Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 3: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=1+i\displaystyle z=1+i. Arătați că 2z−z2=2\displaystyle 2z-z^2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z=1+i\displaystyle z=1+i în expresia 2z−z2\displaystyle 2z-z^2.
    2z−z2=2(1+i)−(1+i)2\displaystyle 2z-z^2=2(1+i)-(1+i)^2
  2. Desfacem 2(1+i)\displaystyle 2(1+i) și dezvoltăm pătratul cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
    2(1+i)=2+2i\displaystyle 2(1+i)=2+2i,(1+i)2=1+2i+i2\displaystyle \quad (1+i)^2=1+2i+i^2
  3. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1, deci (1+i)2=1+2i−1=2i\displaystyle (1+i)^2=1+2i-1=2i.
    (1+i)2=1+2i−1=2i\displaystyle (1+i)^2=1+2i-1=2i
  4. Scădem: 2+2i−2i=2\displaystyle 2+2i-2i=2, deci egalitatea este demonstrată.
    2z−z2=2+2i−2i=2\displaystyle 2z-z^2=2+2i-2i=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−mx+2m\displaystyle f(x)=x^2-mx+2m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui m\displaystyle m, știind că f(x)>0\displaystyle f(x)>0 pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x2−mx+2m\displaystyle f(x)=x^2-mx+2m este de gradul al doilea, cu coeficientul dominant a=1>0\displaystyle a=1>0. Parabola are ramurile în sus, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} exact când f\displaystyle f nu are rădăcini reale, adică Δ<0\displaystyle \Delta<0.
    f(x)>0\displaystyle f(x)>0, ∀x∈R  ⟺  Δ<0\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\iff \Delta<0
  2. Coeficienții sunt a=1\displaystyle a=1, b=−m\displaystyle b=-m, c=2m\displaystyle c=2m. Calculăm Δ=b2−4ac=(−m)2−4⋅1⋅2m\displaystyle \Delta=b^2-4ac=(-m)^2-4\cdot 1\cdot 2m.
    Δ=m2−8m\displaystyle \Delta=m^2-8m
  3. Impunem Δ<0\displaystyle \Delta<0, adică m2−8m<0\displaystyle m^2-8m<0. Dăm factor comun: m(m−8)<0\displaystyle m(m-8)<0.
    m(m−8)<0\displaystyle m(m-8)<0
  4. Trinomul m(m−8)\displaystyle m(m-8) are rădăcinile 0\displaystyle 0 și 8\displaystyle 8 și coeficientul dominant pozitiv, deci este negativ strict între rădăcini. Prin urmare 0<m<8\displaystyle 0<m<8.
    m∈(0,8)\displaystyle m\in(0,8)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x+1)+log⁡5(x−1)=2\displaystyle \log_5\left(\sqrt{x}+1\right)+\log_5\left(\sqrt{x}-1\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență: x≥0\displaystyle x\ge 0, x+1>0\displaystyle \sqrt{x}+1>0 și x−1>0\displaystyle \sqrt{x}-1>0. Din ultima condiție rezultă x>1\displaystyle \sqrt{x}>1, adică x>1\displaystyle x>1.
    x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty)
  2. Folosim formula log⁡au+log⁡av=log⁡a(u⋅v)\displaystyle \log_a u+\log_a v=\log_a(u\cdot v) și scriem ecuația sub forma unui singur logaritm.
    log⁡5((x+1)(x−1))=2\displaystyle \log_5\left(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)\right)=2
  3. Aplicăm formula (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^2-b^2, deci produsul devine (x)2−1\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)^2-1. Din definiția logaritmului, log⁡5y=2\displaystyle \log_5 y=2 înseamnă y=52\displaystyle y=5^2.
    (x)2−1=52\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)^2-1=5^2
  4. Cum x≥0\displaystyle x\ge 0, avem (x)2=x\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)^2=x, iar 52=25\displaystyle 5^2=25. Ecuația devine x−1=25\displaystyle x-1=25, deci x=26\displaystyle x=26.
    x−1=25⇒x=26\displaystyle x-1=25\Rightarrow x=26
  5. Verificăm condiția de existență: 26>1\displaystyle 26>1, deci valoarea convine. Ecuația are o singură soluție.
    x=26, care convine\displaystyle x=26\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 32\displaystyle 32 de submulțimi.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem că o mulțime cu n\displaystyle n elemente are 2n\displaystyle 2^{n} submulțimi: pentru fiecare element avem două variante, fie îl alegem în submulțime, fie nu.
    2n\displaystyle 2^{n}
  2. Scriem condiția din enunț: numărul de submulțimi este 32\displaystyle 32, deci 2n=32\displaystyle 2^{n}=32.
    2n=32\displaystyle 2^{n}=32
  3. Scriem 32\displaystyle 32 ca putere a lui 2\displaystyle 2: 32=25\displaystyle 32=2^{5}. Atunci 2n=25\displaystyle 2^{n}=2^{5}, iar egalăm exponenții, deoarece baza 2\displaystyle 2 este aceeași.
    2n=25⇒n=5\displaystyle 2^{n}=2^{5}\Rightarrow n=5
  4. Mulțimea are 5\displaystyle 5 elemente.
    2n=32, deci n=5\displaystyle 2^{n}=32\text{, deci }n=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,1)\displaystyle A(0,1), B(2,5)\displaystyle B(2,5) și C(6,1)\displaystyle C(6,1). Determinați coordonatele punctului D\displaystyle D, știind că AB→+AC→=AD→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm coordonatele vectorilor AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} și AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}, scăzând coordonatele lui A\displaystyle A din cele ale extremității: AB→=(2−0)i⃗+(5−1)j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=(2-0)\vec{i}+(5-1)\vec{j} și AC→=(6−0)i⃗+(1−1)j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=(6-0)\vec{i}+(1-1)\vec{j}.
    AB→=(2,4)\displaystyle \overrightarrow{AB}=(2,4),AC→=(6,0)\displaystyle \quad \overrightarrow{AC}=(6,0)
  2. Egalitatea AB→+AC→=AD→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD} arată, conform regulii paralelogramului, că ABDC\displaystyle ABDC este paralelogram, cu diagonalele AD\displaystyle AD și BC\displaystyle BC. Deci mijloacele segmentelor AD\displaystyle AD și BC\displaystyle BC coincid.
    ABDC paralelogram⇒MAD=MBC\displaystyle ABDC\text{ paralelogram}\Rightarrow M_{AD}=M_{BC}
  3. Aflăm mijlocul M\displaystyle M al segmentului BC\displaystyle BC, cu media aritmetică a coordonatelor: xM=2+62\displaystyle x_M=\dfrac{2+6}{2} și yM=5+12\displaystyle y_M=\dfrac{5+1}{2}.
    M(4,3)\displaystyle M(4,3)
  4. Notăm D(x,y)\displaystyle D(x,y). Mijlocul lui AD\displaystyle AD are coordonatele (0+x2,1+y2)\displaystyle \left(\dfrac{0+x}{2},\dfrac{1+y}{2}\right) și trebuie să fie egal cu M(4,3)\displaystyle M(4,3).
    x2=4\displaystyle \dfrac{x}{2}=4,1+y2=3\displaystyle \quad \dfrac{1+y}{2}=3
  5. Rezolvăm ecuațiile: x=8\displaystyle x=8 și 1+y=6\displaystyle 1+y=6, deci y=5\displaystyle y=5. Verificare: AD→=(8,4)\displaystyle \overrightarrow{AD}=(8,4) și AB→+AC→=(2+6,4+0)=(8,4)\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(2+6,4+0)=(8,4). Deci D(8,5)\displaystyle D(8,5).
    x=8 și y=5\displaystyle x=8\text{ și }y=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) pentru care sin⁡(π2−x)−cos⁡(π2−x)=sin⁡x−cos⁡x\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x-\cos x.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm formulele de reducere pentru unghiul complementar: sin⁡(π2−x)=cos⁡x\displaystyle \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x, iar cos⁡(π2−x)=sin⁡x\displaystyle \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x.
    sin⁡(π2−x)=cos⁡x\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x, cos⁡(π2−x)=sin⁡x\displaystyle \ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x
  2. Înlocuim aceste valori în membrul stâng al ecuației. Membrul drept rămâne neschimbat: cos⁡x−sin⁡x=sin⁡x−cos⁡x\displaystyle \cos x-\sin x=\sin x-\cos x.
    cos⁡x−sin⁡x=sin⁡x−cos⁡x\displaystyle \cos x-\sin x=\sin x-\cos x
  3. Adunăm cos⁡x+sin⁡x\displaystyle \cos x+\sin x la ambii membri și obținem 2cos⁡x=2sin⁡x\displaystyle 2\cos x=2\sin x, deci cos⁡x=sin⁡x\displaystyle \cos x=\sin x.
    cos⁡x=sin⁡x\displaystyle \cos x=\sin x
  4. Pe (0,π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) avem cos⁡x≠0\displaystyle \cos x\neq 0, deci împărțim la cos⁡x\displaystyle \cos x și obținem tg⁡x=1\displaystyle \operatorname{tg} x=1. Singura soluție din interval este x=π4\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}.
    x=π4\displaystyle x=\frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a02−a0202−a0a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&0&2-a\\0&2&0\\2-a&0&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=8\displaystyle \det(A(2))=8.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Elementele 2−a\displaystyle 2-a devin 0\displaystyle 0, iar elementele a\displaystyle a devin 2\displaystyle 2.
    A(2)=(200020002)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2), care este o matrice diagonală.
    det⁡(A(2))=∣200020002∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus: produsul elementelor de pe diagonala principală este 2⋅2⋅2=8\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8, iar toți ceilalți termeni conțin cel puțin un element nul, deci sunt 0\displaystyle 0.
    det⁡(A(2))=2⋅2⋅2+0+0−0−0−0=8\displaystyle \det(A(2))=2\cdot2\cdot2+0+0-0-0-0=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a02−a0202−a0a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&0&2-a\\0&2&0\\2-a&0&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a)A(b)=2A(ab−a−b+2)\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab-a-b+2), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)A(b)\displaystyle A(a)A(b) înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementele de pe pozițiile (1,2)\displaystyle (1,2), (2,1)\displaystyle (2,1), (2,3)\displaystyle (2,3) și (3,2)\displaystyle (3,2) sunt 0\displaystyle 0, pentru că fiecare termen al sumei conține un factor 0\displaystyle 0.
    A(a)A(b)=(a02−a0202−a0a)(b02−b0202−b0b)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}a&0&2-a\\0&2&0\\2-a&0&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b&0&2-b\\0&2&0\\2-b&0&b\end{pmatrix}
  2. Elementul de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) este a⋅b+(2−a)(2−b)\displaystyle a\cdot b+(2-a)(2-b). Efectuăm calculul.
    ab+(2−a)(2−b)=ab+4−2a−2b+ab=4−2a−2b+2ab\displaystyle ab+(2-a)(2-b)=ab+4-2a-2b+ab=4-2a-2b+2ab
  3. Elementul de pe poziția (1,3)\displaystyle (1,3) este a(2−b)+(2−a)b\displaystyle a(2-b)+(2-a)b. Elementul (3,1)\displaystyle (3,1) are aceeași valoare, iar (3,3)\displaystyle (3,3) este egal cu (1,1)\displaystyle (1,1).
    a(2−b)+(2−a)b=2a−ab+2b−ab=2a+2b−2ab\displaystyle a(2-b)+(2-a)b=2a-ab+2b-ab=2a+2b-2ab
  4. Elementul de pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2) este 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4. Adunăm rezultatele și obținem matricea produs.
    A(a)A(b)=(4−2a−2b+2ab02a+2b−2ab0402a+2b−2ab04−2a−2b+2ab)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}4-2a-2b+2ab&0&2a+2b-2ab\\0&4&0\\2a+2b-2ab&0&4-2a-2b+2ab\end{pmatrix}
  5. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 în fața matricei. Notăm t=ab−a−b+2\displaystyle t=ab-a-b+2. Atunci 4−2a−2b+2ab=2t\displaystyle 4-2a-2b+2ab=2t, iar 2a+2b−2ab=2(2−t)\displaystyle 2a+2b-2ab=2(2-t), pentru că 2−t=a+b−ab\displaystyle 2-t=a+b-ab. Elementul 4\displaystyle 4 este 2⋅2\displaystyle 2\cdot 2. Matricea rămasă are forma lui A(t)\displaystyle A(t), deci produsul este 2A(ab−a−b+2)\displaystyle 2A(ab-a-b+2).
    A(a)A(b)=2(ab−a−b+202−(ab−a−b+2)0202−(ab−a−b+2)0ab−a−b+2)=2A(ab−a−b+2)\displaystyle A(a)A(b)=2\begin{pmatrix}ab-a-b+2&0&2-(ab-a-b+2)\\0&2&0\\2-(ab-a-b+2)&0&ab-a-b+2\end{pmatrix}=2A(ab-a-b+2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a02−a0202−a0a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&0&2-a\\0&2&0\\2-a&0&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați perechile de numere întregi p\displaystyle p și q\displaystyle q pentru care A(p)A(q)=4I3\displaystyle A(p)A(q)=4I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(p)A(q)\displaystyle A(p)A(q). Elementul din colțul stânga-sus este pq+(2−p)(2−q)=2pq−2p−2q+4\displaystyle pq+(2-p)(2-q)=2pq-2p-2q+4. Elementul din colțul dreapta-sus este p(2−q)+(2−p)q=−2pq+2p+2q\displaystyle p(2-q)+(2-p)q=-2pq+2p+2q. Elementul din mijloc este 4\displaystyle 4.
    A(p)A(q)=(2(pq−p−q+2)0−2(pq−p−q)040−2(pq−p−q)02(pq−p−q+2))\displaystyle A(p)A(q)=\begin{pmatrix}2(pq-p-q+2)&0&-2(pq-p-q)\\0&4&0\\-2(pq-p-q)&0&2(pq-p-q+2)\end{pmatrix}
  2. Observăm că rezultatul are forma 2A(pq−p−q+2)\displaystyle 2A(pq-p-q+2), deoarece 2−(pq−p−q+2)=−(pq−p−q)\displaystyle 2-(pq-p-q+2)=-(pq-p-q). Aceasta este relația de la punctul b).
    A(p)A(q)=2A(pq−p−q+2)\displaystyle A(p)A(q)=2A(pq-p-q+2)
  3. Egalitatea A(p)A(q)=4I3\displaystyle A(p)A(q)=4I_3 devine 2A(pq−p−q+2)=4I3\displaystyle 2A(pq-p-q+2)=4I_3, deci A(pq−p−q+2)=2I3\displaystyle A(pq-p-q+2)=2I_3. Matricea A(2)\displaystyle A(2) are 2\displaystyle 2 pe diagonală și 0\displaystyle 0 în rest, deci A(2)=2I3\displaystyle A(2)=2I_3. Egalitatea devine A(pq−p−q+2)=A(2)\displaystyle A(pq-p-q+2)=A(2), iar din elementul de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) rezultă pq−p−q+2=2\displaystyle pq-p-q+2=2, adică pq−p−q=0\displaystyle pq-p-q=0.
    A(pq−p−q+2)=2I3=A(2)⇔pq−p−q=0\displaystyle A(pq-p-q+2)=2I_3=A(2)\Leftrightarrow pq-p-q=0
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri ai egalității pq−p−q=0\displaystyle pq-p-q=0 și factorizăm: pq−p−q+1=(p−1)(q−1)\displaystyle pq-p-q+1=(p-1)(q-1). Obținem (p−1)(q−1)=1\displaystyle (p-1)(q-1)=1.
    (p−1)(q−1)=1\displaystyle (p-1)(q-1)=1
  5. Numerele p−1\displaystyle p-1 și q−1\displaystyle q-1 sunt întregi cu produsul 1\displaystyle 1, deci sunt ambele 1\displaystyle 1 sau ambele −1\displaystyle -1. În primul caz p=2\displaystyle p=2 și q=2\displaystyle q=2, în al doilea caz p=0\displaystyle p=0 și q=0\displaystyle q=0.
    p=0\displaystyle p=0, q=0 sau p=2\displaystyle \ q=0\text{ sau }p=2, q=2\displaystyle \ q=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−35xy+x+y\displaystyle x*y=-\frac{3}{5}xy+x+y.

Arătați că x∗y=−35(x−53)(y−53)+53\displaystyle x*y=-\frac{3}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(y-\frac{5}{3}\right)+\frac{5}{3}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii, x∗y=−35xy+x+y\displaystyle x*y=-\dfrac{3}{5}xy+x+y. Scriem x=35⋅53x\displaystyle x=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{3}x, ca să putem da factor comun pe −35x\displaystyle -\dfrac{3}{5}x.
    x∗y=−35xy+35⋅53x+y\displaystyle x*y=-\frac{3}{5}xy+\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}x+y
  2. Dăm factor comun −35x\displaystyle -\dfrac{3}{5}x între primii doi termeni: −35xy+35⋅53x=−35x(y−53)\displaystyle -\dfrac{3}{5}xy+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{3}x=-\dfrac{3}{5}x\left(y-\dfrac{5}{3}\right). Apoi scriem y=y−53+53\displaystyle y=y-\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}.
    x∗y=−35x(y−53)+y−53+53\displaystyle x*y=-\frac{3}{5}x\left(y-\frac{5}{3}\right)+y-\frac{5}{3}+\frac{5}{3}
  3. Dăm factor comun y−53\displaystyle y-\dfrac{5}{3} între primul termen și y−53\displaystyle y-\dfrac{5}{3}. În paranteza rămasă obținem −35x+1\displaystyle -\dfrac{3}{5}x+1.
    x∗y=(y−53)(−35x+1)+53\displaystyle x*y=\left(y-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{3}{5}x+1\right)+\frac{5}{3}
  4. Scoatem factor comun −35\displaystyle -\dfrac{3}{5} din a doua paranteză: −35x+1=−35(x−53)\displaystyle -\dfrac{3}{5}x+1=-\dfrac{3}{5}\left(x-\dfrac{5}{3}\right), deoarece −35⋅(−53)=1\displaystyle -\dfrac{3}{5}\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right)=1. Obținem forma cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=−35(x−53)(y−53)+53\displaystyle x*y=-\frac{3}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(y-\frac{5}{3}\right)+\frac{5}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−35xy+x+y\displaystyle x*y=-\frac{3}{5}xy+x+y.

Arătați că 5x3∗53x≥53\displaystyle \frac{5x}{3}*\frac{5}{3x}\ge\frac{5}{3}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim forma canonică a legii, obținută la punctul a): x∗y=−35(x−53)(y−53)+53\displaystyle x*y=-\dfrac{3}{5}\left(x-\dfrac{5}{3}\right)\left(y-\dfrac{5}{3}\right)+\dfrac{5}{3}. O verificăm desfăcând parantezele: −35xy+x+y−53+53=−35xy+x+y\displaystyle -\dfrac{3}{5}xy+x+y-\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}=-\dfrac{3}{5}xy+x+y.
    x∗y=−35(x−53)(y−53)+53\displaystyle x*y=-\frac{3}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(y-\frac{5}{3}\right)+\frac{5}{3}
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 5x3\displaystyle \dfrac{5x}{3} și y\displaystyle y cu 53x\displaystyle \dfrac{5}{3x} în forma canonică.
    5x3∗53x=−35(5x3−53)(53x−53)+53\displaystyle \frac{5x}{3}*\frac{5}{3x}=-\frac{3}{5}\left(\frac{5x}{3}-\frac{5}{3}\right)\left(\frac{5}{3x}-\frac{5}{3}\right)+\frac{5}{3}
  3. Calculăm separat cele două diferențe, scoțând factorul comun 53\displaystyle \dfrac{5}{3} și aducând la același numitor.
    5x3−53=5(x−1)3, 53x−53=5(1−x)3x\displaystyle \frac{5x}{3}-\frac{5}{3}=\frac{5(x-1)}{3}\text{, }\quad \frac{5}{3x}-\frac{5}{3}=\frac{5(1-x)}{3x}
  4. Înmulțim cele două diferențe. Deoarece (x−1)(1−x)=−(x−1)2\displaystyle (x-1)(1-x)=-(x-1)^2, produsul este −25(x−1)29x\displaystyle -\dfrac{25(x-1)^2}{9x}. Înmulțim cu −35\displaystyle -\dfrac{3}{5}: obținem 7545=53\displaystyle \dfrac{75}{45}=\dfrac{5}{3} ori (x−1)2x\displaystyle \dfrac{(x-1)^2}{x}, apoi adunăm 53\displaystyle \dfrac{5}{3}.
    5x3∗53x=53⋅(x−1)2x+53, x∈(0,+∞)\displaystyle \frac{5x}{3}*\frac{5}{3x}=\frac{5}{3}\cdot\frac{(x-1)^2}{x}+\frac{5}{3}\text{, }x\in(0,+\infty)
  5. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem (x−1)2≥0\displaystyle (x-1)^2\ge 0 și x>0\displaystyle x>0, deci fracția (x−1)2x\displaystyle \dfrac{(x-1)^2}{x} este nenegativă, iar 5(x−1)23x≥0\displaystyle \dfrac{5(x-1)^2}{3x}\ge 0. Adăugând 53\displaystyle \dfrac{5}{3} la ambii membri, obținem inegalitatea cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    x>0⇒5(x−1)23x≥0, deci 5x3∗53x≥53, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x>0\Rightarrow\frac{5(x-1)^2}{3x}\ge 0\text{, deci }\frac{5x}{3}*\frac{5}{3x}\ge\frac{5}{3}\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−35xy+x+y\displaystyle x*y=-\frac{3}{5}xy+x+y.

Calculați 13∗23∗33∗…∗20203\displaystyle \frac{1}{3}*\frac{2}{3}*\frac{3}{3}*\ldots*\frac{2020}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm un element a\displaystyle a care absoarbe: cerem x∗a=a\displaystyle x*a=a pentru orice x\displaystyle x real. Avem x∗a=−35xa+x+a\displaystyle x*a=-\dfrac{3}{5}xa+x+a, deci egalitatea devine x(1−35a)=0\displaystyle x\left(1-\dfrac{3}{5}a\right)=0 pentru orice x\displaystyle x.
    x(1−35a)=0\displaystyle x\left(1-\frac{3}{5}a\right)=0
  2. Condiția trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x, deci 1−35a=0\displaystyle 1-\dfrac{3}{5}a=0, de unde a=53\displaystyle a=\dfrac{5}{3}.
    a=53\displaystyle a=\frac{5}{3}
  3. Verificăm direct: x∗53=−35⋅x⋅53+x+53=−x+x+53=53\displaystyle x*\dfrac{5}{3}=-\dfrac{3}{5}\cdot x\cdot\dfrac{5}{3}+x+\dfrac{5}{3}=-x+x+\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{3}. Legea este comutativă, deci și 53∗y=53\displaystyle \dfrac{5}{3}*y=\dfrac{5}{3}, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∗53=53 și 53∗y=53\displaystyle x*\frac{5}{3}=\frac{5}{3}\text{ și }\frac{5}{3}*y=\frac{5}{3}
  4. În șirul 13,23,33,…,20203\displaystyle \dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{3},\ldots,\dfrac{2020}{3} apare termenul 53\displaystyle \dfrac{5}{3} (al cincilea). Legea fiind asociativă, grupăm: ((13∗…∗43)∗53)∗(63∗…∗20203)\displaystyle \left(\left(\dfrac{1}{3}*\ldots*\dfrac{4}{3}\right)*\dfrac{5}{3}\right)*\left(\dfrac{6}{3}*\ldots*\dfrac{2020}{3}\right). Paranteza din stânga are forma x∗53\displaystyle x*\dfrac{5}{3}, deci este egală cu 53\displaystyle \dfrac{5}{3}.
    ((13∗…∗43)∗53)∗(63∗…∗20203)=53∗(63∗…∗20203)\displaystyle \left(\left(\frac{1}{3}*\ldots*\frac{4}{3}\right)*\frac{5}{3}\right)*\left(\frac{6}{3}*\ldots*\frac{2020}{3}\right)=\frac{5}{3}*\left(\frac{6}{3}*\ldots*\frac{2020}{3}\right)
  5. Acum avem 53∗y\displaystyle \dfrac{5}{3}*y, unde y=63∗…∗20203\displaystyle y=\dfrac{6}{3}*\ldots*\dfrac{2020}{3}. Conform proprietății de absorbție, rezultatul este 53\displaystyle \dfrac{5}{3}.
    13∗23∗33∗…∗20203=53\displaystyle \frac{1}{3}*\frac{2}{3}*\frac{3}{3}*\ldots*\frac{2020}{3}=\frac{5}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−ln⁡(x2+1)\displaystyle f(x)=4x-\ln\left(x^2+1\right).

Arătați că f′(x)=2(2x2−x+2)x2+1\displaystyle f'(x)=\frac{2\left(2x^2-x+2\right)}{x^2+1}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen. Derivata lui 4x\displaystyle 4x este 4\displaystyle 4, iar pentru logaritm folosim formula (ln⁡u)′=u′u\displaystyle \left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}, cu u=x2+1\displaystyle u=x^{2}+1.
    f′(x)=(4x)′−(ln⁡(x2+1))′\displaystyle f'(x)=\left(4x\right)'-\left(\ln\left(x^{2}+1\right)\right)'
  2. Calculăm (x2+1)′=2x\displaystyle \left(x^{2}+1\right)'=2x și înlocuim în formula derivatei logaritmului.
    f′(x)=4−1x2+1⋅2x\displaystyle f'(x)=4-\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x
  3. Aducem la același numitor: scriem 4=4(x2+1)x2+1\displaystyle 4=\dfrac{4\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1} și înmulțim fracția a doua, 1x2+1⋅2x=2xx2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x=\dfrac{2x}{x^{2}+1}.
    f′(x)=4x2+4−2xx2+1\displaystyle f'(x)=\frac{4x^{2}+4-2x}{x^{2}+1}
  4. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 la numărător: 4x2−2x+4=2(2x2−x+2)\displaystyle 4x^{2}-2x+4=2\left(2x^{2}-x+2\right). Numitorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 este strict pozitiv, deci egalitatea are loc pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=2(2x2−x+2)x2+1, x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{2\left(2x^{2}-x+2\right)}{x^{2}+1}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−ln⁡(x2+1)\displaystyle f(x)=4x-\ln\left(x^2+1\right).

Calculați lim⁡x→+∞(f(x+1)−f(x))\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x+1)-f(x)\right).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(x+1)\displaystyle f(x+1) înlocuind x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 în expresia funcției: f(x+1)=4(x+1)−ln⁡((x+1)2+1)\displaystyle f(x+1)=4(x+1)-\ln\left((x+1)^2+1\right).
    f(x+1)=4x+4−ln⁡(x2+2x+2)\displaystyle f(x+1)=4x+4-\ln\left(x^2+2x+2\right)
  2. Calculăm diferența f(x+1)−f(x)\displaystyle f(x+1)-f(x): termenii 4x\displaystyle 4x se reduc și rămâne 4\displaystyle 4 minus diferența celor doi logaritmi.
    f(x+1)−f(x)=4−ln⁡(x2+2x+2)+ln⁡(x2+1)\displaystyle f(x+1)-f(x)=4-\ln\left(x^2+2x+2\right)+\ln\left(x^2+1\right)
  3. Folosim proprietatea ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b} și scriem limita cerută cu un singur logaritm.
    lim⁡x→+∞(f(x+1)−f(x))=lim⁡x→+∞(4−ln⁡x2+2x+2x2+1)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x+1)-f(x)\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(4-\ln\frac{x^2+2x+2}{x^2+1}\right)
  4. Calculăm limita raportului din logaritm: împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^2, iar termenii 2x\displaystyle \dfrac{2}{x}, 2x2\displaystyle \dfrac{2}{x^2} și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^2} tind la 0\displaystyle 0, deci raportul tinde la 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→+∞x2+2x+2x2+1=lim⁡x→+∞1+2x+2x21+1x2=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x+2}{x^2+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=1
  5. Cum ln⁡\displaystyle \ln este continuă în 1\displaystyle 1, limita logaritmului este ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Rezultă că limita cerută este 4−0\displaystyle 4-0.
    4−ln⁡1=4\displaystyle 4-\ln 1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−ln⁡(x2+1)\displaystyle f(x)=4x-\ln\left(x^2+1\right). Demonstrați că funcția f\displaystyle f este bijectivă.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Calculăm derivata, folosind (ln⁡u)′=u′u\displaystyle \left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}, și aducem la același numitor.
    f′(x)=4−2xx2+1=4x2−2x+4x2+1\displaystyle f'(x)=4-\dfrac{2x}{x^{2}+1}=\dfrac{4x^{2}-2x+4}{x^{2}+1}
  2. Numitorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 este pozitiv. Numărătorul 4x2−2x+4\displaystyle 4x^{2}-2x+4 are coeficientul dominant pozitiv și discriminantul Δ=(−2)2−4⋅4⋅4=−60<0\displaystyle \Delta=(-2)^{2}-4\cdot 4\cdot 4=-60<0, deci este pozitiv pentru orice x\displaystyle x real.
