Bac matematică M1 mate-info 2016, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle x

, știind că numerele

\displaystyle 7

,

\displaystyle 3x

și

\displaystyle x^2+2

sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Vezi rezolvarea

Trei numere $\displaystyle a, b, c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă $\displaystyle 2b=a+c$ . Aici $\displaystyle a=7$ , $\displaystyle b=3x$ , $\displaystyle c=x^{2}+2$ .
$\displaystyle 2\cdot 3x=7+x^{2}+2$
Reducem termenii asemenea în partea dreaptă: $\displaystyle 7+2=9$ . Obținem $\displaystyle 6x=x^{2}+9$ .
$\displaystyle 6x=x^{2}+9$
Mutăm toți termenii în partea stângă și obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^{2}-6x+9=0$ .
$\displaystyle x^{2}-6x+9=0$
Recunoaștem pătratul unei diferențe: $\displaystyle x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$ . Deci $\displaystyle (x-3)^{2}=0$ , de unde $\displaystyle x-3=0$ .
$\displaystyle (x-3)^{2}=0\Rightarrow x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle m

, știind că parabola asociată funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-2x+m

este tangentă axei

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Parabola asociată funcției $\displaystyle f$ este tangentă axei $\displaystyle Ox$ atunci când ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are o singură soluție reală, adică discriminantul este egal cu zero: $\displaystyle \Delta=0$ .
$\displaystyle \Delta=0$
Identificăm coeficienții funcției $\displaystyle f(x)=x^2-2x+m$ : $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-2$ , $\displaystyle c=m$ .
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=-2$ , $\displaystyle \ c=m$
Calculăm discriminantul cu formula $\displaystyle \Delta=b^2-4ac$ : $\displaystyle \Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot m=4-4m$ . Condiția $\displaystyle \Delta=0$ devine $\displaystyle 4-4m=0$ .
$\displaystyle \Delta=4-4m=0$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle 4m=4$ , deci $\displaystyle m=1$ .
$\displaystyle m=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{4x-9}=32^x

.

Vezi rezolvarea

Scriem baza ca putere a lui 2: $\displaystyle \dfrac{1}{2}=2^{-1}$ . Partea stângă devine $\displaystyle \left(2^{-1}\right)^{4x-9}$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x-9}=\left(2^{-1}\right)^{4x-9}$
Scriem $\displaystyle 32=2^{5}$ , deci partea dreaptă devine $\displaystyle 32^x=\left(2^{5}\right)^x=2^{5x}$ .
$\displaystyle 32^x=2^{5x}$
Aplicăm $\displaystyle \left(a^m\right)^n=a^{mn}$ în partea stângă și obținem $\displaystyle 2^{-4x+9}=2^{5x}$ . Funcția exponențială de bază $\displaystyle 2$ este injectivă, deci egalăm exponenții: $\displaystyle -4x+9=5x$ .
$\displaystyle \left(2^{-1}\right)^{4x-9}=2^{5x}\Leftrightarrow -4x+9=5x$
Mutăm termenul $\displaystyle -4x$ în dreapta: $\displaystyle 9=9x$ . Împărțim la $\displaystyle 9$ și obținem $\displaystyle x=1$ . Verificare: pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle 4x-9=-5$ , iar $\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}=2^{5}=32$ și $\displaystyle 32^{1}=32$ , deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii

\displaystyle A=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\sqrt{6}\}

, aceasta să aibă cel mult două elemente.

Vezi rezolvarea

Mulțimea $\displaystyle A$ are 6 elemente distincte ( $\displaystyle \sqrt{4}=2$ , iar celelalte valori sunt diferite între ele). Numărul tuturor submulțimilor este suma numerelor de submulțimi cu $\displaystyle k$ elemente, pentru $\displaystyle k$ de la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle C_6^0+C_6^1+C_6^2+C_6^3+C_6^4+C_6^5+C_6^6$
Suma combinărilor este $\displaystyle 2^{6}$ , deci numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 64$ .
$\displaystyle C_6^0+C_6^1+C_6^2+C_6^3+C_6^4+C_6^5+C_6^6=2^6=64$
Submulțimile cu cel mult două elemente au $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 1$ sau $\displaystyle 2$ elemente. Avem $\displaystyle C_6^0=1$ , $\displaystyle C_6^1=6$ , $\displaystyle C_6^2=\dfrac{6\cdot 5}{2}=15$ .
$\displaystyle C_6^0=1$ , $\displaystyle \quad C_6^1=6$ , $\displaystyle \quad C_6^2=15$
Adunăm: numărul cazurilor favorabile este $\displaystyle 1+6+15=22$ .
$\displaystyle C_6^0+C_6^1+C_6^2=1+6+15=22$
Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: $\displaystyle p=\dfrac{22}{64}$ , iar prin simplificare cu $\displaystyle 2$ obținem $\displaystyle \dfrac{11}{32}$ .
$\displaystyle p=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-1,0)

