Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 15: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul complex z\displaystyle z, pentru care z=3z‾\displaystyle z=3\overline{z}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem z=a+ib\displaystyle z=a+ib, cu a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}. Atunci conjugatul este z‾=a−ib\displaystyle \overline{z}=a-ib.
    z=a+ib\displaystyle z=a+ib,z‾=a−ib\displaystyle \quad \overline{z}=a-ib
  2. Înlocuim în egalitatea z=3z‾\displaystyle z=3\overline{z} și obținem o egalitate între două numere complexe.
    a+ib=3(a−ib)\displaystyle a+ib=3(a-ib)
  3. Desfacem parantezele: a+ib=3a−3ib\displaystyle a+ib=3a-3ib. Mutăm termenii în stânga: a−3a+ib+3ib=0\displaystyle a-3a+ib+3ib=0, deci −2a+4ib=0\displaystyle -2a+4ib=0, adică 2a−4ib=0\displaystyle 2a-4ib=0.
    2a−4ib=0\displaystyle 2a-4ib=0
  4. Numărul 2a−4ib\displaystyle 2a-4ib are partea reală 2a\displaystyle 2a și partea imaginară −4b\displaystyle -4b. Egalitatea cu zero cere ca ambele să fie nule: 2a=0\displaystyle 2a=0 și −4b=0\displaystyle -4b=0.
    2a=0 și −4b=0\displaystyle 2a=0\text{ și }-4b=0
  5. Rezultă a=0\displaystyle a=0 și b=0\displaystyle b=0, deci z=0+i⋅0=0\displaystyle z=0+i\cdot 0=0.
    a=0 și b=0, deci z=0\displaystyle a=0\text{ și }b=0\text{, deci }z=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+a\displaystyle f(x)=2x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că numerele f(0)\displaystyle f(0), f(2)\displaystyle f(2) și f(1)\displaystyle f(1) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm cei trei termeni: f(0)=a\displaystyle f(0)=a, f(2)=4+a\displaystyle f(2)=4+a, f(1)=2+a\displaystyle f(1)=2+a.
    f(0)=a\displaystyle f(0)=a, f(2)=4+a\displaystyle \ f(2)=4+a, f(1)=2+a\displaystyle \ f(1)=2+a
  2. Numerele f(0)\displaystyle f(0), f(2)\displaystyle f(2), f(1)\displaystyle f(1) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, deci pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul celorlalți doi: f2(2)=f(0)⋅f(1)\displaystyle f^2(2)=f(0)\cdot f(1).
    f2(2)=f(0)⋅f(1)\displaystyle f^2(2)=f(0)\cdot f(1)
  3. Înlocuim valorile și dezvoltăm pătratul și produsul: (4+a)2=a(2+a)\displaystyle (4+a)^2=a(2+a), adică a2+8a+16=a2+2a\displaystyle a^2+8a+16=a^2+2a.
    (4+a)2=a(2+a)⇔a2+8a+16=a2+2a\displaystyle (4+a)^2=a(2+a)\Leftrightarrow a^2+8a+16=a^2+2a
  4. Reducem termenii a2\displaystyle a^2 din ambii membri și obținem 8a−2a=−16\displaystyle 8a-2a=-16, adică 6a=−16\displaystyle 6a=-16.
    6a=−16\displaystyle 6a=-16
  5. Împărțim la 6\displaystyle 6 și simplificăm fracția: a=−166=−83\displaystyle a=-\dfrac{16}{6}=-\dfrac{8}{3}.
    a=−83\displaystyle a=-\frac{8}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(−x)=log⁡3(x2−2x−2)\displaystyle \log_3(-x)=\log_3\left(x^2-2x-2\right).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din prima condiție, −x>0\displaystyle -x>0, deci x<0\displaystyle x<0. A doua condiție, x2−2x−2>0\displaystyle x^{2}-2x-2>0, se verifică ulterior pentru soluțiile găsite.
    −x>0⇒x<0, x2−2x−2>0\displaystyle -x>0\Rightarrow x<0\text{, }x^{2}-2x-2>0
  2. Logaritmul în baza 3\displaystyle 3 este injectiv, deci egalăm argumentele celor doi logaritmi.
    −x=x2−2x−2\displaystyle -x=x^{2}-2x-2
  3. Mutăm toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea: obținem o ecuație de gradul al doilea.
    x2−2x−2+x=0⇒x2−x−2=0\displaystyle x^{2}-2x-2+x=0\Rightarrow x^{2}-x-2=0
  4. Calculăm discriminantul ecuației: Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)=9\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=9. Rădăcinile sunt x=1±32\displaystyle x=\dfrac{1\pm 3}{2}.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1, x2=2\displaystyle \ x_2=2
  5. Verificăm condițiile de existență. Pentru x=−1\displaystyle x=-1, avem −x=1>0\displaystyle -x=1>0 și x2−2x−2=1+2−2=1>0\displaystyle x^{2}-2x-2=1+2-2=1>0, deci soluția convine. Pentru x=2\displaystyle x=2, avem −x=−2<0\displaystyle -x=-2<0, deci soluția nu convine.
    x=−1, care convine, sau x=2, care nu convine\displaystyle x=-1\text{, care convine, sau }x=2\text{, care nu convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={0,1,2,…,9}\displaystyle A=\{0,1,2,\ldots,9\}, pătratul acestui număr să aparțină mulțimii A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Cazurile posibile sunt toate elementele mulțimii A={0,1,2,…,9}\displaystyle A=\{0,1,2,\ldots,9\}, deci sunt 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    10\displaystyle 10
  3. Calculăm pătratele: 02=0\displaystyle 0^2=0, 12=1\displaystyle 1^2=1, 22=4\displaystyle 2^2=4, 32=9\displaystyle 3^2=9, 42=16\displaystyle 4^2=16, 52=25\displaystyle 5^2=25, 62=36\displaystyle 6^2=36, 72=49\displaystyle 7^2=49, 82=64\displaystyle 8^2=64, 92=81\displaystyle 9^2=81. Aparțin lui A\displaystyle A doar cele care sunt cel mult 9\displaystyle 9.
    02=0\displaystyle 0^2=0, 12=1\displaystyle \ 1^2=1, 22=4\displaystyle \ 2^2=4, 32=9∈A\displaystyle \ 3^2=9\in A
  4. Pătratul aparține lui A\displaystyle A pentru numerele 0,1,2,3\displaystyle 0,1,2,3, deci sunt 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    4\displaystyle 4
  5. Înlocuim în formulă și simplificăm prin 2\displaystyle 2: probabilitatea este p=410=25\displaystyle p=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}.
    p=410=25\displaystyle p=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C și D\displaystyle D, astfel încât AB→+CD→=0→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}. Demonstrați că AD→+CB→=0→\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem vectorul AD→\displaystyle \overrightarrow{AD} ca sumă, intercalând punctul B\displaystyle B, după regula triunghiului: AD→=AB→+BD→\displaystyle \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}.
    AD→=AB→+BD→\displaystyle \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}
  2. Scriem vectorul CB→\displaystyle \overrightarrow{CB} intercalând punctul D\displaystyle D: CB→=CD→+DB→\displaystyle \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}.
    CB→=CD→+DB→\displaystyle \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}
  3. Adunăm cele două egalități: AD→+CB→=AB→+BD→+CD→+DB→\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}.
    AD→+CB→=AB→+BD→+CD→+DB→\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}
  4. Vectorii BD→\displaystyle \overrightarrow{BD} și DB→\displaystyle \overrightarrow{DB} sunt opuși, deci DB→=−BD→\displaystyle \overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}. Regrupăm termenii și obținem o sumă în care BD→\displaystyle \overrightarrow{BD} se reduce.
    AB→+CD→+BD→−BD→=AB→+CD→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}
  5. Folosim ipoteza AB→+CD→=0→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}. Rezultă AD→+CB→=0→\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}, ceea ce trebuia demonstrat.
    AD→+CB→=AB→+CD→=0→\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC\displaystyle ABC cu BC=R\displaystyle BC=R, unde R\displaystyle R este raza cercului circumscris triunghiului. Calculați măsura unghiului A\displaystyle A al triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre latura BC\displaystyle BC și sinusul unghiului opus A\displaystyle A este egal cu diametrul cercului circumscris, adică 2R\displaystyle 2R.
    BCsin⁡A=2R\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=2R
  2. Exprimăm sin⁡A\displaystyle \sin A din relația de mai sus.
    sin⁡A=BC2R\displaystyle \sin A=\frac{BC}{2R}
  3. Înlocuim BC=R\displaystyle BC=R și simplificăm cu R\displaystyle R, care este nenul.
    sin⁡A=R2R=12\displaystyle \sin A=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}
  4. Ecuația sin⁡A=12\displaystyle \sin A=\dfrac{1}{2} are pentru unghiuri ale unui triunghi soluțiile 30∘\displaystyle 30^\circ și 150∘\displaystyle 150^\circ. Triunghiul este ascuțitunghic, deci A<90∘\displaystyle A<90^\circ, așadar îl alegem pe cel de 30∘\displaystyle 30^\circ.
    m(∠A)=30∘\displaystyle m(\angle A)=30^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(1a001a001)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&a\\0&0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a))=1\displaystyle \det(A(a))=1, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a): det⁡(A(a))=∣1a001a001∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&a&0\\0&1&a\\0&0&1\end{vmatrix}.
    det⁡(A(a))=∣1a001a001∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&a&0\\0&1&a\\0&0&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și paralelele ei dau 1⋅1⋅1+a⋅a⋅0+0⋅0⋅0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1+a\cdot a\cdot 0+0\cdot 0\cdot 0, iar produsele de pe diagonala secundară și paralelele ei sunt 0⋅1⋅0+1⋅a⋅0+a⋅0⋅1\displaystyle 0\cdot 1\cdot 0+1\cdot a\cdot 0+a\cdot 0\cdot 1, fiecare conținând un factor 0\displaystyle 0.
    det⁡(A(a))=1+0+0−0−0−0\displaystyle \det(A(a))=1+0+0-0-0-0
  3. Efectuăm calculul: 1−0=1\displaystyle 1-0=1, iar valoarea nu depinde de a\displaystyle a, deci determinantul este 1\displaystyle 1 pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=1−0=1, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a))=1-0=1\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(1a001a001)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&a\\0&0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Se consideră matricea B(a)=A(a)−I3\displaystyle B(a)=A(a)-I_3, unde a\displaystyle a este număr real. Demonstrați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, B(a)⋅B(a)⋅B(a)=O3\displaystyle B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=O_3.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem I3\displaystyle I_3 din A(a)\displaystyle A(a): elementele de pe diagonala principală devin 1−1=0\displaystyle 1-1=0, iar celelalte rămân neschimbate.
    B(a)=A(a)−I3=(0a000a000)\displaystyle B(a)=A(a)-I_3=\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&a\\0&0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm B(a)⋅B(a)\displaystyle B(a)\cdot B(a) linie cu coloană. Elementul de pe linia 1, coloana 3 este 0⋅0+a⋅a+0⋅0=a2\displaystyle 0\cdot 0+a\cdot a+0\cdot 0=a^{2}. Toate celelalte elemente se obțin 0, deoarece fiecare produs conține cel puțin un factor nul.
    B(a)⋅B(a)=(0a000a000)(0a000a000)=(00a2000000), pentru orice numa˘r real a\displaystyle B(a)\cdot B(a)=\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&a\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&a\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&a^{2}\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }a
  3. Scriem B(a)⋅B(a)⋅B(a)=(B(a)⋅B(a))⋅B(a)\displaystyle B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=\left(B(a)\cdot B(a)\right)\cdot B(a) și înmulțim. Linia 1 este (0,0,a2)\displaystyle (0,0,a^{2}) și se înmulțește cu coloanele lui B(a)\displaystyle B(a); deoarece a treia linie a lui B(a)\displaystyle B(a) este nulă, fiecare element al produsului este a2⋅0=0\displaystyle a^{2}\cdot 0=0. Celelalte linii sunt nule.
    B(a)⋅B(a)⋅B(a)=(00a2000000)(0a000a000)=(000000000)=O3, pentru orice numa˘r real a\displaystyle B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=\begin{pmatrix}0&0&a^{2}\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&a\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=O_3\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(1a001a001)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&a\\0&0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n, știind că suma elementelor matricei X\displaystyle X pentru care A(2)⋅X=A(1)+A(2)+…+A(n)\displaystyle A(2)\cdot X=A(1)+A(2)+\ldots+A(n) este egală cu 21\displaystyle 21.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma matricelor A(1)+A(2)+…+A(n)\displaystyle A(1)+A(2)+\ldots+A(n). Elementele de pe diagonală sunt toate egale cu 1\displaystyle 1, deci suma lor este n\displaystyle n. Elementele de pe pozițiile (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,3)\displaystyle (2,3) sunt 1,2,…,n\displaystyle 1,2,\ldots,n, cu suma 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}. Celelalte elemente sunt 0\displaystyle 0.
    A(1)+A(2)+…+A(n)=(nn(n+1)200nn(n+1)200n)\displaystyle A(1)+A(2)+\ldots+A(n)=\begin{pmatrix}n&\frac{n(n+1)}{2}&0\\0&n&\frac{n(n+1)}{2}\\0&0&n\end{pmatrix}
  2. Matricea A(2)=(120012001)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix} are determinantul 1\displaystyle 1, deci este inversabilă. Inversa ei se verifică prin înmulțire: produsul dintre A(2)\displaystyle A(2) și matricea de mai jos este I3\displaystyle I_3.
    (A(2))−1=(1−2401−2001)\displaystyle (A(2))^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&4\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}
  3. Înmulțim egalitatea la stânga cu (A(2))−1\displaystyle (A(2))^{-1} și obținem X=(A(2))−1⋅(A(1)+…+A(n))\displaystyle X=(A(2))^{-1}\cdot\left(A(1)+\ldots+A(n)\right). Notăm s=n(n+1)2\displaystyle s=\dfrac{n(n+1)}{2} și efectuăm produsul: pe diagonală apare n\displaystyle n, pe pozițiile (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,3)\displaystyle (2,3) apare s−2n\displaystyle s-2n, iar pe poziția (1,3)\displaystyle (1,3) apare 4n−2s=4n−n(n+1)\displaystyle 4n-2s=4n-n(n+1).
    X=(nn(n+1)2−2n4n−n(n+1)0nn(n+1)2−2n00n)\displaystyle X=\begin{pmatrix}n&\frac{n(n+1)}{2}-2n&4n-n(n+1)\\0&n&\frac{n(n+1)}{2}-2n\\0&0&n\end{pmatrix}
  4. Adunăm toate elementele matricei X\displaystyle X: trei elemente egale cu n\displaystyle n, două elemente egale cu n(n+1)2−2n\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}-2n și elementul 4n−n(n+1)\displaystyle 4n-n(n+1). Termenii cu n(n+1)\displaystyle n(n+1) se reduc și rămâne 3n\displaystyle 3n.
    3n+2(n(n+1)2−2n)+4n−n(n+1)=3n+n(n+1)−4n+4n−n(n+1)=3n\displaystyle 3n+2\left(\frac{n(n+1)}{2}-2n\right)+4n-n(n+1)=3n+n(n+1)-4n+4n-n(n+1)=3n
  5. Suma elementelor este 21\displaystyle 21, deci 3n=21\displaystyle 3n=21, de unde n=7\displaystyle n=7. Valoarea este număr natural nenul, deci convine.
    3n=21⇔n=7, care convine\displaystyle 3n=21\Leftrightarrow n=7\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+4xy+y2\displaystyle x*y=x^2+4xy+y^2.

Arătați că 1∗2=13\displaystyle 1*2=13.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y avem x∗y=x2+4xy+y2\displaystyle x*y=x^2+4xy+y^2.
    x∗y=x2+4xy+y2\displaystyle x*y=x^{2}+4xy+y^{2}
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 în definiție.
    1∗2=12+4⋅1⋅2+22\displaystyle 1*2=1^{2}+4\cdot 1\cdot 2+2^{2}
  3. Calculăm fiecare termen: 12=1\displaystyle 1^2=1, 4⋅1⋅2=8\displaystyle 4\cdot 1\cdot 2=8, iar 22=4\displaystyle 2^2=4. Adunăm și obținem 13\displaystyle 13, deci egalitatea cerută este adevărată.
    1∗2=1+8+4=13\displaystyle 1*2=1+8+4=13
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+4xy+y2\displaystyle x*y=x^2+4xy+y^2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x∗x)∗x2=61\displaystyle (x*x)*x^2=61.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x înlocuind y=x\displaystyle y=x în definiția legii: x∗x=x2+4x⋅x+x2\displaystyle x*x=x^2+4x\cdot x+x^2.
    x∗x=x2+4x2+x2=6x2\displaystyle x*x=x^2+4x^2+x^2=6x^2
  2. Avem de calculat (x∗x)∗x2=(6x2)∗x2\displaystyle (x*x)*x^2=\left(6x^2\right)*x^2. Folosim formula a∗b=a2+4ab+b2\displaystyle a*b=a^2+4ab+b^2 cu a=6x2\displaystyle a=6x^2 și b=x2\displaystyle b=x^2.
    (6x2)∗x2=(6x2)2+4⋅6x2⋅x2+(x2)2\displaystyle \left(6x^2\right)*x^2=\left(6x^2\right)^2+4\cdot 6x^2\cdot x^2+\left(x^2\right)^2
  3. Calculăm termenii: (6x2)2=36x4\displaystyle \left(6x^2\right)^2=36x^4, 4⋅6x2⋅x2=24x4\displaystyle 4\cdot 6x^2\cdot x^2=24x^4, (x2)2=x4\displaystyle \left(x^2\right)^2=x^4. Prin adunare obținem coeficientul 36+24+1=61\displaystyle 36+24+1=61.
    (x∗x)∗x2=36x4+24x4+x4=61x4\displaystyle (x*x)*x^2=36x^4+24x^4+x^4=61x^4
  4. Ecuația devine 61x4=61\displaystyle 61x^4=61, deci după împărțirea la 61\displaystyle 61 obținem x4=1\displaystyle x^4=1.
    x4=1\displaystyle x^4=1
  5. Descompunem: x4−1=(x−1)(x+1)(x2+1)\displaystyle x^4-1=(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right). Factorul x2+1\displaystyle x^2+1 este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, deci rămân doar x−1=0\displaystyle x-1=0 sau x+1=0\displaystyle x+1=0.
    x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+4xy+y2\displaystyle x*y=x^2+4xy+y^2.

Demonstrați că există o infinitate de numere iraționale a\displaystyle a pentru care numărul a∗1\displaystyle a*1 este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii x∗y=x2+4xy+y2\displaystyle x*y=x^2+4xy+y^2 pentru x=a\displaystyle x=a și y=1\displaystyle y=1.
    a∗1=a2+4a⋅1+12=a2+4a+1\displaystyle a*1=a^2+4a\cdot 1+1^2=a^2+4a+1
  2. Scriem a2+4a+1=a2+4a+4−3\displaystyle a^2+4a+1=a^2+4a+4-3, iar primii trei termeni formează pătratul (a+2)2\displaystyle (a+2)^2.
    a∗1=(a+2)2−3, pentru orice a∈R\displaystyle a*1=(a+2)^2-3\text{, pentru orice }a\in\mathbb{R}
  3. Pentru ca a∗1\displaystyle a*1 să fie natural, alegem a+2=p\displaystyle a+2=\sqrt{p}, cu p\displaystyle p număr prim, p≥3\displaystyle p\geq 3, adică a=p−2\displaystyle a=\sqrt{p}-2.
    a=p−2, p prim, p≥3\displaystyle a=\sqrt{p}-2\text{, }p\text{ prim, }p\geq 3
  4. Pentru p\displaystyle p prim, p∉Q\displaystyle \sqrt{p}\notin\mathbb{Q}, iar 2∈Q\displaystyle 2\in\mathbb{Q}, deci a=p−2∉Q\displaystyle a=\sqrt{p}-2\notin\mathbb{Q}.
    a∈R∖Q\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
  5. Avem a∗1=(a+2)2−3=(p)2−3=p−3\displaystyle a*1=(a+2)^2-3=(\sqrt{p})^2-3=p-3, iar p−3∈N\displaystyle p-3\in\mathbb{N} deoarece p≥3\displaystyle p\geq 3.
    a∗1=p−3∈N\displaystyle a*1=p-3\in\mathbb{N}
  6. Există o infinitate de numere prime p\displaystyle p, iar p↦p−2\displaystyle p\mapsto\sqrt{p}-2 ia valori distincte pentru p\displaystyle p distincte. Deci există o infinitate de numere iraționale a\displaystyle a cu a∗1∈N\displaystyle a*1\in\mathbb{N}.
    a=p−2, p prim, p≥3, a∈R∖Q și a∗1=p−3∈N\displaystyle a=\sqrt{p}-2\text{, }p\text{ prim, }p\geq 3\text{, }a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\text{ și }a*1=p-3\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−3x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x^2+3}}.

Arătați că f′(x)=3(x+1)(x2+3)x2+3\displaystyle f'(x)=\frac{3(x+1)}{\left(x^2+3\right)\sqrt{x^2+3}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât, deci aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=x−3\displaystyle u=x-3 și v=x2+3\displaystyle v=\sqrt{x^{2}+3}.
    f′(x)=(x−3)′x2+3−(x−3)(x2+3)′(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-3)'\sqrt{x^{2}+3}-(x-3)\left(\sqrt{x^{2}+3}\right)'}{\left(\sqrt{x^{2}+3}\right)^{2}}
  2. Avem (x−3)′=1\displaystyle (x-3)'=1 și (x2+3)′=2x2x2+3=xx2+3\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+3}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+3}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}. Numitorul este (x2+3)2=x2+3\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+3}\right)^{2}=x^{2}+3.
    f′(x)=1⋅x2+3−(x−3)⋅xx2+3x2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot\sqrt{x^{2}+3}-(x-3)\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}}{x^{2}+3}
  3. Aducem numărătorul la numitor comun: x2+3=x2+3x2+3\displaystyle \sqrt{x^{2}+3}=\dfrac{x^{2}+3}{\sqrt{x^{2}+3}}. Atunci numărătorul este x2+3−x(x−3)x2+3\displaystyle \dfrac{x^{2}+3-x(x-3)}{\sqrt{x^{2}+3}}.
    f′(x)=x2+3−x(x−3)x2+3x2+3=x2+3−x2+3x(x2+3)x2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{\dfrac{x^{2}+3-x(x-3)}{\sqrt{x^{2}+3}}}{x^{2}+3}=\dfrac{x^{2}+3-x^{2}+3x}{\left(x^{2}+3\right)\sqrt{x^{2}+3}}
  4. Reducem termenii asemenea: x2−x2=0\displaystyle x^{2}-x^{2}=0, deci numărătorul este 3x+3=3(x+1)\displaystyle 3x+3=3(x+1). Obținem formula cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3(x+1)(x2+3)x2+3, x∈R\displaystyle f'(x)=\dfrac{3(x+1)}{\left(x^{2}+3\right)\sqrt{x^{2}+3}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−3x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x^2+3}}.

Calculați lim⁡x→+∞(f(x))x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x))^x.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm tipul limitei: pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem f(x)=x−3x2+3→1\displaystyle f(x)=\dfrac{x-3}{\sqrt{x^{2}+3}}\to 1, iar exponentul x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Avem cazul de nedeterminare 1∞\displaystyle 1^{\infty}.
    1∞\displaystyle 1^{\infty}
  2. Pentru x>3\displaystyle x>3 avem x−3>0\displaystyle x-3>0, deci x−3x2+3=(x−3)2x2+3=(x2−6x+9x2+3)12\displaystyle \dfrac{x-3}{\sqrt{x^{2}+3}}=\sqrt{\dfrac{(x-3)^{2}}{x^{2}+3}}=\left(\dfrac{x^{2}-6x+9}{x^{2}+3}\right)^{\frac{1}{2}}. Atunci puterea x\displaystyle x devine x2\displaystyle \dfrac{x}{2}.
    lim⁡x→+∞(x2−6x+9x2+3)x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{2}-6x+9}{x^{2}+3}\right)^{\frac{x}{2}}
  3. Scriem x2−6x+9x2+3=(x2+3)+(6−6x)x2+3=1+6−6xx2+3\displaystyle \dfrac{x^{2}-6x+9}{x^{2}+3}=\dfrac{(x^{2}+3)+(6-6x)}{x^{2}+3}=1+\dfrac{6-6x}{x^{2}+3}. Fracția 6−6xx2+3→0\displaystyle \dfrac{6-6x}{x^{2}+3}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, pentru că gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului.
    lim⁡x→+∞(1+6−6xx2+3)x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{6-6x}{x^{2}+3}\right)^{\frac{x}{2}}
  4. Scriem exponentul ca produs: x2=x2+36−6x⋅x(6−6x)2(x2+3)\displaystyle \dfrac{x}{2}=\dfrac{x^{2}+3}{6-6x}\cdot\dfrac{x(6-6x)}{2(x^{2}+3)}. Obținem ((1+6−6xx2+3)x2+36−6x)x(6−6x)2(x2+3)\displaystyle \left(\left(1+\dfrac{6-6x}{x^{2}+3}\right)^{\frac{x^{2}+3}{6-6x}}\right)^{\frac{x(6-6x)}{2(x^{2}+3)}}.
    lim⁡x→+∞((1+6−6xx2+3)x2+36−6x)x(6−6x)2(x2+3)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{6-6x}{x^{2}+3}\right)^{\frac{x^{2}+3}{6-6x}}\right)^{\frac{x(6-6x)}{2(x^{2}+3)}}
  5. Deoarece 6−6xx2+3→0\displaystyle \dfrac{6-6x}{x^{2}+3}\to 0, avem (1+6−6xx2+3)x2+36−6x→e\displaystyle \left(1+\dfrac{6-6x}{x^{2}+3}\right)^{\frac{x^{2}+3}{6-6x}}\to e. Pentru exponent: x(6−6x)2(x2+3)=6x−6x22x2+6→−62=−3\displaystyle \dfrac{x(6-6x)}{2(x^{2}+3)}=\dfrac{6x-6x^{2}}{2x^{2}+6}\to\dfrac{-6}{2}=-3.
    lim⁡x→+∞x(6−6x)2(x2+3)=−3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x(6-6x)}{2(x^{2}+3)}=-3
  6. Prin urmare, lim⁡x→+∞(f(x))x=e−3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x))^{x}=e^{-3}.
    e−3\displaystyle e^{-3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−3x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x^2+3}}.

Demonstrați că x5+2x10+3≥3\displaystyle x^5+2\sqrt{x^{10}+3}\geq 3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f cu formula pentru derivata unei fracții: f′(x)=(x−3)′x2+3−(x−3)(x2+3)′x2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-3)'\sqrt{x^2+3}-(x-3)\left(\sqrt{x^2+3}\right)'}{x^2+3}, unde (x2+3)′=xx2+3\displaystyle \left(\sqrt{x^2+3}\right)'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}.
    f′(x)=x2+3−x(x−3)x2+3x2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+3}-\dfrac{x(x-3)}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2+3}
  2. Aducem la același numitor numărătorul: (x2+3)−x(x−3)x2+3=3x+3x2+3\displaystyle \dfrac{(x^2+3)-x(x-3)}{\sqrt{x^2+3}}=\dfrac{3x+3}{\sqrt{x^2+3}}. Apoi împărțim la x2+3\displaystyle x^2+3.
    f′(x)=3(x+1)(x2+3)x2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{3(x+1)}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}
  3. Numitorul (x2+3)x2+3\displaystyle (x^2+3)\sqrt{x^2+3} este strict pozitiv, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui x+1\displaystyle x+1. Obținem f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 pentru x∈(−∞,−1]\displaystyle x\in(-\infty,-1] și f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0 pentru x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty).
    f′(x)≤0 pe (−∞,−1], f′(x)≥0 pe [−1,+∞)\displaystyle f'(x)\leq 0\text{ pe }(-\infty,-1]\text{, }f'(x)\geq 0\text{ pe }[-1,+\infty)
  4. Rezultă că f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1] și crescătoare pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty), deci f\displaystyle f are minimul global în x=−1\displaystyle x=-1. Calculăm f(−1)=−1−31+3=−42=−2\displaystyle f(-1)=\dfrac{-1-3}{\sqrt{1+3}}=\dfrac{-4}{2}=-2. Deci f(x)≥f(−1)=−2\displaystyle f(x)\geq f(-1)=-2 pentru orice x\displaystyle x real.
    f(x)≥−2, pentru orice x∈R\displaystyle f(x)\geq -2\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  5. Scriem x−3x2+3≥−2\displaystyle \dfrac{x-3}{\sqrt{x^2+3}}\geq -2 și înmulțim cu x2+3>0\displaystyle \sqrt{x^2+3}>0, deci sensul inegalității se păstrează: x−3≥−2x2+3\displaystyle x-3\geq -2\sqrt{x^2+3}. Mutăm termenul cu radical în partea stângă și trecem pe 3 în dreapta.
    x+2x2+3≥3, pentru orice x∈R\displaystyle x+2\sqrt{x^2+3}\geq 3\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  6. Inegalitatea de mai sus este adevărată pentru orice număr real, deci și pentru numărul real x5\displaystyle x^5. Cum (x5)2=x10\displaystyle \left(x^5\right)^2=x^{10}, înlocuind x\displaystyle x cu x5\displaystyle x^5 obținem inegalitatea cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    x5+2x10+3≥3, pentru orice x∈R\displaystyle x^5+2\sqrt{x^{10}+3}\geq 3\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2+\ln x.

Arătați că ∫13(f(x)−ln⁡x)dx=263\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\ln x\right)dx=\frac{26}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^{2}+\ln x în expresia de sub integrală: f(x)−ln⁡x=x2+ln⁡x−ln⁡x\displaystyle f(x)-\ln x=x^{2}+\ln x-\ln x.
    f(x)−ln⁡x=x2+ln⁡x−ln⁡x\displaystyle f(x)-\ln x=x^{2}+\ln x-\ln x
  2. Termenii ln⁡x\displaystyle \ln x se reduc, deci f(x)−ln⁡x=x2\displaystyle f(x)-\ln x=x^{2}, iar integrala devine integrala lui x2\displaystyle x^{2} pe intervalul [1,3]\displaystyle [1,3].
    ∫13(f(x)−ln⁡x)dx=∫13x2 dx\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\ln x\right)dx=\int_1^3 x^{2}\,dx
  3. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton pe [1,3]\displaystyle [1,3].
    ∫13x2 dx=x33∣13\displaystyle \int_1^3 x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}\Big|_1^3
  4. Calculăm 333−133=273−13=263\displaystyle \dfrac{3^{3}}{3}-\dfrac{1^{3}}{3}=\dfrac{27}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{26}{3}, ceea ce trebuia arătat.
    273−13=263\displaystyle \frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2+\ln x.

Calculați ∫12(f(x)−x2)dx\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-x^2\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^{2}+\ln x în integrand: f(x)−x2=ln⁡x\displaystyle f(x)-x^{2}=\ln x. Deci integrala devine integrala lui ln⁡x\displaystyle \ln x pe [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫12(f(x)−x2)dx=∫12ln⁡x dx\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-x^{2}\right)dx=\int_1^2\ln x\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți: alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=dx\displaystyle dv=dx, deci u′=1x\displaystyle u'=\dfrac{1}{x} și v=x\displaystyle v=x. Formula ∫12u dv=uv∣12−∫12v du\displaystyle \int_1^2 u\,dv=uv\Big|_1^2-\int_1^2 v\,du dă rezultatul de mai jos.
    ∫12ln⁡x dx=xln⁡x∣12−∫12x⋅1x dx\displaystyle \int_1^2\ln x\,dx=x\ln x\Big|_1^2-\int_1^2 x\cdot\frac{1}{x}\,dx
  3. Simplificăm: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, deci a doua integrală este ∫121 dx=x∣12\displaystyle \int_1^2 1\,dx=x\Big|_1^2. Pentru primul termen: xln⁡x∣12=2ln⁡2−1⋅ln⁡1=2ln⁡2\displaystyle x\ln x\Big|_1^2=2\ln 2-1\cdot\ln 1=2\ln 2, pentru că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    2ln⁡2−x∣12\displaystyle 2\ln 2-x\Big|_1^2
  4. Avem x∣12=2−1=1\displaystyle x\Big|_1^2=2-1=1. Prin urmare, valoarea integralei este 2ln⁡2−1\displaystyle 2\ln 2-1.
    2ln⁡2−2+1=2ln⁡2−1\displaystyle 2\ln 2-2+1=2\ln 2-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2+\ln x.

Arătați că ∫121xf(1x)dx=3−4ln⁡228\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)dx=\frac{3-4\ln^2 2}{8}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} în f(x)=x2+ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2+\ln x. Obținem f(1x)=1x2+ln⁡1x=1x2−ln⁡x\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x^{2}}+\ln\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x^{2}}-\ln x.
    f(1x)=1x2−ln⁡x\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^{2}}-\ln x
  2. Înmulțim cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}: 1xf(1x)=1x3−ln⁡xx=x−3−1xln⁡x\displaystyle \dfrac{1}{x}f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{\ln x}{x}=x^{-3}-\dfrac{1}{x}\ln x. Integrala devine o diferență de două integrale.
    ∫12(x−3−1xln⁡x)dx\displaystyle \int_1^2\left(x^{-3}-\frac{1}{x}\ln x\right)dx
  3. O primitivă a lui x−3\displaystyle x^{-3} este x−2−2\displaystyle \dfrac{x^{-2}}{-2}. Deoarece (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, avem (12ln⁡2x)′=1xln⁡x\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\ln^2 x\right)'=\dfrac{1}{x}\ln x, deci o primitivă a lui 1xln⁡x\displaystyle \dfrac{1}{x}\ln x este 12ln⁡2x\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln^2 x. Prin urmare, integrala este evaluată între 1 și 2.
    (x−2−2−12ln⁡2x)∣12\displaystyle \left(\frac{x^{-2}}{-2}-\frac{1}{2}\ln^2 x\right)\Big|_1^2
  4. Calculăm valoarea în 2\displaystyle 2 minus valoarea în 1\displaystyle 1: (−18−12ln⁡22)−(−12−12ln⁡21)\displaystyle \left(-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}\ln^2 2\right)-\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\ln^2 1\right). Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, rămâne −18−12ln⁡22+12\displaystyle -\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}\ln^2 2+\dfrac{1}{2}.
    −18−12ln⁡22+12+12ln⁡21\displaystyle -\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\ln^2 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln^2 1
  5. Avem −18+12=38\displaystyle -\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}, iar 12ln⁡22=4ln⁡228\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln^2 2=\dfrac{4\ln^2 2}{8}. Rezultă că integrala este egală cu valoarea cerută.
    38−12ln⁡22=3−4ln⁡228\displaystyle \frac{3}{8}-\frac{1}{2}\ln^2 2=\frac{3-4\ln^2 2}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.