Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 6: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați partea reală a numărului complex z=(1+i3)2−(1−i3)2\displaystyle z=\left(1+i\sqrt{3}\right)^2-\left(1-i\sqrt{3}\right)^2.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat folosind formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=1\displaystyle a=1 și b=i3\displaystyle b=i\sqrt{3}.
    (1+i3)2=1+2i3+(i3)2\displaystyle \left(1+i\sqrt{3}\right)^2=1+2i\sqrt{3}+\left(i\sqrt{3}\right)^2
  2. Calculăm (i3)2=i2⋅3=−3\displaystyle \left(i\sqrt{3}\right)^2=i^2\cdot 3=-3, deoarece i2=−1\displaystyle i^2=-1. Primul pătrat devine −2+2i3\displaystyle -2+2i\sqrt{3}.
    (1+i3)2=1+2i3−3=−2+2i3\displaystyle \left(1+i\sqrt{3}\right)^2=1+2i\sqrt{3}-3=-2+2i\sqrt{3}
  3. Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. Pătratul lui i3\displaystyle i\sqrt{3} este tot −3\displaystyle -3.
    (1−i3)2=1−2i3−3=−2−2i3\displaystyle \left(1-i\sqrt{3}\right)^2=1-2i\sqrt{3}-3=-2-2i\sqrt{3}
  4. Scădem cele două rezultate: termenii reali −2\displaystyle -2 se reduc, iar părțile imaginare se adună.
    z=(−2+2i3)−(−2−2i3)=4i3\displaystyle z=\left(-2+2i\sqrt{3}\right)-\left(-2-2i\sqrt{3}\right)=4i\sqrt{3}
  5. Numărul z=4i3\displaystyle z=4i\sqrt{3} este pur imaginar, deci partea sa reală este 0\displaystyle 0.
    Re⁡(z)=0\displaystyle \operatorname{Re}(z)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5−2x\displaystyle f(x)=5-2x. Arătați că f(0)⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)⋅f(5)<0\displaystyle f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdot f(5)<0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm valorile funcției în punctele 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, înlocuind x\displaystyle x în formula f(x)=5−2x\displaystyle f(x)=5-2x.
    f(0)=5\displaystyle f(0)=5, f(1)=3\displaystyle \ f(1)=3, f(2)=1\displaystyle \ f(2)=1
  2. Calculăm valorile funcției în punctele 3\displaystyle 3, 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5. Toate sunt negative, deoarece 2x\displaystyle 2x depășește 5\displaystyle 5 pentru x≥3\displaystyle x\ge 3.
    f(3)=−1<0\displaystyle f(3)=-1<0, f(4)=−3<0\displaystyle \ f(4)=-3<0, f(5)=−5<0\displaystyle \ f(5)=-5<0
  3. Factorii f(0)\displaystyle f(0), f(1)\displaystyle f(1), f(2)\displaystyle f(2) sunt pozitivi, iar f(3)\displaystyle f(3), f(4)\displaystyle f(4), f(5)\displaystyle f(5) sunt negativi. Produsul a trei numere pozitive este pozitiv, iar produsul a trei numere negative este negativ. Produsul total este deci pozitiv înmulțit cu negativ, adică negativ.
    f(0)>0\displaystyle f(0)>0, f(1)>0\displaystyle \ f(1)>0, f(2)>0, deci f(0)⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)⋅f(5)<0\displaystyle \ f(2)>0\text{, deci }f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdot f(5)<0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2x+1log⁡2x=2\displaystyle \log_2 x+\dfrac{1}{\log_2 x}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență: x>0\displaystyle x>0 și log⁡2x≠0\displaystyle \log_2 x\neq 0, adică x≠1\displaystyle x\neq 1.
    x∈(0,1)∪(1,∞)\displaystyle x\in(0,1)\cup(1,\infty)
  2. Notăm t=log⁡2x\displaystyle t=\log_2 x, cu t≠0\displaystyle t\neq 0. Ecuația devine t+1t=2\displaystyle t+\dfrac{1}{t}=2.
    t+1t=2\displaystyle t+\dfrac{1}{t}=2
  3. Înmulțim cu t≠0\displaystyle t\neq 0 și obținem t2+1=2t\displaystyle t^{2}+1=2t, deci t2−2t+1=0\displaystyle t^{2}-2t+1=0.
    t2−2t+1=0\displaystyle t^{2}-2t+1=0
  4. Recunoaștem pătratul perfect: (t−1)2=0\displaystyle (t-1)^{2}=0, deci t=1\displaystyle t=1. Revenind la notație, log⁡2x=1\displaystyle \log_2 x=1.
