Bac matematică M1 mate-info 2019, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați elementele mulțimii M={x∈Z  |  3x+1∈N}\displaystyle M=\left\{x\in\mathbb{Z}\;\middle|\;\frac{3}{x+1}\in\mathbb{N}\right\}.
Vezi rezolvarea
  1. Fracția trebuie să fie definită, deci x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0. Numărătorul 3\displaystyle 3 este pozitiv, iar 3x+1∈N\displaystyle \dfrac{3}{x+1}\in\mathbb{N}, deci fracția este mai mare sau egală cu 0\displaystyle 0. Fracția nu poate fi 0\displaystyle 0, pentru că numărătorul este nenul, deci 3x+1>0\displaystyle \dfrac{3}{x+1}>0. Rezultă că numitorul x+1\displaystyle x+1 este strict pozitiv.
    x+1>0\displaystyle x+1>0
  2. Fracția 3x+1\displaystyle \dfrac{3}{x+1} este număr natural, deci x+1\displaystyle x+1 este un număr întreg pozitiv care îl divide pe 3\displaystyle 3. Divizorii pozitivi ai lui 3\displaystyle 3 sunt 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3.
    x+1=1 sau x+1=3\displaystyle x+1=1\text{ sau }x+1=3
  3. Rezolvăm cele două ecuații: din x+1=1\displaystyle x+1=1 obținem x=0\displaystyle x=0, iar din x+1=3\displaystyle x+1=3 obținem x=2\displaystyle x=2.
    x=0 sau x=2\displaystyle x=0\text{ sau }x=2
  4. Verificăm: pentru x=0\displaystyle x=0 avem 31=3∈N\displaystyle \dfrac{3}{1}=3\in\mathbb{N}, iar pentru x=2\displaystyle x=2 avem 33=1∈N\displaystyle \dfrac{3}{3}=1\in\mathbb{N}. Deci mulțimea M\displaystyle M are elementele 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2.
    M={0, 2}\displaystyle M=\{0,\,2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 soluțiile ecuației x2−mx−1=0\displaystyle x^2-mx-1=0, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că x12−1x1+x22−1x2=2\displaystyle \frac{x_1^2-1}{x_1}+\frac{x_2^2-1}{x_2}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 sunt rădăcini ale ecuației, deci verifică x12−mx1−1=0\displaystyle x_1^{2}-mx_1-1=0 și x22−mx2−1=0\displaystyle x_2^{2}-mx_2-1=0. Din relațiile lui Viète, x1x2=−1≠0\displaystyle x_1x_2=-1\neq 0, deci ambele rădăcini sunt nenule și fracțiile au sens.
    x12−mx1−1=0\displaystyle x_1^{2}-mx_1-1=0,x22−mx2−1=0\displaystyle \quad x_2^{2}-mx_2-1=0,x1x2=−1\displaystyle \quad x_1x_2=-1
  2. Din fiecare egalitate trecem mxi\displaystyle mx_i în membrul drept și −1\displaystyle -1 rămâne în stânga, deci obținem numărătorii fracțiilor: xi2−1=mxi\displaystyle x_i^{2}-1=mx_i, pentru i∈{1,2}\displaystyle i\in\{1,2\}.
    x12−1=mx1\displaystyle x_1^{2}-1=mx_1,x22−1=mx2\displaystyle \quad x_2^{2}-1=mx_2
  3. Înlocuim numărătorii în egalitatea din enunț: x12−1x1+x22−1x2=2\displaystyle \dfrac{x_1^{2}-1}{x_1}+\dfrac{x_2^{2}-1}{x_2}=2 devine o sumă de fracții cu numărătorii mx1\displaystyle mx_1 și mx2\displaystyle mx_2.
    mx1x1+mx2x2=2\displaystyle \frac{mx_1}{x_1}+\frac{mx_2}{x_2}=2
  4. Simplificăm fiecare fracție cu xi≠0\displaystyle x_i\neq 0 și obținem m+m=2\displaystyle m+m=2, adică 2m=2\displaystyle 2m=2, de unde m=1\displaystyle m=1.
    m+m=2⇒m=1\displaystyle m+m=2\Rightarrow m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2−x−x=0\displaystyle \sqrt{2-x}-x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ecuația sub forma 2−x=x\displaystyle \sqrt{2-x}=x. Radicalul este mereu pozitiv sau zero, deci trebuie ca x≥0\displaystyle x\geq 0, iar expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu 0, adică 2−x≥0\displaystyle 2-x\geq 0. Deci x∈[0,2]\displaystyle x\in[0,2].
    2−x=x\displaystyle \sqrt{2-x}=x,x∈[0,2]\displaystyle \quad x\in[0,2]
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: (2−x)2=x2\displaystyle \left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=x^{2}, deci 2−x=x2\displaystyle 2-x=x^{2}.
    2−x=x2\displaystyle 2-x=x^{2}
  3. Mutăm toți termenii în partea dreaptă și obținem ecuația de gradul al doilea x2+x−2=0\displaystyle x^{2}+x-2=0.
    2−x=x2⇒x2+x−2=0\displaystyle 2-x=x^{2}\Rightarrow x^{2}+x-2=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci x=−1±32\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 3}{2}, adică x=−2\displaystyle x=-2 sau x=1\displaystyle x=1.
    x1=−2\displaystyle x_{1}=-2,x2=1\displaystyle \quad x_{2}=1
  5. Verificăm soluțiile în ecuația inițială. Pentru x=−2\displaystyle x=-2 avem 4+2=4≠0\displaystyle \sqrt{4}+2=4\neq 0, deci nu convine (și −2∉[0,2]\displaystyle -2\notin[0,2]). Pentru x=1\displaystyle x=1 avem 1−1=0\displaystyle \sqrt{1}-1=0, deci convine. Soluția ecuației este x=1\displaystyle x=1.
    x=−2, care nu convine, sau x=1, care convine\displaystyle x=-2\text{, care nu convine, sau }x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={log⁡2n∣n∈N∗, n≤20}\displaystyle A=\{\log_2 n\mid n\in\mathbb{N}^*,\ n\le 20\}, acesta să fie număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea A\displaystyle A are un element pentru fiecare n∈{1,2,…,20}\displaystyle n\in\{1,2,\ldots,20\}. Numerele log⁡2n\displaystyle \log_2 n sunt distincte, deoarece funcția logaritm este injectivă. Deci A\displaystyle A are 20 de elemente, adică sunt 20 de cazuri posibile.
    cazuri posibile=20\displaystyle \text{cazuri posibile}=20
  2. Numărul log⁡2n\displaystyle \log_2 n este natural dacă și numai dacă n=2k\displaystyle n=2^{k} cu k∈N\displaystyle k\in\mathbb{N}, deoarece atunci log⁡2n=k\displaystyle \log_2 n=k.
    n=2k\displaystyle n=2^{k}, k∈N\displaystyle \ k\in\mathbb{N}
  3. Căutăm puterile lui 2\displaystyle 2 care sunt cel mult 20\displaystyle 20: 20=1\displaystyle 2^0=1, 21=2\displaystyle 2^1=2, 22=4\displaystyle 2^2=4, 23=8\displaystyle 2^3=8, 24=16\displaystyle 2^4=16. Următoarea putere, 25=32\displaystyle 2^5=32, depășește 20\displaystyle 20. Obținem 5 cazuri favorabile.
    n∈{1,2,4,8,16}, deci 5 cazuri \displaystyle n\in\{1,2,4,8,16\}\text{, deci 5 cazuri }favorabile\displaystyle \text{favorabile}
  4. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=520\displaystyle p=\dfrac{5}{20}. Simplificăm fracția prin 5\displaystyle 5.
    p=520=14\displaystyle p=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(0,2)\displaystyle M(0,2) și P(1,1)\displaystyle P(1,1). Determinați ecuația mediatoarei segmentului MP\displaystyle MP.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei MP\displaystyle MP folosind coordonatele punctelor M(0,2)\displaystyle M(0,2) și P(1,1)\displaystyle P(1,1): mMP=yP−yMxP−xM=1−21−0\displaystyle m_{MP}=\dfrac{y_P-y_M}{x_P-x_M}=\dfrac{1-2}{1-0}.
    mMP=−1\displaystyle m_{MP}=-1
  2. Mediatoarea este perpendiculară pe MP\displaystyle MP, deci m⋅mMP=−1\displaystyle m\cdot m_{MP}=-1. Obținem m=−1−1\displaystyle m=\dfrac{-1}{-1}.
    mMP=−1\displaystyle m_{MP}=-1, m=1\displaystyle \ m=1
  3. Mediatoarea trece prin mijlocul A\displaystyle A al segmentului MP\displaystyle MP. Calculăm xA=0+12\displaystyle x_A=\dfrac{0+1}{2} și yA=2+12\displaystyle y_A=\dfrac{2+1}{2}.
    A(12,32)\displaystyle A\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right)
  4. Scriem ecuația dreptei prin A\displaystyle A cu panta m=1\displaystyle m=1: y−yA=m(x−xA)\displaystyle y-y_A=m(x-x_A), adică y−32=x−12\displaystyle y-\dfrac{3}{2}=x-\dfrac{1}{2}. Rezultă y=x+32−12\displaystyle y=x+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}.
    y−32=x−12⇔y=x+1\displaystyle y-\dfrac{3}{2}=x-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow y=x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=52\displaystyle AB=5\sqrt{2}, m(∠A)=45∘\displaystyle m(\angle A)=45^\circ și m(∠C)=30∘\displaystyle m(\angle C)=30^\circ. Determinați lungimea laturii BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Latura AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C, iar latura BC\displaystyle BC este opusă unghiului A\displaystyle A. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC pentru aceste două laturi.
    ABsin⁡C=BCsin⁡A\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}
  2. Înlocuim valorile cunoscute: AB=52\displaystyle AB=5\sqrt{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    5212=BC22\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
  3. Calculăm membrul stâng: împărțirea la 12\displaystyle \dfrac{1}{2} înseamnă înmulțire cu 2\displaystyle 2.
    5212=102\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=10\sqrt{2}
  4. Din 102=BC22\displaystyle 10\sqrt{2}=\dfrac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} obținem BC=102⋅22=10⋅22\displaystyle BC=10\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{10\cdot 2}{2}.
    BC=102⋅22=10\displaystyle BC=10\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea M(m)=(124−1m−1m13)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}1&2&4\\-1&m&-1\\m&1&3\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+2y+4z=5−x+my−z=−2mx+y+3z=4\displaystyle \begin{cases}x+2y+4z=5\\-x+my-z=-2\\mx+y+3z=4\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că det⁡(M(0))=3\displaystyle \det(M(0))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m\displaystyle m cu 0\displaystyle 0 în matricea M(m)\displaystyle M(m) și obținem matricea M(0)\displaystyle M(0).
    M(0)=(124−10−1013)\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}1&2&4\\-1&0&-1\\0&1&3\end{pmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 1⋅0⋅3\displaystyle 1\cdot 0\cdot 3, apoi 2⋅(−1)⋅0\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 0, apoi 4⋅(−1)⋅1\displaystyle 4\cdot(-1)\cdot 1.
    1⋅0⋅3+2⋅(−1)⋅0+4⋅(−1)⋅1=0+0+(−4)=−4\displaystyle 1\cdot 0\cdot 3+2\cdot(-1)\cdot 0+4\cdot(-1)\cdot 1=0+0+(-4)=-4
  3. Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 4⋅0⋅0\displaystyle 4\cdot 0\cdot 0, apoi 1⋅(−1)⋅1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1, apoi 2⋅(−1)⋅3\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 3.
    4⋅0⋅0+1⋅(−1)⋅1+2⋅(−1)⋅3=0+(−1)+(−6)=−7\displaystyle 4\cdot 0\cdot 0+1\cdot(-1)\cdot 1+2\cdot(-1)\cdot 3=0+(-1)+(-6)=-7
  4. Determinantul este diferența dintre suma primelor produse și suma celor din al doilea grup: −4−(−7)=3\displaystyle -4-(-7)=3. Se obține valoarea cerută.
    det⁡(M(0))=0+(−4)+0−0−(−6)−(−1)=−4+7=3\displaystyle \det(M(0))=0+(-4)+0-0-(-6)-(-1)=-4+7=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea M(m)=(124−1m−1m13)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}1&2&4\\-1&m&-1\\m&1&3\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+2y+4z=5−x+my−z=−2mx+y+3z=4\displaystyle \begin{cases}x+2y+4z=5\\-x+my-z=-2\\mx+y+3z=4\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care sistemul are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, deci are soluție unică exact când det⁡(M(m))≠0\displaystyle \det(M(m))\neq 0. Calculăm determinantul matricei M(m)\displaystyle M(m).
    det⁡(M(m))=∣124−1m−1m13∣\displaystyle \det(M(m))=\begin{vmatrix}1&2&4\\-1&m&-1\\m&1&3\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: det⁡(M(m))=1⋅(3m+1)−2⋅(m−3)+4⋅(−1−m2)\displaystyle \det(M(m))=1\cdot(3m+1)-2\cdot(m-3)+4\cdot(-1-m^{2}).
    det⁡(M(m))=(3m+1)−2(m−3)+4(−1−m2)\displaystyle \det(M(m))=(3m+1)-2(m-3)+4(-1-m^{2})
  3. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 3m+1−2m+6−4−4m2\displaystyle 3m+1-2m+6-4-4m^{2}.
    det⁡(M(m))=−4m2+m+3\displaystyle \det(M(m))=-4m^{2}+m+3
  4. Aflăm când determinantul se anulează: −4m2+m+3=0\displaystyle -4m^{2}+m+3=0, adică 4m2−m−3=0\displaystyle 4m^{2}-m-3=0.
    4m2−m−3=0\displaystyle 4m^{2}-m-3=0
  5. Discriminantul este Δ=(−1)2−4⋅4⋅(−3)=49\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 4\cdot(-3)=49, deci m=1±78\displaystyle m=\dfrac{1\pm 7}{8}.
    m=−34 sau m=1\displaystyle m=-\frac{3}{4}\text{ sau }m=1
  6. Sistemul are soluție unică exact când det⁡(M(m))≠0\displaystyle \det(M(m))\neq 0, adică pentru m\displaystyle m diferit de −34\displaystyle -\dfrac{3}{4} și de 1\displaystyle 1.
    m∈R∖{−34,1}\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{3}{4},1\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea M(m)=(124−1m−1m13)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}1&2&4\\-1&m&-1\\m&1&3\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+2y+4z=5−x+my−z=−2mx+y+3z=4\displaystyle \begin{cases}x+2y+4z=5\\-x+my-z=-2\\mx+y+3z=4\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=1\displaystyle m=1, determinați soluțiile (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) ale sistemului pentru care 4y02=(x0+z0)2\displaystyle 4y_0^2=(x_0+z_0)^2.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=1\displaystyle m=1 scriem sistemul: {x+2y+4z=5−x+y−z=−2x+y+3z=4\displaystyle \begin{cases}x+2y+4z=5\\-x+y-z=-2\\x+y+3z=4\end{cases}
    {x+2y+4z=5−x+y−z=−2x+y+3z=4\displaystyle \begin{cases}x+2y+4z=5\\-x+y-z=-2\\x+y+3z=4\end{cases}
  2. Adunăm primele două ecuații: obținem 3y+3z=3\displaystyle 3y+3z=3, deci y+z=1\displaystyle y+z=1. Adunând a doua și a treia ecuație obținem 2y+2z=2\displaystyle 2y+2z=2, adică aceeași relație. Deci a treia ecuație nu aduce nimic nou față de primele două, iar sistemul este compatibil simplu nedeterminat.
    y+z=1\displaystyle y+z=1
  3. Alegem z=α\displaystyle z=\alpha ca parametru. Atunci y=1−α\displaystyle y=1-\alpha. Din a treia ecuație, x=4−y−3z=4−(1−α)−3α=3−2α\displaystyle x=4-y-3z=4-(1-\alpha)-3\alpha=3-2\alpha. Verificare în prima ecuație: (3−2α)+2(1−α)+4α=5\displaystyle (3-2\alpha)+2(1-\alpha)+4\alpha=5. Soluțiile sistemului sunt (3−2α, 1−α, α)\displaystyle (3-2\alpha,\,1-\alpha,\,\alpha).
    (x,y,z)=(3−2α, 1−α, α)\displaystyle (x,y,z)=(3-2\alpha,\,1-\alpha,\,\alpha), α∈C\displaystyle \ \alpha\in\mathbb{C}
  4. Calculăm x+z=3−2α+α=3−α\displaystyle x+z=3-2\alpha+\alpha=3-\alpha. Condiția 4y02=(x0+z0)2\displaystyle 4y_0^2=(x_0+z_0)^2 devine 4(1−α)2=(3−α)2\displaystyle 4(1-\alpha)^2=(3-\alpha)^2.
    4(1−α)2=(3−α)2\displaystyle 4(1-\alpha)^2=(3-\alpha)^2
  5. Mutăm totul într-o parte și folosim diferența de pătrate: (2(1−α)−(3−α))(2(1−α)+(3−α))=0\displaystyle \big(2(1-\alpha)-(3-\alpha)\big)\big(2(1-\alpha)+(3-\alpha)\big)=0, adică (−1−α)(5−3α)=0\displaystyle (-1-\alpha)(5-3\alpha)=0. Rezultă α=−1\displaystyle \alpha=-1 sau α=53\displaystyle \alpha=\dfrac{5}{3}.
    α=−1 sau α=53\displaystyle \alpha=-1\text{ sau }\alpha=\dfrac{5}{3}
  6. Înlocuim în soluția generală. Pentru α=−1\displaystyle \alpha=-1: x=3+2=5\displaystyle x=3+2=5, y=1+1=2\displaystyle y=1+1=2, z=−1\displaystyle z=-1. Pentru α=53\displaystyle \alpha=\dfrac{5}{3}: x=3−103=−13\displaystyle x=3-\dfrac{10}{3}=-\dfrac{1}{3}, y=1−53=−23\displaystyle y=1-\dfrac{5}{3}=-\dfrac{2}{3}, z=53\displaystyle z=\dfrac{5}{3}.
    (5,2,−1) sau (−13,−23,53)\displaystyle (5,2,-1)\text{ sau }\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru, x∗y=13xy−12(x+y)+94\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{9}{4}.

Demonstrați că x∗y=13(x−32)(y−32)+32\displaystyle x*y=\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii și desfacem parantezele: x∗y=13xy−12x−12y+94\displaystyle x*y=\dfrac{1}{3}xy-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}y+\dfrac{9}{4}. Scriem termenul constant ca 94=34+64\displaystyle \dfrac{9}{4}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{6}{4}, pentru a pregăti gruparea.
    x∗y=13xy−12x−12y+34+64\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}+\frac{6}{4}
  2. Grupăm termenii care conțin pe x\displaystyle x și pe y\displaystyle y astfel încât să apară factorul y−32\displaystyle y-\dfrac{3}{2}. Observăm că −12y+34=−12(y−32)\displaystyle -\dfrac{1}{2}y+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{2}\left(y-\dfrac{3}{2}\right).
    −12y+34=−12(y−32)\displaystyle -\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)
  3. Avem 13x(y−32)=13xy−12x\displaystyle \dfrac{1}{3}x\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{1}{3}xy-\dfrac{1}{2}x, deci primii doi termeni se grupează ca 13x(y−32)\displaystyle \dfrac{1}{3}x\left(y-\dfrac{3}{2}\right). Termenul rămas este 64=32\displaystyle \dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}.
    x∗y=13x(y−32)−12(y−32)+32\displaystyle x*y=\frac{1}{3}x\left(y-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}
  4. Dăm factor comun y−32\displaystyle y-\dfrac{3}{2}: 13x−12=13(x−32)\displaystyle \dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{3}{2}\right). Deci, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, obținem forma cerută.
    x∗y=13(x−32)(y−32)+32\displaystyle x*y=\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru, x∗y=13xy−12(x+y)+94\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{9}{4}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în forma cu factori centrați în 32\displaystyle \dfrac{3}{2}. Verificăm prin desfacerea parantezelor: 13(x−32)(y−32)+32=13xy−12(x+y)+34+32\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{3}xy-\dfrac{1}{2}(x+y)+\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{2}, iar 34+32=94\displaystyle \dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{4}.
    x∗y=13(x−32)(y−32)+32\displaystyle x*y=\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}
  2. Luăm y=x\displaystyle y=x în forma de mai sus și obținem x∗x\displaystyle x*x.
    x∗x=13(x−32)2+32\displaystyle x*x=\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}
  3. Folosim asociativitatea: x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Avem x∗x−32=13(x−32)2\displaystyle x*x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2, deci x∗x∗x=13⋅13(x−32)2(x−32)+32\displaystyle x*x*x=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}.
    x∗x∗x=19(x−32)3+32\displaystyle x*x*x=\frac{1}{9}\left(x-\frac{3}{2}\right)^3+\frac{3}{2}
  4. Scriem ecuația x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x și notăm t=x−32\displaystyle t=x-\dfrac{3}{2}, deci x=t+32\displaystyle x=t+\dfrac{3}{2}. Ecuația devine 19t3+32=t+32\displaystyle \dfrac{1}{9}t^3+\dfrac{3}{2}=t+\dfrac{3}{2}, iar 32\displaystyle \dfrac{3}{2} se reduce.
    19t3=t\displaystyle \frac{1}{9}t^3=t
  5. Înmulțim cu 9\displaystyle 9, mutăm totul într-un membru și dăm factor comun t\displaystyle t: t3−9t=t(t2−9)=t(t−3)(t+3)=0\displaystyle t^3-9t=t(t^2-9)=t(t-3)(t+3)=0.
    t=0 sau t=3 sau t=−3\displaystyle t=0\text{ sau }t=3\text{ sau }t=-3
  6. Revenim la x\displaystyle x prin x=t+32\displaystyle x=t+\dfrac{3}{2}: pentru t=0\displaystyle t=0 obținem x=32\displaystyle x=\dfrac{3}{2}, pentru t=3\displaystyle t=3 obținem x=92\displaystyle x=\dfrac{9}{2}, iar pentru t=−3\displaystyle t=-3 obținem x=−32\displaystyle x=-\dfrac{3}{2}.
    x=−32 sau x=32 sau x=92\displaystyle x=-\frac{3}{2}\text{ sau }x=\frac{3}{2}\text{ sau }x=\frac{9}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru, x∗y=13xy−12(x+y)+94\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{9}{4}.

Demonstrați că nu există niciun număr natural n\displaystyle n al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *” să fie număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm elementul neutru e\displaystyle e. Cerem ca x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x\displaystyle x real. Egalitatea devine (e3−32)x=e2−94\displaystyle \left(\dfrac{e}{3}-\dfrac{3}{2}\right)x=\dfrac{e}{2}-\dfrac{9}{4}. Ea trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x, deci coeficientul lui x\displaystyle x este zero: e3−32=0\displaystyle \dfrac{e}{3}-\dfrac{3}{2}=0, adică e=92\displaystyle e=\dfrac{9}{2}.
    e=92\displaystyle e=\dfrac{9}{2}
  2. Verificăm: x∗92=13⋅x⋅92−12(x+92)+94=32x−x2−94+94=x\displaystyle x*\dfrac{9}{2}=\dfrac{1}{3}\cdot x\cdot\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{9}{2}\right)+\dfrac{9}{4}=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{x}{2}-\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}=x. Legea este comutativă, deci și 92∗x=x\displaystyle \dfrac{9}{2}*x=x. Prin urmare elementul neutru este 92\displaystyle \dfrac{9}{2}.
    x∗92=92∗x=x, deci e=92\displaystyle x*\dfrac{9}{2}=\dfrac{9}{2}*x=x\text{, deci }e=\dfrac{9}{2}
  3. Presupunem prin reducere la absurd că există un număr natural n\displaystyle n care are simetricul n′\displaystyle n' număr natural. Legea este comutativă, deci condiția de simetric se reduce la n∗n′=e=92\displaystyle n*n'=e=\dfrac{9}{2}.
    n∗n′=92\displaystyle n*n'=\dfrac{9}{2}
  4. Scriem egalitatea cu formula legii: 13nn′−12(n+n′)+94=92\displaystyle \dfrac{1}{3}nn'-\dfrac{1}{2}(n+n')+\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2}. Înmulțim cu 12\displaystyle 12: 4nn′−6(n+n′)+27=54\displaystyle 4nn'-6(n+n')+27=54. Mutăm 27\displaystyle 27 în membrul drept: 4nn′−6n−6n′=27\displaystyle 4nn'-6n-6n'=27.
    4nn′−6n−6n′=27\displaystyle 4nn'-6n-6n'=27
  5. Cum n\displaystyle n și n′\displaystyle n' sunt numere naturale, membrul stâng 4nn′−6n−6n′\displaystyle 4nn'-6n-6n' este suma unor termeni pari, deci este număr par. Membrul drept, 27\displaystyle 27, este impar. Egalitatea este imposibilă, deci presupunerea făcută este falsă. Nu există niciun număr natural n\displaystyle n al cărui simetric să fie număr natural.
    n∗n′=n′∗n=92⇔4nn′−6n−6n′=27, par≠impar, contradicție\displaystyle n*n'=n'*n=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow 4nn'-6n-6n'=27\text{, par}\neq\text{impar, contradicție}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡(x2+x+1)\displaystyle f(x)=x-\ln\left(x^2+x+1\right).

Arătați că f′(x)=x(x−1)x2+x+1\displaystyle f'(x)=\frac{x(x-1)}{x^2+x+1}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (x)′=1\displaystyle (x)'=1. Pentru logaritmul compus folosim formula (ln⁡u)′=u′u\displaystyle \left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}, cu u=x2+x+1\displaystyle u=x^{2}+x+1.
    f′(x)=1−(x2+x+1)′x2+x+1\displaystyle f'(x)=1-\frac{\left(x^{2}+x+1\right)'}{x^{2}+x+1}
  2. Calculăm u′=(x2+x+1)′=2x+1\displaystyle u'=\left(x^{2}+x+1\right)'=2x+1. Înlocuind, obținem derivata funcției.
    f′(x)=1−2x+1x2+x+1\displaystyle f'(x)=1-\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}
  3. Aducem la același numitor, scriind 1=x2+x+1x2+x+1\displaystyle 1=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x+1}, și scădem numărătorii.
    f′(x)=x2+x+1−(2x+1)x2+x+1\displaystyle f'(x)=\frac{x^{2}+x+1-(2x+1)}{x^{2}+x+1}
  4. Reducem termenii asemenea la numărător: x2+x+1−2x−1=x2−x\displaystyle x^{2}+x+1-2x-1=x^{2}-x. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x2−x=x(x−1)\displaystyle x^{2}-x=x(x-1). Formula este valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=x2−xx2+x+1=x(x−1)x2+x+1\displaystyle f'(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{2}+x+1}=\frac{x(x-1)}{x^{2}+x+1}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡(x2+x+1)\displaystyle f(x)=x-\ln\left(x^2+x+1\right).

Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f\displaystyle f în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu dreapta de ecuație y=−17x+2\displaystyle y=-\frac{1}{7}x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta y=−17x+2\displaystyle y=-\dfrac{1}{7}x+2 are panta −17\displaystyle -\dfrac{1}{7}. Tangenta în punctul de abscisă a\displaystyle a are panta f′(a)\displaystyle f'(a). Dreptele paralele au aceeași pantă, deci f′(a)=−17\displaystyle f'(a)=-\dfrac{1}{7}.
    f′(a)=−17\displaystyle f'(a)=-\dfrac{1}{7}
  2. Calculăm derivata: f′(x)=1−(x2+x+1)′x2+x+1=1−2x+1x2+x+1\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{(x^2+x+1)'}{x^2+x+1}=1-\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}. Aducem la același numitor: x2+x+1−2x−1x2+x+1\displaystyle \dfrac{x^2+x+1-2x-1}{x^2+x+1}, adică x2−xx2+x+1\displaystyle \dfrac{x^2-x}{x^2+x+1}.
    f′(x)=x(x−1)x2+x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{x(x-1)}{x^2+x+1}
  3. Impunem f′(a)=−17\displaystyle f'(a)=-\dfrac{1}{7}. Numitorul a2+a+1\displaystyle a^2+a+1 este mereu strict pozitiv (discriminantul 1−4=−3<0\displaystyle 1-4=-3<0), deci nu apar restricții pentru a\displaystyle a.
    a(a−1)a2+a+1=−17\displaystyle \dfrac{a(a-1)}{a^2+a+1}=-\dfrac{1}{7}
  4. Înmulțim pe diagonală: 7a(a−1)=−(a2+a+1)\displaystyle 7a(a-1)=-(a^2+a+1), adică 7a2−7a+a2+a+1=0\displaystyle 7a^2-7a+a^2+a+1=0. După reducerea termenilor asemenea obținem o ecuație de gradul al doilea.
    8a2−6a+1=0\displaystyle 8a^2-6a+1=0
  5. Discriminantul este Δ=36−32=4\displaystyle \Delta=36-32=4. Rădăcinile sunt a=6±216\displaystyle a=\dfrac{6\pm 2}{16}, deci a=416=14\displaystyle a=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4} și a=816=12\displaystyle a=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}. Cum f\displaystyle f este definită pe R\displaystyle \mathbb{R}, ambele valori convin.
    a=14 sau a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{4}\text{ sau }a=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡(x2+x+1)\displaystyle f(x)=x-\ln\left(x^2+x+1\right).

Demonstrați că pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, ecuația f(x)+n=0\displaystyle f(x)+n=0 are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Aducem la același numitor și simplificăm: f′(x)=1−2x+1x2+x+1=x2−xx2+x+1\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}=\dfrac{x^{2}-x}{x^{2}+x+1}.
    f′(x)=x(x−1)x2+x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{x(x-1)}{x^{2}+x+1}
  2. Numitorul x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, deoarece discriminantul este negativ. Semnul derivatei este deci semnul produsului x(x−1)\displaystyle x(x-1). Obținem monotonia lui f\displaystyle f pe intervale.
    f strict cresca˘toare pe (−∞,0)\displaystyle f\text{ strict crescătoare pe }(-\infty,0), strict descresca˘toare pe (0,1)\displaystyle \ \text{strict descrescătoare pe }(0,1), strict cresca˘toare pe (1,+∞)\displaystyle \ \text{strict crescătoare pe }(1,+\infty)
  3. Calculăm limita la −∞\displaystyle -\infty și valorile f(0)\displaystyle f(0) și f(1)\displaystyle f(1). Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, x→−∞\displaystyle x\to-\infty, iar ln⁡(x2+x+1)→+∞\displaystyle \ln(x^{2}+x+1)\to+\infty, deci diferența tinde la −∞\displaystyle -\infty. Avem f(0)=0−ln⁡1=0\displaystyle f(0)=0-\ln 1=0 și f(1)=1−ln⁡3\displaystyle f(1)=1-\ln 3. Cum e<3<e2\displaystyle e<3<e^{2}, avem 1<ln⁡3<2\displaystyle 1<\ln 3<2, deci f(1)∈(−1,0)\displaystyle f(1)\in(-1,0).
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, f(0)=0\displaystyle \ f(0)=0, f(1)=1−ln⁡3∈(−1,0)\displaystyle \ f(1)=1-\ln 3\in(-1,0)
  4. Ecuația f(x)+n=0\displaystyle f(x)+n=0 este echivalentă cu f(x)=−n\displaystyle f(x)=-n, unde n≥1\displaystyle n\geq 1, deci −n≤−1\displaystyle -n\leq -1. Pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] funcția f\displaystyle f este descrescătoare, deci f(x)≥f(1)>−1\displaystyle f(x)\geq f(1)>-1. Pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) funcția f\displaystyle f este crescătoare, deci tot f(x)≥f(1)>−1\displaystyle f(x)\geq f(1)>-1. Prin urmare f(x)≠−n\displaystyle f(x)\neq -n pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), deci ecuația nu are soluții acolo.
    f(x)≥f(1)>−1≥−n  pentru x∈[0,+∞)⇒ nu exista˘ soluții ıˆn [0,+∞)\displaystyle f(x)\geq f(1)>-1\geq -n\ \text{ pentru }x\in[0,+\infty)\Rightarrow\text{ nu există soluții în }[0,+\infty)
  5. Pe intervalul (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] funcția f\displaystyle f este continuă și strict crescătoare, cu lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty și f(0)=0\displaystyle f(0)=0. Deci f\displaystyle f ia fiecare valoare din (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] exact o dată (proprietatea lui Darboux și injectivitate). Numărul −n\displaystyle -n este negativ, deci aparține acestui interval. Ecuația are astfel exact o soluție în (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0), iar în rest nu are soluții. Soluția este unică pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n.
    f strict cresca˘toare pe (−∞,0)⇒ ecuația f(x)+n=0 are soluție unica˘\displaystyle f\text{ strict crescătoare pe }(-\infty,0)\Rightarrow\text{ ecuația }f(x)+n=0\text{ are soluție unică}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=\frac{x}{e^x}.

Arătați că ∫02exf(x) dx=2\displaystyle \int_0^2 e^x f(x)\,dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xex\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{e^{x}} în integrala dată.
    ∫02ex⋅xex dx\displaystyle \int_0^2 e^{x}\cdot\frac{x}{e^{x}}\,dx
  2. Simplificăm ex\displaystyle e^{x} cu ex\displaystyle e^{x}, care este nenul pentru orice x\displaystyle x, și rămâne integrala funcției x\displaystyle x.
    ∫02x dx\displaystyle \int_0^2 x\,dx
  3. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫02ex⋅xex dx=∫02x dx=x22∣02\displaystyle \int_0^2 e^{x}\cdot\frac{x}{e^{x}}\,dx=\int_0^2 x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_0^2
  4. Calculăm valorile la limite: 222−022=2−0\displaystyle \dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}=2-0. Obținem valoarea cerută.
    222−022=2−0=2\displaystyle \frac{2^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=2-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=\frac{x}{e^x}.

Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=−1\displaystyle x=-1 și x=1\displaystyle x=1 are aria egală cu 2−2e\displaystyle 2-\frac{2}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Aria este A=∫−11∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{-1}^{1}|f(x)|\,dx. Cum f(x)=xe−x\displaystyle f(x)=xe^{-x} și e−x>0\displaystyle e^{-x}>0, semnul lui f\displaystyle f este semnul lui x\displaystyle x: f(x)≤0\displaystyle f(x)\le 0 pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] și f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0 pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    A=∫−11∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{-1}^{1}|f(x)|\,dx
  2. Împărțim intervalul în punctul 0\displaystyle 0 și eliminăm modulul: pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] avem ∣f(x)∣=−xe−x\displaystyle |f(x)|=-xe^{-x}, iar pe [0,1]\displaystyle [0,1] avem ∣f(x)∣=xe−x\displaystyle |f(x)|=xe^{-x}.
    A=∫−10(−xe−x) dx+∫01xe−x dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{-1}^{0}(-xe^{-x})\,dx+\int_{0}^{1}xe^{-x}\,dx
  3. Integrăm prin părți ∫xe−x dx\displaystyle \int xe^{-x}\,dx cu u=x\displaystyle u=x, dv=e−xdx\displaystyle dv=e^{-x}dx, deci v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}. Obținem −xe−x+∫e−x dx=−xe−x−e−x=−(x+1)e−x\displaystyle -xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx=-xe^{-x}-e^{-x}=-(x+1)e^{-x}. Verificare: ((x+1)e−x)′=e−x−(x+1)e−x=−xe−x\displaystyle \left((x+1)e^{-x}\right)'=e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-xe^{-x}. Deci (x+1)e−x\displaystyle (x+1)e^{-x} este primitivă a lui −xe−x\displaystyle -xe^{-x}, iar −(x+1)e−x\displaystyle -(x+1)e^{-x} este primitivă a lui xe−x\displaystyle xe^{-x}.
    ∫xe−x dx=−(x+1)e−x+C\displaystyle \int xe^{-x}\,dx=-(x+1)e^{-x}+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu primitivele de mai sus pe fiecare dintre cele două intervale.
    A=(x+1)e−x∣−10−(x+1)e−x∣01\displaystyle \mathcal{A}=(x+1)e^{-x}\Big|_{-1}^{0}-(x+1)e^{-x}\Big|_{0}^{1}
  5. Prima parte: (x+1)e−x∣−10=1⋅e0−0⋅e1=1\displaystyle (x+1)e^{-x}\Big|_{-1}^{0}=1\cdot e^{0}-0\cdot e^{1}=1. A doua parte: (x+1)e−x∣01=2e−1\displaystyle (x+1)e^{-x}\Big|_{0}^{1}=\dfrac{2}{e}-1, deci −(x+1)e−x∣01=1−2e\displaystyle -(x+1)e^{-x}\Big|_{0}^{1}=1-\dfrac{2}{e}.
    ∫−10(−xe−x) dx=1\displaystyle \int_{-1}^{0}(-xe^{-x})\,dx=1,∫01xe−x dx=1−2e\displaystyle \quad \int_{0}^{1}xe^{-x}\,dx=1-\dfrac{2}{e}
  6. Adunăm cele două valori: A=1+1−2e=2−2e\displaystyle \mathcal{A}=1+1-\dfrac{2}{e}=2-\dfrac{2}{e}, ceea ce trebuia demonstrat.
    A=1+(1−2e)=2−2e\displaystyle \mathcal{A}=1+\left(1-\dfrac{2}{e}\right)=2-\dfrac{2}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=\frac{x}{e^x}.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră In=∫01xnf(x) dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n f(x)\,dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞(n+2)In=1e\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(n+2)I_n=\frac{1}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrantul explicit: xnf(x)=xn+1e−x\displaystyle x^nf(x)=x^{n+1}e^{-x}. Apoi observăm că (n+2)xn+1=(xn+2)′\displaystyle (n+2)x^{n+1}=\left(x^{n+2}\right)', deci putem pregăti integrarea prin părți.
    (n+2)In=∫01(n+2)xn+1e−x dx=∫01(xn+2)′e−x dx\displaystyle (n+2)I_n=\int_0^1 (n+2)x^{n+1}e^{-x}\,dx=\int_0^1\left(x^{n+2}\right)'e^{-x}\,dx
  2. Integrăm prin părți: ∫01(xn+2)′e−x dx=xn+2e−x∣01−∫01xn+2(e−x)′dx\displaystyle \int_0^1\left(x^{n+2}\right)'e^{-x}\,dx=\left.x^{n+2}e^{-x}\right|_0^1-\int_0^1 x^{n+2}\left(e^{-x}\right)'dx. Cum (e−x)′=−e−x\displaystyle \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}, iar termenul tăiat este 1n+2e−1−0=1e\displaystyle 1^{n+2}e^{-1}-0=\dfrac{1}{e}, obținem o sumă între 1e\displaystyle \dfrac{1}{e} și o integrală.
    (n+2)In=1e+∫01xn+2e−x dx\displaystyle (n+2)I_n=\frac{1}{e}+\int_0^1 x^{n+2}e^{-x}\,dx
  3. Pe [0,1]\displaystyle [0,1] funcția e−x\displaystyle e^{-x} este descrescătoare, deci 1e≤e−x≤1\displaystyle \dfrac{1}{e}\le e^{-x}\le 1. Înmulțim cu xn+2≥0\displaystyle x^{n+2}\ge 0 și obținem inegalitatea de mai jos pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1].
    0≤1exn+2≤xn+2e−x≤xn+2\displaystyle 0\le\frac{1}{e}x^{n+2}\le x^{n+2}e^{-x}\le x^{n+2}
  4. Integrăm inegalitatea de la 0\displaystyle 0 la 1\displaystyle 1; sensul inegalităților se păstrează. Notăm Jn=∫01xn+2e−x dx\displaystyle J_n=\int_0^1 x^{n+2}e^{-x}\,dx.
    0≤1e∫01xn+2 dx≤∫01xn+2e−x dx≤∫01xn+2 dx\displaystyle 0\le\frac{1}{e}\int_0^1 x^{n+2}\,dx\le\int_0^1 x^{n+2}e^{-x}\,dx\le\int_0^1 x^{n+2}\,dx
  5. Calculăm ∫01xn+2 dx=xn+3n+3∣01=1n+3\displaystyle \int_0^1 x^{n+2}\,dx=\left.\dfrac{x^{n+3}}{n+3}\right|_0^1=\dfrac{1}{n+3}. Deci 0≤Jn≤1n+3\displaystyle 0\le J_n\le\dfrac{1}{n+3}, iar 1n+3→0\displaystyle \dfrac{1}{n+3}\to 0 când n→+∞\displaystyle n\to+\infty. Din criteriul cleștelui rezultă că Jn→0\displaystyle J_n\to 0.
    ∫01xn+2 dx=1n+3→0⇒lim⁡n→+∞∫01xn+2e−x dx=0\displaystyle \int_0^1 x^{n+2}\,dx=\frac{1}{n+3}\to 0\Rightarrow \lim_{n\to+\infty}\int_0^1 x^{n+2}e^{-x}\,dx=0
  6. Revenim la (n+2)In=1e+Jn\displaystyle (n+2)I_n=\dfrac{1}{e}+J_n și trecem la limită: 1e\displaystyle \dfrac{1}{e} este constant, iar Jn→0\displaystyle J_n\to 0. Prin urmare limita cerută este 1e\displaystyle \dfrac{1}{e}.
    lim⁡n→+∞(n+2)In=1e+0=1e\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(n+2)I_n=\frac{1}{e}+0=\frac{1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.