    Δ=−60<0⇒4x2−2x+4>0\displaystyle \Delta=-60<0\Rightarrow 4x^{2}-2x+4>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Rezultă f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci f\displaystyle f este strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}. O funcție strict crescătoare este injectivă.
    f′(x)>0, pentru orice x∈R⇒f este strict cresca˘toare, \displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}\Rightarrow f\text{ este strict crescătoare, }deci f este injectiva˘\displaystyle \text{deci }f\text{ este injectivă}
  4. Pentru surjectivitate calculăm limitele la ±∞\displaystyle \pm\infty. Scriem f(x)=x(4−ln⁡(x2+1)x)\displaystyle f(x)=x\left(4-\dfrac{\ln\left(x^{2}+1\right)}{x}\right). Cazul este ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci prin regula lui L'Hôpital limita raportului este limita raportului derivatelor, 2xx2+1\displaystyle \dfrac{2x}{x^{2}+1}, care tinde la 0\displaystyle 0 când x→±∞\displaystyle x\to\pm\infty.
    lim⁡x→±∞ln⁡(x2+1)x=lim⁡x→±∞2xx2+1=0\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{\ln\left(x^{2}+1\right)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x}{x^{2}+1}=0
  5. Paranteza tinde la 4−0=4>0\displaystyle 4-0=4>0, iar factorul x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty, respectiv −∞\displaystyle -\infty. Obținem limitele lui f\displaystyle f la capetele domeniului.
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  6. Funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind diferență de funcții continue (x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0, deci logaritmul este definit pe R\displaystyle \mathbb{R}). Cum limitele la capete sunt −∞\displaystyle -\infty și +∞\displaystyle +\infty, din teorema lui Bolzano-Cauchy (a valorilor intermediare) f\displaystyle f ia orice valoare reală, deci f\displaystyle f este surjectivă. Fiind injectivă și surjectivă, f\displaystyle f este bijectivă.
    f continua˘\displaystyle f\text{ continuă}, f(R)=R⇒f este surjectiva˘, deci f este bijectiva˘\displaystyle \ f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\Rightarrow f\text{ este surjectivă, deci }f\text{ este bijectivă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−5,5)→R\displaystyle f:(-5,5)\to\mathbb{R}, f(x)=25−x2\displaystyle f(x)=\sqrt{25-x^2}.

Arătați că ∫01f2(x) dx=743\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=\frac{74}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f2(x)\displaystyle f^2(x). Pentru x∈(−5,5)\displaystyle x\in(-5,5) expresia de sub radical este pozitivă, deci (25−x2)2=25−x2\displaystyle \left(\sqrt{25-x^2}\right)^2=25-x^2.
    f2(x)=25−x2\displaystyle f^2(x)=25-x^2
  2. Înlocuim în integrală și căutăm o primitivă a polinomului. O primitivă a lui 25\displaystyle 25 este 25x\displaystyle 25x, iar o primitivă a lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}. Scriem apoi primitiva evaluată între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01f2(x) dx=∫01(25−x2)dx=(25x−x33)∣01\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1\left(25-x^2\right)dx=\left(25x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 minus valoarea ei în 0\displaystyle 0. În 0\displaystyle 0 primitiva este 0\displaystyle 0, iar în 1\displaystyle 1 este 25−13\displaystyle 25-\dfrac{1}{3}. Aducem la același numitor: 753−13=743\displaystyle \dfrac{75}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{74}{3}, adică exact ce trebuia arătat.
    25−13=75−13=743\displaystyle 25-\frac{1}{3}=\frac{75-1}{3}=\frac{74}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−5,5)→R\displaystyle f:(-5,5)\to\mathbb{R}, f(x)=25−x2\displaystyle f(x)=\sqrt{25-x^2}.

Calculați ∫−33∣xf(x)∣dx\displaystyle \int_{-3}^{3}\left|x f(x)\right|dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrandul explicit. Cum 25−x2>0\displaystyle \sqrt{25-x^2}>0 pe (−5,5)\displaystyle (-5,5), avem ∣xf(x)∣=∣x∣25−x2\displaystyle |xf(x)|=|x|\sqrt{25-x^2}.
    ∣xf(x)∣=∣x∣25−x2\displaystyle |xf(x)|=|x|\sqrt{25-x^2}
  2. Pentru x∈[−3,0]\displaystyle x\in[-3,0] avem ∣x∣=−x\displaystyle |x|=-x, iar pentru x∈[0,3]\displaystyle x\in[0,3] avem ∣x∣=x\displaystyle |x|=x. Împărțim integrala în punctul 0\displaystyle 0.
    ∫−33∣xf(x)∣dx=−∫−30x25−x2 dx+∫03x25−x2 dx\displaystyle \int_{-3}^{3}\left|xf(x)\right|dx=-\int_{-3}^{0}x\sqrt{25-x^2}\,dx+\int_{0}^{3}x\sqrt{25-x^2}\,dx
  3. Notăm t=25−x2\displaystyle t=25-x^2, deci dt=−2x dx\displaystyle dt=-2x\,dx, adică x dx=−12 dt\displaystyle x\,dx=-\dfrac{1}{2}\,dt. Atunci ∫x25−x2 dx=−12∫t dt\displaystyle \int x\sqrt{25-x^2}\,dx=-\dfrac{1}{2}\int \sqrt{t}\,dt.
    ∫x25−x2 dx=−12⋅23t32+C\displaystyle \int x\sqrt{25-x^2}\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C
  4. Revenind la x\displaystyle x, o primitivă a lui x25−x2\displaystyle x\sqrt{25-x^2} este F(x)=−13(25−x2)32\displaystyle F(x)=-\dfrac{1}{3}\left(25-x^2\right)^{\frac{3}{2}}. Așadar integrala devine F\displaystyle F cu semn schimbat pe primul interval.
    −∫−30x25−x2 dx=13(25−x2)32∣−30\displaystyle -\int_{-3}^{0}x\sqrt{25-x^2}\,dx=\frac{1}{3}\left(25-x^2\right)^{\frac{3}{2}}\Big|_{-3}^{0},∫03x25−x2 dx=−13(25−x2)32∣03\displaystyle \quad \int_{0}^{3}x\sqrt{25-x^2}\,dx=-\frac{1}{3}\left(25-x^2\right)^{\frac{3}{2}}\Big|_{0}^{3}
  5. Calculăm valorile: (25−0)32=2525=125\displaystyle \left(25-0\right)^{\frac{3}{2}}=25\sqrt{25}=125, iar (25−9)32=1632=64\displaystyle \left(25-9\right)^{\frac{3}{2}}=16^{\frac{3}{2}}=64.
    13(125−64)=613 pe primul interval\displaystyle \frac{1}{3}\left(125-64\right)=\frac{61}{3}\text{ pe primul interval},−13(64−125)=613 pe al doilea\displaystyle \quad -\frac{1}{3}\left(64-125\right)=\frac{61}{3}\text{ pe al doilea}
  6. Adunăm cele două părți: 1253−643−643+1253=1223\displaystyle \dfrac{125}{3}-\dfrac{64}{3}-\dfrac{64}{3}+\dfrac{125}{3}=\dfrac{122}{3}.
    1253−643−643+1253=1223\displaystyle \frac{125}{3}-\frac{64}{3}-\frac{64}{3}+\frac{125}{3}=\frac{122}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−5,5)→R\displaystyle f:(-5,5)\to\mathbb{R}, f(x)=25−x2\displaystyle f(x)=\sqrt{25-x^2}.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫011fn(x) dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{1}{f^n(x)}\,dx. Demonstrați că șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1} este monoton.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrandul cu ajutorul definiției funcției: fn(x)=(25−x2)n\displaystyle f^n(x)=\left(\sqrt{25-x^2}\right)^n. Deci In=∫011(25−x2)n dx\displaystyle I_n=\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt{(25-x^2)^n}}\,dx.
    In=∫011(25−x2)n dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{\left(25-x^2\right)^n}}\,dx
  2. Scriem diferența In+1−In\displaystyle I_{n+1}-I_n sub o singură integrală, folosind liniaritatea integralei. Din 1fn+1(x)\displaystyle \dfrac{1}{f^{n+1}(x)} scoatem factor comun 1fn(x)\displaystyle \dfrac{1}{f^{n}(x)}, adică 1(25−x2)n\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{(25-x^2)^n}}, iar ce rămâne este 125−x2−1\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{25-x^2}}-1.
    In+1−In=∫011(25−x2)n(125−x2−1)dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{\left(25-x^2\right)^n}}\left(\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}-1\right)dx
  3. Studiem semnul primului factor. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem 25−x2>0\displaystyle 25-x^2>0, deci radicalul este pozitiv, iar factorul 1(25−x2)n\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{(25-x^2)^n}} este strict pozitiv.
    1(25−x2)n>0, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\left(25-x^2\right)^n}}>0\text{, pentru orice }x\in[0,1]
  4. Studiem semnul celui de-al doilea factor. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem 0≤x2≤1\displaystyle 0\le x^2\le 1, deci 24≤25−x2≤25\displaystyle 24\le 25-x^2\le 25. Rezultă 25−x2>1\displaystyle \sqrt{25-x^2}>1, deci 125−x2<1\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{25-x^2}}<1. Prin urmare, paranteza este negativă.
    125−x2−1<0, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{25-x^2}}-1<0\text{, pentru orice }x\in[0,1]
  5. Produsul unui factor pozitiv cu unul negativ este negativ, deci integrandul este negativ pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Integrala unei funcții continue și negative pe un interval este negativă, deci In+1−In≤0\displaystyle I_{n+1}-I_n\le 0 pentru orice n≥1\displaystyle n\ge1. Așadar șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1} este descrescător, deci monoton.
    In+1−In≤0, deci șirul (In)n≥1 este descresca˘tor\displaystyle I_{n+1}-I_n\le 0\text{, deci șirul }(I_n)_{n\ge1}\text{ este descrescător}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.