    (log⁡2x−1)2=0⇒log⁡2x=1\displaystyle \left(\log_2 x-1\right)^2=0\Rightarrow\log_2 x=1
  5. Din log⁡2x=1\displaystyle \log_2 x=1 obținem x=21=2\displaystyle x=2^{1}=2. Verificăm condițiile: 2>0\displaystyle 2>0 și 2≠1\displaystyle 2\neq 1. Verificare: 1+11=2\displaystyle 1+\dfrac{1}{1}=2, deci soluția convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}. Determinați numărul de submulțimi cu 3\displaystyle 3 elemente ale lui A\displaystyle A, care conțin exact 2\displaystyle 2 numere impare.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm numerele impare și numerele pare din mulțimea A\displaystyle A. Impare: {1,3,5,7,9}\displaystyle \{1,3,5,7,9\}, adică 5\displaystyle 5 elemente. Pare: {2,4,6,8,10}\displaystyle \{2,4,6,8,10\}, adică 5\displaystyle 5 elemente.
    5 impare și 5 pare\displaystyle 5\text{ impare și }5\text{ pare}
  2. O submulțime cu 3\displaystyle 3 elemente care conține exact 2\displaystyle 2 numere impare are 2\displaystyle 2 elemente impare și 1\displaystyle 1 element par. Alegem separat cele două numere impare dintre cele 5\displaystyle 5 și numărul par dintre cele 5\displaystyle 5, apoi înmulțim numerele de moduri: C52⋅C51\displaystyle C_5^2\cdot C_5^1.
    C52⋅C51\displaystyle C_5^2\cdot C_5^1
  3. Calculăm combinările: C52=5⋅42=10\displaystyle C_5^2=\dfrac{5\cdot 4}{2}=10 și C51=5\displaystyle C_5^1=5.
    C52=10\displaystyle C_5^2=10, C51=5\displaystyle \ C_5^1=5
  4. Înmulțim: 5⋅42⋅5=10⋅5=50\displaystyle \dfrac{5\cdot 4}{2}\cdot 5=10\cdot 5=50. Deci există 50\displaystyle 50 de submulțimi cu proprietatea cerută.
    5⋅42⋅5=50\displaystyle \dfrac{5\cdot 4}{2}\cdot 5=50
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC și punctele M\displaystyle M, N\displaystyle N și P\displaystyle P astfel încât AM→=2AB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}, BN→=2BC→\displaystyle \overrightarrow{BN}=2\overrightarrow{BC} și CP→=2CA→\displaystyle \overrightarrow{CP}=2\overrightarrow{CA}. Știind că O\displaystyle O este un punct oarecare din plan, arătați că OM→+ON→+OP→=OA→+OB→+OC→\displaystyle \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fiecare vector cu regula triunghiului: OM→=OA→+AM→\displaystyle \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}, ON→=OB→+BN→\displaystyle \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BN} și OP→=OC→+CP→\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}.
    OM→+ON→+OP→=OA→+AM→+OB→+BN→+OC→+CP→\displaystyle \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}
  2. Înlocuim AM→=2AB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}, BN→=2BC→\displaystyle \overrightarrow{BN}=2\overrightarrow{BC} și CP→=2CA→\displaystyle \overrightarrow{CP}=2\overrightarrow{CA} în suma obținută.
    OM→+ON→+OP→=OA→+2AB→+OB→+2BC→+OC→+2CA→\displaystyle \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{CA}
  3. Grupăm termenii și dăm factor comun pe 2\displaystyle 2: OA→+OB→+OC→+2(AB→+BC→+CA→)\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right).
    OA→+OB→+OC→+2(AB→+BC→+CA→)\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)
  4. Pe conturul închis al triunghiului, AB→+BC→+CA→=0→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}, deci termenul cu factorul 2\displaystyle 2 dispare și obținem egalitatea cerută.
    OM→+ON→+OP→=OA→+OB→+OC→\displaystyle \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Știind că x∈(π,2π)\displaystyle x\in(\pi,2\pi) și cos⁡2x=13\displaystyle \cos 2x=\dfrac{1}{3}, calculați sin⁡x\displaystyle \sin x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula cos⁡2x=1−2sin⁡2x\displaystyle \cos 2x=1-2\sin^{2}x și înlocuim cos⁡2x\displaystyle \cos 2x cu 13\displaystyle \dfrac{1}{3}.
    1−2sin⁡2x=13\displaystyle 1-2\sin^{2}x=\dfrac{1}{3}
  2. Izolăm termenul cu sin⁡2x\displaystyle \sin^{2}x: 2sin⁡2x=1−13=23\displaystyle 2\sin^{2}x=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}, deci sin⁡2x=13\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{1}{3}.
    sin⁡2x=13\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{1}{3}
  3. Extragem rădăcina pătrată: sin⁡x=±13=±13=±33\displaystyle \sin x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
    sin⁡x=±33\displaystyle \sin x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}
  4. Pentru x∈(π,2π)\displaystyle x\in(\pi,2\pi) sinusul este negativ, deci alegem semnul minus: sin⁡x=−33\displaystyle \sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
    sin⁡x=−33\displaystyle \sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a23a22a5)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2&a&2\\3&a&2\\2&a&5\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+ay+2z=43x+ay+2z=12x+ay+5z=b\displaystyle \begin{cases}2x+ay+2z=4\\3x+ay+2z=1\\2x+ay+5z=b\end{cases}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(1))=−3\displaystyle \det(A(1))=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1).
    det⁡(A(1))=∣212312215∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}2&1&2\\3&1&2\\2&1&5\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt: 2⋅1⋅5\displaystyle 2\cdot 1\cdot 5, 1⋅2⋅2\displaystyle 1\cdot 2\cdot 2 și 2⋅3⋅1\displaystyle 2\cdot 3\cdot 1.
