Bac matematică M1 mate-info 2025, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=4+i\displaystyle z_1=4+i și z2=2−4i\displaystyle z_2=2-4i. Arătați că i⋅z1+z2=1\displaystyle i\cdot z_1+z_2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia dată și se înlocuiesc numerele complexe z1=4+i\displaystyle z_1=4+i și z2=2−4i\displaystyle z_2=2-4i.
    i⋅z1+z2=i⋅(4+i)+(2−4i)\displaystyle i\cdot z_1+z_2=i\cdot(4+i)+(2-4i)
  2. Se efectuează înmulțirea lui i\displaystyle i cu z1\displaystyle z_1, distribuind i\displaystyle i în paranteză.
    i⋅(4+i)=4i+i2\displaystyle i\cdot(4+i)=4i+i^2
  3. Se adaugă z2=2−4i\displaystyle z_2=2-4i la rezultatul obținut, scriind expresia completă înainte de simplificare.
    i⋅z1+z2=4i+i2+2−4i\displaystyle i\cdot z_1+z_2=4i+i^2+2-4i
  4. Se grupează termenii asemenea: termenii care conțin i\displaystyle i se reduc (4i−4i=0\displaystyle 4i-4i=0), iar se folosește i2=−1\displaystyle i^2=-1.
    4i+i2+2−4i=i2+2=−1+2\displaystyle 4i+i^2+2-4i=i^2+2=-1+2
  5. Se efectuează adunarea finală, obținând rezultatul cerut.
    −1+2=1\displaystyle -1+2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+5\displaystyle f(x)=x^2-3x+5. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care punctul A(a,5)\displaystyle A(a,5) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția ca punctul A(a,5)\displaystyle A(a,5) să aparțină graficului funcției f\displaystyle f, adică f(a)\displaystyle f(a) să fie egal cu ordonata punctului A\displaystyle A
    f(a)=5\displaystyle f(a)=5
  2. Calculăm f(a)\displaystyle f(a) folosind expresia funcției date
    f(a)=a2−3a+5\displaystyle f(a)=a^2-3a+5
  3. Înlocuim în condiția f(a)=5\displaystyle f(a)=5 și obținem ecuația de gradul al doilea
    a2−3a+5=5⇒a2−3a=0\displaystyle a^2-3a+5=5\Rightarrow a^2-3a=0
  4. Factorizăm expresia obținută dând factor comun pe a\displaystyle a
    a(a−3)=0\displaystyle a(a-3)=0
  5. Aplicăm proprietatea că un produs este nul dacă unul dintre factori este nul și rezolvăm cele două ecuații simple
    a=0 sau a=3\displaystyle a=0\text{ sau }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡6(7x−5)=log⁡6(x+1)+1log⁡x6\displaystyle \log_6(7x-5)=\log_6(x+1)+\dfrac{1}{\log_x 6}.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilesc condițiile de existență ale logaritmilor din ecuație: argumentele trebuie să fie strict pozitive, iar baza logaritmului log⁡x(6)\displaystyle \log_{x}(6) trebuie să fie pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1.
    7x−5>0\displaystyle 7x-5>0, x+1>0\displaystyle \ x+1>0, x>0\displaystyle \ x>0, x≠1 ⇒ x>57\displaystyle \ x\neq 1\ \Rightarrow\ x>\dfrac{5}{7}, x≠1\displaystyle \ x\neq 1
  2. Se aplică formula schimbării de bază pentru a exprima log⁡x(6)\displaystyle \log_{x}(6) în funcție de log⁡6\displaystyle \log_{6}: log⁡x(6)=ln⁡6ln⁡x=1log⁡6x\displaystyle \log_{x}(6) = \dfrac{\ln 6}{\ln x} = \dfrac{1}{\log_{6} x}, deci inversul său este chiar log⁡6x\displaystyle \log_{6} x.
    log⁡x6=1log⁡6x ⇒ 1log⁡x6=log⁡6x\displaystyle \log_x 6=\dfrac{1}{\log_6 x}\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{\log_x 6}=\log_6 x
  3. Se înlocuiește termenul obținut în ecuația inițială, transformând membrul drept într-o sumă de logaritmi de aceeași bază.
    log⁡6(7x−5)=log⁡6(x+1)+log⁡6x\displaystyle \log_6(7x-5)=\log_6(x+1)+\log_6 x
  4. Se folosește proprietatea log⁡6(x+1)+log⁡6x=log⁡6((x+1)x)\displaystyle \log_{6}(x+1)+\log_{6} x = \log_{6}((x+1)x), reducând membrul drept la un singur logaritm.
    log⁡6(7x−5)=log⁡6(x(x+1))=log⁡6(x2+x)\displaystyle \log_6(7x-5)=\log_6\big(x(x+1)\big)=\log_6(x^2+x)
  5. Deoarece funcția logaritmică este injectivă (bijectivă) pe domeniul ei de definiție, se egalează argumentele celor doi logaritmi, obținându-se o ecuație algebrică de gradul al doilea.
    log⁡6(7x−5)=log⁡6(x2+x), deci 7x−5=x2+x, de unde obținem x2−6x+5=0\displaystyle \log_6(7x-5)=\log_6(x^2+x)\text{, deci }7x-5=x^2+x\text{, de unde obținem }x^2-6x+5=0
  6. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea folosind formula discriminantului sau descompunerea în factori.
