Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 8: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}, știind că b2=2\displaystyle b_2=2 și b3=4\displaystyle b_3=4.
Vezi rezolvarea
  1. Rația progresiei geometrice este raportul a doi termeni consecutivi: q=b3b2\displaystyle q=\dfrac{b_3}{b_2}. Înlocuim valorile date: q=42\displaystyle q=\dfrac{4}{2}.
    q=42=2\displaystyle q=\dfrac{4}{2}=2
  2. Din formula b2=b1⋅q\displaystyle b_2=b_1\cdot q obținem b1=b2q=22\displaystyle b_1=\dfrac{b_2}{q}=\dfrac{2}{2}.
    b1=22=1\displaystyle b_1=\dfrac{2}{2}=1
  3. Suma primilor trei termeni este b1+b2+b3=1+2+4\displaystyle b_1+b_2+b_3=1+2+4.
    b1+b2+b3=1+2+4=7\displaystyle b_1+b_2+b_3=1+2+4=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−5x+3\displaystyle f(x)=x^2-5x+3. Determinați produsul absciselor punctelor în care graficul funcției f\displaystyle f intersectează axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele în care graficul intersectează axa Ox\displaystyle Ox au ordonata 0\displaystyle 0, deci abscisele lor sunt soluțiile ecuației f(x)=0\displaystyle f(x)=0, adică x2−5x+3=0\displaystyle x^{2}-5x+3=0.
    x2−5x+3=0\displaystyle x^{2}-5x+3=0
  2. Calculăm discriminantul ecuației, cu a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle b=-5, c=3\displaystyle c=3: Δ=b2−4ac=25−12=13>0\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=25-12=13>0. Ecuația are două rădăcini reale distincte, deci graficul intersectează axa Ox\displaystyle Ox în două puncte.
    Δ=25−12=13>0\displaystyle \Delta=25-12=13>0
  3. Notăm cu x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 rădăcinile ecuației. Din relațiile lui Viète, produsul rădăcinilor este x1x2=ca=31=3\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{1}=3. Deci produsul absciselor punctelor de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox este 3\displaystyle 3.
    x1x2=31=3\displaystyle x_1x_2=\frac{3}{1}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x+2=1−x\displaystyle 2\sqrt{x+2}=1-x.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația conține radical, deci cerem ca x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0, adică x≥−2\displaystyle x\ge -2. Cum radicalul este mai mare sau egal cu zero, trebuie ca și 1−x≥0\displaystyle 1-x\ge 0, adică x≤1\displaystyle x\le 1. Deci soluțiile posibile se află în intervalul [−2,1]\displaystyle [-2,1].
    x∈[−2,1]\displaystyle x\in[-2,1]
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: (2x+2)2=4(x+2)\displaystyle \left(2\sqrt{x+2}\right)^{2}=4(x+2), iar membrul drept devine (1−x)2\displaystyle (1-x)^{2}.
    4(x+2)=(1−x)2\displaystyle 4(x+2)=(1-x)^{2}
  3. Desfacem parantezele: 4x+8=1−2x+x2\displaystyle 4x+8=1-2x+x^{2}. Mutăm toți termenii în dreapta și reducem termenii asemenea, obținând ecuația de gradul al doilea x2−6x−7=0\displaystyle x^{2}-6x-7=0.
    x2−6x−7=0\displaystyle x^{2}-6x-7=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=36+28=64\displaystyle \Delta=36+28=64, deci x=6±82\displaystyle x=\dfrac{6\pm 8}{2}, adică x=7\displaystyle x=7 sau x=−1\displaystyle x=-1.
    x=7 sau x=−1\displaystyle x=7\text{ sau }x=-1
  5. Verificăm soluțiile. Pentru x=−1\displaystyle x=-1: membrul stâng este 21=2\displaystyle 2\sqrt{1}=2, iar membrul drept este 1−(−1)=2\displaystyle 1-(-1)=2, deci x=−1\displaystyle x=-1 convine. Pentru x=7\displaystyle x=7: membrul stâng este 29=6\displaystyle 2\sqrt{9}=6, iar membrul drept este 1−7=−6\displaystyle 1-7=-6, deci x=7\displaystyle x=7 nu convine, fiind în afara intervalului [−2,1]\displaystyle [-2,1]. Ecuația are o singură soluție.
    x=−1, care convine; x=7, care nu convine\displaystyle x=-1\text{, care convine; }x=7\text{, care nu convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă toate cifrele pare.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de trei cifre sunt de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999, deci sunt 999−100+1\displaystyle 999-100+1 numere.
