Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați modulul numărului complex z=(2+3i)(2−3i)−(9−3i)\displaystyle z=(2+3i)(2-3i)-(9-3i).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că produsul (2+3i)(2−3i)\displaystyle (2+3i)(2-3i) este de forma (a+b)(a−b)\displaystyle (a+b)(a-b), deci aplicăm formula diferenței de pătrate a2−b2\displaystyle a^{2}-b^{2}, cu a=2\displaystyle a=2 și b=3i\displaystyle b=3i.
    (2+3i)(2−3i)=22−(3i)2\displaystyle (2+3i)(2-3i)=2^{2}-(3i)^{2}
  2. Calculăm pătratele, ținând cont că i2=−1\displaystyle i^{2}=-1: (3i)2=9i2=−9\displaystyle (3i)^{2}=9i^{2}=-9. Deci produsul este 4−(−9)=13\displaystyle 4-(-9)=13.
    (2+3i)(2−3i)=4+9=13\displaystyle (2+3i)(2-3i)=4+9=13
  3. Scădem paranteza (9−3i)\displaystyle (9-3i): schimbăm semnele termenilor din paranteză, apoi reducem termenii asemenea. Obținem forma algebrică a lui z\displaystyle z.
    z=13−9+3i=4+3i\displaystyle z=13-9+3i=4+3i
  4. Modulul unui număr complex a+bi\displaystyle a+bi este a2+b2\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aici a=4\displaystyle a=4 și b=3\displaystyle b=3, deci modulul este 16+9=25=5\displaystyle \sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
    ∣z∣=42+32=5\displaystyle |z|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=5x+20\displaystyle g(x)=5x+20. Calculați (g∘f)(2)\displaystyle (g\circ f)(2).
Vezi rezolvarea
  1. Compunerea înseamnă că aplicăm întâi f\displaystyle f, apoi g\displaystyle g rezultatului: (g∘f)(2)=g(f(2))\displaystyle (g\circ f)(2)=g(f(2)).
    (g∘f)(2)=g(f(2))\displaystyle (g\circ f)(2)=g(f(2))
  2. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2: f(2)=2−2=0\displaystyle f(2)=2-2=0.
    f(2)=2−2=0\displaystyle f(2)=2-2=0
  3. Avem g(f(2))=g(0)\displaystyle g(f(2))=g(0). Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în g(x)=5x+20\displaystyle g(x)=5x+20: g(0)=5⋅0+20\displaystyle g(0)=5\cdot 0+20.
    g(0)=5⋅0+20\displaystyle g(0)=5\cdot 0+20
  4. Deoarece 5⋅0=0\displaystyle 5\cdot 0=0, obținem (g∘f)(2)=0+20=20\displaystyle (g\circ f)(2)=0+20=20.
    (g∘f)(2)=g(f(2))=5⋅0+20=20\displaystyle (g\circ f)(2)=g(f(2))=5\cdot 0+20=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−5=116\displaystyle 4^{x-5}=\frac{1}{16}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 4\displaystyle 4: cum 16=42\displaystyle 16=4^{2}, avem 116=142=4−2\displaystyle \dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{4^{2}}=4^{-2}.
    116=4−2\displaystyle \frac{1}{16}=4^{-2}
  2. Ecuația devine 4x−5=4−2\displaystyle 4^{x-5}=4^{-2}. Cum baza 4\displaystyle 4 este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, funcția exponențială este injectivă, deci egalăm exponenții.
    4x−5=4−2⇔x−5=−2\displaystyle 4^{x-5}=4^{-2}\Leftrightarrow x-5=-2
  3. Din x−5=−2\displaystyle x-5=-2 adunăm 5\displaystyle 5 în ambii membri și obținem x=−2+5\displaystyle x=-2+5.
    x=−2+5=3\displaystyle x=-2+5=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 8\displaystyle 8.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de trei cifre sunt de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999, deci sunt 999−100+1=900\displaystyle 999-100+1=900 de numere.
    900\displaystyle 900
  2. Cifrele numărului sunt a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c, iar produsul lor trebuie să fie 8\displaystyle 8. Cum 8=23\displaystyle 8=2^{3}, cifrele pot fi doar 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2, 4\displaystyle 4 sau 8\displaystyle 8, fără cifra 0\displaystyle 0 (altfel produsul ar fi 0\displaystyle 0).
    a⋅b⋅c=8\displaystyle a\cdot b\cdot c=8,a\displaystyle \quad a,b\displaystyle b,c∈{1,2,4,8}\displaystyle c\in\{1,2,4,8\}
  3. Căutăm tripletele de cifre cu produsul 8\displaystyle 8. Dacă apare cifra 8\displaystyle 8, celelalte două sunt 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1. Fără 8\displaystyle 8, produsul 8\displaystyle 8 se obține din 1,2,4\displaystyle 1,2,4 sau din 2,2,2\displaystyle 2,2,2. Alte variante nu există.
