Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 7: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați partea întreagă a numărului real x=(2−1)2\displaystyle x=(\sqrt{2}-1)^2.
Vezi rezolvarea
  1. Partea întreagă a lui x\displaystyle x este unicul număr întreg k\displaystyle k cu k≤x<k+1\displaystyle k\le x<k+1. Vrem să arătăm că x\displaystyle x se află între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1, deci încadrăm mai întâi numărul 2−1\displaystyle \sqrt{2}-1.
    k≤x<k+1\displaystyle k\le x<k+1
  2. Încadrăm 2\displaystyle \sqrt{2} între 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2: din 1<2<4\displaystyle 1<2<4 rezultă 1<2<4\displaystyle \sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4}.
    1<2<2\displaystyle 1<\sqrt{2}<2
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din toți membrii inegalității și obținem că 2−1\displaystyle \sqrt{2}-1 este cuprins între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    0<2−1<1\displaystyle 0<\sqrt{2}-1<1
  4. Ridicăm la pătrat inegalitatea. Cum toți membrii sunt pozitivi, sensul inegalităților se păstrează, deoarece 02=0\displaystyle 0^2=0 și 12=1\displaystyle 1^2=1. Așadar x\displaystyle x se află între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    0<(2−1)2<1\displaystyle 0<(\sqrt{2}-1)^2<1
  5. Avem 0≤x<1\displaystyle 0\le x<1, deci partea întreagă a lui x\displaystyle x este 0\displaystyle 0.
    [x]=0\displaystyle [x]=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x\displaystyle f(x)=x^2-2x. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f\displaystyle f cu dreapta de ecuație y=2x−3\displaystyle y=2x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție verifică ambele ecuații, deci egalăm expresiile: f(x)=2x−3\displaystyle f(x)=2x-3, adică x2−2x=2x−3\displaystyle x^{2}-2x=2x-3.
    x2−2x=2x−3\displaystyle x^{2}-2x=2x-3
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng: x2−2x−2x+3=0\displaystyle x^{2}-2x-2x+3=0. Reducem termenii asemenea și obținem x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0.
    x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0
  3. Pentru a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=3\displaystyle c=3 avem Δ=b2−4ac=16−12=4\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=16-12=4.
    Δ=4\displaystyle \Delta=4
  4. Rădăcinile sunt x=4±22\displaystyle x=\dfrac{4\pm 2}{2}, deci x1=4−22=1\displaystyle x_1=\dfrac{4-2}{2}=1 și x2=4+22=3\displaystyle x_2=\dfrac{4+2}{2}=3. Acestea sunt abscisele punctelor de intersecție.
    x=1 sau x=3\displaystyle x=1\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−2=(14)7−2x\displaystyle 4^{x-2}=\left(\frac{1}{4}\right)^{7-2x}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza din dreapta ca putere a lui 4\displaystyle 4: 14=4−1\displaystyle \dfrac{1}{4}=4^{-1}.
    14=4−1\displaystyle \dfrac{1}{4}=4^{-1}
  2. Înlocuim în ecuație și folosim regula (am)n=amn\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}: (14)7−2x=(4−1)7−2x=4−(7−2x)=42x−7\displaystyle \left(\dfrac{1}{4}\right)^{7-2x}=\left(4^{-1}\right)^{7-2x}=4^{-(7-2x)}=4^{2x-7}. Ecuația devine 4x−2=42x−7\displaystyle 4^{x-2}=4^{2x-7}.
    4x−2=42x−7\displaystyle 4^{x-2}=4^{2x-7}
  3. Funcția t↦4t\displaystyle t\mapsto 4^{t} este injectivă, deci din egalitatea puterilor rezultă egalitatea exponenților: x−2=2x−7\displaystyle x-2=2x-7.
    x−2=2x−7\displaystyle x-2=2x-7
  4. Mutăm termenii: −2+7=2x−x\displaystyle -2+7=2x-x, deci 5=x\displaystyle 5=x.
    x=5\displaystyle x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}.
Vezi rezolvarea
  1. O submulțime cu trei elemente se obține alegând 3 elemente din cele 10\displaystyle 10 ale mulțimii A\displaystyle A, fără să conteze ordinea. Prin urmare, numărul submulțimilor este combinări de 10\displaystyle 10 luate câte 3\displaystyle 3, adică C103\displaystyle C_{10}^{3}.
    C103\displaystyle C_{10}^{3}
  2. Scriem formula combinărilor: Cnk=n!k!(n−k)!\displaystyle C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}. Înlocuim n=10\displaystyle n=10 și k=3\displaystyle k=3.
    C103=10!3! (10−3)!=10!3!⋅7!\displaystyle C_{10}^{3}=\dfrac{10!}{3!\,(10-3)!}=\dfrac{10!}{3!\cdot 7!}
  3. Simplificăm 7!\displaystyle 7!: 10!=10⋅9⋅8⋅7!\displaystyle 10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7!. Rămâne 10⋅9⋅83!=7206\displaystyle \dfrac{10\cdot 9\cdot 8}{3!}=\dfrac{720}{6}, deci 120\displaystyle 120. Așadar mulțimea A\displaystyle A are 120\displaystyle 120 de submulțimi cu trei elemente.
    10!3! (10−3)!=10⋅9⋅86=120\displaystyle \dfrac{10!}{3!\,(10-3)!}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3), B(2,5)\displaystyle B(2,5). Determinați coordonatele punctului C\displaystyle C pentru care AC→=2AB→\displaystyle \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm coordonatele vectorului AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} scăzând coordonatele lui A\displaystyle A din cele ale lui B\displaystyle B: AB→=(2−1)i⃗+(5−3)j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=(2-1)\vec{i}+(5-3)\vec{j}. Obținem AB→=i⃗+2j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=\vec{i}+2\vec{j}.
    AB→=i⃗+2j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=\vec{i}+2\vec{j}
  2. Relația AC→=2AB→\displaystyle \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB} arată că A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C sunt coliniare, iar AB=12AC\displaystyle AB=\dfrac{1}{2}AC cu B\displaystyle B pe segmentul AC\displaystyle AC. Deci B\displaystyle B este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC.
    B este mijlocul lui AC\displaystyle B\text{ este mijlocul lui }AC
  3. Scriem formulele mijlocului pentru B\displaystyle B, mijlocul lui AC\displaystyle AC: xB=xA+xC2\displaystyle x_B=\dfrac{x_A+x_C}{2} și yB=yA+yC2\displaystyle y_B=\dfrac{y_A+y_C}{2}. Înlocuim xB=2\displaystyle x_B=2, yB=5\displaystyle y_B=5, xA=1\displaystyle x_A=1, yA=3\displaystyle y_A=3.
    2=1+xC2 și 5=3+yC2\displaystyle 2=\frac{1+x_C}{2}\text{ și }5=\frac{3+y_C}{2}
  4. Rezolvăm ecuațiile: 1+xC=4\displaystyle 1+x_C=4, deci xC=3\displaystyle x_C=3, iar 3+yC=10\displaystyle 3+y_C=10, deci yC=7\displaystyle y_C=7. Prin urmare C(3,7)\displaystyle C(3,7).
    xC=3 și yC=7\displaystyle x_C=3\text{ și }y_C=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că AB=2\displaystyle AB=2, AC=3\displaystyle AC=3 și m(∠BAC)=60∘\displaystyle m(\angle BAC)=60^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Cerem perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC. Cunoaștem două laturi, AB=2\displaystyle AB=2 și AC=3\displaystyle AC=3, și unghiul dintre ele, m(∠BAC)=60∘\displaystyle m(\angle BAC)=60^\circ. Latura BC\displaystyle BC lipsește, deci o aflăm cu teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC.
    BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡(∠BAC)\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos(\angle BAC)
  2. Valoarea cosinusului unghiului de 60∘\displaystyle 60^\circ este cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡(∠BAC)=cos⁡60∘=12\displaystyle \cos(\angle BAC)=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}
  3. Înlocuim în teorema cosinusului: AB2=4\displaystyle AB^{2}=4, AC2=9\displaystyle AC^{2}=9, iar 2⋅2⋅3⋅12=6\displaystyle 2\cdot 2\cdot 3\cdot\dfrac{1}{2}=6. Obținem BC2=4+9−6=7\displaystyle BC^{2}=4+9-6=7. Cum BC>0\displaystyle BC>0, rezultă BC=7\displaystyle BC=\sqrt{7}.
    BC2=22+32−2⋅2⋅3⋅12=4+9−6=7  ⇒  BC=7\displaystyle BC^{2}=2^{2}+3^{2}-2\cdot 2\cdot 3\cdot\frac{1}{2}=4+9-6=7\;\Rightarrow\; BC=\sqrt{7}
  4. Perimetrul este suma celor trei laturi: P△ABC=AB+BC+AC=2+7+3\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=2+\sqrt{7}+3, deci perimetrul este 5+7\displaystyle 5+\sqrt{7}.
    P△ABC=AB+BC+AC=5+7\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=5+\sqrt{7}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, A(a)=(10301a1−a0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&a\\1&-a&0\end{pmatrix} și (A(a))t=(10101−a3a0)\displaystyle (A(a))^t=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-a\\3&a&0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=1\displaystyle \det(A(2))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și scriem determinantul matricei obținute: det⁡(A(2))\displaystyle \det(A(2)).
    det⁡(A(2))=∣1030121−20∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1&0&3\\0&1&2\\1&-2&0\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 1⋅1⋅0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0, 0⋅2⋅1\displaystyle 0\cdot 2\cdot 1 și 3⋅0⋅(−2)\displaystyle 3\cdot 0\cdot(-2).
    1⋅1⋅0+0⋅2⋅1+3⋅0⋅(−2)=0+0+0=0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0+0\cdot 2\cdot 1+3\cdot 0\cdot(-2)=0+0+0=0
  3. Calculăm termenii cu minus, adică produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 3⋅1⋅1\displaystyle 3\cdot 1\cdot 1, 2⋅(−2)⋅1\displaystyle 2\cdot(-2)\cdot 1 și 0⋅0⋅0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0.
    3⋅1⋅1+2⋅(−2)⋅1+0⋅0⋅0=3−4+0=−1\displaystyle 3\cdot 1\cdot 1+2\cdot(-2)\cdot 1+0\cdot 0\cdot 0=3-4+0=-1
  4. Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus: det⁡(A(2))=0−(−1)\displaystyle \det(A(2))=0-(-1), deci determinantul este egal cu 1.
    det⁡(A(2))=0+0+0−3−(−4)−0=1\displaystyle \det(A(2))=0+0+0-3-(-4)-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, A(a)=(10301a1−a0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&a\\1&-a&0\end{pmatrix} și (A(a))t=(10101−a3a0)\displaystyle (A(a))^t=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-a\\3&a&0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr rațional q\displaystyle q, matricea A(q)\displaystyle A(q) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci calculăm det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)) pentru a\displaystyle a real oarecare.
    A(a) inversabila˘  ⟺  det⁡(A(a))≠0\displaystyle A(a)\text{ inversabilă}\iff \det(A(a))\neq 0
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: elementul 1\displaystyle 1 înmulțit cu minorul său, elementul 0\displaystyle 0, apoi elementul 3\displaystyle 3 înmulțit cu minorul său, cu semnul plus.
    det⁡(A(a))=1⋅∣1a−a0∣−0+3⋅∣011−a∣\displaystyle \det(A(a))=1\cdot\begin{vmatrix}1&a\\-a&0\end{vmatrix}-0+3\cdot\begin{vmatrix}0&1\\1&-a\end{vmatrix}
  3. Calculăm cei doi minori: primul este 1⋅0−a⋅(−a)=a2\displaystyle 1\cdot 0-a\cdot(-a)=a^{2}, al doilea este 0⋅(−a)−1⋅1=−1\displaystyle 0\cdot(-a)-1\cdot 1=-1. Rezultă det⁡(A(a))=a2+3⋅(−1)\displaystyle \det(A(a))=a^{2}+3\cdot(-1), pentru orice a\displaystyle a real.
    det⁡(A(a))=a2−3\displaystyle \det(A(a))=a^{2}-3
  4. Presupunem că, pentru un număr rațional q\displaystyle q, ar fi det⁡(A(q))=0\displaystyle \det(A(q))=0. Atunci q2−3=0\displaystyle q^{2}-3=0, deci q2=3\displaystyle q^{2}=3, adică q=±3\displaystyle q=\pm\sqrt{3}.
    q2−3=0⇒q=±3\displaystyle q^{2}-3=0\Rightarrow q=\pm\sqrt{3}
  5. Dar 3\displaystyle \sqrt{3} este număr irațional, deci q=±3\displaystyle q=\pm\sqrt{3} nu este posibil pentru q\displaystyle q rațional. Contradicția arată că det⁡(A(q))≠0\displaystyle \det(A(q))\neq 0, deci matricea A(q)\displaystyle A(q) este inversabilă.
    det⁡(A(q))=q2−3≠0, deci matricea A(q) este inversabila˘\displaystyle \det(A(q))=q^{2}-3\neq 0\text{, deci matricea }A(q)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele O3=(000000000)\displaystyle O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, A(a)=(10301a1−a0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&a\\1&-a&0\end{pmatrix} și (A(a))t=(10101−a3a0)\displaystyle (A(a))^t=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-a\\3&a&0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Se consideră matricea B(a)=A(a)−(A(a))t\displaystyle B(a)=A(a)-(A(a))^t. Determinați numerele raționale p\displaystyle p pentru care B(p)B(p)B(p)+5B(p)=O3\displaystyle B(p)B(p)B(p)+5B(p)=O_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm B(p)=A(p)−(A(p))t\displaystyle B(p)=A(p)-(A(p))^t scăzând element cu element. Pe diagonală și în pozițiile (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,1)\displaystyle (2,1) diferențele sunt 0\displaystyle 0, iar 3−1=2\displaystyle 3-1=2, p−(−p)=2p\displaystyle p-(-p)=2p, 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2, −p−p=−2p\displaystyle -p-p=-2p. Deci B(p)=2C\displaystyle B(p)=2C, unde C=(00100p−1−p0)\displaystyle C=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&p\\-1&-p&0\end{pmatrix}.
    B(p)=2(00100p−1−p0)\displaystyle B(p)=2\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&p\\-1&-p&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm C⋅C\displaystyle C\cdot C linie cu linie. Linia 1 a produsului este linia 3 a lui C\displaystyle C, adică (−1,−p,0)\displaystyle (-1,-p,0). Linia 2 este p\displaystyle p ori linia 3, adică (−p,−p2,0)\displaystyle (-p,-p^2,0). Linia 3 este −1⋅L1−p⋅L2=(0,0,−1−p2)\displaystyle -1\cdot L_1-p\cdot L_2=(0,0,-1-p^2). Deci C2=−(1p0pp20001+p2)\displaystyle C^2=-\begin{pmatrix}1&p&0\\p&p^2&0\\0&0&1+p^2\end{pmatrix}, iar B(p)B(p)=4C2\displaystyle B(p)B(p)=4C^2.
    B(p)B(p)=−4(1p0pp20001+p2)\displaystyle B(p)B(p)=-4\begin{pmatrix}1&p&0\\p&p^2&0\\0&0&1+p^2\end{pmatrix}
  3. Calculăm C3=C2⋅C=−M⋅C\displaystyle C^3=C^2\cdot C=-M\cdot C, unde M=(1p0pp20001+p2)\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&p&0\\p&p^2&0\\0&0&1+p^2\end{pmatrix}. Linia 1 din MC\displaystyle MC este L1+pL2=(0,0,1+p2)\displaystyle L_1+pL_2=(0,0,1+p^2), linia 2 este pL1+p2L2=(0,0,p(1+p2))\displaystyle pL_1+p^2L_2=(0,0,p(1+p^2)), linia 3 este (1+p2)(−1,−p,0)\displaystyle (1+p^2)(-1,-p,0). Deci MC=(1+p2)C\displaystyle MC=(1+p^2)C și C3=−(1+p2)C\displaystyle C^3=-(1+p^2)C. Atunci B(p)B(p)B(p)=8C3=−8(p2+1)C=−4(p2+1)B(p)\displaystyle B(p)B(p)B(p)=8C^3=-8(p^2+1)C=-4(p^2+1)B(p).
    B(p)B(p)B(p)=−4(p2+1)B(p)\displaystyle B(p)B(p)B(p)=-4(p^2+1)B(p)
  4. Înlocuim în ecuația B(p)B(p)B(p)+5B(p)=O3\displaystyle B(p)B(p)B(p)+5B(p)=O_3 și dăm factor comun B(p)\displaystyle B(p). Obținem −4(p2+1)B(p)+5B(p)=O3\displaystyle -4(p^2+1)B(p)+5B(p)=O_3, adică (−4p2−4+5)B(p)=O3\displaystyle (-4p^2-4+5)B(p)=O_3.
    (1−4p2)B(p)=O3\displaystyle (1-4p^2)B(p)=O_3
  5. Matricea B(p)\displaystyle B(p) nu este nulă pentru niciun p\displaystyle p, deoarece elementul din poziția (1,3)\displaystyle (1,3) este 2\displaystyle 2. Deci egalitatea are loc doar când 1−4p2=0\displaystyle 1-4p^2=0, adică p2=14\displaystyle p^2=\dfrac{1}{4}. Obținem p=−12\displaystyle p=-\dfrac{1}{2} sau p=12\displaystyle p=\dfrac{1}{2}, ambele numere raționale, deci convin.
    p=−12 sau p=12, care convin\displaystyle p=-\dfrac{1}{2}\text{ sau }p=\dfrac{1}{2}\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,1)\displaystyle G=(0,1) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy2xy−x−y+1\displaystyle x*y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}.

Arătați că 13∗13=15\displaystyle \frac{1}{3}*\frac{1}{3}=\frac{1}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=13\displaystyle x=\dfrac{1}{3} și y=13\displaystyle y=\dfrac{1}{3} în formula x∗y=xy2xy−x−y+1\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{2xy-x-y+1}.
    13∗13=13⋅132⋅13⋅13−13−13+1\displaystyle \frac{1}{3}*\frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}}{2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+1}
  2. Numărătorul este 13⋅13=19\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}.
    13⋅13=19\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}
  3. Numitorul este 29−13−13+1\displaystyle \dfrac{2}{9}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}+1. Aducem la numitorul 9\displaystyle 9: 29−39−39+99\displaystyle \dfrac{2}{9}-\dfrac{3}{9}-\dfrac{3}{9}+\dfrac{9}{9}.
    2−3−3+99=59\displaystyle \frac{2-3-3+9}{9}=\frac{5}{9}
  4. Împărțim numărătorul la numitor: 1959=19⋅95\displaystyle \dfrac{\frac{1}{9}}{\frac{5}{9}}=\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{9}{5}. Rezultă 13∗13=15\displaystyle \dfrac{1}{3}*\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{5}, ceea ce trebuia demonstrat.
    19⋅95=15\displaystyle \frac{1}{9}\cdot\frac{9}{5}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,1)\displaystyle G=(0,1) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy2xy−x−y+1\displaystyle x*y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}.

Verificați dacă e=12\displaystyle e=\frac{1}{2} este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru e\displaystyle e trebuie să verifice x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G. Pentru e=12\displaystyle e=\dfrac{1}{2} calculăm x∗12\displaystyle x*\dfrac{1}{2} și 12∗x\displaystyle \dfrac{1}{2}*x, cu x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1).
    x∗12=x⋅122⋅x⋅12−x−12+1\displaystyle x*\frac{1}{2}=\frac{x\cdot\frac{1}{2}}{2\cdot x\cdot\frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1}
  2. La numitor, 2⋅x⋅12=x\displaystyle 2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}=x, deci x−x−12+1=12\displaystyle x-x-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}. Numitorul este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    2⋅x⋅12−x−12+1=12\displaystyle 2\cdot x\cdot\frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}
  3. Înlocuim numitorul: x∗12=x⋅1212=x\displaystyle x*\dfrac{1}{2}=\dfrac{x\cdot\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=x, pentru orice x∈G\displaystyle x\in G.
    x∗12=x⋅1212=x, pentru orice x∈G\displaystyle x*\frac{1}{2}=\frac{x\cdot\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=x\text{, pentru orice }x\in G
  4. Expresia xy2xy−x−y+1\displaystyle \dfrac{xy}{2xy-x-y+1} rămâne aceeași dacă schimbăm x\displaystyle x cu y\displaystyle y, deci legea este comutativă. Rezultă 12∗x=x∗12=x\displaystyle \dfrac{1}{2}*x=x*\dfrac{1}{2}=x.
    12∗x=x∗12=x\displaystyle \frac{1}{2}*x=x*\frac{1}{2}=x
  5. Deoarece 12∈(0,1)=G\displaystyle \dfrac{1}{2}\in(0,1)=G și 12∗x=x∗12=x\displaystyle \dfrac{1}{2}*x=x*\dfrac{1}{2}=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G, e=12\displaystyle e=\dfrac{1}{2} este elementul neutru al legii ∗\displaystyle *.
    12∗x=x=x∗12, pentru orice x∈G și, cum 12∈G, e=12 este elementul neutru\displaystyle \frac{1}{2}*x=x=x*\frac{1}{2}\text{, pentru orice }x\in G\text{ și, cum }\frac{1}{2}\in G\text{, }e=\frac{1}{2}\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,1)\displaystyle G=(0,1) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy2xy−x−y+1\displaystyle x*y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}. Știind că (G,∗)\displaystyle (G,*) este grup, demonstrați că funcția f:G→M\displaystyle f:G\to M, f(x)=1x−1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}-1 este un izomorfism de la grupul (G,∗)\displaystyle (G,*) la grupul (M,⋅)\displaystyle (M,\cdot), unde M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) și „⋅\displaystyle \cdot” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm mai întâi relația de morfism: f(x∗y)=f(x)⋅f(y)\displaystyle f(x*y)=f(x)\cdot f(y) pentru orice x,y∈G\displaystyle x,y\in G. Calculăm f(x∗y)=1x∗y−1\displaystyle f(x*y)=\dfrac{1}{x*y}-1. Numitorul 2xy−x−y+1=xy+(1−x)(1−y)\displaystyle 2xy-x-y+1=xy+(1-x)(1-y) este pozitiv, deci x∗y\displaystyle x*y este bine definit. Inversul lui x∗y\displaystyle x*y este 2xy−x−y+1xy\displaystyle \dfrac{2xy-x-y+1}{xy}.
    f(x∗y)=2xy−x−y+1xy−1\displaystyle f(x*y)=\frac{2xy-x-y+1}{xy}-1
  2. Reducem la același numitor: scădem 1=xyxy\displaystyle 1=\dfrac{xy}{xy}, iar 2xy−xy=xy\displaystyle 2xy-xy=xy, deci numărătorul devine xy−x−y+1\displaystyle xy-x-y+1.
    f(x∗y)=xy−x−y+1xy\displaystyle f(x*y)=\frac{xy-x-y+1}{xy}
  3. Descompunem numărătorul: xy−x−y+1=(1−x)(1−y)\displaystyle xy-x-y+1=(1-x)(1-y), deoarece (x−1)(y−1)=(1−x)(1−y)\displaystyle (x-1)(y-1)=(1-x)(1-y). Separăm fracția în produs: (1−x)(1−y)xy=1−xx⋅1−yy\displaystyle \dfrac{(1-x)(1-y)}{xy}=\dfrac{1-x}{x}\cdot\dfrac{1-y}{y}. Cum 1−xx=1x−1=f(x)\displaystyle \dfrac{1-x}{x}=\dfrac{1}{x}-1=f(x), și analog pentru y\displaystyle y, obținem f(x∗y)=f(x)f(y)\displaystyle f(x*y)=f(x)f(y), deci f\displaystyle f este morfism.
    f(x∗y)=(1−x)(1−y)xy=1−xx⋅1−yy=f(x) f(y)\displaystyle f(x*y)=\frac{(1-x)(1-y)}{xy}=\frac{1-x}{x}\cdot\frac{1-y}{y}=f(x)\,f(y)
  4. Rămâne să arătăm că f\displaystyle f este bijectivă. Pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) avem 1x>1\displaystyle \dfrac{1}{x}>1, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 și f(x)∈M\displaystyle f(x)\in M. Funcția f\displaystyle f este continuă pe (0,1)\displaystyle (0,1), fiind diferența dintre o funcție rațională cu numitor nenul și o constantă. Derivata este negativă pe (0,1)\displaystyle (0,1), deci f\displaystyle f este strict descrescătoare și în particular injectivă.
    f′(x)=−1x2<0\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}<0, ∀x∈(0,1)\displaystyle \ \forall x\in(0,1)
  5. Calculăm limitele la capetele intervalului: când x→0\displaystyle x\to 0, x>0\displaystyle x>0, 1x→+∞\displaystyle \dfrac{1}{x}\to+\infty, deci f(x)→+∞\displaystyle f(x)\to+\infty. Când x→1\displaystyle x\to 1, x<1\displaystyle x<1, 1x→1\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 1, deci f(x)→0\displaystyle f(x)\to 0. Fiind continuă și strict descrescătoare, f\displaystyle f ia toate valorile din intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci este surjectivă. Împreună cu injectivitatea, f\displaystyle f este bijectivă. Fiind și morfism de grupuri, f\displaystyle f este izomorfism de la (G,∗)\displaystyle (G,*) la (M,⋅)\displaystyle (M,\cdot).
    f continua˘, strict \displaystyle f\text{ continuă, strict }descresca˘toare pe (0,1)\displaystyle \text{descrescătoare pe }(0,1), lim⁡x→0f(x)=+∞\displaystyle \ \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty, lim⁡x→1f(x)=0, deci f bijectiva˘\displaystyle \ \lim_{x\to 1}f(x)=0\text{, deci }f\text{ bijectivă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x.

Arătați că f′(x)=1+ln⁡x\displaystyle f'(x)=1+\ln x, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că funcția f\displaystyle f este un produs de două funcții derivabile pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): u(x)=x\displaystyle u(x)=x și v(x)=ln⁡x\displaystyle v(x)=\ln x. Folosim regula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x)′⋅ln⁡x+x⋅(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=(x)'\cdot\ln x+x\cdot(\ln x)'
  2. Calculăm derivatele factorilor: (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    (x)′=1, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (x)'=1\text{, }(\ln x)'=\frac{1}{x}
  3. Înlocuim derivatele în formula produsului:
    f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+x⋅1x\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}
  4. Simplificăm x\displaystyle x cu x\displaystyle x, deoarece x≠0\displaystyle x\neq 0, deci x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1. Rezultă f′(x)=1+ln⁡x\displaystyle f'(x)=1+\ln x pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), ceea ce trebuia arătat.
    f′(x)=1+ln⁡x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=1+\ln x\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x.

Determinați m∈(0,+∞)\displaystyle m\in(0,+\infty) pentru care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f în punctul M(m,f(m))\displaystyle M(m,f(m)) este paralelă cu dreapta de ecuație y=2x\displaystyle y=2x.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta la grafic în punctul de abscisă m\displaystyle m are panta f′(m)\displaystyle f'(m). Dreapta y=2x\displaystyle y=2x are panta 2\displaystyle 2. Două drepte sunt paralele când au pante egale, deci condiția este f′(m)=2\displaystyle f'(m)=2.
    f′(m)=2\displaystyle f'(m)=2
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f cu regula de derivare a produsului: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1
  3. Punem condiția f′(m)=2\displaystyle f'(m)=2 și obținem ecuația 1+ln⁡m=2\displaystyle 1+\ln m=2.
    1+ln⁡m=2⇒ln⁡m=1\displaystyle 1+\ln m=2\Rightarrow \ln m=1
  4. Din ln⁡m=1\displaystyle \ln m=1 rezultă m=e\displaystyle m=e. Verificăm că e∈(0,+∞)\displaystyle e\in(0,+\infty): e≈2,718>0\displaystyle e\approx 2{,}718>0, deci valoarea convine.
    m=e, care convine\displaystyle m=e\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x.

Demonstrați că xln⁡x+1e≥0\displaystyle x\ln x+\frac{1}{e}\geq 0, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Inegalitatea xln⁡x+1e≥0\displaystyle x\ln x+\dfrac{1}{e}\geq 0 este echivalentă cu f(x)≥−1e\displaystyle f(x)\geq -\dfrac{1}{e}, deci studiem monotonia lui f\displaystyle f cu ajutorul derivatei. Aplicăm formula derivatei unui produs: f′(x)=(x)′ln⁡x+x(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=(x)'\ln x+x(\ln x)'.
    f′(x)=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\displaystyle f'(x)=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: ln⁡x+1=0\displaystyle \ln x+1=0, deci ln⁡x=−1\displaystyle \ln x=-1, adică x=e−1\displaystyle x=e^{-1}.
    f′(x)=0⇔x=1e\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{e}
  3. Stabilim semnul derivatei. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare, deci pentru x∈(0,1e)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{1}{e}\right) avem ln⁡x<−1\displaystyle \ln x<-1, adică f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, iar pentru x∈(1e,+∞)\displaystyle x\in\left(\dfrac{1}{e},+\infty\right) avem ln⁡x>−1\displaystyle \ln x>-1, adică f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0. Rezultă că f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (0,1e)\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{e}\right) și strict crescătoare pe (1e,+∞)\displaystyle \left(\dfrac{1}{e},+\infty\right), deci f\displaystyle f are un minim în x=1e\displaystyle x=\dfrac{1}{e} și f(x)≥f(1e)\displaystyle f(x)\geq f\left(\dfrac{1}{e}\right) pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    f strict descresca˘toare pe (0,1e) și strict cresca˘toare pe (1e,+∞), deci f(x)≥f(1e)\displaystyle f\text{ strict descrescătoare pe }\left(0,\dfrac{1}{e}\right)\text{ și strict crescătoare pe }\left(\dfrac{1}{e},+\infty\right)\text{, deci }f(x)\geq f\left(\dfrac{1}{e}\right)
  4. Calculăm valoarea minimului: f(1e)=1eln⁡1e=1e⋅(−1)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{1}{e}\ln\dfrac{1}{e}=\dfrac{1}{e}\cdot(-1).
    f(1e)=−1e\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{1}{e}
  5. Din f(x)≥f(1e)=−1e\displaystyle f(x)\geq f\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{1}{e} obținem xln⁡x≥−1e\displaystyle x\ln x\geq -\dfrac{1}{e}. Adunând 1e\displaystyle \dfrac{1}{e} în ambii membri, obținem inegalitatea cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    xln⁡x≥−1e, deci xln⁡x+1e≥0, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\ln x\geq-\dfrac{1}{e}\text{, deci }x\ln x+\dfrac{1}{e}\geq 0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x\displaystyle f(x)=\cos x.

Arătați că ∫0π2sin⁡x f(x) dx=12\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\, f(x)\,dx=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Din enunțul comun avem f(x)=cos⁡x\displaystyle f(x)=\cos x, deci înlocuim în integrală.
    ∫0π2sin⁡x f(x) dx=∫0π2sin⁡xcos⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\, f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos x\,dx
  2. Deoarece (sin⁡x)′=cos⁡x\displaystyle (\sin x)'=\cos x, avem (12sin⁡2x)′=12⋅2sin⁡xcos⁡x=sin⁡xcos⁡x\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\sin^{2} x\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x=\sin x\cos x. Deci 12sin⁡2x\displaystyle \dfrac{1}{2}\sin^{2} x este o primitivă a funcției sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin x\cos x.
    (12sin⁡2x)′=sin⁡xcos⁡x\displaystyle \left(\frac{1}{2}\sin^{2} x\right)'=\sin x\cos x
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: integrala este diferența valorilor primitivei 12sin⁡2x\displaystyle \dfrac{1}{2}\sin^{2} x în capetele intervalului.
    ∫0π2sin⁡xcos⁡x dx=12sin⁡2x∣0π2\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos x\,dx=\frac{1}{2}\sin^{2} x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}
  4. Folosim sin⁡π2=1\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{2}=1 și sin⁡0=0\displaystyle \sin 0=0, deci obținem valoarea cerută.
    12(sin⁡2π2−sin⁡20)=12(1−0)=12\displaystyle \frac{1}{2}\left(\sin^{2}\frac{\pi}{2}-\sin^{2}0\right)=\frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x\displaystyle f(x)=\cos x.