    x2−6x+5=0 ⇒ (x−1)(x−5)=0 ⇒ x=1 sau x=5\displaystyle x^2-6x+5=0\ \Rightarrow\ (x-1)(x-5)=0\ \Rightarrow\ x=1\text{ sau }x=5
  7. Se verifică fiecare soluție cu condițiile de existență stabilite inițial: x=1\displaystyle x=1 nu convine deoarece baza log⁡x(6)\displaystyle \log_{x}(6) ar deveni log⁡1(6)\displaystyle \log_{1}(6), care nu este definită (baza nu poate fi 1\displaystyle 1); x=5\displaystyle x=5 satisface toate condițiile (x>57\displaystyle x>\dfrac{5}{7}, x≠1\displaystyle x\neq 1), deci este soluția valabilă.
    x=1, care nu convine, sau x=5, care convine\displaystyle x=1\text{, care nu convine, sau }x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar al lui 9\displaystyle 9.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea numerelor naturale de două cifre: acestea sunt numerele de la 10\displaystyle 10 până la 99\displaystyle 99.
    {10,11,12,…,99}\displaystyle \{10,11,12,\ldots,99\}
  2. Se numără câte elemente are această mulțime, adică numărul cazurilor posibile.
    90 de cazuri posibile\displaystyle 90\text{ de cazuri posibile}
  3. Se determină multiplii lui 9\displaystyle 9 care au două cifre, listând valorile 9⋅k\displaystyle 9\cdot k pentru k\displaystyle k de la 2\displaystyle 2 la 11\displaystyle 11.
    18\displaystyle 18,27\displaystyle 27,36\displaystyle 36,45\displaystyle 45,54\displaystyle 54,63\displaystyle 63,72\displaystyle 72,81\displaystyle 81,90\displaystyle 90,99\displaystyle 99
  4. Dintre acești multipli, se selectează doar cei impari, deoarece cerința este multiplu impar al lui 9\displaystyle 9.
    27\displaystyle 27,45\displaystyle 45,63\displaystyle 63,81\displaystyle 81,99\displaystyle 99
  5. Se numără câte numere favorabile s-au obținut.
    5 cazuri favorabile\displaystyle 5\text{ cazuri favorabile}
  6. Se calculează probabilitatea ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi se simplifică fracția.
    p=590=118\displaystyle p=\dfrac{5}{90}=\dfrac{1}{18}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,0)\displaystyle A(2,0), B(2,4)\displaystyle B(2,4) și C(5,a)\displaystyle C(5,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că dreptele OB\displaystyle OB și AC\displaystyle AC sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește formula pantei unei drepte determinate de două puncte M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
    m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  2. Se identifică punctul O ca fiind originea reperului, O(0,0)\displaystyle O(0,0), și se scriu coordonatele lui B(2,4)\displaystyle B(2,4) pentru a calcula panta dreptei OB\displaystyle OB.
    O(0,0)\displaystyle O(0,0), B(2,4)\displaystyle \ B(2,4)
  3. Se calculează panta dreptei OB\displaystyle OB folosind formula pantei.
    mOB=4−02−0=2\displaystyle m_{OB}=\dfrac{4-0}{2-0}=2
  4. Se scriu coordonatele punctelor A(2,0)\displaystyle A(2,0) și C(5,a)\displaystyle C(5,a) pentru a calcula panta dreptei AC\displaystyle AC.
    A(2,0)\displaystyle A(2,0), C(5,a)\displaystyle \ C(5,a)
  5. Se calculează panta dreptei AC\displaystyle AC folosind formula pantei.
    mAC=a−05−2=a3\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a-0}{5-2}=\dfrac{a}{3}
  6. Se pune condiția de paralelism dintre dreptele OB\displaystyle OB și AC\displaystyle AC, adică egalitatea pantelor lor, și se rezolvă ecuația obținută pentru a determina valoarea lui a\displaystyle a.
    mAC=a3 și, cum mOB=mAC, obținem a=6\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a}{3}\text{ și, cum }m_{OB}=m_{AC}\text{, obținem }a=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, cu AB=6\displaystyle AB=6, BC=10\displaystyle BC=10 și cos⁡B=45\displaystyle \cos B=\dfrac{4}{5}. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 18\displaystyle 18.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu datele cunoscute ale problemei: lungimile a două laturi ale triunghiului și cosinusul unghiului cuprins între ele.
    AB=6\displaystyle AB=6, BC=10\displaystyle \ BC=10, cos⁡B=45\displaystyle \ \cos B=\dfrac{4}{5}
  2. Se aplică relația fundamentală a trigonometriei pentru unghiul B\displaystyle B, pentru a exprima sinusul în funcție de cosinus.
    sin⁡2B+cos⁡2B=1⇒sin⁡2B=1−cos⁡2B\displaystyle \sin^2 B+\cos^2 B=1\Rightarrow \sin^2 B=1-\cos^2 B
  3. Se înlocuiește valoarea lui cos⁡B\displaystyle \cos B și se calculează sin⁡2B\displaystyle \sin^{2} B.
    sin⁡2B=1−(45)2=1−1625=925\displaystyle \sin^2 B=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}
  4. Se extrage radical, iar cum B\displaystyle B este unghi într-un triunghi cu cos⁡B\displaystyle \cos B pozitiv, B\displaystyle B este ascuțit, deci sin⁡B\displaystyle \sin B este pozitiv.
    sin⁡B=925=35\displaystyle \sin B=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}
  5. Se aplică formula ariei triunghiului cu două laturi și unghiul dintre ele, folosind laturile AB\displaystyle AB, BC\displaystyle BC și unghiul B\displaystyle B.
