Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 20: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că numărul

\displaystyle A=z(2+3i)+\overline{z}(2-3i)

este real, pentru orice număr complex

\displaystyle z

, unde

\displaystyle \overline{z}

este conjugatul lui

\displaystyle z

.

Vezi rezolvarea

Observăm că numărul $\displaystyle 2-3i$ este conjugatul lui $\displaystyle 2+3i$ , adică $\displaystyle 2-3i=\overline{2+3i}$ . Prin urmare al doilea termen al sumei se scrie cu conjugatul lui $\displaystyle 2+3i$ .
$\displaystyle A=z(2+3i)+\overline{z}\cdot\overline{2+3i}$
Folosim faptul că conjugatul unui produs este produsul conjugaților: $\displaystyle \overline{z}\cdot\overline{w}=\overline{z\cdot w}$ , cu $\displaystyle w=2+3i$ . Astfel al doilea termen devine conjugatul primului termen.
$\displaystyle A=z(2+3i)+\overline{z(2+3i)}$
Notăm $\displaystyle w=z(2+3i)$ și scriem $\displaystyle w=a+bi$ , cu $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ . Atunci $\displaystyle A=w+\overline{w}=(a+bi)+(a-bi)$ , iar termenii imaginari se reduc.
$\displaystyle A=w+\overline{w}=(a+bi)+(a-bi)=2a$
Deoarece $\displaystyle a$ este număr real, $\displaystyle 2a$ este număr real. Deci $\displaystyle A$ este număr real pentru orice număr complex $\displaystyle z$ .
$\displaystyle A=2a\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-6x+7

. Arătați că

\displaystyle f(\sqrt{2})\cdot f(1+\sqrt{2})\cdot f(2+\sqrt{2})\cdot\ldots\cdot f(10+\sqrt{2})=0

.

Vezi rezolvarea

Produsul are factorii $\displaystyle f(k+\sqrt{2})$ , cu $\displaystyle k\in\{0,1,\ldots,10\}$ . Este suficient să găsim un factor egal cu zero. Rădăcinile lui $\displaystyle f$ sunt $\displaystyle 3\pm\sqrt{2}$ , deci încercăm factorul cu $\displaystyle k=3$ , adică $\displaystyle f(3+\sqrt{2})$ .
$\displaystyle f(3+\sqrt{2})=(3+\sqrt{2})^{2}-6(3+\sqrt{2})+7$
Dezvoltăm pătratul: $\displaystyle (3+\sqrt{2})^{2}=9+6\sqrt{2}+2$ . Distribuim $\displaystyle -6$ : $\displaystyle -6(3+\sqrt{2})=-18-6\sqrt{2}$ .
$\displaystyle f(3+\sqrt{2})=9+6\sqrt{2}+2-18-6\sqrt{2}+7$
Termenii $\displaystyle 6\sqrt{2}$ și $\displaystyle -6\sqrt{2}$ se reduc, iar $\displaystyle 9+2-18+7=0$ .
$\displaystyle f(3+\sqrt{2})=9+2-18+7=0$
Produsul conține factorul $\displaystyle f(3+\sqrt{2})=0$ , deci un produs cu un factor nul este egal cu zero.
$\displaystyle f(\sqrt{2})\cdot f(1+\sqrt{2})\cdot f(2+\sqrt{2})\cdot\ldots\cdot f(10+\sqrt{2})=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \lg(x^2+x-2)=1+\lg\frac{x-1}{2}

.

