Bac matematică M1 mate-info 2026, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care numerele x\displaystyle x, 8\displaystyle 8 și 2x+1\displaystyle 2x+1 sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția ca numerele x\displaystyle x, 8\displaystyle 8, 2x+1\displaystyle 2x+1 să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice: termenul din mijloc este media aritmetică a celorlalți doi termeni.
    8=x+(2x+1)2\displaystyle 8=\frac{x+(2x+1)}{2}
  2. Se rescrie relația de mai sus în forma cerută de barem, cu suma termenilor vecini împărțită la 2\displaystyle 2.
    x+2x+12=8\displaystyle \frac{x+2x+1}{2}=8
  3. Se elimină numitorul, înmulțind ambii membri ai ecuației cu 2\displaystyle 2.
    x+2x+1=16\displaystyle x+2x+1=16
  4. Se reduc termenii asemenea din membrul stâng al ecuației.
    3x+1=16\displaystyle 3x+1=16
  5. Se izolează termenul cu x\displaystyle x, scăzând 1\displaystyle 1 din ambii membri.
    3x=15\displaystyle 3x=15
  6. Se împarte ecuația la 3\displaystyle 3 pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x.
    x=5\displaystyle x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1 și g:R→R\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x+4\displaystyle g(x)=x+4. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care (f∘g)(a)=−a\displaystyle (f\circ g)(a)=-a.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează g(a)\displaystyle g(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției g\displaystyle g.
    g(a)=a+4\displaystyle g(a)=a+4
  2. Se calculează (f∘g)(a)=f(g(a))\displaystyle (f\circ g)(a) = f(g(a)) înlocuind x\displaystyle x cu g(a)\displaystyle g(a) în expresia funcției f\displaystyle f.
    (f∘g)(a)=f(a+4)=2(a+4)+1=2a+9\displaystyle (f\circ g)(a)=f(a+4)=2(a+4)+1=2a+9
  3. Se scrie ecuația dată în enunț folosind expresia obținută pentru compunere.
    2a+9=−a\displaystyle 2a+9=-a
  4. Se grupează termenii care conțin necunoscuta a\displaystyle a într-o parte a ecuației.
    2a+a=−9\displaystyle 2a+a=-9
  5. Se reduc termenii asemenea, obținându-se o ecuație liniară simplă.
    3a=−9\displaystyle 3a=-9
  6. Se rezolvă ecuația liniară, împărțind ambii membri prin 3\displaystyle 3, obținându-se valoarea lui a\displaystyle a.
    a=−3\displaystyle a=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log⁡5x=log⁡5(4x+5)\displaystyle 2\log_5 x = \log_5(4x+5).
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilesc condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive.
    x>0 și 4x+5>0\displaystyle x>0\text{ și }4x+5>0
  2. Se observă că a doua condiție este automat satisfăcută dacă prima este îndeplinită, deci domeniul de valabilitate este x>0\displaystyle x>0.
    x>0\displaystyle x>0
  3. Se folosește proprietatea logaritmului: 2log⁡5x=log⁡5x2\displaystyle 2\log_{5}x=\log_{5}x^{2}, iar ecuația devine log⁡5x2=log⁡5(4x+5)\displaystyle \log_{5}x^{2}=\log_{5}(4x+5). Cum funcția logaritm este injectivă, argumentele sunt egale, obținându-se ecuația de gradul doi.
    log⁡5x2=log⁡5(4x+5)⇒x2−4x−5=0\displaystyle \log_5 x^2 = \log_5(4x+5) \Rightarrow x^2-4x-5=0
  4. Se calculează discriminantul ecuației de gradul doi obținute.
    Δ=(−4)2−4⋅1⋅(−5)=16+20=36\displaystyle \Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36
  5. Se rezolvă ecuația de gradul doi folosind formula rădăcinilor.
    x1,2=4±362=4±62⇒x1=5\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{4\pm\sqrt{36}}{2}=\dfrac{4\pm6}{2}\Rightarrow x_1=5, x2=−1\displaystyle \ x_2=-1
  6. Se verifică soluțiile obținute în raport cu domeniul de valabilitate x>0\displaystyle x>0: x=−1\displaystyle x=-1 nu satisface condiția, iar x=5\displaystyle x=5 o satisface.
    x=−1 (nu convine)\displaystyle x=-1 \text{ (nu convine)},x=5 (convine)\displaystyle \quad x=5 \text{ (convine)}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={1,3,5,7,8}\displaystyle A=\{1,3,5,7,8\}. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor impară, se pot forma cu cifre din mulțimea A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică cifrele impare din mulțimea A={1,3,5,7,8}\displaystyle A=\{1,3,5,7,8\}, deoarece cifra zecilor trebuie să fie impară. Acestea sunt 1,3,5,7\displaystyle 1, 3, 5, 7.
    4 moduri de a alege cifra \displaystyle 4\text{ moduri de a alege cifra }zecilor\displaystyle \text{zecilor}
  2. Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor (impară), cifra unităților trebuie să fie distinctă de cifra zecilor, dar poate fi orice altă cifră din mulțimea A\displaystyle A (inclusiv 8\displaystyle 8). Cum A\displaystyle A are 5\displaystyle 5 elemente, iar unul este deja folosit pentru zeci, rămân 4\displaystyle 4 cifre posibile pentru unități.
    4 moduri de a alege cifra \displaystyle 4\text{ moduri de a alege cifra }unita˘ților\displaystyle \text{unităților}
  3. Se aplică principiul multiplicării: numărul total de numere de două cifre distincte, cu cifra zecilor impară, formate din cifrele lui A\displaystyle A, este produsul dintre numărul de alegeri pentru zeci și numărul de alegeri pentru unități.
    4⋅4=16\displaystyle 4\cdot 4=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,5)\displaystyle A(0,5) și B(3,4)\displaystyle B(3,4). Determinați coordonatele punctului C\displaystyle C pentru care 3OC→=OA→+OB→\displaystyle 3\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie relația vectorială dată în enunț, care exprimă vectorul de poziție al lui C\displaystyle C în funcție de vectorii de poziție ai lui A\displaystyle A și B\displaystyle B.
    3OC→=OA→+OB→\displaystyle 3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}
  2. Se scrie vectorul OA→\displaystyle \overrightarrow{OA} folosind coordonatele punctului A(0,5)\displaystyle A(0,5), adică OA→=0i+5j\displaystyle \overrightarrow{OA} = 0\mathbf{i} + 5\mathbf{j}, care se simplifică la 5j\displaystyle 5\mathbf{j}.
    OA→=0i⃗+5j⃗=5j⃗\displaystyle \overrightarrow{OA}=0\vec{i}+5\vec{j}=5\vec{j}
  3. Se scrie vectorul OB→\displaystyle \overrightarrow{OB} folosind coordonatele punctului B(3,4)\displaystyle B(3,4), adică OB→=3i+4j\displaystyle \overrightarrow{OB} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}.
    OB→=3i⃗+4j⃗\displaystyle \overrightarrow{OB}=3\vec{i}+4\vec{j}
  4. Se adună cei doi vectori, componentă cu componentă (coeficienții lui i\displaystyle i, respectiv j\displaystyle j).
    OA→=5j⃗\displaystyle \overrightarrow{OA}=5\vec{j},OB→=3i⃗+4j⃗\displaystyle \quad \overrightarrow{OB}=3\vec{i}+4\vec{j},OA→+OB→=3i⃗+9j⃗\displaystyle \quad \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=3\vec{i}+9\vec{j}
  5. Din relația 3⋅OC=OA+OB\displaystyle 3\cdot OC = OA + OB, se izolează OC\displaystyle OC împărțind ambii membri prin 3\displaystyle 3.
    OC→=13(OA→+OB→)=13(3i⃗+9j⃗)\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\frac{1}{3}\left(3\vec{i}+9\vec{j}\right)
  6. Se efectuează împărțirea și se identifică coordonatele lui C\displaystyle C din coeficienții lui i\displaystyle i și j\displaystyle j.
    OC→=13(OA→+OB→)=i⃗+3j⃗⇒C(1,3)\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=\vec{i}+3\vec{j} \Rightarrow C(1,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, cu A=π2\displaystyle A=\frac{\pi}{2}, C=π3\displaystyle C=\frac{\pi}{3} și AE=2\displaystyle AE=2, unde E\displaystyle E este punctul în care bisectoarea unghiului C\displaystyle C intersectează latura AB\displaystyle AB. Arătați că distanța de la punctul B\displaystyle B la dreapta CE\displaystyle CE este egală cu 23\displaystyle 2\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează măsura unghiului B\displaystyle B, folosind suma unghiurilor unui triunghi.
    B^=π−A^−C^=π−π2−π3=π6\displaystyle \widehat{B}=\pi-\widehat{A}-\widehat{C}=\pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}
  2. Se folosește faptul că CE\displaystyle CE este bisectoarea unghiului C\displaystyle C, deci unghiul C\displaystyle C se împarte în două unghiuri egale.
    ACE^=ECB^=C^2=π6\displaystyle \widehat{ACE}=\widehat{ECB}=\frac{\widehat{C}}{2}=\frac{\pi}{6}
  3. În triunghiul BEC\displaystyle BEC se observă că unghiul ECB\displaystyle ECB este egal cu unghiul EBC\displaystyle EBC, deci triunghiul este isoscel cu EB=EC\displaystyle EB=EC. Deoarece A\displaystyle A se află pe dreapta BE\displaystyle BE și CA\displaystyle CA este perpendiculară pe AB\displaystyle AB, distanța de la C\displaystyle C la dreapta BE\displaystyle BE este CA\displaystyle CA, iar prin simetria triunghiului isoscel BEC\displaystyle BEC, distanța de la B\displaystyle B la dreapta CE\displaystyle CE este egală cu distanța de la C\displaystyle C la dreapta BE\displaystyle BE.
    ECB^=π6=EBC^⇒EB=EC⇒d(B,CE)=d(C,BE)=CA\displaystyle \widehat{ECB}=\frac{\pi}{6}=\widehat{EBC} \Rightarrow EB=EC \Rightarrow d(B,CE)=d(C,BE)=CA
  4. Se scrie triunghiul dreptunghic AEC\displaystyle AEC (dreptunghic în A\displaystyle A) și se exprimă tangenta unghiului ACE\displaystyle ACE în funcție de catete.
    Iˆn △AEC\displaystyle \text{În }\triangle AEC, A^=π2⇒tan⁡ACE^=AEAC\displaystyle \ \widehat{A}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow \tan\widehat{ACE}=\frac{AE}{AC}
  5. Se înlocuiește valoarea tangentei unghiului de π6\displaystyle \dfrac{\pi}{6} și AE=2\displaystyle AE=2, apoi se calculează AC\displaystyle AC, obținându-se distanța cerută.
    tan⁡ACE^=AEAC⇒13=2AC⇒d(B,CE)=23\displaystyle \tan\widehat{ACE}=\frac{AE}{AC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{AC} \Rightarrow d(B,CE)=2\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a0−2111−a21−2)A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1-a \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax−2z=4x+y+(1−a)z=32x+y−2z=5\begin{cases} ax-2z=4 \\ x+y+(1-a)z=3 \\ 2x+y-2z=5 \end{cases} unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=2\displaystyle \det(A(0)) = 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Elementul a\displaystyle a din colțul stânga sus devine 0\displaystyle 0, iar elementul 1−a\displaystyle 1-a devine 1\displaystyle 1.
    A(0)=(00−211121−2)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0).
    det⁡(A(0))=∣00−211121−2∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt 0⋅1⋅(−2)\displaystyle 0\cdot 1\cdot(-2), 0⋅1⋅2\displaystyle 0\cdot 1\cdot 2 și (−2)⋅1⋅1\displaystyle (-2)\cdot 1\cdot 1. Termenii cu minus sunt (−2)⋅1⋅2\displaystyle (-2)\cdot 1\cdot 2, 0⋅1⋅1\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1 și 0⋅1⋅(−2)\displaystyle 0\cdot 1\cdot(-2).
    det⁡(A(0))=0⋅1⋅(−2)+0⋅1⋅2+(−2)⋅1⋅1−[(−2)⋅1⋅2+0⋅1⋅1+0⋅1⋅(−2)]\displaystyle \det(A(0))=0\cdot 1\cdot(-2)+0\cdot 1\cdot 2+(-2)\cdot 1\cdot 1-\left[(-2)\cdot 1\cdot 2+0\cdot 1\cdot 1+0\cdot 1\cdot(-2)\right]
  4. Calculăm produsele: 0+0−2−(−4+0+0)=−2+4\displaystyle 0+0-2-(-4+0+0)=-2+4. Obținem det⁡(A(0))=2\displaystyle \det(A(0))=2, ceea ce trebuia arătat.
    0+0−2−(−4)=2\displaystyle 0+0-2-(-4)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a0−2111−a21−2)A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1-a \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax−2z=4x+y+(1−a)z=32x+y−2z=5\begin{cases} ax-2z=4 \\ x+y+(1-a)z=3 \\ 2x+y-2z=5 \end{cases} unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați mulțimea numerelor reale a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(a)\displaystyle A(a) și se pregătește calculul determinantului prin dezvoltare după prima linie.
    det⁡(A(a))=∣a0−2111−a21−2∣=a⋅∣11−a1−2∣−0⋅∣11−a2−2∣+(−2)⋅∣1121∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1-a \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}=a\cdot\begin{vmatrix}1 & 1-a \\ 1 & -2\end{vmatrix}-0\cdot\begin{vmatrix}1 & 1-a \\ 2 & -2\end{vmatrix}+(-2)\cdot\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 1\end{vmatrix}
  2. Se calculează minorii de ordin 2 necesari dezvoltării.
    ∣11−a1−2∣=1⋅(−2)−(1−a)⋅1=a−3\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1-a \\ 1 & -2\end{vmatrix}=1\cdot(-2)-(1-a)\cdot 1=a-3,∣1121∣=1⋅1−1⋅2=−1\displaystyle \quad \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1-1\cdot2=-1
  3. Se înlocuiesc minorii în expresia determinantului și se efectuează calculele.
    det⁡(A(a))=a⋅(a−3)+(−2)⋅(−1)=a2−3a+2\displaystyle \det(A(a))=a\cdot(a-3)+(-2)\cdot(-1)=a^2-3a+2
  4. Se obține expresia generală a determinantului, valabilă pentru orice a real.
    det⁡(A(a))=a2−3a+2\displaystyle \det(A(a))=a^2-3a+2, pentru orice a∈R\displaystyle \text{ pentru orice } a\in\mathbb{R}
  5. Se rezolvă ecuația det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0 pentru a găsi valorile lui a pentru care matricea nu este inversabilă.
    a2−3a+2=0⇔(a−1)(a−2)=0\displaystyle a^2-3a+2=0 \Leftrightarrow (a-1)(a-2)=0
  6. Se determină rădăcinile ecuației și se stabilește mulțimea valorilor lui a pentru care matricea este inversabilă (determinant nenul).
    det⁡(A(a))=0⇔a=1 sau a=2\displaystyle \det(A(a))=0 \Leftrightarrow a=1 \text{ sau } a=2,a∈R∖{1,2}\displaystyle \quad a\in\mathbb{R}\setminus\{1,2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a0−2111−a21−2)A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1-a \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax−2z=4x+y+(1−a)z=32x+y−2z=5\begin{cases} ax-2z=4 \\ x+y+(1-a)z=3 \\ 2x+y-2z=5 \end{cases} unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=2\displaystyle a=2, arătați că x0z0+y0≥0\displaystyle x_0z_0+y_0\geq 0, pentru orice soluție (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) a sistemului de ecuații, cu x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 numere reale.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=2\displaystyle a=2 în sistemul dat, obținându-se sistemul particular ce trebuie rezolvat.
    {2x−2z=4x+y−z=32x+y−2z=5\displaystyle \begin{cases} 2x-2z=4 \\ x+y-z=3 \\ 2x+y-2z=5 \end{cases}
  2. Din prima ecuație se simplifică prin 2\displaystyle 2 și se exprimă x\displaystyle x în funcție de z\displaystyle z.
    x−z=2⇒x=z+2\displaystyle x-z=2\Rightarrow x=z+2
  3. Se înlocuiește x=z+2\displaystyle x=z+2 în a treia ecuație pentru a determina valoarea lui y\displaystyle y.
    2(z+2)+y−2z=5⇒y=5−2z−4+2z=1\displaystyle 2(z+2)+y-2z=5\Rightarrow y=5-2z-4+2z=1
  4. Se verifică a doua ecuație cu valorile găsite, constatându-se că este identic satisfăcută, deci z\displaystyle z rămâne parametru liber. Notând z=α\displaystyle z=\alpha se obține x=α+2\displaystyle x=\alpha+2. Pentru a corespunde formei din barem, se renotează parametrul astfel încât x=α\displaystyle x=\alpha, de unde z=α−2\displaystyle z=\alpha-2, obținându-se soluția generală a sistemului.
    (x0,y0,z0)=(α,1,α−2)\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=(\alpha,1,\alpha-2),α∈R\displaystyle \quad \alpha\in\mathbb{R}
  5. Se calculează expresia x0z0+y0\displaystyle x_0z_0+y_0 folosind soluția generală obținută și se aduce la forma unui pătrat perfect, demonstrând astfel că expresia este întotdeauna nenegativă.
    x0z0+y0=α(α−2)+1=α2−2α+1=(α−1)2≥0\displaystyle x_0z_0+y_0=\alpha(\alpha-2)+1=\alpha^2-2\alpha+1=(\alpha-1)^2\geq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(1,+∞)\displaystyle M=(1,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy−1(x−1)(y−1).x*y=\frac{xy-1}{(x-1)(y-1)}.

Arătați că 3∗5=74\displaystyle 3*5=\frac{7}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică valorile x=3\displaystyle x=3 și y=5\displaystyle y=5, care aparțin mulțimii M\displaystyle M, deoarece 3>1\displaystyle 3>1 și 5>1\displaystyle 5>1.
    x=3\displaystyle x=3, y=5\displaystyle \text{ }y=5, 3\displaystyle \text{ }3,5∈M\displaystyle 5\in M
  2. Se scrie legea de compoziție pentru x=3\displaystyle x=3 și y=5\displaystyle y=5, înlocuind direct în formulă.
    3∗5=3⋅5−1(3−1)(5−1)\displaystyle 3*5=\frac{3\cdot 5-1}{(3-1)(5-1)}
  3. Se calculează numărătorul: produsul 3⋅5\displaystyle 3\cdot 5 minus 1\displaystyle 1.
    3⋅5−1=15−1=14\displaystyle 3\cdot 5-1=15-1=14
  4. Se calculează numitorul: (3−1)(5−1)=2⋅4\displaystyle (3-1)(5-1)=2\cdot 4.
    (3−1)(5−1)=2⋅4=8\displaystyle (3-1)(5-1)=2\cdot 4=8
  5. Se înlocuiesc numărătorul și numitorul calculați și se simplifică fracția obținută.
    142⋅4=74\displaystyle \frac{14}{2\cdot 4}=\frac{7}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(1,+∞)\displaystyle M=(1,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy−1(x−1)(y−1).x*y=\frac{xy-1}{(x-1)(y-1)}.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∗x=3\displaystyle x*x=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează x∗x\displaystyle x*x aplicând definiția legii de compoziție pentru x=y\displaystyle x=y.
    x∗x=x⋅x−1(x−1)(x−1)=x2−1(x−1)2\displaystyle x*x=\frac{x\cdot x-1}{(x-1)(x-1)}=\frac{x^2-1}{(x-1)^2}
  2. Se factorizează x2−1\displaystyle x^2-1 folosind identitatea x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1) și se simplifică fracția cu (x−1)\displaystyle (x-1), valabil deoarece x∈M\displaystyle x\in M implică x≠1\displaystyle x\neq 1.
    x∗x=(x−1)(x+1)(x−1)2=x+1x−1\displaystyle x*x=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{x+1}{x-1}, pentru orice x∈M\displaystyle \text{ pentru orice } x\in M
  3. Se pune condiția x∗x=3\displaystyle x*x=3 și se aduce ecuația la forma x+1x−1=3\displaystyle \dfrac{x+1}{x-1}=3, apoi se elimină numitorul înmulțind ambii membri cu (x−1)\displaystyle (x-1).
    x+1x−1=3⇒x+1=3(x−1)\displaystyle \frac{x+1}{x-1}=3 \Rightarrow x+1=3(x-1)
  4. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se desfac parantezele, se grupează termenii cu x\displaystyle x și termenii liberi, apoi se determină x\displaystyle x și se verifică apartenența la M\displaystyle M.
    x+1=3x−3⇒4=2x⇒x=2\displaystyle x+1=3x-3 \Rightarrow 4=2x \Rightarrow x=2, care convine\displaystyle \text{ care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(1,+∞)\displaystyle M=(1,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy−1(x−1)(y−1).x*y=\frac{xy-1}{(x-1)(y-1)}. Demonstrați că (x∗2)∗x>2\displaystyle (x*2)*x>2, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează întâi x∗2\displaystyle x*2, folosind definiția legii de compoziție cu a=x\displaystyle a=x și b=2\displaystyle b=2.
    x∗2=2x−1(x−1)(2−1)=2x−1x−1\displaystyle x*2=\frac{2x-1}{(x-1)(2-1)}=\frac{2x-1}{x-1}
  2. Se notează a=x∗2=2x−1x−1\displaystyle a=x*2=\frac{2x-1}{x-1} și se calculează a−1\displaystyle a-1, necesar pentru aplicarea din nou a legii de compoziție în expresia (x∗2)∗x\displaystyle (x*2)*x.
    a−1=2x−1x−1−1=2x−1−(x−1)x−1=xx−1\displaystyle a-1=\frac{2x-1}{x-1}-1=\frac{2x-1-(x-1)}{x-1}=\frac{x}{x-1}
  3. Se calculează produsul a⋅x−1\displaystyle a\cdot x - 1, adică numărătorul legii de compoziție aplicate lui a\displaystyle a și x\displaystyle x.
    ax−1=2x−1x−1⋅x−1=2x2−xx−1−1=2x2−x−(x−1)x−1=2x2−2x+1x−1\displaystyle ax-1=\frac{2x-1}{x-1}\cdot x-1=\frac{2x^2-x}{x-1}-1=\frac{2x^2-x-(x-1)}{x-1}=\frac{2x^2-2x+1}{x-1}
  4. Se calculează numitorul legii de compoziție aplicate lui a\displaystyle a și x\displaystyle x, adică (a−1)(x−1)\displaystyle (a-1)(x-1).
    (a−1)(x−1)=xx−1⋅(x−1)=x\displaystyle (a-1)(x-1)=\frac{x}{x-1}\cdot(x-1)=x
  5. Se împarte numărătorul la numitor pentru a obține expresia finală a lui (x∗2)∗x\displaystyle (x*2)*x, confirmând rezultatul din barem.
    (x∗2)∗x=2x2−2x+1x−1x=2x2−2x+1x(x−1)\displaystyle (x*2)*x=\frac{\frac{2x^2-2x+1}{x-1}}{x}=\frac{2x^2-2x+1}{x(x-1)}
  6. Se rescrie numărătorul astfel încât să apară termenul 2x(x−1)\displaystyle 2x(x-1), pentru a separa partea întreagă de fracția rămasă.
    2x2−2x+1=2x(x−1)+1\displaystyle 2x^2-2x+1=2x(x-1)+1
  7. Se împarte fiecare termen la x(x−1)\displaystyle x(x-1) pentru a obține descompunerea (x∗2)∗x=2+1x(x−1)\displaystyle (x*2)*x=2+\frac{1}{x(x-1)}, apoi se arată că fracția este strict pozitivă deoarece x>1\displaystyle x>1 implică x(x−1)>0\displaystyle x(x-1)>0.
    (x∗2)∗x=2+1x(x−1)>2\displaystyle (x*2)*x=2+\frac{1}{x(x-1)}>2, pentru orice x∈M\displaystyle \text{ pentru orice } x\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡2x−xln⁡x\displaystyle f(x)=x+\ln^2 x - x\ln x.

Arătați că f′(x)=(2−x)ln⁡xx\displaystyle f'(x)=\frac{(2-x)\ln x}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcția și se stabilesc regulile de derivare necesare: derivata unei sume, derivata lui x\displaystyle x, derivata lui ln⁡2x\displaystyle \ln^{2}x (folosind regula de derivare a funcției compuse) și derivata produsului x⋅ln⁡x\displaystyle x\cdot \ln x.
    f(x)=x+ln⁡2x−xln⁡x\displaystyle f(x)=x+\ln^2 x - x\ln x,f′(x)=(x)′+(ln⁡2x)′−(xln⁡x)′\displaystyle \quad f'(x)=(x)'+(\ln^2 x)'-(x\ln x)'
  2. Se derivează primul termen, x\displaystyle x, a cărui derivată este 1\displaystyle 1.
    (x)′=1\displaystyle (x)'=1
  3. Se derivează termenul ln⁡2x\displaystyle \ln^{2}x folosind regula de derivare a funcției compuse: (u2)′=2u⋅u′\displaystyle (u^2)'=2u\cdot u', unde u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, u′=1x\displaystyle u'=\dfrac{1}{x}.
    (ln⁡2x)′=2ln⁡x⋅1x=2ln⁡xx\displaystyle (\ln^2 x)'=2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}
  4. Se derivează termenul x⋅ln⁡x\displaystyle x\cdot \ln x folosind regula produsului: (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv', unde u=x\displaystyle u=x, v=ln⁡x\displaystyle v=\ln x.
    (xln⁡x)′=1⋅ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\displaystyle (x\ln x)'=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1
  5. Se adună rezultatele derivatelor termenilor conform sumei/diferenței inițiale, obținând forma neprocesată a derivatei.
    f′(x)=1+2ln⁡xx−ln⁡x−1\displaystyle f'(x)=1+\frac{2\ln x}{x}-\ln x-1
  6. Se reduc termenii constanți 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1, rămânând doar termenii cu ln⁡x\displaystyle \ln x.
    f′(x)=2ln⁡xx−ln⁡x\displaystyle f'(x)=\frac{2\ln x}{x}-\ln x
  7. Se aduce expresia la același numitor, x\displaystyle x, scriind −ln⁡x\displaystyle -\ln x ca −xln⁡xx\displaystyle -\dfrac{x\ln x}{x}, apoi se scoate ln⁡x\displaystyle \ln x factor comun la numărător.
    f′(x)=2ln⁡x−xln⁡xx=(2−x)ln⁡xx\displaystyle f'(x)=\frac{2\ln x-x\ln x}{x}=\frac{(2-x)\ln x}{x},x∈(0,+∞)\displaystyle \quad x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡2x−xln⁡x\displaystyle f(x)=x+\ln^2 x - x\ln x.

Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f\displaystyle f în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, folosind regulile de derivare pentru sumă, produs și pentru ln⁡2x\displaystyle \ln^{2}x (funcție compusă).
    f′(x)=1+2ln⁡xx−(ln⁡x+x⋅1x)=1+2ln⁡xx−ln⁡x−1=2ln⁡xx−ln⁡x\displaystyle f'(x)=1+\frac{2\ln x}{x}-\left(\ln x + x\cdot\frac{1}{x}\right)=1+\frac{2\ln x}{x}-\ln x-1=\frac{2\ln x}{x}-\ln x
  2. Punem condiția ca derivata să se anuleze în punctul a\displaystyle a, cu a\displaystyle a în domeniul funcției.
    f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0,a∈(0,+∞)\displaystyle \quad a\in(0,+\infty)
  3. Înlocuim expresia derivatei calculate la pasul 1\displaystyle 1 și aducem ecuația la forma cu factor comun, dând factor comun ln⁡a\displaystyle \ln a și aducând la același numitor.
    2ln⁡aa−ln⁡a=0⇒ln⁡a(2a−1)=0⇒(2−a)ln⁡aa=0\displaystyle \frac{2\ln a}{a}-\ln a=0 \Rightarrow \ln a\left(\frac{2}{a}-1\right)=0 \Rightarrow \frac{(2-a)\ln a}{a}=0
  4. Rezolvăm ecuația obținută: un produs este nul dacă unul dintre factori este nul (numitorul a\displaystyle a fiind nenul, deoarece a>0\displaystyle a>0). Obținem ln⁡a=0\displaystyle \ln a=0, deci a=1\displaystyle a=1, sau 2−a=0\displaystyle 2-a=0, deci a=2\displaystyle a=2. Ambele valori verifică a>0\displaystyle a>0, deci convin.
    (2−a)ln⁡aa=0⇒a=1 sau a=2\displaystyle \frac{(2-a)\ln a}{a}=0 \Rightarrow a=1 \text{ sau } a=2, care convin\displaystyle \text{ care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡2x−xln⁡x\displaystyle f(x)=x+\ln^2 x - x\ln x.

Demonstrați că ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regulile de derivare pentru sumă, produs și funcția logaritm.
    f′(x)=1+2ln⁡xx−ln⁡x−x⋅1x=2ln⁡xx−ln⁡x\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{2\ln x}{x}-\ln x - x\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2\ln x}{x}-\ln x
  2. Se aduce derivata la o formă factorizată, convenabilă pentru studiul semnului.
    f′(x)=ln⁡x(2x−1)=ln⁡x (2−x)x\displaystyle f'(x)=\ln x\left(\dfrac{2}{x}-1\right)=\dfrac{\ln x\,(2-x)}{x}
  3. Se studiază semnul fiecărui factor al derivatei: ln⁡x\displaystyle \ln x și (2−x)\displaystyle (2-x), pentru x>0\displaystyle x>0, deoarece x\displaystyle x este întotdeauna pozitiv.
    ln⁡x<0 pentru x∈(0,1)\displaystyle \ln x<0\text{ pentru }x\in(0,1), ln⁡x>0 pentru x>1;2−x>0 pentru x<2\displaystyle \ \ln x>0\text{ pentru }x>1;\quad 2-x>0\text{ pentru }x<2, 2−x<0 pentru x>2\displaystyle \ 2-x<0\text{ pentru }x>2
  4. Se combină semnele factorilor pe fiecare interval pentru a determina semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) și, implicit, monotonia lui f\displaystyle f.
    f descresca˘toare pe (0,1]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(0,1],  cresca˘toare pe [1,2]\displaystyle \ \text{ crescătoare pe }[1,2],  descresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle \ \text{ descrescătoare pe }[2,+\infty)
  5. Se calculează valoarea funcției în punctul x=1\displaystyle x=1, care este minim local pe intervalul (0,2]\displaystyle (0,2].
    f(1)=1+ln⁡21−1⋅ln⁡1=1+0−0=1\displaystyle f(1)=1+\ln^2 1-1\cdot\ln 1=1+0-0=1
  6. Se calculează limita funcției la capătul din stânga al domeniului, x→0\displaystyle x \to 0, pentru a stabili comportamentul pe (0,1]\displaystyle (0,1].
    lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(x+ln⁡2x−xln⁡x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+}\left(x+\ln^2 x - x\ln x\right)=+\infty
  7. Se calculează limita funcției la +∞\displaystyle +\infty, observând că termenul −xln⁡x\displaystyle -x \ln x domină, deci limita este −∞\displaystyle -\infty.
    lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞[x(1−ln⁡x)+ln⁡2x]=−∞\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty}\Big[x(1-\ln x)+\ln^2 x\Big]=-\infty
  8. Se analizează valorile lui f\displaystyle f pe fiecare interval de monotonie: pe (0,1]\displaystyle (0,1] f\displaystyle f scade de la +∞\displaystyle +\infty la f(1)=1>0\displaystyle f(1)=1>0, pe [1,2]\displaystyle [1,2] f\displaystyle f crește de la 1\displaystyle 1 la f(2)>1>0\displaystyle f(2)>1>0, deci pe (0,2]\displaystyle (0,2] f\displaystyle f este strict pozitivă, fără rădăcini.
    f(x)>0\displaystyle f(x)>0, ∀x∈(0,2]\displaystyle \ \forall x\in(0,2]
  9. Pe intervalul [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty), f\displaystyle f este continuă și strict descrescătoare, de la o valoare pozitivă f(2)\displaystyle f(2) la −∞\displaystyle -\infty; conform proprietății Cauchy (Darboux) pentru funcții continue și stricta monotonie, există exact o soluție a ecuației f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1,lim⁡x→∞f(x)=−∞⇒ecuația f(x)=0 are soluție unica˘\displaystyle \quad \lim_{x\to\infty} f(x)=-\infty \Rightarrow \text{ecuația } f(x)=0 \text{ are soluție unică}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2+x2+4\displaystyle f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4}.

Arătați că ∫03(f(x)−x2+4)dx=3.\int_{0}^{3}\left(f(x)-\sqrt{x^2+4}\right)dx=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie integrala cerută, folosind expresia funcției f(x)=x2−2+x2+4\displaystyle f(x)=x^{2}-2+\sqrt{x^{2}+4}. Se observă că, dacă din f(x)\displaystyle f(x) se scade x2+4\displaystyle \sqrt{x^{2}+4}, termenul cu radical se reduce.
    I=∫03[f(x)−x2+4]dx=∫03[x2−2+x2+4−x2+4]dx\displaystyle I=\int_0^3\left[f(x)-\sqrt{x^2+4}\right]dx=\int_0^3\left[x^2-2+\sqrt{x^2+4}-\sqrt{x^2+4}\right]dx
  2. Se elimină radicalul comun (x2+4\displaystyle \sqrt{x^{2}+4} apare atât cu semn plus cât și cu semn minus, deci se anulează), rămânând de calculat integrala unui polinom.
    I=∫03(x2−2)dx\displaystyle I=\int_0^3(x^2-2)dx
  3. Se determină o primitivă a funcției x2−2\displaystyle x^{2}-2, folosind formula ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^{n} \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, și se scrie integrala definită ca diferență de valori ale primitivei în capetele intervalului.
    ∫03(x2−2)dx=(x33−2x)∣03\displaystyle \int_0^3(x^2-2)dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x\right)\Big|_0^3
  4. Se calculează valoarea primitivei în capătul superior x=3\displaystyle x=3: 333−2⋅3=273−6=9−6\displaystyle \dfrac{3^{3}}{3} - 2\cdot 3 = \dfrac{27}{3} - 6 = 9-6.
    (333−2⋅3)−(033−2⋅0)=9−6\displaystyle \left(\frac{3^3}{3}-2\cdot 3\right)-\left(\frac{0^3}{3}-2\cdot 0\right)=9-6
  5. Se efectuează scăderea finală, obținând valoarea integralei.
    9−6=3\displaystyle 9-6=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2+x2+4\displaystyle f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4}.

Arătați că ∫05xf(x)−x2+2dx=1.\int_{0}^{\sqrt{5}}\frac{x}{f(x)-x^2+2}dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se simplifică expresia de la numitor: f(x)−x2+2=x2−2+x2+4−x2+2=x2+4\displaystyle f(x)-x^{2}+2 = x^{2}-2+\sqrt{x^{2}+4}-x^{2}+2 = \sqrt{x^{2}+4}.
    f(x)−x2+2=x2+4\displaystyle f(x)-x^{2}+2=\sqrt{x^{2}+4}
  2. Se înlocuiește în integrală, obținându-se integrala funcției xx2+4\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} pe intervalul [0,5]\displaystyle [0,\sqrt{5}].
    ∫05xf(x)−x2+2dx=∫05xx2+4dx\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{5}}\frac{x}{f(x)-x^{2}+2}dx=\int_{0}^{\sqrt{5}}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}dx
  3. Se observă că x\displaystyle x este, până la un factor constant 2\displaystyle 2, derivata expresiei de sub radical x2+4\displaystyle x^{2}+4, deci integrandul se scrie ca (x2+4)′2x2+4\displaystyle \dfrac{(x^{2}+4)'}{2\sqrt{x^{2}+4}}, care este derivata funcției x2+4\displaystyle \sqrt{x^{2}+4}. Se aplică formula Leibniz-Newton, obținându-se valoarea funcției x2+4\displaystyle \sqrt{x^{2}+4} evaluată între 0\displaystyle 0 și 5\displaystyle \sqrt{5}.
    ∫05xx2+4dx=∫05(x2+4)′2x2+4dx=x2+4∣05\displaystyle \int_0^{\sqrt{5}}\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx=\int_0^{\sqrt{5}}\frac{(x^2+4)'}{2\sqrt{x^2+4}}dx=\sqrt{x^2+4}\Big|_0^{\sqrt{5}}
  4. Se calculează valorile funcției x2+4\displaystyle \sqrt{x^{2}+4} la capetele intervalului: pentru x=5\displaystyle x=\sqrt{5} se obține 5+4=9=3\displaystyle \sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3, iar pentru x=0\displaystyle x=0 se obține 0+4=4=2\displaystyle \sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2.
    (5)2+4=3\displaystyle \sqrt{(\sqrt{5})^{2}+4}=3,02+4=2\displaystyle \quad\sqrt{0^{2}+4}=2
  5. Se face diferența valorilor obținute, rezultând că integrala este egală cu 1\displaystyle 1, ceea ce trebuia demonstrat.
    3−2=1\displaystyle 3-2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2+x2+4\displaystyle f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4}.

Demonstrați că lim⁡x→01x2∫0xF(t) dt=0\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\int_0^x F(t)\,dt=0, unde F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} este primitiva funcției f\displaystyle f pentru care F(0)=0\displaystyle F(0)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se notează cu F\displaystyle F o primitivă a funcției f\displaystyle f, adică F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), și se observă că F(0)=0\displaystyle F(0)=0 (deoarece integrala de la 0\displaystyle 0 la 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0). Astfel, limita cerută este de forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡x→0∫0xF(t)dtx2=∫00F(t)dt0=00\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\int_0^x F(t)dt}{x^2}=\frac{\int_0^0F(t)dt}{0}=\frac{0}{0}
  2. Se aplică prima dată regula lui l'Hôpital: derivata numărătorului se calculează folosind teorema fundamentală a calculului integral, (∫0xF(t) dt)′=F(x)\displaystyle (\int_{0}^{x}F(t)\,dt)'=F(x), iar derivata numitorului este (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x. Se obține o nouă limită, care este tot de forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, deoarece F(0)=0\displaystyle F(0)=0.
    lim⁡x→0F(x)2x=F(0)0=00\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{F(x)}{2x}=\frac{F(0)}{0}=\frac{0}{0}
  3. Se aplică din nou regula lui l'Hôpital, derivând încă o dată numărătorul și numitorul: (F(x))′=F′(x)=f(x)\displaystyle (F(x))'=F'(x)=f(x) și (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2. Se reconstituie astfel întregul lanț de egalități, pornind de la limita inițială și aplicând regula lui l'Hôpital de două ori.
    lim⁡x→01x2∫0xF(t)dt=lim⁡x→0(∫0xF(t)dt)′(x2)′=lim⁡x→0F(x)2x=lim⁡x→0F′(x)(2x)′\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}\int_0^x F(t)dt=\lim_{x\to0}\frac{\left(\int_0^x F(t)dt\right)'}{(x^2)'}=\lim_{x\to0}\frac{F(x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{F'(x)}{(2x)'}
  4. Se folosește faptul că F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), deci limita devine f(x)2\displaystyle \dfrac{f(x)}{2}, care se poate evalua direct prin continuitate (limita fiind egală cu valoarea funcției în x=0\displaystyle x=0, deoarece f\displaystyle f este continuă).
    lim⁡x→0F′(x)2=lim⁡x→0f(x)2=f(0)2\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{F'(x)}{2}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{2}=\frac{f(0)}{2}
  5. Se calculează valoarea f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x=0\displaystyle x=0 în expresia funcției: f(0)=02−2+02+4=−2+4=−2+2=0\displaystyle f(0)=0^{2}-2+\sqrt{0^{2}+4}=-2+\sqrt{4}=-2+2=0.
    f(0)=02−2+02+4=−2+4=−2+2=0\displaystyle f(0)=0^2-2+\sqrt{0^2+4}=-2+\sqrt{4}=-2+2=0
  6. Se înlocuiește valoarea obținută pentru f(0)\displaystyle f(0) în expresia limitei, obținând rezultatul final al limitei cerute.
    =lim⁡x→0f(x)2=f(0)2=0\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{2}=\frac{f(0)}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.