    {1,1,8}\displaystyle \{1,1,8\}, {1,2,4}\displaystyle \ \{1,2,4\}, {2,2,2}\displaystyle \ \{2,2,2\}
  4. Permutăm cifrele fiecărui triplet. Din 1,1,8\displaystyle 1,1,8 obținem 3\displaystyle 3 numere, din 1,2,4\displaystyle 1,2,4 obținem 3!=6\displaystyle 3!=6 numere, iar din 2,2,2\displaystyle 2,2,2 obținem un singur număr: 3+6+1=10\displaystyle 3+6+1=10 cazuri favorabile.
    {118,181,811,124,142,214,241,412,421,222}, deci 10 cazuri \displaystyle \{118,181,811,124,142,214,241,412,421,222\}\text{, deci 10 cazuri }favorabile\displaystyle \text{favorabile}
  5. Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi simplificăm fracția prin 10\displaystyle 10. Obținem p=10900=190\displaystyle p=\dfrac{10}{900}=\dfrac{1}{90}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=10900=190\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{10}{900}=\frac{1}{90}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră paralelogramul ABCD\displaystyle ABCD cu AB=4\displaystyle AB=4, BC=6\displaystyle BC=6 și măsura unghiului ABC\displaystyle ABC de 120∘\displaystyle 120^\circ. Determinați modulul vectorului AM→\displaystyle \overrightarrow{AM}, unde punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului BD\displaystyle BD.
Vezi rezolvarea
  1. Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc. Deci mijlocul M\displaystyle M al diagonalei BD\displaystyle BD este și mijlocul diagonalei AC\displaystyle AC.
    M este mijlocul lui AC\displaystyle M\text{ este mijlocul lui }AC
  2. Cum M\displaystyle M este mijlocul lui AC\displaystyle AC, vectorul AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} este jumătate din vectorul AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}.
    AM→=12AC→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
  3. Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC, pentru latura AC\displaystyle AC opusă unghiului ABC\displaystyle ABC.
    AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡(∡ABC)\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos(\measuredangle ABC)
  4. Înlocuim AB=4\displaystyle AB=4, BC=6\displaystyle BC=6 și cos⁡120∘=−12\displaystyle \cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}, apoi calculăm.
    AC2=16+36−2⋅4⋅6⋅(−12)=16+36+24=76\displaystyle AC^2=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=16+36+24=76
  5. Extragem radicalul: AC=76=4⋅19\displaystyle AC=\sqrt{76}=\sqrt{4\cdot 19}.
    AC=219\displaystyle AC=2\sqrt{19}
  6. Modulul vectorului AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} este jumătate din AC\displaystyle AC: ∣AM→∣=12⋅219\displaystyle |\overrightarrow{AM}|=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{19}.
    ∣AM→∣=AM=19\displaystyle |\overrightarrow{AM}|=AM=\sqrt{19}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=12\displaystyle AB=12, AC=16\displaystyle AC=16 și BC=20\displaystyle BC=20. Arătați că rR=25\displaystyle \frac{r}{R}=\frac{2}{5}, unde r\displaystyle r este raza cercului înscris în triunghiul ABC\displaystyle ABC și R\displaystyle R este raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm dacă laturile triunghiului respectă reciproca teoremei lui Pitagora. Avem BC2=202=400\displaystyle BC^{2}=20^{2}=400 și AB2+AC2=122+162=144+256=400\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=12^{2}+16^{2}=144+256=400.
    BC2=AB2+AC2=400\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=400
  2. Din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, cu ipotenuza BC\displaystyle BC. Raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză: R=BC2=202=10\displaystyle R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{20}{2}=10.
    ΔABC dreptunghic ıˆn A, R=BC2=10\displaystyle \Delta ABC\text{ dreptunghic în }A\text{, } R=\frac{BC}{2}=10
  3. Calculăm perimetrul: P=AB+AC+BC=12+16+20=48\displaystyle P=AB+AC+BC=12+16+20=48. Semiperimetrul este p=P2=24\displaystyle p=\dfrac{P}{2}=24.
    P=48, p=24\displaystyle P=48\text{, }p=24
  4. Aria triunghiului dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: A=AB⋅AC2=12⋅162=96\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{12\cdot 16}{2}=96.
    A=12⋅162=96\displaystyle \mathcal{A}=\frac{12\cdot 16}{2}=96
  5. Folosim formula A=p⋅r\displaystyle \mathcal{A}=p\cdot r, deci r=Ap=9624=4\displaystyle r=\dfrac{\mathcal{A}}{p}=\dfrac{96}{24}=4. Atunci rR=410=25\displaystyle \dfrac{r}{R}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}, ceea ce trebuia demonstrat.
    r=9624=4, deci rR=410=25\displaystyle r=\frac{96}{24}=4\text{, deci }\frac{r}{R}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−22132a−121)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=22x+y+3z=1(2a−1)x+2y+z=a\displaystyle \begin{cases} ax+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ (2a-1)x+2y+z=a \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(4))=5\displaystyle \det(A(4))=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=4\displaystyle a=4 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Prima linie devine (4, 1, −2)\displaystyle (4,\ 1,\ -2), a doua rămâne (2, 1, 3)\displaystyle (2,\ 1,\ 3), iar în a treia linie primul element este 2a−1=2⋅4−1=7\displaystyle 2a-1=2\cdot 4-1=7.
    A(4)=(41−2213721)\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 7 & 2 & 1 \end{pmatrix}
  2. Scriem det⁡(A(4))\displaystyle \det(A(4)) și îl calculăm cu regula lui Sarrus. Mai întâi produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei: 4⋅1⋅1=4\displaystyle 4\cdot 1\cdot 1=4, 1⋅3⋅7=21\displaystyle 1\cdot 3\cdot 7=21 și (−2)⋅2⋅2=−8\displaystyle (-2)\cdot 2\cdot 2=-8.
    4+21+(−8)=17\displaystyle 4+21+(-8)=17
  3. Calculăm produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei: (−2)⋅1⋅7=−14\displaystyle (-2)\cdot 1\cdot 7=-14, 4⋅3⋅2=24\displaystyle 4\cdot 3\cdot 2=24 și 1⋅2⋅1=2\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1=2. Acestea se scad din suma anterioară.
    (−14)+24+2=12\displaystyle (-14)+24+2=12
  4. Scădem a doua sumă din prima: 17−12=5\displaystyle 17-12=5. Deci, scris ca în barem, determinantul este egal cu 5, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(4))=4+21+(−8)−(−14)−2−24=5\displaystyle \det(A(4))=4+21+(-8)-(-14)-2-24=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−22132a−121)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=22x+y+3z=1(2a−1)x+2y+z=a\displaystyle \begin{cases} ax+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ (2a-1)x+2y+z=a \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) nu este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci A(a)\displaystyle A(a) nu este inversabilă când det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0. Calculăm determinantul dezvoltându-l după prima linie.
    det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0
  2. Scriem dezvoltarea după prima linie, cu minorii de ordin 2 corespunzători elementelor a\displaystyle a, 1\displaystyle 1 și −2\displaystyle -2.
    det⁡(A(a))=a∣1321∣−1⋅∣232a−11∣+(−2)∣212a−12∣\displaystyle \det(A(a))=a\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}2&3\\2a-1&1\end{vmatrix}+(-2)\begin{vmatrix}2&1\\2a-1&2\end{vmatrix}
  3. Calculăm cei trei minori: primul este 1⋅1−3⋅2=−5\displaystyle 1\cdot 1-3\cdot 2=-5, al doilea este 2⋅1−3(2a−1)=5−6a\displaystyle 2\cdot 1-3(2a-1)=5-6a, iar al treilea este 2⋅2−1⋅(2a−1)=5−2a\displaystyle 2\cdot 2-1\cdot(2a-1)=5-2a.
    −5\displaystyle -5,5−6a\displaystyle \quad 5-6a,5−2a\displaystyle \quad 5-2a
  4. Înlocuim minorii în dezvoltare, desfacem parantezele și reducem termenii asemenea. Obținem determinantul 5a−15\displaystyle 5a-15, pentru orice a\displaystyle a real.
    det⁡(A(a))=−5a−(5−6a)−2(5−2a)=−5a−5+6a−10+4a=5a−15\displaystyle \det(A(a))=-5a-(5-6a)-2(5-2a)=-5a-5+6a-10+4a=5a-15
  5. Punem condiția det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, adică 5a−15=0\displaystyle 5a-15=0, deci 5a=15\displaystyle 5a=15. Rezultă a=3\displaystyle a=3.
