Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 2: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=3−i\displaystyle z=3-i. Arătați că z2−6z+10=0\displaystyle z^2-6z+10=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z=3−i\displaystyle z=3-i în expresia z2−6z+10\displaystyle z^{2}-6z+10.
    (3−i)2−6(3−i)+10\displaystyle (3-i)^{2}-6(3-i)+10
  2. Dezvoltăm pătratul cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
    (3−i)2=9−6i+i2\displaystyle (3-i)^{2}=9-6i+i^{2}
  3. Efectuăm 6(3−i)=18−6i\displaystyle 6(3-i)=18-6i și scriem expresia completă, având grijă la semnul minus din fața parantezei.
    9−6i+i2−18+6i+10\displaystyle 9-6i+i^{2}-18+6i+10
  4. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1. Termenii −6i\displaystyle -6i și +6i\displaystyle +6i se reduc, iar partea reală este 9−1−18+10=0\displaystyle 9-1-18+10=0.
    9−6i−1−18+6i+10=0\displaystyle 9-6i-1-18+6i+10=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+6\displaystyle f(x)=x^2+6. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că f(a)=f(a−2)\displaystyle f(a)=f(a-2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(a)\displaystyle f(a) înlocuind pe x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula funcției f(x)=x2+6\displaystyle f(x)=x^2+6.
    f(a)=a2+6\displaystyle f(a)=a^{2}+6
  2. Calculăm f(a−2)\displaystyle f(a-2) înlocuind pe x\displaystyle x cu a−2\displaystyle a-2.
    f(a−2)=(a−2)2+6\displaystyle f(a-2)=(a-2)^{2}+6
  3. Egalăm cele două valori, conform condiției f(a)=f(a−2)\displaystyle f(a)=f(a-2).
    a2+6=(a−2)2+6\displaystyle a^{2}+6=(a-2)^{2}+6
  4. Reducem termenul 6\displaystyle 6 din ambii membri și dezvoltăm pătratul: (a−2)2=a2−4a+4\displaystyle (a-2)^2=a^2-4a+4.
    a2=a2−4a+4\displaystyle a^{2}=a^{2}-4a+4
  5. Reducem termenii a2\displaystyle a^2 și rămâne 0=−4a+4\displaystyle 0=-4a+4, adică 4a=4\displaystyle 4a=4. Deci a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x2+4x+5)=log⁡4(2x+4)\displaystyle \log_4\left(x^2+4x+5\right)=\log_4\left(2x+4\right).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive. Expresia x2+4x+5\displaystyle x^{2}+4x+5 este mereu pozitivă (discriminantul este negativ), iar 2x+4>0\displaystyle 2x+4>0 dă x>−2\displaystyle x>-2.
    x∈(−2,∞)\displaystyle x\in(-2,\infty)
  2. Logaritmul în baza 4\displaystyle 4 este injectiv, deci egalăm argumentele: x2+4x+5=2x+4\displaystyle x^{2}+4x+5=2x+4.
    x2+4x+5=2x+4\displaystyle x^{2}+4x+5=2x+4
  3. Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: x2+4x−2x+5−4=0\displaystyle x^{2}+4x-2x+5-4=0.
    x2+2x+1=0\displaystyle x^{2}+2x+1=0
  4. Recunoaștem pătratul unei sume: (x+1)2=0\displaystyle (x+1)^{2}=0.
    (x+1)2=0⇒x=−1\displaystyle (x+1)^{2}=0\Rightarrow x=-1
  5. Verificăm condiția de existență: −1>−2\displaystyle -1>-2, deci soluția convine. Într-adevăr, pentru x=−1\displaystyle x=-1 ambele argumente sunt egale cu 2\displaystyle 2.
    x=−1, care convine\displaystyle x=-1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 16\displaystyle 16.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1\displaystyle 99-10+1.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  2. Căutăm numerele de forma ab‾\displaystyle \overline{ab} cu a⋅b=16\displaystyle a\cdot b=16. Cifrele trebuie să fie divizori ai lui 16\displaystyle 16 care sunt cel mult 9\displaystyle 9, adică 1,2,4,8\displaystyle 1, 2, 4, 8.
