Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 7: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați numărul elementelor mulțimii

\displaystyle M=\{n\in\mathbb{N}\mid 2n+1<10\}

.

Vezi rezolvarea

Scădem $\displaystyle 1$ din ambii membri ai inegalității $\displaystyle 2n+1<10$ și obținem $\displaystyle 2n<9$ .
$\displaystyle 2n<9$
Împărțim la $\displaystyle 2$ , număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează: $\displaystyle n<\dfrac{9}{2}$ , adică $\displaystyle n<4{,}5$ .
$\displaystyle n<\frac{9}{2}$
Numerele naturale mai mici decât $\displaystyle 4{,}5$ sunt $\displaystyle 0, 1, 2, 3, 4$ . Deci $\displaystyle M=\{0,1,2,3,4\}$ .
$\displaystyle M=\{0,1,2,3,4\}$
Numărăm elementele mulțimii $\displaystyle M$ : sunt $\displaystyle 5$ elemente.
$\displaystyle 5\text{ elemente}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-10x+m

, unde

\displaystyle m

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care vârful parabolei asociate funcției

\displaystyle f

este situat pe axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Vârful parabolei are coordonatele $\displaystyle V\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ . Vârful se află pe axa $\displaystyle Ox$ exact când ordonata lui este zero. Identificăm coeficienții: $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-10$ , $\displaystyle c=m$ .
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=-10$ , $\displaystyle \ c=m$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4\cdot 1\cdot m$ .
$\displaystyle \Delta=100-4m$
Calculăm ordonata vârfului: $\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{100-4m}{4}=m-25$ .
$\displaystyle \Delta=100-4m$ , $\displaystyle \ y_V=m-25$
Vârful este pe axa $\displaystyle Ox$ când $\displaystyle y_V=0$ , adică $\displaystyle m-25=0$ , deci $\displaystyle m=25$ . Verificare: pentru $\displaystyle m=25$ avem $\displaystyle f(x)=(x-5)^{2}$ , iar vârful este $\displaystyle V(5,0)$ , pe axa $\displaystyle Ox$ .
$\displaystyle y_V=0\Leftrightarrow m=25$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle x+\sqrt{x-5}=7

.

Vezi rezolvarea

Punem condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, deci $\displaystyle x-5\geq 0$ , adică $\displaystyle x\geq 5$ .
$\displaystyle x\geq 5$
Izolăm radicalul: $\displaystyle \sqrt{x-5}=7-x$ . Deoarece radicalul este pozitiv sau nul, trebuie ca $\displaystyle 7-x\geq 0$ , adică $\displaystyle x\leq 7$ .
$\displaystyle \sqrt{x-5}=7-x$ , $\displaystyle \ x\in[5,7]$
Ridicăm ambii membri la pătrat: $\displaystyle x-5=(7-x)^2$ . Desfacem paranteza: $\displaystyle x-5=49-14x+x^2$ . Aducem totul în partea dreaptă: $\displaystyle x^2-15x+54=0$ .
$\displaystyle x-5=(7-x)^2$ , $\displaystyle \ x^2-15x+54=0$
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este $\displaystyle \Delta=225-216=9$ , deci $\displaystyle \sqrt{\Delta}=3$ . Rezultă $\displaystyle x=\dfrac{15\pm 3}{2}$ , adică $\displaystyle x=6$ sau $\displaystyle x=9$ .
$\displaystyle x=6\text{ sau }x=9$
Verificăm soluțiile. Pentru $\displaystyle x=6$ : $\displaystyle 6+\sqrt{1}=7$ , adevărat. Pentru $\displaystyle x=9$ : $\displaystyle 9+\sqrt{4}=11\neq 7$ , deci 9 nu convine (nu respectă nici $\displaystyle x\leq 7$ ). Ecuația are o singură soluție, $\displaystyle x=6$ .
$\displaystyle x=6\text{, care convine; }x=9\text{, care nu convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să nu fie multiplu de

\displaystyle 5

.