    5a−15=0⇔a=3\displaystyle 5a-15=0\Leftrightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−22132a−121)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=22x+y+3z=1(2a−1)x+2y+z=a\displaystyle \begin{cases} ax+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ (2a-1)x+2y+z=a \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=3\displaystyle a=3, determinați soluțiile (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) ale sistemului de ecuații pentru care z02=x0+y0\displaystyle z_0^2=x_0+y_0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=3\displaystyle a=3 sistemul devine: {3x+y−2z=22x+y+3z=15x+2y+z=3\displaystyle \begin{cases} 3x+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ 5x+2y+z=3 \end{cases}
    {3x+y−2z=22x+y+3z=15x+2y+z=3\displaystyle \begin{cases} 3x+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ 5x+2y+z=3 \end{cases}
  2. Scădem a doua ecuație din prima, ca să eliminăm y\displaystyle y. Obținem x−5z=1\displaystyle x-5z=1. Notăm z=α\displaystyle z=\alpha, cu α∈R\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}, deci x=1+5α\displaystyle x=1+5\alpha.
    x=1+5α\displaystyle x=1+5\alpha,z=α\displaystyle \quad z=\alpha
  3. Din a doua ecuație scoatem y=1−2x−3z\displaystyle y=1-2x-3z. Înlocuim x\displaystyle x și z\displaystyle z: y=1−2(1+5α)−3α\displaystyle y=1-2(1+5\alpha)-3\alpha, deci y=−1−13α\displaystyle y=-1-13\alpha.
    y=−1−13α\displaystyle y=-1-13\alpha
  4. Verificăm a treia ecuație: 5(1+5α)+2(−1−13α)+α=3\displaystyle 5(1+5\alpha)+2(-1-13\alpha)+\alpha=3, adică 3=3\displaystyle 3=3, adevărat pentru orice α\displaystyle \alpha. Sistemul este compatibil simplu nedeterminat, cu soluțiile de mai jos.
    (x0,y0,z0)=(1+5α,−1−13α,α)\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=(1+5\alpha,-1-13\alpha,\alpha), α∈R\displaystyle \ \alpha\in\mathbb{R}
  5. Impunem condiția z02=x0+y0\displaystyle z_0^2=x_0+y_0. Avem x0+y0=(1+5α)+(−1−13α)=−8α\displaystyle x_0+y_0=(1+5\alpha)+(-1-13\alpha)=-8\alpha, deci α2=−8α\displaystyle \alpha^2=-8\alpha, adică α2+8α=0\displaystyle \alpha^2+8\alpha=0.
    α2+8α=0\displaystyle \alpha^2+8\alpha=0
  6. Ecuația se scrie α(α+8)=0\displaystyle \alpha(\alpha+8)=0, deci α=0\displaystyle \alpha=0 sau α=−8\displaystyle \alpha=-8. Pentru α=0\displaystyle \alpha=0 obținem (1,−1,0)\displaystyle (1,-1,0). Pentru α=−8\displaystyle \alpha=-8 obținem x0=1−40=−39\displaystyle x_0=1-40=-39, y0=−1+104=103\displaystyle y_0=-1+104=103, z0=−8\displaystyle z_0=-8. Verificare: 64=−39+103\displaystyle 64=-39+103.
    α=−8 sau α=0, deci (x0,y0,z0)=(−39,103,−8) sau (x0,y0,z0)=(1,−1,0)\displaystyle \alpha=-8\text{ sau }\alpha=0\text{, deci }(x_0,y_0,z_0)=(-39,103,-8)\text{ sau }(x_0,y_0,z_0)=(1,-1,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea G=(1,+∞)\displaystyle G=(1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=\sqrt{x^{\log_3 y}}.

Arătați că 4∗3=2\displaystyle 4*3=2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=\sqrt{x^{\log_3 y}} pentru x=4\displaystyle x=4 și y=3\displaystyle y=3.
    4∗3=4log⁡33\displaystyle 4*3=\sqrt{4^{\log_3 3}}
  2. Deoarece baza este egală cu argumentul, log⁡33=1\displaystyle \log_3 3=1, deci exponentul lui 4 este 1.
    4∗3=4log⁡33=41\displaystyle 4*3=\sqrt{4^{\log_3 3}}=\sqrt{4^{1}}
  3. Avem 41=4\displaystyle 4^{1}=4, iar 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2. Deci 4∗3=2\displaystyle 4*3=2, ceea ce trebuia arătat.
    4∗3=4=2\displaystyle 4*3=\sqrt{4}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea G=(1,+∞)\displaystyle G=(1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=\sqrt{x^{\log_3 y}}.

Arătați că e=9\displaystyle e=9 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca e=9\displaystyle e=9 să fie element neutru, trebuie să verificăm că x∗9=9∗x=x\displaystyle x*9=9*x=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G. Începem cu x∗9\displaystyle x*9, înlocuind y=9\displaystyle y=9 în definiția legii.
    x∗9=xlog⁡39\displaystyle x*9=\sqrt{x^{\log_3 9}}
  2. Calculăm logaritmul: log⁡39=2\displaystyle \log_3 9=2, pentru că 9=32\displaystyle 9=3^{2}. Apoi x2=∣x∣=x\displaystyle \sqrt{x^{2}}=|x|=x, deoarece x>1\displaystyle x>1 este pozitiv.
    x∗9=xlog⁡39=x2=x, pentru orice x∈G\displaystyle x*9=\sqrt{x^{\log_3 9}}=\sqrt{x^2}=x\text{, pentru orice }x\in G
  3. Legea nu este comutativă în general, deci verificăm și cealaltă egalitate. Calculăm 9∗x\displaystyle 9*x, înlocuind x=9\displaystyle x=9 și y=x\displaystyle y=x în definiție.
    9∗x=9log⁡3x\displaystyle 9*x=\sqrt{9^{\log_3 x}}
  4. Scriem 9=32\displaystyle 9=3^{2}, apoi folosim (am)n=amn\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}, ca să apară 3log⁡3x\displaystyle 3^{\log_3 x}, care este egal cu x\displaystyle x.
    9log⁡3x=32log⁡3x=(3log⁡3x)2=x2=x\displaystyle \sqrt{9^{\log_3 x}}=\sqrt{3^{2\log_3 x}}=\sqrt{\left(3^{\log_3 x}\right)^2}=\sqrt{x^2}=x
  5. Am obținut x∗9=x\displaystyle x*9=x și 9∗x=x\displaystyle 9*x=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G, deci e=9\displaystyle e=9 este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    9∗x=9log⁡3x=32log⁡3x=(3log⁡3x)2=x2=x, pentru orice x∈G, deci e=9 este elementul neutru al \displaystyle 9*x=\sqrt{9^{\log_3 x}}=\sqrt{3^{2\log_3 x}}=\sqrt{\left(3^{\log_3 x}\right)^2}=\sqrt{x^2}=x\text{, pentru orice }x\in G\text{, deci }e=9\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție ∗\displaystyle \text{legii de compoziție }*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea G=(1,+∞)\displaystyle G=(1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y\displaystyle x*y=\sqrt{x^{\log_3 y}}.

Determinați x∈G\displaystyle x\in G, știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm elementul neutru e\displaystyle e. Din x∗e=x\displaystyle x*e=x obținem xlog⁡3e=x\displaystyle \sqrt{x^{\log_3 e}}=x. Ridicăm la pătrat: xlog⁡3e=x2\displaystyle x^{\log_3 e}=x^{2}, deci log⁡3e=2\displaystyle \log_3 e=2, adică e=9\displaystyle e=9. Verificare: 9log⁡3x=x2\displaystyle 9^{\log_3 x}=x^{2}, deci și 9∗x=x\displaystyle 9*x=x.
    e=9\displaystyle e=9
  2. Un element egal cu simetricul său satisface x∗x=e\displaystyle x*x=e. Deci xlog⁡3x=9\displaystyle \sqrt{x^{\log_3 x}}=9.
    xlog⁡3x=9\displaystyle \sqrt{x^{\log_3 x}}=9
  3. Ridicăm ambii membri la pătrat și obținem xlog⁡3x=81\displaystyle x^{\log_3 x}=81.
    xlog⁡3x=81\displaystyle x^{\log_3 x}=81
  4. Logaritmăm în baza 3\displaystyle 3. Folosim formula log⁡3ab=blog⁡3a\displaystyle \log_3 a^{b}=b\log_3 a, iar 81=34\displaystyle 81=3^{4}, deci log⁡381=4\displaystyle \log_3 81=4. Rezultă log⁡32x=4\displaystyle \log_3^{2} x=4.
    log⁡3xlog⁡3x=log⁡381⇒log⁡32x=4\displaystyle \log_3 x^{\log_3 x}=\log_3 81\Rightarrow \log_3^{2}x=4
  5. Din log⁡32x=4\displaystyle \log_3^{2}x=4 rezultă log⁡3x=2\displaystyle \log_3 x=2 sau log⁡3x=−2\displaystyle \log_3 x=-2. Obținem x=9\displaystyle x=9 sau x=19\displaystyle x=\dfrac{1}{9}.
    log⁡3x=−2 sau log⁡3x=2⇒x=19 sau x=9\displaystyle \log_3 x=-2\text{ sau }\log_3 x=2\Rightarrow x=\frac{1}{9}\text{ sau }x=9
  6. Elementul trebuie să fie în G\displaystyle G, adică x>1\displaystyle x>1. Valoarea 19<1\displaystyle \dfrac{1}{9}<1 nu convine. Valoarea 9∈G\displaystyle 9\in G convine. Răspuns: x=9\displaystyle x=9.
    x=19, care nu convine; x=9, care convine\displaystyle x=\frac{1}{9}\text{, care nu convine; }x=9\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−9)(x2−4)+3\displaystyle f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3.

Arătați că f′(x)=2x(2x2−13)\displaystyle f'(x)=2x(2x^2-13), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs de doi factori, plus constanta 3\displaystyle 3. Derivata constantei este 0\displaystyle 0, deci derivăm produsul cu regula (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v', unde u=x2−9\displaystyle u=x^2-9 și v=x2−4\displaystyle v=x^2-4.
    f′(x)=(x2−9)′(x2−4)+(x2−9)(x2−4)′+0\displaystyle f'(x)=(x^2-9)'(x^2-4)+(x^2-9)(x^2-4)'+0
  2. Calculăm derivatele factorilor: (x2−9)′=2x\displaystyle (x^2-9)'=2x și (x2−4)′=2x\displaystyle (x^2-4)'=2x. Înlocuim în formula de mai sus.
    f′(x)=2x⋅(x2−4)+(x2−9)⋅2x\displaystyle f'(x)=2x\cdot(x^2-4)+(x^2-9)\cdot 2x
  3. Dăm factor comun pe 2x\displaystyle 2x, deoarece apare în ambii termeni.
    f′(x)=2x(x2−4+x2−9)\displaystyle f'(x)=2x\left(x^2-4+x^2-9\right)
  4. Reducem termenii asemenea din paranteză: x2+x2=2x2\displaystyle x^2+x^2=2x^2 și −4−9=−13\displaystyle -4-9=-13. Obținem egalitatea cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=2x(2x2−13), x∈R\displaystyle f'(x)=2x(2x^2-13)\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−9)(x2−4)+3\displaystyle f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3.

Arătați că lim⁡x→3sin⁡(x−3)f(x)−3=130\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\sin(x-3)}{f(x)-3}=\frac{1}{30}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x)−3\displaystyle f(x)-3: termenul +3\displaystyle +3 din definiția funcției se reduce, deci f(x)−3=(x2−9)(x2−4)\displaystyle f(x)-3=(x^2-9)(x^2-4). Limita devine lim⁡x→3sin⁡(x−3)(x2−9)(x2−4)\displaystyle \lim_{x\to 3}\dfrac{\sin(x-3)}{(x^2-9)(x^2-4)}.
    lim⁡x→3sin⁡(x−3)f(x)−3=lim⁡x→3sin⁡(x−3)(x2−9)(x2−4)\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\sin(x-3)}{f(x)-3}=\lim_{x\to 3}\frac{\sin(x-3)}{(x^2-9)(x^2-4)}
  2. Descompunem diferența de pătrate x2−9=(x−3)(x+3)\displaystyle x^2-9=(x-3)(x+3), apoi separăm factorul sin⁡(x−3)x−3\displaystyle \dfrac{\sin(x-3)}{x-3} de restul fracției.
    lim⁡x→3(sin⁡(x−3)x−3⋅1(x+3)(x2−4))\displaystyle \lim_{x\to 3}\left(\frac{\sin(x-3)}{x-3}\cdot\frac{1}{(x+3)(x^2-4)}\right)
  3. Folosim limita remarcabilă: pentru x→3\displaystyle x\to 3 avem x−3→0\displaystyle x-3\to 0, deci sin⁡(x−3)x−3→1\displaystyle \dfrac{\sin(x-3)}{x-3}\to 1. Cealaltă fracție este continuă în 3\displaystyle 3, deoarece (3+3)(32−4)≠0\displaystyle (3+3)(3^2-4)\neq 0, așa că înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3.
    1⋅1(3+3)(32−4)\displaystyle 1\cdot\frac{1}{(3+3)(3^2-4)}
  4. Calculăm numitorul: 3+3=6\displaystyle 3+3=6 și 32−4=5\displaystyle 3^2-4=5, deci produsul este 6⋅5=30\displaystyle 6\cdot 5=30. Limita este 130\displaystyle \dfrac{1}{30}, ceea ce trebuia arătat.
    1⋅16⋅5=130\displaystyle 1\cdot\frac{1}{6\cdot 5}=\frac{1}{30}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−9)(x2−4)+3\displaystyle f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3.

Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact patru soluții reale.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm funcția: (x2−9)(x2−4)=x4−13x2+36\displaystyle (x^2-9)(x^2-4)=x^4-13x^2+36, deci f(x)=x4−13x2+39\displaystyle f(x)=x^4-13x^2+39.
    f(x)=x4−13x2+39\displaystyle f(x)=x^4-13x^2+39
  2. Calculăm derivata și o descompunem în factori: f′(x)=4x3−26x=2x(2x2−13)\displaystyle f'(x)=4x^3-26x=2x(2x^2-13).
    f′(x)=4x3−26x=2x(2x2−13)\displaystyle f'(x)=4x^3-26x=2x\left(2x^2-13\right)
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: x=0\displaystyle x=0 sau x2=132\displaystyle x^2=\dfrac{13}{2}, deci avem trei puncte critice.
    x=−132\displaystyle x=-\sqrt{\frac{13}{2}}, x=0 sau x=132\displaystyle \ x=0\text{ sau }x=\sqrt{\frac{13}{2}}
  4. Studiem semnul derivatei f′(x)=2x(2x2−13)\displaystyle f'(x)=2x(2x^2-13). Rezultă că f\displaystyle f descrește pe (−∞,−132)\displaystyle \left(-\infty,-\sqrt{\frac{13}{2}}\right) și pe (0,132)\displaystyle \left(0,\sqrt{\frac{13}{2}}\right), și crește pe (−132,0)\displaystyle \left(-\sqrt{\frac{13}{2}},0\right) și pe (132,+∞)\displaystyle \left(\sqrt{\frac{13}{2}},+\infty\right).
    f′(x)<0 pe (−∞,−132)∪(0,132); f′(x)>0 pe (−132,0)∪(132,+∞)\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }\left(-\infty,-\sqrt{\tfrac{13}{2}}\right)\cup\left(0,\sqrt{\tfrac{13}{2}}\right);\ f'(x)>0\text{ pe }\left(-\sqrt{\tfrac{13}{2}},0\right)\cup\left(\sqrt{\tfrac{13}{2}},+\infty\right)
  5. Calculăm limitele la infinit: termenul dominant x4\displaystyle x^4 dă lim⁡x→±∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  6. Calculăm valorile în punctele critice. Pentru x2=132\displaystyle x^2=\dfrac{13}{2} avem x4=1694\displaystyle x^4=\dfrac{169}{4}, deci f(x)=1694−1692+39=−134\displaystyle f(x)=\dfrac{169}{4}-\dfrac{169}{2}+39=-\dfrac{13}{4}. În zero, f(0)=39\displaystyle f(0)=39.
    f(−132)=f(132)=−134\displaystyle f\left(-\sqrt{\frac{13}{2}}\right)=f\left(\sqrt{\frac{13}{2}}\right)=-\frac{13}{4}, f(0)=39\displaystyle \ f(0)=39
  7. Numărăm intersecțiile graficului cu dreapta y=m\displaystyle y=m. Minimele globale sunt −134\displaystyle -\dfrac{13}{4}, iar maximul local în 0\displaystyle 0 este 39\displaystyle 39. Pentru m<−134\displaystyle m<-\dfrac{13}{4} nu există soluții, pentru m=−134\displaystyle m=-\dfrac{13}{4} sunt două, pentru m∈(−134,39)\displaystyle m\in\left(-\dfrac{13}{4},39\right) sunt patru, pentru m=39\displaystyle m=39 sunt trei, iar pentru m>39\displaystyle m>39 sunt două. Deci ecuația are exact patru soluții reale exact când m∈(−134,39)\displaystyle m\in\left(-\dfrac{13}{4},39\right).
    m∈(−134,39)\displaystyle m\in\left(-\frac{13}{4},39\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xarctg⁡x\displaystyle f(x)=2x\operatorname{arctg}x.

Arătați că ∫12f(x)arctg⁡xdx=3\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{\operatorname{arctg}x}dx=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2xarctg⁡x\displaystyle f(x)=2x\operatorname{arctg}x în integrala dată.
    ∫122xarctg⁡xarctg⁡x dx\displaystyle \int_1^2\frac{2x\operatorname{arctg}x}{\operatorname{arctg}x}\,dx
  2. Pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] avem arctg⁡x>0\displaystyle \operatorname{arctg}x>0, deci putem simplifica fracția prin arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x.
    ∫12f(x)arctg⁡x dx=∫122x dx\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{\operatorname{arctg}x}\,dx=\int_1^2 2x\,dx
  3. O primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫122x dx=x2∣12=22−12\displaystyle \int_1^2 2x\,dx=x^{2}\Big|_1^2=2^{2}-1^{2}
  4. Efectuăm calculul: 4−1=3\displaystyle 4-1=3, deci integrala este egală cu 3\displaystyle 3.
    4−1=3\displaystyle 4-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xarctg⁡x\displaystyle f(x)=2x\operatorname{arctg}x.

Determinați numărul real nenul a\displaystyle a pentru care ∫03f(x)dx=πa−3\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}f(x)dx=\frac{\pi}{a}-\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu 2xarctg⁡x\displaystyle 2x\operatorname{arctg}x.
    ∫03f(x) dx=∫032xarctg⁡x dx\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}f(x)\,dx=\int_0^{\sqrt{3}}2x\operatorname{arctg}x\,dx
  2. Observăm că 2x\displaystyle 2x este derivata lui x2+1\displaystyle x^{2}+1. Alegem această primitivă (cu +1\displaystyle +1, nu doar x2\displaystyle x^{2}) pentru ca la integrare prin părți să se simplifice factorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 cu numitorul derivatei lui arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x.