Vezi rezolvarea

Punem condițiile de existență a logaritmilor. Trebuie ca $\displaystyle x^{2}+x-2>0$ , adică $\displaystyle (x-1)(x+2)>0$ , și $\displaystyle \dfrac{x-1}{2}>0$ , deci $\displaystyle x>1$ . A doua condiție o include pe prima, deci domeniul este $\displaystyle (1,+\infty)$ .
$\displaystyle x\in(1,+\infty)$
Scriem $\displaystyle 1=\lg 10$ . Apoi folosim $\displaystyle \lg a+\lg b=\lg(ab)$ , ca să avem câte un singur logaritm în fiecare membru.
$\displaystyle \lg(x^{2}+x-2)=\lg\left(10\cdot\dfrac{x-1}{2}\right)$
Funcția $\displaystyle \lg$ este injectivă, deci egalăm argumentele: $\displaystyle x^{2}+x-2=5(x-1)$ , adică $\displaystyle x^{2}+x-2=5x-5$ . Mutăm toți termenii în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea.
$\displaystyle x^{2}+x-2=5x-5\Rightarrow x^{2}-4x+3=0$
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este $\displaystyle \Delta=16-12=4$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{4\pm 2}{2}$ . Mai simplu, ecuația se descompune ca $\displaystyle (x-1)(x-3)=0$ .
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=3$
Verificăm soluțiile în domeniul $\displaystyle x>1$ . Pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle \dfrac{x-1}{2}=0$ , iar $\displaystyle \lg 0$ nu există, deci nu convine. Pentru $\displaystyle x=3$ avem $\displaystyle 3>1$ , deci convine. Singura soluție este $\displaystyle x=3$ .
$\displaystyle x=1\text{, care nu convine, sau }x=3\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor sale să fie mai mare decât

\displaystyle 51

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de două cifre sunt $\displaystyle 10,11,\dots,99$ . Numărul lor este $\displaystyle 99-10+1$ , adică numărul cazurilor posibile.
$\displaystyle 90$
Notăm numărul cu $\displaystyle \overline{ab}$ , cu cifrele $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ . Dacă $\displaystyle a\le 5$ , atunci $\displaystyle ab\le 5\cdot 9=45<52$ , deci nu convine. Prima cifră trebuie să fie $\displaystyle 6$ , $\displaystyle 7$ , $\displaystyle 8$ sau $\displaystyle 9$ .
$\displaystyle a\in\{6,7,8,9\}$
Analizăm fiecare valoare a lui $\displaystyle a$ . Pentru $\displaystyle a=6$ convine doar $\displaystyle b=9$ , deoarece $\displaystyle 6\cdot 8=48$ . Pentru $\displaystyle a=7$ convin $\displaystyle b\in\{8,9\}$ , deoarece $\displaystyle 7\cdot 7=49$ . Pentru $\displaystyle a=8$ convin $\displaystyle b\in\{7,8,9\}$ , deoarece $\displaystyle 8\cdot 6=48$ . Pentru $\displaystyle a=9$ convin $\displaystyle b\in\{6,7,8,9\}$ , deoarece $\displaystyle 9\cdot 5=45$ .
$\displaystyle 69;\ 78$ , $\displaystyle 79;\ 87$ , $\displaystyle 88$ , $\displaystyle 89;\ 96$ , $\displaystyle 97$ , $\displaystyle 98$ , $\displaystyle 99$
Numerele favorabile sunt $\displaystyle 69,96,78,87,79,97,88,89,98,99$ . Numărăm: $\displaystyle 1+2+3+4=10$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 69$ , $\displaystyle 96$ , $\displaystyle 78$ , $\displaystyle 87$ , $\displaystyle 79$ , $\displaystyle 97$ , $\displaystyle 88$ , $\displaystyle 89$ , $\displaystyle 98$ , $\displaystyle 99\text{, deci sunt }10\text{ cazuri favorabile}$
Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: $\displaystyle p=\dfrac{10}{90}=\dfrac{1}{9}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{10}{90}=\frac{1}{9}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(4,6)

,

\displaystyle B(-3,-1)

și

\displaystyle C(-2,-2)

. Arătați că punctul

\displaystyle M(1,2)

este centrul cercului circumscris triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Centrul cercului circumscris este punctul egal depărtat de cele trei vârfuri. Deci este suficient să arătăm că distanțele de la $\displaystyle M$ la $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ sunt egale. Folosim formula distanței dintre două puncte: $\displaystyle PQ=\sqrt{(x_Q-x_P)^{2}+(y_Q-y_P)^{2}}$ .
$\displaystyle PQ=\sqrt{(x_Q-x_P)^{2}+(y_Q-y_P)^{2}}$
Calculăm distanța $\displaystyle AM$ , cu $\displaystyle A(4,6)$ și $\displaystyle M(1,2)$ : $\displaystyle AM=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-6)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$ .
$\displaystyle AM=\sqrt{9+16}=5$
Calculăm distanța $\displaystyle BM$ , cu $\displaystyle B(-3,-1)$ și $\displaystyle M(1,2)$ : $\displaystyle BM=\sqrt{(1-(-3))^{2}+(2-(-1))^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}$ .
$\displaystyle BM=\sqrt{16+9}=5$
Calculăm distanța $\displaystyle CM$ , cu $\displaystyle C(-2,-2)$ și $\displaystyle M(1,2)$ : $\displaystyle CM=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-(-2))^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$ . Astfel avem toate cele trei distanțe.
$\displaystyle AM=5$ , $\displaystyle \ BM=5$ , $\displaystyle \ CM=5$
Cele trei distanțe sunt egale, deci $\displaystyle M$ este egal depărtat de vârfurile triunghiului. Prin urmare $\displaystyle M$ este centrul cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$ , iar raza cercului este $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle AM=BM=CM=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră

\displaystyle R

, raza cercului circumscris triunghiului

\displaystyle ABC

, și

\displaystyle r

, raza cercului înscris în triunghiul

\displaystyle ABC

. Știind că

\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C=\frac{1}{rR}

, arătați că aria triunghiului

\displaystyle ABC

este egală cu

\displaystyle 1

.

Vezi rezolvarea

Scriem teorema sinusurilor în triunghiul $\displaystyle ABC$ : raportul dintre fiecare latură și sinusul unghiului opus este $\displaystyle 2R$ . Notăm $\displaystyle a=BC$ , $\displaystyle b=AC$ , $\displaystyle c=AB$ .
$\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=2R$
Exprimăm fiecare sinus în funcție de latura opusă și de $\displaystyle R$ .
$\displaystyle \sin A=\frac{BC}{2R}$ , $\displaystyle \quad \sin B=\frac{AC}{2R}$ , $\displaystyle \quad \sin C=\frac{AB}{2R}$
Adunăm cele trei egalități și obținem suma sinusurilor ca raport între perimetru și $\displaystyle 2R$ . Apoi folosim ipoteza că această sumă este $\displaystyle \dfrac{1}{rR}$ .
$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C=\frac{AB+AC+BC}{2R}=\frac{1}{rR}$
Înmulțim egalitatea cu $\displaystyle R$ (care este nenul) și folosim faptul că perimetrul este $\displaystyle 2p$ , unde $\displaystyle p$ este semiperimetrul.
$\displaystyle \frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{1}{r}\Rightarrow p=\frac{1}{r}$
Folosim formula razei cercului înscris, $\displaystyle r=\dfrac{S}{p}$ , adică $\displaystyle S=r\cdot p$ , și înlocuim $\displaystyle p=\dfrac{1}{r}$ . Rezultă că aria este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle S=r\cdot p=r\cdot\frac{1}{r}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}2&1&m\\4&1&m\\1&-m&-1\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}2x+y+mz=4\\4x+y+mz=6\\x-my-z=-1\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(0))=2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=0$ în matricea $\displaystyle A(m)$ și obținem matricea $\displaystyle A(0)$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2&1&0\\4&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(0)$ .
$\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}2&1&0\\4&1&0\\1&0&-1\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt $\displaystyle 2\cdot 1\cdot(-1)=-2$ , $\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0$ și $\displaystyle 0\cdot 4\cdot 0=0$ .
$\displaystyle -2+0+0$
Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt $\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1=0$ , $\displaystyle 2\cdot 0\cdot 0=0$ și $\displaystyle 1\cdot 4\cdot(-1)=-4$ . Acestea se scad din primele.
$\displaystyle \det(A(0))=-2+0+0-0-(-4)-0$
Efectuăm calculul: $\displaystyle -2+4=2$ , deci $\displaystyle \det(A(0))=2$ .
$\displaystyle \det(A(0))=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}2&1&m\\4&1&m\\1&-m&-1\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}2x+y+mz=4\\4x+y+mz=6\\x-my-z=-1\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui

\displaystyle m

pentru care matricea

\displaystyle A(m)

este inversabilă.

Vezi rezolvarea

Matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă dacă și numai dacă $\displaystyle \det(A(m))\neq 0$ , deci calculăm mai întâi determinantul.
$\displaystyle \det(A(m))=\begin{vmatrix}2&1&m\\4&1&m\\1&-m&-1\end{vmatrix}$
Scădem linia 1 din linia 2 ( $\displaystyle L_2\to L_2-L_1$ ), operație care nu schimbă valoarea determinantului. Linia a doua devine $\displaystyle (2,0,0)$ .
$\displaystyle \det(A(m))=\begin{vmatrix}2&1&m\\2&0&0\\1&-m&-1\end{vmatrix}$
Dezvoltăm după linia a doua, care are un singur element nenul, $\displaystyle 2$ , aflat pe poziția $\displaystyle (2,1)$ , deci cu semnul $\displaystyle (-1)^{2+1}=-1$ . Minorul se obține eliminând linia 2 și coloana 1.
$\displaystyle \det(A(m))=-2\cdot\begin{vmatrix}1&m\\-m&-1\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul de ordin 2: $\displaystyle 1\cdot(-1)-m\cdot(-m)=m^{2}-1$ . Apoi înmulțim cu $\displaystyle -2$ și descompunem diferența de pătrate.
$\displaystyle \det(A(m))=-2(m^{2}-1)=2(1-m^{2})=2(1-m)(1+m)\text{, pentru orice număr real }m$
Determinantul $\displaystyle 2(1-m)(1+m)$ este nenul exact când $\displaystyle 1-m\neq 0$ și $\displaystyle 1+m\neq 0$ , adică $\displaystyle m\neq 1$ și $\displaystyle m\neq -1$ . Deci mulțimea cerută este $\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ .
$\displaystyle A(m)\text{ este inversabilă}\Leftrightarrow\det(A(m))\neq 0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}2&1&m\\4&1&m\\1&-m&-1\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases}2x+y+mz=4\\4x+y+mz=6\\x-my-z=-1\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Demonstrați că, pentru orice

\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}

, soluția

\displaystyle (x_0,y_0,z_0)

a sistemului de ecuații verifică relația

\displaystyle \frac{y_0}{z_0}=x_0

.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei sistemului. Scădem prima linie din a doua: a doua linie devine $\displaystyle (2,0,0)$ . Dezvoltăm după această linie: $\displaystyle \det(A(m))=-2\cdot\begin{vmatrix}1&m\\-m&-1\end{vmatrix}=-2(m^{2}-1)$ .
$\displaystyle \det(A(m))=2(1-m^{2})$
Pentru $\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ avem $\displaystyle 1-m^{2}\neq 0$ , deci $\displaystyle \det(A(m))\neq 0$ și sistemul are soluție unică.
$\displaystyle \det(A(m))\neq 0$
Scădem prima ecuație din a doua: $\displaystyle (4x+y+mz)-(2x+y+mz)=6-4$ , adică $\displaystyle 2x=2$ .
$\displaystyle x_0=1$
Înlocuim $\displaystyle x=1$ în prima și în a treia ecuație: $\displaystyle 2+y+mz=4$ și $\displaystyle 1-my-z=-1$ , deci obținem sistemul de mai jos.
$\displaystyle \begin{cases}y+mz=2\\my+z=2\end{cases}$
Din prima ecuație $\displaystyle y=2-mz$ . Înlocuim în a doua: $\displaystyle m(2-mz)+z=2$ , adică $\displaystyle z(1-m^{2})=2(1-m)$ , adică $\displaystyle z(1-m)(1+m)=2(1-m)$ . Cum $\displaystyle m\neq 1$ și $\displaystyle m\neq -1$ , putem simplifica și împărți.
$\displaystyle z_0=\frac{2}{m+1}$
Din $\displaystyle y=2-mz$ obținem $\displaystyle y_0=2-\dfrac{2m}{m+1}=\dfrac{2m+2-2m}{m+1}$ . Soluția sistemului este deci cea de mai jos.
$\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=\left(1,\frac{2}{m+1},\frac{2}{m+1}\right)$
Cum $\displaystyle m\neq -1$ , avem $\displaystyle z_0=\dfrac{2}{m+1}\neq 0$ , deci raportul are sens. Atunci $\displaystyle \dfrac{y_0}{z_0}=\dfrac{\frac{2}{m+1}}{\frac{2}{m+1}}=1=x_0$ , pentru orice $\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ .
$\displaystyle \frac{y_0}{z_0}=\frac{\frac{2}{m+1}}{\frac{2}{m+1}}=1=x_0\text{, pentru orice }m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}

.

Arătați că

\displaystyle 2*(-2)=0

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția $\displaystyle x*y=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}$ și luăm $\displaystyle x=2$ , $\displaystyle y=-2$ .
$\displaystyle 2*(-2)=2\cdot\sqrt{(-2)^2+1}+(-2)\cdot\sqrt{2^2+1}$
Calculăm $\displaystyle (-2)^2=4$ și $\displaystyle 2^2=4$ , deci sub ambii radicali avem $\displaystyle 4+1=5$ .
$\displaystyle \sqrt{(-2)^2+1}=\sqrt{5}$ , $\displaystyle \quad \sqrt{2^2+1}=\sqrt{5}$
Înlocuim radicalii: avem $\displaystyle 2\sqrt{5}+(-2)\sqrt{5}$ , adică $\displaystyle 2\sqrt{5}-2\sqrt{5}$ , iar termenii opuși se reduc.
$\displaystyle 2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}

.

Verificați dacă

\displaystyle e=0

este elementul neutru al legii de compoziție „

\displaystyle *

”.

Vezi rezolvarea

Pentru ca $\displaystyle e=0$ să fie element neutru, trebuie ca $\displaystyle x*0=x$ și $\displaystyle 0*x=x$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Verificăm mai întâi egalitatea la dreapta, înlocuind $\displaystyle y=0$ în definiția legii.
$\displaystyle x*0=x\sqrt{0^2+1}+0\cdot\sqrt{x^2+1}$
Calculăm: $\displaystyle \sqrt{0^2+1}=\sqrt{1}=1$ , iar termenul înmulțit cu $\displaystyle 0$ dispare. Obținem $\displaystyle x$ pentru orice $\displaystyle x$ real, deci $\displaystyle 0$ este element neutru la dreapta.
$\displaystyle x*0=x\sqrt{1}=x\text{, pentru orice număr real }x$
Legea nu este dată ca fiind comutativă, așa că verificăm separat și egalitatea la stânga, înlocuind $\displaystyle x=0$ în definiția legii.
$\displaystyle 0*x=0\cdot\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{0^2+1}$
Primul termen este $\displaystyle 0$ , iar $\displaystyle \sqrt{0^2+1}=1$ . Rezultă $\displaystyle 0*x=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Cum $\displaystyle x*0=0*x=x$ , numărul $\displaystyle 0$ este element neutru al legii.
$\displaystyle 0*x=x\sqrt{1}=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=0\text{ este elementul neutru al }$ $\displaystyle \text{legii de compoziție }*$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}

.

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}

. Arătați că

\displaystyle f(x)*f(y)=f(x+y)

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Scriem legea de compoziție pentru numerele $\displaystyle f(x)$ și $\displaystyle f(y)$ : în definiția lui $\displaystyle x*y$ înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle f(x)$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle f(y)$ .
$\displaystyle f(x)*f(y)=f(x)\sqrt{f^2(y)+1}+f(y)\sqrt{f^2(x)+1}$
Înlocuim expresia $\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{2e^x}$ în fiecare termen.
$\displaystyle f(x)*f(y)=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}\sqrt{\left(\frac{e^{2y}-1}{2e^y}\right)^2+1}+\frac{e^{2y}-1}{2e^y}\sqrt{\left(\frac{e^{2x}-1}{2e^x}\right)^2+1}$
Aducem la același numitor expresia de sub radical, folosind $\displaystyle 4e^{2y}=\left(2e^y\right)^2$ : $\displaystyle \left(\dfrac{e^{2y}-1}{2e^y}\right)^2+1=\dfrac{\left(e^{2y}-1\right)^2+4e^{2y}}{4e^{2y}}$ .
$\displaystyle \left(\frac{e^{2y}-1}{2e^y}\right)^2+1=\frac{\left(e^{2y}-1\right)^2+4e^{2y}}{4e^{2y}}$
Desfacem pătratul de la numărător și observăm un pătrat perfect: $\displaystyle \left(a-1\right)^2+4a=\left(a+1\right)^2$ , cu $\displaystyle a=e^{2y}$ .
$\displaystyle \left(\frac{e^{2y}-1}{2e^y}\right)^2+1=\left(\frac{e^{2y}+1}{2e^y}\right)^2$
La fel obținem pentru $\displaystyle x$ pătratul perfect corespunzător. Cum $\displaystyle e^{2x}+1>0$ și $\displaystyle 2e^x>0$ , radicalul dintr-un pătrat este chiar baza pătratului, adică $\displaystyle \sqrt{\left(\dfrac{e^{2x}+1}{2e^x}\right)^2}=\dfrac{e^{2x}+1}{2e^x}$ .
$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{e^{2y}+1}{2e^y}\right)^2}=\frac{e^{2y}+1}{2e^y}$ , $\displaystyle \quad \sqrt{\left(\frac{e^{2x}+1}{2e^x}\right)^2}=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}$
Înlocuim radicalii în expresia lui $\displaystyle f(x)*f(y)$ .
$\displaystyle f(x)*f(y)=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}\cdot\frac{e^{2y}+1}{2e^y}+\frac{e^{2y}-1}{2e^y}\cdot\frac{e^{2x}+1}{2e^x}$
Aducem la numitorul comun $\displaystyle 4e^{x}e^{y}=4e^{x+y}$ și desfacem produsele de la numărător: $\displaystyle \left(e^{2x}-1\right)\left(e^{2y}+1\right)+\left(e^{2y}-1\right)\left(e^{2x}+1\right)$ .
$\displaystyle f(x)*f(y)=\frac{e^{2x+2y}+e^{2x}-e^{2y}-1+e^{2x+2y}+e^{2y}-e^{2x}-1}{4e^{x+y}}$
Reducem termenii opuși, apoi simplificăm fracția prin $\displaystyle 2$ . Obținem $\displaystyle f(x+y)$ , deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f(x)*f(y)=\frac{2e^{2(x+y)}-2}{4e^{x+y}}=\frac{e^{2(x+y)}-1}{2e^{x+y}}=f(x+y)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{x^2+1}}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(x^2-x+1)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula de derivare a câtului $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=e^{x}$ și $\displaystyle v=\sqrt{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(e^{x}\right)'\sqrt{x^{2}+1}-e^{x}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)'}{\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{2}}$
Calculăm derivatele: $\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x}$ și $\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ . Numitorul este $\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{2}=x^{2}+1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}\sqrt{x^{2}+1}-e^{x}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}$
Aducem numărătorul la numitorul comun $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}$ . Deoarece $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}\cdot\sqrt{x^{2}+1}=x^{2}+1$ , numărătorul devine $\displaystyle \dfrac{e^{x}(x^{2}+1)-xe^{x}}{\sqrt{x^{2}+1}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\dfrac{e^{x}(x^{2}+1)-xe^{x}}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}=\dfrac{e^{x}(x^{2}+1)-xe^{x}}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}$
Dăm factor comun $\displaystyle e^{x}$ în numărător: $\displaystyle e^{x}(x^{2}+1)-xe^{x}=e^{x}(x^{2}-x+1)$ . Am obținut expresia cerută, pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x^{2}-x+1)}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}\text{, }x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{x^2+1}}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(-x)}{x}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(-x)$ : la înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -x$ expresia de sub radical rămâne aceeași, deoarece $\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}$ , iar exponențiala devine $\displaystyle e^{-x}$ .
$\displaystyle f(-x)=\dfrac{e^{-x}}{\sqrt{x^{2}+1}}$
Scriem diferența $\displaystyle f(x)-f(-x)$ cu numitor comun $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}$ , apoi o împărțim la $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \dfrac{f(x)-f(-x)}{x}=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{x\sqrt{x^{2}+1}}$
Descompunem fracția într-un produs de doi factori, ca să separăm factorul cu limită imediată de cel care duce la nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(-x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{x\sqrt{x^2+1}}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{e^x-e^{-x}}{x}\right)$
Primul factor are limită imediată: pentru $\displaystyle x\to 0$ avem $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}\to 1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}=1$
Al doilea factor este o nedeterminare de tipul $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ , deoarece $\displaystyle e^{0}-e^{-0}=0$ și numitorul $\displaystyle x\to 0$ . Aplicăm regula lui L'Hospital: derivăm separat numărătorul și numitorul, cu $\displaystyle (e^{-x})'=-e^{-x}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(e^x-e^{-x})'}{x'}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}}{1}=2$
Înmulțim limitele celor doi factori: $\displaystyle 1\cdot 2$ . Limita cerută este 2.
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(-x)}{x}=1\cdot 2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{x^2+1}}

.

Determinați imaginea funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției ca derivată a unui produs: $\displaystyle f(x)=e^{x}\cdot (x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}$ . Derivata lui $\displaystyle (x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}$ este $\displaystyle -x\cdot (x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=e^{x}(x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}-x\,e^{x}(x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}}$
Dăm factor comun $\displaystyle e^{x}(x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}}$ . Rămâne $\displaystyle x^{2}+1-x$ la numărător.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}\left(x^{2}-x+1\right)}{\left(x^{2}+1\right)\sqrt{x^{2}+1}}$
Studiem semnul derivatei. Numărul $\displaystyle e^{x}$ este pozitiv, iar numitorul este pozitiv. Trinomul $\displaystyle x^{2}-x+1$ are discriminantul $\displaystyle \Delta=1-4=-3<0$ și coeficientul lui $\displaystyle x^{2}$ pozitiv, deci este pozitiv pentru orice $\displaystyle x$ real. Rezultă că $\displaystyle f'(x)>0$ pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci $\displaystyle f$ este strict crescătoare.
$\displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice număr real }x\Rightarrow f\text{ este strict crescătoare}$
Calculăm limita la $\displaystyle -\infty$ . Numărătorul $\displaystyle e^{x}$ tinde la $\displaystyle 0$ , iar numitorul $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}$ tinde la $\displaystyle +\infty$ , deci fracția tinde la $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\dfrac{0}{+\infty}=0$
Calculăm limita la $\displaystyle +\infty$ . Pentru $\displaystyle x>0$ scriem $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}$ . Radicalul tinde la $\displaystyle 1$ , iar $\displaystyle \dfrac{e^{x}}{x}$ tinde la $\displaystyle +\infty$ , deoarece exponențiala crește mai repede decât $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=+\infty$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , fiind câtul unor funcții continue cu numitor nenul, și strict crescătoare. Deci ia toate valorile dintre $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ și $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ , fără a atinge $\displaystyle 0$ . Imaginea este intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ , $\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\text{ și }f\text{ este continuă, deci }\operatorname{Im}f=(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+4}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx=\frac{\pi}{8}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim expresia lui $\displaystyle f(x)$ în integrală și scriem numitorul sub forma $\displaystyle x^{2}+2^{2}$ .
$\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^2\frac{1}{x^{2}+2^{2}}\,dx$
Folosim formula $\displaystyle \int\dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\dfrac{1}{a}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{a}+C$ cu $\displaystyle a=2$ . O primitivă a lui $\displaystyle f$ este $\displaystyle \dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{2}$ , iar aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_0^2\frac{1}{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{x}{2}\Big|_0^2$
Înlocuim limitele: pentru $\displaystyle x=2$ obținem $\displaystyle \dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}1$ , iar pentru $\displaystyle x=0$ obținem $\displaystyle \dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}0$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\operatorname{arctg}1-\frac{1}{2}\operatorname{arctg}0$
Știm că $\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}$ și $\displaystyle \operatorname{arctg}0=0$ . Deci integrala este egală cu $\displaystyle \dfrac{\pi}{8}$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{8}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+4}

.