Vezi rezolvarea

Aflăm numărul cazurilor posibile: numerele naturale de trei cifre sunt de la $\displaystyle 100$ la $\displaystyle 999$ , deci sunt $\displaystyle 999-100+1$ numere.
$\displaystyle 999-100+1=900$
Un număr de trei cifre este multiplu de $\displaystyle 5$ dacă se termină cu $\displaystyle 0$ sau $\displaystyle 5$ . Numărul nu trebuie să fie multiplu de $\displaystyle 5$ , deci ultima cifră poate fi oricare dintre cele $\displaystyle 8$ cifre rămase: $\displaystyle 1,2,3,4,6,7,8,9$ .
$\displaystyle \text{ultima cifră: } 8 \text{ variante}$
Prima cifră nu poate fi $\displaystyle 0$ , deci are $\displaystyle 9$ variante, iar cifra zecilor are $\displaystyle 10$ variante. Numărul cazurilor favorabile este produsul dintre numărul variantelor pentru fiecare cifră.
$\displaystyle 9\cdot 10\cdot 8=720$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi simplificăm fracția prin $\displaystyle 180$ .
$\displaystyle p=\frac{720}{900}=\frac{4}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(3,4)

și

\displaystyle B(-1,3)

. Determinați coordonatele punctului

\displaystyle C

astfel încât

\displaystyle \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}$ și folosim regula triunghiului, $\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ . Obținem $\displaystyle \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$
Din $\displaystyle \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ rezultă $\displaystyle \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}$ . Vectorii $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ și $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ sunt egali, deci $\displaystyle C$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow C\text{ este mijlocul lui }[AB]$
Aplicăm formulele mijlocului: $\displaystyle x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{3+(-1)}{2}=1$ și $\displaystyle y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{4+3}{2}=\dfrac{7}{2}$ . Deci $\displaystyle C\left(1,\dfrac{7}{2}\right)$ .
$\displaystyle x_C=1$ , $\displaystyle \ y_C=\frac{7}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul ascuțitunghic

\displaystyle ABC

cu

\displaystyle AB=4

,

\displaystyle AC=5

și aria egală cu

\displaystyle 6

. Calculați cosinusul unghiului

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula ariei $\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}$ , cu $\displaystyle AB=4$ , $\displaystyle AC=5$ și $\displaystyle \mathcal{A}=6$ .
$\displaystyle 6=\frac{4\cdot 5\cdot\sin A}{2}$
Simplificăm: $\displaystyle \dfrac{4\cdot 5}{2}=10$ , deci $\displaystyle 6=10\sin A$ . Împărțim la $\displaystyle 10$ și obținem sinusul unghiului $\displaystyle A$ .
$\displaystyle \sin A=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
Din $\displaystyle \sin^2 A+\cos^2 A=1$ avem $\displaystyle \cos^2 A=1-\sin^2 A=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1-\dfrac{9}{25}$ .
$\displaystyle \cos^2 A=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$
Triunghiul este ascuțitunghic, deci unghiul $\displaystyle A$ este ascuțit și $\displaystyle \cos A>0$ . Rezultă $\displaystyle \cos A=\sqrt{\dfrac{16}{25}}$ .
$\displaystyle \cos A=\frac{4}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a+1 & a\\ 1 & 1 & a+1\\ 2 & a & 1\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+(a+1)y+az=6a+3\\ x+y+(a+1)z=4a+7\\ 2x+ay+z=2a+6\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(a))=2(a^2+1)

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus (diagonala principală și paralelele ei) sunt $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1$ , $\displaystyle (a+1)(a+1)\cdot 2=2(a+1)^2$ și $\displaystyle a\cdot 1\cdot a=a^2$ .
$\displaystyle 1+2(a+1)^2+a^2$
Termenii cu minus (diagonala secundară și paralelele ei) sunt $\displaystyle a\cdot 1\cdot 2=2a$ , $\displaystyle (a+1)\cdot 1\cdot 1=a+1$ și $\displaystyle 1\cdot(a+1)\cdot a=a(a+1)$ .
$\displaystyle 2a+(a+1)+a(a+1)$
Determinantul este suma termenilor cu plus minus suma termenilor cu minus.
$\displaystyle \det(A(a))=1+a^2+2(a+1)^2-2a-a(a+1)-(a+1)$
Desfacem parantezele: $\displaystyle 2(a+1)^2=2a^2+4a+2$ și $\displaystyle a(a+1)=a^2+a$ . Obținem $\displaystyle 1+a^2+2a^2+4a+2-2a-a^2-a-a-1$ . Termenii în $\displaystyle a^2$ dau $\displaystyle 1+2-1=2$ , termenii în $\displaystyle a$ dau $\displaystyle 4-2-1-1=0$ , iar constantele dau $\displaystyle 1+2-1=2$ .
$\displaystyle 1+a^2+2a^2+4a+2-2a-a^2-a-a-1=2a^2+2$
Dăm factor comun $\displaystyle 2$ și obținem forma cerută, valabilă pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \det(A(a))=2a^2+2=2(a^2+1)\text{, pentru orice număr real }a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a+1 & a\\ 1 & 1 & a+1\\ 2 & a & 1\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+(a+1)y+az=6a+3\\ x+y+(a+1)z=4a+7\\ 2x+ay+z=2a+6\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle A(a)\cdot A(0)=A(0)\cdot A(a)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=0$ în $\displaystyle A(a)$ și obținem matricea $\displaystyle A(0)$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(a)\cdot A(0)$ , înmulțind fiecare linie a lui $\displaystyle A(a)$ cu fiecare coloană a lui $\displaystyle A(0)$ . De exemplu, pe prima linie: $\displaystyle 1+(a+1)+2a=3a+2$ , $\displaystyle 1+(a+1)=a+2$ , $\displaystyle (a+1)+a=2a+1$ .
$\displaystyle A(a)\cdot A(0)=\begin{pmatrix}3a+2 & a+2 & 2a+1\\ 2a+4 & 2 & a+2\\ a+4 & a+2 & a+1\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(0)\cdot A(a)$ , înmulțind fiecare linie a lui $\displaystyle A(0)$ cu fiecare coloană a lui $\displaystyle A(a)$ . De exemplu, pe a doua linie: $\displaystyle 1+1+2=4$ , $\displaystyle (a+1)+1+a=2a+2$ , $\displaystyle a+(a+1)+1=2a+2$ .
$\displaystyle A(0)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}2 & a+2 & 2a+1\\ 4 & 2a+2 & 2a+2\\ 4 & 3a+2 & 2a+1\end{pmatrix}$
Egalăm cele două matrice element cu element. Din elementul de pe poziția $\displaystyle (1,1)$ : $\displaystyle 3a+2=2$ . Din poziția $\displaystyle (2,1)$ : $\displaystyle 2a+4=4$ . Din poziția $\displaystyle (3,1)$ : $\displaystyle a+4=4$ . Fiecare ecuație dă $\displaystyle a=0$ . Celelalte egalități, de exemplu $\displaystyle 2=2a+2$ , dau tot $\displaystyle a=0$ .
$\displaystyle 3a+2=2$ , $\displaystyle \ 2a+4=4$ , $\displaystyle \ a+4=4$ , $\displaystyle \ 2=2a+2\ \Rightarrow\ a=0$
Verificăm: pentru $\displaystyle a=0$ cele două produse coincid, ambele fiind $\displaystyle A(0)\cdot A(0)$ , deci singura valoare este $\displaystyle a=0$ .
$\displaystyle a=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a+1 & a\\ 1 & 1 & a+1\\ 2 & a & 1\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}x+(a+1)y+az=6a+3\\ x+y+(a+1)z=4a+7\\ 2x+ay+z=2a+6\end{cases}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că, dacă

\displaystyle (x_0,y_0,z_0)

este soluția sistemului de ecuații, atunci

\displaystyle x_0

,

\displaystyle y_0

și

\displaystyle z_0

sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei sistemului, dezvoltând după prima linie: $\displaystyle \det A(a)=1\cdot(1-a(a+1))-(a+1)(1-2(a+1))+a(a-2)$ . După reducerea termenilor obținem $\displaystyle \det A(a)=2a^{2}+2$ , deci $\displaystyle \det A(a)\neq 0$ pentru orice $\displaystyle a\in\mathbb{R}$ . Sistemul este compatibil determinat, adică are o singură soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ .
$\displaystyle \det A(a)=2a^{2}+2>0$
Înlocuim $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle y=2$ , $\displaystyle z=4$ în ecuații. Prima ecuație: $\displaystyle 1+2(a+1)+4a=6a+3$ . A doua ecuație: $\displaystyle 1+2+4(a+1)=4a+7$ . A treia ecuație: $\displaystyle 2+2a+4=2a+6$ . Toate sunt adevărate pentru orice $\displaystyle a$ , iar soluția este unică, deci $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=(1,2,4)$ .
$\displaystyle x_0=1$ , $\displaystyle \ y_0=2$ , $\displaystyle \ z_0=4$
Numerele $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă $\displaystyle x_0z_0=y_0^{2}$ . Avem $\displaystyle x_0z_0=1\cdot 4=4$ și $\displaystyle y_0^{2}=2^{2}=4$ . Deci relația este adevărată, iar numerele $\displaystyle 1,2,4$ formează o progresie geometrică cu rația $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle x_0z_0=4=y_0^{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[0,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=\frac{2(x+y)}{xy+2}

.

Arătați că

\displaystyle x*0=x

, pentru orice

\displaystyle x\in M

.

Vezi rezolvarea

Legea este $\displaystyle x*y=\dfrac{2(x+y)}{xy+2}$ . Luăm $\displaystyle x\in M$ arbitrar și înlocuim $\displaystyle y=0$ .
$\displaystyle x*0=\dfrac{2(x+0)}{x\cdot 0+2}$
La numărător $\displaystyle x+0=x$ , iar la numitor $\displaystyle x\cdot 0=0$ , deci numitorul este $\displaystyle 0+2=2$ .
$\displaystyle x*0=\dfrac{2x}{2}$
Simplificăm fracția prin $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle x$ . Cum $\displaystyle x\in M$ a fost ales arbitrar, egalitatea este adevărată pentru orice element din $\displaystyle M$ .
$\displaystyle \dfrac{2x}{2}=x\text{, pentru orice }x\in M$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[0,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=\frac{2(x+y)}{xy+2}

.

Arătați că

\displaystyle x*y<2

, pentru orice

\displaystyle x,y\in[1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Studiem semnul diferenței dintre $\displaystyle x*y$ și $\displaystyle 2$ . Scriem diferența folosind definiția legii: $\displaystyle x*y-2=\dfrac{2(x+y)}{xy+2}-2$ .
$\displaystyle x*y-2=\dfrac{2(x+y)}{xy+2}-2$
Aducem la același numitor $\displaystyle xy+2$ , care este strict pozitiv pentru $\displaystyle x,y\in[1,+\infty)$ , și desfacem parantezele de la numărător: $\displaystyle 2(x+y)-2(xy+2)=2x+2y-2xy-4$ .
$\displaystyle \dfrac{2x+2y-2xy-4}{xy+2}$
Dăm factor comun $\displaystyle -2$ la numărător: $\displaystyle 2x+2y-2xy-4=-2(xy-x-y+2)$ .
$\displaystyle x*y-2=-2\cdot\dfrac{xy-x-y+2}{xy+2}$
Observăm că $\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1$ , deci $\displaystyle xy-x-y+2=(x-1)(y-1)+1$ .
$\displaystyle xy-x-y+2=(x-1)(y-1)+1$
Pentru $\displaystyle x,y\ge 1$ avem $\displaystyle x-1\ge 0$ și $\displaystyle y-1\ge 0$ , deci $\displaystyle (x-1)(y-1)+1\ge 1>0$ . Numitorul $\displaystyle xy+2$ este pozitiv, deci fracția este pozitivă, iar înmulțită cu $\displaystyle -2$ dă un număr negativ. Așadar $\displaystyle x*y-2<0$ , adică $\displaystyle x*y<2$ .
$\displaystyle x*y-2=-2\cdot\dfrac{(x-1)(y-1)+1}{xy+2}<0\text{, pentru orice }x$ , $\displaystyle y\in[1,+\infty)\Rightarrow x*y<2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[0,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=\frac{2(x+y)}{xy+2}

.

Determinați perechile

\displaystyle (m,n)

de numere naturale nenule pentru care

\displaystyle m*n

este număr natural.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle m,n\in\mathbb{N}^*$ , numărătorul $\displaystyle 2(m+n)$ și numitorul $\displaystyle mn+2$ sunt strict pozitivi, deci $\displaystyle m*n>0$ .
$\displaystyle m*n=\frac{2(m+n)}{mn+2}>0$
Arătăm că $\displaystyle m*n<2$ . Inegalitatea $\displaystyle 2(m+n)<2(mn+2)$ este echivalentă cu $\displaystyle m+n<mn+2$ , adică cu $\displaystyle mn-m-n+2>0$ , adică cu $\displaystyle (m-1)(n-1)+1>0$ . Aceasta este adevărată, pentru că $\displaystyle (m-1)(n-1)\ge 0$ .
$\displaystyle (m-1)(n-1)+1>0\Rightarrow m*n<2$
Din $\displaystyle 0<m*n<2$ și faptul că $\displaystyle m*n\in\mathbb{N}$ , rezultă $\displaystyle m*n=1$ .
$\displaystyle 0<m*n<2\Rightarrow m*n=1$
Scriem condiția $\displaystyle m*n=1$ , eliminăm numitorul și aducem toți termenii în același membru: $\displaystyle 2(m+n)=mn+2$ , deci $\displaystyle mn-2m-2n+2=0$ . Adăugăm $\displaystyle 2$ în ambii membri, ca să putem factoriza: $\displaystyle mn-2m-2n+4=2$ .
$\displaystyle mn-2m-2n+4=2\Leftrightarrow (m-2)(n-2)=2$
Produsul $\displaystyle (m-2)(n-2)$ este egal cu $\displaystyle 2$ , deci $\displaystyle m-2$ și $\displaystyle n-2$ sunt divizori întregi ai lui $\displaystyle 2$ , cu produsul $\displaystyle 2$ . Cazurile sunt $\displaystyle (1,2)$ , $\displaystyle (2,1)$ , $\displaystyle (-1,-2)$ , $\displaystyle (-2,-1)$ . Cazurile cu factori negativi dau $\displaystyle (m,n)=(1,0)$ , respectiv $\displaystyle (0,1)$ , care nu sunt numere naturale nenule. Rămân cazurile cu factori pozitivi.
$\displaystyle (m-2,n-2)\in\{(1,2),(2,1)\}$
Din cazurile rămase obținem $\displaystyle m=3$ și $\displaystyle n=4$ , respectiv $\displaystyle m=4$ și $\displaystyle n=3$ . Verificare: $\displaystyle 3*4=\dfrac{2\cdot 7}{14}=1$ , număr natural. Perechile căutate sunt $\displaystyle (3,4)$ și $\displaystyle (4,3)$ .
$\displaystyle (m,n)\in\{(3,4),(4,3)\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x(x^2-4x+5)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=e^x(x-1)^2

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f(x)=e^x(x^2-4x+5)$ este un produs de forma $\displaystyle u\cdot v$ , cu $\displaystyle u=e^x$ și $\displaystyle v=x^2-4x+5$ . Aplicăm formula $\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ .
$\displaystyle f'(x)=(e^x)'(x^2-4x+5)+e^x(x^2-4x+5)'$
Folosim $\displaystyle (e^x)'=e^x$ și $\displaystyle (x^2-4x+5)'=2x-4$ . Înlocuind în formulă, obținem expresia lui $\displaystyle f'(x)$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-4x+5)+e^x(2x-4)$
Dăm factor comun pe $\displaystyle e^x$ : $\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2-4x+5+2x-4\right)$ . Reducem termenii asemenea: $\displaystyle -4x+2x=-2x$ și $\displaystyle 5-4=1$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-2x+1)$
Observăm că $\displaystyle x^2-2x+1=(x-1)^2$ , formula $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ cu $\displaystyle a=x$ și $\displaystyle b=1$ . Deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x(x-1)^2$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x(x^2-4x+5)

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(-x)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ în $\displaystyle f(x)=e^x(x^2-4x+5)$ . Avem $\displaystyle (-x)^2=x^2$ și $\displaystyle -4\cdot(-x)=4x$ .
$\displaystyle f(-x)=e^{-x}(x^2+4x+5)$
Scriem $\displaystyle e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$ , deci limita devine o fracție. Atât numărătorul, cât și numitorul tind la $\displaystyle +\infty$ , deci avem nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+4x+5}{e^x}$
Aplicăm regula lui l'Hospital. Derivata numărătorului este $\displaystyle (x^2+4x+5)'=2x+4$ , iar $\displaystyle (e^x)'=e^x$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+4x+5}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+4}{e^x}$
Avem din nou nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , deci aplicăm încă o dată regula lui l'Hospital: $\displaystyle (2x+4)'=2$ și $\displaystyle (e^x)'=e^x$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x+4}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x}$
Deoarece $\displaystyle e^x\to+\infty$ când $\displaystyle x\to+\infty$ , fracția $\displaystyle \dfrac{2}{e^x}$ tinde la $\displaystyle 0$ . Deci limita cerută este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(-x)=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x(x^2-4x+5)

.

Demonstrați că graficul funcției

\displaystyle f

intersectează orice dreaptă paralelă cu axa

\displaystyle Ox

în cel mult un punct.

Vezi rezolvarea

O dreaptă paralelă cu axa $\displaystyle Ox$ are ecuația $\displaystyle y=k$ , cu $\displaystyle k\in\mathbb{R}$ . Punctele de intersecție cu graficul sunt soluțiile ecuației $\displaystyle f(x)=k$ . Trebuie deci să arătăm că ecuația $\displaystyle f(x)=k$ are cel mult o soluție reală pentru orice $\displaystyle k$ , adică $\displaystyle f$ este injectivă. Vom arăta că $\displaystyle f$ este strict crescătoare.
$\displaystyle f(x)=k\text{ are cel mult o soluție }\Leftrightarrow f\text{ injectivă}$
Derivăm $\displaystyle f$ cu regula produsului: derivata lui $\displaystyle e^x$ este $\displaystyle e^x$ , iar derivata lui $\displaystyle x^2-4x+5$ este $\displaystyle 2x-4$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-4x+5)+e^x(2x-4)$
Dăm factor comun $\displaystyle e^x$ și reducem termenii din paranteză. Obținem un pătrat perfect.
$\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-2x+1)=e^x(x-1)^2$
Deoarece $\displaystyle e^x>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, derivata se anulează doar când $\displaystyle (x-1)^2=0$ , adică $\displaystyle x=1$ . Pentru $\displaystyle x\neq 1$ avem $\displaystyle (x-1)^2>0$ , deci $\displaystyle f'(x)>0$ pe $\displaystyle (-\infty,1)$ și pe $\displaystyle (1,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$ , $\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pe }(-\infty,1)\text{ și pe }(1,+\infty)$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ și are derivata pozitivă pe $\displaystyle (-\infty,1)$ și pe $\displaystyle (1,+\infty)$ , deci este strict crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,1]$ și pe $\displaystyle [1,+\infty)$ . Punctul $\displaystyle x=1$ nu strică monotonia, deoarece $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle 1$ . Rezultă că $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle f\text{ strict crescătoare pe }\mathbb{R}$
O funcție strict crescătoare este injectivă: dacă $\displaystyle x_1<x_2$ , atunci $\displaystyle f(x_1)<f(x_2)$ , deci $\displaystyle f(x_1)\neq f(x_2)$ . Prin urmare, ecuația $\displaystyle f(x)=k$ are cel mult o soluție pentru orice $\displaystyle k$ real. Așadar, graficul lui $\displaystyle f$ intersectează orice dreaptă paralelă cu $\displaystyle Ox$ în cel mult un punct.
$\displaystyle f\text{ strict crescătoare pe }\mathbb{R}\Rightarrow f\text{ injectivă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=4x^3+1

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=4x^3+1$ în integrala cerută: $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 (4x^3+1)\,dx$ .
$\displaystyle \int_0^1 (4x^3+1)\,dx$
Folosim $\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ și $\displaystyle \int 1\,dx=x$ . Atunci $\displaystyle \int 4x^3\,dx=4\cdot\dfrac{x^4}{4}=x^4$ , deci o primitivă a lui $\displaystyle f$ este $\displaystyle F(x)=x^4+x$ .
$\displaystyle F(x)=x^4+x$
Formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=F(1)-F(0)$ , adică $\displaystyle \int_0^1(4x^3+1)\,dx=(x^4+x)\Big|_0^1$ .
$\displaystyle \int_0^1(4x^3+1)\,dx=(x^4+x)\Big|_0^1$
Avem $\displaystyle F(1)=1^4+1=1+1=2$ și $\displaystyle F(0)=0^4+0=0$ . Rezultă $\displaystyle F(1)-F(0)=2-0=2$ .
$\displaystyle (1+1)-(0+0)=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=4x^3+1

.

Calculați

\displaystyle \int_0^1 x^2\left(f(x)\right)^3\,dx

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=4x^3+1$ în integrală: $\displaystyle I=\int_0^1 x^2(4x^3+1)^3\,dx$ .
$\displaystyle I=\int_0^1 x^2(4x^3+1)^3\,dx$
Observăm că $\displaystyle (4x^3+1)'=12x^2$ , deci $\displaystyle x^2=\dfrac{1}{12}(4x^3+1)'$ . Scoatem factorul $\displaystyle \dfrac{1}{12}$ în fața integralei.
$\displaystyle I=\frac{1}{12}\int_0^1 (4x^3+1)'(4x^3+1)^3\,dx$
Cu $\displaystyle u=4x^3+1$ , folosim $\displaystyle \int u'u^3\,dx=\dfrac{u^4}{4}$ . Evaluăm între limitele $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle I=\frac{1}{12}\cdot\frac{(4x^3+1)^4}{4}\Big|_0^1$
Pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle 4\cdot 1^3+1=5$ , iar pentru $\displaystyle x=0$ avem $\displaystyle 1$ . Deci $\displaystyle I=\dfrac{1}{48}\left(5^4-1^4\right)=\dfrac{625-1}{48}=\dfrac{624}{48}$ .
$\displaystyle I=\frac{5^4-1}{48}=\frac{624}{48}=13$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=4x^3+1

.

Demonstrați că

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\int_1^x\ln(f(t))\,dt=+\infty

.

Vezi rezolvarea

Funcția de sub integrală este $\displaystyle \ln(f(t))=\ln(4t^{3}+1)$ , iar integrala se calculează pe $\displaystyle [1,x]$ , cu $\displaystyle x\ge 1$ .
$\displaystyle \int_1^x\ln(f(t))\,dt=\int_1^x\ln(4t^{3}+1)\,dt$
Pentru $\displaystyle t\ge 1$ avem $\displaystyle t^{3}\ge 1$ , deci $\displaystyle 4t^{3}\ge 4$ și, adăugând 1, obținem $\displaystyle 4t^{3}+1\ge 5$ .
$\displaystyle 4t^{3}+1\ge 5$ , $\displaystyle \ t\in[1,+\infty)$
Funcția $\displaystyle \ln$ este crescătoare, deci din $\displaystyle 4t^{3}+1\ge 5$ rezultă $\displaystyle \ln(4t^{3}+1)\ge \ln 5$ pentru $\displaystyle t\ge 1$ .
$\displaystyle \ln(4t^{3}+1)\ge \ln 5$
Integrând inegalitatea pe $\displaystyle [1,x]$ , obținem $\displaystyle \int_1^x\ln(4t^{3}+1)\,dt\ge\int_1^x\ln 5\,dt$ . Cum $\displaystyle \ln 5$ este constantă, $\displaystyle \int_1^x\ln 5\,dt=(x-1)\ln 5$ .
$\displaystyle \int_1^x\ln(f(t))\,dt\ge (x-1)\ln 5$ , $\displaystyle \ x\in[1,+\infty)$
Cum $\displaystyle \ln 5>0$ , avem $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(x-1)\ln 5=+\infty$ . Integrala este minorată de această expresie, deci tinde și ea la $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(x-1)\ln 5=+\infty\Rightarrow\lim_{x\to+\infty}\int_1^x\ln(f(t))\,dt=+\infty$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 7: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani