Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 16: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul de elemente ale mulțimii A={x∈Z∣−5<x<7}\displaystyle A=\{x\in\mathbb{Z}\mid -\sqrt{5}<x<\sqrt{7}\}.
Vezi rezolvarea
  1. Estimăm 5\displaystyle \sqrt{5} între două pătrate perfecte consecutive: 4<5<9\displaystyle 4<5<9, deci 2<5<3\displaystyle 2<\sqrt{5}<3. De aici, −3<−5<−2\displaystyle -3<-\sqrt{5}<-2.
    −3<−5<−2\displaystyle -3<-\sqrt{5}<-2
  2. Estimăm 7\displaystyle \sqrt{7}: 4<7<9\displaystyle 4<7<9, deci 2<7<3\displaystyle 2<\sqrt{7}<3.
    2<7<3\displaystyle 2<\sqrt{7}<3
  3. Întregii x\displaystyle x cu −5<x<7\displaystyle -\sqrt{5}<x<\sqrt{7} sunt mai mari decât −5\displaystyle -\sqrt{5}, adică cel puțin −2\displaystyle -2, și mai mici decât 7\displaystyle \sqrt{7}, adică cel mult 2\displaystyle 2. Deci x\displaystyle x ia valorile −2,−1,0,1,2\displaystyle -2,-1,0,1,2.
    A={−2,−1,0,1,2}\displaystyle A=\{-2,-1,0,1,2\}
  4. Numărăm elementele mulțimii A\displaystyle A: sunt 5\displaystyle 5 elemente.
    5 elemente\displaystyle 5\text{ elemente}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+a\displaystyle f(x)=x^2-2x+a și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=−x2+2bx+1\displaystyle g(x)=-x^2+2bx+1, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că parabolele asociate celor două funcții au același vârf.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru f(x)=x2−2x+a\displaystyle f(x)=x^2-2x+a avem coeficienții 1\displaystyle 1, −2\displaystyle -2 și a\displaystyle a. Abscisa vârfului este xV=−−22⋅1=22=1\displaystyle x_V=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=\dfrac{2}{2}=1. Discriminantul este Δf=4−4a\displaystyle \Delta_f=4-4a, deci ordonata vârfului este yV=−Δf4=4a−44=a−1\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta_f}{4}=\dfrac{4a-4}{4}=a-1.
    Vf(1, a−1)\displaystyle V_f\left(1,\ a-1\right)
  2. Pentru g(x)=−x2+2bx+1\displaystyle g(x)=-x^2+2bx+1 avem coeficienții −1\displaystyle -1, 2b\displaystyle 2b și 1\displaystyle 1. Abscisa vârfului este xV=−2b2⋅(−1)=−2b−2=b\displaystyle x_V=-\dfrac{2b}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-2b}{-2}=b. Discriminantul este Δg=4b2+4\displaystyle \Delta_g=4b^2+4, deci ordonata vârfului este yV=−Δg4⋅(−1)=4b2+44=b2+1\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta_g}{4\cdot(-1)}=\dfrac{4b^2+4}{4}=b^2+1.
    Vg(b, b2+1)\displaystyle V_g\left(b,\ b^2+1\right)
  3. Parabolele au același vârf, deci egalăm coordonatele: 22=−2b−2\displaystyle \dfrac{2}{2}=\dfrac{-2b}{-2} și 4a−44=4b2+44\displaystyle \dfrac{4a-4}{4}=\dfrac{4b^2+4}{4}.
    22=−2b−2 și 4a−44=4b2+44\displaystyle \frac{2}{2}=\frac{-2b}{-2}\text{ și }\frac{4a-4}{4}=\frac{4b^2+4}{4}
  4. Din prima egalitate rezultă 1=b\displaystyle 1=b. A doua egalitate devine a−1=b2+1\displaystyle a-1=b^2+1. Pentru b=1\displaystyle b=1 obținem a−1=2\displaystyle a-1=2, deci a=3\displaystyle a=3.
    b=1\displaystyle b=1, deci a=3\displaystyle \text{ deci }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1+x3+1−x3=2\displaystyle \sqrt[3]{1+x}+\sqrt[3]{1-x}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm a=1+x3\displaystyle a=\sqrt[3]{1+x} și b=1−x3\displaystyle b=\sqrt[3]{1-x}. Ecuația devine a+b=2\displaystyle a+b=2, iar a3+b3=(1+x)+(1−x)=2\displaystyle a^{3}+b^{3}=(1+x)+(1-x)=2.
    a+b=2\displaystyle a+b=2,a3+b3=2\displaystyle \quad a^{3}+b^{3}=2
  2. Ridicăm la cub ecuația a+b=2\displaystyle a+b=2 și folosim formula (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b).
    a3+b3+3ab(a+b)=8\displaystyle a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)=8
  3. Înlocuim a3+b3=2\displaystyle a^{3}+b^{3}=2 și a+b=2\displaystyle a+b=2. Obținem 2+3ab⋅2=8\displaystyle 2+3ab\cdot 2=8, adică 2+6ab=8\displaystyle 2+6ab=8.
    2+6⋅1+x3⋅1−x3=8\displaystyle 2+6\cdot\sqrt[3]{1+x}\cdot\sqrt[3]{1-x}=8
  4. Din 6ab=6\displaystyle 6ab=6 rezultă ab=1\displaystyle ab=1. Produsul radicalilor de același ordin este radicalul produsului, deci (1+x)(1−x)3=1\displaystyle \sqrt[3]{(1+x)(1-x)}=1.
    (1+x)(1−x)3=1\displaystyle \sqrt[3]{(1+x)(1-x)}=1
  5. Ridicăm la cub: (1+x)(1−x)=1\displaystyle (1+x)(1-x)=1, adică 1−x2=1\displaystyle 1-x^{2}=1, deci x2=0\displaystyle x^{2}=0.
    x=0\displaystyle x=0
  6. Verificăm: pentru x=0\displaystyle x=0 avem 13+13=1+1=2\displaystyle \sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1}=1+1=2, deci x=0\displaystyle x=0 convine. Ecuația are soluția unică x=0\displaystyle x=0.
    (1+x)(1−x)3=1\displaystyle \sqrt[3]{(1+x)(1-x)}=1, deci x=0, care convine\displaystyle \text{ deci }x=0\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Arătați că nu există nicio mulțime finită care să aibă exact 12 submulțimi cu 2 elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem că există o mulțime finită cu n\displaystyle n elemente, unde n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, n≥2\displaystyle n\geq 2. Numărul submulțimilor sale cu 2 elemente este Cn2\displaystyle C_n^2.
    Cn2\displaystyle C_n^2
  2. Folosim formula combinărilor Cn2=n!2! (n−2)!\displaystyle C_n^2=\dfrac{n!}{2!\,(n-2)!} și simplificăm, deoarece n!=n(n−1)(n−2)!\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)!.
    Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}
  3. Impunem condiția ca numărul submulțimilor cu 2 elemente să fie 12.
    n(n−1)2=12\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=12
  4. Înmulțim cu 2: n(n−1)=24\displaystyle n(n-1)=24, adică n2−n=24\displaystyle n^2-n=24. Mutăm totul în membrul stâng.
    n2−n−24=0\displaystyle n^2-n-24=0
  5. Calculăm discriminantul: Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−24)=97\displaystyle \Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-24)=97, care nu este pătrat perfect, deci rădăcinile n=1±972\displaystyle n=\dfrac{1\pm\sqrt{97}}{2} nu sunt numere întregi. Altfel: 4⋅5=20\displaystyle 4\cdot 5=20 și 5⋅6=30\displaystyle 5\cdot 6=30, deci niciun număr natural n\displaystyle n nu are n(n−1)=24\displaystyle n(n-1)=24.
    Δ=97, n=1±972∉N\displaystyle \Delta=97\text{, } n=\frac{1\pm\sqrt{97}}{2}\notin\mathbb{N}
  6. Ecuația n2−n−24=0\displaystyle n^2-n-24=0 nu are nicio soluție număr natural, deci presupunerea făcută este falsă: nu există nicio mulțime finită cu exact 12 submulțimi cu 2 elemente.
    n(n−1)2=12⇔n2−n−24=0, care nu are nicio \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=12\Leftrightarrow n^2-n-24=0\text{, care nu are nicio }soluție numa˘r natural\displaystyle \text{soluție număr natural}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,4)\displaystyle A(3,4), B(−4,3)\displaystyle B(-4,3) și C(5,0)\displaystyle C(5,0). Arătați că punctul H(4,7)\displaystyle H(4,7) este ortocentrul triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Ortocentrul este punctul de intersecție al înălțimilor. Este suficient să arătăm că H\displaystyle H se află pe două înălțimi, de exemplu pe cea din A\displaystyle A și pe cea din B\displaystyle B. Pentru aceasta verificăm că AH⊥BC\displaystyle AH\perp BC și că BH⊥AC\displaystyle BH\perp AC, cu ajutorul pantelor.
    AH⊥BC și BH⊥AC\displaystyle AH\perp BC\text{ și }BH\perp AC
  2. Calculăm panta dreptei AH\displaystyle AH folosind formula m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, cu A(3,4)\displaystyle A(3,4) și H(4,7)\displaystyle H(4,7).
    mAH=7−44−3=3\displaystyle m_{AH}=\frac{7-4}{4-3}=3
  3. Calculăm panta dreptei BC\displaystyle BC, cu B(−4,3)\displaystyle B(-4,3) și C(5,0)\displaystyle C(5,0). Apoi înmulțim pantele: produsul este −1\displaystyle -1, deci AH⊥BC\displaystyle AH\perp BC.
    mBC=0−35−(−4)=−13\displaystyle m_{BC}=\frac{0-3}{5-(-4)}=-\frac{1}{3},mAH⋅mBC=3⋅(−13)=−1⇒AH⊥BC\displaystyle \quad m_{AH}\cdot m_{BC}=3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-1\Rightarrow AH\perp BC
  4. Calculăm panta dreptei BH\displaystyle BH, cu B(−4,3)\displaystyle B(-4,3) și H(4,7)\displaystyle H(4,7).
    mBH=7−34−(−4)=48=12\displaystyle m_{BH}=\frac{7-3}{4-(-4)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}
  5. Calculăm panta dreptei AC\displaystyle AC, cu A(3,4)\displaystyle A(3,4) și C(5,0)\displaystyle C(5,0). Produsul pantelor BH\displaystyle BH și AC\displaystyle AC este −1\displaystyle -1, deci BH⊥AC\displaystyle BH\perp AC.
    mAC=0−45−3=−2\displaystyle m_{AC}=\frac{0-4}{5-3}=-2,mBH⋅mAC=12⋅(−2)=−1⇒BH⊥AC\displaystyle \quad m_{BH}\cdot m_{AC}=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\Rightarrow BH\perp AC
  6. Dreapta AH\displaystyle AH este înălțimea din A\displaystyle A, iar dreapta BH\displaystyle BH este înălțimea din B\displaystyle B. Ele se intersectează în H\displaystyle H, deci H\displaystyle H este ortocentrul triunghiului ABC\displaystyle ABC.
    AH∩BH={H}⇒H este ortocentrul \displaystyle AH\cap BH=\{H\}\Rightarrow H\text{ este ortocentrul }triunghiului ABC\displaystyle \text{triunghiului }ABC
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cos⁡x\displaystyle \cos x, știind că x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și 2(cos⁡4x−sin⁡4x)=−1\displaystyle 2\left(\cos^4 x-\sin^4 x\right)=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem diferența de pătrate: cos⁡4x−sin⁡4x=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)\displaystyle \cos^4 x-\sin^4 x=\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)\left(\cos^2 x+\sin^2 x\right).
    cos⁡4x−sin⁡4x=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)\displaystyle \cos^4 x-\sin^4 x=\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)\left(\cos^2 x+\sin^2 x\right)
  2. Folosim sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1, deci cos⁡4x−sin⁡4x=cos⁡2x−sin⁡2x\displaystyle \cos^4 x-\sin^4 x=\cos^2 x-\sin^2 x.
    cos⁡4x−sin⁡4x=cos⁡2x−sin⁡2x\displaystyle \cos^4 x-\sin^4 x=\cos^2 x-\sin^2 x
  3. Înlocuim sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^2 x=1-\cos^2 x, deci cos⁡2x−sin⁡2x=2cos⁡2x−1\displaystyle \cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1. Ecuația devine 2(2cos⁡2x−1)=−1\displaystyle 2\left(2\cos^2 x-1\right)=-1.
    2(2cos⁡2x−1)=−1\displaystyle 2\left(2\cos^2 x-1\right)=-1
  4. Desfacem parantezele: 4cos⁡2x−2=−1\displaystyle 4\cos^2 x-2=-1, deci 4cos⁡2x=1\displaystyle 4\cos^2 x=1.
    cos⁡2x=14\displaystyle \cos^2 x=\frac{1}{4}
  5. Cum x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), avem cos⁡x>0\displaystyle \cos x>0, deci cos⁡x=14=12\displaystyle \cos x=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡2x=14, deci cos⁡x=12\displaystyle \cos^2 x=\frac{1}{4}\text{, deci }\cos x=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(321642963)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2&1\\6&4&2\\9&6&3\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și B=I3+A\displaystyle B=I_3+A.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣321642963∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&2&1\\6&4&2\\9&6&3\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣321642963∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&2&1\\6&4&2\\9&6&3\end{vmatrix}
  2. Termenii cu plus din regula lui Sarrus sunt: 3⋅4⋅3=36\displaystyle 3\cdot 4\cdot 3=36, 2⋅2⋅9=36\displaystyle 2\cdot 2\cdot 9=36 și 1⋅6⋅6=36\displaystyle 1\cdot 6\cdot 6=36.
    3⋅4⋅3+2⋅2⋅9+1⋅6⋅6=36+36+36\displaystyle 3\cdot4\cdot3+2\cdot2\cdot9+1\cdot6\cdot6=36+36+36
  3. Termenii cu minus sunt: 1⋅4⋅9=36\displaystyle 1\cdot 4\cdot 9=36, 2⋅6⋅3=36\displaystyle 2\cdot 6\cdot 3=36 și 3⋅2⋅6=36\displaystyle 3\cdot 2\cdot 6=36.
    1⋅4⋅9+2⋅6⋅3+3⋅2⋅6=36+36+36\displaystyle 1\cdot4\cdot9+2\cdot6\cdot3+3\cdot2\cdot6=36+36+36
  4. Aplicăm regula lui Sarrus: suma termenilor cu plus minus suma termenilor cu minus.
    det⁡A=36+36+36−36−36−36\displaystyle \det A=36+36+36-36-36-36
  5. Fiecare sumă este 108\displaystyle 108, deci det⁡A=108−108=0\displaystyle \det A=108-108=0.
    det⁡A=108−108=0\displaystyle \det A=108-108=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(321642963)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2&1\\6&4&2\\9&6&3\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și B=I3+A\displaystyle B=I_3+A.

Arătați că matricea I3−111A\displaystyle I_3-\frac{1}{11}A este inversa matricei B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind fiecare linie cu fiecare coloană. De exemplu, elementul din colțul stânga sus este 3⋅3+2⋅6+1⋅9=30\displaystyle 3\cdot 3+2\cdot 6+1\cdot 9=30.
    A⋅A=(302010604020906030)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}30&20&10\\60&40&20\\90&60&30\end{pmatrix}
  2. Fiecare element al lui A⋅A\displaystyle A\cdot A este de 10 ori elementul corespunzător din A\displaystyle A, deci A⋅A=10A\displaystyle A\cdot A=10A.
    A⋅A=10A\displaystyle A\cdot A=10A
  3. Verificăm prima condiție din definiția inversei. Desfacem parantezele în (I3−111A)⋅(I3+A)\displaystyle \left(I_3-\frac{1}{11}A\right)\cdot(I_3+A) și folosim A⋅A=10A\displaystyle A\cdot A=10A: termenii cu A\displaystyle A dau A−111A−1011A=0\displaystyle A-\frac{1}{11}A-\frac{10}{11}A=0.
    (I3−111A)⋅B=I3+A−111A−111A⋅A=I3+1011A−1011A=I3\displaystyle \left(I_3-\frac{1}{11}A\right)\cdot B=I_3+A-\frac{1}{11}A-\frac{1}{11}A\cdot A=I_3+\frac{10}{11}A-\frac{10}{11}A=I_3
  4. Verificăm și în celălalt sens, pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă. Desfacem parantezele în (I3+A)⋅(I3−111A)\displaystyle (I_3+A)\cdot\left(I_3-\frac{1}{11}A\right) și folosim A⋅A=10A\displaystyle A\cdot A=10A.
    B⋅(I3−111A)=I3−111A+A−111A⋅A=I3+1011A−1011A=I3\displaystyle B\cdot\left(I_3-\frac{1}{11}A\right)=I_3-\frac{1}{11}A+A-\frac{1}{11}A\cdot A=I_3+\frac{10}{11}A-\frac{10}{11}A=I_3
  5. Cum produsul în ambele ordini este I3\displaystyle I_3, matricea I3−111A\displaystyle I_3-\frac{1}{11}A este inversa matricei B\displaystyle B.
    B⋅(I3−111A)=I3, deci matricea I3−111A este inversa matricei B\displaystyle B\cdot\left(I_3-\frac{1}{11}A\right)=I_3\text{, deci matricea }I_3-\frac{1}{11}A\text{ este inversa matricei }B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(321642963)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2&1\\6&4&2\\9&6&3\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și B=I3+A\displaystyle B=I_3+A.

Dați exemplu de trei matrice U,V,T∈M3(R)\displaystyle U,V,T\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), de rang 1, astfel încât U+V+T=B\displaystyle U+V+T=B.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea B=I3+A\displaystyle B=I_3+A: se adaugă 1\displaystyle 1 pe diagonala principală a lui A\displaystyle A, restul elementelor rămân neschimbate.
    B=(421652964)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&2&1\\6&5&2\\9&6&4\end{pmatrix}
  2. Ideea: descompunem B\displaystyle B în trei matrice, fiecare păstrând câte o linie a lui B\displaystyle B și având restul liniilor nule. O matrice nenulă cu o singură linie nenulă are rangul 1\displaystyle 1. Prima matrice U\displaystyle U păstrează prima linie a lui B\displaystyle B.
    U=(421000000)\displaystyle U=\begin{pmatrix}4&2&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
  3. Matricea V\displaystyle V păstrează a doua linie a lui B\displaystyle B, iar matricea T\displaystyle T păstrează a treia linie. Fiecare are o singură linie nenulă, deci rangul 1\displaystyle 1.
    V=(000652000)\displaystyle V=\begin{pmatrix}0&0&0\\6&5&2\\0&0&0\end{pmatrix}, T=(000000964)\displaystyle \ T=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\9&6&4\end{pmatrix}
  4. Verificăm suma: adunăm element cu element, iar fiecare poziție primește valoarea dintr-o singură matrice, restul fiind zerouri. Obținem B\displaystyle B, deci exemplul este corect.
    U+V+T=(421652964)=B\displaystyle U+V+T=\begin{pmatrix}4&2&1\\6&5&2\\9&6&4\end{pmatrix}=B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−3x−3y+a\displaystyle x*y=xy-3x-3y+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care (−1)∗1=0\displaystyle (-1)*1=0.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=xy−3x−3y+a\displaystyle x*y=xy-3x-3y+a. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 și y=1\displaystyle y=1.
    (−1)∗1=(−1)⋅1−3⋅(−1)−3⋅1+a\displaystyle (-1)*1=(-1)\cdot 1-3\cdot(-1)-3\cdot 1+a
  2. Calculăm termenii: (−1)⋅1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1=-1, −3⋅(−1)=3\displaystyle -3\cdot(-1)=3 și −3⋅1=−3\displaystyle -3\cdot 1=-3. Atunci −1+3−3=−1\displaystyle -1+3-3=-1.
    (−1)∗1=−1+3−3+a=a−1\displaystyle (-1)*1=-1+3-3+a=a-1
  3. Cerem ca (−1)∗1=0\displaystyle (-1)*1=0, deci a−1=0\displaystyle a-1=0. De aici rezultă a=1\displaystyle a=1.
    a−1=0⇔a=1\displaystyle a-1=0\Leftrightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−3x−3y+a\displaystyle x*y=xy-3x-3y+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care legea de compoziție „∗\displaystyle *” admite element neutru.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă, deoarece expresia xy−3x−3y+a\displaystyle xy-3x-3y+a este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y. Prin urmare, este suficient să impunem condiția pe o singură parte. Elementul neutru e\displaystyle e trebuie să verifice x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice număr real x\displaystyle x. Scriem această egalitate folosind definiția legii.
    xe−3x−3e+a=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle xe-3x-3e+a=x\text{, pentru orice număr real }x
  2. Mutăm toți termenii în partea stângă și grupăm termenii care conțin x\displaystyle x. Obținem xe−3x−x=x(e−4)\displaystyle xe-3x-x=x(e-4), iar termenul liber este −3e+a\displaystyle -3e+a.
    x(e−4)−3e+a=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x(e-4)-3e+a=0\text{, pentru orice număr real }x
  3. Un polinom de gradul întâi în x\displaystyle x, care este nul pentru orice x\displaystyle x real, are ambii coeficienți egali cu zero. Rezultă e−4=0\displaystyle e-4=0 și −3e+a=0\displaystyle -3e+a=0. Din prima egalitate, e=4\displaystyle e=4. Înlocuind în a doua, a=3⋅4=12\displaystyle a=3\cdot 4=12. Cu a=12\displaystyle a=12 și e=4\displaystyle e=4 legea admite element neutru, deci răspunsul este a=12\displaystyle a=12.
    e=4 și a=12\displaystyle e=4\text{ și }a=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−3x−3y+a\displaystyle x*y=xy-3x-3y+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, dacă a∈[12,+∞)\displaystyle a\in[12,+\infty), atunci mulțimea [3,+∞)\displaystyle [3,+\infty) este parte stabilă a lui R\displaystyle \mathbb{R} în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Trebuie să arătăm că pentru orice x,y∈[3,+∞)\displaystyle x,y\in[3,+\infty) avem x∗y∈[3,+∞)\displaystyle x*y\in[3,+\infty), adică x∗y≥3\displaystyle x*y\geq 3. Fixăm a∈[12,+∞)\displaystyle a\in[12,+\infty).
    x\displaystyle x,y≥3⇒x∗y≥3\displaystyle y\geq 3\Rightarrow x*y\geq 3
  2. Adunăm și scădem 9\displaystyle 9 în expresia legii, ca să formăm produsul (x−3)(y−3)\displaystyle (x-3)(y-3). Avem (x−3)(y−3)=xy−3x−3y+9\displaystyle (x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9, deci x∗y=xy−3x−3y+9+a−9\displaystyle x*y=xy-3x-3y+9+a-9.
    x∗y=(x−3)(y−3)+a−9\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+a-9
  3. Pentru x,y∈[3,+∞)\displaystyle x,y\in[3,+\infty) avem x−3≥0\displaystyle x-3\geq 0 și y−3≥0\displaystyle y-3\geq 0, deci produsul lor este pozitiv sau nul.
    (x−3)(y−3)≥0\displaystyle (x-3)(y-3)\geq 0
  4. Din a≥12\displaystyle a\geq 12 rezultă a−9≥3\displaystyle a-9\geq 3. Adunând la inegalitatea precedentă, obținem x∗y=(x−3)(y−3)+a−9≥0+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+a-9\geq 0+3. Deci x∗y∈[3,+∞)\displaystyle x*y\in[3,+\infty) pentru orice x,y∈[3,+∞)\displaystyle x,y\in[3,+\infty), adică mulțimea [3,+∞)\displaystyle [3,+\infty) este parte stabilă a lui R\displaystyle \mathbb{R} în raport cu legea „∗\displaystyle *”.
    x∗y≥3, deci [3,+∞) este parte stabila˘ a lui R ıˆn raport cu ∗\displaystyle x*y\geq 3\text{, deci }[3,+\infty)\text{ este parte stabilă a lui }\mathbb{R}\text{ în raport cu }*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,1)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,1), f(x)=x+1−x\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}.

Arătați că f′(x)=12(1x+1−1x)\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right), x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este diferența a doi radicali, deci derivata ei este diferența derivatelor celor doi radicali: f′(x)=(x+1)′−(x)′\displaystyle f'(x)=\left(\sqrt{x+1}\right)'-\left(\sqrt{x}\right)'.
    f′(x)=(x+1)′−(x)′\displaystyle f'(x)=\left(\sqrt{x+1}\right)'-\left(\sqrt{x}\right)'
  2. Folosim formula (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}. Pentru u=x+1\displaystyle u=x+1 avem u′=1\displaystyle u'=1, deci (x+1)′=12x+1\displaystyle \left(\sqrt{x+1}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}. Pentru u=x\displaystyle u=x avem u′=1\displaystyle u'=1, deci (x)′=12x\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
    (x+1)′=12x+1\displaystyle \left(\sqrt{x+1}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x+1}},(x)′=12x\displaystyle \quad \left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}
  3. Înlocuim în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x): f′(x)=12x+1−12x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Dăm factor comun 12\displaystyle \dfrac{1}{2} și obținem forma cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=12x+1−12x=12(1x+1−1x)\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right), x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,1)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,1), f(x)=x+1−x\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}.

Calculați lim⁡n→+∞(32+f′(1)+f′(2)+…+f′(n))n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{2}+f'(1)+f'(2)+\ldots+f'(n)\right)^{\sqrt{n}}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=x+1−x\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}, folosind (u)′=u′2u\displaystyle (\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.
    f′(x)=12x+1−12x\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}
  2. Scriem f′(k)=12(1k+1−1k)\displaystyle f'(k)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{k}}\right) și adunăm pentru k=1,2,…,n\displaystyle k=1,2,\ldots,n. Termenii intermediari se reduc, deci rămân doar 1n+1\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{n+1}} și −11\displaystyle -\dfrac{1}{\sqrt{1}}.
    f′(1)+f′(2)+…+f′(n)=12(1n+1−1)\displaystyle f'(1)+f'(2)+\ldots+f'(n)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}-1\right)
  3. Adunăm 32\displaystyle \dfrac{3}{2} la sumă: 32−12=1\displaystyle \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1, deci baza devine 1+12n+1\displaystyle 1+\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}.
    32+f′(1)+…+f′(n)=1+12n+1\displaystyle \frac{3}{2}+f'(1)+\ldots+f'(n)=1+\frac{1}{2\sqrt{n+1}}
  4. Limita are forma 1∞\displaystyle 1^{\infty}. Folosim lim⁡t→+∞(1+1t)t=e\displaystyle \lim_{t\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}=e cu t=2n+1\displaystyle t=2\sqrt{n+1}, deci rescriem exponentul n=2n+1⋅n2n+1\displaystyle \sqrt{n}=2\sqrt{n+1}\cdot\dfrac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}}.
    lim⁡n→+∞((1+12n+1)2n+1)n2n+1\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{2\sqrt{n+1}}\right)^{2\sqrt{n+1}}\right)^{\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}}}
  5. Parantezea interioară tinde la e\displaystyle e, iar n2n+1→12\displaystyle \dfrac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}}\to\dfrac{1}{2}, deoarece nn+1→1\displaystyle \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\to 1. Rezultă e12=e\displaystyle e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}.
    e12=e\displaystyle e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,1)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,1), f(x)=x+1−x\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este bijectivă.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=x+1−x\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x} pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), folosind (u)′=u′2u\displaystyle (\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.
    f′(x)=12x+1−12x=12(1x+1−1x)\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)
  2. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x+1>x>0\displaystyle \sqrt{x+1}>\sqrt{x}>0, deci 1x+1<1x\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{x}}. Rezultă că f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci f\displaystyle f este strict descrescătoare.
    x+1>x>0⇒1x+1−1x<0⇒f′(x)<0\displaystyle \sqrt{x+1}>\sqrt{x}>0\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}<0\Rightarrow f'(x)<0
  3. Fiind strict descrescătoare, f\displaystyle f este injectivă: dacă x1<x2\displaystyle x_1<x_2, atunci f(x1)>f(x2)\displaystyle f(x_1)>f(x_2), deci f(x1)≠f(x2)\displaystyle f(x_1)\neq f(x_2).
    f strict descresca˘toare pe (0,+∞)⇒f este injectiva˘\displaystyle f\text{ strict descrescătoare pe }(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ este injectivă}
  4. Calculăm limita la capătul din stânga: lim⁡x→0f(x)=0+1−0=1\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\sqrt{0+1}-\sqrt{0}=1.
    lim⁡x→0f(x)=1−0=1\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\sqrt{1}-\sqrt{0}=1
  5. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty amplificăm cu conjugata x+1+x\displaystyle \sqrt{x+1}+\sqrt{x} și obținem f(x)=1x+1+x\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}, al cărui numitor tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(x+1)−xx+1+x=lim⁡x→+∞1x+1+x=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=0
  6. Funcția f\displaystyle f este continuă și monotonă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), cu limitele 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0 la capete, deci imaginea ei este intervalul (0,1)\displaystyle (0,1), adică egală cu codomeniul. Rezultă că f\displaystyle f este surjectivă și, cum este și injectivă, f\displaystyle f este bijectivă.
    Im⁡f=(0,1)⇒f este surjectiva˘⇒f este bijectiva˘\displaystyle \operatorname{Im}f=(0,1)\Rightarrow f\text{ este surjectivă}\Rightarrow f\text{ este bijectivă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2x4+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^4+1}.

Arătați că ∫01(x4+1)f(x) dx=13\displaystyle \int_0^1\left(x^4+1\right)f(x)\,dx=\frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2x4+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1} în produs și simplificăm factorul x4+1\displaystyle x^{4}+1 cu numitorul, deoarece x4+1≠0\displaystyle x^{4}+1\neq 0 pentru orice x\displaystyle x real.
    (x4+1)f(x)=(x4+1)⋅x2x4+1=x2\displaystyle \left(x^{4}+1\right)f(x)=\left(x^{4}+1\right)\cdot\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1}=x^{2}
  2. Integrala devine ∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫01(x4+1)f(x) dx=∫01x2 dx=x33∣01\displaystyle \int_0^1\left(x^{4}+1\right)f(x)\,dx=\int_0^1x^{2}\,dx=\left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_0^1
  3. Calculăm valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și scădem: 133−033\displaystyle \dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}. Astfel integrala este egală cu 13\displaystyle \dfrac{1}{3}, ceea ce trebuia arătat.
    13−0=13\displaystyle \dfrac{1}{3}-0=\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2x4+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^4+1}.

Demonstrați că ∫01f(x) dx≤π8\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx\le\frac{\pi}{8}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x2≤x\displaystyle x^{2}\le x, deoarece x2−x=x(x−1)≤0\displaystyle x^{2}-x=x(x-1)\le 0. Numitorul x4+1\displaystyle x^{4}+1 este pozitiv, deci împărțind inegalitatea la el obținem majorarea integrandului.
    x2x4+1≤xx4+1\displaystyle \frac{x^{2}}{x^{4}+1}\le\frac{x}{x^{4}+1}, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  2. Integrăm inegalitatea pe [0,1]\displaystyle [0,1]; integrala păstrează sensul inegalității.
    ∫01f(x) dx≤∫01xx4+1 dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx\le\int_0^1\frac{x}{x^{4}+1}\,dx
  3. Scriem x4=(x2)2\displaystyle x^{4}=\left(x^{2}\right)^{2}, iar derivata lui x2\displaystyle x^{2} este 2x\displaystyle 2x. Scoatem factorul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} și recunoaștem forma u′u2+1\displaystyle \dfrac{u'}{u^{2}+1} cu u=x2\displaystyle u=x^{2}.
    ∫01xx4+1 dx=12∫01(x2)′(x2)2+1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{x}{x^{4}+1}\,dx=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{\left(x^{2}\right)'}{\left(x^{2}\right)^{2}+1}\,dx
  4. Primitiva lui u′u2+1\displaystyle \dfrac{u'}{u^{2}+1} este arctg⁡u\displaystyle \operatorname{arctg}u, cu u=x2\displaystyle u=x^{2}. Deci integrala funcției f\displaystyle f este majorată de o expresie cu arctangentă calculată între limite.
    ∫01f(x) dx≤12arctg⁡(x2)∣01\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx\le\left.\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\left(x^{2}\right)\right|_0^1
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Folosim arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4} și arctg⁡0=0\displaystyle \operatorname{arctg}0=0. Rezultă că integrala este mai mică sau egală cu π8\displaystyle \dfrac{\pi}{8}, ceea ce trebuia demonstrat.
    12arctg⁡1−12arctg⁡0=12⋅π4=π8, deci ∫01f(x) dx≤π8\displaystyle \frac{1}{2}\operatorname{arctg}1-\frac{1}{2}\operatorname{arctg}0=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}\text{, deci }\int_0^1 f(x)\,dx\le\frac{\pi}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2x4+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^4+1}.

Se consideră primitiva F\displaystyle F a lui f\displaystyle f pentru care F(1)=0\displaystyle F(1)=0. Calculați ∫01F(x) dx\displaystyle \int_0^1F(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 1=x′\displaystyle 1=x', deci ∫01F(x) dx=∫01x′F(x) dx\displaystyle \int_0^1F(x)\,dx=\int_0^1x'F(x)\,dx. Cum F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f, avem F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x).
    ∫01F(x) dx=∫01x′F(x) dx\displaystyle \int_0^1F(x)\,dx=\int_0^1x'F(x)\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți: ∫01x′F(x) dx=xF(x)∣01−∫01x f(x) dx\displaystyle \int_0^1x'F(x)\,dx=\left.xF(x)\right|_0^1-\int_0^1x\,f(x)\,dx. Deoarece xF(x)∣01=1⋅F(1)−0⋅F(0)=F(1)=0\displaystyle \left.xF(x)\right|_0^1=1\cdot F(1)-0\cdot F(0)=F(1)=0, rămâne doar integrala a doua.
    ∫01F(x) dx=F(1)−∫01x3x4+1 dx=−∫01x3x4+1 dx\displaystyle \int_0^1F(x)\,dx=F(1)-\int_0^1\frac{x^3}{x^4+1}\,dx=-\int_0^1\frac{x^3}{x^4+1}\,dx
  3. Observăm că (x4+1)′=4x3\displaystyle \left(x^4+1\right)'=4x^3, deci scriem x3=14(x4+1)′\displaystyle x^3=\dfrac{1}{4}\left(x^4+1\right)'.
    −∫01x3x4+1 dx=−14∫01(x4+1)′x4+1 dx\displaystyle -\int_0^1\frac{x^3}{x^4+1}\,dx=-\frac{1}{4}\int_0^1\frac{\left(x^4+1\right)'}{x^4+1}\,dx
  4. Integrala are forma ∫u′u dx=ln⁡u\displaystyle \int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln u, cu u=x4+1>0\displaystyle u=x^4+1>0. Evaluăm între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1: ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2\displaystyle \ln 2-\ln 1=\ln 2, deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    −14ln⁡(x4+1)∣01=−14(ln⁡2−ln⁡1)=−14ln⁡2\displaystyle -\frac{1}{4}\ln\left(x^4+1\right)\Big|_0^1=-\frac{1}{4}\left(\ln 2-\ln 1\right)=-\frac{1}{4}\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.