,

\displaystyle B(1,0)

și

\displaystyle C(1,4)

. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul

\displaystyle B

și este paralelă cu mediana din

\displaystyle A

a triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Mediana din $\displaystyle A$ unește vârful $\displaystyle A$ cu mijlocul $\displaystyle M$ al laturii $\displaystyle BC$ . Calculăm coordonatele lui $\displaystyle M$ ca medie a coordonatelor lui $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ : $\displaystyle x_M=\dfrac{1+1}{2}=1$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{0+4}{2}=2$ .
$\displaystyle M(1,2)$
Calculăm panta medianei $\displaystyle AM$ cu formula pantei dreptei care trece prin două puncte, folosind $\displaystyle A(-1,0)$ și $\displaystyle M(1,2)$ : $\displaystyle m_{AM}=\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}$ .
$\displaystyle m_{AM}=\dfrac{2-0}{1-(-1)}=\dfrac{2}{2}=1$
Dreptele paralele au pante egale, deci dreapta căutată are panta $\displaystyle 1$ . Ea trece prin $\displaystyle B(1,0)$ , deci scriem ecuația dreptei prin punct și pantă: $\displaystyle y-y_B=m(x-x_B)$ , adică $\displaystyle y-0=1\cdot(x-1)$ .
$\displaystyle y-0=1\cdot(x-1)$
Simplificăm și obținem ecuația dreptei cerute: $\displaystyle y=x-1$ . Verificare: pentru $\displaystyle x=1$ se obține $\displaystyle y=0$ , deci punctul $\displaystyle B$ se află pe dreaptă.
$\displaystyle y=x-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului

\displaystyle ABC

în care

\displaystyle A=\frac{3\pi}{4}

și

\displaystyle BC=\sqrt{2}

.

Vezi rezolvarea

Scriem teorema sinusurilor în triunghiul $\displaystyle ABC$ : raportul dintre latura $\displaystyle BC$ și sinusul unghiului opus $\displaystyle A$ este egal cu dublul razei cercului circumscris, adică $\displaystyle \dfrac{BC}{\sin A}=2R$ .
$\displaystyle \dfrac{BC}{\sin A}=2R$
Exprimăm raza din relația de mai sus: $\displaystyle R=\dfrac{BC}{2\sin A}$ . Înlocuim datele $\displaystyle BC=\sqrt{2}$ și $\displaystyle A=\dfrac{3\pi}{4}$ .
$\displaystyle R=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sin\frac{3\pi}{4}}$
Calculăm $\displaystyle \sin\dfrac{3\pi}{4}$ . Unghiul $\displaystyle \dfrac{3\pi}{4}$ are 135 de grade și este suplementul lui $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$ , deci $\displaystyle \sin\dfrac{3\pi}{4}=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle \sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Înlocuim în formula razei: $\displaystyle R=\dfrac{\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$ . Deci lungimea razei cercului circumscris este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle R=\dfrac{\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2^x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(10))=1024

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 10$ în matricea $\displaystyle A(x)$ . Elementul din colțul din dreapta jos devine $\displaystyle 2^{10}$ , iar elementul $\displaystyle x$ din prima linie devine $\displaystyle 10$ .
$\displaystyle A(10)=\begin{pmatrix}1&10&0\\0&1&0\\0&0&2^{10}\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(10)$ .
$\displaystyle \det(A(10))=\begin{vmatrix}1&10&0\\0&1&0\\0&0&2^{10}\end{vmatrix}$
Matricea este superior triunghiulară, deoarece toate elementele de sub diagonala principală sunt $\displaystyle 0$ . Deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală: $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2^{10}$ .
$\displaystyle \det(A(10))=1\cdot 1\cdot 2^{10}=2^{10}$
Calculăm $\displaystyle 2^{10}=1024$ . Deci $\displaystyle \det(A(10))=1024$ , așa cum trebuia arătat.
$\displaystyle \det(A(10))=2^{10}=1024$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2^x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

, știind că

\displaystyle A(x)\cdot A(2x)=A(x^2+2)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A(x)\cdot A(y)$ pentru $\displaystyle x,y$ numere reale oarecare. Prima linie a produsului este $\displaystyle (1,\ y+x,\ 0)$ , a doua este $\displaystyle (0,\ 1,\ 0)$ , iar a treia este $\displaystyle (0,\ 0,\ 2^x\cdot 2^y)$ .
$\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1 & x+y & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2^x\cdot 2^y\end{pmatrix}$
Folosim $\displaystyle 2^x\cdot 2^y=2^{x+y}$ . Rezultă că produsul este chiar $\displaystyle A(x+y)$ . Pentru $\displaystyle y=2x$ obținem $\displaystyle A(x)\cdot A(2x)=A(3x)$ .
$\displaystyle A(x)\cdot A(2x)=A(3x)$
Ecuația din enunț devine $\displaystyle A(3x)=A(x^2+2)$ . Două matrici de forma $\displaystyle A(t)$ sunt egale dacă au același element de pe poziția $\displaystyle (1,2)$ , adică $\displaystyle t$ este același. Deci $\displaystyle 3x=x^2+2$ . Egalitatea de pe poziția $\displaystyle (3,3)$ dă $\displaystyle 2^{3x}=2^{x^2+2}$ , care conduce la aceeași ecuație.
$\displaystyle 3x=x^2+2\Leftrightarrow x^2-3x+2=0$
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este $\displaystyle \Delta=9-8=1$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}$ . Soluțiile sunt $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ , ambele numere reale, deci convin.
$\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2^x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Știind că

\displaystyle A(n)=A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)\cdot\ldots\cdot A(2016)

, demonstrați că

\displaystyle n

este număr natural divizibil cu

\displaystyle 2017

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A(x)\cdot A(y)$ . Înmulțind matricele, elementul din poziția $\displaystyle (1,2)$ este $\displaystyle x+y$ , iar ultimul element de pe diagonală este $\displaystyle 2^x\cdot 2^y=2^{x+y}$ .
$\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1 & x+y & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2^{x+y}\end{pmatrix}$
Rezultă $\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ . Prin înmulțiri succesive, produsul celor $\displaystyle 2016$ matrice este $\displaystyle A$ de suma indicilor.
$\displaystyle A(1)\cdot A(2)\cdot\ldots\cdot A(2016)=A(1+2+3+\ldots+2016)$
Calculăm suma cu formula $\displaystyle 1+2+\ldots+k=\dfrac{k(k+1)}{2}$ , pentru $\displaystyle k=2016$ . Simplificăm $\displaystyle 2016$ cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle 1008$ .
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+2016=\dfrac{2016\cdot 2017}{2}=2017\cdot 1008$
Înlocuim suma în produs și obținem $\displaystyle A(n)=A(2017\cdot 1008)$ .
$\displaystyle A(n)=A(1+2+\ldots+2016)=A(2017\cdot 1008)$
Matricele $\displaystyle A(n)$ și $\displaystyle A(2017\cdot 1008)$ sunt egale, deci elementele din poziția $\displaystyle (1,2)$ coincid: $\displaystyle n=2017\cdot 1008$ . Acesta este număr natural și multiplu de $\displaystyle 2017$ , deci $\displaystyle n$ este divizibil cu $\displaystyle 2017$ .
$\displaystyle n=2017\cdot 1008\in\mathbb{N}$ , $\displaystyle \ 2017\mid n$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-5X+a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle f(0)=a

.

Vezi rezolvarea

Pentru a calcula $\displaystyle f(0)$ , înlocuim nedeterminata $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 0$ în expresia polinomului $\displaystyle f=X^3-5X+a$ .
$\displaystyle f(0)=0^3-5\cdot 0+a$
Calculăm puterea și produsul: $\displaystyle 0^3=0$ , iar $\displaystyle 5\cdot 0=0$ .
$\displaystyle 0^3=0$ , $\displaystyle \quad 5\cdot 0=0$
Înlocuim aceste valori: $\displaystyle f(0)=0-0+a=a$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle f(0)=0-0+a=a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-5X+a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=2016-4a

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle f=X^3+0\cdot X^2-5X+a$ relațiile lui Viète dau suma rădăcinilor egală cu minus coeficientul lui $\displaystyle X^2$ , adică $\displaystyle x_1+x_2+x_3=0$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=0$
Fiecare rădăcină $\displaystyle x_k$ verifică $\displaystyle f(x_k)=0$ , adică $\displaystyle x_k^3-5x_k+a=0$ , deci $\displaystyle x_k^3=5x_k-a$ pentru $\displaystyle k\in\{1,2,3\}$ .
$\displaystyle x_k^3=5x_k-a$ , $\displaystyle \ k\in\{1,2,3\}$
Adunăm cele trei relații: $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=5(x_1+x_2+x_3)-3a$ . Cum $\displaystyle x_1+x_2+x_3=0$ , obținem $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3a$ .
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=5(x_1+x_2+x_3)-3a=-3a$
Înlocuim în egalitatea din enunț: $\displaystyle -3a=2016-4a$ . Adunăm $\displaystyle 4a$ în ambii membri și obținem $\displaystyle a=2016$ .
$\displaystyle -3a=2016-4a\Leftrightarrow a=2016$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-5X+a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că polinomul

\displaystyle f

are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.

Vezi rezolvarea

Presupunem prin reducere la absurd că $\displaystyle f$ are cel puțin două rădăcini întregi distincte $\displaystyle x_1, x_2\in\mathbb{Z}$ . Fie $\displaystyle x_3$ a treia rădăcină a lui $\displaystyle f$ , care este un număr complex. Scriem relațiile lui Viète pentru $\displaystyle f=X^3+0\cdot X^2-5X+a$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=0$ , $\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-5$
Din suma rădăcinilor, $\displaystyle x_3=-x_1-x_2$ . Deoarece $\displaystyle x_1$ și $\displaystyle x_2$ sunt întregi, rezultă că $\displaystyle x_3$ este întreg.
$\displaystyle x_3=-x_1-x_2\in\mathbb{Z}$
Ridicăm la pătrat suma rădăcinilor: $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$ . Înlocuim suma rădăcinilor cu $\displaystyle 0$ și suma produselor cu $\displaystyle -5$ .
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=0^2-2\cdot(-5)=10$
Rădăcinile sunt întregi, deci pătratele lor sunt pătrate perfecte mai mici sau egale cu $\displaystyle 10$ , adică $\displaystyle 0, 1, 4$ sau $\displaystyle 9$ . Dacă un pătrat este $\displaystyle 9$ , celelalte două au suma $\displaystyle 1$ , deci sunt $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 0$ . Dacă nu apare $\displaystyle 9$ , pătratele sunt din $\displaystyle \{0,1,4\}$ și nicio sumă nu dă $\displaystyle 10$ , deoarece $\displaystyle 4+4+4=12$ , $\displaystyle 4+4+1=9$ , $\displaystyle 4+4+0=8$ , $\displaystyle 4+1+1=6$ . Deci, în afară de ordine, pătratele sunt $\displaystyle 9$ , $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle x_1^2=9$ , $\displaystyle \ x_2^2=1$ , $\displaystyle \ x_3^2=0$
Rezultă $\displaystyle x_1=\pm 3$ , $\displaystyle x_2=\pm 1$ , $\displaystyle x_3=0$ . Suma lor poate fi doar $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle -2$ sau $\displaystyle -4$ , deci nu poate fi $\displaystyle 0$ . Aceasta contrazice relația $\displaystyle x_1+x_2+x_3=0$ . Presupunerea făcută este falsă, deci $\displaystyle f$ are cel mult o rădăcină întreagă.
$\displaystyle x_1+x_2+x_3\in\{-4,-2,2,4\}\neq 0\text{, contradicție; deci }f\text{ are cel mult o rădăcină }$ $\displaystyle \text{întreagă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=e^x-x-1

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f(x)=e^x-\dfrac{1}{2}x^2-x-1$ este o sumă algebrică de termeni, deci o derivăm termen cu termen, folosind $\displaystyle (u\pm v)'=u'\pm v'$ .
$\displaystyle f'(x)=(e^x)'-\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)'-(x)'-(1)'$
Scoatem constanta $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ în fața derivatei și folosim formulele: $\displaystyle (e^x)'=e^x$ , $\displaystyle (x^2)'=2x$ , $\displaystyle (x)'=1$ , $\displaystyle (1)'=0$ .
$\displaystyle (e^x)'=e^x$ , $\displaystyle \ \left(\dfrac{1}{2}x^2\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot 2x$ , $\displaystyle \ (x)'=1$ , $\displaystyle \ (1)'=0$
Înlocuim derivatele în expresia lui $\displaystyle f'(x)$ și simplificăm, pentru că $\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 2x=x$ . Obținem relația cerută, valabilă pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x-\dfrac{1}{2}\cdot 2x-1-0=e^x-x-1$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției: $\displaystyle f'(x)=\left(e^x-\dfrac{1}{2}x^2-x-1\right)'=e^x-x-1$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x-x-1$
Scriem raportul $\displaystyle \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{e^x-x-1}{e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1}$ . Când $\displaystyle x\to+\infty$ , numărătorul și numitorul tind la $\displaystyle +\infty$ (exponențiala crește mai repede decât polinomul), deci avem nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ și putem aplica regula lui l'Hospital.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-x-1}{e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1}\text{ de forma }\frac{\infty}{\infty}$
Aplicăm prima dată regula lui l'Hospital. Derivata numărătorului este $\displaystyle (e^x-x-1)'=e^x-1$ , iar derivata numitorului este $\displaystyle \left(e^x-\dfrac{1}{2}x^2-x-1\right)'=e^x-x-1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-x-1}{e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-1}{e^x-x-1}$
Limita obținută este tot de forma $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , deci aplicăm din nou regula lui l'Hospital. Derivata numărătorului este $\displaystyle (e^x-1)'=e^x$ , iar derivata numitorului este $\displaystyle (e^x-x-1)'=e^x-1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-1}{e^x-x-1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{e^x-1}$
Calculăm ultima limită: împărțim numărătorul și numitorul la $\displaystyle e^x$ , obținem $\displaystyle \dfrac{e^x}{e^x-1}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{e^x}}$ . Cum $\displaystyle \dfrac{1}{e^x}\to 0$ când $\displaystyle x\to+\infty$ , limita este $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{e^x-1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{e^x}}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1

.

Demonstrați că

\displaystyle f(2\sqrt{3})<f(3\sqrt{2})

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția $\displaystyle f(x)=e^x-\dfrac{1}{2}x^2-x-1$ și obținem prima derivată.
$\displaystyle f'(x)=e^x-x-1$
Derivăm încă o dată: $\displaystyle f''(x)=e^x-1$ . Pentru $\displaystyle x>0$ avem $\displaystyle e^x>e^0=1$ , deci $\displaystyle f''(x)>0$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ .
$\displaystyle f''(x)=e^x-1>0$ , $\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)$
Din $\displaystyle f''(x)>0$ rezultă că $\displaystyle f'$ este strict crescătoare pe $\displaystyle [0,+\infty)$ . Calculăm $\displaystyle f'(0)=e^0-0-1=0$ .
$\displaystyle f'(0)=0$
Pentru $\displaystyle x>0$ avem $\displaystyle f'(x)>f'(0)=0$ , deci $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle (0,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)>0$ , $\displaystyle \ \forall x>0\ \Rightarrow\ f\text{ strict crescătoare pe }(0,+\infty)$
Comparăm $\displaystyle 2\sqrt{3}$ cu $\displaystyle 3\sqrt{2}$ . Ambele sunt pozitive, iar pătratele lor sunt $\displaystyle (2\sqrt{3})^2=12$ și $\displaystyle (3\sqrt{2})^2=18$ . Cum $\displaystyle 12<18$ , rezultă $\displaystyle 2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$ .
$\displaystyle 0<2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$
Cum $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle (0,+\infty)$ și $\displaystyle 0<2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$ , obținem $\displaystyle f(2\sqrt{3})<f(3\sqrt{2})$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle f(2\sqrt{3})<f(3\sqrt{2})$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\left(1-x^2\right)^n dx

.

Arătați că

\displaystyle I_1=\frac{2}{3}

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle n=1$ definiția devine integrala funcției $\displaystyle 1-x^{2}$ pe intervalul $\displaystyle [0,1]$ .
$\displaystyle I_1=\int_0^1\left(1-x^2\right)dx$
Căutăm o primitivă a funcției: o primitivă a lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle x$ , iar o primitivă a lui $\displaystyle x^{2}$ este $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle I_1=\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1$
Calculăm primitiva în limitele $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 0$ și facem diferența: în $\displaystyle 0$ valoarea este $\displaystyle 0$ , iar în $\displaystyle 1$ valoarea este $\displaystyle 1-\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle I_1=\left(1-\frac{1^3}{3}\right)-\left(0-\frac{0^3}{3}\right)=1-\frac{1}{3}$
Aducem la același numitor: $\displaystyle 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}$ , deci obținem rezultatul cerut.
$\displaystyle I_1=\frac{2}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\left(1-x^2\right)^n dx

.

Demonstrați că

\displaystyle I_{n+1}\le I_n

, pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem diferența $\displaystyle I_{n+1}-I_n$ ca diferență de două integrale pe același interval $\displaystyle [0,1]$ .
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\left(1-x^2\right)^{n+1}dx-\int_0^1\left(1-x^2\right)^n dx$
Folosim liniaritatea integralei și scriem $\displaystyle \left(1-x^2\right)^{n+1}=\left(1-x^2\right)^n\left(1-x^2\right)$ . Dăm factor comun $\displaystyle \left(1-x^2\right)^n$ .
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\left(1-x^2\right)^n\left[\left(1-x^2\right)-1\right]dx$
Simplificăm paranteza dreaptă: $\displaystyle \left(1-x^2\right)-1=-x^2$ . Obținem integrala din barem.
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\left(-x^2\right)\left(1-x^2\right)^n dx$
Studiem semnul funcției de sub integrală pe $\displaystyle [0,1]$ . Avem $\displaystyle -x^2\le 0$ . Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ , $\displaystyle x^2\le 1$ , deci $\displaystyle 1-x^2\ge 0$ , iar o putere naturală a unui număr pozitiv sau nul este pozitivă sau nulă.
$\displaystyle -x^2\le 0$ , $\displaystyle \ \left(1-x^2\right)^n\ge 0\Rightarrow \left(-x^2\right)\left(1-x^2\right)^n\le 0\text{, pentru }x\in[0,1]$
Integrala unei funcții negative sau nule pe $\displaystyle [0,1]$ este negativă sau nulă. Deci diferența este $\displaystyle \le 0$ , adică $\displaystyle I_{n+1}\le I_n$ pentru orice $\displaystyle n$ natural nenul.
$\displaystyle I_{n+1}-I_n\le 0\Rightarrow I_{n+1}\le I_n$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

, se consideră numărul

\displaystyle I_n=\int_0^1\left(1-x^2\right)^n dx

.

Demonstrați că

\displaystyle (2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n

, pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1\left(1-x^2\right)^{n+1}dx$ și observăm că $\displaystyle 1=x'$ , deci putem integra prin părți cu $\displaystyle f(x)=\left(1-x^2\right)^{n+1}$ și $\displaystyle g(x)=x$ .
$\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1 x'\left(1-x^2\right)^{n+1}dx$
Aplicăm formula $\displaystyle \int_0^1 f g'\,dx=fg\Big|_0^1-\int_0^1 f'g\,dx$ . Derivata lui $\displaystyle \left(1-x^2\right)^{n+1}$ este $\displaystyle (n+1)\left(1-x^2\right)^n(-2x)$ .
$\displaystyle I_{n+1}=x\left(1-x^2\right)^{n+1}\Big|_0^1-\int_0^1 x(n+1)\left(1-x^2\right)^n(-2x)dx$
Termenul din afara integralei este $\displaystyle 1\cdot 0^{n+1}-0=0$ . În integrală scoatem constanta și obținem $\displaystyle x\cdot x=x^2$ , iar minusul din $\displaystyle -2x$ se anulează cu minusul dinaintea integralei.
$\displaystyle I_{n+1}=2(n+1)\int_0^1 x^2\left(1-x^2\right)^n dx$
Scriem $\displaystyle x^2=-\left(1-x^2-1\right)$ , deci integrala devine cu semn schimbat.
$\displaystyle I_{n+1}=-2(n+1)\int_0^1\left(1-x^2-1\right)\left(1-x^2\right)^n dx$
Desfacem paranteza: $\displaystyle \left(1-x^2\right)\left(1-x^2\right)^n=\left(1-x^2\right)^{n+1}$ , deci integrala este $\displaystyle I_{n+1}-I_n$ .
$\displaystyle I_{n+1}=-2(n+1)\left(I_{n+1}-I_n\right)$
Din $\displaystyle I_{n+1}=-2(n+1)I_{n+1}+2(n+1)I_n$ rezultă $\displaystyle \left(2(n+1)+1\right)I_{n+1}=2(n+1)I_n$ , adică $\displaystyle (2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n$ , pentru orice $\displaystyle n$ natural nenul.
$\displaystyle (2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2016, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani