Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (0,3⋅10−1)(0,3⋅10+1)=8\displaystyle (0{,}3\cdot 10-1)(0{,}3\cdot 10+1)=8.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul 0,3⋅10\displaystyle 0{,}3\cdot 10, care apare în ambele paranteze. Avem 0,3⋅10=3\displaystyle 0{,}3\cdot 10=3.
    0,3⋅10=3\displaystyle 0{,}3\cdot 10=3
  2. Înlocuim această valoare în ambele paranteze și obținem produsul (3−1)(3+1)\displaystyle (3-1)(3+1).
    (3−1)(3+1)\displaystyle (3-1)(3+1)
  3. Calculăm fiecare paranteză: 3−1=2\displaystyle 3-1=2, iar 3+1=4\displaystyle 3+1=4. Înmulțim: 2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 4=8, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 4=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 soluțiile ecuației x2−6x+m=0\displaystyle x^2-6x+m=0, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care x1x2(x1+x2)=12\displaystyle x_1x_2(x_1+x_2)=12.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−6x+m=0\displaystyle x^{2}-6x+m=0 are coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−6\displaystyle b=-6, c=m\displaystyle c=m. Relațiile lui Viète sunt x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} și x1x2=ca\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
    x1+x2=−−61=6\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{-6}{1}=6,x1x2=m1=m\displaystyle \quad x_1x_2=\dfrac{m}{1}=m
  2. Înlocuim în x1x2(x1+x2)=12\displaystyle x_1x_2(x_1+x_2)=12 valorile x1x2=m\displaystyle x_1x_2=m și x1+x2=6\displaystyle x_1+x_2=6.
    m⋅6=12\displaystyle m\cdot 6=12
  3. Din 6m=12\displaystyle 6m=12, împărțind la 6\displaystyle 6, obținem valoarea lui m\displaystyle m.
    6m=12, deci m=2\displaystyle 6m=12\text{, deci }m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 25−x=x+10\displaystyle 2\sqrt{5-x}=\sqrt{x+10}.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență: expresiile de sub radicali trebuie să fie pozitive sau nule, deci 5−x≥0\displaystyle 5-x\ge 0 și x+10≥0\displaystyle x+10\ge 0.
    x∈[−10, 5]\displaystyle x\in[-10,\,5]
  2. Ridicăm ecuația la pătrat. Ambii membri sunt pozitivi sau nuli pe [−10,5]\displaystyle [-10,5], iar (25−x)2=4(5−x)\displaystyle \left(2\sqrt{5-x}\right)^{2}=4(5-x) și (x+10)2=x+10\displaystyle \left(\sqrt{x+10}\right)^{2}=x+10.
    4(5−x)=x+10\displaystyle 4(5-x)=x+10
  3. Desfacem parantezele: 20−4x=x+10\displaystyle 20-4x=x+10. Mutăm termenii: 20−10=x+4x\displaystyle 20-10=x+4x, deci 5x=10\displaystyle 5x=10.
    20−4x=x+10⇒5x=10\displaystyle 20-4x=x+10\Rightarrow 5x=10
  4. Împărțim la 5\displaystyle 5 și obținem x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Verificăm soluția: 2∈[−10,5]\displaystyle 2\in[-10,5], iar 25−2=23\displaystyle 2\sqrt{5-2}=2\sqrt{3} și 2+10=12=23\displaystyle \sqrt{2+10}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}. Egalitatea este adevărată, deci x=2\displaystyle x=2 convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor cu 3\displaystyle 3 mai mare decât cifra unităților.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărăm cazurile posibile: 99−10+1\displaystyle 99-10+1.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  2. Notăm numărul cu ab‾\displaystyle \overline{ab}, unde a\displaystyle a este cifra zecilor și b\displaystyle b este cifra unităților. Condiția cere ca a=b+3\displaystyle a=b+3.