Pentru fiecare număr natural

\displaystyle n

, considerăm numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1 f^n(x)\,dx

. Arătați că

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0

.

Vezi rezolvarea

Observăm că pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle x^{2}\ge 0$ , deci $\displaystyle x^{2}+4\ge 4$ . Prin urmare $\displaystyle f(x)$ este pozitivă și cel mult $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle 0<\frac{1}{x^{2}+4}\le\frac{1}{4}$
Ridicăm inegalitatea la puterea $\displaystyle n$ . Cum toți termenii sunt pozitivi, sensul inegalităților se păstrează.
$\displaystyle 0<\left(\frac{1}{x^{2}+4}\right)^{n}\le\frac{1}{4^{n}}$
Integrăm inegalitatea pe intervalul $\displaystyle [0,1]$ , care are lungimea $\displaystyle 1$ . Integrala constantei $\displaystyle \dfrac{1}{4^{n}}$ pe $\displaystyle [0,1]$ este chiar $\displaystyle \dfrac{1}{4^{n}}$ .
$\displaystyle 0\le I_n\le\int_0^1\frac{1}{4^{n}}\,dx=\frac{1}{4^{n}}$
Șirul $\displaystyle \dfrac{1}{4^{n}}$ tinde la $\displaystyle 0$ , deoarece $\displaystyle 4>1$ . Deci $\displaystyle I_n$ este strâns între $\displaystyle 0$ și un șir care tinde la $\displaystyle 0$ , iar din criteriul cleștelui obținem limita $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{4^{n}}=0\text{, deci }\lim_{n\to+\infty}I_n=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+4}

.

Determinați numărul real

\displaystyle a

,

\displaystyle a>0

, pentru care

\displaystyle \int_0^a x f(x)\,dx=\frac{1}{2}\ln\frac{5}{4}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4}$ în integrală și obținem o fracție cu $\displaystyle x$ la numărător.
$\displaystyle \int_0^a x f(x)\,dx=\int_0^a \frac{x}{x^{2}+4}\,dx$
Observăm că $\displaystyle (x^{2}+4)'=2x$ . Scriem $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}\cdot 2x$ , deci la numărător apare derivata numitorului.
$\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^a \frac{(x^{2}+4)'}{x^{2}+4}\,dx$
Integrala de forma $\displaystyle \int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx$ este $\displaystyle \ln g(x)$ . Cum $\displaystyle x^{2}+4>0$ , nu este nevoie de modul. Calculăm între limitele $\displaystyle 0$ și $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)\Big|_0^a=\frac{1}{2}\ln(a^{2}+4)-\frac{1}{2}\ln 4$
Folosim $\displaystyle \ln p-\ln q=\ln\dfrac{p}{q}$ și obținem valoarea integralei în funcție de $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \int_0^a x f(x)\,dx=\frac{1}{2}\ln\frac{a^{2}+4}{4}$
Punem condiția din enunț: integrala este egală cu $\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{5}{4}$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\ln\frac{a^{2}+4}{4}=\frac{1}{2}\ln\frac{5}{4}$
Funcția $\displaystyle \ln$ este injectivă, deci $\displaystyle \dfrac{a^{2}+4}{4}=\dfrac{5}{4}$ , de unde $\displaystyle a^{2}+4=5$ și $\displaystyle a^{2}=1$ . Cum $\displaystyle a>0$ , rezultă $\displaystyle a=1$ .
$\displaystyle a^{2}+4=5\Rightarrow a^{2}=1\text{, iar cum }a>0\text{, obținem }a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 20: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani