Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 5: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=3−3i\displaystyle z_1 = 3-3i și z2=5−6i\displaystyle z_2 = 5-6i. Arătați că 2z1−z2=1\displaystyle 2z_1 - z_2 = 1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim valorile lui z1\displaystyle z_1 și z2\displaystyle z_2 în expresia 2z1−z2\displaystyle 2z_1-z_2, punând pe z2\displaystyle z_2 între paranteze, pentru ca semnul minus să afecteze ambii termeni.
    2z1−z2=2(3−3i)−(5−6i)\displaystyle 2z_1-z_2=2(3-3i)-(5-6i)
  2. Efectuăm înmulțirea cu 2\displaystyle 2 și desfacem parantezele. Dinaintea ultimei paranteze este minus, deci semnele termenilor din ea se schimbă.
    6−6i−5+6i\displaystyle 6-6i-5+6i
  3. Adunăm separat părțile reale (6−5=1\displaystyle 6-5=1) și părțile imaginare (−6i+6i=0\displaystyle -6i+6i=0). Obținem rezultatul cerut.
    6−6i−5+6i=1\displaystyle 6-6i-5+6i=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+15\displaystyle f(x)=x+15. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(m)+f(m+1)=35\displaystyle f(m)+f(m+1)=35.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(m)\displaystyle f(m): înlocuim x\displaystyle x cu m\displaystyle m în f(x)=x+15\displaystyle f(x)=x+15.
    f(m)=m+15\displaystyle f(m)=m+15
  2. Calculăm f(m+1)\displaystyle f(m+1): înlocuim x\displaystyle x cu m+1\displaystyle m+1 în f(x)=x+15\displaystyle f(x)=x+15.
    f(m+1)=(m+1)+15\displaystyle f(m+1)=(m+1)+15
  3. Înlocuim cele două expresii în ecuația f(m)+f(m+1)=35\displaystyle f(m)+f(m+1)=35.
    m+15+(m+1)+15=35\displaystyle m+15+(m+1)+15=35
  4. Reducem termenii asemenea: termenii cu m\displaystyle m dau 2m\displaystyle 2m, iar numerele 15+1+15=31\displaystyle 15+1+15=31.
    2m+31=35\displaystyle 2m+31=35
  5. Scădem 31\displaystyle 31 din ambii membri: 2m=4\displaystyle 2m=4, apoi împărțim la 2\displaystyle 2.
    2m+31=35⇒2m=4⇒m=2\displaystyle 2m+31=35\Rightarrow 2m=4\Rightarrow m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⋅3x−3x+1+27=0\displaystyle 2\cdot 3^x-3^{x+1}+27=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 3x+1=3⋅3x\displaystyle 3^{x+1}=3\cdot 3^{x}. Ecuația devine 2⋅3x−3⋅3x+27=0\displaystyle 2\cdot 3^x-3\cdot 3^x+27=0.
    2⋅3x−3⋅3x+27=0\displaystyle 2\cdot 3^x-3\cdot 3^x+27=0
  2. Dăm factor comun 3x\displaystyle 3^x: 3x(2−3)+27=0\displaystyle 3^x(2-3)+27=0, adică −3x+27=0\displaystyle -3^x+27=0.
    3x(2−3)+27=0⇔−3x+27=0\displaystyle 3^x(2-3)+27=0\Leftrightarrow -3^x+27=0
  3. Mutăm 3x\displaystyle 3^x în partea dreaptă: 3x=27\displaystyle 3^x=27.
    3x=27\displaystyle 3^x=27
  4. Cum 27=33\displaystyle 27=3^3, ecuația devine 3x=33\displaystyle 3^x=3^3. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci x=3\displaystyle x=3.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie multiplu de 25\displaystyle 25.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de trei cifre sunt de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999. Numărul cazurilor posibile este 999−100+1\displaystyle 999-100+1, adică 900\displaystyle 900.
    999−100+1=900\displaystyle 999-100+1=900
  2. Un număr de trei cifre multiplu de 25\displaystyle 25 are forma 25k\displaystyle 25k. Cel mai mic multiplu de trei cifre este 100=25⋅4\displaystyle 100=25\cdot 4, iar cel mai mare este 975=25⋅39\displaystyle 975=25\cdot 39, pentru că 25⋅40=1000\displaystyle 25\cdot 40=1000 are patru cifre.
    25⋅4\displaystyle 25\cdot 4, 25⋅5\displaystyle \ 25\cdot 5,…\displaystyle \ldots, 25⋅39\displaystyle \ 25\cdot 39
  3. Numărăm valorile lui k\displaystyle k de la 4\displaystyle 4 la 39\displaystyle 39: sunt 39−4+1\displaystyle 39-4+1, adică 36\displaystyle 36 de cazuri favorabile.
    39−4+1=36\displaystyle 39-4+1=36
  4. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și cel al cazurilor posibile: p=36900\displaystyle p=\dfrac{36}{900}, iar după simplificarea cu 36\displaystyle 36 se obține 125\displaystyle \dfrac{1}{25}.
    p=36900=125\displaystyle p=\frac{36}{900}=\frac{1}{25}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(6,4)\displaystyle A(6,4), B(−2,6)\displaystyle B(-2,6). Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că, dacă C(a,b)\displaystyle C(a,b), atunci AC→=CB→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem coordonatele vectorilor: AC→=(a−6)i⃗+(b−4)j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=(a-6)\vec{i}+(b-4)\vec{j} și CB→=(−2−a)i⃗+(6−b)j⃗\displaystyle \overrightarrow{CB}=(-2-a)\vec{i}+(6-b)\vec{j}.
    AC→=(a−6, b−4)\displaystyle \overrightarrow{AC}=(a-6,\ b-4),CB→=(−2−a, 6−b)\displaystyle \quad \overrightarrow{CB}=(-2-a,\ 6-b)
  2. Din AC→=CB→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} rezultă că C\displaystyle C este la jumătatea drumului dintre A\displaystyle A și B\displaystyle B, deci C\displaystyle C este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
    AC→=CB→, deci punctul C este mijlocul segmentului AB\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\text{, deci punctul }C\text{ este mijlocul segmentului }AB
  3. Egalăm componentele corespunzătoare: a−6=−2−a\displaystyle a-6=-2-a și b−4=6−b\displaystyle b-4=6-b.
    a−6=−2−a\displaystyle a-6=-2-a,b−4=6−b\displaystyle \quad b-4=6-b
  4. Din prima ecuație, 2a=4\displaystyle 2a=4, deci a=2\displaystyle a=2. Din a doua, 2b=10\displaystyle 2b=10, deci b=5\displaystyle b=5. Același rezultat se obține cu formula mijlocului: a=6+(−2)2=2\displaystyle a=\dfrac{6+(-2)}{2}=2 și b=4+62=5\displaystyle b=\dfrac{4+6}{2}=5. Deci C(2,5)\displaystyle C(2,5).
    a=2\displaystyle a=2,b=5\displaystyle \quad b=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=4\displaystyle AB=4. Știind că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 6\displaystyle 6, calculați lungimea laturii BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, deci catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC, iar ipotenuza este BC\displaystyle BC. Aria este jumătate din produsul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}
  2. Înlocuim aria 6\displaystyle 6 și AB=4\displaystyle AB=4 în formulă: 6=4⋅AC2\displaystyle 6=\dfrac{4\cdot AC}{2}.
    6=4⋅AC2\displaystyle 6=\dfrac{4\cdot AC}{2}
  3. Simplificăm: 42=2\displaystyle \dfrac{4}{2}=2, deci 6=2⋅AC\displaystyle 6=2\cdot AC. Rezultă AC=3\displaystyle AC=3.
    AC=3\displaystyle AC=3
  4. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC: BC2=AB2+AC2=42+32=16+9=25\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25.
    BC2=16+9=25\displaystyle BC^{2}=16+9=25
  5. Cum lungimea este pozitivă, BC=25=5\displaystyle BC=\sqrt{25}=5.
    BC=5\displaystyle BC=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2212a+1aa64)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & 2 & 1\\ 2 & a+1 & a\\ a & 6 & 4\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+2y+z=32x+(a+1)y+az=3ax+6y+4z=a+3\displaystyle \begin{cases}2x+2y+z=3\\ 2x+(a+1)y+az=3\\ ax+6y+4z=a+3\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a))=(a−1)(a−4)\displaystyle \det(A(a))=(a-1)(a-4), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Mai întâi produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, care se adună: 2⋅(a+1)⋅4\displaystyle 2\cdot(a+1)\cdot 4, apoi 2⋅a⋅a\displaystyle 2\cdot a\cdot a, apoi 1⋅2⋅6\displaystyle 1\cdot 2\cdot 6.
    8(a+1)+2a2+12=8a+8+2a2+12\displaystyle 8(a+1)+2a^{2}+12=8a+8+2a^{2}+12
  2. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei se scad: 1⋅(a+1)⋅a\displaystyle 1\cdot(a+1)\cdot a, apoi 2⋅2⋅4\displaystyle 2\cdot 2\cdot 4, apoi 2⋅a⋅6\displaystyle 2\cdot a\cdot 6.
    a(a+1)+16+12a=a2+a+16+12a\displaystyle a(a+1)+16+12a=a^{2}+a+16+12a
  3. Scădem a doua sumă din prima și obținem expresia determinantului din barem.
    det⁡(A(a))=8a+8+12+2a2−a2−a−12a−16\displaystyle \det(A(a))=8a+8+12+2a^{2}-a^{2}-a-12a-16
  4. Reducem termenii asemenea: 2a2−a2=a2\displaystyle 2a^{2}-a^{2}=a^{2}, 8a−a−12a=−5a\displaystyle 8a-a-12a=-5a, iar constantele 8+12−16=4\displaystyle 8+12-16=4.
    det⁡(A(a))=a2−5a+4\displaystyle \det(A(a))=a^{2}-5a+4
  5. Descompunem trinomul în factori, scriind −5a=−a−4a\displaystyle -5a=-a-4a și dând factor comun: a(a−1)−4(a−1)\displaystyle a(a-1)-4(a-1). Rezultă (a−1)(a−4)\displaystyle (a-1)(a-4) pentru orice număr real a\displaystyle a.
    a2−5a+4=a(a−1)−4(a−1)=(a−1)(a−4)\displaystyle a^{2}-5a+4=a(a-1)-4(a-1)=(a-1)(a-4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2212a+1aa64)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & 2 & 1\\ 2 & a+1 & a\\ a & 6 & 4\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+2y+z=32x+(a+1)y+az=3ax+6y+4z=a+3\displaystyle \begin{cases}2x+2y+z=3\\ 2x+(a+1)y+az=3\\ ax+6y+4z=a+3\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că nu există niciun număr real a\displaystyle a pentru care (A(4)−A(1))⋅A(a)=A(a)⋅(A(4)−A(1))\displaystyle (A(4)-A(1))\cdot A(a)=A(a)\cdot(A(4)-A(1)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=4\displaystyle a=4 și a=1\displaystyle a=1 în matrice: A(4)=(221254464)\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix}2&2&1\\2&5&4\\4&6&4\end{pmatrix} și A(1)=(221221164)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&2&1\\2&2&1\\1&6&4\end{pmatrix}. Scădem element cu element și notăm diferența cu B\displaystyle B.
    B=A(4)−A(1)=(000033300)\displaystyle B=A(4)-A(1)=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&3&3\\3&0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm B⋅A(a)\displaystyle B\cdot A(a). Prima linie a lui B\displaystyle B este nulă, deci și prima linie a produsului este nulă. Linia a doua este 3⋅(linia 2+linia 3)\displaystyle 3\cdot(\text{linia 2}+\text{linia 3}) din A(a)\displaystyle A(a), adică 3(2+a, a+1+6, a+4)\displaystyle 3(2+a,\ a+1+6,\ a+4). Linia a treia este 3⋅(linia 1)\displaystyle 3\cdot(\text{linia 1}) din A(a)\displaystyle A(a), adică 3(2,2,1)\displaystyle 3(2,2,1).
    (A(4)−A(1))A(a)=3(000a+2a+7a+4221)\displaystyle (A(4)-A(1))A(a)=3\begin{pmatrix}0&0&0\\a+2&a+7&a+4\\2&2&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm A(a)⋅B\displaystyle A(a)\cdot B. Coloana întâi a lui B\displaystyle B este (0,0,3)T\displaystyle (0,0,3)^T, deci prima coloană a produsului este 3⋅\displaystyle 3\cdot coloana a treia din A(a)\displaystyle A(a). Coloanele a doua și a treia ale lui B\displaystyle B sunt (0,3,0)T\displaystyle (0,3,0)^T, deci ultimele două coloane ale produsului sunt 3⋅\displaystyle 3\cdot coloana a doua din A(a)\displaystyle A(a).
    A(a)(A(4)−A(1))=3(122aa+1a+1466)\displaystyle A(a)(A(4)-A(1))=3\begin{pmatrix}1&2&2\\a&a+1&a+1\\4&6&6\end{pmatrix}
  4. Comparăm prima linie a celor două produse: la (A(4)−A(1))A(a)\displaystyle (A(4)-A(1))A(a) este (0,0,0)\displaystyle (0,0,0), iar la A(a)(A(4)−A(1))\displaystyle A(a)(A(4)-A(1)) este (3,6,6)\displaystyle (3,6,6), indiferent de a\displaystyle a. Deci produsele sunt diferite pentru orice a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}, adică nu există niciun a\displaystyle a real pentru care egalitatea să fie adevărată.
    A(a)(A(4)−A(1))≠(A(4)−A(1))A(a), pentru orice numa˘r real a\displaystyle A(a)(A(4)-A(1))\neq(A(4)-A(1))A(a)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2212a+1aa64)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & 2 & 1\\ 2 & a+1 & a\\ a & 6 & 4\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+2y+z=32x+(a+1)y+az=3ax+6y+4z=a+3\displaystyle \begin{cases}2x+2y+z=3\\ 2x+(a+1)y+az=3\\ ax+6y+4z=a+3\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele întregi a\displaystyle a, pentru care sistemul de ecuații are soluția unică (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) cu x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului, dezvoltându-l după prima linie: det⁡A(a)=2[4(a+1)−6a]−2(8−a2)+(12−a(a+1))\displaystyle \det A(a)=2\left[4(a+1)-6a\right]-2\left(8-a^{2}\right)+\left(12-a(a+1)\right).
    det⁡A(a)=a2−5a+4=(a−1)(a−4)\displaystyle \det A(a)=a^{2}-5a+4=(a-1)(a-4)
  2. Sistemul are soluție unică exact când det⁡A(a)≠0\displaystyle \det A(a)\neq 0, adică a≠1\displaystyle a\neq 1 și a≠4\displaystyle a\neq 4.
    a∈Z∖{1,4}\displaystyle a\in\mathbb{Z}\setminus\{1,4\}
  3. Scădem prima ecuație din a doua: (a−1)y+(a−1)z=0\displaystyle (a-1)y+(a-1)z=0. Cum a≠1\displaystyle a\neq 1, obținem y+z=0\displaystyle y+z=0, deci z=−y\displaystyle z=-y.
    z=−y\displaystyle z=-y
  4. Înlocuim z=−y\displaystyle z=-y în prima și în a treia ecuație: 2x+y=3\displaystyle 2x+y=3 și ax+2y=a+3\displaystyle ax+2y=a+3.
    {2x+y=3ax+2y=a+3\displaystyle \begin{cases}2x+y=3\\ ax+2y=a+3\end{cases}
  5. Din prima ecuație y=3−2x\displaystyle y=3-2x. În a doua: ax+6−4x=a+3\displaystyle ax+6-4x=a+3, deci (a−4)x=a−3\displaystyle (a-4)x=a-3. Cum a≠4\displaystyle a\neq 4, avem x=a−3a−4\displaystyle x=\dfrac{a-3}{a-4}. Apoi y=3−2x=a−6a−4\displaystyle y=3-2x=\dfrac{a-6}{a-4} și z=−y=−a−6a−4\displaystyle z=-y=-\dfrac{a-6}{a-4}.
    (x0,y0,z0)=(a−3a−4,a−6a−4,−a−6a−4)\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=\left(\frac{a-3}{a-4},\frac{a-6}{a-4},-\frac{a-6}{a-4}\right)
  6. Scriem x0=a−3a−4=1+1a−4\displaystyle x_0=\dfrac{a-3}{a-4}=1+\dfrac{1}{a-4}. Pentru ca x0\displaystyle x_0 să fie întreg, trebuie ca a−4\displaystyle a-4 să dividă 1, deci a−4∈{−1,1}\displaystyle a-4\in\{-1,1\}.
    a∈{3,5}\displaystyle a\in\{3,5\}
  7. Pentru a=3\displaystyle a=3: (x0,y0,z0)=(0,3,−3)\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=(0,3,-3). Pentru a=5\displaystyle a=5: (x0,y0,z0)=(2,−1,1)\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=(2,-1,1). În ambele cazuri soluția este formată din numere întregi, iar a∉{1,4}\displaystyle a\notin\{1,4\}.
    a=3⇒(0,3,−3)\displaystyle a=3\Rightarrow(0,3,-3),a=5⇒(2,−1,1)\displaystyle \quad a=5\Rightarrow(2,-1,1)
  8. Concluzie: sistemul are soluție unică întreagă pentru a=3\displaystyle a=3 sau a=5\displaystyle a=5.
    a=3 sau a=5, care convin\displaystyle a=3\text{ sau }a=5\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(−10,10)\displaystyle M=(-10,10) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=100(x+y)xy+100\displaystyle x*y=\frac{100(x+y)}{xy+100}.

Arătați că 3∗0=3\displaystyle 3*0=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∗y=100(x+y)xy+100\displaystyle x*y=\dfrac{100(x+y)}{xy+100} pentru x=3\displaystyle x=3 și y=0\displaystyle y=0. Numerele 3\displaystyle 3 și 0\displaystyle 0 aparțin intervalului (−10,10)\displaystyle (-10,10), deci putem aplica legea.
    3∗0=100(3+0)3⋅0+100\displaystyle 3*0=\frac{100(3+0)}{3\cdot 0+100}
  2. Calculăm numărătorul: 100⋅(3+0)=100⋅3=300\displaystyle 100\cdot(3+0)=100\cdot 3=300. Calculăm numitorul: 3⋅0+100=0+100=100\displaystyle 3\cdot 0+100=0+100=100.
    3∗0=300100\displaystyle 3*0=\frac{300}{100}
  3. Simplificăm fracția prin 100\displaystyle 100 și obținem 300100=3\displaystyle \dfrac{300}{100}=3, deci egalitatea cerută este adevărată.
    300100=3, deci 3∗0=3\displaystyle \frac{300}{100}=3\text{, deci }3*0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(−10,10)\displaystyle M=(-10,10) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=100(x+y)xy+100\displaystyle x*y=\frac{100(x+y)}{xy+100}.

Se consideră f:M→(0,+∞)\displaystyle f:M\to(0,+\infty), f(x)=10−x10+x\displaystyle f(x)=\frac{10-x}{10+x}. Demonstrați că f(x∗y)=f(x)f(y)\displaystyle f(x*y)=f(x)f(y), pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(x∗y)\displaystyle f(x*y) înlocuind x\displaystyle x cu x∗y\displaystyle x*y în formula lui f\displaystyle f: f(x∗y)=10−(x∗y)10+(x∗y)\displaystyle f(x*y)=\dfrac{10-(x*y)}{10+(x*y)}.
    f(x∗y)=10−100(x+y)xy+10010+100(x+y)xy+100\displaystyle f(x*y)=\dfrac{10-\dfrac{100(x+y)}{xy+100}}{10+\dfrac{100(x+y)}{xy+100}}
  2. Aducem la același numitor xy+100\displaystyle xy+100 la numărătorul și la numitorul fracției mari. Cum ∣xy∣<100\displaystyle |xy|<100, avem xy+100>0\displaystyle xy+100>0, deci acest numitor comun se simplifică.
    f(x∗y)=10(xy+100)−100(x+y)xy+10010(xy+100)+100(x+y)xy+100=10xy−100x−100y+100010xy+100x+100y+1000\displaystyle f(x*y)=\dfrac{\dfrac{10(xy+100)-100(x+y)}{xy+100}}{\dfrac{10(xy+100)+100(x+y)}{xy+100}}=\dfrac{10xy-100x-100y+1000}{10xy+100x+100y+1000}
  3. Împărțim numărătorul și numitorul la 10\displaystyle 10.
    f(x∗y)=xy−10x−10y+100xy+10x+10y+100\displaystyle f(x*y)=\dfrac{xy-10x-10y+100}{xy+10x+10y+100}
  4. Descompunem în factori grupând termenii: xy−10x−10y+100=x(y−10)−10(y−10)=(x−10)(y−10)\displaystyle xy-10x-10y+100=x(y-10)-10(y-10)=(x-10)(y-10) și xy+10x+10y+100=x(y+10)+10(y+10)=(x+10)(y+10)\displaystyle xy+10x+10y+100=x(y+10)+10(y+10)=(x+10)(y+10).
    f(x∗y)=(x−10)(y−10)(x+10)(y+10)\displaystyle f(x*y)=\dfrac{(x-10)(y-10)}{(x+10)(y+10)}
  5. Scriem fracția ca produs de două fracții. Cum (x−10)(y−10)=(10−x)(10−y)\displaystyle (x-10)(y-10)=(10-x)(10-y), obținem f(x)⋅f(y)\displaystyle f(x)\cdot f(y), pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
    (x−10)(y−10)(x+10)(y+10)=10−x10+x⋅10−y10+y=f(x)f(y), pentru orice x\displaystyle \dfrac{(x-10)(y-10)}{(x+10)(y+10)}=\dfrac{10-x}{10+x}\cdot\dfrac{10-y}{10+y}=f(x)f(y)\text{, pentru orice }x,y∈M\displaystyle y\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(−10,10)\displaystyle M=(-10,10) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=100(x+y)xy+100\displaystyle x*y=\frac{100(x+y)}{xy+100}.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∗x∗…∗x⏟de 11 ori x=0\displaystyle \underbrace{x*x*\ldots*x}_{\text{de }11\text{ ori }x}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm o funcție f\displaystyle f care transformă legea ∗\displaystyle * în înmulțire. Luăm f:M→(0,∞)\displaystyle f:M\to(0,\infty), f(x)=10+x10−x\displaystyle f(x)=\dfrac{10+x}{10-x}. Ea este bine definită și pozitivă pe M\displaystyle M, pentru că 10−x>0\displaystyle 10-x>0 și 10+x>0\displaystyle 10+x>0 când x∈(−10,10)\displaystyle x\in(-10,10).
    f(x)=10+x10−x\displaystyle f(x)=\dfrac{10+x}{10-x}
  2. Verificăm că f(x∗y)=f(x)f(y)\displaystyle f(x*y)=f(x)f(y). Calculăm 10+x∗y\displaystyle 10+x*y și 10−x∗y\displaystyle 10-x*y cu același numitor xy+100\displaystyle xy+100. Numărătorii se descompun în produse: 10(x+10)(y+10)\displaystyle 10(x+10)(y+10) și 10(10−x)(10−y)\displaystyle 10(10-x)(10-y). Prin împărțire, factorii comuni se simplifică și obținem f(x)f(y)\displaystyle f(x)f(y).
    10+x∗y=10(x+10)(y+10)xy+100\displaystyle 10+x*y=\dfrac{10(x+10)(y+10)}{xy+100},10−x∗y=10(10−x)(10−y)xy+100  ⇒  f(x∗y)=f(x)f(y)\displaystyle \quad 10-x*y=\dfrac{10(10-x)(10-y)}{xy+100}\;\Rightarrow\; f(x*y)=f(x)f(y)
  3. Aplicăm f\displaystyle f ecuației. Deoarece f\displaystyle f transformă legea în înmulțire, f(x∗x∗…∗x)\displaystyle f(x*x*\ldots*x) este produsul a 11 factori egali cu f(x)\displaystyle f(x). În membrul drept, f(0)=1010=1\displaystyle f(0)=\dfrac{10}{10}=1. Ecuația devine (f(x))11=1\displaystyle (f(x))^{11}=1.
    f(x∗x∗…∗x)=f(0)⇔f(x)f(x)…f(x)⏟de 11 ori f(x)=1⇔(f(x))11=1\displaystyle f(x*x*\ldots*x)=f(0)\Leftrightarrow \underbrace{f(x)f(x)\ldots f(x)}_{\text{de }11\text{ ori }f(x)}=1\Leftrightarrow (f(x))^{11}=1
  4. Pentru x∈M\displaystyle x\in M avem f(x)>0\displaystyle f(x)>0, deci f(x)\displaystyle f(x) este număr real pozitiv. Singura soluție reală a ecuației t11=1\displaystyle t^{11}=1 este t=1\displaystyle t=1, pentru că 11 este impar. Rezultă f(x)=1\displaystyle f(x)=1.
    (f(x))11=1⇒f(x)=1\displaystyle (f(x))^{11}=1\Rightarrow f(x)=1
  5. Rezolvăm f(x)=1\displaystyle f(x)=1, adică 10+x10−x=1\displaystyle \dfrac{10+x}{10-x}=1. Cum 10−x≠0\displaystyle 10-x\neq 0, ajungem la 10+x=10−x\displaystyle 10+x=10-x, deci 2x=0\displaystyle 2x=0 și x=0\displaystyle x=0. Valoarea 0\displaystyle 0 aparține lui M\displaystyle M, deci convine.
    f(x)=1⇔10−x=10+x, deci x=0, care convine\displaystyle f(x)=1\Leftrightarrow 10-x=10+x\text{, deci }x=0\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−4x+1)\displaystyle f(x)=e^x(x^2-4x+1).

Arătați că f′(x)=ex(x−3)(x+1)\displaystyle f'(x)=e^x(x-3)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este produsul funcțiilor derivabile u(x)=ex\displaystyle u(x)=e^x și v(x)=x2−4x+1\displaystyle v(x)=x^2-4x+1. Aplicăm formula de derivare a produsului: (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
    f′(x)=(ex)′(x2−4x+1)+ex(x2−4x+1)′\displaystyle f'(x)=(e^x)'(x^2-4x+1)+e^x(x^2-4x+1)'
  2. Avem (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x și (x2−4x+1)′=2x−4\displaystyle (x^2-4x+1)'=2x-4. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=ex(x2−4x+1)+ex(2x−4)\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-4x+1)+e^x(2x-4)
  3. Dăm factor comun pe ex\displaystyle e^x și reducem termenii asemenea din paranteză: x2−4x+2x=x2−2x\displaystyle x^2-4x+2x=x^2-2x, iar 1−4=−3\displaystyle 1-4=-3.
    f′(x)=ex(x2−4x+1+2x−4)=ex(x2−2x−3)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2-4x+1+2x-4\right)=e^x(x^2-2x-3)
  4. Descompunem trinomul x2−2x−3\displaystyle x^2-2x-3. Căutăm două numere cu suma −2\displaystyle -2 și produsul −3\displaystyle -3: acestea sunt −3\displaystyle -3 și 1\displaystyle 1. Verificăm: (x−3)(x+1)=x2+x−3x−3=x2−2x−3\displaystyle (x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3.
    x2−2x−3=(x−3)(x+1)\displaystyle x^2-2x-3=(x-3)(x+1)
  5. Înlocuim descompunerea în expresia derivatei și obținem egalitatea cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=ex(x2−2x−3)=ex(x−3)(x+1)\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-2x-3)=e^x(x-3)(x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−4x+1)\displaystyle f(x)=e^x(x^2-4x+1).

Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f\displaystyle f, în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu dreapta de ecuație y=2020\displaystyle y=2020.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta y=2020\displaystyle y=2020 este orizontală, deci are panta 0\displaystyle 0. Tangenta în punctul de abscisă x0\displaystyle x_0 are panta f′(x0)\displaystyle f'(x_0), deci condiția de paralelism este f′(x0)=0\displaystyle f'(x_0)=0.
    f′(x0)=0\displaystyle f'(x_0)=0
  2. Derivăm produsul: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x și (x2−4x+1)′=2x−4\displaystyle (x^2-4x+1)'=2x-4. Obținem f′(x)=ex(x2−4x+1)+ex(2x−4)\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-4x+1)+e^x(2x-4).
    f′(x)=ex(x2−4x+1)+ex(2x−4)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x^{2}-4x+1)+e^{x}(2x-4)
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și reducem termenii asemenea: x2−4x+1+2x−4=x2−2x−3\displaystyle x^2-4x+1+2x-4=x^2-2x-3.
    f′(x)=ex(x2−2x−3)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x^{2}-2x-3)
  4. Descompunem x2−2x−3\displaystyle x^2-2x-3 în factori: căutăm două numere cu produsul −3\displaystyle -3 și suma −2\displaystyle -2, adică −3\displaystyle -3 și 1\displaystyle 1. Rezultă x2−2x−3=(x−3)(x+1)\displaystyle x^2-2x-3=(x-3)(x+1).
    f′(x)=ex(x−3)(x+1)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x-3)(x+1)
  5. Punem condiția f′(x0)=0\displaystyle f'(x_0)=0, adică ex0(x0−3)(x0+1)=0\displaystyle e^{x_0}(x_0-3)(x_0+1)=0. Cum ex0>0\displaystyle e^{x_0}>0 pentru orice x0\displaystyle x_0, avem x0−3=0\displaystyle x_0-3=0 sau x0+1=0\displaystyle x_0+1=0. Abscisele căutate sunt −1\displaystyle -1 și 3\displaystyle 3.
    x0=−1 sau x0=3\displaystyle x_0=-1\text{ sau }x_0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−4x+1)\displaystyle f(x)=e^x(x^2-4x+1).

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a, știind că graficul funcției f\displaystyle f intersectează dreapta de ecuație y=a\displaystyle y=a în exact trei puncte.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata produsului: f′(x)=ex(x2−4x+1)+ex(2x−4)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x^{2}-4x+1)+e^{x}(2x-4). Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} și reducem termenii asemenea.
    f′(x)=ex(x2−2x−3)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x^{2}-2x-3)
  2. Cum ex>0\displaystyle e^{x}>0, ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 devine x2−2x−3=0\displaystyle x^{2}-2x-3=0, cu rădăcinile x=−1\displaystyle x=-1 și x=3\displaystyle x=3. Deci f′(x)=ex(x+1)(x−3)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x+1)(x-3).
    f′(x)=ex(x+1)(x−3)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x+1)(x-3),x∈{−1,3}\displaystyle \quad x\in\{-1,3\}
  3. Semnul lui f′\displaystyle f' este dat de (x+1)(x−3)\displaystyle (x+1)(x-3). Pe (−∞,−1)\displaystyle (-\infty,-1) și (3,+∞)\displaystyle (3,+\infty) avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este strict crescătoare. Pe (−1,3)\displaystyle (-1,3) avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, deci f\displaystyle f este strict descrescătoare. Rezultă că x=−1\displaystyle x=-1 este punct de maxim local, iar x=3\displaystyle x=3 este punct de minim local.
    f↗ pe (−∞,−1)\displaystyle f\nearrow\text{ pe }(-\infty,-1),f↘ pe (−1,3)\displaystyle \quad f\searrow\text{ pe }(-1,3),f↗ pe (3,+∞)\displaystyle \quad f\nearrow\text{ pe }(3,+\infty)
  4. Calculăm valorile în punctele de extrem: f(−1)=e−1(1+4+1)=6e\displaystyle f(-1)=e^{-1}(1+4+1)=\dfrac{6}{e} și f(3)=e3(9−12+1)=−2e3\displaystyle f(3)=e^{3}(9-12+1)=-2e^{3}. La capete, lim⁡x→−∞ex(x2−4x+1)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{x}(x^{2}-4x+1)=0, deoarece exponențiala învinge puterea, iar lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0, f(−1)=6e\displaystyle \ f(-1)=\frac{6}{e}, f(3)=−2e3\displaystyle \ f(3)=-2e^{3}, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  5. Pe (−∞,−1)\displaystyle (-\infty,-1) funcția crește strict de la 0\displaystyle 0 (neatins) la 6e\displaystyle \dfrac{6}{e}, deci ia valorile din (0,6e)\displaystyle \left(0,\dfrac{6}{e}\right). Pe (−1,3)\displaystyle (-1,3) scade strict de la 6e\displaystyle \dfrac{6}{e} la −2e3\displaystyle -2e^{3}, deci ia valorile din (−2e3,6e)\displaystyle \left(-2e^{3},\dfrac{6}{e}\right). Pe (3,+∞)\displaystyle (3,+\infty) crește strict de la −2e3\displaystyle -2e^{3} la +∞\displaystyle +\infty, deci ia valorile din (−2e3,+∞)\displaystyle \left(-2e^{3},+\infty\right).
    f((−∞,−1))=(0,6e)\displaystyle f\left((-\infty,-1)\right)=\left(0,\tfrac{6}{e}\right), f((−1,3))=(−2e3,6e)\displaystyle \ f\left((-1,3)\right)=\left(-2e^{3},\tfrac{6}{e}\right), f((3,+∞))=(−2e3,+∞)\displaystyle \ f\left((3,+\infty)\right)=\left(-2e^{3},+\infty\right)
  6. Pe fiecare interval f\displaystyle f este strict monotonă, deci ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are pe interval cel mult o soluție, și exact una dacă a\displaystyle a aparține imaginii. Pentru trei soluții, a\displaystyle a trebuie să aparțină simultan celor trei mulțimi, deci a∈(0,6e)∩(−2e3,6e)∩(−2e3,+∞)\displaystyle a\in\left(0,\dfrac{6}{e}\right)\cap\left(-2e^{3},\dfrac{6}{e}\right)\cap\left(-2e^{3},+\infty\right). Pentru a=0\displaystyle a=0 sau a=6e\displaystyle a=\dfrac{6}{e} se obțin doar două soluții, deci nu convin.
    a∈(0,6e)∩(−2e3,6e)∩(−2e3,+∞)=(0,6e)\displaystyle a\in\left(0,\frac{6}{e}\right)\cap\left(-2e^{3},\frac{6}{e}\right)\cap\left(-2e^{3},+\infty\right)=\left(0,\frac{6}{e}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+1ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x+\frac{1}{\ln x}.

Arătați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este strict crescătoare pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Din definiția primitivei, F\displaystyle F este derivabilă și derivata ei este chiar f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)=ln⁡x+1ln⁡x\displaystyle F'(x)=f(x)=\ln x+\frac{1}{\ln x}, x∈(1,+∞)\displaystyle \ x\in(1,+\infty)
  2. Pentru x>1\displaystyle x>1, logaritmul natural este strict pozitiv, deoarece funcția ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    ln⁡x>0\displaystyle \ln x>0, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle \ \text{pentru orice }x\in(1,+\infty)
  3. Deoarece ln⁡x>0\displaystyle \ln x>0, și inversul său 1ln⁡x\displaystyle \dfrac{1}{\ln x} este pozitiv. Suma a doi termeni pozitivi este pozitivă, deci derivata lui F\displaystyle F este strict pozitivă.
    F′(x)=ln⁡x+1ln⁡x>0\displaystyle F'(x)=\ln x+\frac{1}{\ln x}>0
  4. Cum F′(x)>0\displaystyle F'(x)>0 pe tot intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), funcția F\displaystyle F este strict crescătoare pe acest interval. Fiind aleasă arbitrar, concluzia este valabilă pentru orice primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)>0, pentru orice x∈(1,+∞), deci F este strict cresca˘toare \displaystyle F'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\text{, deci }F\text{ este strict crescătoare }pe intervalul (1,+∞)\displaystyle \text{pe intervalul }(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+1ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x+\frac{1}{\ln x}.

Calculați ∫ee21x(f(x)−ln⁡x)dx\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{1}{x}\left(f(x)-\ln x\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ln⁡x+1ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x+\dfrac{1}{\ln x} în expresia de sub integrală și calculăm diferența f(x)−ln⁡x\displaystyle f(x)-\ln x.
    f(x)−ln⁡x=1ln⁡x\displaystyle f(x)-\ln x=\dfrac{1}{\ln x}
  2. Integrala devine ∫ee21x⋅1ln⁡x dx\displaystyle \displaystyle\int_e^{e^2}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x}\,dx.
    ∫ee21x⋅1ln⁡x dx\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x}\,dx
  3. Observăm că (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci (ln⁡(ln⁡x))′=1ln⁡x⋅1x\displaystyle \left(\ln(\ln x)\right)'=\dfrac{1}{\ln x}\cdot\dfrac{1}{x}. Așadar ln⁡(ln⁡x)\displaystyle \ln(\ln x) este o primitivă, iar formula Leibniz-Newton dă rezultatul de mai jos.
    ∫ee21x⋅1ln⁡x dx=ln⁡(ln⁡x)∣ee2\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x}\,dx=\ln(\ln x)\Big|_e^{e^2}
  4. Calculăm valorile la capete: ln⁡(ln⁡e2)=ln⁡2\displaystyle \ln(\ln e^2)=\ln 2 deoarece ln⁡e2=2\displaystyle \ln e^2=2, iar ln⁡(ln⁡e)=ln⁡1=0\displaystyle \ln(\ln e)=\ln 1=0. Rezultă ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2\displaystyle \ln 2-\ln 1=\ln 2.
    ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2\displaystyle \ln 2-\ln 1=\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+1ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x+\frac{1}{\ln x}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>e\displaystyle a>e, știind că ∫ealn⁡x dx=2a\displaystyle \int_e^a\ln x\,dx=2a.
Vezi rezolvarea
  1. Integrăm prin părți integrala ∫ealn⁡x dx\displaystyle \int_e^a\ln x\,dx. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=dx\displaystyle dv=dx, deci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx și v=x\displaystyle v=x.
    ∫ealn⁡x dx=xln⁡x∣ea−∫eax⋅1x dx\displaystyle \int_e^a\ln x\,dx=x\ln x\Big|_e^a-\int_e^a x\cdot\frac{1}{x}\,dx
  2. În a doua integrală simplificăm x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, deci ∫ea1 dx=x∣ea=a−e\displaystyle \int_e^a 1\,dx=x\Big|_e^a=a-e.
    ∫eax⋅1x dx=∫ea1 dx=a−e\displaystyle \int_e^a x\cdot\frac{1}{x}\,dx=\int_e^a 1\,dx=a-e
  3. Calculăm primul termen: xln⁡x∣ea=aln⁡a−eln⁡e=aln⁡a−e\displaystyle x\ln x\Big|_e^a=a\ln a-e\ln e=a\ln a-e, deoarece ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1. Apoi scădem a−e\displaystyle a-e și reducem termenii.
    ∫ealn⁡x dx=aln⁡a−e−(a−e)=aln⁡a−a\displaystyle \int_e^a\ln x\,dx=a\ln a-e-(a-e)=a\ln a-a
  4. Folosim condiția din enunț, integrala este egală cu 2a\displaystyle 2a, deci aln⁡a−a=2a\displaystyle a\ln a-a=2a. Mutăm termenii în același membru și dăm factor comun pe a\displaystyle a.
    aln⁡a−a=2a⇔aln⁡a−3a=0⇔a(ln⁡a−3)=0\displaystyle a\ln a-a=2a\Leftrightarrow a\ln a-3a=0\Leftrightarrow a(\ln a-3)=0
  5. Produsul este zero, deci a=0\displaystyle a=0 sau ln⁡a=3\displaystyle \ln a=3. Cum a>e\displaystyle a>e, valoarea a=0\displaystyle a=0 nu convine, deci ln⁡a=3\displaystyle \ln a=3, de unde a=e3\displaystyle a=e^{3}. Verificăm: e3>e\displaystyle e^{3}>e, deci valoarea convine.
    a=0 nu convine, deci ln⁡a=3⇒a=e3\displaystyle a=0\text{ nu convine, deci }\ln a=3\Rightarrow a=e^{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.