Bac matematică M1 mate-info 2013, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul n=(5−1)2+25\displaystyle n=(\sqrt{5}-1)^2+2\sqrt{5} este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul diferenței folosind formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu a=5\displaystyle a=\sqrt{5} și b=1\displaystyle b=1.
    (5−1)2=(5)2−2⋅5⋅1+12\displaystyle (\sqrt{5}-1)^2=(\sqrt{5})^2-2\cdot\sqrt{5}\cdot 1+1^2
  2. Calculăm (5)2=5\displaystyle (\sqrt{5})^2=5 și 12=1\displaystyle 1^2=1. Apoi înlocuim în expresia lui n\displaystyle n.
    n=(5−25+1)+25\displaystyle n=\left(5-2\sqrt{5}+1\right)+2\sqrt{5}
  3. Reducem termenii cu radical: −25+25=0\displaystyle -2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=0, iar rămâne 5+1\displaystyle 5+1. Deci n=6\displaystyle n=6, care este număr natural.
    n=5+1=6∈N\displaystyle n=5+1=6\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care graficul funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+mx+4\displaystyle f(x)=x^2+mx+4 intersectează axa Ox\displaystyle Ox în două puncte distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul funcției intersectează axa Ox\displaystyle Ox în punctele de abscisă x\displaystyle x pentru care f(x)=0\displaystyle f(x)=0. Deci cerem ca ecuația x2+mx+4=0\displaystyle x^{2}+mx+4=0 să aibă două soluții reale distincte.
    x2+mx+4=0 are doua˘ soluții reale \displaystyle x^{2}+mx+4=0\text{ are două soluții reale }distincte\displaystyle \text{distincte}
  2. O ecuație de gradul al doilea are două soluții reale distincte exact când discriminantul este strict pozitiv. Aici a=1\displaystyle a=1, b=m\displaystyle b=m, c=4\displaystyle c=4.
    Δ>0\displaystyle \Delta>0
  3. Calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=m2−4⋅1⋅4\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=m^{2}-4\cdot 1\cdot 4. Condiția devine Δ>0\displaystyle \Delta>0.
    Δ=m2−16>0\displaystyle \Delta=m^{2}-16>0
  4. Inecuația m2−16>0\displaystyle m^{2}-16>0 se scrie (m−4)(m+4)>0\displaystyle (m-4)(m+4)>0. Expresia este pozitivă când m\displaystyle m este în afara rădăcinilor −4\displaystyle -4 și 4\displaystyle 4, adică m<−4\displaystyle m<-4 sau m>4\displaystyle m>4.
    m<−4 sau m>4\displaystyle m<-4\text{ sau }m>4
  5. Scriem mulțimea valorilor lui m\displaystyle m sub formă de reuniune de intervale.
    m∈(−∞,−4)∪(4,+∞)\displaystyle m\in(-\infty,-4)\cup(4,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2−x2)=log⁡2x\displaystyle \log_2(2-x^2)=\log_2 x.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, adică 2−x2>0\displaystyle 2-x^{2}>0 și x>0\displaystyle x>0.
    2−x2>0 și x>0\displaystyle 2-x^{2}>0\text{ și }x>0
  2. Logaritmul în baza 2\displaystyle 2 este injectiv, deci egalăm argumentele celor doi logaritmi: 2−x2=x\displaystyle 2-x^{2}=x.
    2−x2=x\displaystyle 2-x^{2}=x
  3. Mutăm toți termenii în partea stângă și obținem ecuația de gradul al doilea x2+x−2=0\displaystyle x^{2}+x-2=0.
    x2+x−2=0\displaystyle x^{2}+x-2=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=12−4⋅1⋅(−2)=9\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=9, deci Δ=3\displaystyle \sqrt{\Delta}=3. Rădăcinile sunt x=−1±32\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 3}{2}.
    x1=1\displaystyle x_1=1, x2=−2\displaystyle \ x_2=-2
  5. Verificăm condițiile de existență. Pentru x1=1\displaystyle x_1=1: 2−12=1>0\displaystyle 2-1^{2}=1>0 și x1=1>0\displaystyle x_1=1>0, deci convine. Pentru x2=−2\displaystyle x_2=-2: x2<0\displaystyle x_2<0, deci log⁡2x\displaystyle \log_2 x nu există și x2\displaystyle x_2 nu convine.
    x1 convine și x2 nu convine\displaystyle x_1\text{ convine și }x_2\text{ nu convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulțimile mulțimii A={1,2,3,4,5,6,7}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7\}, aceasta să aibă cel mult un element.
