Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 18: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că diferența numerelor 5+23\displaystyle 5+2\sqrt{3} și (1+3)2\displaystyle \left(1+\sqrt{3}\right)^2 este număr întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem diferența: D=5+23−(1+3)2\displaystyle D=5+2\sqrt{3}-\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}.
    D=5+23−(1+3)2\displaystyle D=5+2\sqrt{3}-\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}
  2. Folosim formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} cu a=1\displaystyle a=1 și b=3\displaystyle b=\sqrt{3}: (1+3)2=12+2⋅1⋅3+(3)2\displaystyle \left(1+\sqrt{3}\right)^{2}=1^{2}+2\cdot 1\cdot\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}.
    (1+3)2=1+23+3\displaystyle \left(1+\sqrt{3}\right)^{2}=1+2\sqrt{3}+3
  3. Cum 1+3=4\displaystyle 1+3=4, obținem (1+3)2=4+23\displaystyle \left(1+\sqrt{3}\right)^{2}=4+2\sqrt{3}. Înlocuim în diferență, punând rezultatul între paranteze.
    D=5+23−(4+23)\displaystyle D=5+2\sqrt{3}-\left(4+2\sqrt{3}\right)
  4. Eliminăm parantezele: D=5+23−4−23\displaystyle D=5+2\sqrt{3}-4-2\sqrt{3}. Termenii 23\displaystyle 2\sqrt{3} și −23\displaystyle -2\sqrt{3} se reduc, iar 5−4=1\displaystyle 5-4=1.
    D=5+23−4−23=1\displaystyle D=5+2\sqrt{3}-4-2\sqrt{3}=1
  5. Diferența este D=1\displaystyle D=1, deci este număr întreg.
    D=1∈Z, deci diferența este \displaystyle D=1\in\mathbb{Z}\text{, deci diferența este }numa˘r ıˆntreg\displaystyle \text{număr întreg}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x2+2x\displaystyle g(x)=2x^2+2x. Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care f(m)=g(m)\displaystyle f(m)=g(m).
Vezi rezolvarea
  1. Condiția f(m)=g(m)\displaystyle f(m)=g(m) devine, prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu m\displaystyle m în expresiile funcțiilor, o ecuație în m\displaystyle m.
    2m+1=2m2+2m\displaystyle 2m+1=2m^{2}+2m
  2. Scădem 2m\displaystyle 2m din ambii membri, deci 1=2m2\displaystyle 1=2m^{2}. Împărțind la 2\displaystyle 2 obținem m2\displaystyle m^{2}.
    2m+1=2m2+2m⇔2m2=1⇔m2=12\displaystyle 2m+1=2m^{2}+2m\Leftrightarrow 2m^{2}=1\Leftrightarrow m^{2}=\frac{1}{2}
  3. Din m2=12\displaystyle m^{2}=\dfrac{1}{2} rezultă m=±12=±12\displaystyle m=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
    m=±12=±12\displaystyle m=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}
  4. Numerele reale căutate sunt −12\displaystyle -\dfrac{1}{\sqrt{2}} și 12\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
    m=−12 sau m=12\displaystyle m=-\frac{1}{\sqrt{2}}\text{ sau }m=\frac{1}{\sqrt{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+5x+1=2x+5\displaystyle \sqrt{x^2+5x+1}=\sqrt{2x+5}.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația conține radicali de ordinul doi, deci trebuie ca x2+5x+1≥0\displaystyle x^2+5x+1\ge 0 și 2x+5≥0\displaystyle 2x+5\ge 0. Ridicăm ecuația la pătrat, ceea ce poate introduce soluții false, așa că vom verifica la final soluțiile obținute.
    x2+5x+1=2x+5\displaystyle x^2+5x+1=2x+5
  2. Mutăm toți termenii în partea stângă și reducem termenii asemenea: 5x−2x=3x\displaystyle 5x-2x=3x, iar 1−5=−4\displaystyle 1-5=-4.
    x2+3x−4=0\displaystyle x^2+3x-4=0
  3. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Calculăm discriminantul: Δ=32−4⋅1⋅(−4)=9+16=25\displaystyle \Delta=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25, deci Δ=5\displaystyle \sqrt{\Delta}=5.
    x=−3±52⇒x=−4 sau x=1\displaystyle x=\dfrac{-3\pm 5}{2}\Rightarrow x=-4\text{ sau }x=1
  4. Verificăm x=−4\displaystyle x=-4 în ecuația inițială. Sub radicalul din dreapta obținem 2⋅(−4)+5=−3<0\displaystyle 2\cdot(-4)+5=-3<0, deci radicalul nu există în mulțimea numerelor reale. Soluția x=−4\displaystyle x=-4 nu convine.
    2⋅(−4)+5=−3<0, deci x=−4 nu convine\displaystyle 2\cdot(-4)+5=-3<0\text{, deci }x=-4\text{ nu convine}
  5. Verificăm x=1\displaystyle x=1. În stânga avem 1+5+1=7\displaystyle \sqrt{1+5+1}=\sqrt{7}, iar în dreapta 2+5=7\displaystyle \sqrt{2+5}=\sqrt{7}. Egalitatea este adevărată, deci x=1\displaystyle x=1 convine. Singura soluție a ecuației este x=1\displaystyle x=1.
    x=−4, care nu convine, sau x=1, care convine\displaystyle x=-4\text{, care nu convine, sau }x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr a\displaystyle a din mulțimea A={−2,−1,1,2,3}\displaystyle A=\{-2,-1,1,2,3\}, acesta să verifice inegalitatea ∣a+1∣≥2\displaystyle |a+1|\ge 2.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul cazurilor posibile este numărul de elemente ale mulțimii A={−2,−1,1,2,3}\displaystyle A=\{-2,-1,1,2,3\}, deoarece numărul a\displaystyle a se alege dintre acestea. Mulțimea are 5\displaystyle 5 elemente.
    nr. cazuri posibile=5\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=5
  2. Calculăm ∣a+1∣\displaystyle |a+1| pentru fiecare element al mulțimii: pentru a=−2\displaystyle a=-2 obținem ∣−1∣=1\displaystyle |-1|=1, pentru a=−1\displaystyle a=-1 obținem ∣0∣=0\displaystyle |0|=0, pentru a=1\displaystyle a=1 obținem ∣2∣=2\displaystyle |2|=2, pentru a=2\displaystyle a=2 obținem ∣3∣=3\displaystyle |3|=3, iar pentru a=3\displaystyle a=3 obținem ∣4∣=4\displaystyle |4|=4.
    1\displaystyle 1, 0\displaystyle \ 0, 2\displaystyle \ 2, 3\displaystyle \ 3, 4\displaystyle \ 4
  3. Inegalitatea ∣a+1∣≥2\displaystyle |a+1|\ge 2 este adevărată pentru a=1\displaystyle a=1, a=2\displaystyle a=2 și a=3\displaystyle a=3, deci sunt 3\displaystyle 3 cazuri favorabile. Valorile a=−2\displaystyle a=-2 și a=−1\displaystyle a=-1 nu convin, pentru că dau 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0, adică mai puțin de 2\displaystyle 2.
    nr. cazuri favorabile=3\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=3
  4. Aplicăm formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=35\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{3}{5}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=35\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C și D\displaystyle D patru puncte coplanare, M\displaystyle M mijlocul segmentului AD\displaystyle AD și N\displaystyle N mijlocul segmentului BC\displaystyle BC. Arătați că 2MN→=AB→+DC→\displaystyle 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece M\displaystyle M este mijlocul segmentului AD\displaystyle AD, vectorii MA→\displaystyle \overrightarrow{MA} și MD→\displaystyle \overrightarrow{MD} sunt opuși, deci suma lor este vectorul nul. La fel, N\displaystyle N este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, deci BN→\displaystyle \overrightarrow{BN} și CN→\displaystyle \overrightarrow{CN} sunt opuși.
    MA→+MD→=0→\displaystyle \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}, BN→+CN→=0→\displaystyle \ \overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}
  2. Scriem vectorul MN→\displaystyle \overrightarrow{MN} prin regula poligonului, trecând prin A\displaystyle A și B\displaystyle B: de la M\displaystyle M la A\displaystyle A, de la A\displaystyle A la B\displaystyle B, de la B\displaystyle B la N\displaystyle N.
    MN→=MA→+AB→+BN→\displaystyle \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}
  3. Scriem vectorul MN→\displaystyle \overrightarrow{MN} încă o dată prin regula poligonului, de data aceasta trecând prin D\displaystyle D și C\displaystyle C: de la M\displaystyle M la D\displaystyle D, de la D\displaystyle D la C\displaystyle C, de la C\displaystyle C la N\displaystyle N.
    MN→=MD→+DC→+CN→\displaystyle \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}
  4. Adunăm cele două egalități, grupăm termenii și folosim relațiile de la primul pas: MA→+MD→=0→\displaystyle \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0} și BN→+CN→=0→\displaystyle \overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}. Rămâne 2MN→=AB→+DC→\displaystyle 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}.
    2MN→=(MA→+MD→)+AB→+DC→+(BN→+CN→)=AB→+DC→\displaystyle 2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD})+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Triunghiul ABC\displaystyle ABC este înscris într-un cerc de rază 1\displaystyle 1. Arătați că 4sin⁡A⋅sin⁡B=AC⋅BC\displaystyle 4\sin A\cdot\sin B=AC\cdot BC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este înscris într-un cerc de rază R=1\displaystyle R=1, deci cercul dat este cercul circumscris triunghiului. Scriem teorema sinusurilor: raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus ei este egal cu 2R\displaystyle 2R.
    BCsin⁡A=ACsin⁡B=ABsin⁡C=2R\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R
  2. Înlocuim R=1\displaystyle R=1 și exprimăm laturile BC\displaystyle BC și AC\displaystyle AC în funcție de sinusuri: BC\displaystyle BC este opusă unghiului A\displaystyle A, iar AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B.
    BCsin⁡A=ACsin⁡B=2⇒BC=2sin⁡A și AC=2sin⁡B\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=2\Rightarrow BC=2\sin A\text{ și }AC=2\sin B
  3. Înmulțim cele două egalități membru cu membru: produsul AC⋅BC\displaystyle AC\cdot BC este egal cu 4sin⁡A⋅sin⁡B\displaystyle 4\sin A\cdot\sin B, adică exact ce trebuia demonstrat.
    AC⋅BC=2sin⁡B⋅2sin⁡A=4sin⁡A⋅sin⁡B\displaystyle AC\cdot BC=2\sin B\cdot 2\sin A=4\sin A\cdot\sin B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b)=(a+1a−1bb−2)\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a+1 & a-1 \\ b & b-2 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(2,3))=0\displaystyle \det(A(2,3))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 și b=3\displaystyle b=3 în matricea A(a,b)\displaystyle A(a,b), pe fiecare poziție: a+1=3\displaystyle a+1=3, a−1=1\displaystyle a-1=1, b=3\displaystyle b=3, b−2=1\displaystyle b-2=1.
    A(2,3)=(3131)\displaystyle A(2,3)=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei obținute, de ordin 2\displaystyle 2.
    det⁡(A(2,3))=∣3131∣\displaystyle \det(A(2,3))=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 3⋅1−1⋅3=3−3=0\displaystyle 3\cdot 1-1\cdot 3=3-3=0. Deci det⁡(A(2,3))=0\displaystyle \det(A(2,3))=0.
    det⁡(A(2,3))=3⋅1−1⋅3=3−3=0\displaystyle \det(A(2,3))=3\cdot 1-1\cdot 3=3-3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b)=(a+1a−1bb−2)\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a+1 & a-1 \\ b & b-2 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Demonstrați că, dacă a∈Q\displaystyle a\in\mathbb{Q} și b∈R∖Q\displaystyle b\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, atunci matricea A(a,b)\displaystyle A(a,b) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci scriem determinantul matricei A(a,b)\displaystyle A(a,b).
    det⁡(A(a,b))=∣a+1a−1bb−2∣\displaystyle \det(A(a,b))=\begin{vmatrix} a+1 & a-1 \\ b & b-2 \end{vmatrix}
  2. Calculăm determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: (a+1)(b−2)−b(a−1)\displaystyle (a+1)(b-2)-b(a-1).
    (a+1)(b−2)−b(a−1)\displaystyle (a+1)(b-2)-b(a-1)
  3. Desfacem parantezele: ab−2a+b−2−ab+b\displaystyle ab-2a+b-2-ab+b. Reducem termenii asemenea (se anulează ab\displaystyle ab) și dăm factor comun pe 2.
    det⁡(A(a,b))=2b−2a−2=2(b−a−1)\displaystyle \det(A(a,b))=2b-2a-2=2(b-a-1)
  4. Deoarece a∈Q\displaystyle a\in\mathbb{Q}, numărul a+1\displaystyle a+1 este rațional. Dacă b\displaystyle b este irațional, atunci b−(a+1)\displaystyle b-(a+1) este irațional, pentru că dacă ar fi rațional, atunci b=(b−a−1)+(a+1)\displaystyle b=(b-a-1)+(a+1) ar fi rațional, contradicție.
    b−a−1∈R∖Q\displaystyle b-a-1\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
  5. Un număr irațional este diferit de 0\displaystyle 0, deoarece 0\displaystyle 0 este rațional. Deci b−a−1≠0\displaystyle b-a-1\neq 0, de unde determinantul este nenul, iar matricea A(a,b)\displaystyle A(a,b) este inversabilă.
    b−a−1≠0⇒det⁡(A(a,b))≠0, deci A(a,b) este inversabila˘\displaystyle b-a-1\neq 0\Rightarrow\det(A(a,b))\neq 0\text{, deci }A(a,b)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b)=(a+1a−1bb−2)\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a+1 & a-1 \\ b & b-2 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A(−1,2)⋅X=A(0,0)\displaystyle A(-1,\sqrt{2})\cdot X=A(0,0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 și b=2\displaystyle b=\sqrt{2} în matricea A(a,b)\displaystyle A(a,b): a+1=0\displaystyle a+1=0, a−1=−2\displaystyle a-1=-2, b=2\displaystyle b=\sqrt{2}, b−2=2−2\displaystyle b-2=\sqrt{2}-2.
    A(−1,2)=(0−222−2)\displaystyle A(-1,\sqrt{2})=\begin{pmatrix}0 & -2\\ \sqrt{2} & \sqrt{2}-2\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: det⁡A=0⋅(2−2)−(−2)⋅2=22\displaystyle \det A=0\cdot(\sqrt{2}-2)-(-2)\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}. Fiind nenul, matricea este inversabilă.
    det⁡(A(−1,2))=22≠0\displaystyle \det(A(-1,\sqrt{2}))=2\sqrt{2}\neq 0
  3. Inversa este A−1=1det⁡A(2−22−20)\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix}\sqrt{2}-2 & 2\\ -\sqrt{2} & 0\end{pmatrix}, adică se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală și se schimbă semnul celor de pe diagonala secundară. Simplificăm: 2−222=1−22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}, 222=22\displaystyle \dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, −222=−12\displaystyle \dfrac{-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{2}.
    (A(−1,2))−1=(1−2222−120)\displaystyle (A(-1,\sqrt{2}))^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1-\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{1}{2} & 0\end{pmatrix}
  4. Din A(−1,2)⋅X=A(0,0)\displaystyle A(-1,\sqrt{2})\cdot X=A(0,0), înmulțind la stânga cu inversa, obținem X=(A(−1,2))−1⋅A(0,0)\displaystyle X=(A(-1,\sqrt{2}))^{-1}\cdot A(0,0). Pentru a=b=0\displaystyle a=b=0 avem A(0,0)=(1−10−2)\displaystyle A(0,0)=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & -2\end{pmatrix}.
    X=(A(−1,2))−1⋅(1−10−2)\displaystyle X=(A(-1,\sqrt{2}))^{-1}\cdot\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & -2\end{pmatrix}
  5. Înmulțim linie cu coloană. Prima linie: 1−22⋅1+22⋅0=1−22\displaystyle \dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\cdot 1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0=\dfrac{1-\sqrt{2}}{2} și 1−22⋅(−1)+22⋅(−2)=−1+2−222=−1+22\displaystyle \dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\cdot(-1)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot(-2)=\dfrac{-1+\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}=-\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}. A doua linie: −12⋅1+0⋅0=−12\displaystyle -\dfrac{1}{2}\cdot 1+0\cdot 0=-\dfrac{1}{2} și −12⋅(−1)+0⋅(−2)=12\displaystyle -\dfrac{1}{2}\cdot(-1)+0\cdot(-2)=\dfrac{1}{2}.
    X=(1−22−1+22−1212)\displaystyle X=\begin{pmatrix}\frac{1-\sqrt{2}}{2} & -\frac{1+\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy+x+y\displaystyle x\circ y=5xy+x+y.

Arătați că 1∘4=25\displaystyle 1\circ 4=25.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție: x∘y=5xy+x+y\displaystyle x\circ y=5xy+x+y. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=4\displaystyle y=4.
    1∘4=5⋅1⋅4+1+4\displaystyle 1\circ 4=5\cdot 1\cdot 4+1+4
  2. Calculăm produsul 5⋅1⋅4=20\displaystyle 5\cdot 1\cdot 4=20, apoi adunăm 1+4=5\displaystyle 1+4=5.
    20+5\displaystyle 20+5
  3. Adunăm cele două valori: 20+5=25\displaystyle 20+5=25, deci 1∘4=25\displaystyle 1\circ 4=25.
    1∘4=25\displaystyle 1\circ 4=25
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy+x+y\displaystyle x\circ y=5xy+x+y.

Demonstrați că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: e\displaystyle e este element neutru dacă pentru orice număr întreg x\displaystyle x avem x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x. Trebuie deci verificate ambele egalități pentru e=0\displaystyle e=0.
    x∘0=0∘x=x\displaystyle x\circ 0=0\circ x=x, ∀x∈Z\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{Z}
  2. Calculăm x∘0\displaystyle x\circ 0 înlocuind y=0\displaystyle y=0 în definiția legii: termenul 5x⋅0\displaystyle 5x\cdot 0 este 0\displaystyle 0, iar x+0=x\displaystyle x+0=x.
    x∘0=5x⋅0+x+0=x, pentru orice numa˘r \displaystyle x\circ 0=5x\cdot 0+x+0=x\text{, pentru orice număr }ıˆntreg x\displaystyle \text{întreg }x
  3. Calculăm 0∘x\displaystyle 0\circ x înlocuind primul termen cu 0\displaystyle 0 și al doilea cu x\displaystyle x în definiție: termenul 5⋅0⋅x\displaystyle 5\cdot 0\cdot x este 0\displaystyle 0, iar 0+x=x\displaystyle 0+x=x. Nu am presupus comutativitatea, de aceea verificăm și această ordine. Cum ambele egalități sunt adevărate pentru orice x\displaystyle x întreg, 0\displaystyle 0 este elementul neutru.
    0∘x=5⋅0⋅x+0+x=x, pentru orice numa˘r \displaystyle 0\circ x=5\cdot 0\cdot x+0+x=x\text{, pentru orice număr }ıˆntreg x, deci e=0 este elementul neutru\displaystyle \text{întreg }x\text{, deci }e=0\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy+x+y\displaystyle x\circ y=5xy+x+y.

Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm elementul neutru: căutăm e\displaystyle e întreg cu x∘e=x\displaystyle x\circ e=x pentru orice x\displaystyle x. Obținem 5xe+x+e=x\displaystyle 5xe+x+e=x, adică e(5x+1)=0\displaystyle e(5x+1)=0 pentru orice x\displaystyle x, deci e=0\displaystyle e=0. Legea este comutativă, deci e=0\displaystyle e=0 este neutru și la stânga, și la dreapta.
    e=0\displaystyle e=0
  2. Un element x\displaystyle x este simetrizabil dacă există x′\displaystyle x' întreg cu x∘x′=x′∘x=0\displaystyle x\circ x'=x'\circ x=0. Cum legea este comutativă, e suficient să scriem x∘x′=0\displaystyle x\circ x'=0, adică 5xx′+x+x′=0\displaystyle 5xx'+x+x'=0.
    5xx′+x+x′=0\displaystyle 5xx'+x+x'=0
  3. Grupăm termenii care conțin x′\displaystyle x' și scoatem x′\displaystyle x' factor comun: x′(5x+1)=−x\displaystyle x'(5x+1)=-x. Pentru x\displaystyle x întreg, 5x+1≠0\displaystyle 5x+1\neq 0 (altfel x=−15\displaystyle x=-\dfrac{1}{5}, care nu e întreg), deci putem împărți și obținem simetricul.
    x′=−x5x+1\displaystyle x'=\frac{-x}{5x+1}
  4. Simetricul trebuie să fie număr întreg. Calculăm 5x′+1=−5x5x+1+1=15x+1\displaystyle 5x'+1=\dfrac{-5x}{5x+1}+1=\dfrac{1}{5x+1}. Ca x′\displaystyle x' să fie întreg, 5x′+1\displaystyle 5x'+1 trebuie să fie întreg, deci 5x+1\displaystyle 5x+1 divide 1\displaystyle 1. Așadar 5x+1=1\displaystyle 5x+1=1 sau 5x+1=−1\displaystyle 5x+1=-1.
    5x+1=−1 sau 5x+1=1\displaystyle 5x+1=-1\text{ sau }5x+1=1
  5. Rezolvăm cele două ecuații. Din 5x+1=−1\displaystyle 5x+1=-1 obținem 5x=−2\displaystyle 5x=-2, deci x=−25\displaystyle x=-\dfrac{2}{5}, care nu este întreg, deci nu convine. Din 5x+1=1\displaystyle 5x+1=1 obținem x=0\displaystyle x=0, care este întreg și convine. Pentru x=0\displaystyle x=0 simetricul este 0\displaystyle 0. Singurul element simetrizabil este 0\displaystyle 0.
    x=−25, care nu convine, sau x=0, care convine\displaystyle x=-\frac{2}{5}\text{, care nu convine, sau }x=0\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}.

Arătați că f′(x)=x2(x2+3)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{x^2\left(x^2+3\right)}{\left(x^2+1\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții, deci folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Aici u(x)=x3\displaystyle u(x)=x^{3} și v(x)=x2+1\displaystyle v(x)=x^{2}+1.
    f′(x)=(x3)′(x2+1)−x3(x2+1)′(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(x^{3}\right)'\left(x^{2}+1\right)-x^{3}\left(x^{2}+1\right)'}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (x3)′=3x2\displaystyle \left(x^{3}\right)'=3x^{2} și (x2+1)′=2x\displaystyle \left(x^{2}+1\right)'=2x. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=3x2(x2+1)−x3⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^{2}\left(x^{2}+1\right)-x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
  3. Efectuăm calculele la numărător: 3x2(x2+1)=3x4+3x2\displaystyle 3x^{2}\left(x^{2}+1\right)=3x^{4}+3x^{2} și x3⋅2x=2x4\displaystyle x^{3}\cdot 2x=2x^{4}. Atunci numărătorul este 3x4+3x2−2x4=x4+3x2\displaystyle 3x^{4}+3x^{2}-2x^{4}=x^{4}+3x^{2}.
    f′(x)=x4+3x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{4}+3x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
  4. Dăm factor comun x2\displaystyle x^{2} la numărător: x4+3x2=x2(x2+3)\displaystyle x^{4}+3x^{2}=x^{2}\left(x^{2}+3\right). Numitorul (x2+1)2\displaystyle \left(x^{2}+1\right)^{2} este nenul pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci egalitatea este adevărată pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′(x)=x2(x2+3)(x2+1)2, x∈R\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}.

Se consideră dreapta d\displaystyle d, asimptota spre +∞\displaystyle +\infty la graficul lui f\displaystyle f. Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f\displaystyle f, în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}. Calculăm această limită.
    lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x3x3+x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}}{x^{3}+x}
  2. Împărțim numărătorul și numitorul la x3\displaystyle x^{3}: x3x3+x=11+1x2→1\displaystyle \dfrac{x^{3}}{x^{3}+x}=\dfrac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}\to 1. Deci panta dreptei d\displaystyle d este 1\displaystyle 1.
    m=1\displaystyle m=1
  3. Tangenta în punctul de abscisă a\displaystyle a are panta f′(a)\displaystyle f'(a), iar tangenta este paralelă cu d\displaystyle d când f′(a)=1\displaystyle f'(a)=1. Derivăm câtul: f′(x)=3x2(x2+1)−x3⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^{2}(x^{2}+1)-x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
    f′(x)=3x4+3x2−2x4(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{3x^{4}+3x^{2}-2x^{4}}{(x^{2}+1)^{2}}
  4. Reducem termenii asemenea la numărător: 3x4+3x2−2x4=x4+3x2=x2(x2+3)\displaystyle 3x^{4}+3x^{2}-2x^{4}=x^{4}+3x^{2}=x^{2}(x^{2}+3).
    f′(x)=x2(x2+3)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{x^{2}\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
  5. Punem condiția f′(a)=1\displaystyle f'(a)=1 și eliminăm numitorul: a2(a2+3)=(a2+1)2\displaystyle a^{2}(a^{2}+3)=(a^{2}+1)^{2}.
    a2(a2+3)(a2+1)2=1⇔a4+3a2=a4+2a2+1\displaystyle \frac{a^{2}\left(a^{2}+3\right)}{\left(a^{2}+1\right)^{2}}=1\Leftrightarrow a^{4}+3a^{2}=a^{4}+2a^{2}+1
  6. Reducem termenii: a2=1\displaystyle a^{2}=1, deci a=−1\displaystyle a=-1 sau a=1\displaystyle a=1. Ambele valori sunt valide, deoarece f\displaystyle f este definită pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    a2=1⇒a=−1 sau a=1\displaystyle a^{2}=1\Rightarrow a=-1\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe [0,3]\displaystyle \left[0,\sqrt{3}\right].
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar numitorul x2+1\displaystyle x^2+1 este nenul. Derivăm cu formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, unde u=x3\displaystyle u=x^3 și v=x2+1\displaystyle v=x^2+1.
    f′(x)=3x2(x2+1)−x3⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^{2}\left(x^{2}+1\right)-x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
  2. Simplificăm numărătorul: 3x4+3x2−2x4=x4+3x2\displaystyle 3x^{4}+3x^{2}-2x^{4}=x^{4}+3x^{2}.
    f′(x)=x4+3x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{4}+3x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
  3. Derivăm încă o dată, tot cu formula câtului. Numărătorul are derivata 4x3+6x\displaystyle 4x^{3}+6x, iar numitorul (x2+1)2\displaystyle \left(x^{2}+1\right)^{2} are derivata 2(x2+1)⋅2x\displaystyle 2\left(x^{2}+1\right)\cdot 2x. Simplificăm fracția prin factorul x2+1\displaystyle x^{2}+1.
    f′′(x)=(4x3+6x)(x2+1)−4x(x4+3x2)(x2+1)3\displaystyle f''(x)=\dfrac{\left(4x^{3}+6x\right)\left(x^{2}+1\right)-4x\left(x^{4}+3x^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}
  4. Desfacem parantezele la numărător: 4x5+4x3+6x3+6x−4x5−12x3=−2x3+6x=2x(3−x2)\displaystyle 4x^{5}+4x^{3}+6x^{3}+6x-4x^{5}-12x^{3}=-2x^{3}+6x=2x\left(3-x^{2}\right). Obținem a doua derivată.
    f′′(x)=2x(3−x2)(x2+1)3, x∈R\displaystyle f''(x)=\dfrac{2x\left(3-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\text{, }x\in\mathbb{R}
  5. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f'' pe intervalul [0,3]\displaystyle \left[0,\sqrt{3}\right]. Numitorul (x2+1)3\displaystyle \left(x^{2}+1\right)^{3} este strict pozitiv. Pentru x\displaystyle x din interval avem x≥0\displaystyle x\ge 0, deci 2x≥0\displaystyle 2x\ge 0. Din x≤3\displaystyle x\le\sqrt{3} rezultă x2≤3\displaystyle x^{2}\le 3, deci 3−x2≥0\displaystyle 3-x^{2}\ge 0.
    2x≥0, 3−x2≥0, (x2+1)3>0\displaystyle 2x\ge 0\text{, }3-x^{2}\ge 0\text{, }\left(x^{2}+1\right)^{3}>0
  6. Fracția are numărătorul pozitiv sau nul și numitorul pozitiv, deci f′′(x)≥0\displaystyle f''(x)\ge 0 pe interval. O funcție cu a doua derivată pozitivă sau nulă pe un interval este convexă pe acel interval, deci f\displaystyle f este convexă pe [0,3]\displaystyle \left[0,\sqrt{3}\right].
    f′′(x)≥0, pentru orice x∈[0,3], deci f este convexa˘ pe [0,3]\displaystyle f''(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in\left[0,\sqrt{3}\right]\text{, deci }f\text{ este convexă pe }\left[0,\sqrt{3}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=excos⁡x\displaystyle f(x)=e^x\cos x.

