Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 12: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați partea întreagă a numărului a=42\displaystyle a=\frac{4}{\sqrt{2}}.
Vezi rezolvarea
  1. Raționalizăm numitorul: amplificăm fracția cu 2\displaystyle \sqrt{2}. Obținem a=42=422⋅2=422=22\displaystyle a=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.
    a=22\displaystyle a=2\sqrt{2}
  2. Introducem factorul 2\displaystyle 2 sub radical, ca să putem compara numărul cu numere întregi: 22=4⋅2=8\displaystyle 2\sqrt{2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}.
    a=8\displaystyle a=\sqrt{8}
  3. Scriem 2=4\displaystyle 2=\sqrt{4} și 3=9\displaystyle 3=\sqrt{9}. Cum 4<8<9\displaystyle 4<8<9 și funcția radical este strict crescătoare, avem 4<8<9\displaystyle \sqrt{4}<\sqrt{8}<\sqrt{9}.
    2<8<3\displaystyle 2<\sqrt{8}<3
  4. Deci 2<a<3\displaystyle 2<a<3, adică numărul a\displaystyle a se află între doi întregi consecutivi, iar partea sa întreagă este [a]=2\displaystyle [a]=2.
    2<a<3, deci [a]=2\displaystyle 2<a<3\text{, deci }[a]=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+mx+1\displaystyle f(x)=x^2+mx+1, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numerele reale m\displaystyle m, știind că axa Ox\displaystyle Ox este tangentă la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Axa Ox\displaystyle Ox este tangentă graficului funcției de gradul al doilea exact când ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are o singură rădăcină reală (rădăcină dublă), adică atunci când vârful parabolei se află pe axa Ox\displaystyle Ox.
    f(x)=0 are ra˘da˘cina˘ dubla˘\displaystyle f(x)=0\text{ are rădăcină dublă}
  2. Condiția de rădăcină dublă este ca discriminantul ecuației x2+mx+1=0\displaystyle x^2+mx+1=0 să fie egal cu zero.
    Δ=0\displaystyle \Delta=0
  3. Calculăm discriminantul, cu a=1\displaystyle a=1, b=m\displaystyle b=m, c=1\displaystyle c=1: Δ=b2−4ac=m2−4⋅1⋅1\displaystyle \Delta=b^2-4ac=m^2-4\cdot 1\cdot 1.
    Δ=m2−4\displaystyle \Delta=m^2-4
  4. Punem condiția Δ=0\displaystyle \Delta=0 și rezolvăm ecuația: m2−4=0\displaystyle m^2-4=0, deci m2=4\displaystyle m^2=4.
    m2−4=0, deci m=−2 sau m=2\displaystyle m^2-4=0\text{, deci }m=-2\text{ sau }m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x−1)(x+2)=(x+2)x−1\displaystyle \sqrt{(x-1)(x+2)}=(x+2)\sqrt{x-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență. Radicalul din dreapta cere x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0, deci x≥1\displaystyle x\ge 1. Pentru x≥1\displaystyle x\ge 1 avem x+2>0\displaystyle x+2>0, deci și (x−1)(x+2)≥0\displaystyle (x-1)(x+2)\ge 0, iar radicalul din stânga există.
    x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty)
  2. Pentru x≥1\displaystyle x\ge 1, ambii membri ai ecuației sunt pozitivi sau zero, deci putem ridica la pătrat. Obținem (x−1)(x+2)=(x+2)2(x−1)\displaystyle (x-1)(x+2)=(x+2)^{2}(x-1).
    (x−1)(x+2)=(x−1)(x+2)2\displaystyle (x-1)(x+2)=(x-1)(x+2)^{2}
  3. Mutăm tot în membrul stâng și dăm factor comun (x−1)(x+2)\displaystyle (x-1)(x+2): (x−1)(x+2)[(x+2)−1]=0\displaystyle (x-1)(x+2)\left[(x+2)-1\right]=0. Cum (x+2)−1=x+1\displaystyle (x+2)-1=x+1, obținem produsul de trei factori egal cu zero.
    (x−1)(x+2)(x+1)=0\displaystyle (x-1)(x+2)(x+1)=0
  4. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero, deci x−1=0\displaystyle x-1=0 sau x+2=0\displaystyle x+2=0 sau x+1=0\displaystyle x+1=0. Obținem trei valori posibile.
    x∈{−2,−1,1}\displaystyle x\in\{-2,-1,1\}
  5. Verificăm valorile în condiția x≥1\displaystyle x\ge 1. Valorile x=−2\displaystyle x=-2 și x=−1\displaystyle x=-1 nu convin, pentru că x−1\displaystyle \sqrt{x-1} nu există. Valoarea x=1\displaystyle x=1 convine: ambii membri ai ecuației sunt egali cu 0\displaystyle 0. Singura soluție este x=1\displaystyle x=1.
    x=−2, care nu convine; x=−1, care nu convine; x=1, care convine\displaystyle x=-2\text{, care nu convine; }x=-1\text{, care nu convine; }x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\geq 2, știind că mulțimea {3,4,5,…,n+2}\displaystyle \{3,4,5,\ldots,n+2\} are exact 55 de submulțimi cu 2 elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm elementele mulțimii {3,4,5,…,n+2}\displaystyle \{3,4,5,\ldots,n+2\}: sunt (n+2)−3+1\displaystyle (n+2)-3+1 elemente, deci mulțimea are n\displaystyle n elemente.
    (n+2)−3+1=n\displaystyle (n+2)-3+1=n
  2. Numărul submulțimilor cu 2 elemente ale unei mulțimi cu n\displaystyle n elemente este Cn2\displaystyle C_n^2. Punem condiția Cn2=55\displaystyle C_n^2=55.
    Cn2=55\displaystyle C_n^2=55
  3. Folosim formula Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2} și obținem ecuația n(n−1)2=55\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}=55.
    n(n−1)2=55\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=55
  4. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: n(n−1)=110\displaystyle n(n-1)=110, deci n2−n=110\displaystyle n^2-n=110. Aducem totul în același membru.
    n2−n−110=0\displaystyle n^{2}-n-110=0
  5. Discriminantul este Δ=1+440=441\displaystyle \Delta=1+440=441, iar 441=21\displaystyle \sqrt{441}=21. Rădăcinile sunt n=1±212\displaystyle n=\dfrac{1\pm 21}{2}, adică 11\displaystyle 11 și −10\displaystyle -10.
    n1=11\displaystyle n_1=11, n2=−10\displaystyle \ n_2=-10
  6. Cum n\displaystyle n este număr natural, n≥2\displaystyle n\geq 2, rădăcina −10\displaystyle -10 nu convine. Rămâne n=11\displaystyle n=11. Verificare: 11⋅102=55\displaystyle \dfrac{11\cdot 10}{2}=55.
    n=11\displaystyle n=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreptele d1\displaystyle d_1 și d2\displaystyle d_2, de ecuații 2x−y+1=0\displaystyle 2x-y+1=0, respectiv x+y+2=0\displaystyle x+y+2=0. Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care este perpendiculară pe dreapta d2\displaystyle d_2 și trece prin punctul de intersecție a dreptelor d1\displaystyle d_1 și d2\displaystyle d_2.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm punctul de intersecție al dreptelor d1\displaystyle d_1 și d2\displaystyle d_2 rezolvând sistemul format din ecuațiile lor: {2x−y+1=0x+y+2=0\displaystyle \begin{cases}2x-y+1=0\\ x+y+2=0\end{cases}
    {2x−y+1=0x+y+2=0\displaystyle \begin{cases}2x-y+1=0\\ x+y+2=0\end{cases}
  2. Adunăm cele două ecuații: y\displaystyle y se reduce și obținem 3x+3=0\displaystyle 3x+3=0, deci x=−1\displaystyle x=-1. Din a doua ecuație rezultă y=−2−x=−1\displaystyle y=-2-x=-1. Punctul de intersecție este M(−1,−1)\displaystyle M(-1,-1).
    M(−1,−1)\displaystyle M(-1,-1)
  3. Scriem ecuația dreptei d2\displaystyle d_2 sub forma y=−x−2\displaystyle y=-x-2 și citim panta ei.
    md2=−1\displaystyle m_{d_2}=-1
  4. Dreptele perpendiculare au produsul pantelor egal cu −1\displaystyle -1. Deci md⋅(−1)=−1\displaystyle m_d\cdot(-1)=-1, de unde md=1\displaystyle m_d=1.
    md⋅md2=−1, md=1\displaystyle m_d\cdot m_{d_2}=-1\text{, }m_d=1
  5. Dreapta d\displaystyle d trece prin M(−1,−1)\displaystyle M(-1,-1) și are panta 1\displaystyle 1, deci ecuația ei este y+1=1⋅(x+1)\displaystyle y+1=1\cdot(x+1), adică y=x\displaystyle y=x.
    y=x\displaystyle y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡5π12+sin⁡π12=62\displaystyle \sin\frac{5\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de transformare a sumei de sinusuri în produs: sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡a+b2cos⁡a−b2\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}.
    sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡a+b2cos⁡a−b2\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}
  2. Aplicăm formula pentru a=5π12\displaystyle a=\dfrac{5\pi}{12} și b=π12\displaystyle b=\dfrac{\pi}{12}.
    sin⁡5π12+sin⁡π12=2sin⁡5π12+π122cos⁡5π12−π122\displaystyle \sin\frac{5\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}=2\sin\frac{\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{12}}{2}\cos\frac{\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{12}}{2}
  3. Calculăm argumentele: 5π12+π12=6π12=π2\displaystyle \dfrac{5\pi}{12}+\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{6\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}, iar jumătatea ei este π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4}. Apoi 5π12−π12=4π12=π3\displaystyle \dfrac{5\pi}{12}-\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{4\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}, iar jumătatea ei este π6\displaystyle \dfrac{\pi}{6}.
    sin⁡5π12+sin⁡π12=2sin⁡π4cos⁡π6\displaystyle \sin\frac{5\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}=2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}
  4. Înlocuim valorile cunoscute: sin⁡π4=22\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și cos⁡π6=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    2⋅22⋅32\displaystyle 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
  5. Simplificăm: 2\displaystyle 2 se reduce cu unul dintre numitori, iar 2⋅3=6\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}. Obținem exact membrul drept, deci egalitatea este demonstrată.
    2⋅22⋅32=62\displaystyle 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(m,x)=(2−x11m33−2x)\displaystyle A(m,x)=\begin{pmatrix}2&-x&1\\1&m&3\\3&-2&x\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m și x\displaystyle x sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(4,2))=0\displaystyle \det(A(4,2))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=4\displaystyle m=4 și x=2\displaystyle x=2 în matricea A(m,x)\displaystyle A(m,x) și scriem determinantul matricei obținute.
    A(4,2)=(2−211433−22)⇒det⁡(A(4,2))=∣2−211433−22∣\displaystyle A(4,2)=\begin{pmatrix}2&-2&1\\1&4&3\\3&-2&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(4,2))=\begin{vmatrix}2&-2&1\\1&4&3\\3&-2&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Calculăm mai întâi cei trei produși de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, care se adună: 2⋅4⋅2\displaystyle 2\cdot4\cdot2, (−2)⋅3⋅3\displaystyle (-2)\cdot3\cdot3 și 1⋅1⋅(−2)\displaystyle 1\cdot1\cdot(-2).
    2⋅4⋅2+(−2)⋅3⋅3+1⋅1⋅(−2)=16+(−18)+(−2)=−4\displaystyle 2\cdot4\cdot2+(-2)\cdot3\cdot3+1\cdot1\cdot(-2)=16+(-18)+(-2)=-4
  3. Calculăm cei trei produși de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei, care se scad: 1⋅4⋅3\displaystyle 1\cdot4\cdot3, 2⋅3⋅(−2)\displaystyle 2\cdot3\cdot(-2) și (−2)⋅1⋅2\displaystyle (-2)\cdot1\cdot2.
    1⋅4⋅3+2⋅3⋅(−2)+(−2)⋅1⋅2=12+(−12)+(−4)=−4\displaystyle 1\cdot4\cdot3+2\cdot3\cdot(-2)+(-2)\cdot1\cdot2=12+(-12)+(-4)=-4
  4. Scădem suma produșilor de pe diagonala secundară din suma produșilor de pe diagonala principală și obținem valoarea determinantului: −4−(−4)=0\displaystyle -4-(-4)=0.
    det⁡(A(4,2))=16+(−2)+(−18)−12−(−12)−(−4)=0\displaystyle \det(A(4,2))=16+(-2)+(-18)-12-(-12)-(-4)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(m,x)=(2−x11m33−2x)\displaystyle A(m,x)=\begin{pmatrix}2&-x&1\\1&m&3\\3&-2&x\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m și x\displaystyle x sunt numere reale.

Determinați rangul matricei A(2,1)\displaystyle A(2,1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=2\displaystyle m=2 și x=1\displaystyle x=1 în matricea A(m,x)\displaystyle A(m,x) și obținem matricea A(2,1)\displaystyle A(2,1).
    A(2,1)=(2−111233−21)\displaystyle A(2,1)=\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&2&3\\3&-2&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei prin dezvoltare după prima linie: 2⋅∣23−21∣+1⋅∣1331∣+1⋅∣123−2∣\displaystyle 2\cdot\begin{vmatrix}2&3\\-2&1\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}1&2\\3&-2\end{vmatrix}, adică 2⋅8+(−8)+(−8)\displaystyle 2\cdot 8+(-8)+(-8). Determinantul este nul, deci rangul este cel mult 2\displaystyle 2, adică matricea nu are rangul 3\displaystyle 3.
    det⁡(A(2,1))=2⋅8+(−8)+(−8)=0⇒rang⁡(A(2,1))≤2\displaystyle \det(A(2,1))=2\cdot 8+(-8)+(-8)=0\Rightarrow\operatorname{rang}(A(2,1))\leq 2
  3. Căutăm un minor de ordin 2\displaystyle 2 nenul. Alegem minorul format din primele două linii și primele două coloane și îl calculăm: 2⋅2−(−1)⋅1=4+1=5\displaystyle 2\cdot 2-(-1)\cdot 1=4+1=5.
    ∣2−112∣=2⋅2−(−1)⋅1=5≠0\displaystyle \begin{vmatrix}2&-1\\1&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-(-1)\cdot 1=5\neq 0
  4. Există un minor de ordin 2\displaystyle 2 nenul, iar determinantul de ordin 3\displaystyle 3 este nul, deci rangul matricei A(2,1)\displaystyle A(2,1) este 2\displaystyle 2.
    rang⁡(A(2,1))=2\displaystyle \operatorname{rang}(A(2,1))=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(m,x)=(2−x11m33−2x)\displaystyle A(m,x)=\begin{pmatrix}2&-x&1\\1&m&3\\3&-2&x\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m și x\displaystyle x sunt numere reale.

