f(0)=0^{2018}+2018\cdot 0+2.
    f(0)=2\displaystyle f(0)=2
  2. Derivăm: f′(x)=2018x2017+2018\displaystyle f'(x)=2018x^{2017}+2018.
    f′(x)=2018x2017+2018\displaystyle f'(x)=2018x^{2017}+2018
  3. Panta tangentei este f′(0)=2018⋅02017+2018\displaystyle f'(0)=2018\cdot 0^{2017}+2018.
    f′(0)=2018\displaystyle f'(0)=2018
  4. Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0), adică y−2=2018x\displaystyle y-2=2018x, deci y=2018x+2\displaystyle y=2018x+2.
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=2018x+2\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=2018x+2
  5. Punctul A(a,2020)\displaystyle A(a,2020) aparține tangentei, deci înlocuim x=a\displaystyle x=a și y=2020\displaystyle y=2020: 2020=2018a+2\displaystyle 2020=2018a+2. Atunci 2018a=2018\displaystyle 2018a=2018, deci a=1\displaystyle a=1.
    2020=2018a+2⇔a=1\displaystyle 2020=2018a+2\Leftrightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2018+2018x+2\displaystyle f(x)=x^{2018}+2018x+2.

Demonstrați că ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are exact două soluții reale distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Derivata lui x2018\displaystyle x^{2018} este 2018x2017\displaystyle 2018x^{2017}, iar derivata lui 2018x\displaystyle 2018x este 2018\displaystyle 2018, deci f′(x)=2018(x2017+1)\displaystyle f'(x)=2018\left(x^{2017}+1\right).
    f′(x)=2018x2017+2018=2018(x2017+1)\displaystyle f'(x)=2018x^{2017}+2018=2018\left(x^{2017}+1\right)
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Din x2017=−1\displaystyle x^{2017}=-1 rezultă x=−1\displaystyle x=-1, deoarece 2017\displaystyle 2017 este impar și funcția x↦x2017\displaystyle x\mapsto x^{2017} este strict crescătoare.
    f′(x)=0⇔x=−1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1
  3. Stabilim semnul derivatei. Pentru x<−1\displaystyle x<-1 avem x2017<−1\displaystyle x^{2017}<-1, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 și f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1]. Pentru x>−1\displaystyle x>-1 avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este strict crescătoare pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty).
    f↘ pe (−∞,−1]\displaystyle f\searrow\text{ pe }(-\infty,-1],f↗ pe [−1,+∞)\displaystyle \quad f\nearrow\text{ pe }[-1,+\infty)
  4. Calculăm valoarea minimă a funcției, în x=−1\displaystyle x=-1. Deoarece 2018\displaystyle 2018 este par, (−1)2018=1\displaystyle (-1)^{2018}=1.
    f(−1)=1−2018+2=−2015\displaystyle f(-1)=1-2018+2=-2015
  5. Calculăm limitele la capete. Scriem f(x)=x2018(1+2018x2017+2x2018)\displaystyle f(x)=x^{2018}\left(1+\dfrac{2018}{x^{2017}}+\dfrac{2}{x^{2018}}\right); paranteza tinde la 1\displaystyle 1, iar x2018→+∞\displaystyle x^{2018}\to+\infty când x→±∞\displaystyle x\to\pm\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty,lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  6. Concluzionăm. Pe (−∞,−1)\displaystyle (-\infty,-1), f\displaystyle f este continuă, strict descrescătoare, cu valori de la +∞\displaystyle +\infty la −2015<0\displaystyle -2015<0, deci se anulează exact o dată. Pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty), f\displaystyle f este continuă, strict crescătoare, cu valori de la −2015<0\displaystyle -2015<0 la +∞\displaystyle +\infty, deci se anulează exact o dată. Soluțiile sunt în intervale disjuncte, deci sunt distincte, iar ecuația nu are alte soluții.
    lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, f(−1)=−2015\displaystyle \ f(-1)=-2015, lim⁡x→+∞f(x)=+∞, deci ecuația f(x)=0 are exact doua˘ soluții \displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\text{, deci ecuația }f(x)=0\text{ are exact două soluții }reale distincte\displaystyle \text{reale distincte}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xnx2+2x+2 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x^2+2x+2}\,dx.

Calculați ∫01(x2+2x+2)dx\displaystyle \int_0^1\left(x^2+2x+2\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Integrala unei sume este suma integralelor, deci integrăm fiecare termen separat: x2\displaystyle x^{2}, 2x\displaystyle 2x și constanta 2\displaystyle 2.
    ∫01x2 dx+∫012x dx+∫012 dx\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx+\int_0^1 2x\,dx+\int_0^1 2\,dx
  2. Folosim formula ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, apoi primitiva lui 2x\displaystyle 2x este 2⋅x22\displaystyle 2\cdot\dfrac{x^{2}}{2}, iar primitiva lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x. Obținem o primitivă a funcției și o evaluăm între limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    (x33+2⋅x22+2x)∣01\displaystyle \left(\frac{x^{3}}{3}+2\cdot\frac{x^{2}}{2}+2x\right)\Big|_0^1
  3. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în primitivă. Pentru x=0\displaystyle x=0 toți termenii sunt 0\displaystyle 0, deci scădem 0\displaystyle 0.
    13+1+2−0\displaystyle \frac{1}{3}+1+2-0
  4. Adunăm cei trei termeni: 1+2=3\displaystyle 1+2=3, iar 3+13=103\displaystyle 3+\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}. Deci integrala este 103\displaystyle \dfrac{10}{3}.
    13+1+2=103\displaystyle \frac{1}{3}+1+2=\frac{10}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xnx2+2x+2 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x^2+2x+2}\,dx.

Demonstrați că In+1+2In+2In−1=1n\displaystyle I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}=\frac{1}{n}, pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\ge 2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fiecare dintre cele trei integrale cu definiția lui In\displaystyle I_n. Pentru n≥2\displaystyle n\ge 2, indicele n−1\displaystyle n-1 este cel puțin 1\displaystyle 1, deci toate cele trei numere sunt definite. Ele au același numitor x2+2x+2\displaystyle x^2+2x+2 și aceleași limite de integrare.
    In+1=∫01xn+1x2+2x+2 dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x^2+2x+2}\,dx,In=∫01xnx2+2x+2 dx\displaystyle \quad I_n=\int_0^1\frac{x^{n}}{x^2+2x+2}\,dx,In−1=∫01xn−1x2+2x+2 dx\displaystyle \quad I_{n-1}=\int_0^1\frac{x^{n-1}}{x^2+2x+2}\,dx
  2. Folosind liniaritatea integralei, adunăm integralele In+1\displaystyle I_{n+1}, 2In\displaystyle 2I_n și 2In−1\displaystyle 2I_{n-1} și le scriem sub o singură integrală, cu același numitor.
    In+1+2In+2In−1=∫01xn+1+2xn+2xn−1x2+2x+2 dx\displaystyle I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}=\int_0^1\frac{x^{n+1}+2x^n+2x^{n-1}}{x^2+2x+2}\,dx
  3. Dăm factor comun xn−1\displaystyle x^{n-1} la numărător: din xn+1\displaystyle x^{n+1} rămâne x2\displaystyle x^2, din 2xn\displaystyle 2x^n rămâne 2x\displaystyle 2x, iar din 2xn−1\displaystyle 2x^{n-1} rămâne 2\displaystyle 2. Obținem exact numitorul x2+2x+2\displaystyle x^2+2x+2.
    xn+1+2xn+2xn−1=xn−1(x2+2x+2)\displaystyle x^{n+1}+2x^n+2x^{n-1}=x^{n-1}\left(x^2+2x+2\right)
  4. Simplificăm fracția cu x2+2x+2\displaystyle x^2+2x+2, care este nenul pe [0,1]\displaystyle [0,1] (are discriminantul negativ). Rămâne de integrat o putere a lui x\displaystyle x.
    ∫01xn−1(x2+2x+2)x2+2x+2 dx=∫01xn−1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{x^{n-1}\left(x^2+2x+2\right)}{x^2+2x+2}\,dx=\int_0^1x^{n-1}\,dx
  5. Calculăm integrala cu primitiva xnn\displaystyle \dfrac{x^n}{n} și aplicăm formula Leibniz-Newton: 1nn−0nn=1n\displaystyle \dfrac{1^n}{n}-\dfrac{0^n}{n}=\dfrac{1}{n}, pentru orice număr natural n≥2\displaystyle n\ge 2. Deci relația este demonstrată.
    ∫01xn−1 dx=xnn∣01=1n, deci In+1+2In+2In−1=1n, pentru orice n≥2\displaystyle \int_0^1x^{n-1}\,dx=\frac{x^n}{n}\Big|_0^1=\frac{1}{n}\text{, deci }I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}=\frac{1}{n}\text{, pentru orice }n\ge 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xnx2+2x+2 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x^2+2x+2}\,dx.

Demonstrați că lim⁡n→+∞nIn=15\displaystyle \lim_{n\to+\infty}nI_n=\frac{1}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Arătăm că șirul este descrescător. Calculăm diferența In+1−In\displaystyle I_{n+1}-I_n sub o singură integrală și dăm factor comun xn\displaystyle x^n. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem xn≥0\displaystyle x^n\ge 0, x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, iar numitorul x2+2x+2\displaystyle x^2+2x+2 este strict pozitiv. Integrandul este deci negativ sau zero, deci In+1≤In\displaystyle I_{n+1}\le I_n.
    In+1−In=∫01xn(x−1)x2+2x+2 dx≤0, deci In+1≤In\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\frac{x^n(x-1)}{x^2+2x+2}\,dx\le 0\text{, deci }I_{n+1}\le I_n
  2. Găsim o relație de recurență. Pentru n≥2\displaystyle n\ge 2 adunăm In+1\displaystyle I_{n+1}, de două ori In\displaystyle I_n și de două ori In−1\displaystyle I_{n-1}. Sub integrală apare xn−1(x2+2x+2)\displaystyle x^{n-1}\left(x^2+2x+2\right), care se simplifică cu numitorul. Rămâne integrala lui xn−1\displaystyle x^{n-1} pe [0,1]\displaystyle [0,1], adică 1n\displaystyle \dfrac{1}{n}.
    In+1+2In+2In−1=∫01xn−1(x2+2x+2)x2+2x+2 dx=∫01xn−1 dx=1n\displaystyle I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}=\int_0^1\frac{x^{n-1}(x^2+2x+2)}{x^2+2x+2}\,dx=\int_0^1 x^{n-1}\,dx=\frac{1}{n}
  3. Încadrăm suma din pasul 2 folosind monotonia din pasul 1. Din In+1≤In≤In−1\displaystyle I_{n+1}\le I_n\le I_{n-1} rezultă că suma este cel puțin 5In+1\displaystyle 5I_{n+1} (înlocuim In\displaystyle I_n și In−1\displaystyle I_{n-1} cu In+1\displaystyle I_{n+1}) și cel mult 5In−1\displaystyle 5I_{n-1} (înlocuim In+1\displaystyle I_{n+1} și In\displaystyle I_n cu In−1\displaystyle I_{n-1}). Cum suma este 1n\displaystyle \dfrac{1}{n}, obținem inegalitatea dublă pentru n≥2\displaystyle n\ge 2.
    5In+1≤In+1+2In+2In−1≤5In−1⇒5In+1≤1n≤5In−1, pentru n≥2\displaystyle 5I_{n+1}\le I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1}\le 5I_{n-1}\Rightarrow 5I_{n+1}\le\frac{1}{n}\le 5I_{n-1}\text{, pentru }n\ge 2
  4. Separăm cele două inegalități și ajungem la In\displaystyle I_n. Din 5In+1≤1n\displaystyle 5I_{n+1}\le\dfrac{1}{n}, înlocuind n\displaystyle n cu n−1\displaystyle n-1, obținem In≤15(n−1)\displaystyle I_n\le\dfrac{1}{5(n-1)} pentru n≥3\displaystyle n\ge 3. Din 1n≤5In−1\displaystyle \dfrac{1}{n}\le 5I_{n-1}, înlocuind n\displaystyle n cu n+1\displaystyle n+1, obținem 1n+1≤5In\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\le 5I_n, adică In≥15(n+1)\displaystyle I_n\ge\dfrac{1}{5(n+1)}.
    15(n+1)≤In≤15(n−1), pentru n≥3\displaystyle \frac{1}{5(n+1)}\le I_n\le\frac{1}{5(n-1)}\text{, pentru }n\ge 3
  5. Înmulțim inegalitatea cu n\displaystyle n, care este pozitiv, apoi aplicăm criteriul cleștelui. Cei doi termeni extremi au limita 15\displaystyle \dfrac{1}{5} când n→+∞\displaystyle n\to+\infty, deoarece nn+1\displaystyle \dfrac{n}{n+1} și nn−1\displaystyle \dfrac{n}{n-1} tind la 1\displaystyle 1. Deci nIn\displaystyle nI_n tinde la 15\displaystyle \dfrac{1}{5}.
    n5(n+1)≤nIn≤n5(n−1), deci lim⁡n→+∞nIn=15\displaystyle \frac{n}{5(n+1)}\le nI_n\le\frac{n}{5(n-1)}\text{, deci }\lim_{n\to+\infty}nI_n=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.