Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 4: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că suma pătratelor elementelor mulțimii M={n∈N∣n−1<2}\displaystyle M=\{n\in\mathbb{N}\mid n-1<2\} este egală cu 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Rezolvăm inegalitatea din definiția mulțimii: adunăm 1\displaystyle 1 în ambele părți ale inegalității n−1<2\displaystyle n-1<2.
    n<3\displaystyle n<3
  2. Numerele naturale mai mici decât 3\displaystyle 3 sunt 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, deci acestea sunt elementele mulțimii M\displaystyle M.
    M={0,1,2}\displaystyle M=\{0,1,2\}
  3. Calculăm pătratul fiecărui element al mulțimii M\displaystyle M.
    02=0\displaystyle 0^2=0, 12=1\displaystyle \ 1^2=1, 22=4\displaystyle \ 2^2=4
  4. Adunăm pătratele obținute și constatăm că suma este egală cu 5\displaystyle 5, ceea ce trebuia arătat.
    02+12+22=0+1+4=5\displaystyle 0^2+1^2+2^2=0+1+4=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−mx+5\displaystyle f(x)=x^2-mx+5, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că vârful parabolei asociate funcției f\displaystyle f are abscisa egală cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x2−mx+5\displaystyle f(x)=x^{2}-mx+5 este de forma ax2+bx+c\displaystyle ax^{2}+bx+c, deci identificăm coeficienții: a=1\displaystyle a=1, b=−m\displaystyle b=-m, c=5\displaystyle c=5.
    a=1\displaystyle a=1, b=−m\displaystyle \ b=-m, c=5\displaystyle \ c=5
  2. Abscisa vârfului parabolei este xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}. Înlocuim: xV=−−m2⋅1\displaystyle x_V=-\dfrac{-m}{2\cdot 1}.
    xV=−b2a=m2\displaystyle x_V=-\frac{b}{2a}=\frac{m}{2}
  3. Abscisa vârfului este egală cu 3\displaystyle 3, deci m2=3\displaystyle \dfrac{m}{2}=3.
    m2=3\displaystyle \frac{m}{2}=3
  4. Înmulțim ambii membri cu 2\displaystyle 2 și obținem m=3⋅2\displaystyle m=3\cdot 2, adică m=6\displaystyle m=6.
    m2=3, deci m=6\displaystyle \frac{m}{2}=3\text{, deci }m=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+2=8−x\displaystyle \sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență: expresiile de sub radicali trebuie să fie pozitive sau nule, adică x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0 și 8−x≥0\displaystyle 8-x\ge 0. Rezultă x∈[−2,8]\displaystyle x\in[-2,8].
    x∈[−2,8]\displaystyle x\in[-2,8]
  2. Ridicăm ecuația la pătrat. Radicalii dispar, deoarece pe domeniul de existență expresiile de sub radical sunt nenegative: x+2=8−x\displaystyle x+2=8-x.
    x+2=8−x\displaystyle x+2=8-x
  3. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: x+x=8−2\displaystyle x+x=8-2, deci 2x=6\displaystyle 2x=6.
    2x=6\displaystyle 2x=6
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=3\displaystyle x=3.
    x=3\displaystyle x=3
  5. Verificăm soluția: 3∈[−2,8]\displaystyle 3\in[-2,8]. Pentru x=3\displaystyle x=3, membrul stâng este 3+2=5\displaystyle \sqrt{3+2}=\sqrt{5}, iar membrul drept este 8−3=5\displaystyle \sqrt{8-3}=\sqrt{5}, deci egalitatea este adevărată. Soluția convine.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu 10\displaystyle 10 elemente ale unei mulțimi cu 12\displaystyle 12 elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul submulțimilor cu 10\displaystyle 10 elemente ale unei mulțimi cu 12\displaystyle 12 elemente este egal cu numărul de moduri de a alege 10\displaystyle 10 elemente din 12\displaystyle 12, fără să conteze ordinea. Deci numărul cerut este C1210\displaystyle C_{12}^{10}.
    C1210\displaystyle C_{12}^{10}
  2. Scriem formula combinărilor: Cnk=n!k! (n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}. Înlocuim n=12\displaystyle n=12 și k=10\displaystyle k=10.
    C1210=12!10!⋅2!\displaystyle C_{12}^{10}=\dfrac{12!}{10!\cdot 2!}
  3. Simplificăm: 12!=12⋅11⋅10!\displaystyle 12!=12\cdot 11\cdot 10!, deci 10!\displaystyle 10! se reduce. Rămâne 12⋅112=1322=66\displaystyle \dfrac{12\cdot 11}{2}=\dfrac{132}{2}=66.
    C1210=12⋅112=66\displaystyle C_{12}^{10}=\dfrac{12\cdot 11}{2}=66
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(5,1)\displaystyle A(5,1), B(−1,3)\displaystyle B(-1,3) și C(8,10)\displaystyle C(8,10). Determinați ecuația dreptei paralele cu dreapta AC\displaystyle AC și care trece prin mijlocul segmentului CD\displaystyle CD, unde punctul D\displaystyle D este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm coordonatele punctului D\displaystyle D, mijlocul segmentului AB\displaystyle AB, cu formula mijlocului: xD=xA+xB2\displaystyle x_D=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yD=yA+yB2\displaystyle y_D=\dfrac{y_A+y_B}{2}. Obținem xD=5+(−1)2\displaystyle x_D=\dfrac{5+(-1)}{2} și yD=1+32\displaystyle y_D=\dfrac{1+3}{2}.
    D(2,2)\displaystyle D(2,2)
  2. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului CD\displaystyle CD și aplicăm din nou formula mijlocului pentru C(8,10)\displaystyle C(8,10) și D(2,2)\displaystyle D(2,2). Obținem xM=8+22=5\displaystyle x_M=\dfrac{8+2}{2}=5 și yM=10+22=6\displaystyle y_M=\dfrac{10+2}{2}=6.
    M(5,6)\displaystyle M(5,6)
  3. Calculăm panta dreptei AC\displaystyle AC cu formula mAC=yC−yAxC−xA\displaystyle m_{AC}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}. Obținem mAC=10−18−5=93=3\displaystyle m_{AC}=\dfrac{10-1}{8-5}=\dfrac{9}{3}=3.
    mAC=3\displaystyle m_{AC}=3
  4. Dreptele paralele au pante egale, deci dreapta căutată are panta m=3\displaystyle m=3. Scriem ecuația dreptei de pantă 3\displaystyle 3 care trece prin M(5,6)\displaystyle M(5,6): y−6=3(x−5)\displaystyle y-6=3(x-5). Desfacem parantezele: y=3x−15+6\displaystyle y=3x-15+6, adică y=3x−9\displaystyle y=3x-9.
    mAC=3, y−6=3(x−5), deci y=3x−9\displaystyle m_{AC}=3\text{, }y-6=3(x-5)\text{, deci }y=3x-9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați S=cos⁡π+cos⁡2π+cos⁡3π+…+cos⁡2020π\displaystyle S=\cos\pi+\cos 2\pi+\cos 3\pi+\ldots+\cos 2020\pi.
Vezi rezolvarea
  1. Cosinusul are perioada 2π\displaystyle 2\pi, deci pentru k∈Z\displaystyle k\in\mathbb{Z} avem cos⁡2kπ=cos⁡0=1\displaystyle \cos 2k\pi=\cos 0=1 și cos⁡(2k+1)π=cos⁡π=−1\displaystyle \cos(2k+1)\pi=\cos\pi=-1.
    cos⁡2kπ=1 și cos⁡(2k+1)π=−1, unde k∈Z\displaystyle \cos 2k\pi=1\text{ și }\cos(2k+1)\pi=-1\text{, unde }k\in\mathbb{Z}
  2. Termenii cos⁡π, cos⁡3π, …\displaystyle \cos\pi,\ \cos 3\pi,\ \ldots sunt egali cu −1\displaystyle -1, iar termenii cos⁡2π, cos⁡4π, …\displaystyle \cos 2\pi,\ \cos 4\pi,\ \ldots sunt egali cu 1\displaystyle 1. Suma devine o alternanță de −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1.
    S=(−1)+1+(−1)+1+…+(−1)+1\displaystyle S=(-1)+1+(-1)+1+\ldots+(-1)+1
  3. Suma are 2020\displaystyle 2020 termeni, număr par, deci îi grupăm în 1010\displaystyle 1010 perechi de forma (−1)+1=0\displaystyle (-1)+1=0. Prin urmare S=1010⋅0=0\displaystyle S=1010\cdot 0=0.
    S=[(−1)+1]+…+[(−1)+1]⏟1010 perechi=0\displaystyle S=\underbrace{[(-1)+1]+\ldots+[(-1)+1]}_{1010\text{ perechi}}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x1−x101−x1x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1&-x\\1&0&1\\-x&1&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=−4\displaystyle \det(A(1))=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(11−1101−111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&0&1\\-1&1&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1).
    det⁡(A(1))=∣11−1101−111∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&0&1\\-1&1&1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu semnul plus sunt produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei: 1⋅0⋅1\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1, 1⋅1⋅(−1)\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-1) și (−1)⋅1⋅1\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 1.
    1⋅0⋅1+1⋅1⋅(−1)+(−1)⋅1⋅1=0+(−1)+(−1)\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1+1\cdot 1\cdot(-1)+(-1)\cdot 1\cdot 1=0+(-1)+(-1)
  4. Termenii cu semnul minus sunt produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei: (−1)⋅0⋅(−1)\displaystyle (-1)\cdot 0\cdot(-1), 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1.
    (−1)⋅0⋅(−1)+1⋅1⋅1+1⋅1⋅1=0+1+1\displaystyle (-1)\cdot 0\cdot(-1)+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1=0+1+1
  5. Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus și obținem valoarea determinantului, adică −4\displaystyle -4.
    det⁡(A(1))=0+(−1)+(−1)−0−1−1=−4\displaystyle \det(A(1))=0+(-1)+(-1)-0-1-1=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x1−x101−x1x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1&-x\\1&0&1\\-x&1&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(x)A(y)−A(2xy))=0\displaystyle \det(A(x)A(y)-A(2xy))=0, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm elementele primei linii a produsului A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y), înmulțind linia (x, 1, −x)\displaystyle (x,\ 1,\ -x) cu fiecare coloană a lui A(y)\displaystyle A(y): (y, 1, −y)\displaystyle (y,\ 1,\ -y), (1, 0, 1)\displaystyle (1,\ 0,\ 1), (−y, 1, y)\displaystyle (-y,\ 1,\ y).
    (xy+1+xyx+0−x−xy+1−xy)=(1+2xy01−2xy)\displaystyle \begin{pmatrix}xy+1+xy & x+0-x & -xy+1-xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2xy & 0 & 1-2xy\end{pmatrix}
  2. Procedăm la fel pentru liniile a doua și a treia, apoi scriem produsul A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y) și matricea A(2xy)\displaystyle A(2xy), obținută înlocuind x\displaystyle x cu 2xy\displaystyle 2xy în A(x)\displaystyle A(x).
    A(x)A(y)=(1+2xy01−2xy0201−2xy01+2xy), A(2xy)=(2xy1−2xy101−2xy12xy)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1+2xy&0&1-2xy\\0&2&0\\1-2xy&0&1+2xy\end{pmatrix}\text{, }A(2xy)=\begin{pmatrix}2xy&1&-2xy\\1&0&1\\-2xy&1&2xy\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element. Termenii cu xy\displaystyle xy se reduc peste tot.
    A(x)A(y)−A(2xy)=(1−11−12−11−11)\displaystyle A(x)A(y)-A(2xy)=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}
  4. Matricea obținută are prima și a treia linie egale, deci determinantul ei este zero, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    det⁡(A(x)A(y)−A(2xy))=∣1−11−12−11−11∣=0\displaystyle \det(A(x)A(y)-A(2xy))=\begin{vmatrix}1&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&1\end{vmatrix}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x1−x101−x1x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&1&-x\\1&0&1\\-x&1&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care A(1)A(12)+A(2)A(14)+…+A(1010)A(12020)=nI3\displaystyle A(1)A\left(\frac{1}{2}\right)+A(2)A\left(\frac{1}{4}\right)+\ldots+A(1010)A\left(\frac{1}{2020}\right)=nI_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y) pentru numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, înmulțind linie cu coloană. De exemplu, elementul de pe linia 1 și coloana 1 este x⋅y+1⋅1+(−x)(−y)=2xy+1\displaystyle x\cdot y+1\cdot 1+(-x)(-y)=2xy+1. La fel obținem restul elementelor.
    A(x)A(y)=(2xy+101−2xy0201−2xy02xy+1)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}2xy+1&0&1-2xy\\0&2&0\\1-2xy&0&2xy+1\end{pmatrix}
  2. Luăm y=12x\displaystyle y=\dfrac{1}{2x}, cu x≠0\displaystyle x\neq 0. Atunci 2xy=1\displaystyle 2xy=1, deci 2xy+1=2\displaystyle 2xy+1=2 și 1−2xy=0\displaystyle 1-2xy=0. Matricea obținută este 2I3\displaystyle 2I_3.
    A(x)A(12x)=(200020002)=2I3, pentru orice x∈R∗\displaystyle A(x)A\left(\frac{1}{2x}\right)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=2I_3\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}^*
  3. Observăm că termenii sumei sunt de forma A(k)A(12k)\displaystyle A(k)A\left(\dfrac{1}{2k}\right), cu k\displaystyle k de la 1\displaystyle 1 la 1010\displaystyle 1010. De exemplu, pentru k=1\displaystyle k=1 avem A(1)A(12)\displaystyle A(1)A\left(\dfrac{1}{2}\right), iar pentru k=1010\displaystyle k=1010 avem A(1010)A(12020)\displaystyle A(1010)A\left(\dfrac{1}{2020}\right). Deci fiecare termen este 2I3\displaystyle 2I_3, iar suma are 1010\displaystyle 1010 termeni.
    ∑k=11010A(k)A(12k)=2I3+2I3+…+2I3⏟1010 termeni\displaystyle \sum_{k=1}^{1010}A(k)A\left(\frac{1}{2k}\right)=\underbrace{2I_3+2I_3+\ldots+2I_3}_{1010\text{ termeni}}
  4. Adunăm cei 1010\displaystyle 1010 termeni egali cu 2I3\displaystyle 2I_3 și obținem 1010⋅2I3=2020I3\displaystyle 1010\cdot 2I_3=2020I_3. Comparând cu nI3\displaystyle nI_3, rezultă n=2020\displaystyle n=2020.
    1010⋅2I3=2020I3, deci n=2020\displaystyle 1010\cdot 2I_3=2020I_3\text{, deci }n=2020
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x5+y5)5\displaystyle x*y=\left(\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{y}\right)^5.

Arătați că 25∗35=55\displaystyle 2^5*3^5=5^5.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=(x5+y5)5\displaystyle x*y=\left(\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{y}\right)^5 pentru x=25\displaystyle x=2^5 și y=35\displaystyle y=3^5.
    25∗35=(255+355)5\displaystyle 2^5*3^5=\left(\sqrt[5]{2^5}+\sqrt[5]{3^5}\right)^5
  2. Simplificăm radicalii: 255=2\displaystyle \sqrt[5]{2^5}=2 și 355=3\displaystyle \sqrt[5]{3^5}=3, deoarece radicalul de ordin impar anulează puterea a 5-a.
    255=2\displaystyle \sqrt[5]{2^5}=2,355=3\displaystyle \quad \sqrt[5]{3^5}=3
  3. Înlocuim și obținem (2+3)5\displaystyle \left(2+3\right)^5, adică 55\displaystyle 5^5, ceea ce trebuia demonstrat.
    25∗35=(2+3)5=55\displaystyle 2^5*3^5=(2+3)^5=5^5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x5+y5)5\displaystyle x*y=\left(\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{y}\right)^5.

Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că 25∗x5∗(243x5)=100000\displaystyle 2^5*x^5*\left(243x^5\right)=100000.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă, deci putem calcula expresia cu trei termeni fără paranteze suplimentare. Pentru x∗y=(x5+y5)5\displaystyle x*y=\left(\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{y}\right)^5 rădăcina de ordinul 5 există pentru orice număr real, deci pentru trei termeni a∗b∗c=(a5+b5+c5)5\displaystyle a*b*c=\left(\sqrt[5]{a}+\sqrt[5]{b}+\sqrt[5]{c}\right)^5.
    25∗x5∗(243x5)=(255+x55+243x55)5\displaystyle 2^5*x^5*\left(243x^5\right)=\left(\sqrt[5]{2^5}+\sqrt[5]{x^5}+\sqrt[5]{243x^5}\right)^5
  2. Calculăm fiecare rădăcină de ordinul 5: 255=2\displaystyle \sqrt[5]{2^5}=2, x55=x\displaystyle \sqrt[5]{x^5}=x, iar cum 243=35\displaystyle 243=3^5, avem 243x55=3x\displaystyle \sqrt[5]{243x^5}=3x. Adunăm: 2+x+3x=2+4x\displaystyle 2+x+3x=2+4x.
    25∗x5∗(243x5)=(2+x+3x)5=(2+4x)5\displaystyle 2^5*x^5*\left(243x^5\right)=(2+x+3x)^5=(2+4x)^5
  3. Înlocuim în ecuația dată: (2+4x)5=100000\displaystyle (2+4x)^5=100000. Observăm că 100000=105\displaystyle 100000=10^5.
    (2+4x)5=105\displaystyle (2+4x)^5=10^5
  4. Ridicarea la puterea a 5-a este injectivă pe mulțimea numerelor reale, deoarece puterea este impară, deci bazele sunt egale: 2+4x=10\displaystyle 2+4x=10. Atunci 4x=8\displaystyle 4x=8, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(x5+y5)5\displaystyle x*y=\left(\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{y}\right)^5.

Se consideră numerele M=15∗25∗…∗105\displaystyle M=1^5*2^5*\ldots*10^5 și N=55⋅115\displaystyle N=5^5\cdot 11^5. Demonstrați că M−N=0\displaystyle M-N=0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că a55=a\displaystyle \sqrt[5]{a^5}=a pentru orice a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}. Deci pentru doi termeni de forma a5\displaystyle a^5 și b5\displaystyle b^5 legea dă a5∗b5=(a55+b55)5=(a+b)5\displaystyle a^5*b^5=\left(\sqrt[5]{a^5}+\sqrt[5]{b^5}\right)^5=(a+b)^5.
    a5∗b5=(a+b)5\displaystyle a^5*b^5=(a+b)^5
  2. Aplicăm definiția pentru primii doi termeni: 15∗25=(155+255)5=(1+2)5\displaystyle 1^5*2^5=\left(\sqrt[5]{1^5}+\sqrt[5]{2^5}\right)^5=(1+2)^5.
    15∗25=(1+2)5\displaystyle 1^5*2^5=(1+2)^5
  3. Legea este asociativă, deci adăugăm al treilea termen: 15∗25∗35=(1+2)5∗35\displaystyle 1^5*2^5*3^5=(1+2)^5*3^5. Cum (1+2)55=1+2\displaystyle \sqrt[5]{(1+2)^5}=1+2, obținem (155+255+355)5=(1+2+3)5\displaystyle \left(\sqrt[5]{1^5}+\sqrt[5]{2^5}+\sqrt[5]{3^5}\right)^5=(1+2+3)^5.
    15∗25∗35=(1+2+3)5\displaystyle 1^5*2^5*3^5=(1+2+3)^5
  4. Repetăm raționamentul pentru toți cei 10 termeni: de fiecare dată rădăcina de ordinul 5 anulează puterea a 5-a, iar bazele se adună. Obținem M=(155+255+…+1055)5=(1+2+…+10)5\displaystyle M=\left(\sqrt[5]{1^5}+\sqrt[5]{2^5}+\ldots+\sqrt[5]{10^5}\right)^5=(1+2+\ldots+10)^5.
    M=(1+2+3+…+10)5\displaystyle M=(1+2+3+\ldots+10)^5
  5. Calculăm suma primelor 10 numere naturale nenule cu formula 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}, pentru n=10\displaystyle n=10: 1+2+…+10=10⋅112=5⋅11\displaystyle 1+2+\ldots+10=\dfrac{10\cdot 11}{2}=5\cdot 11.
    1+2+…+10=10⋅112=5⋅11\displaystyle 1+2+\ldots+10=\dfrac{10\cdot 11}{2}=5\cdot 11
  6. Înlocuim suma în expresia lui M\displaystyle M și folosim puterea unui produs: M=(5⋅11)5=55⋅115=N\displaystyle M=(5\cdot 11)^5=5^5\cdot 11^5=N. Rezultă că M−N=0\displaystyle M-N=0.
    M=(5⋅11)5=55⋅115=N, deci M−N=0\displaystyle M=(5\cdot 11)^5=5^5\cdot 11^5=N\text{, deci }M-N=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x+1+ln⁡(x+1)−ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\ln(x+1)-\ln x.

Arătați că f′(x)=x−1x(x+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{x-1}{x(x+1)^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm separat cei trei termeni ai funcției. Pentru fracția x−1x+1\displaystyle \dfrac{x-1}{x+1} folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x−1\displaystyle u=x-1 și v=x+1\displaystyle v=x+1.
    (x−1x+1)′=1⋅(x+1)−(x−1)⋅1(x+1)2=(x+1)−(x−1)(x+1)2\displaystyle \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)'=\dfrac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^{2}}
  2. Derivăm logaritmii: derivata lui ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1) este 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1}, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}. Adunăm cele trei derivate.
    f′(x)=(x+1)−(x−1)(x+1)2+1x+1−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^{2}}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}
  3. Simplificăm numărătorul primei fracții: (x+1)−(x−1)=2\displaystyle (x+1)-(x-1)=2.
    f′(x)=2(x+1)2+1x+1−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^{2}}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}
  4. Aducem fracțiile la numitorul comun x(x+1)2\displaystyle x(x+1)^{2}: prima se amplifică cu x\displaystyle x, a doua cu x(x+1)\displaystyle x(x+1), a treia cu (x+1)2\displaystyle (x+1)^{2}.
    f′(x)=2x+x(x+1)−(x+1)2x(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x+x(x+1)-(x+1)^{2}}{x(x+1)^{2}}
  5. Desfacem parantezele la numărător: 2x+x2+x−(x2+2x+1)=x−1\displaystyle 2x+x^{2}+x-(x^{2}+2x+1)=x-1. Rezultă formula cerută pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)=2x+x(x+1)−(x+1)2x(x+1)2=x−1x(x+1)2, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x+x(x+1)-(x+1)^{2}}{x(x+1)^{2}}=\dfrac{x-1}{x(x+1)^{2}}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x+1+ln⁡(x+1)−ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\ln(x+1)-\ln x.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă limita există și este finită. Calculăm deci această limită.
    L=lim⁡x→+∞(x−1x+1+ln⁡(x+1)−ln⁡x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}+\ln(x+1)-\ln x\right)
  2. Grupăm logaritmii cu formula ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}. Astfel f(x)=x−1x+1+ln⁡x+1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}+\ln\dfrac{x+1}{x}.
    f(x)=x−1x+1+ln⁡x+1x\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\ln\frac{x+1}{x}
  3. Calculăm separat limita fracției: numărătorul și numitorul au același grad, deci limita este raportul coeficienților dominanți: lim⁡x→+∞x−1x+1=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x-1}{x+1}=1.
    lim⁡x→+∞x−1x+1=lim⁡x→+∞1−1x1+1x=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x-1}{x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=1
  4. Pentru al doilea termen, x+1x=1+1x→1\displaystyle \dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}\to1 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Logaritmul este continuu, deci limita termenului este ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    lim⁡x→+∞ln⁡x+1x=ln⁡1=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x+1}{x}=\ln 1=0
  5. Adunăm cele două limite: lim⁡x→+∞f(x)=1+ln⁡1=1+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1+\ln 1=1+0=1.
    lim⁡x→+∞f(x)=1+ln⁡1=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1+\ln 1=1
  6. Limita este finită și egală cu 1\displaystyle 1, deci graficul lui f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty de ecuație y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x+1+ln⁡(x+1)−ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\ln(x+1)-\ln x.

Demonstrați că graficul funcției f\displaystyle f nu intersectează axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul lui f\displaystyle f intersectează axa Ox\displaystyle Ox doar dacă ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are soluții. Vom arăta că f(x)>0\displaystyle f(x)>0 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), găsind minimul funcției cu ajutorul derivatei.
    f(x)>0 pentru orice x∈(0,+∞) (de demonstrat)\displaystyle f(x)>0\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{ (de demonstrat)}
  2. Derivăm fiecare termen: (x−1x+1)′=(x+1)−(x−1)(x+1)2=2(x+1)2\displaystyle \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)'=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^{2}}=\dfrac{2}{(x+1)^{2}}, iar (ln⁡(x+1)−ln⁡x)′=1x+1−1x\displaystyle \left(\ln(x+1)-\ln x\right)'=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=2(x+1)2+1x+1−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^{2}}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}
  3. Aducem la numitorul comun x(x+1)2\displaystyle x(x+1)^{2}. Ultimii doi termeni dau 1x+1−1x=−1x(x+1)\displaystyle \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{x(x+1)}, iar numărătorul devine 2x−(x+1)=x−1\displaystyle 2x-(x+1)=x-1.
    f′(x)=2x−(x+1)x(x+1)2=x−1x(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x-(x+1)}{x(x+1)^{2}}=\dfrac{x-1}{x(x+1)^{2}}
  4. Pentru x>0\displaystyle x>0 numitorul x(x+1)2\displaystyle x(x+1)^{2} este pozitiv, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui x−1\displaystyle x-1. Pe (0,1]\displaystyle (0,1] avem f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0, deci f\displaystyle f este descrescătoare, iar pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) avem f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0, deci f\displaystyle f este crescătoare. Așadar f\displaystyle f are minim în x=1\displaystyle x=1.
    f′(x)≤0 pentru x∈(0,1] și f′(x)≥0 pentru x∈[1,+∞)⇒f(x)≥f(1), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)\leq 0\text{ pentru }x\in(0,1]\text{ și }f'(x)\geq 0\text{ pentru }x\in[1,+\infty)\Rightarrow f(x)\geq f(1)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  5. Calculăm minimul: f(1)=1−11+1+ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2\displaystyle f(1)=\dfrac{1-1}{1+1}+\ln 2-\ln 1=\ln 2, iar ln⁡2>0\displaystyle \ln 2>0 deoarece 2>1\displaystyle 2>1. Deci f(x)≥ln⁡2>0\displaystyle f(x)\geq \ln 2>0 pentru orice x>0\displaystyle x>0, adică graficul lui f\displaystyle f nu intersectează axa Ox\displaystyle Ox.
    f(1)=ln⁡2>0⇒f(x)>0, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f(1)=\ln 2>0\Rightarrow f(x)>0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}.

Arătați că ∫01f2(x) dx=43\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=\frac{4}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f2(x)\displaystyle f^2(x). Cum x2+1>0\displaystyle x^2+1>0, avem f2(x)=(x2+1)2=x2+1\displaystyle f^2(x)=\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=x^2+1.
    f2(x)=x2+1\displaystyle f^2(x)=x^2+1
  2. Înlocuim în integrală: ∫01f2(x) dx=∫01(x2+1) dx\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1 (x^2+1)\,dx.
    ∫01f2(x) dx=∫01(x2+1) dx\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1 (x^2+1)\,dx
  3. O primitivă a lui x2+1\displaystyle x^2+1 este x33+x\displaystyle \dfrac{x^3}{3}+x, pentru că (x33)′=x2\displaystyle \left(\dfrac{x^3}{3}\right)'=x^2 și (x)′=1\displaystyle (x)'=1. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫01(x2+1) dx=(x33+x)∣01\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^1
  4. Calculăm diferența dintre valoarea în 1\displaystyle 1 și valoarea în 0\displaystyle 0: 133+1−(033+0)=13+1−0=43\displaystyle \dfrac{1^3}{3}+1-\left(\dfrac{0^3}{3}+0\right)=\dfrac{1}{3}+1-0=\dfrac{4}{3}. Deci egalitatea este demonstrată.
    13+1−0=43\displaystyle \frac{1}{3}+1-0=\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}.

Calculați ∫−11∣xf(x)∣ dx\displaystyle \int_{-1}^{1}|x f(x)|\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrandul explicit: xf(x)=xx2+1\displaystyle xf(x)=x\sqrt{x^{2}+1}. Deoarece x2+1>0\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}>0, semnul lui xf(x)\displaystyle xf(x) este semnul lui x\displaystyle x.
    ∣xf(x)∣=∣x∣x2+1\displaystyle |xf(x)|=|x|\sqrt{x^{2}+1}
  2. Desfacem modulul: pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] avem x≤0\displaystyle x\le 0, deci ∣xf(x)∣=−xx2+1\displaystyle |xf(x)|=-x\sqrt{x^{2}+1}, iar pe [0,1]\displaystyle [0,1] avem x≥0\displaystyle x\ge 0, deci ∣xf(x)∣=xx2+1\displaystyle |xf(x)|=x\sqrt{x^{2}+1}. Împărțim integrala în punctul 0\displaystyle 0.
    ∫−11∣xf(x)∣ dx=−∫−10xx2+1 dx+∫01xx2+1 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}|xf(x)|\,dx=-\int_{-1}^{0}x\sqrt{x^{2}+1}\,dx+\int_{0}^{1}x\sqrt{x^{2}+1}\,dx
  3. Căutăm o primitivă pentru xx2+1\displaystyle x\sqrt{x^{2}+1}. Avem ((x2+1)32)′=32(x2+1)12⋅2x=3xx2+1\displaystyle \left((x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}\right)'=\dfrac{3}{2}(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\cdot 2x=3x\sqrt{x^{2}+1}, deci o primitivă este 13(x2+1)32\displaystyle \dfrac{1}{3}(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}.
    ∫xx2+1 dx=13(x2+1)32+C\displaystyle \int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{3}(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe fiecare interval, ținând cont de semnul minus de la prima integrală.
    −13(x2+1)32∣−10+13(x2+1)32∣01\displaystyle -\frac{1}{3}(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}\Big|_{-1}^{0}+\frac{1}{3}(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}\Big|_{0}^{1}
  5. Calculăm valorile: (02+1)32=1\displaystyle (0^{2}+1)^{\frac{3}{2}}=1, iar (1+1)32=22\displaystyle (1+1)^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}. Prima parte dă −13(1−22)\displaystyle -\dfrac{1}{3}\left(1-2\sqrt{2}\right), a doua parte dă 13(22−1)\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right).
    −13+223+223−13\displaystyle -\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{3}
  6. Adunăm termenii și obținem răspunsul final.
    42−23\displaystyle \frac{4\sqrt{2}-2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}.

Calculați lim⁡x→0∫0xt⋅f(t) dtx2\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x t\cdot f(t)\,dt}{x^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm tipul de nedeterminare. Pentru x→0\displaystyle x\to 0, numărătorul ∫0xt⋅f(t) dt→0\displaystyle \int_0^x t\cdot f(t)\,dt\to 0, iar numitorul x2→0\displaystyle x^2\to 0. Avem deci nedeterminarea 00\displaystyle \dfrac{0}{0} și putem aplica regula lui l'Hospital.
    00\displaystyle \dfrac{0}{0}
  2. Funcția t⋅f(t)\displaystyle t\cdot f(t) este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci (∫0xt⋅f(t) dt)′=x⋅f(x)\displaystyle \left(\int_0^x t\cdot f(t)\,dt\right)'=x\cdot f(x). Derivata numitorului este (x2)′=2x\displaystyle \left(x^2\right)'=2x.
    (∫0xt⋅f(t) dt)′=xf(x)\displaystyle \left(\int_0^x t\cdot f(t)\,dt\right)'=x f(x),(x2)′=2x\displaystyle \quad \left(x^2\right)'=2x
  3. Aplicăm regula lui l'Hospital: lim⁡x→0∫0xt⋅f(t) dtx2=lim⁡x→0xf(x)2x\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\int_0^x t\cdot f(t)\,dt}{x^2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x f(x)}{2x}.
    lim⁡x→0∫0xt⋅f(t) dtx2=lim⁡x→0xf(x)2x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x t\cdot f(t)\,dt}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x f(x)}{2x}
  4. Simplificăm prin x\displaystyle x (pentru x≠0\displaystyle x\neq 0) și înlocuim f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}.
    lim⁡x→0x2+12\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+1}}{2}
  5. Funcția este continuă în 0\displaystyle 0, deci înlocuim x=0\displaystyle x=0: 02+12=12\displaystyle \dfrac{\sqrt{0^2+1}}{2}=\dfrac{1}{2}.
    lim⁡x→0x2+12=12\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+1}}{2}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.