    a=b+3\displaystyle a=b+3
  3. Cifra a\displaystyle a este cel mult 9\displaystyle 9, deci b+3≤9\displaystyle b+3\le 9, adică b≤6\displaystyle b\le 6. Cifra b\displaystyle b poate fi orice cifră de la 0\displaystyle 0 la 6\displaystyle 6. Cifra a\displaystyle a este nenulă automat, deoarece a≥3\displaystyle a\ge 3.
    b∈{0,1,2,3,4,5,6}\displaystyle b\in\{0,1,2,3,4,5,6\}
  4. Numerele favorabile sunt 30,41,52,63,74,85,96\displaystyle 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96. Sunt 7\displaystyle 7 cazuri favorabile.
    30\displaystyle 30, 41\displaystyle \,41, 52\displaystyle \,52, 63\displaystyle \,63, 74\displaystyle \,74, 85\displaystyle \,85, 96, deci 7 cazuri favorabile\displaystyle \,96\text{, deci }7\text{ cazuri favorabile}
  5. Aplicăm formula probabilității clasice: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, p=790\displaystyle p=\dfrac{7}{90}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=790\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{90}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care vectorii u⃗=ai⃗+(a−1)j⃗\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j} și v⃗=3i⃗+4j⃗\displaystyle \vec{v}=3\vec{i}+4\vec{j} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Citim coordonatele vectorilor: u⃗\displaystyle \vec{u} are coordonatele a\displaystyle a și a−1\displaystyle a-1, iar v⃗\displaystyle \vec{v} are coordonatele 3\displaystyle 3 și 4\displaystyle 4.
    u⃗(a, a−1)\displaystyle \vec{u}(a,\,a-1),v⃗(3, 4)\displaystyle \quad \vec{v}(3,\,4)
  2. Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale. Scriem raportul coordonatelor corespunzătoare: a3=a−14\displaystyle \dfrac{a}{3}=\dfrac{a-1}{4}.
    a3=a−14\displaystyle \frac{a}{3}=\frac{a-1}{4}
  3. Înmulțim în cruce, adică înmulțim ambii membri cu 12\displaystyle 12, și obținem o ecuație de gradul întâi.
    4a=3(a−1)⇔4a=3a−3\displaystyle 4a=3(a-1)\Leftrightarrow 4a=3a-3
  4. Mutăm termenii cu a\displaystyle a în membrul stâng: 4a−3a=−3\displaystyle 4a-3a=-3, deci a=−3\displaystyle a=-3.
    a=−3\displaystyle a=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că, dacă x\displaystyle x este număr real pentru care sin⁡x=cos⁡x\displaystyle \sin x=\cos x, atunci cos⁡2x=0\displaystyle \cos 2x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Ipoteza este sin⁡x=cos⁡x\displaystyle \sin x=\cos x, deci cos⁡x−sin⁡x=0\displaystyle \cos x-\sin x=0.
    cos⁡x−sin⁡x=0\displaystyle \cos x-\sin x=0
  2. Folosim formula cosinusului unghiului dublu: cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\displaystyle \cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x.
    cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\displaystyle \cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x
  3. Aplicăm formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) cu a=cos⁡x\displaystyle a=\cos x și b=sin⁡x\displaystyle b=\sin x: cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\displaystyle \cos^{2}x-\sin^{2}x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).
    cos⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\displaystyle \cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)
  4. Din ipoteză cos⁡x−sin⁡x=0\displaystyle \cos x-\sin x=0, deci cos⁡2x=0⋅(cos⁡x+sin⁡x)=0\displaystyle \cos 2x=0\cdot(\cos x+\sin x)=0, ceea ce trebuia demonstrat.
    cos⁡2x=0⋅(cos⁡x+sin⁡x)=0\displaystyle \cos 2x=0\cdot(\cos x+\sin x)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b)=(a2b−ba)\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & 2b \\ -b & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(1,1))=3\displaystyle \det(A(1,1))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 și b=1\displaystyle b=1 în matricea A(a,b)\displaystyle A(a,b). Cum 2b=2\displaystyle 2b=2 și −b=−1\displaystyle -b=-1, obținem matricea A(1,1)\displaystyle A(1,1).
