Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 6: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numerele 43\displaystyle \sqrt[3]{4}, log⁡39\displaystyle \log_3 9 și 163\displaystyle \sqrt[3]{16} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
Vezi rezolvarea
  1. Trei numere nenule a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă b2=a⋅c\displaystyle b^{2}=a\cdot c. Aici a=43\displaystyle a=\sqrt[3]{4}, b=log⁡39\displaystyle b=\log_3 9, c=163\displaystyle c=\sqrt[3]{16}, deci trebuie să arătăm că (log⁡39)2=43⋅163\displaystyle (\log_3 9)^{2}=\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}.
    b2=a⋅c\displaystyle b^{2}=a\cdot c
  2. Calculăm produsul termenilor extremi: 43⋅163=4⋅163=643=433=4\displaystyle \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{4\cdot 16}=\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^{3}}=4.
    43⋅163=433=4\displaystyle \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{4^{3}}=4
  3. Calculăm termenul din mijloc: deoarece 9=32\displaystyle 9=3^{2}, avem log⁡39=log⁡332=2\displaystyle \log_3 9=\log_3 3^{2}=2.
    log⁡39=2\displaystyle \log_3 9=2
  4. Ridicăm termenul din mijloc la pătrat: (log⁡39)2=22=4\displaystyle (\log_3 9)^{2}=2^{2}=4.
    (log⁡39)2=22=4\displaystyle (\log_3 9)^{2}=2^{2}=4
  5. Cum (log⁡39)2=4=43⋅163\displaystyle (\log_3 9)^{2}=4=\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}, relația b2=a⋅c\displaystyle b^{2}=a\cdot c este verificată, deci numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
    (log⁡39)2=43⋅163\displaystyle (\log_3 9)^{2}=\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră o funcție impară f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. Demonstrați că funcția g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=(f(x))2\displaystyle g(x)=(f(x))^2 este pară.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim definiția funcției impare: f\displaystyle f este impară dacă f(−x)=−f(x)\displaystyle f(-x)=-f(x) pentru orice număr real x\displaystyle x. Domeniul R\displaystyle \mathbb{R} este simetric față de origine, deci f(−x)\displaystyle f(-x) are sens pentru orice x\displaystyle x.
    f(−x)=−f(x), pentru orice numa˘r real x\displaystyle f(-x)=-f(x)\text{, pentru orice număr real }x
  2. Reamintim ce trebuie arătat: g\displaystyle g este pară dacă g(−x)=g(x)\displaystyle g(-x)=g(x) pentru orice număr real x\displaystyle x. Pornim de la expresia lui g(−x)\displaystyle g(-x), înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în formula lui g\displaystyle g.
    g(−x)=(f(−x))2\displaystyle g(-x)=(f(-x))^2
  3. Folosim faptul că f\displaystyle f este impară: f(−x)=−f(x)\displaystyle f(-x)=-f(x). Înlocuim în expresia lui g(−x)\displaystyle g(-x).
    g(−x)=(−f(x))2\displaystyle g(-x)=(-f(x))^2
  4. Ridicarea la pătrat anulează semnul minus, deoarece (−a)2=a2\displaystyle (-a)^2=a^2. Deci (−f(x))2=(f(x))2\displaystyle (-f(x))^2=(f(x))^2, adică exact g(x)\displaystyle g(x).
    g(−x)=(−f(x))2=(f(x))2=g(x)\displaystyle g(-x)=(-f(x))^2=(f(x))^2=g(x)
  5. Am obținut g(−x)=g(x)\displaystyle g(-x)=g(x) pentru orice număr real x\displaystyle x, iar domeniul R\displaystyle \mathbb{R} este simetric față de origine. Prin urmare, funcția g\displaystyle g este pară.
    g(−x)=(f(−x))2=(−f(x))2=(f(x))2=g(x), pentru orice numa˘r real x, deci funcția g este para˘\displaystyle g(-x)=(f(-x))^2=(-f(x))^2=(f(x))^2=g(x)\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci funcția }g\text{ este pară}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22x−2⋅2x=2x+1−22\displaystyle 2^{2x}-\sqrt{2}\cdot 2^x=2^{x+1}-2\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 2x+1=2⋅2x\displaystyle 2^{x+1}=2\cdot 2^x. Apoi mutăm toți termenii în membrul stâng.
    22x−2⋅2x−2⋅2x+22=0\displaystyle 2^{2x}-\sqrt{2}\cdot 2^x-2\cdot 2^x+2\sqrt{2}=0
  2. Grupăm termenii doi câte doi și dăm factor comun: din primii doi factor comun 2x\displaystyle 2^x, din ceilalți doi factor comun −2\displaystyle -2. Apare aceeași paranteză 2x−2\displaystyle 2^x-\sqrt{2} în ambele grupuri.
    2x(2x−2)−2(2x−2)=0\displaystyle 2^x\left(2^x-\sqrt{2}\right)-2\left(2^x-\sqrt{2}\right)=0
  3. Dăm factor comun paranteza 2x−2\displaystyle 2^x-\sqrt{2} și obținem un produs egal cu zero.
    (2x−2)(2x−2)=0\displaystyle \left(2^x-2\right)\left(2^x-\sqrt{2}\right)=0
  4. Un produs este zero când unul dintre factori este zero. Rezolvăm separat cele două ecuații exponențiale, scriind fiecare număr ca putere a lui 2: 2=21\displaystyle 2=2^1, iar 2=212\displaystyle \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}.
    2x=21 sau 2x=212\displaystyle 2^x=2^1\text{ sau }2^x=2^{\frac{1}{2}}
  5. Funcția exponențială de bază 2 este injectivă, deci exponenții sunt egali. Obținem soluțiile ecuației.
    x=1 sau x=12\displaystyle x=1\text{ sau }x=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați termenul care îl conține pe x8\displaystyle x^8 din dezvoltarea (xx+1x2)10\displaystyle \left(x\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)^{10}, unde x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula binomului lui Newton: termenul general al dezvoltării (xx+1x2)10\displaystyle \left(x\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)^{10} este Tk+1=C10k(xx)10−k(1x2)k\displaystyle T_{k+1}=C_{10}^k\left(x\sqrt{x}\right)^{10-k}\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^k, unde k∈{0,1,…,10}\displaystyle k\in\{0,1,\ldots,10\}.
    Tk+1=C10k(xx)10−k(1x2)k\displaystyle T_{k+1}=C_{10}^k\left(x\sqrt{x}\right)^{10-k}\left(\frac{1}{x^2}\right)^k
  2. Avem xx=x⋅x12=x32\displaystyle x\sqrt{x}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}} și 1x2=x−2\displaystyle \dfrac{1}{x^2}=x^{-2}. Atunci exponentul lui x\displaystyle x este 3(10−k)2−2k=30−3k−4k2=30−7k2\displaystyle \dfrac{3(10-k)}{2}-2k=\dfrac{30-3k-4k}{2}=\dfrac{30-7k}{2}.
    Tk+1=C10kx3(10−k)2−2k=C10kx30−7k2, unde k∈{0,1,2,…,10}\displaystyle T_{k+1}=C_{10}^k x^{\frac{3(10-k)}{2}-2k}=C_{10}^k x^{\frac{30-7k}{2}}\text{, unde }k\in\{0,1,2,\ldots,10\}
  3. Termenul conține pe x8\displaystyle x^8 când 30−7k2=8\displaystyle \dfrac{30-7k}{2}=8, adică 30−7k=16\displaystyle 30-7k=16, deci 7k=14\displaystyle 7k=14 și k=2\displaystyle k=2. Valoarea k=2\displaystyle k=2 este în mulțimea {0,1,…,10}\displaystyle \{0,1,\ldots,10\}, deci convine.
    30−7k2=8⇔k=2\displaystyle \frac{30-7k}{2}=8\Leftrightarrow k=2
  4. Pentru k=2\displaystyle k=2 obținem T3=C102x8\displaystyle T_3=C_{10}^2x^8, care este termenul ce îl conține pe x8\displaystyle x^8.
    T3=C102x8\displaystyle T_3=C_{10}^2 x^8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În planul triunghiului ABC\displaystyle ABC se consideră punctul M\displaystyle M, astfel încât 2AM→=AB→+AC→\displaystyle 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}. Determinați numărul real k\displaystyle k, știind că BC→=k⋅CM→\displaystyle \overrightarrow{BC}=k\cdot\overrightarrow{CM}.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim relația 2AM→=AB→+AC→\displaystyle 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} la 2\displaystyle 2 și obținem vectorul AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} ca jumătate din suma vectorilor AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} și AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}.
    AM→=12(AB→+AC→)\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)
  2. Aceasta este formula vectorului de poziție al mijlocului unui segment față de punctul A\displaystyle A, deci M\displaystyle M este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
    M este mijlocul segmentului BC\displaystyle M\text{ este mijlocul segmentului }BC
  3. Deoarece M\displaystyle M este mijlocul lui BC\displaystyle BC, avem BM→=MC→\displaystyle \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}. Atunci BC→=BM→+MC→=2MC→\displaystyle \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MC}, iar MC→=−CM→\displaystyle \overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{CM}.
    BC→=2MC→=−2CM→\displaystyle \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{CM}
  4. Comparăm cu relația BC→=k⋅CM→\displaystyle \overrightarrow{BC}=k\cdot\overrightarrow{CM} și obținem valoarea lui k\displaystyle k.
    k=−2\displaystyle k=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π)\displaystyle x\in(0,\pi), știind că sin⁡2x+6cos⁡x−sin⁡x−3=0\displaystyle \sin 2x+6\cos x-\sin x-3=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula sinusului unghiului dublu: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x. Ecuația devine 2sin⁡xcos⁡x+6cos⁡x−sin⁡x−3=0\displaystyle 2\sin x\cos x+6\cos x-\sin x-3=0.
    2sin⁡xcos⁡x+6cos⁡x−sin⁡x−3=0\displaystyle 2\sin x\cos x+6\cos x-\sin x-3=0
  2. Grupăm primii doi termeni și scoatem factor comun 2cos⁡x\displaystyle 2\cos x: 2sin⁡xcos⁡x+6cos⁡x=2cos⁡x(sin⁡x+3)\displaystyle 2\sin x\cos x+6\cos x=2\cos x(\sin x+3). Ultimii doi termeni sunt −sin⁡x−3=−(sin⁡x+3)\displaystyle -\sin x-3=-(\sin x+3).
    2cos⁡x(sin⁡x+3)−(sin⁡x+3)=0\displaystyle 2\cos x(\sin x+3)-(\sin x+3)=0
  3. Scoatem factor comun parantezei (sin⁡x+3)\displaystyle (\sin x+3) și obținem produsul egal cu zero.
    (sin⁡x+3)(2cos⁡x−1)=0\displaystyle (\sin x+3)(2\cos x-1)=0
  4. Un produs este zero dacă unul dintre factori este zero. Dar sin⁡x≥−1\displaystyle \sin x\ge -1, deci sin⁡x+3≥2>0\displaystyle \sin x+3\ge 2>0, adică sin⁡x+3≠0\displaystyle \sin x+3\neq 0. Rămâne 2cos⁡x−1=0\displaystyle 2\cos x-1=0, adică cos⁡x=12\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡x+3≠0, deci cos⁡x=12\displaystyle \sin x+3\neq 0\text{, deci }\cos x=\frac{1}{2}
  5. Pe intervalul (0,π)\displaystyle (0,\pi) funcția cosinus este strict descrescătoare, deci ia valoarea 12\displaystyle \dfrac{1}{2} o singură dată, pentru x=π3\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}.
    x=π3\displaystyle x=\frac{\pi}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(20−11−104−1−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&-1&0\\4&-1&-1\end{pmatrix} și M(m)=(−1−11−1m1m−1m−m)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-1&m&1\\m-1&m&-m\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real. Arătați că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A și aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Determinantul este det⁡A=∣20−11−104−1−1∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&0&-1\\1&-1&0\\4&-1&-1\end{vmatrix}.
    ∣20−11−104−1−1∣\displaystyle \begin{vmatrix}2&0&-1\\1&-1&0\\4&-1&-1\end{vmatrix}
  2. Calculăm produsele care se adună: diagonala principală 2⋅(−1)⋅(−1)=2\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot(-1)=2, prima paralelă 0⋅0⋅4=0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 4=0, a doua paralelă (−1)⋅1⋅(−1)=1\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot(-1)=1.
    3\displaystyle 3
  3. Calculăm produsele care se scad: diagonala secundară (−1)⋅(−1)⋅4=4\displaystyle (-1)\cdot(-1)\cdot 4=4, prima paralelă 2⋅0⋅(−1)=0\displaystyle 2\cdot 0\cdot(-1)=0, a doua paralelă 0⋅1⋅(−1)=0\displaystyle 0\cdot 1\cdot(-1)=0.
    4\displaystyle 4
  4. Scriem determinantul ca suma produselor de pe diagonala principală și paralele, minus produsele de pe diagonala secundară și paralele: det⁡A=2+1+0−4−0−0\displaystyle \det A=2+1+0-4-0-0.
    2+1+0−4−0−0\displaystyle 2+1+0-4-0-0
  5. Efectuăm calculele: 3−4=−1\displaystyle 3-4=-1, deci det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1, ceea ce trebuia arătat.
    −1\displaystyle -1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(20−11−104−1−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&-1&0\\4&-1&-1\end{pmatrix} și M(m)=(−1−11−1m1m−1m−m)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-1&m&1\\m-1&m&-m\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr real m\displaystyle m, rangul matricei M(m)\displaystyle M(m) este cel puțin egal cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Rangul unei matrice este cel puțin 2\displaystyle 2 dacă are un minor de ordin 2\displaystyle 2 nenul. Căutăm un minor de ordin 2\displaystyle 2 al cărui determinant să nu depindă de m\displaystyle m. Alegem minorul format din liniile 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3 și coloanele 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2 ale matricei M(m)\displaystyle M(m).
    Δ=∣−1−1m−1m∣\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}-1&-1\\m-1&m\end{vmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică Δ=(−1)⋅m−(−1)⋅(m−1)\displaystyle \Delta=(-1)\cdot m-(-1)\cdot(m-1).
    Δ=−m+(m−1)=−m+m−1\displaystyle \Delta=-m+(m-1)=-m+m-1
  3. Reducem termenii cu m\displaystyle m și obținem o valoare constantă, independentă de m\displaystyle m.
    Δ=−1\displaystyle \Delta=-1
  4. Deoarece Δ=−1≠0\displaystyle \Delta=-1\neq 0 pentru orice m\displaystyle m real, minorul de ordin 2\displaystyle 2 este nenul, deci rangul matricei M(m)\displaystyle M(m) este cel puțin 2\displaystyle 2, pentru orice număr real m\displaystyle m.
    −1≠0, deci matricea M(m) are rangul cel puțin egal \displaystyle -1\neq 0\text{, deci matricea }M(m)\text{ are rangul cel puțin egal }cu 2, pentru orice numa˘r real m\displaystyle \text{cu }2\text{, pentru orice număr real }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(20−11−104−1−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&-1&0\\4&-1&-1\end{pmatrix} și M(m)=(−1−11−1m1m−1m−m)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-1&m&1\\m-1&m&-m\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m, m≠−1\displaystyle m\neq -1, știind că inversa matricei M(m)\displaystyle M(m) este matricea A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Dacă A\displaystyle A este inversa lui M(m)\displaystyle M(m), atunci M(m)⋅A=I3\displaystyle M(m)\cdot A=I_3. Aceasta este condiția pe care o impunem.
    M(m)⋅A=I3\displaystyle M(m)\cdot A=I_3
  2. Calculăm prima linie a produsului, înmulțind linia (−1,−1,1)\displaystyle (-1,-1,1) cu fiecare coloană a lui A\displaystyle A: −2−1+4=1\displaystyle -2-1+4=1, 0+1−1=0\displaystyle 0+1-1=0, 1+0−1=0\displaystyle 1+0-1=0. Obținem (1,0,0)\displaystyle (1,0,0), adică prima linie din matricea unitate, indiferent de m\displaystyle m.
    (100)\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm linia a doua, înmulțind linia (−1,m,1)\displaystyle (-1,m,1) cu coloanele lui A\displaystyle A: −2+m+4=m+2\displaystyle -2+m+4=m+2, 0−m−1=−m−1\displaystyle 0-m-1=-m-1, 1+0−1=0\displaystyle 1+0-1=0.
    (m+2−m−10)\displaystyle \begin{pmatrix}m+2&-m-1&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm linia a treia, înmulțind linia (m−1,m,−m)\displaystyle (m-1,m,-m) cu coloanele lui A\displaystyle A: 2(m−1)+m−4m=−m−2\displaystyle 2(m-1)+m-4m=-m-2, −m+m=0\displaystyle -m+m=0, −(m−1)+m=1\displaystyle -(m-1)+m=1.
    (−m−201)\displaystyle \begin{pmatrix}-m-2&0&1\end{pmatrix}
  5. Punem condiția ca produsul calculat să fie egal cu I3\displaystyle I_3 și identificăm elementele corespunzătoare.
    (100m+2−m−10−m−201)=(100010001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\m+2&-m-1&0\\-m-2&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  6. Din egalitatea elementelor obținem m+2=0\displaystyle m+2=0, −m−1=1\displaystyle -m-1=1 și −m−2=0\displaystyle -m-2=0. Toate dau aceeași soluție.
    m+2=0⇒m=−2\displaystyle m+2=0\Rightarrow m=-2
  7. Valoarea m=−2\displaystyle m=-2 este diferită de −1\displaystyle -1, deci convine. Răspunsul este m=−2\displaystyle m=-2.
    m=−2, care convine\displaystyle m=-2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție z1∘z2=z1+z2+z1z2\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2+z_1z_2.

Arătați că (2+i)∘(2−i)=9\displaystyle (2+i)\circ(2-i)=9.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția z1∘z2=z1+z2+z1z2\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2+z_1z_2 pentru z1=2+i\displaystyle z_1=2+i și z2=2−i\displaystyle z_2=2-i.
    (2+i)∘(2−i)=(2+i)+(2−i)+(2+i)(2−i)\displaystyle (2+i)\circ(2-i)=(2+i)+(2-i)+(2+i)(2-i)
  2. Calculăm suma: (2+i)+(2−i)=2+2+i−i\displaystyle (2+i)+(2-i)=2+2+i-i, deoarece i\displaystyle i și −i\displaystyle -i se reduc.
    (2+i)+(2−i)=4\displaystyle (2+i)+(2-i)=4
  3. Calculăm produsul cu formula (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^2-b^2, apoi folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1: (2+i)(2−i)=4−i2=4+1\displaystyle (2+i)(2-i)=4-i^2=4+1.
    (2+i)(2−i)=4−i2=5\displaystyle (2+i)(2-i)=4-i^{2}=5
  4. Adunăm rezultatele: 4+(4−i2)=4+4+1=9\displaystyle 4+(4-i^2)=4+4+1=9. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    4+4−i2=9\displaystyle 4+4-i^{2}=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție z1∘z2=z1+z2+z1z2\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2+z_1z_2.

Demonstrați că, pentru orice număr real nenul a\displaystyle a, numărul A=(−1+(a+1)i)∘(−1+(a−1)i)\displaystyle A=(-1+(a+1)i)\circ(-1+(a-1)i) este real strict mai mic decât 0\displaystyle 0.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii z1∘z2=z1+z2+z1z2\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2+z_1z_2 pentru z1=−1+(a+1)i\displaystyle z_1=-1+(a+1)i și z2=−1+(a−1)i\displaystyle z_2=-1+(a-1)i.
    A=−1+(a+1)i−1+(a−1)i+(−1+(a+1)i)(−1+(a−1)i)\displaystyle A=-1+(a+1)i-1+(a-1)i+(-1+(a+1)i)(-1+(a-1)i)
  2. Adunăm primii doi termeni: părțile reale dau −2\displaystyle -2, iar cele imaginare dau (a+1)i+(a−1)i=2ai\displaystyle (a+1)i+(a-1)i=2ai.
    z1+z2=−2+2ai\displaystyle z_1+z_2=-2+2ai
  3. Dezvoltăm produsul z1z2\displaystyle z_1z_2, ținând cont că i2=−1\displaystyle i^2=-1.
    (−1+(a+1)i)(−1+(a−1)i)=1−(a−1)i−(a+1)i+(a+1)(a−1)i2\displaystyle (-1+(a+1)i)(-1+(a-1)i)=1-(a-1)i-(a+1)i+(a+1)(a-1)i^{2}
  4. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1 și (a+1)(a−1)=a2−1\displaystyle (a+1)(a-1)=a^2-1, deci ultimul termen devine −(a2−1)\displaystyle -(a^2-1).
    z1z2=1−(a−1)i−(a+1)i−(a2−1)\displaystyle z_1z_2=1-(a-1)i-(a+1)i-\left(a^{2}-1\right)
  5. Adunăm rezultatele și reducem termenii: 2ai−(a−1)i−(a+1)i=0\displaystyle 2ai-(a-1)i-(a+1)i=0, iar partea reală este −2+1−(a2−1)=−a2\displaystyle -2+1-(a^{2}-1)=-a^{2}.
    A=−2+2ai+1−(a−1)i−(a+1)i−(a2−1)=−a2\displaystyle A=-2+2ai+1-(a-1)i-(a+1)i-\left(a^{2}-1\right)=-a^{2}
  6. Deoarece a\displaystyle a este real și nenul, a2>0\displaystyle a^{2}>0, deci A=−a2\displaystyle A=-a^{2} este număr real strict negativ.
    A=−a2<0, pentru orice numa˘r real \displaystyle A=-a^{2}<0\text{, pentru orice număr real }nenul a\displaystyle \text{nenul }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție z1∘z2=z1+z2+z1z2\displaystyle z_1\circ z_2=z_1+z_2+z_1z_2.

Determinați numerele complexe z\displaystyle z pentru care z∘z=−5\displaystyle z\circ z=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru z1=z2=z\displaystyle z_1=z_2=z: z∘z=z+z+z⋅z\displaystyle z\circ z=z+z+z\cdot z.
    z∘z=2z+z2\displaystyle z\circ z=2z+z^{2}
  2. Punem condiția z∘z=−5\displaystyle z\circ z=-5 și aducem ecuația la forma generală, trecând pe −5\displaystyle -5 în membrul stâng.
    2z+z2=−5⇔z2+2z+5=0\displaystyle 2z+z^{2}=-5\Leftrightarrow z^{2}+2z+5=0
  3. Calculăm discriminantul ecuației de gradul al doilea cu a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=5\displaystyle c=5.
    Δ=22−4⋅1⋅5=−16\displaystyle \Delta=2^{2}-4\cdot 1\cdot 5=-16
  4. Deoarece discriminantul este negativ, rădăcinile sunt complexe: −16=4i\displaystyle \sqrt{-16}=4i. Aplicăm formula z=−b±Δ2a\displaystyle z=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} și obținem soluțiile.
    z=−2±4i2=−1±2i⇒z=−1−2i sau z=−1+2i\displaystyle z=\dfrac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i\Rightarrow z=-1-2i\text{ sau }z=-1+2i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+1x+3\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{x+1}{x+3}.

Arătați că f′(x)=2(x+1)(x+3)\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)(x+3)}, x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty) avem x+1>0\displaystyle x+1>0 și x+3>0\displaystyle x+3>0, deci putem folosi ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\displaystyle \ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b pentru a,b>0\displaystyle a,b>0.
    f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x+3)\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x+3)
  2. Derivăm termen cu termen, folosind (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}. Avem (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1 și (x+3)′=1\displaystyle (x+3)'=1, deci f′(x)=(ln⁡(x+1)−ln⁡(x+3))′\displaystyle f'(x)=(\ln(x+1)-\ln(x+3))'.
    f′(x)=1x+1−1x+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+3}
  3. Aducem fracțiile la numitorul comun (x+1)(x+3)\displaystyle (x+1)(x+3) și scădem numărătorii.
    f′(x)=x+3−(x+1)(x+1)(x+3)\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+3-(x+1)}{(x+1)(x+3)}
  4. La numărător, x+3−x−1=2\displaystyle x+3-x-1=2. Obținem egalitatea cerută pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
    f′(x)=2(x+1)(x+3), x∈(−1,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)(x+3)}\text{, }x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+1x+3\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{x+1}{x+3}.

Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Asimptota verticală se caută în extremitatea finită a domeniului, adică în x=−1\displaystyle x=-1, calculând limita la dreapta în acest punct.
    lim⁡x→−1, x>−1f(x)=lim⁡x→−1, x>−1ln⁡x+1x+3\displaystyle \lim_{x\to -1,\,x>-1} f(x)=\lim_{x\to -1,\,x>-1}\ln\dfrac{x+1}{x+3}
  2. Când x→−1\displaystyle x\to -1, cu x>−1\displaystyle x>-1, numărătorul x+1\displaystyle x+1 tinde la 0\displaystyle 0 prin valori pozitive, iar numitorul x+3\displaystyle x+3 tinde la 2\displaystyle 2. Deci fracția tinde la 0\displaystyle 0 prin valori pozitive.
    x+1x+3→0+2=0+\displaystyle \dfrac{x+1}{x+3}\to \dfrac{0^{+}}{2}=0^{+}
  3. Logaritmul natural al unei valori care tinde la 0\displaystyle 0 prin valori pozitive tinde la −∞\displaystyle -\infty. Limita laterală este infinită.
    lim⁡x→−1, x>−1ln⁡x+1x+3=−∞\displaystyle \lim_{x\to -1,\,x>-1}\ln\dfrac{x+1}{x+3}=-\infty
  4. Deoarece limita la dreapta în x=−1\displaystyle x=-1 este infinită, dreapta x=−1\displaystyle x=-1 este asimptotă verticală la graficul funcției f\displaystyle f.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+1x+3\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{x+1}{x+3}. Calculați lim⁡x→+∞(xf(x))\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(xf(x)\right).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem limita cerută: lim⁡x→+∞xln⁡x+1x+3\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x\ln\dfrac{x+1}{x+3}. Fracția x+1x+3\displaystyle \dfrac{x+1}{x+3} tinde la 1\displaystyle 1, deci logaritmul tinde la 0\displaystyle 0, iar limita are forma nedeterminată ∞⋅0\displaystyle \infty\cdot 0.
    lim⁡x→+∞(xln⁡x+1x+3)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(x\ln\frac{x+1}{x+3}\right)
  2. Folosim proprietatea aln⁡b=ln⁡ba\displaystyle a\ln b=\ln b^{a} și introducem factorul x\displaystyle x ca exponent în argumentul logaritmului.
    lim⁡x→+∞ln⁡(x+1x+3)x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{x}
  3. Scriem x+1=(x+3)−2\displaystyle x+1=(x+3)-2, deci x+1x+3=1+−2x+3\displaystyle \dfrac{x+1}{x+3}=1+\dfrac{-2}{x+3}. Fracția −2x+3\displaystyle \dfrac{-2}{x+3} tinde la 0\displaystyle 0, deci baza are forma 1+(ceva care tinde la 0)\displaystyle 1+\text{(ceva care tinde la }0\text{)}, iar limita este de tip 1∞\displaystyle 1^{\infty}.
    lim⁡x→+∞ln⁡(1+−2x+3)x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac{-2}{x+3}\right)^{x}
  4. Pentru limita remarcabilă avem nevoie ca exponentul să fie inversul fracției din paranteză, adică x+3−2\displaystyle \dfrac{x+3}{-2}. Scriem x=x+3−2⋅−2xx+3\displaystyle x=\dfrac{x+3}{-2}\cdot\dfrac{-2x}{x+3} și obținem expresia de mai jos.
    lim⁡x→+∞ln⁡((1+−2x+3)x+3−2)−2xx+3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\left(\left(1+\frac{-2}{x+3}\right)^{\frac{x+3}{-2}}\right)^{\frac{-2x}{x+3}}
  5. Notăm t=x+3−2\displaystyle t=\dfrac{x+3}{-2}; când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, t→−∞\displaystyle t\to-\infty, iar (1+1t)t→e\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}\to e. Apoi lim⁡x→+∞−2xx+3=−2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2x}{x+3}=-2.
    −2\displaystyle -2
  6. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este continuă, deci trecem la limită în interior: ln⁡e−2=−2ln⁡e=−2\displaystyle \ln e^{-2}=-2\ln e=-2. Așadar lim⁡x→+∞(xf(x))=−2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(xf(x)\right)=-2.
    ln⁡e−2=−2\displaystyle \ln e^{-2}=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+1)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x}.

Arătați că ∫01(exf(x)−2)dx=−23\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(e^xf(x)-2\right)dx=-\frac{2}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=(x2+1)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x} în integrand: exf(x)=ex(x2+1)e−x\displaystyle e^xf(x)=e^x\left(x^2+1\right)e^{-x}.
    exf(x)=ex(x2+1)e−x\displaystyle e^xf(x)=e^x\left(x^2+1\right)e^{-x}
  2. Deoarece ex⋅e−x=e0=1\displaystyle e^x\cdot e^{-x}=e^0=1, obținem exf(x)=x2+1\displaystyle e^xf(x)=x^2+1.
    exf(x)=x2+1\displaystyle e^xf(x)=x^2+1
  3. Integrandul devine x2+1−2=x2−1\displaystyle x^2+1-2=x^2-1, deci integrala este ∫01(x2−1)dx\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(x^2-1\right)dx.
    ∫01(exf(x)−2)dx=∫01(x2−1)dx\displaystyle \int_0^1\left(e^xf(x)-2\right)dx=\int_0^1\left(x^2-1\right)dx
  4. O primitivă a funcției x2−1\displaystyle x^2-1 este x33−x\displaystyle \dfrac{x^3}{3}-x. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01(x2−1)dx=(x33−x)∣01\displaystyle \int_0^1\left(x^2-1\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\Big|_0^1
  5. Valoarea în 1\displaystyle 1 este 13−1\displaystyle \dfrac{1}{3}-1, iar în 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0. Diferența lor este 13−1−0=−23\displaystyle \dfrac{1}{3}-1-0=-\dfrac{2}{3}, deci egalitatea cerută este adevărată.
    13−1=−23\displaystyle \frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+1)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x}.

Calculați ∫1ef(ln⁡x) dx\displaystyle \displaystyle\int_1^e f(\ln x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(ln⁡x)\displaystyle f(\ln x) înlocuind x\displaystyle x cu ln⁡x\displaystyle \ln x în f(x)=(x2+1)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x}. Folosim faptul că e−ln⁡x=1x\displaystyle e^{-\ln x}=\dfrac{1}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f(ln⁡x)=(ln⁡2x+1)e−ln⁡x=ln⁡2x+1x\displaystyle f(\ln x)=\left(\ln^2 x+1\right)e^{-\ln x}=\frac{\ln^2 x+1}{x}
  2. Scriem integrala și observăm că 1x=(ln⁡x)′\displaystyle \dfrac{1}{x}=(\ln x)', deci expresia are forma g(ln⁡x)⋅(ln⁡x)′\displaystyle g(\ln x)\cdot(\ln x)'.
    ∫1ef(ln⁡x) dx=∫1e(ln⁡2x+1)⋅(ln⁡x)′ dx\displaystyle \int_1^e f(\ln x)\,dx=\int_1^e\left(\ln^2x+1\right)\cdot(\ln x)'\,dx
  3. Primitiva lui t2+1\displaystyle t^2+1 este t33+t\displaystyle \dfrac{t^3}{3}+t, cu t=ln⁡x\displaystyle t=\ln x. Obținem primitiva și scriem formula Leibniz-Newton pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e].
    ∫1ef(ln⁡x) dx=(ln⁡3x3+ln⁡x)∣1e\displaystyle \int_1^e f(\ln x)\,dx=\left(\frac{\ln^3x}{3}+\ln x\right)\Big|_1^e
  4. Folosim ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Valoarea în e\displaystyle e este 13+1\displaystyle \dfrac{1}{3}+1, iar în 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, deci diferența este rezultatul căutat.
    (13+1)−0=43\displaystyle \left(\frac{1}{3}+1\right)-0=\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+1)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x}.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xnf(x) dx\displaystyle I_n=\displaystyle\int_0^1x^nf(x)\,dx. Calculați lim⁡n→+∞In\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=(x2+1)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x} folosind formula pentru derivata unui produs: (x2+1)′=2x\displaystyle \left(x^2+1\right)'=2x și (e−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}.
    f′(x)=2xe−x−(x2+1)e−x\displaystyle f'(x)=2xe^{-x}-\left(x^2+1\right)e^{-x}
  2. Dăm factor comun e−x\displaystyle e^{-x} și recunoaștem pătratul unei diferențe: −(x2−2x+1)=−(x−1)2\displaystyle -\left(x^2-2x+1\right)=-(x-1)^2.
    f′(x)=−(x2−2x+1)e−x=−(x−1)2ex\displaystyle f'(x)=-\left(x^2-2x+1\right)e^{-x}=-\frac{(x-1)^2}{e^x}
  3. Deoarece (x−1)2≥0\displaystyle (x-1)^2\geq 0 și ex>0\displaystyle e^x>0, avem f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 pe R\displaystyle \mathbb{R}. Deci f\displaystyle f este descrescătoare, iar pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem f(1)≤f(x)≤f(0)\displaystyle f(1)\leq f(x)\leq f(0).
    f′(x)≤0⇒f(1)≤f(x)≤f(0)\displaystyle f'(x)\leq 0\Rightarrow f(1)\leq f(x)\leq f(0), ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  4. Calculăm valorile la capete: f(0)=(0+1)e0=1\displaystyle f(0)=(0+1)e^{0}=1 și f(1)=2e−1=2e\displaystyle f(1)=2e^{-1}=\dfrac{2}{e}. Deci pe [0,1]\displaystyle [0,1] avem o margine inferioară și una superioară pentru f\displaystyle f.
    2e≤f(x)≤1\displaystyle \frac{2}{e}\leq f(x)\leq 1
  5. Înmulțim inegalitatea cu xn\displaystyle x^n, care este ≥0\displaystyle \geq 0 pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1], deci sensul inegalităților se păstrează.
    2exn≤xnf(x)≤xn\displaystyle \frac{2}{e}x^n\leq x^nf(x)\leq x^n
  6. Integrăm inegalitatea pe [0,1]\displaystyle [0,1], știind că ∫01xn dx=xn+1n+1∣01=1n+1\displaystyle \displaystyle\int_0^1x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\dfrac{1}{n+1}. Astfel obținem margini pentru In\displaystyle I_n.
    2e(n+1)≤In≤1n+1\displaystyle \frac{2}{e(n+1)}\leq I_n\leq\frac{1}{n+1}
  7. Ambele margini tind la 0\displaystyle 0 când n→+∞\displaystyle n\to+\infty, deoarece 2e(n+1)→0\displaystyle \dfrac{2}{e(n+1)}\to 0 și 1n+1→0\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\to 0. Din criteriul cleștelui rezultă limita.
    lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.