Calculați lim⁡x→+∞1x∫0xf(t) dt\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(t)\displaystyle f(t) cu cos⁡t\displaystyle \cos t în integrală: ∫0xf(t) dt=∫0xcos⁡t dt\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt=\int_0^x \cos t\,dt. O primitivă a lui cos⁡t\displaystyle \cos t este sin⁡t\displaystyle \sin t.
    ∫0xf(t) dt=∫0xcos⁡t dt\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt=\int_0^x\cos t\,dt
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: sin⁡t∣0x=sin⁡x−sin⁡0\displaystyle \sin t\Big|_0^x=\sin x-\sin 0, iar sin⁡0=0\displaystyle \sin 0=0. Rezultă că integrala este sin⁡x\displaystyle \sin x pentru orice x\displaystyle x real.
    ∫0xf(t) dt=sin⁡t∣0x=sin⁡x−sin⁡0=sin⁡x\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt=\sin t\Big|_0^x=\sin x-\sin 0=\sin x
  3. Înlocuim integrala în limită: lim⁡x→+∞1x∫0xf(t) dt=lim⁡x→+∞sin⁡xx\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}.
    lim⁡x→+∞1x⋅sin⁡x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot\sin x
  4. Funcția sinus este mărginită: −1≤sin⁡x≤1\displaystyle -1\le \sin x\le 1. Pentru x>0\displaystyle x>0, împărțind la x\displaystyle x, obținem −1x≤sin⁡xx≤1x\displaystyle -\dfrac{1}{x}\le \dfrac{\sin x}{x}\le \dfrac{1}{x}.
    −1x≤sin⁡xx≤1x, pentru x>0\displaystyle -\frac{1}{x}\le\frac{\sin x}{x}\le\frac{1}{x}\text{, pentru }x>0
  5. Deoarece 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 și −1x→0\displaystyle -\dfrac{1}{x}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, din criteriul cleștelui rezultă că limita cerută este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞1x∫0xf(t) dt=lim⁡x→+∞1x⋅sin⁡x=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot\sin x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x\displaystyle f(x)=\cos x.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫0π2(f(x))n dx\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(f(x))^n\,dx. Demonstrați că șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\geq 1} este convergent.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[0,π2]\displaystyle x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] avem 0≤cos⁡x≤1\displaystyle 0\leq\cos x\leq 1. Deci cos⁡x−1≤0\displaystyle \cos x-1\leq 0, iar cos⁡nx≥0\displaystyle \cos^{n}x\geq 0.
    0≤cos⁡x≤1\displaystyle 0\leq\cos x\leq 1,cos⁡nx≥0\displaystyle \quad \cos^{n}x\geq 0,cos⁡x−1≤0\displaystyle \quad \cos x-1\leq 0
  2. Scriem diferența termenilor consecutivi sub o singură integrală și dăm factor comun cos⁡nx\displaystyle \cos^{n}x: In+1−In=∫0π2(cos⁡n+1x−cos⁡nx)dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos^{n+1}x-\cos^{n}x\right)dx.
    In+1−In=∫0π2cos⁡nx (cos⁡x−1) dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,(\cos x-1)\,dx
  3. Funcția de sub integrală este produsul dintre cos⁡nx≥0\displaystyle \cos^{n}x\geq 0 și cos⁡x−1≤0\displaystyle \cos x-1\leq 0, deci este ≤0\displaystyle \leq 0 pe tot intervalul. Integrala unei funcții negative sau nule este negativă sau nulă, deci In+1−In≤0\displaystyle I_{n+1}-I_n\leq 0, adică șirul este descrescător.
    In+1−In≤0⇒In+1≤In\displaystyle I_{n+1}-I_n\leq 0\Rightarrow I_{n+1}\leq I_n
  4. Deoarece cos⁡nx≥0\displaystyle \cos^{n}x\geq 0 pe [0,π2]\displaystyle \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right], integrala sa este pozitivă sau nulă, deci In≥0\displaystyle I_n\geq 0 pentru orice n\displaystyle n. Șirul este mărginit inferior de 0\displaystyle 0.
    In=∫0π2cos⁡nx dx≥0\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,dx\geq 0
  5. Un șir descrescător și mărginit inferior este convergent (teorema lui Weierstrass). Deci șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\geq 1} este convergent.
    In≥0, deci șirul (In)n≥1 este ma˘rginit inferior \displaystyle I_n\geq 0\text{, deci șirul }(I_n)_{n\geq 1}\text{ este mărginit inferior }și, fiind descresca˘tor, \displaystyle \text{și, fiind descrescător, }este convergent\displaystyle \text{este convergent}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.