Vezi rezolvarea
  1. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}. Cazurile posibile sunt toate submulțimile lui A\displaystyle A, iar cele favorabile sunt submulțimile cu cel mult un element.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Submulțimile cu cel mult un element sunt submulțimea vidă (zero elemente) și submulțimile cu exact un element. Numărul lor este C70+C71=1+7=8\displaystyle C_7^0+C_7^1=1+7=8.
    C70+C71=1+7=8⇒8 cazuri favorabile\displaystyle C_7^0+C_7^1=1+7=8\Rightarrow 8\text{ cazuri favorabile}
  3. O mulțime cu 7 elemente are 27\displaystyle 2^7 submulțimi, deoarece fiecare element poate fi sau nu în submulțime. Deci 27=128\displaystyle 2^7=128.
    27=128⇒128 de cazuri posibile\displaystyle 2^7=128\Rightarrow 128\text{ de cazuri posibile}
  4. Înlocuim în formulă: p=8128\displaystyle p=\dfrac{8}{128}, iar după simplificarea cu 8\displaystyle 8 obținem p=116\displaystyle p=\dfrac{1}{16}.
    p=8128=116\displaystyle p=\frac{8}{128}=\frac{1}{16}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C astfel încât AB→=i⃗+6j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=\vec{i}+6\vec{j} și BC→=4i⃗+6j⃗\displaystyle \overrightarrow{BC}=4\vec{i}+6\vec{j}. Determinați lungimea segmentului [AC]\displaystyle [AC].
Vezi rezolvarea
  1. Folosim regula triunghiului (relația lui Chasles): AC→=AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.
    AC→=AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
  2. Înlocuim vectorii și adunăm separat coeficienții lui i⃗\displaystyle \vec{i} și ai lui j⃗\displaystyle \vec{j}: AC→=(1+4)i⃗+(6+6)j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=(1+4)\vec{i}+(6+6)\vec{j}.
    AC→=5i⃗+12j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=5\vec{i}+12\vec{j}
  3. Lungimea segmentului [AC]\displaystyle [AC] este lungimea vectorului AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}, adică AC=52+122=25+144=169\displaystyle AC=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}. Deci lungimea este 13\displaystyle 13.
    AC=52+122=169=13\displaystyle AC=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{169}=13
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b astfel încât a+b=π3\displaystyle a+b=\frac{\pi}{3}. Arătați că 2cos⁡b=cos⁡a+3sin⁡a\displaystyle 2\cos b=\cos a+\sqrt{3}\sin a.
Vezi rezolvarea
  1. Din relația a+b=π3\displaystyle a+b=\dfrac{\pi}{3} obținem b=π3−a\displaystyle b=\dfrac{\pi}{3}-a, deci cos⁡b=cos⁡(π3−a)\displaystyle \cos b=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-a\right).
    b=π3−a⇒cos⁡b=cos⁡(π3−a)\displaystyle b=\frac{\pi}{3}-a\Rightarrow\cos b=\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)
  2. Aplicăm formula cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y, cu x=π3\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3} și y=a\displaystyle y=a.
    cos⁡(π3−a)=cos⁡π3cos⁡a+sin⁡π3sin⁡a\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos a+\sin\frac{\pi}{3}\sin a
  3. Folosim valorile cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} și sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, deci obținem:
    cos⁡b=12cos⁡a+32sin⁡a\displaystyle \cos b=\frac{1}{2}\cos a+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a
  4. Înmulțind egalitatea cu 2\displaystyle 2, obținem relația cerută.
    2cos⁡b=cos⁡a+3sin⁡a\displaystyle 2\cos b=\cos a+\sqrt{3}\sin a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se notează cu D(x,y)\displaystyle D(x,y) determinantul matricei A(x,y)=(x122x11yx)∈M3(R)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x&1&2\\2&x&1\\1&y&x\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}).