    AABC=AB⋅BC⋅sin⁡B2\displaystyle \mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{AB\cdot BC\cdot\sin B}{2}
  6. Se înlocuiesc valorile numerice și se calculează aria triunghiului.
    AABC=12⋅6⋅10⋅35=18\displaystyle \mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot10\cdot\dfrac{3}{5}=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, A=(001−1000−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix} și B(x)=(1x001x−x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x&0\\0&1&x\\-x&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem explicit matricea A\displaystyle A ale cărei elemente le vom folosi în calculul determinantului.
    A=(001−1000−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus: rescriem primele două coloane ale matricei alături de matrice, pentru a identifica cele 3\displaystyle 3 diagonale principale și cele 3\displaystyle 3 diagonale secundare.
    00100−100−100−100−1\displaystyle \begin{array}{ccc|cc}0&0&1&0&0\\-1&0&0&-1&0\\0&-1&0&0&-1\end{array}
  3. Calculăm produsele elementelor de pe cele trei diagonale principale (de la stânga-sus la dreapta-jos).
    a11a22a33=0⋅0⋅0=0\displaystyle a_{11}a_{22}a_{33}=0\cdot0\cdot0=0, a12a23a31=0⋅0⋅0=0\displaystyle \ a_{12}a_{23}a_{31}=0\cdot0\cdot0=0, a13a21a32=1⋅(−1)⋅(−1)=1\displaystyle \ a_{13}a_{21}a_{32}=1\cdot(-1)\cdot(-1)=1
  4. Calculăm produsele elementelor de pe cele trei diagonale secundare (de la dreapta-sus la stânga-jos).
    a13a22a31=1⋅0⋅0=0\displaystyle a_{13}a_{22}a_{31}=1\cdot0\cdot0=0, a11a23a32=0⋅0⋅(−1)=0\displaystyle \ a_{11}a_{23}a_{32}=0\cdot0\cdot(-1)=0, a12a21a33=0⋅(−1)⋅0=0\displaystyle \ a_{12}a_{21}a_{33}=0\cdot(-1)\cdot0=0
  5. Scriem formula lui Sarrus completă, înlocuind fiecare produs calculat mai sus: suma produselor diagonalelor principale minus suma produselor diagonalelor secundare.
    det⁡A=∣001−1000−10∣=0⋅0⋅0+(−1)⋅(−1)⋅1+0⋅0⋅0−1⋅0⋅0−(−1)⋅0⋅0−(−1)⋅0⋅0=\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{vmatrix}=0\cdot0\cdot0+(-1)\cdot(-1)\cdot1+0\cdot0\cdot0-1\cdot0\cdot0-(-1)\cdot0\cdot0-(-1)\cdot0\cdot0=
  6. Efectuăm calculele numerice și obținem valoarea finală a determinantului.
    =0+1+0−0−0−0=1\displaystyle =0+1+0-0-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, A=(001−1000−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix} și B(x)=(1x001x−x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x&0\\0&1&x\\-x&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A−B(x)⋅A=xI3\displaystyle A-B(x)\cdot A=xI_3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu matricele A\displaystyle A și B(x)\displaystyle B(x) și se stabilește ordinea înmulțirii: se calculează produsul B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A, înmulțind fiecare linie a lui B(x)\displaystyle B(x) cu fiecare coloană a lui A\displaystyle A.
    B(x)=(1x001x−x01), A=(001−1000−10)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x&0\\0&1&x\\-x&0&1\end{pmatrix}\text{, }A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}
  2. Se calculează prima linie a produsului B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A, înmulțind linia (1,x,0)\displaystyle (1,x,0) cu fiecare coloană a lui A\displaystyle A.
    (1,x,0)⋅A=(1⋅0+x⋅(−1)+0⋅0, 1⋅0+x⋅0+0⋅(−1), 1⋅1+x⋅0+0⋅0)=(−x,0,1)\displaystyle (1,x,0)\cdot A=(1\cdot0+x\cdot(-1)+0\cdot0,\ 1\cdot0+x\cdot0+0\cdot(-1),\ 1\cdot1+x\cdot0+0\cdot0)=(-x,0,1)
  3. Se calculează a doua linie a produsului B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A, înmulțind linia (0,1,x)\displaystyle (0,1,x) cu fiecare coloană a lui A\displaystyle A.
    (0,1,x)⋅A=(0⋅0+1⋅(−1)+x⋅0, 0⋅0+1⋅0+x⋅(−1), 0⋅1+1⋅0+x⋅0)=(−1,−x,0)\displaystyle (0,1,x)\cdot A=(0\cdot0+1\cdot(-1)+x\cdot0,\ 0\cdot0+1\cdot0+x\cdot(-1),\ 0\cdot1+1\cdot0+x\cdot0)=(-1,-x,0)
  4. Se calculează a treia linie a produsului B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A, înmulțind linia (−x,0,1)\displaystyle (-x,0,1) cu fiecare coloană a lui A\displaystyle A.
    (−x,0,1)⋅A=(−x⋅0+0⋅(−1)+1⋅0, −x⋅0+0⋅0+1⋅(−1), −x⋅1+0⋅0+1⋅0)=(0,−1,−x)\displaystyle (-x,0,1)\cdot A=(-x\cdot0+0\cdot(-1)+1\cdot0,\ -x\cdot0+0\cdot0+1\cdot(-1),\ -x\cdot1+0\cdot0+1\cdot0)=(0,-1,-x)
  5. Se centralizează cele trei linii obținute pentru a forma matricea produs B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A, apoi se scade acest produs din matricea A\displaystyle A, calculând diferența element cu element.
    B(x)⋅A=(−x01−1−x00−1−x), A−B(x)⋅A=(0−(−x)0−01−1−1−(−1)0−(−x)0−00−0−1−(−1)0−(−x))=(x000x000x)=\displaystyle B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}-x&0&1\\-1&-x&0\\0&-1&-x\end{pmatrix}\text{, }A-B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}0-(-x)&0-0&1-1\\-1-(-1)&0-(-x)&0-0\\0-0&-1-(-1)&0-(-x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&0&0\\0&x&0\\0&0&x\end{pmatrix}=
  6. Se scoate factor comun x\displaystyle x din matricea obținută, recunoscând că matricea rămasă este matricea unitate I3\displaystyle I_3, obținându-se astfel egalitatea cerută, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    =x(100010001)=xI3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle =x\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=xI_3\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, A=(001−1000−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix} și B(x)=(1x001x−x01)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x&0\\0&1&x\\-x&0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea C(x)\displaystyle C(x) astfel încât A⋅C(x)=B(x)\displaystyle A\cdot C(x)=B(x). Arătați că C(x)−C(y)=(y−x)A\displaystyle C(x)-C(y)=(y-x)A, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează determinantul matricei A\displaystyle A, pentru a verifica dacă aceasta este inversabilă.
    det⁡(A)=0⋅(0⋅0−0⋅(−1))−0⋅((−1)⋅0−0⋅0)+1⋅((−1)⋅(−1)−0⋅0)=1≠0\displaystyle \det(A)=0\cdot(0\cdot0-0\cdot(-1))-0\cdot((-1)\cdot0-0\cdot0)+1\cdot((-1)\cdot(-1)-0\cdot0)=1\neq0
  2. Fiind det⁡(A)=1≠0\displaystyle \det(A)=1\neq0, matricea A\displaystyle A este inversabilă. Se determină matricea adjunctă (transpusa matricei cofactorilor) și se obține A−1=1det⁡(A)⋅A∗\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot A^{*}.
    A−1=(0−1000−1100)\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{pmatrix}
  3. Se verifică rezultatul obținut, arătând că produsul A⋅A−1\displaystyle A\cdot A^{-1} este egal cu matricea unitate I3\displaystyle I_3.
    A⋅A−1=(001−1000−10)⋅(0−1000−1100)=(100010001)=I3\displaystyle A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3
  4. Se calculează produsul C(x)=A−1⋅B(x)\displaystyle C(x)=A^{-1}\cdot B(x), înmulțind fiecare linie a lui A−1\displaystyle A^{-1} cu fiecare coloană a lui B(x)\displaystyle B(x).
    C(x)=A−1⋅B(x)=(0−1000−1100)⋅(1x001x−x01)=(0−1−xx0−11x0), pentru orice numa˘r real x\displaystyle C(x)=A^{-1}\cdot B(x)=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&x&0\\0&1&x\\-x&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1&-x\\x&0&-1\\1&x&0\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x
  5. Se scriu matricele C(x)\displaystyle C(x) și C(y)\displaystyle C(y) folosind rezultatul anterior (pentru un al doilea număr real y\displaystyle y) și se calculează diferența lor element cu element.
    C(x)−C(y)=(0−1−xx0−11x0)−(0−1−yy0−11y0)=(00−x+yx−y000x−y0)\displaystyle C(x)-C(y)=\begin{pmatrix}0&-1&-x\\x&0&-1\\1&x&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&-1&-y\\y&0&-1\\1&y&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&-x+y\\x-y&0&0\\0&x-y&0\end{pmatrix}
  6. Se observă că matricea obținută se poate scrie ca produsul dintre scalarul (y−x)\displaystyle (y-x) și matricea A\displaystyle A, obținând astfel forma finală a diferenței.
    C(x)−C(y)=(00−x+yx−y000x−y0)=(y−x)(001−1000−10)=(y−x)A, pentru orice numere \displaystyle C(x)-C(y)=\begin{pmatrix}0&0&-x+y\\x-y&0&0\\0&x-y&0\end{pmatrix}=(y-x)\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}=(y-x)A\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2y+xy2+x+y\displaystyle x*y=x^2y+xy^2+x+y.

Arătați că 1∗3=16\displaystyle 1*3=16.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3 care trebuie înlocuite.
    x∗y=x2y+xy2+x+y\displaystyle x*y=x^2y+xy^2+x+y, unde x=1\displaystyle \text{ unde }x=1, y=3\displaystyle \ y=3
  2. Se înlocuiesc valorile x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3 în formula legii de compoziție.
    1∗3=12⋅3+1⋅32+1+3=\displaystyle 1*3=1^2\cdot3+1\cdot3^2+1+3=
  3. Se calculează fiecare termen: 12⋅3=3\displaystyle 1^2\cdot 3=3, 1⋅32=9\displaystyle 1\cdot 3^2=9, iar termenii rămași sunt 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3.
    12⋅3=3\displaystyle 1^2\cdot3=3, 1⋅32=9\displaystyle \ 1\cdot3^2=9, 1+3=4\displaystyle \ 1+3=4
  4. Se adună toți termenii obținuți pentru a determina rezultatul final.
    =3+9+4=16\displaystyle =3+9+4=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2y+xy2+x+y\displaystyle x*y=x^2y+xy^2+x+y.

Determinați numerele reale nenule x\displaystyle x pentru care x∗2x=9x\displaystyle x*\dfrac{2}{x}=9x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru elementele x\displaystyle x și 2x\displaystyle \dfrac{2}{x}, unde x\displaystyle x este un număr real nenul (pentru ca 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} să aibă sens).
    x∗2x=x2⋅2x+x⋅(2x)2+x+2x\displaystyle x*\dfrac{2}{x}=x^2\cdot\dfrac{2}{x}+x\cdot\left(\dfrac{2}{x}\right)^2+x+\dfrac{2}{x}
  2. Se simplifică fiecare termen: x2⋅2x=2x\displaystyle x^2 \cdot \dfrac{2}{x} = 2x, iar x⋅4x2=4x\displaystyle x \cdot \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{4}{x}.
    x∗2x=2x+4x+x+2x\displaystyle x*\dfrac{2}{x}=2x+\dfrac{4}{x}+x+\dfrac{2}{x}
  3. Se adună termenii asemenea: 2x+x=3x\displaystyle 2x+x=3x, iar 4x+2x=6x\displaystyle \dfrac{4}{x}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{6}{x}, apoi se aduce la același numitor.
    x∗2x=3x+6x=3x2+6x, pentru orice numa˘r real \displaystyle x*\dfrac{2}{x}=3x+\dfrac{6}{x}=\dfrac{3x^2+6}{x}\text{, pentru orice număr real }nenul x\displaystyle \text{nenul }x
  4. Se pune condiția ca acest rezultat să fie egal cu 9x\displaystyle 9x, obținând ecuația de rezolvat.
    3x2+6x=9x\displaystyle \dfrac{3x^2+6}{x}=9x
  5. Se înmulțește ecuația cu x\displaystyle x (nenul) pentru a elimina numitorul.
    3x2+6=9x2\displaystyle 3x^2+6=9x^2
  6. Se reduc termenii asemenea: 9x2−3x2=6\displaystyle 9x^2-3x^2=6, apoi se împarte prin 6\displaystyle 6 pentru a obține x2=1\displaystyle x^2=1.
    6x2=6⇒x2=1\displaystyle 6x^2=6\Rightarrow x^2=1
  7. Se rezolvă ecuația x2=1\displaystyle x^{2}=1, obținând cele două soluții, ambele nenule, deci verifică domeniul de definiție.
    x2=1⇒x=−1 sau x=1, care convin\displaystyle x^2=1\Rightarrow x=-1\text{ sau }x=1\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2y+xy2+x+y\displaystyle x*y=x^2y+xy^2+x+y.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere întregi, cu m≤n\displaystyle m\le n, pentru care m∗n=1\displaystyle m*n=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție și observăm că termenii pot fi grupați factorizând: x2y+xy2=xy(x+y)\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=xy(x+y), iar restul rămâne x+y\displaystyle x+y.
    x∗y=x2y+xy2+x+y=xy(x+y)+(x+y)\displaystyle x*y=x^2y+xy^2+x+y=xy(x+y)+(x+y)
  2. Scoatem factor comun pe (x+y)\displaystyle (x+y) din cei doi termeni obținuți, rezultând forma factorizată a legii de compoziție.
    x∗y=(x+y)(xy+1), pentru orice numere \displaystyle x*y=(x+y)(xy+1)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
  3. Particularizăm rezultatul pentru două numere întregi m\displaystyle m și n\displaystyle n, obținând forma cerută în barem.
    m∗n=(m+n)(mn+1), pentru orice numere \displaystyle m*n=(m+n)(mn+1)\text{, pentru orice numere }ıˆntregi m și n\displaystyle \text{întregi }m\text{ și }n
  4. Punem condiția din enunț, m∗n=1\displaystyle m*n=1, și înlocuim expresia factorizată obținută anterior.
    m∗n=1⇒(m+n)(mn+1)=1\displaystyle m*n=1\Rightarrow (m+n)(mn+1)=1
  5. Deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere întregi, atât m+n\displaystyle m+n, cât și mn+1\displaystyle mn+1 sunt numere întregi. Cum produsul lor este 1\displaystyle 1, singurele posibilități sunt ca ambii factori să fie 1\displaystyle 1 sau ambii să fie −1\displaystyle -1.
    {m+n=1mn+1=1 sau {m+n=−1mn+1=−1\displaystyle \begin{cases}m+n=1\\mn+1=1\end{cases}\text{ sau }\begin{cases}m+n=-1\\mn+1=-1\end{cases}
  6. Rezolvăm primul caz: din mn+1=1\displaystyle mn+1=1 obținem mn=0\displaystyle mn=0, iar din m+n=1\displaystyle m+n=1 obținem sistemul m+n=1,mn=0\displaystyle m+n=1, mn=0, ale cărui soluții sunt m=0,n=1\displaystyle m=0,n=1 sau m=1,n=0\displaystyle m=1,n=0.
    m+n=1, mn=0⇒(m,n)∈{(0,1),(1,0)}\displaystyle m+n=1\text{, }mn=0\Rightarrow (m,n)\in\{(0,1),(1,0)\}
  7. Rezolvăm al doilea caz: din mn+1=−1\displaystyle mn+1=-1 obținem mn=−2\displaystyle mn=-2, iar din m+n=−1\displaystyle m+n=-1 obținem sistemul m+n=−1,mn=−2\displaystyle m+n=-1, mn=-2. Rădăcinile ecuației t2+t−2=0\displaystyle t^{2}+t-2=0 sunt t=1\displaystyle t=1 și t=−2\displaystyle t=-2, deci soluțiile sunt m=−2,n=1\displaystyle m=-2,n=1 sau m=1,n=−2\displaystyle m=1,n=-2.
    m+n=−1, mn=−2⇒(m,n)∈{(−2,1),(1,−2)}\displaystyle m+n=-1\text{, }mn=-2\Rightarrow (m,n)\in\{(-2,1),(1,-2)\}
  8. Impunem condiția suplimentară m≤n\displaystyle m\le n pentru a elimina soluțiile duplicate (perechile fiind simetrice), obținând soluțiile finale ale problemei.