    999−100+1=900\displaystyle 999-100+1=900
  2. Pentru cazurile favorabile, cifra sutelor trebuie să fie pară și nenulă, deci poate fi 2\displaystyle 2, 4\displaystyle 4, 6\displaystyle 6 sau 8\displaystyle 8: sunt 4\displaystyle 4 variante.
    4 variante pentru cifra \displaystyle 4\text{ variante pentru cifra }sutelor\displaystyle \text{sutelor}
  3. Cifra zecilor și cifra unităților pot fi fiecare 0\displaystyle 0, 2\displaystyle 2, 4\displaystyle 4, 6\displaystyle 6 sau 8\displaystyle 8: sunt câte 5\displaystyle 5 variante pentru fiecare.
    5 variante pentru zeci, 5 variante pentru unita˘ți\displaystyle 5\text{ variante pentru zeci, }5\text{ variante pentru unități}
  4. Înmulțim numărul de variante de pe cele trei poziții și obținem numărul cazurilor favorabile.
    4⋅5⋅5=100\displaystyle 4\cdot 5\cdot 5=100
  5. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile; simplificăm fracția prin 100\displaystyle 100.
    p=100900=19\displaystyle p=\frac{100}{900}=\frac{1}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3), B(−1,0)\displaystyle B(-1,0) și C(a,a+2)\displaystyle C(a,a+2), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care vectorii OC→\displaystyle \overrightarrow{OC} și AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem vectorul OC→\displaystyle \overrightarrow{OC}. Punctul O\displaystyle O este originea, deci coordonatele vectorului OC→\displaystyle \overrightarrow{OC} sunt chiar coordonatele punctului C\displaystyle C: a\displaystyle a și a+2\displaystyle a+2.
    OC→=ai⃗+(a+2)j⃗\displaystyle \overrightarrow{OC}=a\vec{i}+(a+2)\vec{j}
  2. Calculăm vectorul AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} scăzând coordonatele lui A\displaystyle A din coordonatele lui B\displaystyle B: abscisa este −1−1=−2\displaystyle -1-1=-2, iar ordonata este 0−3=−3\displaystyle 0-3=-3.
    AB→=−2i⃗−3j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=-2\vec{i}-3\vec{j}
  3. Doi vectori sunt coliniari când coordonatele lor sunt proporționale. Scriem egalitatea rapoartelor coordonatelor lui OC→\displaystyle \overrightarrow{OC} și AB→\displaystyle \overrightarrow{AB}.
    a−2=a+2−3\displaystyle \frac{a}{-2}=\frac{a+2}{-3}
  4. Înmulțim pe încrucișate: −3a=−2(a+2)\displaystyle -3a=-2(a+2). Desfacem parantezele: −3a=−2a−4\displaystyle -3a=-2a-4, deci −a=−4\displaystyle -a=-4.
    a=4\displaystyle a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡(x+π3)+sin⁡(x−π3)=sin⁡x\displaystyle \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula pentru sinusul sumei: sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b. Pentru a=x\displaystyle a=x și b=π3\displaystyle b=\dfrac{\pi}{3} obținem primul termen dezvoltat.
    sin⁡(x+π3)=sin⁡xcos⁡π3+cos⁡xsin⁡π3\displaystyle \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}
  2. Folosim formula pentru sinusul diferenței: sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b. Pentru a=x\displaystyle a=x și b=π3\displaystyle b=\dfrac{\pi}{3} obținem al doilea termen dezvoltat.
    sin⁡(x−π3)=sin⁡xcos⁡π3−cos⁡xsin⁡π3\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}
  3. Adunăm cele două dezvoltări, adică scriem suma din enunț cu ambii termeni dezvoltați.
    sin⁡xcos⁡π3+cos⁡xsin⁡π3+sin⁡xcos⁡π3−cos⁡xsin⁡π3\displaystyle \sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}+\sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}
  4. Reducem termenii opuși: cos⁡xsin⁡π3\displaystyle \cos x\sin\dfrac{\pi}{3} apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se anulează. Rămân doi termeni egali, pe care îi adunăm.