Calculați D(−1,2)\displaystyle D(-1,2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 și y=2\displaystyle y=2 în matricea A(x,y)\displaystyle A(x,y) și scriem determinantul obținut.
    D(−1,2)=∣−1122−1112−1∣\displaystyle D(-1,2)=\begin{vmatrix}-1&1&2\\2&-1&1\\1&2&-1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: (−1)⋅(−1)⋅(−1)\displaystyle (-1)\cdot(-1)\cdot(-1), 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2.
    (−1)(−1)(−1)+1⋅1⋅1+2⋅2⋅2=−1+1+8\displaystyle (-1)(-1)(-1)+1\cdot1\cdot1+2\cdot2\cdot2=-1+1+8
  3. Apoi calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 2⋅(−1)⋅1\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot1, (−1)⋅1⋅2\displaystyle (-1)\cdot1\cdot2 și 1⋅2⋅(−1)\displaystyle 1\cdot2\cdot(-1). Acestea se scad din primele, deci semnul lor se schimbă.
    −(−2−2−2)=+2+2+2\displaystyle -\left(-2-2-2\right)=+2+2+2
  4. Adunăm cei șase termeni obținuți.
    D(−1,2)=−1+1+8+2+2+2\displaystyle D(-1,2)=-1+1+8+2+2+2
  5. Efectuăm adunările: −1+1=0\displaystyle -1+1=0, apoi 8+6=14\displaystyle 8+6=14.
    D(−1,2)=14\displaystyle D(-1,2)=14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se notează cu D(x,y)\displaystyle D(x,y) determinantul matricei A(x,y)=(x122x11yx)∈M3(R)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x&1&2\\2&x&1\\1&y&x\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}).

Determinați numărul real q\displaystyle q pentru care matricea A(2,q)\displaystyle A(2,q) are rangul egal cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=q\displaystyle y=q în matricea A(x,y)\displaystyle A(x,y) și obținem matricea A(2,q)\displaystyle A(2,q).
    A(2,q)=(2122211q2)\displaystyle A(2,q)=\begin{pmatrix}2&1&2\\2&2&1\\1&q&2\end{pmatrix}
  2. Căutăm un minor de ordin 2\displaystyle 2 nenul. Alegem minorul format din primele două linii și primele două coloane și îl calculăm: d=2⋅2−1⋅2\displaystyle d=2\cdot 2-1\cdot 2.
    d=∣2122∣=2≠0⇒rang⁡A(2,q)≥2\displaystyle d=\begin{vmatrix}2&1\\2&2\end{vmatrix}=2\neq 0\Rightarrow \operatorname{rang}A(2,q)\geq 2
  3. Rangul este cel puțin 2\displaystyle 2. Matricea are ordinul 3\displaystyle 3, deci rangul este 2\displaystyle 2 exact când nu este 3\displaystyle 3, adică atunci când determinantul ei este nul. Impunem condiția D(2,q)=0\displaystyle D(2,q)=0.
    rang⁡A(2,q)=2⇒D(2,q)=0\displaystyle \operatorname{rang}A(2,q)=2\Rightarrow D(2,q)=0
  4. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Termenii pozitivi sunt 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot2\cdot2, 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot1\cdot1 și 2⋅2⋅q\displaystyle 2\cdot2\cdot q, iar cei negativi sunt 2⋅2⋅1\displaystyle 2\cdot2\cdot1, 2⋅1⋅q\displaystyle 2\cdot1\cdot q și 1⋅2⋅2\displaystyle 1\cdot2\cdot2. Apoi reducem termenii asemenea.
    D(2,q)=8+1+4q−4−2q−4=2q+1\displaystyle D(2,q)=8+1+4q-4-2q-4=2q+1
  5. Rezolvăm ecuația D(2,q)=0\displaystyle D(2,q)=0, adică 2q+1=0\displaystyle 2q+1=0, și obținem valoarea lui q\displaystyle q.
    q=−12\displaystyle q=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se notează cu D(x,y)\displaystyle D(x,y) determinantul matricei A(x,y)=(x122x11yx)∈M3(R)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x&1&2\\2&x&1\\1&y&x\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}).