    a\displaystyle a,b∈{1,2,4,8}\displaystyle b\in\{1,2,4,8\}
  3. Verificăm perechile: 1⋅16\displaystyle 1\cdot 16 nu convine, deoarece 16\displaystyle 16 nu este cifră; 2⋅8=16\displaystyle 2\cdot 8=16, 4⋅4=16\displaystyle 4\cdot 4=16, 8⋅2=16\displaystyle 8\cdot 2=16 convin. Numerele sunt 28\displaystyle 28, 44\displaystyle 44 și 82\displaystyle 82, deci avem 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    28\displaystyle 28, 44\displaystyle \ 44, 82, adica˘ 3 cazuri favorabile\displaystyle \ 82\text{, adică }3\text{ cazuri favorabile}
  4. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și cel al cazurilor posibile: p=390\displaystyle p=\dfrac{3}{90}, iar prin simplificare cu 3\displaystyle 3 obținem 130\displaystyle \dfrac{1}{30}.
    p=390=130\displaystyle p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,5)\displaystyle A(0,5), B(3,3)\displaystyle B(3,3) și C(7,3)\displaystyle C(7,3). Determinați coordonatele punctului D\displaystyle D, știind că ABCD\displaystyle ABCD este paralelogram.
Vezi rezolvarea
  1. Într-un paralelogram ABCD\displaystyle ABCD diagonalele sunt AC\displaystyle AC și BD\displaystyle BD, iar ele se înjumătățesc, deci segmentele AC\displaystyle AC și BD\displaystyle BD au același mijloc.
    MAC=MBD\displaystyle M_{AC}=M_{BD}
  2. Scriem mijlocul diagonalei AC\displaystyle AC, cu A(0,5)\displaystyle A(0,5) și C(7,3)\displaystyle C(7,3): abscisa este 0+72\displaystyle \dfrac{0+7}{2}, iar ordonata este 5+32\displaystyle \dfrac{5+3}{2}.
    MAC(72, 4)\displaystyle M_{AC}\left(\dfrac{7}{2},\,4\right)
  3. Egalăm abscisele mijloacelor: xA+xC=xB+xD\displaystyle x_A+x_C=x_B+x_D, adică 0+7=3+xD\displaystyle 0+7=3+x_D. Rezultă xD=4\displaystyle x_D=4.
    0+7=3+xD⇒xD=4\displaystyle 0+7=3+x_D\Rightarrow x_D=4
  4. Egalăm ordonatele mijloacelor: yA+yC=yB+yD\displaystyle y_A+y_C=y_B+y_D, adică 5+3=3+yD\displaystyle 5+3=3+y_D. Rezultă yD=5\displaystyle y_D=5, deci D\displaystyle D are coordonatele (4,5)\displaystyle (4,5).
    5+3=3+yD⇒yD=5\displaystyle 5+3=3+y_D\Rightarrow y_D=5,D(4,5)\displaystyle \quad D(4,5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră E(x)=tg⁡x2−ctg⁡x2+ctg⁡x+2sin⁡5x3\displaystyle E(x)=\operatorname{tg}\frac{x}{2}-\operatorname{ctg}\frac{x}{2}+\operatorname{ctg}x+2\sin\frac{5x}{3}, unde x∈(0,π)\displaystyle x\in(0,\pi). Arătați că E(π2)=1\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=π2\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2} în expresia lui E(x)\displaystyle E(x). Argumentele devin: x2=π4\displaystyle \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}, x=π2\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2} și 5x3=5π6\displaystyle \dfrac{5x}{3}=\dfrac{5\pi}{6}.
    E(π2)=tg⁡π4−ctg⁡π4+ctg⁡π2+2sin⁡5π6\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}+\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}+2\sin\frac{5\pi}{6}
  2. Folosim valorile cunoscute: tg⁡π4=1\displaystyle \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1, ctg⁡π4=1\displaystyle \operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{4}=1 și ctg⁡π2=0\displaystyle \operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{2}=0.
    1−1+0\displaystyle 1-1+0
  3. Calculăm sinusul: 5π6=π−π6\displaystyle \dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}, deci sin⁡5π6=sin⁡π6=12\displaystyle \sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡5π6=sin⁡π6=12\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}
  4. Înlocuim valorile și calculăm: 1−1+0+2⋅12=1\displaystyle 1-1+0+2\cdot\dfrac{1}{2}=1. Deci E(π2)=1\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
    1−1+0+2⋅12=1\displaystyle 1-1+0+2\cdot\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2a00102a−2a21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&-2a&0\\0&1&0\\2a&-2a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(1−200102−21)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\2&-2&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1).
    det⁡(A(1))=∣1−200102−21∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\2&-2&1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡(A(1))=1⋅1⋅1+(−2)⋅0⋅2+0⋅0⋅(−2)−0⋅1⋅2−1⋅0⋅(−2)−(−2)⋅0⋅1\displaystyle \det(A(1))=1\cdot1\cdot1+(-2)\cdot0\cdot2+0\cdot0\cdot(-2)-0\cdot1\cdot2-1\cdot0\cdot(-2)-(-2)\cdot0\cdot1
  4. Calculăm produsele: toate, în afară de primul, conțin factorul 0\displaystyle 0, deci sunt egale cu 0\displaystyle 0. Rămâne 1\displaystyle 1.
    det⁡(A(1))=1+0+0−0−0−0=1\displaystyle \det(A(1))=1+0+0-0-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2a00102a−2a21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&-2a&0\\0&1&0\\2a&-2a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real. Demonstrați că A(a)A(b)=A(a+b)\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem cele două matrice, A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b), și le înmulțim linie cu coloană. Elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j al produsului este suma produselor elementelor liniei i\displaystyle i din prima matrice cu elementele coloanei j\displaystyle j din a doua.
    A(a)A(b)=(1−2a00102a−2a21)(1−2b00102b−2b21)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1&-2a&0\\0&1&0\\2a&-2a^2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2b&0\\0&1&0\\2b&-2b^2&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm prima linie a produsului. Primul element este 1⋅1+(−2a)⋅0+0⋅2b=1\displaystyle 1\cdot 1+(-2a)\cdot 0+0\cdot 2b=1. Al doilea element este 1⋅(−2b)+(−2a)⋅1+0⋅(−2b2)=−2b−2a\displaystyle 1\cdot(-2b)+(-2a)\cdot 1+0\cdot(-2b^2)=-2b-2a. Al treilea element este 1⋅0+(−2a)⋅0+0⋅1=0\displaystyle 1\cdot 0+(-2a)\cdot 0+0\cdot 1=0.
    (1−2b−2a0)\displaystyle \begin{pmatrix}1&-2b-2a&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm a doua linie a produsului. Linia a doua din A(a)\displaystyle A(a) este (0, 1, 0)\displaystyle (0,\,1,\,0), deci produsul copiază linia a doua din A(b)\displaystyle A(b), adică (0, 1, 0)\displaystyle (0,\,1,\,0).
    (010)\displaystyle \begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm a treia linie a produsului. Primul element este 2a⋅1+(−2a2)⋅0+1⋅2b=2a+2b\displaystyle 2a\cdot 1+(-2a^2)\cdot 0+1\cdot 2b=2a+2b. Al doilea element este 2a⋅(−2b)+(−2a2)⋅1+1⋅(−2b2)=−4ab−2a2−2b2\displaystyle 2a\cdot(-2b)+(-2a^2)\cdot 1+1\cdot(-2b^2)=-4ab-2a^2-2b^2. Al treilea element este 2a⋅0+(−2a2)⋅0+1⋅1=1\displaystyle 2a\cdot 0+(-2a^2)\cdot 0+1\cdot 1=1.
    (2a+2b−4ab−2a2−2b21)\displaystyle \begin{pmatrix}2a+2b&-4ab-2a^2-2b^2&1\end{pmatrix}
  5. Scriem produsul celor două matrice, folosind liniile calculate separat la pașii 2–4, pe poziția fiecărei linii a produsului.
    A(a)A(b)=(1−2b−2a00102a+2b−4ab−2a2−2b21)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1&-2b-2a&0\\0&1&0\\2a+2b&-4ab-2a^2-2b^2&1\end{pmatrix}
  6. Grupăm elementele. −2b−2a=−2(a+b)\displaystyle -2b-2a=-2(a+b), iar 2a+2b=2(a+b)\displaystyle 2a+2b=2(a+b). Din formula pătratului sumei, (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, deci −4ab−2a2−2b2=−2(a+b)2\displaystyle -4ab-2a^2-2b^2=-2(a+b)^2. Matricea obținută este chiar A(a+b)\displaystyle A(a+b), deci egalitatea este demonstrată pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    (1−2(a+b)00102(a+b)−2(a+b)21)=A(a+b)\displaystyle \begin{pmatrix}1&-2(a+b)&0\\0&1&0\\2(a+b)&-2(a+b)^2&1\end{pmatrix}=A(a+b)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−2a00102a−2a21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&-2a&0\\0&1&0\\2a&-2a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, dacă A(n)=A(1)A(2)A(3)⋅…⋅A(2020)\displaystyle A(n)=A(1)A(2)A(3)\cdot\ldots\cdot A(2020), atunci numărul natural n\displaystyle n este multiplu de 2021\displaystyle 2021.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)A(b)\displaystyle A(a)A(b). Prima linie: (1, −2b−2a, 0)\displaystyle (1,\ -2b-2a,\ 0), a doua linie: (0, 1, 0)\displaystyle (0,\ 1,\ 0).
    liniile 1 și 2 ale lui A(a)A(b) sunt (1, −2(a+b), 0) și (0, 1, 0)\displaystyle \text{liniile 1 și 2 ale lui }A(a)A(b)\text{ sunt }(1,\,-2(a+b),\,0)\text{ și }(0,\,1,\,0)
  2. A treia linie a lui A(a)A(b)\displaystyle A(a)A(b) se obține înmulțind (2a, −2a2, 1)\displaystyle (2a,\ -2a^2,\ 1) cu coloanele lui A(b)\displaystyle A(b). Primul element: 2a⋅1+(−2a2)⋅0+1⋅2b=2a+2b\displaystyle 2a\cdot 1+(-2a^2)\cdot 0+1\cdot 2b=2a+2b. Al doilea: 2a⋅(−2b)+(−2a2)⋅1+1⋅(−2b2)=−2(a+b)2\displaystyle 2a\cdot(-2b)+(-2a^2)\cdot 1+1\cdot(-2b^2)=-2(a+b)^2. Al treilea: 1\displaystyle 1.
    (2(a+b), −2(a+b)2, 1)\displaystyle \left(2(a+b),\,-2(a+b)^2,\,1\right)
  3. Liniile obținute sunt exact cele ale matricei A(a+b)\displaystyle A(a+b), deci proprietatea este adevărată pentru orice a,b\displaystyle a,b reale.
    A(a)A(b)=A(a+b)\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b)
  4. Aplicând proprietatea repetat, obținem A(1)A(2)⋅…⋅A(2020)=A(1+2+…+2020)\displaystyle A(1)A(2)\cdot\ldots\cdot A(2020)=A(1+2+\ldots+2020). Din formula lui Gauss, 1+2+…+2020=2020⋅20212\displaystyle 1+2+\ldots+2020=\dfrac{2020\cdot 2021}{2}.
    A(n)=A(1+2+3+…+2020)=A(2020⋅20212)\displaystyle A(n)=A(1+2+3+\ldots+2020)=A\left(\frac{2020\cdot2021}{2}\right)
  5. Simplificăm: 20202=1010\displaystyle \dfrac{2020}{2}=1010, deci A(n)=A(1010⋅2021)\displaystyle A(n)=A(1010\cdot 2021). Elementul −2a\displaystyle -2a de pe prima linie determină unic pe a\displaystyle a, deci n=1010⋅2021\displaystyle n=1010\cdot 2021, care este multiplu de 2021\displaystyle 2021.
    A(1010⋅2021), deci n=1010⋅2021, care este multiplu de 2021\displaystyle A(1010\cdot2021)\text{, deci }n=1010\cdot2021\text{, care este multiplu de }2021
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+3+\sqrt{3}.

Arătați că 3∗0=3\displaystyle \sqrt{3}*0=\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+3+\sqrt{3} și înlocuim x=3\displaystyle x=\sqrt{3}, y=0\displaystyle y=0.
    3∗0=3⋅0−3(3+0)+3+3\displaystyle \sqrt{3}*0=\sqrt{3}\cdot0-\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+0\right)+3+\sqrt{3}
  2. Avem 3⋅0=0\displaystyle \sqrt{3}\cdot0=0 și 3(3+0)=3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\left(\sqrt{3}+0\right)=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.
    0−3+3+3\displaystyle 0-3+3+\sqrt{3}
  3. Termenii −3\displaystyle -3 și 3\displaystyle 3 se reduc, deci 3∗0=3\displaystyle \sqrt{3}*0=\sqrt{3}.
    −3+3+3=3\displaystyle -3+3+\sqrt{3}=\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+3+\sqrt{3}.

Demonstrați că x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii, x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+3+\sqrt{3}, și desfacem paranteza: înmulțim 3\displaystyle \sqrt{3} cu fiecare termen din (x+y)\displaystyle (x+y).
    x∗y=xy−3x−3y+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}x-\sqrt{3}y+3+\sqrt{3}
  2. Grupăm termenii xy−3x\displaystyle xy-\sqrt{3}x și scoatem x\displaystyle x factor comun. Apoi observăm că −3y+3=−3(y−3)\displaystyle -\sqrt{3}y+3=-\sqrt{3}\left(y-\sqrt{3}\right), deoarece 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.
    x(y−3)−3(y−3)+3\displaystyle x\left(y-\sqrt{3}\right)-\sqrt{3}\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}
  3. Scoatem factorul comun y−3\displaystyle y-\sqrt{3} din primii doi termeni. Obținem produsul (x−3)(y−3)\displaystyle \left(x-\sqrt{3}\right)\left(y-\sqrt{3}\right), la care adăugăm 3\displaystyle \sqrt{3}, deci egalitatea este demonstrată pentru orice x,y\displaystyle x,y reale.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+3+\sqrt{3}.

Calculați 51∗62∗73∗…∗10096\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}}*\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}*\ldots*\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea într-o formă mai comodă. Observăm că (x−3)(y−3)=xy−3(x+y)+3\displaystyle (x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})=xy-\sqrt{3}(x+y)+3, deci x∗y\displaystyle x*y este acest produs plus 3\displaystyle \sqrt{3}.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}
  2. Înlocuim unul dintre numere cu 3\displaystyle \sqrt{3}. Paranteza (3−3)\displaystyle (\sqrt{3}-\sqrt{3}) este 0\displaystyle 0, deci produsul dispare și rămâne doar 3\displaystyle \sqrt{3}. Legea este comutativă, deci același rezultat apare și cu 3\displaystyle \sqrt{3} în stânga, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∗3=(x−3)⋅0+3=3 și 3∗y=3\displaystyle x*\sqrt{3}=(x-\sqrt{3})\cdot 0+\sqrt{3}=\sqrt{3}\text{ și }\sqrt{3}*y=\sqrt{3}
  3. Căutăm în șir factorul 3\displaystyle \sqrt{3}. Primul factor este 51=5\displaystyle \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}}=\sqrt{5}. Al doilea factor este 62\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}, care este 3\displaystyle \sqrt{3}.
    62=62=3\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}
  4. Legea este asociativă, deci putem efectua operațiile de la stânga la dreapta. Primii doi factori dau 5∗3\displaystyle \sqrt{5}*\sqrt{3}, care este 3\displaystyle \sqrt{3}, conform rezultatului x∗3=3\displaystyle x*\sqrt{3}=\sqrt{3}.
    51∗62=5∗3=3\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}}*\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}*\sqrt{3}=\sqrt{3}
  5. Rezultatul parțial 3\displaystyle \sqrt{3} se combină cu următorul factor, 73\displaystyle \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}. Conform pasului 2, 3∗y=3\displaystyle \sqrt{3}*y=\sqrt{3} pentru orice y\displaystyle y real, deci rezultatul rămâne 3\displaystyle \sqrt{3}. Repetăm același raționament pentru toți factorii până la 10096\displaystyle \dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}}. Rezultatul final este 3\displaystyle \sqrt{3}.
    (51∗3)∗73∗…∗10096=3∗(73∗…∗10096)=3\displaystyle \left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}}*\sqrt{3}\right)*\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}*\ldots*\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}}=\sqrt{3}*\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}*\ldots*\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}}\right)=\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x+4ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4x+4}{e^x}.

Arătați că f′(x)=−x(x+2)ex\displaystyle f'(x)=\frac{-x(x+2)}{e^x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, cu u(x)=x2+4x+4\displaystyle u(x)=x^{2}+4x+4 și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^{x}. Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=u′(x) v(x)−u(x) v′(x)v(x)2\displaystyle f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=2x+4\displaystyle u'(x)=2x+4 și v′(x)=ex\displaystyle v'(x)=e^{x}.