    2⋅1⋅5+1⋅2⋅2+2⋅3⋅1=10+4+6\displaystyle 2\cdot 1\cdot 5+1\cdot 2\cdot 2+2\cdot 3\cdot 1=10+4+6
  3. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei, care se scad, sunt: 2⋅1⋅2\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2, 1⋅3⋅5\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5 și 2⋅1⋅2\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2.
    2⋅1⋅2+1⋅3⋅5+2⋅1⋅2=4+15+4\displaystyle 2\cdot 1\cdot 2+1\cdot 3\cdot 5+2\cdot 1\cdot 2=4+15+4
  4. Scădem suma produselor de pe diagonala secundară din suma produselor de pe diagonala principală și obținem valoarea determinantului.
    det⁡(A(1))=10+6+4−4−4−15=20−23=−3\displaystyle \det(A(1))=10+6+4-4-4-15=20-23=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a23a22a5)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2&a&2\\3&a&2\\2&a&5\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+ay+2z=43x+ay+2z=12x+ay+5z=b\displaystyle \begin{cases}2x+ay+2z=4\\3x+ay+2z=1\\2x+ay+5z=b\end{cases}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Pentru a=−1\displaystyle a=-1 și b=−2\displaystyle b=-2, rezolvați sistemul de ecuații.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=−1\displaystyle a=-1 și b=−2\displaystyle b=-2 sistemul devine {2x−y+2z=43x−y+2z=12x−y+5z=−2\displaystyle \begin{cases}2x-y+2z=4\\3x-y+2z=1\\2x-y+5z=-2\end{cases}, cu matricea A(−1)=(2−123−122−15)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}2&-1&2\\3&-1&2\\2&-1&5\end{pmatrix}.
    A(−1)=(2−123−122−15)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}2&-1&2\\3&-1&2\\2&-1&5\end{pmatrix}
  2. Calculăm det⁡(A(−1))=∣2−123−122−15∣=−10−4−6−(−4)−(−15)−(−4)\displaystyle \det(A(-1))=\begin{vmatrix}2&-1&2\\3&-1&2\\2&-1&5\end{vmatrix}=-10-4-6-(-4)-(-15)-(-4). Rezultă det⁡(A(−1))=3≠0\displaystyle \det(A(-1))=3\neq 0, deci sistemul este compatibil determinat.
    det⁡(A(−1))=3≠0\displaystyle \det(A(-1))=3\neq 0
  3. Scădem prima ecuație din a doua: (3x−y+2z)−(2x−y+2z)=1−4\displaystyle (3x-y+2z)-(2x-y+2z)=1-4, deci x=−3\displaystyle x=-3.
    x=−3\displaystyle x=-3
  4. Scădem prima ecuație din a treia: (2x−y+5z)−(2x−y+2z)=−2−4\displaystyle (2x-y+5z)-(2x-y+2z)=-2-4, adică 3z=−6\displaystyle 3z=-6, deci z=−2\displaystyle z=-2.
    z=−2\displaystyle z=-2
  5. Din prima ecuație, 2⋅(−3)−y+2⋅(−2)=4\displaystyle 2\cdot(-3)-y+2\cdot(-2)=4, adică −10−y=4\displaystyle -10-y=4, deci y=−14\displaystyle y=-14.
    y=−14\displaystyle y=-14
  6. Soluția sistemului este x=−3\displaystyle x=-3, y=−14\displaystyle y=-14, z=−2\displaystyle z=-2.
    x=−3\displaystyle x=-3, y=−14\displaystyle \ y=-14, z=−2\displaystyle \ z=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a23a22a5)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2&a&2\\3&a&2\\2&a&5\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+ay+2z=43x+ay+2z=12x+ay+5z=b\displaystyle \begin{cases}2x+ay+2z=4\\3x+ay+2z=1\\2x+ay+5z=b\end{cases}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care sistemul de ecuații este compatibil nedeterminat.
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute. Pentru a fi compatibil nedeterminat, trebuie ca det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0. Scădem prima linie din a doua și din a treia: L2−L1=(1,0,0)\displaystyle L_2-L_1=(1,0,0) și L3−L1=(0,0,3)\displaystyle L_3-L_1=(0,0,3), apoi dezvoltăm după linia a doua.
    det⁡(A(a))=∣2a2100003∣=−3a\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}2&a&2\\1&0&0\\0&0&3\end{vmatrix}=-3a
  2. Din −3a=0\displaystyle -3a=0 obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    −3a=0⇒a=0\displaystyle -3a=0\Rightarrow a=0
  3. Pentru a=0\displaystyle a=0 termenii cu y\displaystyle y dispar și sistemul devine unul în x\displaystyle x și z\displaystyle z.
    {2x+2z=43x+2z=12x+5z=b\displaystyle \begin{cases}2x+2z=4\\3x+2z=1\\2x+5z=b\end{cases}
  4. Alegem determinantul principal format din coeficienții lui x\displaystyle x și z\displaystyle z din primele două ecuații. Este nenul, deci rangul matricei este 2\displaystyle 2, iar y\displaystyle y este necunoscută secundară.
    ∣2232∣=4−6=−2≠0\displaystyle \begin{vmatrix}2&2\\3&2\end{vmatrix}=4-6=-2\neq 0
  5. Sistemul este compatibil dacă determinantul caracteristic este nul. Îl calculăm dezvoltând după ultima coloană.
    ∣22432125b∣=4b−10−6b+4+44=38−2b\displaystyle \begin{vmatrix}2&2&4\\3&2&1\\2&5&b\end{vmatrix}=4b-10-6b+4+44=38-2b
  6. Din 38−2b=0\displaystyle 38-2b=0 obținem b\displaystyle b. Verificare: din primele două ecuații rezultă x=−3\displaystyle x=-3 și z=5\displaystyle z=5, iar a treia ecuație dă 2⋅(−3)+5⋅5=19\displaystyle 2\cdot(-3)+5\cdot 5=19. Deci sistemul este compatibil nedeterminat pentru a=0\displaystyle a=0 și b=19\displaystyle b=19.
    38−2b=0⇒b=19\displaystyle 38-2b=0\Rightarrow b=19,a=0\displaystyle \quad a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea G=(1,+∞)\displaystyle G=(1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x2y2−x2−y2+2\displaystyle x*y=\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+2}.

Arătați că x∗y=(x2−1)(y2−1)+1\displaystyle x*y=\sqrt{\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)+1}, pentru orice x,y∈G\displaystyle x,y\in G.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru x,y∈G\displaystyle x,y\in G: x∗y=x2y2−x2−y2+2\displaystyle x*y=\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+2}.
    x∗y=x2y2−x2−y2+2\displaystyle x*y=\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+2}
  2. Scriem termenul liber 2\displaystyle 2 ca suma 1+1\displaystyle 1+1, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∗y=x2y2−x2−y2+1+1\displaystyle x*y=\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+1+1}
  3. Grupăm termenii x2y2−x2\displaystyle x^2y^2-x^2 și dăm factor comun x2\displaystyle x^2. Apoi grupăm −y2+1\displaystyle -y^2+1 ca −(y2−1)\displaystyle -\left(y^2-1\right), iar al doilea 1\displaystyle 1 rămâne separat.
    x∗y=x2(y2−1)−(y2−1)+1\displaystyle x*y=\sqrt{x^2\left(y^2-1\right)-\left(y^2-1\right)+1}
  4. Dăm factor comun paranteza y2−1\displaystyle y^2-1 între primii doi termeni și obținem egalitatea cerută, pentru orice x,y∈G\displaystyle x,y\in G.
    x∗y=(x2−1)(y2−1)+1\displaystyle x*y=\sqrt{\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)+1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea G=(1,+∞)\displaystyle G=(1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x2y2−x2−y2+2\displaystyle x*y=\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+2}.

Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că expresia de sub radical se poate scrie factorizat: x2y2−x2−y2+2=(x2−1)(y2−1)+1\displaystyle x^2y^2-x^2-y^2+2=(x^2-1)(y^2-1)+1, deoarece (x2−1)(y2−1)=x2y2−x2−y2+1\displaystyle (x^2-1)(y^2-1)=x^2y^2-x^2-y^2+1.
    x∗y=(x2−1)(y2−1)+1\displaystyle x*y=\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)+1}
  2. Elementul neutru e\displaystyle e trebuie să verifice x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G. Scriem egalitatea: (x2−1)(e2−1)+1=x\displaystyle \sqrt{(x^2-1)(e^2-1)+1}=x.
    (x2−1)(e2−1)+1=x\displaystyle \sqrt{(x^2-1)(e^2-1)+1}=x
  3. Ridicăm la pătrat (ambii membri sunt pozitivi, deoarece x>1\displaystyle x>1): (x2−1)(e2−1)+1=x2\displaystyle (x^2-1)(e^2-1)+1=x^2, adică (x2−1)(e2−1)=x2−1\displaystyle (x^2-1)(e^2-1)=x^2-1.
    (x2−1)(e2−1)=x2−1\displaystyle (x^2-1)(e^2-1)=x^2-1
  4. Deoarece x>1\displaystyle x>1, avem x2−1≠0\displaystyle x^2-1\neq 0, deci putem simplifica: e2−1=1\displaystyle e^2-1=1, adică e2=2\displaystyle e^2=2. Cum e∈G\displaystyle e\in G, adică e>1\displaystyle e>1, rămâne e=2\displaystyle e=\sqrt{2}.
    e2−1=1⇒e=2\displaystyle e^2-1=1\Rightarrow e=\sqrt{2}
  5. Verificăm: 2∗x=(2−1)(x2−1)+1=x2=x\displaystyle \sqrt{2}*x=\sqrt{(2-1)(x^2-1)+1}=\sqrt{x^2}=x, pentru că x>1\displaystyle x>1. Legea fiind comutativă (expresia este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y), avem și x∗2=x\displaystyle x*\sqrt{2}=x. Cum 2∈(1,+∞)\displaystyle \sqrt{2}\in(1,+\infty), elementul neutru este e=2\displaystyle e=\sqrt{2}.
    2∗x=(2−1)(x2−1)+1=x2=x, deci e=2\displaystyle \sqrt{2}*x=\sqrt{(2-1)(x^2-1)+1}=\sqrt{x^2}=x\text{, deci }e=\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea G=(1,+∞)\displaystyle G=(1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x2y2−x2−y2+2\displaystyle x*y=\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+2}.

Știind că (G,∗)\displaystyle (G,*) este grup, demonstrați că funcția f:M→G\displaystyle f:M\to G, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1} este un izomorfism de la grupul (M,⋅)\displaystyle (M,\cdot) la grupul (G,∗)\displaystyle (G,*), unde M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) și „⋅\displaystyle \cdot” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2y2−x2−y2+2=(x2−1)(y2−1)+1\displaystyle x^2y^2-x^2-y^2+2=(x^2-1)(y^2-1)+1, deoarece (x2−1)(y2−1)=x2y2−x2−y2+1\displaystyle (x^2-1)(y^2-1)=x^2y^2-x^2-y^2+1. Deci x∗y=(x2−1)(y2−1)+1\displaystyle x*y=\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)+1}.
    x∗y=(x2−1)(y2−1)+1\displaystyle x*y=\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)+1}
  2. Fie x,y∈M\displaystyle x,y\in M. Cum f2(x)=x+1\displaystyle f^2(x)=x+1 și f2(y)=y+1\displaystyle f^2(y)=y+1, obținem f(x)∗f(y)=(f2(x)−1)(f2(y)−1)+1\displaystyle f(x)*f(y)=\sqrt{\left(f^2(x)-1\right)\left(f^2(y)-1\right)+1}.
    f(x)∗f(y)=(f2(x)−1)(f2(y)−1)+1\displaystyle f(x)*f(y)=\sqrt{\left(f^2(x)-1\right)\left(f^2(y)-1\right)+1}
  3. Înlocuim: (x+1−1)(y+1−1)+1=xy+1\displaystyle \sqrt{(x+1-1)(y+1-1)+1}=\sqrt{xy+1}. Cum xy∈M\displaystyle xy\in M, acesta este f(xy)\displaystyle f(xy). Deci f(xy)=f(x)∗f(y)\displaystyle f(xy)=f(x)*f(y) pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M, adică f\displaystyle f este morfism de grupuri.
    f(x)∗f(y)=xy+1=f(xy)\displaystyle f(x)*f(y)=\sqrt{xy+1}=f(xy)
  4. Funcția f\displaystyle f este continuă pe M\displaystyle M și derivabilă, cu f′(x)=12x+1>0\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}>0 pentru orice x>0\displaystyle x>0. Deci f\displaystyle f este strict crescătoare, deci injectivă.
    f′(x)=12x+1>0\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}>0
  5. Calculăm limitele la capetele lui M\displaystyle M: lim⁡x→0f(x)=1=1\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\sqrt{1}=1 și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. Cum f\displaystyle f este continuă și strict crescătoare, imaginea ei este intervalul (1,+∞)=G\displaystyle (1,+\infty)=G, deci f\displaystyle f este surjectivă. Fiind și injectivă, f\displaystyle f este bijectivă. Împreună cu relația de morfism, f\displaystyle f este izomorfism de la (M,⋅)\displaystyle (M,\cdot) la (G,∗)\displaystyle (G,*).
    lim⁡x→0f(x)=1\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=1, lim⁡x→+∞f(x)=+∞⇒f este bijectiva˘, deci \displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\Rightarrow f\text{ este bijectivă, deci }izomorfism\displaystyle \text{izomorfism}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)e−x\displaystyle f(x)=(x+1)e^{-x}.