    2sin⁡xcos⁡π3\displaystyle 2\sin x\cos\frac{\pi}{3}
  5. Știm că cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}. Înlocuim și simplificăm: 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1, deci obținem sin⁡x\displaystyle \sin x, ceea ce trebuia demonstrat.
    2sin⁡xcos⁡π3=2sin⁡x⋅12=sin⁡x\displaystyle 2\sin x\cos\frac{\pi}{3}=2\sin x\cdot\frac{1}{2}=\sin x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(aa+1a+2a+3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & a+1 \\ a+2 & a+3 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=−2\displaystyle \det(A(0))=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0 în fiecare element al matricei: a\displaystyle a devine 0\displaystyle 0, a+1\displaystyle a+1 devine 1\displaystyle 1, a+2\displaystyle a+2 devine 2\displaystyle 2, iar a+3\displaystyle a+3 devine 3\displaystyle 3.
    A(0)=(0123)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), adică determinantul de ordin doi format cu elementele ei.
    det⁡A(0)=∣0123∣\displaystyle \det A(0)=\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem 0⋅3−1⋅2=0−2=−2\displaystyle 0\cdot 3-1\cdot 2=0-2=-2, deci det⁡(A(0))=−2\displaystyle \det(A(0))=-2.
    0⋅3−1⋅2=−2\displaystyle 0\cdot 3-1\cdot 2=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(aa+1a+2a+3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & a+1 \\ a+2 & a+3 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci calculăm det⁡A(a)\displaystyle \det A(a).
    det⁡A(a)=∣aa+1a+2a+3∣\displaystyle \det A(a)=\begin{vmatrix} a & a+1 \\ a+2 & a+3 \end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică a(a+3)−(a+1)(a+2)\displaystyle a(a+3)-(a+1)(a+2).
    det⁡A(a)=a(a+3)−(a+1)(a+2)\displaystyle \det A(a)=a(a+3)-(a+1)(a+2)
  3. Desfacem parantezele: a(a+3)=a2+3a\displaystyle a(a+3)=a^{2}+3a, iar (a+1)(a+2)=a2+3a+2\displaystyle (a+1)(a+2)=a^{2}+3a+2. Apoi reducem termenii asemenea.
    det⁡A(a)=a2+3a−a2−3a−2=−2\displaystyle \det A(a)=a^{2}+3a-a^{2}-3a-2=-2
  4. Determinantul este egal cu −2\displaystyle -2 pentru orice număr real a\displaystyle a, deci este nenul. Prin urmare matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡A(a)=−2≠0⇒A(a) este inversabila˘, ∀a∈R\displaystyle \det A(a)=-2\neq 0\Rightarrow A(a)\text{ este inversabilă, }\forall a\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(aa+1a+2a+3)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & a+1 \\ a+2 & a+3 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real. Demonstrați că, dacă a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere întregi și X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) astfel încât A(a)⋅X=A(b)\displaystyle A(a)\cdot X=A(b), atunci elementele matricei X\displaystyle X sunt numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a): det⁡A(a)=a(a+3)−(a+1)(a+2)=a2+3a−a2−3a−2=−2\displaystyle \det A(a)=a(a+3)-(a+1)(a+2)=a^{2}+3a-a^{2}-3a-2=-2. Deoarece −2≠0\displaystyle -2\neq 0, matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă pentru orice a\displaystyle a real.
    det⁡A(a)=−2≠0\displaystyle \det A(a)=-2\neq 0
  2. Inversa se obține schimbând între ele elementele de pe diagonala principală și schimbând semnul celor de pe diagonala secundară, apoi înmulțind cu 1det⁡A(a)=−12\displaystyle \dfrac{1}{\det A(a)}=-\dfrac{1}{2}: (A(a))−1=−12(a+3−(a+1)−(a+2)a)\displaystyle (A(a))^{-1}=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} a+3 & -(a+1) \\ -(a+2) & a \end{pmatrix}.