    2x=(x2+1)′⇒∫03(x2+1)′arctg⁡x dx\displaystyle 2x=(x^{2}+1)'\quad\Rightarrow\quad \int_0^{\sqrt{3}}(x^{2}+1)'\operatorname{arctg}x\,dx
  3. Aplicăm formula de integrare prin părți, cu u=arctg⁡x\displaystyle u=\operatorname{arctg}x și v=x2+1\displaystyle v=x^{2}+1. Derivata lui arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x este 1x2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1}.
    (x2+1)arctg⁡x∣03−∫03(x2+1)⋅1x2+1 dx\displaystyle (x^{2}+1)\operatorname{arctg}x\Big|_0^{\sqrt{3}}-\int_0^{\sqrt{3}}(x^{2}+1)\cdot\frac{1}{x^{2}+1}\,dx
  4. Simplificăm factorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 din integrală, deci rămâne integrala lui 1\displaystyle 1, adică x\displaystyle x. Calculăm primul termen: în 3\displaystyle \sqrt{3} avem 3+1=4\displaystyle 3+1=4, iar arctg⁡3=π3\displaystyle \operatorname{arctg}\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}; în 0\displaystyle 0 termenul este 0\displaystyle 0.
    4⋅π3−x∣03\displaystyle 4\cdot\frac{\pi}{3}-x\Big|_0^{\sqrt{3}}
  5. Calculăm x\displaystyle x între limitele 0\displaystyle 0 și 3\displaystyle \sqrt{3}, deci obținem 3−0=3\displaystyle \sqrt{3}-0=\sqrt{3}.
    ∫03f(x) dx=4π3−3\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}f(x)\,dx=\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}
  6. Egalăm cu valoarea dată, πa−3\displaystyle \dfrac{\pi}{a}-\sqrt{3}. Termenii cu 3\displaystyle \sqrt{3} coincid, deci πa=4π3\displaystyle \dfrac{\pi}{a}=\dfrac{4\pi}{3}, de unde a=34\displaystyle a=\dfrac{3}{4}.
    πa=4π3 ⇒ a=34\displaystyle \frac{\pi}{a}=\frac{4\pi}{3}\ \Rightarrow\ a=\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xarctg⁡x\displaystyle f(x)=2x\operatorname{arctg}x.

Demonstrați că ∫−11xf(x)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}x f(x)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2xarctg⁡x\displaystyle f(x)=2x\operatorname{arctg}x în xf(x)\displaystyle x f(x) și notăm integrala cu I\displaystyle I. Obținem xf(x)=2x2arctg⁡x\displaystyle x f(x)=2x^{2}\operatorname{arctg}x.
    I=∫−11xf(x) dx=2∫−11x2arctg⁡x dx\displaystyle I=\int_{-1}^{1}x f(x)\,dx=2\int_{-1}^{1}x^{2}\operatorname{arctg}x\,dx
  2. Facem schimbarea de variabilă x=−t\displaystyle x=-t, deci dx=−dt\displaystyle dx=-dt. Pentru x=−1\displaystyle x=-1 avem t=1\displaystyle t=1, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem t=−1\displaystyle t=-1.
    I=2∫1−1(−t)2arctg⁡(−t) (−1) dt\displaystyle I=2\int_{1}^{-1}(-t)^{2}\operatorname{arctg}(-t)\,(-1)\,dt
  3. Folosim (−t)2=t2\displaystyle (-t)^{2}=t^{2} și faptul că arctg⁡\displaystyle \operatorname{arctg} este impară: arctg⁡(−t)=−arctg⁡t\displaystyle \operatorname{arctg}(-t)=-\operatorname{arctg}t. Cele două minusuri (din arctg și din dx=−dt\displaystyle dx=-dt) se reduc, iar inversarea limitelor de integrare schimbă semnul integralei. Rezultă I=−I\displaystyle I=-I.
    I=−2∫−11t2arctg⁡t dt=−∫−11xf(x) dx=−I\displaystyle I=-2\int_{-1}^{1}t^{2}\operatorname{arctg}t\,dt=-\int_{-1}^{1}x f(x)\,dx=-I
  4. Din I=−I\displaystyle I=-I obținem 2I=0\displaystyle 2I=0, deci I=0\displaystyle I=0.
    2∫−11xf(x) dx=0, deci ∫−11xf(x) dx=0\displaystyle 2\int_{-1}^{1}x f(x)\,dx=0\text{, deci }\int_{-1}^{1}x f(x)\,dx=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.