    A(1,1)=(12−11)\displaystyle A(1,1)=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
  2. Determinantul de ordin doi este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc. Aplicăm formula pentru A(1,1)\displaystyle A(1,1).
    det⁡(A(1,1))=∣12−11∣=1⋅1−(−1)⋅2\displaystyle \det(A(1,1))=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot 1-(-1)\cdot 2
  3. Calculăm: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1 și (−1)⋅2=−2\displaystyle (-1)\cdot 2=-2, deci 1−(−2)=1+2\displaystyle 1-(-2)=1+2. Obținem valoarea cerută.
    1+2=3\displaystyle 1+2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b)=(a2b−ba)\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & 2b \\ -b & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Demonstrați că A(a,b)⋅A(b,a)=A(−ab,a2+b2)\displaystyle A(a,b)\cdot A(b,a)=A(-ab,a^2+b^2), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiție, A(a,b)=(a2b−ba)\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & 2b \\ -b & a \end{pmatrix}. Pentru A(b,a)\displaystyle A(b,a) înlocuim a\displaystyle a cu b\displaystyle b și b\displaystyle b cu a\displaystyle a.
    A(b,a)=(b2a−ab)\displaystyle A(b,a)=\begin{pmatrix} b & 2a \\ -a & b \end{pmatrix}
  2. Scriem produsul A(a,b)⋅A(b,a)\displaystyle A(a,b)\cdot A(b,a) și îl calculăm element cu element, linie pe coloană.
    A(a,b)⋅A(b,a)=(a2b−ba)(b2a−ab)\displaystyle A(a,b)\cdot A(b,a)=\begin{pmatrix} a & 2b \\ -b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & 2a \\ -a & b \end{pmatrix}
  3. Elementele sunt: a⋅b+2b⋅(−a)=ab−2ab\displaystyle a\cdot b+2b\cdot(-a)=ab-2ab, apoi a⋅2a+2b⋅b=2a2+2b2\displaystyle a\cdot 2a+2b\cdot b=2a^2+2b^2, apoi −b⋅b+a⋅(−a)=−b2−a2\displaystyle -b\cdot b+a\cdot(-a)=-b^2-a^2, iar ultimul este −b⋅2a+a⋅b=−2ab+ab\displaystyle -b\cdot 2a+a\cdot b=-2ab+ab.
    (ab−2ab2a2+2b2−b2−a2−2ab+ab)\displaystyle \begin{pmatrix} ab-2ab & 2a^2+2b^2 \\ -b^2-a^2 & -2ab+ab \end{pmatrix}
  4. Reducem termenii: ab−2ab=−ab\displaystyle ab-2ab=-ab și −2ab+ab=−ab\displaystyle -2ab+ab=-ab. Scoatem factor comun: 2a2+2b2=2(a2+b2)\displaystyle 2a^2+2b^2=2(a^2+b^2) și −b2−a2=−(a2+b2)\displaystyle -b^2-a^2=-(a^2+b^2). Matricea are forma (x2y−yx)\displaystyle \begin{pmatrix} x & 2y \\ -y & x \end{pmatrix} cu x=−ab\displaystyle x=-ab și y=a2+b2\displaystyle y=a^2+b^2, adică A(x,y)\displaystyle A(x,y).
    (−ab2(a2+b2)−(a2+b2)−ab)\displaystyle \begin{pmatrix} -ab & 2(a^2+b^2) \\ -(a^2+b^2) & -ab \end{pmatrix}
  5. Matricea obținută este A(−ab,a2+b2)\displaystyle A(-ab,a^2+b^2), deci A(a,b)⋅A(b,a)=A(−ab,a2+b2)\displaystyle A(a,b)\cdot A(b,a)=A(-ab,a^2+b^2) pentru orice a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}.
    A(a,b)⋅A(b,a)=A(−ab,a2+b2)\displaystyle A(a,b)\cdot A(b,a)=A(-ab,a^2+b^2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b)=(a2b−ba)\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & 2b \\ -b & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați perechile de numere întregi m\displaystyle m și n\displaystyle n pentru care det⁡(A(m,n))=1\displaystyle \det(A(m,n))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=m\displaystyle a=m și b=n\displaystyle b=n matricea este A(m,n)=(m2n−nm)\displaystyle A(m,n)=\begin{pmatrix} m & 2n \\ -n & m \end{pmatrix}. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(m,n))=m⋅m−2n⋅(−n)\displaystyle \det(A(m,n))=m\cdot m-2n\cdot(-n)
  2. Efectuăm calculele: m⋅m=m2\displaystyle m\cdot m=m^{2}, iar −2n⋅(−n)=2n2\displaystyle -2n\cdot(-n)=2n^{2}. Deci determinantul este m2+2n2\displaystyle m^{2}+2n^{2}.
    det⁡(A(m,n))=m2+2n2\displaystyle \det(A(m,n))=m^{2}+2n^{2}
  3. Condiția det⁡(A(m,n))=1\displaystyle \det(A(m,n))=1 devine o ecuație în numere întregi m\displaystyle m și n\displaystyle n.
    m2+2n2=1\displaystyle m^{2}+2n^{2}=1
  4. Avem m2≥0\displaystyle m^{2}\ge 0, deci 2n2≤1\displaystyle 2n^{2}\le 1. Cum n\displaystyle n este întreg, dacă n≠0\displaystyle n\neq 0 atunci n2≥1\displaystyle n^{2}\ge 1 și 2n2≥2>1\displaystyle 2n^{2}\ge 2>1, imposibil. Prin urmare n=0\displaystyle n=0.
    n=0\displaystyle n=0
  5. Înlocuim n=0\displaystyle n=0 în ecuație și obținem m2=1\displaystyle m^{2}=1, deci m=1\displaystyle m=1 sau m=−1\displaystyle m=-1. Ambele valori sunt numere întregi, deci convin.
    m=−1\displaystyle m=-1, n=0 sau m=1\displaystyle \ n=0\text{ sau }m=1, n=0\displaystyle \ n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−15X2+mX−80\displaystyle f=X^3-15X^2+mX-80, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=95\displaystyle m=95, arătați că f(1)=1\displaystyle f(1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=95\displaystyle m=95 în polinom și obținem f=X3−15X2+95X−80\displaystyle f=X^3-15X^2+95X-80.
    f=X3−15X2+95X−80\displaystyle f=X^3-15X^2+95X-80
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1), înlocuind X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în polinom.
    f(1)=13−15⋅12+95⋅1−80\displaystyle f(1)=1^3-15\cdot 1^2+95\cdot 1-80
  3. Calculăm puterile și produsele: 13=1\displaystyle 1^3=1, 15⋅12=15\displaystyle 15\cdot 1^2=15, 95⋅1=95\displaystyle 95\cdot 1=95. Obținem f(1)=1−15+95−80\displaystyle f(1)=1-15+95-80.
    f(1)=1−15+95−80\displaystyle f(1)=1-15+95-80
  4. Efectuăm operațiile: 1−15=−14\displaystyle 1-15=-14, apoi −14+95=81\displaystyle -14+95=81, apoi 81−80=1\displaystyle 81-80=1. Deci f(1)=1\displaystyle f(1)=1.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−15X2+mX−80\displaystyle f=X^3-15X^2+mX-80, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care x1(x1−x2)+x2(x2−x3)+x3(x3−x1)=0\displaystyle x_1(x_1-x_2)+x_2(x_2-x_3)+x_3(x_3-x_1)=0, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru f=X3−15X2+mX−80\displaystyle f=X^3-15X^2+mX-80 relațiile lui Viète dau suma rădăcinilor și suma produselor lor luate câte două: x1+x2+x3=−−151=15\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-15}{1}=15 și x1x2+x2x3+x1x3=m\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=m.
    x1+x2+x3=15 și x1x2+x2x3+x1x3=m\displaystyle x_1+x_2+x_3=15\text{ și }x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=m
  2. Desfacem parantezele: x1(x1−x2)+x2(x2−x3)+x3(x3−x1)=x12−x1x2+x22−x2x3+x32−x3x1\displaystyle x_1(x_1-x_2)+x_2(x_2-x_3)+x_3(x_3-x_1)=x_1^2-x_1x_2+x_2^2-x_2x_3+x_3^2-x_3x_1. Rezultă suma pătratelor minus suma produselor.
    x12+x22+x32−(x1x2+x2x3+x1x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2-(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)
  3. Folosim x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x1x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3). Expresia devine (x1+x2+x3)2−3(x1x2+x2x3+x1x3)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2-3(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3).
    (x1+x2+x3)2−3(x1x2+x2x3+x1x3)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2-3(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)
  4. Înlocuim x1+x2+x3=15\displaystyle x_1+x_2+x_3=15 și x1x2+x2x3+x1x3=m\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=m. Condiția din enunț devine 152−3m=0\displaystyle 15^2-3m=0, adică 225−3m=0\displaystyle 225-3m=0.
    225−3m=0\displaystyle 225-3m=0
  5. Din 225−3m=0\displaystyle 225-3m=0 obținem 3m=225\displaystyle 3m=225, deci m=75\displaystyle m=75.
    m=75\displaystyle m=75
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−15X2+mX−80\displaystyle f=X^3-15X^2+mX-80, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f, știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm rădăcinile polinomului cu x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3. Fiind în progresie aritmetică, termenul din mijloc este media aritmetică a celorlalți doi: 2x2=x1+x3\displaystyle 2x_2=x_1+x_3.
    2x2=x1+x3\displaystyle 2x_2=x_1+x_3
  2. Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este −−151\displaystyle -\dfrac{-15}{1}, adică x1+x2+x3=15\displaystyle x_1+x_2+x_3=15.
    x1+x2+x3=15\displaystyle x_1+x_2+x_3=15
  3. Înlocuim x1+x3=2x2\displaystyle x_1+x_3=2x_2 în sumă: 3x2=15\displaystyle 3x_2=15, deci x2=5\displaystyle x_2=5. Atunci x1+x3=10\displaystyle x_1+x_3=10.
    x2=5, x1+x3=10\displaystyle x_2=5\text{, }x_1+x_3=10
  4. Din relațiile lui Viète, produsul rădăcinilor este x1x2x3=80\displaystyle x_1x_2x_3=80. Cum x2=5\displaystyle x_2=5, obținem 5x1x3=80\displaystyle 5x_1x_3=80, deci x1x3=16\displaystyle x_1x_3=16.
    x1x3=16\displaystyle x_1x_3=16
  5. Numerele x1\displaystyle x_1 și x3\displaystyle x_3 au suma 10\displaystyle 10 și produsul 16\displaystyle 16, deci sunt rădăcinile ecuației t2−10t+16=0\displaystyle t^2-10t+16=0. Discriminantul este 100−64=36\displaystyle 100-64=36, iar t=10±62\displaystyle t=\dfrac{10\pm 6}{2}, adică t=2\displaystyle t=2 sau t=8\displaystyle t=8.
    t2−10t+16=0⇒t∈{2,8}\displaystyle t^2-10t+16=0\Rightarrow t\in\{2,8\}
  6. Rădăcinile polinomului f\displaystyle f sunt 2, 5\displaystyle 2,\ 5 și 8\displaystyle 8, care sunt într-adevăr în progresie aritmetică, cu rația 3\displaystyle 3.
    x1=2\displaystyle x_1=2, x2=5\displaystyle \ x_2=5, x3=8\displaystyle \ x_3=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x−10\displaystyle f(x)=e^x-x-10.

Arătați că f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar derivata constantei 10\displaystyle 10 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=(ex)′−(x)′−(10)′=ex−1−0\displaystyle f'(x)=(e^x)'-(x)'-(10)'=e^x-1-0
  2. Scriem expresia derivatei, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în derivată și folosim faptul că e0=1\displaystyle e^0=1.
    f′(0)=e0−1=1−1=0\displaystyle f'(0)=e^0-1=1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x−10\displaystyle f(x)=e^x-x-10.

Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției f\displaystyle f sunt concurente.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă a\displaystyle a are panta f′(a)\displaystyle f'(a). Calculăm derivata lui f\displaystyle f: f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^{x}-1.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^{x}-1
  2. Calculăm derivata a doua: f′′(x)=ex\displaystyle f''(x)=e^{x}, care este strict pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci f′\displaystyle f' este strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}, prin urmare f′\displaystyle f' este injectivă.
    f′′(x)=ex>0, pentru orice numa˘r real x⇒f′ este strict cresca˘toare, \displaystyle f''(x)=e^{x}>0\text{, pentru orice număr real }x\Rightarrow f'\text{ este strict crescătoare, }deci injectiva˘\displaystyle \text{deci injectivă}
  3. Considerăm două tangente distincte, în punctele de abscise x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2, cu x1≠x2\displaystyle x_1\neq x_2. Din injectivitatea lui f′\displaystyle f' rezultă că f′(x1)≠f′(x2)\displaystyle f'(x_1)\neq f'(x_2). Deci pantele tangentelor sunt diferite, iar două drepte din plan cu pante diferite nu sunt paralele, deci se intersectează într-un punct. Așadar oricare două tangente sunt concurente.
    x1≠x2⇒f′(x1)≠f′(x2), deci tangentele au \displaystyle x_1\neq x_2\Rightarrow f'(x_1)\neq f'(x_2)\text{, deci tangentele au }pante diferite, deci sunt \displaystyle \text{pante diferite, deci sunt }concurente\displaystyle \text{concurente}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x−10\displaystyle f(x)=e^x-x-10.

Demonstrați că ex3≥(x+1)(x2−x+1)\displaystyle e^{x^3}\ge (x+1)(x^2-x+1), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (x+1)(x2−x+1)=x3+1\displaystyle (x+1)(x^2-x+1)=x^3+1 (suma cuburilor). Deci inegalitatea de demonstrat este ex3≥x3+1\displaystyle e^{x^3}\ge x^3+1. Pentru aceasta folosim funcția f(x)=ex−x−10\displaystyle f(x)=e^x-x-10 și minimul ei.
    (x+1)(x2−x+1)=x3+1\displaystyle (x+1)(x^{2}-x+1)=x^{3}+1
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, a lui −x\displaystyle -x este −1\displaystyle -1, iar constanta dispare.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^{x}-1
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: ex=1\displaystyle e^x=1, adică x=0\displaystyle x=0.
    f′(x)=0⇔x=0\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=0
  4. Studiem semnul derivei. Pentru x≤0\displaystyle x\le 0 avem ex≤1\displaystyle e^x\le 1, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0]. Pentru x≥0\displaystyle x\ge 0 avem ex≥1\displaystyle e^x\ge 1, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    f descresca˘toare pe (−∞,0]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,0], f cresca˘toare pe [0,+∞)\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[0,+\infty)
  5. Deci x=0\displaystyle x=0 este punct de minim global. Calculăm f(0)=e0−0−10=−9\displaystyle f(0)=e^0-0-10=-9, așadar f(x)≥−9\displaystyle f(x)\ge -9 pentru orice x\displaystyle x real.
    f(0)=−9⇒f(x)≥−9\displaystyle f(0)=-9\Rightarrow f(x)\ge -9, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  6. Inegalitatea f(t)≥−9\displaystyle f(t)\ge -9 este valabilă pentru orice t\displaystyle t real, deci și pentru t=x3\displaystyle t=x^3, care este real. Obținem ex3−x3−10≥−9\displaystyle e^{x^3}-x^3-10\ge -9.
    f(x3)≥−9⇔ex3−x3−10≥−9\displaystyle f(x^{3})\ge -9\Leftrightarrow e^{x^{3}}-x^{3}-10\ge -9
  7. Adunăm 10\displaystyle 10 în ambii membri: ex3≥x3+1\displaystyle e^{x^3}\ge x^3+1. Dar x3+1=(x+1)(x2−x+1)\displaystyle x^3+1=(x+1)(x^2-x+1), deci inegalitatea cerută este demonstrată pentru orice x\displaystyle x real.
    ex3≥x3+1=(x+1)(x2−x+1)\displaystyle e^{x^{3}}\ge x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,+∞)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), f(x)=x+9x\displaystyle f(x)=x+\frac{9}{x}.

Arătați că ∫13(f(x)−9x)dx=4\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\frac{9}{x}\right)dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+9x\displaystyle f(x)=x+\dfrac{9}{x} în integrand: f(x)−9x=x+9x−9x\displaystyle f(x)-\dfrac{9}{x}=x+\dfrac{9}{x}-\dfrac{9}{x}.
    ∫13(f(x)−9x)dx=∫13(x+9x−9x)dx\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\frac{9}{x}\right)dx=\int_1^3\left(x+\frac{9}{x}-\frac{9}{x}\right)dx
  2. Termenii 9x\displaystyle \dfrac{9}{x} și −9x\displaystyle -\dfrac{9}{x} se reduc, deci integrandul este doar x\displaystyle x.
    ∫13x dx\displaystyle \int_1^3 x\,dx
  3. O primitivă a funcției x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫13x dx=x22∣13\displaystyle \int_1^3 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_1^3
  4. Calculăm valorile în limitele de integrare: în 3\displaystyle 3 obținem 322=92\displaystyle \dfrac{3^{2}}{2}=\dfrac{9}{2}, iar în 1\displaystyle 1 obținem 122=12\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}.
    92−12=82=4\displaystyle \frac{9}{2}-\frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,+∞)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), f(x)=x+9x\displaystyle f(x)=x+\frac{9}{x}.

Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=2f(x)\displaystyle g(x)=\frac{2}{f(x)}, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=9\displaystyle x=9 are aria egală cu 2ln⁡3\displaystyle 2\ln 3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția g\displaystyle g explicit. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem f(x)=x+9x=x2+9x\displaystyle f(x)=x+\dfrac{9}{x}=\dfrac{x^{2}+9}{x}, deci g(x)=2f(x)=2xx2+9\displaystyle g(x)=\dfrac{2}{f(x)}=\dfrac{2x}{x^{2}+9}.
    g(x)=2xx2+9\displaystyle g(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+9}
  2. Stabilim semnul lui g\displaystyle g. Pentru x∈[1,9]\displaystyle x\in[1,9] avem 2x>0\displaystyle 2x>0 și x2+9>0\displaystyle x^{2}+9>0, deci g(x)>0\displaystyle g(x)>0 și ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x). Aria este A=∫19g(x) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{1}^{9}g(x)\,dx.
    A=∫192xx2+9 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{1}^{9}\dfrac{2x}{x^{2}+9}\,dx
  3. Observăm că 2x=(x2+9)′\displaystyle 2x=(x^{2}+9)', deci o primitivă a lui g\displaystyle g este ln⁡(x2+9)\displaystyle \ln(x^{2}+9), argumentul fiind pozitiv. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    A=ln⁡(x2+9)∣19\displaystyle \mathcal{A}=\ln(x^{2}+9)\Big|_{1}^{9}
  4. Înlocuim limitele: pentru x=9\displaystyle x=9 obținem ln⁡(81+9)=ln⁡90\displaystyle \ln(81+9)=\ln 90, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem ln⁡(1+9)=ln⁡10\displaystyle \ln(1+9)=\ln 10. Atunci A=ln⁡90−ln⁡10=ln⁡9010=ln⁡9=ln⁡32=2ln⁡3\displaystyle \mathcal{A}=\ln 90-\ln 10=\ln\dfrac{90}{10}=\ln 9=\ln 3^{2}=2\ln 3.
    A=ln⁡90−ln⁡10=ln⁡9=2ln⁡3\displaystyle \mathcal{A}=\ln 90-\ln 10=\ln 9=2\ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,+∞)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), f(x)=x+9x\displaystyle f(x)=x+\frac{9}{x}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că ∫13(f(x)−9x)arctg⁡x dx=5π12−3+3−a2\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}\left(f(x)-\frac{9}{x}\right)\operatorname{arctg}x\,dx=\frac{5\pi}{12}-\frac{3+\sqrt{3}-a}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm expresia de sub integrală: f(x)−9x=x+9x−9x=x\displaystyle f(x)-\dfrac{9}{x}=x+\dfrac{9}{x}-\dfrac{9}{x}=x. Deci integrala devine ∫13xarctg⁡x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^{\sqrt{3}}x\operatorname{arctg}x\,dx.
    ∫13xarctg⁡x dx\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}x\operatorname{arctg}x\,dx
  2. Pregătim integrarea prin părți: observăm că x=(x2+12)′\displaystyle x=\left(\dfrac{x^{2}+1}{2}\right)', așa că alegem u=arctg⁡x\displaystyle u=\operatorname{arctg}x și dv=(x2+12)′dx\displaystyle dv=\left(\dfrac{x^{2}+1}{2}\right)'dx. Atunci du=1x2+1dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x^{2}+1}dx și v=x2+12\displaystyle v=\dfrac{x^{2}+1}{2}.
    ∫13(x2+12)′arctg⁡x dx\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}\left(\frac{x^{2}+1}{2}\right)'\operatorname{arctg}x\,dx
  3. Aplicăm formula de integrare prin părți: ∫u v′ dx=uv−∫u′v dx\displaystyle \displaystyle\int u\,v'\,dx=uv-\int u'v\,dx. Obținem x2+12arctg⁡x∣13−∫13x2+12(x2+1)dx\displaystyle \dfrac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctg}x\Big|_1^{\sqrt{3}}-\displaystyle\int_1^{\sqrt{3}}\dfrac{x^{2}+1}{2(x^{2}+1)}dx, iar fracția se simplifică la 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    x2+12arctg⁡x∣13−∫1312 dx\displaystyle \frac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctg}x\Big|_1^{\sqrt{3}}-\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{2}\,dx
  4. Calculăm integrala rămasă: o primitivă a lui 12\displaystyle \dfrac{1}{2} este x2\displaystyle \dfrac{x}{2}. Astfel, ∫13xarctg⁡x dx=(x2+12arctg⁡x−x2)∣13\displaystyle \displaystyle\int_1^{\sqrt{3}}x\operatorname{arctg}x\,dx=\left(\dfrac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctg}x-\dfrac{x}{2}\right)\Big|_1^{\sqrt{3}}.
    (x2+12arctg⁡x−x2)∣13\displaystyle \left(\frac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctg}x-\frac{x}{2}\right)\Big|_1^{\sqrt{3}}
  5. Evaluăm la limite. Pentru x=3\displaystyle x=\sqrt{3} avem 3+12⋅π3−32=2π3−32\displaystyle \dfrac{3+1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem 1+12⋅π4−12=π4−12\displaystyle \dfrac{1+1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}. Diferența este 2π3−π4−32+12\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}.
    5π12−3−12\displaystyle \frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}
  6. Egalăm rezultatul cu membrul drept din enunț: 5π12−3−12=5π12−3+3−a2\displaystyle \dfrac{5\pi}{12}-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}=\dfrac{5\pi}{12}-\dfrac{3+\sqrt{3}-a}{2}. Rămâne 3−1=3+3−a\displaystyle \sqrt{3}-1=3+\sqrt{3}-a, deci a=4\displaystyle a=4.
    a=4\displaystyle a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.