Determinați perechile de numere naturale nenule și distincte (n,p)\displaystyle (n,p) pentru care det⁡(A(3,n))=det⁡(A(3,p))\displaystyle \det(A(3,n))=\det(A(3,p)).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea pentru m=3\displaystyle m=3: A(3,x)=(2−x11333−2x)\displaystyle A(3,x)=\begin{pmatrix}2&-x&1\\1&3&3\\3&-2&x\end{pmatrix}. Îi calculăm determinantul pentru x\displaystyle x oarecare, apoi îl înlocuim pe x\displaystyle x cu n\displaystyle n și cu p\displaystyle p.
    A(3,x)=(2−x11333−2x)\displaystyle A(3,x)=\begin{pmatrix}2&-x&1\\1&3&3\\3&-2&x\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Produsele pe diagonala principală și paralelele ei dau 2⋅3⋅x+(−x)⋅3⋅3+1⋅1⋅(−2)=−3x−2\displaystyle 2\cdot 3\cdot x+(-x)\cdot 3\cdot 3+1\cdot 1\cdot(-2)=-3x-2. Produsele pe diagonala secundară și paralelele ei dau 1⋅3⋅3+2⋅3⋅(−2)+(−x)⋅1⋅x=−3−x2\displaystyle 1\cdot 3\cdot 3+2\cdot 3\cdot(-2)+(-x)\cdot 1\cdot x=-3-x^{2}. Determinantul este diferența: (−3x−2)−(−3−x2)\displaystyle (-3x-2)-(-3-x^{2}).
    det⁡(A(3,x))=x2−3x+1\displaystyle \det(A(3,x))=x^{2}-3x+1
  3. Egalăm determinanții pentru x=n\displaystyle x=n și x=p\displaystyle x=p: n2−3n+1=p2−3p+1\displaystyle n^{2}-3n+1=p^{2}-3p+1. Reducem termenul 1\displaystyle 1 și obținem n2−p2−3(n−p)=0\displaystyle n^{2}-p^{2}-3(n-p)=0. Folosim n2−p2=(n−p)(n+p)\displaystyle n^{2}-p^{2}=(n-p)(n+p) și dăm factor comun n−p\displaystyle n-p.
    n2−3n+1=p2−3p+1⇔(n−p)(n+p−3)=0\displaystyle n^{2}-3n+1=p^{2}-3p+1\Leftrightarrow (n-p)(n+p-3)=0
  4. Un produs este nul dacă unul dintre factori este nul. Cum n≠p\displaystyle n\neq p, avem n−p≠0\displaystyle n-p\neq 0, deci rămâne n+p−3=0\displaystyle n+p-3=0.
    n+p=3\displaystyle n+p=3
  5. Căutăm numere naturale nenule cu n+p=3\displaystyle n+p=3. Cum n≥1\displaystyle n\geq 1 și p≥1\displaystyle p\geq 1, avem n∈{1,2}\displaystyle n\in\{1,2\}. Pentru n=1\displaystyle n=1 obținem p=2\displaystyle p=2, iar pentru n=2\displaystyle n=2 obținem p=1\displaystyle p=1. Perechile sunt distincte, deci convin amândouă.
    (n,p)∈{(1,2),(2,1)}\displaystyle (n,p)\in\{(1,2),(2,1)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xy3−x−y+6\displaystyle x*y=\frac{xy}{3}-x-y+6.

Arătați că (−1)∗3=3\displaystyle (-1)*3=3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=xy3−x−y+6\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{3}-x-y+6. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 și y=3\displaystyle y=3.
    (−1)∗3=(−1)⋅33−(−1)−3+6\displaystyle (-1)*3=\dfrac{(-1)\cdot 3}{3}-(-1)-3+6
  2. Fracția este −33=−1\displaystyle \dfrac{-3}{3}=-1, iar −(−1)=+1\displaystyle -(-1)=+1.
    (−1)∗3=−1+1−3+6\displaystyle (-1)*3=-1+1-3+6
  3. Avem −1+1=0\displaystyle -1+1=0, apoi 0−3=−3\displaystyle 0-3=-3, iar −3+6=3\displaystyle -3+6=3. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    (−1)∗3=3\displaystyle (-1)*3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xy3−x−y+6\displaystyle x*y=\frac{xy}{3}-x-y+6.

Arătați că x∗(y+z−3)=(x∗y)+(x∗z)−3\displaystyle x*(y+z-3)=(x*y)+(x*z)-3, pentru orice numere reale x\displaystyle x, y\displaystyle y și z\displaystyle z.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∗y=xy3−x−y+6\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{3}-x-y+6 pentru elementele x\displaystyle x și y+z−3\displaystyle y+z-3.
    x∗(y+z−3)=x(y+z−3)3−x−(y+z−3)+6\displaystyle x*(y+z-3)=\dfrac{x(y+z-3)}{3}-x-(y+z-3)+6
  2. Desfacem parantezele: x(y+z−3)3=xy+xz3−x\displaystyle \dfrac{x(y+z-3)}{3}=\dfrac{xy+xz}{3}-x și −(y+z−3)=−y−z+3\displaystyle -(y+z-3)=-y-z+3.
    xy+xz3−x−x−y−z+3+6\displaystyle \dfrac{xy+xz}{3}-x-x-y-z+3+6
  3. Reducem termenii asemenea: −x−x=−2x\displaystyle -x-x=-2x și 3+6=9\displaystyle 3+6=9.
    x∗(y+z−3)=xy+xz3−2x−y−z+9\displaystyle x*(y+z-3)=\dfrac{xy+xz}{3}-2x-y-z+9
  4. Pentru membrul drept avem x∗y=xy3−x−y+6\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{3}-x-y+6 și x∗z=xz3−x−z+6\displaystyle x*z=\dfrac{xz}{3}-x-z+6, deci adunăm și scădem 3.
    (x∗y)+(x∗z)−3=xy3−x−y+6+xz3−x−z+6−3\displaystyle (x*y)+(x*z)-3=\dfrac{xy}{3}-x-y+6+\dfrac{xz}{3}-x-z+6-3
  5. Reducem termenii asemenea: 6+6−3=9\displaystyle 6+6-3=9 și −x−x=−2x\displaystyle -x-x=-2x. Expresia obținută coincide cu cea de la membrul stâng, deci egalitatea are loc pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}.
    xy+xz3−2x−y−z+9=x∗(y+z−3), adica˘ x∗(y+z−3)=(x∗y)+(x∗z)−3\displaystyle \dfrac{xy+xz}{3}-2x-y-z+9=x*(y+z-3)\text{, adică }x*(y+z-3)=(x*y)+(x*z)-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=xy3−x−y+6\displaystyle x*y=\frac{xy}{3}-x-y+6.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, x≠3\displaystyle x\neq 3 pentru care (x∗(x+x′−3))+(x′∗(2x−3))=42\displaystyle (x*(x+x'-3))+(x'*(2x-3))=42, unde x′\displaystyle x' este simetricul lui x\displaystyle x în raport cu legea de compoziție ∗\displaystyle *.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm elementul neutru. Calculăm x∗6=6x3−x−6+6=x\displaystyle x*6=\dfrac{6x}{3}-x-6+6=x. Legea este comutativă, deci și 6∗x=x\displaystyle 6*x=x. Prin urmare e=6\displaystyle e=6.
    e=6\displaystyle e=6
  2. Simetricul x′\displaystyle x' al lui x\displaystyle x (există pentru x≠3\displaystyle x\neq 3) satisface, prin definiție, x∗x′=x′∗x=e=6\displaystyle x*x'=x'*x=e=6.
    x∗6=6∗x=x, e=6, x∗x′=x′∗x=6\displaystyle x*6=6*x=x\text{, }e=6\text{, }x*x'=x'*x=6
  3. Demonstrăm o proprietate utilă: x∗(y+z−3)=x∗y+x∗z−3\displaystyle x*(y+z-3)=x*y+x*z-3. Dezvoltăm membrul stâng: x∗(y+z−3)=xy3+xz3−x−x−y−z+3+6=xy3+xz3−2x−y−z+9\displaystyle x*(y+z-3)=\dfrac{xy}{3}+\dfrac{xz}{3}-x-x-y-z+3+6=\dfrac{xy}{3}+\dfrac{xz}{3}-2x-y-z+9. Membrul drept dă aceeași expresie: (xy3−x−y+6)+(xz3−x−z+6)−3\displaystyle \left(\dfrac{xy}{3}-x-y+6\right)+\left(\dfrac{xz}{3}-x-z+6\right)-3.
    x∗(y+z−3)=x∗y+x∗z−3\displaystyle x*(y+z-3)=x*y+x*z-3
  4. Aplicăm proprietatea pentru primul termen, cu y=x\displaystyle y=x și z=x′\displaystyle z=x': x∗(x+x′−3)=x∗x+x∗x′−3=x∗x+6−3\displaystyle x*(x+x'-3)=x*x+x*x'-3=x*x+6-3.
    x∗(x+x′−3)=(x∗x)+6−3\displaystyle x*(x+x'-3)=(x*x)+6-3
  5. Pentru al doilea termen scriem 2x−3=x+x−3\displaystyle 2x-3=x+x-3 și aplicăm aceeași proprietate: x′∗(2x−3)=x′∗x+x′∗x−3=6+6−3=9\displaystyle x'*(2x-3)=x'*x+x'*x-3=6+6-3=9.
    x′∗(2x−3)=6+6−3=9\displaystyle x'*(2x-3)=6+6-3=9
  6. Înlocuim cei doi termeni în ecuație: (x∗x)+6−3+6+6−3=42\displaystyle (x*x)+6-3+6+6-3=42, adică x∗x+12=42\displaystyle x*x+12=42, deci x∗x=30\displaystyle x*x=30.
    (x∗x)+6−3+6+6−3=42, x∗x=30\displaystyle (x*x)+6-3+6+6-3=42\text{, }x*x=30
  7. Scriem x∗x=x23−2x+6\displaystyle x*x=\dfrac{x^{2}}{3}-2x+6, deci x23−2x+6=30\displaystyle \dfrac{x^{2}}{3}-2x+6=30. Înmulțim cu 3: x2−6x−72=0\displaystyle x^{2}-6x-72=0.
    x2−6x−72=0\displaystyle x^{2}-6x-72=0
  8. Calculăm discriminantul: Δ=36+288=324\displaystyle \Delta=36+288=324, deci Δ=18\displaystyle \sqrt{\Delta}=18. Soluțiile sunt x=6±182\displaystyle x=\dfrac{6\pm 18}{2}, adică 12\displaystyle 12 și −6\displaystyle -6. Ambele sunt diferite de 3\displaystyle 3, deci convin.
    x23−2x+6=30, x=−6 sau x=12, care convin\displaystyle \dfrac{x^2}{3}-2x+6=30\text{, }x=-6\text{ sau }x=12\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2−ax\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2}-ax, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=0\displaystyle a=0, arătați că f′(x)=xx2+2\displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=0\displaystyle a=0 funcția devine f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}+2}. Expresia x2+2\displaystyle x^{2}+2 este strict pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci radicalul este definit și derivabil pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}+2}
  2. Folosim formula de derivare a funcției compuse: (u)′=12u⋅u′\displaystyle (\sqrt{u})'=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'. Aici u=x2+2\displaystyle u=x^{2}+2.
    f′(x)=12x2+2⋅(x2+2)′\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x^{2}+2}}\cdot (x^{2}+2)'
  3. Calculăm (x2+2)′=2x+0\displaystyle (x^{2}+2)'=2x+0, deoarece (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, iar derivata constantei este 0\displaystyle 0.
    (x2+2)′=2x\displaystyle (x^{2}+2)'=2x
  4. Înlocuim în formula de la pasul anterior: f′(x)=2x2x2+2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+2}}. Simplificăm prin 2\displaystyle 2 și obținem egalitatea cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=2x2x2+2=xx2+2, x∈R\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+2}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2−ax\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2}-ax, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=\sqrt{2}, situat pe graficul funcției f\displaystyle f, este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. O tangentă paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox are panta zero. Panta tangentei în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=\sqrt{2} este f′(2)\displaystyle f'(\sqrt{2}), deci trebuie ca f′(2)=0\displaystyle f'(\sqrt{2})=0.
    f′(2)=0\displaystyle f'(\sqrt{2})=0
  2. Calculăm derivata funcției. Derivata lui x2+2\displaystyle \sqrt{x^2+2} este 2x2x2+2=xx2+2\displaystyle \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}, iar derivata lui ax\displaystyle ax este a\displaystyle a.
    f′(x)=xx2+2−a\displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}-a
  3. Înlocuim x=2\displaystyle x=\sqrt{2}: sub radical avem 2+2=4\displaystyle 2+2=4, deci 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, iar f′(2)=22−a\displaystyle f'(\sqrt{2})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-a.
    f′(2)=24−a=22−a\displaystyle f'(\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}}-a=\frac{\sqrt{2}}{2}-a
  4. Punem condiția f′(2)=0\displaystyle f'(\sqrt{2})=0, adică 22−a=0\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}-a=0, de unde obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    22−a=0, deci a=22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}-a=0\text{, deci }a=\frac{\sqrt{2}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2−ax\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2}-ax, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, graficul funcției f\displaystyle f admite asimptotă spre +∞\displaystyle +\infty.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul lui f\displaystyle f admite asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty dacă există și sunt finite limitele m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right). Începem cu panta m\displaystyle m și scriem raportul f(x)x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}.
    f(x)x=x2+2−axx\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{\sqrt{x^2+2}-ax}{x}
  2. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x2+2=x1+2x2\displaystyle \sqrt{x^2+2}=x\sqrt{1+\dfrac{2}{x^2}}. Dăm factor comun x\displaystyle x la numărător și simplificăm cu x\displaystyle x de la numitor.
    f(x)x=x(1+2x2−a)x=1+2x2−a\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}-a\right)}{x}=\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}-a
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, 2x2→0\displaystyle \dfrac{2}{x^2}\to 0, deci radicalul tinde la 1\displaystyle 1. Obținem panta m=1−a\displaystyle m=1-a, finită pentru orice a\displaystyle a real.
    m=lim⁡x→+∞f(x)x=1−a\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=1-a
  4. Calculăm termenul liber n=lim⁡x→+∞(f(x)−(1−a)x)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(1-a)x\right). Termenii −ax\displaystyle -ax și +ax\displaystyle +ax se reduc și rămâne o nedeterminare de tip ∞−∞\displaystyle \infty-\infty.
    f(x)−(1−a)x=x2+2−ax−x+ax=x2+2−x\displaystyle f(x)-(1-a)x=\sqrt{x^2+2}-ax-x+ax=\sqrt{x^2+2}-x
  5. Amplificăm cu conjugata x2+2+x\displaystyle \sqrt{x^2+2}+x și folosim (A−B)(A+B)=A2−B2\displaystyle (A-B)(A+B)=A^2-B^2. La numărător rămâne x2+2−x2=2\displaystyle x^2+2-x^2=2.
    x2+2−x=(x2+2)−x2x2+2+x=2x2+2+x\displaystyle \sqrt{x^2+2}-x=\frac{(x^2+2)-x^2}{\sqrt{x^2+2}+x}=\frac{2}{\sqrt{x^2+2}+x}
  6. Numitorul x2+2+x\displaystyle \sqrt{x^2+2}+x tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci fracția tinde la 0\displaystyle 0. Așadar n=0\displaystyle n=0, limita este finită, iar graficul admite asimptotă spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=(1−a)x\displaystyle y=(1-a)x, pentru orice a\displaystyle a real.
    n=lim⁡x→+∞2x2+2+x=0, deci y=(1−a)x este asimptota˘ spre +∞\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x^2+2}+x}=0\text{, deci }y=(1-a)x\text{ este asimptotă spre }+\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2arctg⁡x\displaystyle f(x)=x^2\operatorname{arctg}x.

Arătați că ∫13xf(x)arctg⁡xdx=20\displaystyle \int_1^3\frac{x f(x)}{\operatorname{arctg}x}dx=20.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2arctg⁡x\displaystyle f(x)=x^{2}\operatorname{arctg}x în expresia de sub integrală: xf(x)arctg⁡x=x⋅x2arctg⁡xarctg⁡x\displaystyle \dfrac{x f(x)}{\operatorname{arctg}x}=\dfrac{x\cdot x^{2}\operatorname{arctg}x}{\operatorname{arctg}x}.
    xf(x)arctg⁡x=x⋅x2arctg⁡xarctg⁡x\displaystyle \frac{x f(x)}{\operatorname{arctg}x}=\frac{x\cdot x^{2}\operatorname{arctg}x}{\operatorname{arctg}x}
  2. Simplificăm prin arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x, care este nenul pentru x∈[1,3]\displaystyle x\in[1,3] (deoarece x>0\displaystyle x>0). Obținem x⋅x2=x3\displaystyle x\cdot x^{2}=x^{3}, deci integrala devine ∫13x3 dx\displaystyle \int_1^3 x^{3}\,dx.
    ∫13xf(x)arctg⁡xdx=∫13x3 dx\displaystyle \int_1^3\frac{x f(x)}{\operatorname{arctg}x}dx=\int_1^3 x^{3}\,dx
  3. O primitivă a lui x3\displaystyle x^{3} este x44\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫13x3 dx=x44∣13\displaystyle \int_1^3 x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}\Big|_1^3.
    ∫13x3 dx=x44∣13\displaystyle \int_1^3 x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}\Big|_1^3
  4. Evaluăm în limitele 3\displaystyle 3 și 1\displaystyle 1: 34=81\displaystyle 3^{4}=81 și 14=1\displaystyle 1^{4}=1, deci 814−14=81−14=804=20\displaystyle \dfrac{81}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{81-1}{4}=\dfrac{80}{4}=20.
    81−14=20\displaystyle \frac{81-1}{4}=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2arctg⁡x\displaystyle f(x)=x^2\operatorname{arctg}x.

Arătați că ∫13f(x)xdx=5π12−3−12\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}\frac{f(x)}{x}dx=\frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm prin x\displaystyle x: f(x)x=xarctg⁡x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=x\operatorname{arctg}x, deci integrala devine ∫13xarctg⁡x dx\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}x\operatorname{arctg}x\,dx.
    ∫13f(x)xdx=∫13xarctg⁡x dx\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}\frac{f(x)}{x}dx=\int_1^{\sqrt{3}}x\operatorname{arctg}x\,dx
  2. Observăm că (x2+1)′=2x\displaystyle (x^2+1)'=2x, deci x=12(x2+1)′\displaystyle x=\dfrac{1}{2}(x^2+1)'. Alegem această primitivă a lui x\displaystyle x (cu constanta 12\displaystyle \dfrac{1}{2}) pentru a pregăti integrarea prin părți, deoarece x2+1\displaystyle x^2+1 apare la derivata lui arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x.
    ∫13xarctg⁡x dx=12∫13(x2+1)′arctg⁡x dx\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}x\operatorname{arctg}x\,dx=\frac{1}{2}\int_1^{\sqrt{3}}(x^2+1)'\operatorname{arctg}x\,dx
  3. Aplicăm integrarea prin părți, cu u=arctg⁡x\displaystyle u=\operatorname{arctg}x și dv=(x2+1)′dx\displaystyle dv=(x^2+1)'dx. Cum (arctg⁡x)′=1x2+1\displaystyle (\operatorname{arctg}x)'=\dfrac{1}{x^2+1}, obținem o integrală în care x2+1\displaystyle x^2+1 se simplifică.
    x2+12arctg⁡x∣13−12∫13x2+1x2+1dx\displaystyle \frac{x^2+1}{2}\operatorname{arctg}x\Big|_1^{\sqrt{3}}-\frac{1}{2}\int_1^{\sqrt{3}}\frac{x^2+1}{x^2+1}dx
  4. Calculăm termenul scos din integrală. Pentru x=3\displaystyle x=\sqrt{3}: x2+1=4\displaystyle x^2+1=4 și arctg⁡3=π3\displaystyle \operatorname{arctg}\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}. Pentru x=1\displaystyle x=1: x2+1=2\displaystyle x^2+1=2 și arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}. Deci avem 42⋅π3−22⋅π4\displaystyle \dfrac{4}{2}\cdot\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{2}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}, iar integrandul rămas este 1\displaystyle 1.
    2⋅π3−π4−12∫131 dx\displaystyle 2\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\int_1^{\sqrt{3}}1\,dx
  5. Reducem la același numitor: 2π3−π4=8π−3π12=5π12\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{8\pi-3\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{12}.
    2π3−π4=5π12\displaystyle \frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12}
  6. Calculăm integrala rămasă: o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, deci ∫131 dx=3−1\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}1\,dx=\sqrt{3}-1. Obținem rezultatul cerut.
    5π12−12x∣13=5π12−3−12\displaystyle \frac{5\pi}{12}-\frac{1}{2}x\Big|_1^{\sqrt{3}}=\frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2arctg⁡x\displaystyle f(x)=x^2\operatorname{arctg}x.

Demonstrați că lim⁡n→+∞∫01fn(x)dx=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\int_0^1f^n(x)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Aici fn(x)\displaystyle f^n(x) înseamnă puterea a n\displaystyle n-a a lui f(x)\displaystyle f(x). Scriem fn(x)\displaystyle f^n(x) ca produs de două puteri: x2n\displaystyle x^{2n} înmulțit cu arctg⁡nx\displaystyle \operatorname{arctg}^n x.
    fn(x)=(x2arctg⁡x)n=x2narctg⁡nx\displaystyle f^n(x)=\left(x^2\operatorname{arctg}x\right)^n=x^{2n}\operatorname{arctg}^nx
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem 0≤x≤1\displaystyle 0\leq x\leq 1, deci și x2n\displaystyle x^{2n} este între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    0≤x2n≤1\displaystyle 0\leq x^{2n}\leq 1
  3. Funcția arctangentă este crescătoare, iar arctg⁡0=0\displaystyle \operatorname{arctg}0=0 și arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}. Deci pe [0,1]\displaystyle [0,1] avem arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x între 0\displaystyle 0 și π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4}. Ridicând la puterea n\displaystyle n (toate numerele sunt pozitive), obținem o majorare cu (π4)n\displaystyle \left(\dfrac{\pi}{4}\right)^n.
    0≤arctg⁡x≤π4⇒0≤arctg⁡nx≤(π4)n\displaystyle 0\leq\operatorname{arctg}x\leq\frac{\pi}{4}\Rightarrow 0\leq\operatorname{arctg}^nx\leq\left(\frac{\pi}{4}\right)^n
  4. Înmulțim inegalitățile cu termeni pozitivi și obținem o încadrare pentru fn(x)\displaystyle f^n(x). Apoi integrăm pe [0,1]\displaystyle [0,1]: integrala unei constante este constanta înmulțită cu lungimea intervalului, adică 1\displaystyle 1.
    0≤fn(x)≤(π4)n⇒0≤∫01fn(x)dx≤∫01(π4)ndx=(π4)n\displaystyle 0\leq f^n(x)\leq\left(\frac{\pi}{4}\right)^n\Rightarrow 0\leq\int_0^1f^n(x)dx\leq\int_0^1\left(\frac{\pi}{4}\right)^ndx=\left(\frac{\pi}{4}\right)^n
  5. Deoarece π4∈(0,1)\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\in(0,1) (căci π<4\displaystyle \pi<4), șirul (π4)n\displaystyle \left(\dfrac{\pi}{4}\right)^n tinde la 0\displaystyle 0. Din criteriul cleștelui, integrala, aflată între 0\displaystyle 0 și acest șir, tinde și ea la 0\displaystyle 0.
    lim⁡n→+∞(π4)n=0, deci lim⁡n→+∞∫01fn(x)dx=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{\pi}{4}\right)^n=0\text{, deci }\lim_{n\to+\infty}\int_0^1f^n(x)dx=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.