    u′(x)=2x+4\displaystyle u'(x)=2x+4,v′(x)=ex\displaystyle \quad v'(x)=e^{x}
  3. Înlocuim în formulă și obținem expresia derivatei f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=(2x+4)ex−(x2+4x+4)ex(ex)2\displaystyle f'(x)=\frac{(2x+4)e^x-\left(x^2+4x+4\right)e^x}{\left(e^x\right)^2}
  4. La numărător dăm factor comun pe ex\displaystyle e^{x}. În paranteză: 2x+4−x2−4x−4=−x2−2x\displaystyle 2x+4-x^{2}-4x-4=-x^{2}-2x.
    ex(2x+4−x2−4x−4)(ex)2=ex(−x2−2x)(ex)2\displaystyle \frac{e^x\left(2x+4-x^2-4x-4\right)}{\left(e^x\right)^2}=\frac{e^x\left(-x^2-2x\right)}{\left(e^x\right)^2}
  5. Dăm factor comun −x\displaystyle -x: −x2−2x=−x(x+2)\displaystyle -x^{2}-2x=-x(x+2). Simplificăm fracția cu ex\displaystyle e^{x}, deoarece (ex)2=ex⋅ex\displaystyle \left(e^{x}\right)^{2}=e^{x}\cdot e^{x}. Obținem expresia cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    ex(−x2−2x)(ex)2=−x(x+2)ex, x∈R\displaystyle \frac{e^x\left(-x^2-2x\right)}{\left(e^x\right)^2}=\frac{-x(x+2)}{e^x}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x+4ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4x+4}{e^x}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă această limită este finită. Calculăm deci această limită.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2+4x+4ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+4x+4}{e^{x}}
  2. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, atât x2+4x+4\displaystyle x^{2}+4x+4, cât și ex\displaystyle e^{x} tind la +∞\displaystyle +\infty, deci avem nedeterminare de tipul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Aplicăm regula lui l'Hospital: (x2+4x+4)′=2x+4\displaystyle (x^{2}+4x+4)'=2x+4 și (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.
    lim⁡x→+∞x2+4x+4ex=lim⁡x→+∞2x+4ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+4x+4}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+4}{e^{x}}
  3. Limita obținută este tot de tipul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci aplicăm încă o dată regula lui l'Hospital: (2x+4)′=2\displaystyle (2x+4)'=2 și (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.
    lim⁡x→+∞2x+4ex=lim⁡x→+∞2ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x+4}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}}
  4. Numitorul ex\displaystyle e^{x} tinde la +∞\displaystyle +\infty, iar numărătorul este constant 2\displaystyle 2, deci fracția tinde la 0\displaystyle 0. Astfel limita lui f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2+4x+4ex=lim⁡x→+∞2x+4ex=lim⁡x→+∞2ex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+4x+4}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+4}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}}=0
  5. Limita la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 0\displaystyle 0, deci graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x+4ex\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4x+4}{e^x}.

Demonstrați că lim⁡n→+∞(g(1)+g(2)+…+g(n))=1e−1\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(g(1)+g(2)+\ldots+g(n)\right)=\frac{1}{e-1}, unde g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)(x+2)2\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{(x+2)^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem pe g(x)\displaystyle g(x) explicit: g(x)=f(x)(x+2)2=x2+4x+4ex (x+2)2\displaystyle g(x)=\dfrac{f(x)}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x+4}{e^x\,(x+2)^2}. Observăm că x2+4x+4=(x+2)2\displaystyle x^2+4x+4=(x+2)^2.
    g(x)=(x+2)2ex(x+2)2\displaystyle g(x)=\frac{(x+2)^2}{e^x(x+2)^2}
  2. Simplificăm cu (x+2)2\displaystyle (x+2)^2, care este nenul pentru x>0\displaystyle x>0, deci g(x)=1ex\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{e^x}. Atunci suma devine g(1)+g(2)+…+g(n)=1e+1e2+…+1en\displaystyle g(1)+g(2)+\ldots+g(n)=\dfrac{1}{e}+\dfrac{1}{e^2}+\ldots+\dfrac{1}{e^n}.
    g(x)=1ex, deci lim⁡n→+∞(g(1)+…+g(n))=lim⁡n→+∞(1e+1e2+…+1en)\displaystyle g(x)=\frac{1}{e^x}\text{, deci }\lim_{n\to+\infty}\left(g(1)+\ldots+g(n)\right)=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\ldots+\frac{1}{e^n}\right)
  3. Suma are n\displaystyle n termeni ai unei progresii geometrice cu primul termen b1=1e\displaystyle b_1=\dfrac{1}{e} și rația q=1e≠1\displaystyle q=\dfrac{1}{e}\neq 1. Folosim formula Sn=b1⋅qn−1q−1\displaystyle S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}.
    Sn=1e⋅(1e)n−11e−1\displaystyle S_n=\frac{1}{e}\cdot\frac{\left(\frac{1}{e}\right)^n-1}{\frac{1}{e}-1}
  4. Cum e>1\displaystyle e>1, avem 0<1e<1\displaystyle 0<\dfrac{1}{e}<1, deci (1e)n→0\displaystyle \left(\dfrac{1}{e}\right)^n\to 0 când n→+∞\displaystyle n\to+\infty. Rezultă lim⁡n→+∞Sn=1e⋅0−11e−1\displaystyle \lim_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{1}{e}\cdot\dfrac{0-1}{\frac{1}{e}-1}.
    lim⁡n→+∞Sn=1e⋅−11e−1\displaystyle \lim_{n\to+\infty}S_n=\frac{1}{e}\cdot\frac{-1}{\frac{1}{e}-1}
  5. Avem 1e−1=1−ee\displaystyle \dfrac{1}{e}-1=\dfrac{1-e}{e}, deci 1e⋅−11−ee=1e⋅−e1−e=−11−e=1e−1\displaystyle \dfrac{1}{e}\cdot\dfrac{-1}{\frac{1-e}{e}}=\dfrac{1}{e}\cdot\dfrac{-e}{1-e}=\dfrac{-1}{1-e}=\dfrac{1}{e-1}. Așadar limita cerută este 1e−1\displaystyle \dfrac{1}{e-1}.
    lim⁡n→+∞1e⋅(1e)n−11e−1=1e−1\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{e}\cdot\frac{\left(\frac{1}{e}\right)^n-1}{\frac{1}{e}-1}=\frac{1}{e-1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1x+1\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x+1}.

Arătați că ∫01(x+1)f(x) dx=2\displaystyle \int_0^1(x+1)f(x)\,dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei. Pentru x>−1\displaystyle x>-1 avem x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0, deci (x+1)f(x)=(x+1)⋅2x+1x+1=2x+1\displaystyle (x+1)f(x)=(x+1)\cdot\dfrac{2x+1}{x+1}=2x+1.
    (x+1)f(x)=2x+1\displaystyle (x+1)f(x)=2x+1
  2. Integrala devine ∫01(2x+1) dx\displaystyle \int_0^1(2x+1)\,dx. O primitivă a lui 2x+1\displaystyle 2x+1 este x2+x\displaystyle x^{2}+x, deoarece (x2+x)′=2x+1\displaystyle \left(x^{2}+x\right)'=2x+1.
    ∫01(x+1)f(x) dx=∫01(2x+1) dx=(x2+x)∣01\displaystyle \int_0^1(x+1)f(x)\,dx=\int_0^1(2x+1)\,dx=\left(x^2+x\right)\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: (x2+x)∣01=(12+1)−(02+0)=1+1−0=2\displaystyle \left(x^{2}+x\right)\Big|_0^1=(1^{2}+1)-(0^{2}+0)=1+1-0=2. Deci integrala este egală cu 2, așa cum trebuia arătat.
    1+1=2\displaystyle 1+1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1x+1\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x+1}.

Arătați că ∫01f(x) dx=2−ln⁡2\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=2-\ln2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem numărătorul ca 2x+1=2(x+1)−1\displaystyle 2x+1=2(x+1)-1, deci f(x)=2(x+1)−1x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{2(x+1)-1}{x+1}. Simplificând, obținem f(x)=2−1x+1\displaystyle f(x)=2-\dfrac{1}{x+1}.
    f(x)=2−1x+1\displaystyle f(x)=2-\frac{1}{x+1}
  2. Înlocuim în integrală: ∫01f(x) dx=∫01(2−1x+1)dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\left(2-\dfrac{1}{x+1}\right)dx. Separăm: ∫012 dx−∫011x+1 dx\displaystyle \int_0^1 2\,dx-\int_0^1\dfrac{1}{x+1}\,dx.
    ∫012 dx−∫011x+1 dx\displaystyle \int_0^1 2\,dx-\int_0^1\frac{1}{x+1}\,dx
  3. O primitivă a lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x, iar o primitivă a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Rezultă ∫01f(x) dx=2x∣01−ln⁡(x+1)∣01\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=2x\Big|_0^1-\ln(x+1)\Big|_0^1.
    ∫01f(x) dx=2x∣01−ln⁡(x+1)∣01\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=2x\Big|_0^1-\ln(x+1)\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru primul termen: 2x∣01=2⋅1−2⋅0=2\displaystyle 2x\Big|_0^1=2\cdot1-2\cdot0=2. Pentru al doilea: ln⁡(x+1)∣01=ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2\displaystyle \ln(x+1)\Big|_0^1=\ln2-\ln1=\ln2, deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln1=0.
    2−ln⁡2+ln⁡1\displaystyle 2-\ln2+\ln1
  5. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln1=0, obținem ∫01f(x) dx=2−ln⁡2+ln⁡1=2−ln⁡2\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=2-\ln2+\ln1=2-\ln2, ceea ce trebuia demonstrat.
    2−ln⁡2+ln⁡1=2−ln⁡2\displaystyle 2-\ln2+\ln1=2-\ln2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1x+1\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x+1}.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01ex(x+1)n(f(x))n dx\displaystyle I_n=\int_0^1e^x(x+1)^n(f(x))^n\,dx. Demonstrați că In+2nIn−1=3ne−1\displaystyle I_n+2nI_{n-1}=3^ne-1, pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\geq2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (x+1)f(x)=(x+1)⋅2x+1x+1=2x+1\displaystyle (x+1)f(x)=(x+1)\cdot\dfrac{2x+1}{x+1}=2x+1, deoarece x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0 pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Atunci (x+1)n(f(x))n=(2x+1)n\displaystyle (x+1)^n(f(x))^n=(2x+1)^n.
    (x+1)n(f(x))n=(2x+1)n\displaystyle (x+1)^n(f(x))^n=(2x+1)^n
  2. Înlocuind în definiția lui In\displaystyle I_n, obținem integrala de mai jos.
    In=∫01ex(2x+1)n dx\displaystyle I_n=\int_0^1 e^x(2x+1)^n\,dx
  3. Integrăm prin părți: alegem u=(2x+1)n\displaystyle u=(2x+1)^n și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=2n(2x+1)n−1 dx\displaystyle du=2n(2x+1)^{n-1}\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=(2x+1)n\displaystyle u=(2x+1)^n, v=ex\displaystyle \ v=e^x, du=2n(2x+1)n−1dx\displaystyle \ du=2n(2x+1)^{n-1}dx
  4. Aplicăm formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    In=ex(2x+1)n∣01−2n∫01ex(2x+1)n−1 dx\displaystyle I_n=e^x(2x+1)^n\Big|_0^1-2n\int_0^1 e^x(2x+1)^{n-1}\,dx
  5. Calculăm termenul de frontieră: în x=1\displaystyle x=1 avem e⋅3n\displaystyle e\cdot 3^n, iar în x=0\displaystyle x=0 avem e0⋅1n=1\displaystyle e^0\cdot 1^n=1.
    ex(2x+1)n∣01=e⋅3n−1\displaystyle e^x(2x+1)^n\Big|_0^1=e\cdot 3^n-1
  6. Integrala rămasă este In−1\displaystyle I_{n-1}, deoarece (2x+1)n−1=(x+1)n−1(f(x))n−1\displaystyle (2x+1)^{n-1}=(x+1)^{n-1}(f(x))^{n-1}. Condiția n≥2\displaystyle n\geq 2 asigură că n−1\displaystyle n-1 este număr natural nenul.
    ∫01ex(2x+1)n−1 dx=In−1\displaystyle \int_0^1 e^x(2x+1)^{n-1}\,dx=I_{n-1}
  7. Înlocuim: In=e⋅3n−1−2nIn−1\displaystyle I_n=e\cdot 3^n-1-2nI_{n-1}. Mutăm termenul 2nIn−1\displaystyle 2nI_{n-1} în stânga și obținem relația cerută, pentru orice n≥2\displaystyle n\geq 2.
    In=e⋅3n−1−2nIn−1, deci In+2nIn−1=3ne−1, pentru orice numa˘r \displaystyle I_n=e\cdot3^n-1-2nI_{n-1}\text{, deci }I_n+2nI_{n-1}=3^ne-1\text{, pentru orice număr }natural n, n≥2\displaystyle \text{natural }n\text{, }n\geq2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.