    (A(a))−1=(−a+32a+12a+22−a2)\displaystyle (A(a))^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{a+3}{2} & \frac{a+1}{2} \\ \frac{a+2}{2} & -\frac{a}{2} \end{pmatrix}
  3. Din A(a)⋅X=A(b)\displaystyle A(a)\cdot X=A(b), înmulțind la stânga cu (A(a))−1\displaystyle (A(a))^{-1}, obținem X=(A(a))−1⋅A(b)\displaystyle X=(A(a))^{-1}\cdot A(b), adică X=(−a+32a+12a+22−a2)(bb+1b+2b+3)\displaystyle X=\begin{pmatrix} -\frac{a+3}{2} & \frac{a+1}{2} \\ \frac{a+2}{2} & -\frac{a}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & b+1 \\ b+2 & b+3 \end{pmatrix}.
    X=(−a+32a+12a+22−a2)(bb+1b+2b+3)\displaystyle X=\begin{pmatrix} -\frac{a+3}{2} & \frac{a+1}{2} \\ \frac{a+2}{2} & -\frac{a}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & b+1 \\ b+2 & b+3 \end{pmatrix}
  4. Prima linie: x11=−(a+3)b+(a+1)(b+2)2=−ab−3b+ab+2a+b+22=2a−2b+22=a−b+1\displaystyle x_{11}=\dfrac{-(a+3)b+(a+1)(b+2)}{2}=\dfrac{-ab-3b+ab+2a+b+2}{2}=\dfrac{2a-2b+2}{2}=a-b+1 și x12=−(a+3)(b+1)+(a+1)(b+3)2=−ab−a−3b−3+ab+3a+b+32=2a−2b2=a−b\displaystyle x_{12}=\dfrac{-(a+3)(b+1)+(a+1)(b+3)}{2}=\dfrac{-ab-a-3b-3+ab+3a+b+3}{2}=\dfrac{2a-2b}{2}=a-b.
    (a−b+1a−b)\displaystyle \begin{pmatrix} a-b+1 & a-b \end{pmatrix}
  5. A doua linie: x21=(a+2)b−a(b+2)2=ab+2b−ab−2a2=2b−2a2=b−a\displaystyle x_{21}=\dfrac{(a+2)b-a(b+2)}{2}=\dfrac{ab+2b-ab-2a}{2}=\dfrac{2b-2a}{2}=b-a și x22=(a+2)(b+1)−a(b+3)2=ab+a+2b+2−ab−3a2=2b−2a+22=b−a+1\displaystyle x_{22}=\dfrac{(a+2)(b+1)-a(b+3)}{2}=\dfrac{ab+a+2b+2-ab-3a}{2}=\dfrac{2b-2a+2}{2}=b-a+1.
    (b−ab−a+1)\displaystyle \begin{pmatrix} b-a & b-a+1 \end{pmatrix}
  6. Așadar X=(a−b+1a−bb−ab−a+1)\displaystyle X=\begin{pmatrix} a-b+1 & a-b \\ b-a & b-a+1 \end{pmatrix}. Cum a,b∈Z\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}, numerele a−b\displaystyle a-b, b−a\displaystyle b-a, a−b+1\displaystyle a-b+1 și b−a+1\displaystyle b-a+1 sunt întregi, deci toate elementele matricei X\displaystyle X sunt numere întregi.
    X=(a−b+1a−bb−ab−a+1), deci elementele sunt \displaystyle X=\begin{pmatrix} a-b+1 & a-b \\ b-a & b-a+1 \end{pmatrix}\text{, deci elementele sunt }numere ıˆntregi\displaystyle \text{numere întregi}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea A=(0,+∞)\displaystyle A=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=2xy+2yx\displaystyle x\circ y=\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}.

Arătați că numărul a=2∘4\displaystyle a=2\circ 4 este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∘y=2xy+2yx\displaystyle x\circ y=\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x}, pentru x,y∈(0,+∞)\displaystyle x,y\in(0,+\infty).
    x∘y=2xy+2yx\displaystyle x\circ y=\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x}
  2. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=4\displaystyle y=4 în definiție.
    a=2∘4=2⋅24+2⋅42\displaystyle a=2\circ 4=\dfrac{2\cdot 2}{4}+\dfrac{2\cdot 4}{2}
  3. Calculăm fiecare fracție: 44=1\displaystyle \dfrac{4}{4}=1 și 82=4\displaystyle \dfrac{8}{2}=4.
    44+82=1+4\displaystyle \dfrac{4}{4}+\dfrac{8}{2}=1+4
  4. Adunăm: 1+4=5\displaystyle 1+4=5, deci a=5\displaystyle a=5 este număr întreg.
    1+4=5, care este numa˘r ıˆntreg\displaystyle 1+4=5\text{, care este număr întreg}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea A=(0,+∞)\displaystyle A=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=2xy+2yx\displaystyle x\circ y=\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}.

Arătați că x∘y≥4\displaystyle x\circ y\geq 4, pentru orice x,y∈A\displaystyle x,y\in A.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem cele două fracții la același numitor, xy\displaystyle xy, care este pozitiv pentru x,y∈A\displaystyle x,y\in A: 2xy=2x2xy\displaystyle \dfrac{2x}{y}=\dfrac{2x^{2}}{xy} și 2yx=2y2xy\displaystyle \dfrac{2y}{x}=\dfrac{2y^{2}}{xy}.
    x∘y=2x2+2y2xy, pentru orice x\displaystyle x\circ y=\frac{2x^{2}+2y^{2}}{xy}\text{, pentru orice }x,y∈A\displaystyle y\in A
  2. Pentru a compara cu 4\displaystyle 4, calculăm diferența x∘y−4\displaystyle x\circ y-4 și scriem 4=4xyxy\displaystyle 4=\dfrac{4xy}{xy}.
    x∘y−4=2x2+2y2−4xyxy\displaystyle x\circ y-4=\frac{2x^{2}+2y^{2}-4xy}{xy}
  3. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 la numărător și recunoaștem pătratul diferenței: 2x2+2y2−4xy=2(x2−2xy+y2)=2(x−y)2\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}-4xy=2(x^{2}-2xy+y^{2})=2(x-y)^{2}. Numitorul xy\displaystyle xy este pozitiv, iar (x−y)2≥0\displaystyle (x-y)^{2}\geq 0, deci fracția este nenegativă. Rezultă că x∘y≥4\displaystyle x\circ y\geq 4.
    x∘y−4=2(x−y)2xy≥0, deci x∘y≥4, pentru orice x\displaystyle x\circ y-4=\frac{2(x-y)^{2}}{xy}\geq 0\text{, deci }x\circ y\geq 4\text{, pentru orice }x,y∈A\displaystyle y\in A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea A=(0,+∞)\displaystyle A=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=2xy+2yx\displaystyle x\circ y=\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}. Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” nu\displaystyle \text{nu} admite element neutru.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem prin absurd că legea admite element neutru e∈(0,+∞)\displaystyle e\in(0,+\infty). Atunci pentru orice x>0\displaystyle x>0 avem x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x. Legea este comutativă, deci este suficient să cerem x∘e=x\displaystyle x\circ e=x.
    x∘e=x\displaystyle x\circ e=x, ∀x>0\displaystyle \ \forall x>0
  2. Alegem x=e\displaystyle x=e în relația de element neutru: e∘e=e\displaystyle e\circ e=e. Calculăm e∘e\displaystyle e\circ e după definiția legii.
    e∘e=2ee+2ee\displaystyle e\circ e=\frac{2e}{e}+\frac{2e}{e}
  3. Deoarece e≠0\displaystyle e\neq 0, fiecare fracție este egală cu 2\displaystyle 2, deci suma este 4\displaystyle 4. Din e∘e=e\displaystyle e\circ e=e rezultă e=4\displaystyle e=4, adică singura valoare posibilă pentru elementul neutru este 4\displaystyle 4.
    e=2ee+2ee=4, deci e=4\displaystyle e=\frac{2e}{e}+\frac{2e}{e}=4\text{, deci }e=4
  4. Verificăm dacă 4\displaystyle 4 este într-adevăr element neutru, alegând x=2\displaystyle x=2. Calculăm 2∘4\displaystyle 2\circ 4 după definiție.
    2∘4=2⋅24+2⋅42=1+4=5\displaystyle 2\circ 4=\frac{2\cdot 2}{4}+\frac{2\cdot 4}{2}=1+4=5
  5. Am obținut 2∘4=5\displaystyle 2\circ 4=5, care este diferit de 2\displaystyle 2. Deci 4\displaystyle 4 nu verifică definiția elementului neutru, contradicție cu presupunerea făcută. Prin urmare legea nu admite element neutru.
    2∘4=5≠2, deci legea nu admite \displaystyle 2\circ 4=5\neq 2\text{, deci legea nu admite }element neutru\displaystyle \text{element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,1)∪(1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,1)\cup(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x−1−1x+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}.

Arătați că f′(x)=−4x(x−1)2(x+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{-4x}{(x-1)^2(x+1)^2}, x∈(−1,1)∪(1,+∞)\displaystyle x\in(-1,1)\cup(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția ca diferență de două fracții și derivăm fiecare termen separat. Folosim (1u)′=−u′u2\displaystyle \left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^{2}} cu u=x−1\displaystyle u=x-1 și cu u=x+1\displaystyle u=x+1, unde u′=1\displaystyle u'=1. Obținem (1x−1)′=−1(x−1)2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x-1}\right)'=-\dfrac{1}{(x-1)^2} și (1x+1)′=−1(x+1)2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x+1}\right)'=-\dfrac{1}{(x+1)^2}.
    (1x−1)′=−1(x−1)2 și (1x+1)′=−1(x+1)2\displaystyle \left(\frac{1}{x-1}\right)'=-\frac{1}{(x-1)^2} \text{ și } \left(\frac{1}{x+1}\right)'=-\frac{1}{(x+1)^2}
  2. Scădem cele două derivate: f′(x)=−1(x−1)2−(−1(x+1)2)\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{(x-1)^2}-\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right). Minusul din fața parantezei schimbă semnul ultimului termen.
    f′(x)=−1(x−1)2+1(x+1)2\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x+1)^2}
  3. Aducem fracțiile la numitorul comun (x−1)2(x+1)2\displaystyle (x-1)^2(x+1)^2. Prima fracție se amplifică cu (x+1)2\displaystyle (x+1)^2, iar a doua cu (x−1)2\displaystyle (x-1)^2, deci f′(x)=−(x+1)2+(x−1)2(x−1)2(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-(x+1)^2+(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}.
    f′(x)=−(x+1)2+(x−1)2(x−1)2(x+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{-(x+1)^2+(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}
  4. Desfacem parantezele: (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1 și (x−1)2=x2−2x+1\displaystyle (x-1)^2=x^2-2x+1. Numărătorul devine −x2−2x−1+x2−2x+1\displaystyle -x^2-2x-1+x^2-2x+1. Reducem termenii asemenea: x2\displaystyle x^2 se anulează, 1\displaystyle 1 se anulează, iar −2x−2x=−4x\displaystyle -2x-2x=-4x. Deci f′(x)=−4x(x−1)2(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-4x}{(x-1)^2(x+1)^2} pentru x∈(−1,1)∪(1,+∞)\displaystyle x\in(-1,1)\cup(1,+\infty).
    −x2−2x−1+x2−2x+1(x−1)2(x+1)2=−4x(x−1)2(x+1)2, x∈(−1,1)∪(1,+∞)\displaystyle \frac{-x^2-2x-1+x^2-2x+1}{(x-1)^2(x+1)^2}=\frac{-4x}{(x-1)^2(x+1)^2}\text{, }x\in(-1,1)\cup(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,1)∪(1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,1)\cup(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x−1−1x+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul în care graficul intersectează axa Oy\displaystyle Oy.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul intersectează axa Oy\displaystyle Oy în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0. Domeniul conține 0\displaystyle 0, deoarece 0∈(−1,1)\displaystyle 0\in(-1,1).
    x0=0\displaystyle x_0=0
  2. Calculăm ordonata punctului de intersecție: f(0)=10−1−10+1=−1−1\displaystyle f(0)=\dfrac{1}{0-1}-\dfrac{1}{0+1}=-1-1.
    f(0)=−2\displaystyle f(0)=-2
  3. Derivăm funcția, folosind (1x+a)′=−1(x+a)2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x+a}\right)'=-\dfrac{1}{(x+a)^{2}}. Obținem f′(x)=−1(x−1)2+1(x+1)2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{(x-1)^{2}}+\dfrac{1}{(x+1)^{2}}.
    f′(x)=−1(x−1)2+1(x+1)2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{(x-1)^{2}}+\dfrac{1}{(x+1)^{2}}
  4. Calculăm panta tangentei: f′(0)=−1(−1)2+112=−1+1\displaystyle f'(0)=-\dfrac{1}{(-1)^{2}}+\dfrac{1}{1^{2}}=-1+1. Punctul de intersecție este A(0,−2)\displaystyle A(0,-2).
    A(0,−2)\displaystyle A(0,-2), f(0)=−2\displaystyle \ f(0)=-2, f′(0)=0\displaystyle \ f'(0)=0
  5. Scriem ecuația tangentei: y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0). Înlocuim valorile: y−(−2)=0⋅x\displaystyle y-(-2)=0\cdot x, deci y+2=0\displaystyle y+2=0.
    y=−2\displaystyle y=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,1)∪(1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,1)\cup(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x−1−1x+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)f(x+1)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f(x+1)}.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem la același numitor fracțiile din f(x)\displaystyle f(x): f(x)=(x+1)−(x−1)(x−1)(x+1)\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}, deci f(x)\displaystyle f(x) se simplifică la o fracție cu numitorul x2−1\displaystyle x^{2}-1.
    f(x)=2x2−1\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{x^{2}-1}
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1: numitorul devine (x+1)2−1=x2+2x=x(x+2)\displaystyle (x+1)^{2}-1=x^{2}+2x=x(x+2).
    f(x+1)=2x(x+2)\displaystyle f(x+1)=\dfrac{2}{x(x+2)}
  3. Raportul este f(x)f(x+1)=2x2−1⋅x(x+2)2\displaystyle \dfrac{f(x)}{f(x+1)}=\dfrac{2}{x^{2}-1}\cdot\dfrac{x(x+2)}{2}, iar numerele 2\displaystyle 2 se simplifică. Descompunem x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1).
    f(x)f(x+1)=x(x+2)(x−1)(x+1)\displaystyle \dfrac{f(x)}{f(x+1)}=\dfrac{x(x+2)}{(x-1)(x+1)}
  4. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^{2}. Câte un x\displaystyle x împarte fiecare factor: xx⋅x+2x=1⋅(1+2x)\displaystyle \dfrac{x}{x}\cdot\dfrac{x+2}{x}=1\cdot\left(1+\dfrac{2}{x}\right) la numărător, iar x−1x⋅x+1x=(1−1x)(1+1x)\displaystyle \dfrac{x-1}{x}\cdot\dfrac{x+1}{x}=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{x}\right) la numitor.
    x(x+2)(x−1)(x+1)=1+2x(1−1x)(1+1x)\displaystyle \dfrac{x(x+2)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1+\frac{2}{x}}{\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}
  5. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, 2x→0\displaystyle \dfrac{2}{x}\to0 și 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to0. Numărătorul tinde la 1\displaystyle 1, iar numitorul tinde la 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot1=1. Limita este raportul lor.
    lim⁡x→+∞f(x)f(x+1)=1+0(1−0)(1+0)=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{f(x+1)}=\dfrac{1+0}{(1-0)(1+0)}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x+4\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+4}.

Arătați că ∫02(x+4)f(x) dx=6\displaystyle \int_0^2 (x+4)f(x)\,dx=6.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+2x+4\displaystyle f(x)=\dfrac{x+2}{x+4} în expresia de sub integrală: (x+4)f(x)=(x+4)⋅x+2x+4\displaystyle (x+4)f(x)=(x+4)\cdot\dfrac{x+2}{x+4}.
    (x+4)f(x)=(x+4)⋅x+2x+4\displaystyle (x+4)f(x)=(x+4)\cdot\dfrac{x+2}{x+4}
  2. Pentru x∈[0,2]\displaystyle x\in[0,2] avem x+4>0\displaystyle x+4>0, deci simplificăm cu x+4\displaystyle x+4 și obținem (x+4)f(x)=x+2\displaystyle (x+4)f(x)=x+2. Integrala devine ∫02(x+2) dx\displaystyle \int_0^2 (x+2)\,dx.
    ∫02(x+4)f(x) dx=∫02(x+2) dx\displaystyle \int_0^2 (x+4)f(x)\,dx=\int_0^2 (x+2)\,dx
  3. Separăm integrala în două: ∫02x dx+∫022 dx\displaystyle \int_0^2 x\,dx+\int_0^2 2\,dx. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, iar o primitivă a lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x.
    ∫02(x+2) dx=x22∣02+2x∣02\displaystyle \int_0^2 (x+2)\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^2+\left.2x\right|_0^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 222−022=2−0\displaystyle \dfrac{2^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}=2-0 și 2⋅2−2⋅0=4−0\displaystyle 2\cdot 2-2\cdot 0=4-0. Adunăm: 2+4=6\displaystyle 2+4=6, deci egalitatea cerută este adevărată.
    2−0+4−0=6\displaystyle 2-0+4-0=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x+4\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+4}.

Calculați ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Separăm fracția în parte întreagă și rest: scriem numărătorul x+2\displaystyle x+2 ca (x+4)−2\displaystyle (x+4)-2.
    x+2=(x+4)−2\displaystyle x+2=(x+4)-2
  2. Împărțim la x+4\displaystyle x+4 și obținem funcția scrisă sub forma 1\displaystyle 1 minus un rest.
    f(x)=(x+4)−2x+4=1−2x+4\displaystyle f(x)=\frac{(x+4)-2}{x+4}=1-\frac{2}{x+4}
  3. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui 1x+4\displaystyle \dfrac{1}{x+4} este ln⁡(x+4)\displaystyle \ln(x+4), deoarece x+4>0\displaystyle x+4>0. Obținem expresia din barem.
    ∫01f(x) dx=∫01(1−2x+4)dx=(x−2ln⁡(x+4))∣01\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\left(1-\frac{2}{x+4}\right)dx=\left.\left(x-2\ln(x+4)\right)\right|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm expresia în 1\displaystyle 1 și scădem valoarea ei în 0\displaystyle 0.
    (1−2ln⁡5)−(0−2ln⁡4)=1−2ln⁡5+2ln⁡4\displaystyle \left(1-2\ln 5\right)-\left(0-2\ln 4\right)=1-2\ln 5+2\ln 4
  5. Grupăm logaritmii folosind ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b} și obținem răspunsul final.
    1−2ln⁡5+2ln⁡4=1−2ln⁡54\displaystyle 1-2\ln 5+2\ln 4=1-2\ln\frac{5}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x+4\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+4}.

Arătați că ∫0nf(x)e−x dx<1\displaystyle \int_0^n f(x)e^{-x}\,dx<1, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Arătăm că f(x)≤1\displaystyle f(x)\leq 1 pe intervalul [0,n]\displaystyle [0,n]. Pentru x≥0\displaystyle x\geq 0 numitorul x+4\displaystyle x+4 este pozitiv, deci inegalitatea x+2x+4≤1\displaystyle \dfrac{x+2}{x+4}\leq 1 este echivalentă cu x+2≤x+4\displaystyle x+2\leq x+4, adică 2≤4\displaystyle 2\leq 4, adevărat.
    x+2x+4≤1\displaystyle \dfrac{x+2}{x+4}\leq 1, ∀x∈[0,n]\displaystyle \ \forall x\in[0,n]
  2. Înmulțim inegalitatea cu e−x\displaystyle e^{-x}, care este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real. Sensul inegalității se păstrează, deci f(x)e−x≤e−x\displaystyle f(x)e^{-x}\leq e^{-x} pentru orice x∈[0,n]\displaystyle x\in[0,n].
    f(x)e−x≤e−x\displaystyle f(x)e^{-x}\leq e^{-x}, ∀x∈[0,n]\displaystyle \ \forall x\in[0,n]
  3. Integrăm inegalitatea pe intervalul [0,n]\displaystyle [0,n]. Integrala păstrează inegalitatea, deoarece ambele funcții sunt continue pe [0,n]\displaystyle [0,n].
    ∫0nf(x)e−x dx≤∫0ne−x dx\displaystyle \int_0^n f(x)e^{-x}\,dx\leq\int_0^n e^{-x}\,dx
  4. Calculăm integrala din membrul drept: o primitivă a lui e−x\displaystyle e^{-x} este −e−x\displaystyle -e^{-x}, apoi aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫0ne−x dx=−e−x∣0n=−e−n+e0=1−e−n\displaystyle \int_0^n e^{-x}\,dx=\left.-e^{-x}\right|_0^n=-e^{-n}+e^{0}=1-e^{-n}
  5. Deoarece e−n>0\displaystyle e^{-n}>0, avem 1−e−n<1\displaystyle 1-e^{-n}<1. Rezultă că ∫0nf(x)e−x dx<1\displaystyle \int_0^n f(x)e^{-x}\,dx<1, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    ∫0nf(x)e−x dx≤1−e−n<1\displaystyle \int_0^n f(x)e^{-x}\,dx\leq 1-e^{-n}<1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.