Arătați că f′(x)=−xe−x\displaystyle f'(x)=-xe^{-x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs de două funcții: u(x)=x+1\displaystyle u(x)=x+1 și v(x)=e−x\displaystyle v(x)=e^{-x}. Aplicăm formula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x+1)′⋅e−x+(x+1)⋅(e−x)′\displaystyle f'(x)=(x+1)'\cdot e^{-x}+(x+1)\cdot\left(e^{-x}\right)'
  2. Calculăm derivatele: (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1, iar (e−x)′=e−x⋅(−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=e^{-x}\cdot(-x)'=-e^{-x}. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=1⋅e−x+(x+1)e−x⋅(−1)\displaystyle f'(x)=1\cdot e^{-x}+(x+1)e^{-x}\cdot(-1)
  3. Dăm factor comun e−x\displaystyle e^{-x} și reducem termenii din paranteză: 1−(x+1)=1−x−1=−x\displaystyle 1-(x+1)=1-x-1=-x.
    f′(x)=(1−(x+1))e−x=−xe−x\displaystyle f'(x)=\left(1-(x+1)\right)e^{-x}=-xe^{-x}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)e−x\displaystyle f(x)=(x+1)e^{-x}.

Calculați lim⁡n→+∞(f(n))nen(f(n+1))n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{(f(n))^n}{e^n(f(n+1))^n}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(n)\displaystyle f(n) și f(n+1)\displaystyle f(n+1) folosind formula funcției: f(n)=(n+1)e−n\displaystyle f(n)=(n+1)e^{-n}, iar f(n+1)=(n+2)e−(n+1)\displaystyle f(n+1)=(n+2)e^{-(n+1)}.
    f(n)=(n+1)e−n\displaystyle f(n)=(n+1)e^{-n},f(n+1)=(n+2)e−(n+1)\displaystyle \quad f(n+1)=(n+2)e^{-(n+1)}
  2. Punem totul sub o singură putere n\displaystyle n: deoarece en(f(n+1))n=(e f(n+1))n\displaystyle e^n(f(n+1))^n=\left(e\,f(n+1)\right)^n, expresia devine (f(n)e f(n+1))n\displaystyle \left(\dfrac{f(n)}{e\,f(n+1)}\right)^n.
    (f(n))nen(f(n+1))n=((n+1)e−ne(n+2)e−(n+1))n\displaystyle \dfrac{(f(n))^n}{e^n(f(n+1))^n}=\left(\dfrac{(n+1)e^{-n}}{e(n+2)e^{-(n+1)}}\right)^n
  3. Simplificăm puterile lui e\displaystyle e: la numitor e⋅e−(n+1)=e−n\displaystyle e\cdot e^{-(n+1)}=e^{-n}, deci factorii e−n\displaystyle e^{-n} se reduc. Rămâne o fracție ridicată la puterea n\displaystyle n.
    (n+1n+2)n\displaystyle \left(\dfrac{n+1}{n+2}\right)^n
  4. Aducem baza la forma 1+un\displaystyle 1+u_n cu un→0\displaystyle u_n\to 0: n+1n+2=1+−1n+2\displaystyle \dfrac{n+1}{n+2}=1+\dfrac{-1}{n+2}.
    (n+1n+2)n=(1+−1n+2)n\displaystyle \left(\dfrac{n+1}{n+2}\right)^n=\left(1+\dfrac{-1}{n+2}\right)^n
  5. Scriem exponentul ca n=n+2−1⋅−nn+2\displaystyle n=\dfrac{n+2}{-1}\cdot\dfrac{-n}{n+2}, pentru a obține forma limitei remarcabile.
    ((1+−1n+2)n+2−1)−nn+2\displaystyle \left(\left(1+\dfrac{-1}{n+2}\right)^{\frac{n+2}{-1}}\right)^{\frac{-n}{n+2}}
  6. Aplicăm limita remarcabilă lim⁡t→∞(1+1t)t=e\displaystyle \lim_{t\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t=e (aici t=n+2−1→−∞\displaystyle t=\dfrac{n+2}{-1}\to-\infty, limita rămâne e\displaystyle e). Exponentul −nn+2→−1\displaystyle \dfrac{-n}{n+2}\to -1, deci limita este e−1\displaystyle e^{-1}.
    lim⁡n→+∞(n+1n+2)n=e−1=1e\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n+2}\right)^n=e^{-1}=\dfrac{1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)e−x\displaystyle f(x)=(x+1)e^{-x}.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui m\displaystyle m pentru care ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are două soluții reale distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției cu formula produsului: f′(x)=(x+1)′e−x+(x+1)(e−x)′\displaystyle f'(x)=(x+1)'e^{-x}+(x+1)\left(e^{-x}\right)'.
    f′(x)=e−x−(x+1)e−x=−xe−x\displaystyle f'(x)=e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-xe^{-x}
  2. Cum e−x>0\displaystyle e^{-x}>0, semnul lui f′\displaystyle f' este opus semnului lui x\displaystyle x. Deci f\displaystyle f este crescătoare pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] și descrescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), iar maximul este f(0)=1\displaystyle f(0)=1.
    f cresca˘toare pe (−∞,0]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }(-\infty,0], f descresca˘toare pe [0,+∞)\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }[0,+\infty), f(0)=1\displaystyle \ f(0)=1
  3. La −∞\displaystyle -\infty: x+1→−∞\displaystyle x+1\to-\infty și e−x→+∞\displaystyle e^{-x}\to+\infty, deci limita este −∞\displaystyle -\infty. La +∞\displaystyle +\infty scriem f(x)=x+1ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{e^{x}}, caz ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, și aplicăm l'Hôpital: lim⁡x→+∞1ex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{x}}=0.
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞ și lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\text{ și }\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
  4. Pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] funcția crește strict de la −∞\displaystyle -\infty la 1\displaystyle 1, deci ia fiecare valoare din (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1] exact o dată. Pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) scade strict de la 1\displaystyle 1 spre 0\displaystyle 0, iar f(x)=x+1ex>0\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{e^{x}}>0 pentru x>−1\displaystyle x>-1, deci ia fiecare valoare din (0,1]\displaystyle (0,1] exact o dată.
    f((−∞,0])=(−∞,1]\displaystyle f((-\infty,0])=(-\infty,1],f([0,+∞))=(0,1]\displaystyle \quad f([0,+\infty))=(0,1]
  5. Ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are două soluții distincte când m\displaystyle m aparține ambelor imagini, dar m≠1\displaystyle m\neq1, deoarece pentru m=1\displaystyle m=1 singura soluție este x=0\displaystyle x=0. Deci m∈(0,1)\displaystyle m\in(0,1).
    m∈(0,1)\displaystyle m\in(0,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x+1\displaystyle f(x)=x+\dfrac{2}{x+1}.

Arătați că ∫01(f(x)−x) dx=2ln⁡2\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x)\,dx=2\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm diferența f(x)−x\displaystyle f(x)-x, folosind expresia lui f\displaystyle f: f(x)−x=x+2x+1−x\displaystyle f(x)-x=x+\dfrac{2}{x+1}-x. Termenul x\displaystyle x se reduce și rămâne doar fracția 2x+1\displaystyle \dfrac{2}{x+1}.
    f(x)−x=2x+1\displaystyle f(x)-x=\dfrac{2}{x+1}
  2. Înlocuim în integrală: ∫01(f(x)−x) dx=∫012x+1 dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x)\,dx=\int_0^1\dfrac{2}{x+1}\,dx. Primitiva lui 2x+1\displaystyle \dfrac{2}{x+1} este 2ln⁡(x+1)\displaystyle 2\ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01(f(x)−x) dx=∫012x+1 dx=2ln⁡(x+1)∣01\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x)\,dx=\int_0^1\dfrac{2}{x+1}\,dx=2\ln(x+1)\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 minus valoarea în 0\displaystyle 0. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem 2ln⁡2−2ln⁡1=2ln⁡2\displaystyle 2\ln 2-2\ln 1=2\ln 2.
    2ln⁡2−2ln⁡1=2ln⁡2\displaystyle 2\ln 2-2\ln 1=2\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x+1\displaystyle f(x)=x+\dfrac{2}{x+1}.

Calculați ∫1e(f(x)−2x+1)ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\left(f(x)-\dfrac{2}{x+1}\right)\ln x\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+2x+1\displaystyle f(x)=x+\dfrac{2}{x+1} în integrală: f(x)−2x+1=x\displaystyle f(x)-\dfrac{2}{x+1}=x. Termenii cu 2x+1\displaystyle \dfrac{2}{x+1} se reduc, deci integrala devine una cu integrandul xln⁡x\displaystyle x\ln x.
    ∫1e(f(x)−2x+1)ln⁡x dx=∫1exln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\left(f(x)-\dfrac{2}{x+1}\right)\ln x\,dx=\int_1^e x\ln x\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți: alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=x dx\displaystyle dv=x\,dx, deci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx și v=x22\displaystyle v=\dfrac{x^{2}}{2}.
    u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, dv=x dx ⇒ du=1x dx\displaystyle \ dv=x\,dx\ \Rightarrow\ du=\dfrac{1}{x}\,dx, v=x22\displaystyle \ v=\dfrac{x^{2}}{2}
  3. Aplicăm formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e].
    ∫1exln⁡x dx=x22ln⁡x∣1e−∫1ex22⋅1x dx\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx
  4. Calculăm primul termen. Pentru x=e\displaystyle x=e avem ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci termenul este e22⋅1−12⋅0\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}\cdot 1-\dfrac{1}{2}\cdot 0.
    x22ln⁡x∣1e=e22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e=\dfrac{e^{2}}{2}
  5. Simplificăm al doilea termen: x22⋅1x=x2\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{2}, deci integrala este x24∣1e=e2−14\displaystyle \dfrac{x^{2}}{4}\Big|_1^e=\dfrac{e^{2}-1}{4}.