Arătați că există cel puțin o pereche (x,y)\displaystyle (x,y) de numere reale, cu x≠y\displaystyle x\neq y, pentru care D(x,y)=D(y,x)\displaystyle D(x,y)=D(y,x).
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm determinantul după prima linie: D(x,y)=x⋅∣x1yx∣−1⋅∣211x∣+2⋅∣2x1y∣\displaystyle D(x,y)=x\cdot\begin{vmatrix}x&1\\y&x\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&x\end{vmatrix}+2\cdot\begin{vmatrix}2&x\\1&y\end{vmatrix}.
    D(x,y)=x(x2−y)−(2x−1)+2(2y−x)\displaystyle D(x,y)=x(x^{2}-y)-(2x-1)+2(2y-x)
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: x3−xy−2x+1+4y−2x\displaystyle x^{3}-xy-2x+1+4y-2x.
    D(x,y)=x3−xy−4x+4y+1\displaystyle D(x,y)=x^{3}-xy-4x+4y+1
  3. Pentru D(y,x)\displaystyle D(y,x) înlocuim x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x în formula obținută.
    D(y,x)=y3−xy−4y+4x+1\displaystyle D(y,x)=y^{3}-xy-4y+4x+1
  4. Punem condiția D(x,y)=D(y,x)\displaystyle D(x,y)=D(y,x). Termenii −xy\displaystyle -xy și 1\displaystyle 1 se reduc, iar ceilalți se grupează.
    x3−y3−8x+8y=0\displaystyle x^{3}-y^{3}-8x+8y=0
  5. Folosim x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2}) și dăm factor comun pe x−y\displaystyle x-y.
    (x−y)(x2+xy+y2−8)=0\displaystyle (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}-8)=0
  6. Cum x≠y\displaystyle x\neq y, factorul x−y\displaystyle x-y este nenul, deci al doilea factor trebuie să fie zero. Rămâne să găsim o pereche reală care verifică această ecuație.
    x2+xy+y2−8=0\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}-8=0
  7. Alegem x=0\displaystyle x=0. Ecuația devine y2−8=0\displaystyle y^{2}-8=0, deci putem lua y=22\displaystyle y=2\sqrt{2}. Atunci x≠y\displaystyle x\neq y.
    y2=8⇒y=22\displaystyle y^{2}=8\Rightarrow y=2\sqrt{2}
  8. Perechea (0,22)\displaystyle (0,2\sqrt{2}) are componentele reale și diferite și verifică x2+xy+y2−8=0\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}-8=0, deci D(x,y)=D(y,x)\displaystyle D(x,y)=D(y,x). Există astfel cel puțin o pereche cerută.
    (x,y)=(0,22)\displaystyle (x,y)=(0,2\sqrt{2})
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se notează cu x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile din C\displaystyle \mathbb{C} ale polinomului f=X3+X−m\displaystyle f=X^3+X-m, unde m\displaystyle m este un număr real.

Determinați m\displaystyle m astfel încât restul împărțirii polinomului f(X)\displaystyle f(X) la X−1\displaystyle X-1 să fie egal cu 8\displaystyle 8.
Vezi rezolvarea
  1. Conform teoremei restului, restul împărțirii lui f(X)\displaystyle f(X) la X−1\displaystyle X-1 este f(1)\displaystyle f(1).
    r=f(1)\displaystyle r=f(1)
  2. Înlocuim X=1\displaystyle X=1 în f(X)=X3+X−m\displaystyle f(X)=X^3+X-m și obținem f(1)=13+1−m\displaystyle f(1)=1^3+1-m.
    f(1)=1+1−m=2−m\displaystyle f(1)=1+1-m=2-m
  3. Restul trebuie să fie 8\displaystyle 8, deci punem condiția f(1)=8\displaystyle f(1)=8, adică 2−m=8\displaystyle 2-m=8.
    2−m=8\displaystyle 2-m=8
  4. Din 2−m=8\displaystyle 2-m=8 rezultă m=2−8\displaystyle m=2-8.
    m=−6\displaystyle m=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se notează cu x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile din C\displaystyle \mathbb{C} ale polinomului f=X3+X−m\displaystyle f=X^3+X-m, unde m\displaystyle m este un număr real.

Arătați că numărul x12+x22+x32\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2 este întreg, pentru orice m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem polinomul sub forma f=X3+0⋅X2+X−m\displaystyle f=X^3+0\cdot X^2+X-m. Coeficienții sunt a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle b=0, c=1\displaystyle c=1, d=−m\displaystyle d=-m.
    a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle \ b=0, c=1\displaystyle \ c=1, d=−m\displaystyle \ d=-m
  2. Relațiile lui Viète sunt x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a} și x1x2+x2x3+x3x1=ca\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{c}{a}. Înlocuim coeficienții: suma rădăcinilor este 0\displaystyle 0, iar suma produselor două câte două este 1\displaystyle 1.
    x1+x2+x3=0 și x1x2+x2x3+x3x1=1\displaystyle x_1+x_2+x_3=0\text{ și }x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=1
  3. Din dezvoltarea lui (x1+x2+x3)2\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2 obținem identitatea x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1).
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)
  4. Înlocuim x1+x2+x3=0\displaystyle x_1+x_2+x_3=0 și x1x2+x2x3+x3x1=1\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=1: obținem 02−2⋅1=−2\displaystyle 0^2-2\cdot 1=-2. Rezultatul nu depinde de m\displaystyle m, deci numărul este întreg pentru orice m\displaystyle m real.
    x12+x22+x32=02−2⋅1=−2∈Z\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=0^2-2\cdot 1=-2\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se notează cu x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile din C\displaystyle \mathbb{C} ale polinomului f=X3+X−m\displaystyle f=X^3+X-m, unde m\displaystyle m este un număr real.

În cazul m=2\displaystyle m=2 determinați patru numere întregi a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d, cu a>0\displaystyle a>0, astfel încât polinomul g=aX3+bX2+cX+d\displaystyle g=aX^3+bX^2+cX+d să aibă rădăcinile 1x1,1x2,1x3\displaystyle \frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2},\frac{1}{x_3}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=2\displaystyle m=2, polinomul este f=X3+X−2\displaystyle f=X^3+X-2. Produsul rădăcinilor este x1x2x3=2≠0\displaystyle x_1x_2x_3=2\neq 0, deci nicio rădăcină nu este 0\displaystyle 0 și inversele 1xi\displaystyle \dfrac{1}{x_i} există.
    f=X3+X−2\displaystyle f=X^3+X-2,x1x2x3=2≠0\displaystyle \quad x_1x_2x_3=2\neq 0
  2. Dacă x\displaystyle x este rădăcină a lui f\displaystyle f, atunci x3+x−2=0\displaystyle x^3+x-2=0. Punem x=1y\displaystyle x=\dfrac{1}{y}, cu y≠0\displaystyle y\neq 0, și înmulțim cu y3\displaystyle y^3: obținem 1+y2−2y3=0\displaystyle 1+y^2-2y^3=0. Deci numerele 1xi\displaystyle \dfrac{1}{x_i} sunt rădăcini ale polinomului obținut prin inversarea ordinii coeficienților lui f\displaystyle f.
    −2X3+X2+1 are ra˘da˘cinile 1x1\displaystyle -2X^3+X^2+1\text{ are rădăcinile }\frac{1}{x_1},1x2\displaystyle \frac{1}{x_2},1x3\displaystyle \frac{1}{x_3}
  3. Coeficientul dominant al polinomului obținut este −2<0\displaystyle -2<0, dar cerem a>0\displaystyle a>0. Înmulțim polinomul cu −1\displaystyle -1 (rădăcinile rămân aceleași) și obținem g=2X3−X2+0⋅X−1\displaystyle g=2X^3-X^2+0\cdot X-1.
    g=2X3−X2+0⋅X−1\displaystyle g=2X^3-X^2+0\cdot X-1
  4. Identificăm coeficienții lui g=aX3+bX2+cX+d\displaystyle g=aX^3+bX^2+cX+d cu cei găsiți: a=2\displaystyle a=2, b=−1\displaystyle b=-1, c=0\displaystyle c=0, d=−1\displaystyle d=-1, toate numere întregi, cu a>0\displaystyle a>0.
    a=2\displaystyle a=2, b=−1\displaystyle \ b=-1, c=0\displaystyle \ c=0, d=−1\displaystyle \ d=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x.

Calculați f′(0)\displaystyle f'(0).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x. Derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, iar derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1.
    (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (x)′=1\displaystyle \ (x)'=1
  2. Scădem derivatele și obținem expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x), valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în expresia derivatei. Folosim faptul că e0=1\displaystyle e^0=1.
    f′(0)=e0−1=1−1\displaystyle f'(0)=e^0-1=1-1
  4. Efectuăm scăderea și obținem răspunsul final: f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0.
    f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x.

Arătați că, pentru fiecare număr natural n≥2\displaystyle n\geq 2, ecuația f(x)=n\displaystyle f(x)=n are exact o soluție în intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind diferența a două funcții continue. În particular, f\displaystyle f este continuă pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    f continua˘ pe [0,+∞)\displaystyle f\text{ continuă pe }[0,+\infty)
  2. Calculăm valoarea funcției în 0\displaystyle 0: f(0)=e0−0\displaystyle f(0)=e^0-0.
    f(0)=e0−0=1\displaystyle f(0)=e^0-0=1
  3. Calculăm limita la +∞\displaystyle +\infty. Scriem f(x)=x(exx−1)\displaystyle f(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right). Deoarece exx→+∞\displaystyle \dfrac{e^x}{x}\to+\infty, paranteza tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci f(x)→+∞\displaystyle f(x)\to+\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  4. Folosim proprietatea lui Darboux: f\displaystyle f este continuă pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, deci f\displaystyle f ia toate valorile din [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Pentru n≥2\displaystyle n\geq 2 avem n>1=f(0)\displaystyle n>1=f(0), deci există a>0\displaystyle a>0 cu f(a)=n\displaystyle f(a)=n. Soluția nu este 0\displaystyle 0, deoarece f(0)=1≠n\displaystyle f(0)=1\neq n.
    ∃ a∈(0,+∞) cu f(a)=n\displaystyle \exists\, a\in(0,+\infty)\text{ cu }f(a)=n
  5. Pentru unicitate, calculăm derivata: f′(x)=(ex−x)′\displaystyle f'(x)=(e^x-x)'.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1
  6. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem ex>e0=1\displaystyle e^x>e^0=1, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Cum f\displaystyle f este continuă în 0\displaystyle 0, f\displaystyle f este strict crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), deci injectivă. Ecuația f(x)=n\displaystyle f(x)=n are cel mult o soluție în (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Împreună cu existența, are exact o soluție.
    f′(x)>0 pentru x>0⇒f strict cresca˘toare pe [0,+∞)⇒f injectiva˘\displaystyle f'(x)>0\text{ pentru }x>0\Rightarrow f\text{ strict crescătoare pe }[0,+\infty)\Rightarrow f\text{ injectivă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x.

Fie xn\displaystyle x_n unica soluție din intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) a ecuației f(x)=n\displaystyle f(x)=n, unde n\displaystyle n este număr natural, n≥2\displaystyle n\geq 2. Arătați că lim⁡n→+∞xn=+∞\displaystyle \lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția lui xn\displaystyle x_n avem f(xn)=n\displaystyle f(x_n)=n, adică exn−xn=n\displaystyle e^{x_n}-x_n=n.
    exn−xn=n\displaystyle e^{x_n}-x_n=n
  2. Trecem xn\displaystyle x_n în membrul drept și obținem exn=n+xn\displaystyle e^{x_n}=n+x_n.
    exn=n+xn\displaystyle e^{x_n}=n+x_n
  3. Deoarece xn∈(0,+∞)\displaystyle x_n\in(0,+\infty), avem xn>0\displaystyle x_n>0, deci n+xn>n\displaystyle n+x_n>n. Rezultă exn>n\displaystyle e^{x_n}>n.
    exn=n+xn>n\displaystyle e^{x_n}=n+x_n>n
  4. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare, deci aplicând-o inegalității exn>n\displaystyle e^{x_n}>n obținem xn>ln⁡n\displaystyle x_n>\ln n.
    xn>ln⁡n\displaystyle x_n>\ln n
  5. Cum lim⁡n→+∞ln⁡n=+∞\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\ln n=+\infty și xn>ln⁡n\displaystyle x_n>\ln n, din criteriul comparației rezultă lim⁡n→+∞xn=+∞\displaystyle \lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty.
    lim⁡n→+∞xn=+∞\displaystyle \lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x\displaystyle f(x)=\cos x și se notează cu S\displaystyle S suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=π2\displaystyle x=\frac{\pi}{2}.

Calculați aria suprafeței S\displaystyle S.
Vezi rezolvarea
  1. Aria suprafeței delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele x=0\displaystyle x=0, x=π2\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2} este integrala valorii absolute a funcției pe acest interval: A=∫0π2∣f(x)∣ dx\displaystyle A=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}|f(x)|\,dx.
    A=∫0π2∣cos⁡x∣ dx\displaystyle A=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\cos x|\,dx
  2. Pentru x∈[0,π2]\displaystyle x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] avem cos⁡x≥0\displaystyle \cos x\ge 0, deci ∣cos⁡x∣=cos⁡x\displaystyle |\cos x|=\cos x. Aria devine integrala lui cos⁡x\displaystyle \cos x pe acest interval.
    A=∫0π2∣f(x)∣ dx=∫0π2cos⁡x dx\displaystyle A=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|f(x)|\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx
  3. O primitivă a lui cos⁡x\displaystyle \cos x este sin⁡x\displaystyle \sin x, deci după formula Leibniz-Newton A=sin⁡x∣0π2=sin⁡π2−sin⁡0\displaystyle A=\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin 0.
    A=sin⁡x∣0π2=sin⁡π2−sin⁡0\displaystyle A=\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0
  4. Cum sin⁡π2=1\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{2}=1 și sin⁡0=0\displaystyle \sin 0=0, obținem A=1−0=1\displaystyle A=1-0=1.
    A=1\displaystyle A=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x\displaystyle f(x)=\cos x și se notează cu S\displaystyle S suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=π2\displaystyle x=\frac{\pi}{2}.

Calculați volumul corpului obținut prin rotația suprafeței S\displaystyle S în jurul axei Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula volumului corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox pentru funcția f\displaystyle f pe intervalul [0,π2]\displaystyle \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] și înlocuim f(x)=cos⁡x\displaystyle f(x)=\cos x.
    V=π∫0π2f2(x) dx=π∫0π2cos⁡2x dx\displaystyle V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f^2(x)\,dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x\,dx
  2. Scădem gradul cosinusului cu formula unghiului dublu: cos⁡2x=2cos⁡2x−1\displaystyle \cos 2x=2\cos^2 x-1, deci cos⁡2x=1+cos⁡2x2\displaystyle \cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}.
    cos⁡2x=1+cos⁡2x2\displaystyle \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}
  3. Înlocuim în integrală și scoatem factorul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în fața integralei.
    V=π2∫0π2(1+cos⁡2x) dx\displaystyle V=\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2x)\,dx
  4. Calculăm primitivele: o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui cos⁡2x\displaystyle \cos 2x este 12sin⁡2x\displaystyle \dfrac{1}{2}\sin 2x.
    V=π2(x∣0π2+12sin⁡2x∣0π2)\displaystyle V=\frac{\pi}{2}\left(x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{2}\sin 2x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}\right)
  5. Aplicăm limitele de integrare: x∣0π2=π2\displaystyle x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{2}, iar 12(sin⁡π−sin⁡0)=0\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\sin\pi-\sin 0\right)=0. Rezultă volumul.
    V=π2(π2+0)=π24\displaystyle V=\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{2}+0\right)=\frac{\pi^2}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x\displaystyle f(x)=\cos x și se notează cu S\displaystyle S suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=π2\displaystyle x=\frac{\pi}{2}.

Demonstrați că ∫02πfn(kx)dx=∫02πfn(x)dx\displaystyle \int_0^{2\pi}f^n(kx)dx=\int_0^{2\pi}f^n(x)dx, pentru orice numere naturale n,k≥1\displaystyle n,k\geq 1.
Vezi rezolvarea
  1. Facem schimbarea de variabilă t=kx\displaystyle t=kx. Atunci dt=k dx\displaystyle dt=k\,dx, deci dx=dtk\displaystyle dx=\dfrac{dt}{k}. Limitele se schimbă: pentru x=0\displaystyle x=0 avem t=0\displaystyle t=0, iar pentru x=2π\displaystyle x=2\pi avem t=2kπ\displaystyle t=2k\pi.
    t=kx\displaystyle t=kx,dx=dtk\displaystyle \quad dx=\frac{dt}{k},t∈[0,2kπ]\displaystyle \quad t\in[0,2k\pi]
  2. Integrala devine ∫02πcos⁡n(kx) dx=1k∫02kπcos⁡nt dt\displaystyle \displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^n(kx)\,dx=\frac{1}{k}\int_0^{2k\pi}\cos^n t\,dt.
    ∫02πcos⁡n(kx) dx=1k∫02kπcos⁡nt dt\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^n(kx)\,dx=\frac{1}{k}\int_0^{2k\pi}\cos^n t\,dt
  3. Împărțim intervalul [0,2kπ]\displaystyle [0,2k\pi] în k\displaystyle k intervale de lungime 2π\displaystyle 2\pi: [0,2π]\displaystyle [0,2\pi], [2π,4π]\displaystyle [2\pi,4\pi], ..., [2(k−1)π,2kπ]\displaystyle [2(k-1)\pi,2k\pi]. Integrala pe [0,2kπ]\displaystyle [0,2k\pi] este suma integralelor pe aceste intervale.
    ∫02kπcos⁡nt dt=∫02πcos⁡nt dt+∫2π4πcos⁡nt dt+…+∫2(k−1)π2kπcos⁡nt dt\displaystyle \int_0^{2k\pi}\cos^n t\,dt=\int_0^{2\pi}\cos^n t\,dt+\int_{2\pi}^{4\pi}\cos^n t\,dt+\ldots+\int_{2(k-1)\pi}^{2k\pi}\cos^n t\,dt
  4. Funcția cos⁡n\displaystyle \cos^n are perioada 2π\displaystyle 2\pi, deci cos⁡n(u+2jπ)=cos⁡nu\displaystyle \cos^n(u+2j\pi)=\cos^n u pentru orice întreg j\displaystyle j. Pentru fiecare interval [2jπ,2(j+1)π]\displaystyle [2j\pi,2(j+1)\pi] facem substituția t=u+2jπ\displaystyle t=u+2j\pi, iar integrala devine egală cu ∫02πcos⁡nu du\displaystyle \displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^n u\,du.
    ∫2jπ2(j+1)πcos⁡nt dt=∫02πcos⁡nu du\displaystyle \int_{2j\pi}^{2(j+1)\pi}\cos^n t\,dt=\int_0^{2\pi}\cos^n u\,du,j=0\displaystyle \quad j=0,1\displaystyle 1,…\displaystyle \ldots,k−1\displaystyle k-1
  5. Cele k\displaystyle k integrale sunt identice, deci suma lor este k∫02πcos⁡nt dt\displaystyle k\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^n t\,dt. Înlocuind în formula de la pasul 2, avem 1k⋅k∫02πcos⁡nt dt\displaystyle \dfrac{1}{k}\cdot k\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^n t\,dt, iar factorul k\displaystyle k se simplifică cu 1k\displaystyle \dfrac{1}{k}. Rezultă ∫02πfn(kx) dx=∫02πfn(x) dx\displaystyle \displaystyle\int_0^{2\pi}f^n(kx)\,dx=\int_0^{2\pi}f^n(x)\,dx, adică răspunsul final.
    ∫02πcos⁡n(kx) dx=1k⋅k∫02πcos⁡nt dt=∫02πcos⁡nt dt\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^n(kx)\,dx=\frac{1}{k}\cdot k\int_0^{2\pi}\cos^n t\,dt=\int_0^{2\pi}\cos^n t\,dt
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.