    (m+n)(mn+1)=1 și, cum m și n sunt numere ıˆntregi, cu m≤n, obținem perechile (0,1) și (−2,1)\displaystyle (m+n)(mn+1)=1\text{ și, cum }m\text{ și }n\text{ sunt numere întregi, cu }m\le n\text{, obținem perechile }(0,1)\text{ și }(-2,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx3\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{x^3}.

Arătați că f′(x)=1−3ln⁡xx4\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-3\ln x}{x^4}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile u\displaystyle u și v\displaystyle v pentru aplicarea formulei de derivare a câtului: u(x)=ln⁡x\displaystyle u(x)=\ln x, v(x)=x3\displaystyle v(x)=x^{3}, cu derivatele u′(x)=1x\displaystyle u'(x)=\dfrac{1}{x} și v′(x)=3x2\displaystyle v'(x)=3x^{2}.
    u(x)=ln⁡x\displaystyle u(x)=\ln x, u′(x)=1x\displaystyle \ u'(x)=\dfrac{1}{x}, v(x)=x3\displaystyle \ v(x)=x^3, v′(x)=3x2\displaystyle \ v'(x)=3x^2
  2. Se aplică formula de derivare a câtului, (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, înlocuind expresiile lui u\displaystyle u, u′\displaystyle u', v\displaystyle v, v′\displaystyle v'.
    f′(x)=1x⋅x3−3x2ln⁡xx6=\displaystyle f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x^3-3x^2\ln x}{x^6}=
  3. Se simplifică termenul (1x)⋅x3\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)\cdot x^{3} la numărător, obținând x2\displaystyle x^{2}.
    f′(x)=x2−3x2ln⁡xx6\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2-3x^2\ln x}{x^6}
  4. Se dă factor comun x2\displaystyle x^{2} la numărător și se simplifică cu x6\displaystyle x^{6} de la numitor, obținând forma finală a derivatei.
    =x2−3x2ln⁡xx6=1−3ln⁡xx4, x∈(0,+∞)\displaystyle =\dfrac{x^2-3x^2\ln x}{x^6}=\dfrac{1-3\ln x}{x^4}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx3\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{x^3}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Analizăm comportarea funcției f\displaystyle f atunci când x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty, pentru a stabili dacă graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty. Observăm că atât numărătorul cât și numitorul tind la +∞\displaystyle +\infty, deci limita are forma nedeterminată ∞∞\displaystyle \frac{\infty}{\infty}.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞ln⁡xx3=∞∞ (caz de nedeterminare)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^3}=\dfrac{\infty}{\infty}\text{ (caz de nedeterminare)}
  2. Fiind o nedeterminare de tip ∞∞\displaystyle \frac{\infty}{\infty}, aplicăm regula lui l'Hôpital: derivăm separat numărătorul și numitorul funcției.
    (ln⁡x)′=1x, (x3)′=3x2\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}\text{, }(x^3)'=3x^2
  3. Înlocuim derivatele obținute în raport și simplificăm expresia rezultată, apoi calculăm limita.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞ln⁡xx3=lim⁡x→+∞1x3x2=lim⁡x→+∞13x3=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^3}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{3x^2}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{3x^3}=0
  4. Deoarece limita funcției la +∞\displaystyle +\infty este finită (egală cu 0\displaystyle 0), rezultă că graficul funcției f\displaystyle f admite asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    Dreapta de ecuație y=0 este asimptota orizontala˘ \displaystyle \text{Dreapta de ecuație }y=0\text{ este asimptota orizontală }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx3\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{x^3}.

Determinați mulțimea numerelor reale m\displaystyle m pentru care ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are cel puțin o soluție.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină domeniul de definiție și se calculează derivata funcției f\displaystyle f folosind regula de derivare a câtului.
    f′(x)=1x⋅x3−ln⁡x⋅3x2x6=x2(1−3ln⁡x)x6=1−3ln⁡xx4\displaystyle f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x^3-\ln x\cdot 3x^2}{x^6}=\dfrac{x^2(1-3\ln x)}{x^6}=\dfrac{1-3\ln x}{x^4},x>0\displaystyle \quad x>0
  2. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 pentru a găsi punctul critic.
    f′(x)=0⇔1−3ln⁡x=0⇔ln⁡x=13⇔x=e1/3=e3\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow 1-3\ln x=0\Leftrightarrow \ln x=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=e^{1/3}=\sqrt[3]{e}
  3. Se studiază semnul derivatei pe cele două intervale determinate de punctul critic, ținând cont că x4>0\displaystyle x^4>0 pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    1−3ln⁡x≥0⇔ln⁡x≤13⇔x≤e3, respectiv 1−3ln⁡x≤0⇔x≥e3\displaystyle 1-3\ln x\ge0\Leftrightarrow \ln x\le\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x\le\sqrt[3]{e}\text{, respectiv }1-3\ln x\le0\Leftrightarrow x\ge\sqrt[3]{e}
  4. Se conclude monotonia funcției f\displaystyle f pe baza semnului derivatei.
    f′(x)=0⇒x=e3; pentru orice x∈(0,e3]\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{e}\text{; pentru orice }x\in(0,\sqrt[3]{e}],f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe (0,e3] și, pentru orice x∈[e3,+∞)\displaystyle f'(x)\ge0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }(0,\sqrt[3]{e}]\text{ și, pentru orice }x\in[\sqrt[3]{e},+\infty),f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [e3,+∞)\displaystyle f'(x)\le0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[\sqrt[3]{e},+\infty)
  5. Se calculează valoarea funcției în punctul de extrem, care este maxim local (deci și global pe domeniu, fiind punct de schimbare a monotoniei crescător-descrescător).
    f(e3)=ln⁡(e3)(e3)3=13e=13e\displaystyle f(\sqrt[3]{e})=\dfrac{\ln(\sqrt[3]{e})}{(\sqrt[3]{e})^3}=\dfrac{\frac{1}{3}}{e}=\dfrac{1}{3e}
  6. Se calculează limita funcției f\displaystyle f la capătul din stânga al domeniului, x\displaystyle x tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡xx3=−∞0+=−∞\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{x^3}=\dfrac{-\infty}{0^+}=-\infty
  7. Se calculează limita funcției f\displaystyle f la capătul din dreapta al domeniului, x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty, pentru a determina comportarea pe intervalul de descreștere.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞ln⁡xx3=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^3}=0
  8. Se sintetizează rezultatele: limita la 0\displaystyle 0 este −∞\displaystyle -\infty, valoarea maximă este 13e\displaystyle \dfrac{1}{3e}, funcția este continuă (fiind raport de funcții continue cu numitor nenul), deci pe fiecare interval de monotonie, folosind proprietatea lui Darboux, f\displaystyle f ia toate valorile dintre limitele sale; reunind cele două imagini, (−∞,13e]\displaystyle (-\infty,\dfrac{1}{3e}] și (0,13e]\displaystyle (0,\dfrac{1}{3e}], se obține mulțimea valorilor m\displaystyle m pentru care ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are cel puțin o soluție.
    lim⁡x→0f(x)=−∞, f(e3)=13e și f este continua˘, deci \displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=-\infty\text{, }f(\sqrt[3]{e})=\dfrac{1}{3e}\text{ și }f\text{ este continuă, deci }mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x)=m are cel puțin o soluție \displaystyle \text{mulțimea numerelor reale }m\text{ pentru care ecuația }f(x)=m\text{ are cel puțin o soluție }este (−∞,13e]\displaystyle \text{este }\left(-\infty,\dfrac{1}{3e}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+x2−1\displaystyle f(x)=e^x+x^2-1.

Arătați că ∫14(f(x)−ex)dx=18\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{4}\left(f(x)-e^x\right)dx=18.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia f(x)−ex\displaystyle f(x)-e^{x} folosind definiția funcției f\displaystyle f, observând că termenul ex\displaystyle e^{x} se reduce.
    f(x)−ex=(ex+x2−1)−ex=x2−1\displaystyle f(x)-e^{x}=\left(e^{x}+x^{2}-1\right)-e^{x}=x^{2}-1
  2. Se înlocuiește integrandul simplificat în integrala dată și se determină o primitivă a funcției x2−1\displaystyle x^{2}-1.
    ∫14(f(x)−ex)dx=∫14(x2−1)dx=(x33−x)∣14=\displaystyle \int_{1}^{4}(f(x)-e^x)dx=\int_{1}^{4}(x^2-1)dx=\left.\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)\right|_1^4=
  3. Se evaluează primitiva în capătul superior al intervalului, x=4\displaystyle x=4.
    (433−4)=643−4\displaystyle \left(\dfrac{4^3}{3}-4\right)=\dfrac{64}{3}-4
  4. Se evaluează primitiva în capătul inferior al intervalului, x=1\displaystyle x=1.
    (133−1)=13−1\displaystyle \left(\dfrac{1^3}{3}-1\right)=\dfrac{1}{3}-1
  5. Se aplică formula Leibniz-Newton, scăzând valoarea primitivei în x=1\displaystyle x=1 din valoarea ei în x=4\displaystyle x=4, și se simplifică rezultatul.
    =643−4−(13−1)=18\displaystyle =\dfrac{64}{3}-4-\left(\dfrac{1}{3}-1\right)=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+x2−1\displaystyle f(x)=e^x+x^2-1.

Arătați că ∫12exf(x)−x2dx=ln⁡(e+1)\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{e^x}{f(x)-x^2}dx=\ln(e+1).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează expresia f(x)−x2\displaystyle f(x)-x^2, pornind de la formula funcției date.
    f(x)−x2=ex+x2−1−x2=ex−1\displaystyle f(x)-x^2=e^x+x^2-1-x^2=e^x-1
  2. Se înlocuiește în integrală expresia obținută, rescriind integrandul.
    ∫12exf(x)−x2dx=∫12exex−1dx\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{e^x}{f(x)-x^2}dx=\int_{1}^{2}\dfrac{e^x}{e^x-1}dx
  3. Se observă că numărătorul este derivata numitorului, deoarece (ex−1)′=ex\displaystyle (e^x-1)'=e^x, deci integrandul este de forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u}.
    exex−1=(ex−1)′ex−1\displaystyle \dfrac{e^x}{e^x-1}=\dfrac{(e^x-1)'}{e^x-1}
  4. Se recunoaște o primitivă de tipul ln⁡∣u∣\displaystyle \ln|u| pentru u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u}, obținându-se ln⁡(ex−1)\displaystyle \ln(e^x-1) ca primitivă, apoi se aplică formula Leibniz-Newton pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫12exf(x)−x2dx=∫12exex−1dx=∫12(ex−1)′ex−1dx=ln⁡(ex−1)∣12=\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{e^x}{f(x)-x^2}dx=\int_{1}^{2}\dfrac{e^x}{e^x-1}dx=\int_{1}^{2}\dfrac{(e^x-1)'}{e^x-1}dx=\left.\ln(e^x-1)\right|_1^2=
  5. Se evaluează primitiva la capetele intervalului, se scad valorile obținute și se simplifică diferența de logaritmi folosind proprietatea ln⁡a−ln⁡b=ln⁡(ab)\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right), iar apoi se simplifică fracția e2−1e−1=e+1\displaystyle \dfrac{e^2-1}{e-1}=e+1.
    =ln⁡(e2−1)−ln⁡(e−1)=ln⁡(e2−1e−1)=ln⁡(e+1)\displaystyle =\ln(e^2-1)-\ln(e-1)=\ln\left(\dfrac{e^2-1}{e-1}\right)=\ln(e+1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+x2−1\displaystyle f(x)=e^x+x^2-1.

Demonstrați că ∫01xf(x)+1dx≤1−2e\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x}{f(x)+1}dx\le1-\dfrac{2}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează expresia f(x)+1\displaystyle f(x)+1, pornind de la definiția funcției date.
    f(x)+1=ex+x2−1+1=ex+x2\displaystyle f(x)+1=e^{x}+x^{2}-1+1=e^{x}+x^{2}
  2. Se scrie integrala cerută folosind expresia obținută pentru f(x)+1\displaystyle f(x)+1.
    ∫01xf(x)+1dx=∫01xex+x2dx\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x}{f(x)+1}dx=\int_{0}^{1}\dfrac{x}{e^{x}+x^{2}}dx
  3. Se observă că, pentru orice x din [0,1]\displaystyle [0,1], x2\displaystyle x^2 este nenegativ, deci numitorul ex+x2\displaystyle e^x+x^2 este mai mare sau egal decât ex\displaystyle e^x.
    x2≥0, pentru orice x∈[0,1]⇒ex+x2≥ex, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle x^{2}\ge0\text{, pentru orice }x\in[0,1]\Rightarrow e^{x}+x^{2}\ge e^{x}\text{, pentru orice }x\in[0,1]
  4. Cum x\displaystyle x este nenegativ pe [0,1]\displaystyle [0,1] și numitorul din stânga este mai mare, fracția xex+x2\displaystyle \frac{x}{e^x+x^2} este mai mică sau egală decât xex=xe−x\displaystyle \frac{x}{e^x} = x e^{-x}.
    xex+x2≤xex=xe−x, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle \dfrac{x}{e^{x}+x^{2}}\le\dfrac{x}{e^{x}}=xe^{-x}\text{, pentru orice }x\in[0,1]
  5. Se integrează inegalitatea obținută pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1], păstrându-se sensul inegalității, obținându-se relația cerută de barem.
    ∫01xf(x)+1dx=∫01xex+x2dx≤∫01xe−xdx\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x}{f(x)+1}dx=\int_{0}^{1}\dfrac{x}{e^{x}+x^{2}}dx\le\int_{0}^{1}xe^{-x}dx
  6. Se calculează integrala din dreapta prin integrare prin părți, observând că e−x=(−e−x)′\displaystyle e^{-x}=(-e^{-x})'.
    ∫01xe−xdx=∫01x(−e−x)′dx\displaystyle \int_{0}^{1}xe^{-x}dx=\int_{0}^{1}x\left(-e^{-x}\right)'dx
  7. Se aplică formula de integrare prin părți: integrala devine produsul evaluat la capete minus integrala derivatei lui x\displaystyle x înmulțită cu −e−x\displaystyle -e^{-x}, care se simplifică la o primitivă.
    ∫01x(−e−x)′dx=−xe−x∣01+∫01e−xdx=−e−x(x+1)∣01\displaystyle \int_{0}^{1}x\left(-e^{-x}\right)'dx=\left.-xe^{-x}\right|_0^1+\int_{0}^{1}e^{-x}dx=\left.-e^{-x}(x+1)\right|_0^1
  8. Se evaluează primitiva obținută la capetele intervalului [0,1]\displaystyle [0,1] și se calculează valoarea numerică finală, obținându-se rezultatul cerut de barem.
    ∫01xe−xdx=−e−x(x+1)∣01=(−e−1⋅2)−(−1⋅1)=1−2e, deci ∫01xf(x)+1dx≤1−2e\displaystyle \int_{0}^{1}xe^{-x}dx=\left.-e^{-x}(x+1)\right|_0^1=\left(-e^{-1}\cdot2\right)-\left(-1\cdot1\right)=1-\dfrac{2}{e}\text{, deci }\int_{0}^{1}\dfrac{x}{f(x)+1}dx\le1-\dfrac{2}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.