    ∫1ex2 dx=x24∣1e=e2−14\displaystyle \int_1^e\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{x^2}{4}\Big|_1^e=\dfrac{e^{2}-1}{4}
  6. Scădem: e22−e2−14=2e2−e2+14=e2+14\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}-1}{4}=\dfrac{2e^{2}-e^{2}+1}{4}=\dfrac{e^{2}+1}{4}.
    e22−x24∣1e=e2+14\displaystyle \dfrac{e^2}{2}-\dfrac{x^2}{4}\Big|_1^e=\dfrac{e^2+1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x+1\displaystyle f(x)=x+\dfrac{2}{x+1}.

Determinați a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty) pentru care ∫012f(x)F(x) dx=14+ln⁡4+ln⁡2a\displaystyle \int_0^1 2f(x)F(x)\,dx=\dfrac{1}{4}+\ln 4+\ln^2 a, unde F\displaystyle F este primitiva funcției f\displaystyle f pentru care F(0)=0\displaystyle F(0)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm primitivele lui f(x)=x+2x+1\displaystyle f(x)=x+\dfrac{2}{x+1}. Primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar primitiva lui 2x+1\displaystyle \dfrac{2}{x+1} este 2ln⁡(x+1)\displaystyle 2\ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Deci F(x)=x22+2ln⁡(x+1)+c\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+2\ln(x+1)+c.
    F(x)=x22+2ln⁡(x+1)+c\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+2\ln(x+1)+c
  2. Din F(0)=0\displaystyle F(0)=0 avem 02+2ln⁡1+c=0\displaystyle \dfrac{0}{2}+2\ln 1+c=0, deci c=0\displaystyle c=0.
    F(x)=x22+2ln⁡(x+1)\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+2\ln(x+1)
  3. Deoarece F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), avem 2f(x)F(x)=2F(x)F′(x)=(F2(x))′\displaystyle 2f(x)F(x)=2F(x)F'(x)=\left(F^{2}(x)\right)'.
    2f(x)F(x)=(F2(x))′\displaystyle 2f(x)F(x)=\left(F^{2}(x)\right)'
  4. Atunci ∫012f(x)F(x) dx=F2(x)∣01=F2(1)−F2(0)\displaystyle \int_0^1 2f(x)F(x)\,dx=F^{2}(x)\Big|_0^1=F^{2}(1)-F^{2}(0). Avem F(0)=0\displaystyle F(0)=0 și F(1)=12+2ln⁡2\displaystyle F(1)=\dfrac{1}{2}+2\ln 2.
    F2(1)−F2(0)=(12+2ln⁡2)2\displaystyle F^{2}(1)-F^{2}(0)=\left(\dfrac{1}{2}+2\ln 2\right)^{2}
  5. Dezvoltăm: (12+2ln⁡2)2=14+2⋅12⋅2ln⁡2+4ln⁡22\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}+2\ln 2\right)^{2}=\dfrac{1}{4}+2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 2\ln 2+4\ln^{2}2.
    ∫012f(x)F(x) dx=14+2ln⁡2+4ln⁡22\displaystyle \int_0^1 2f(x)F(x)\,dx=\dfrac{1}{4}+2\ln 2+4\ln^{2}2
  6. Egalăm cu membrul drept: 14+2ln⁡2+4ln⁡22=14+ln⁡4+ln⁡2a\displaystyle \dfrac{1}{4}+2\ln 2+4\ln^{2}2=\dfrac{1}{4}+\ln 4+\ln^{2}a. Cum ln⁡4=2ln⁡2\displaystyle \ln 4=2\ln 2, după reducerea termenilor asemenea rămâne ln⁡2a=4ln⁡22\displaystyle \ln^{2}a=4\ln^{2}2.
    ln⁡2a=4ln⁡22\displaystyle \ln^{2}a=4\ln^{2}2
  7. Ecuația ln⁡2a=(2ln⁡2)2\displaystyle \ln^{2}a=(2\ln 2)^{2} dă ln⁡a=2ln⁡2\displaystyle \ln a=2\ln 2 sau ln⁡a=−2ln⁡2\displaystyle \ln a=-2\ln 2. Atunci a=e2ln⁡2=4\displaystyle a=e^{2\ln 2}=4 sau a=e−2ln⁡2=14\displaystyle a=e^{-2\ln 2}=\dfrac{1}{4}. Ambele valori sunt în (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci convin.
    ln⁡a=−2ln⁡2 sau ln⁡a=2ln⁡2, de unde a=14 sau a=4, care convin\displaystyle \ln a=-2\ln 2\text{ sau }\ln a=2\ln 2\text{, de unde }a=\dfrac{1}{4}\text{ sau }a=4\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.