Arătați că ∫0πf(x)exdx=0\displaystyle \int_0^{\pi}\frac{f(x)}{e^x}dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=excos⁡x\displaystyle f(x)=e^x\cos x în integrala dată.
    ∫0πf(x)exdx=∫0πexcos⁡xexdx\displaystyle \int_0^{\pi}\frac{f(x)}{e^x}dx=\int_0^{\pi}\frac{e^x\cos x}{e^x}dx
  2. Simplificăm fracția prin ex\displaystyle e^x, care este nenul pentru orice x\displaystyle x real, și rămâne integrala cosinusului.
    ∫0πexcos⁡xexdx=∫0πcos⁡x dx\displaystyle \int_0^{\pi}\frac{e^x\cos x}{e^x}dx=\int_0^{\pi}\cos x\,dx
  3. O primitivă a lui cos⁡x\displaystyle \cos x este sin⁡x\displaystyle \sin x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫0πcos⁡x dx=sin⁡x∣0π\displaystyle \int_0^{\pi}\cos x\,dx=\sin x\Big|_0^{\pi}
  4. Calculăm valorile în capete: sin⁡π=0\displaystyle \sin\pi=0 și sin⁡0=0\displaystyle \sin 0=0, deci integrala este 0\displaystyle 0.
    sin⁡π−sin⁡0=0−0=0\displaystyle \sin\pi-\sin 0=0-0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=excos⁡x\displaystyle f(x)=e^x\cos x.

Calculați ∫0π2f(x)dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm integrala cerută cu I\displaystyle I: I=∫0π2excos⁡x dx\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\cos x\,dx.
    I=∫0π2excos⁡x dx\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\cos x\,dx
  2. Integrăm prin părți prima dată, cu u=cos⁡x\displaystyle u=\cos x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci v=ex\displaystyle v=e^x. Obținem I=excos⁡x∣0π2−∫0π2ex(cos⁡x)′dx\displaystyle I=e^x\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x(\cos x)'dx.
    I=excos⁡x∣0π2−∫0π2ex(cos⁡x)′dx\displaystyle I=e^x\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x(\cos x)'dx
  3. Calculăm termenul tăiat: eπ2cos⁡π2−e0cos⁡0=0−1=−1\displaystyle e^{\frac{\pi}{2}}\cos\frac{\pi}{2}-e^0\cos 0=0-1=-1. Cum (cos⁡x)′=−sin⁡x\displaystyle (\cos x)'=-\sin x, integrala primește semnul plus.
    I=−1+∫0π2exsin⁡x dx\displaystyle I=-1+\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\sin x\,dx
  4. Integrăm prin părți a doua oară, cu u=sin⁡x\displaystyle u=\sin x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci v=ex\displaystyle v=e^x. Obținem ∫0π2exsin⁡x dx=exsin⁡x∣0π2−∫0π2excos⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\sin x\,dx=e^x\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\cos x\,dx.
    I=−1+exsin⁡x∣0π2−∫0π2excos⁡x dx\displaystyle I=-1+e^x\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\cos x\,dx
  5. Calculăm termenul tăiat: eπ2sin⁡π2−e0sin⁡0=eπ2\displaystyle e^{\frac{\pi}{2}}\sin\frac{\pi}{2}-e^0\sin 0=e^{\frac{\pi}{2}}. Ultima integrală este chiar I\displaystyle I, deci I=−1+eπ2−I\displaystyle I=-1+e^{\frac{\pi}{2}}-I.
    I=−1+eπ2−I\displaystyle I=-1+e^{\frac{\pi}{2}}-I
  6. Rezolvăm ecuația: 2I=eπ2−1\displaystyle 2I=e^{\frac{\pi}{2}}-1, deci I=eπ2−12\displaystyle I=\dfrac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2}.
    ∫0π2excos⁡x dx=eπ2−12\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\cos x\,dx=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=excos⁡x\displaystyle f(x)=e^x\cos x.

Arătați că ∫0π3f(x+π2)f(x)dx=−eπ2ln⁡2\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{f(x)}dx=-e^{\frac{\pi}{2}}\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(x+π2)=ex+π2cos⁡(x+π2)\displaystyle f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=e^{x+\frac{\pi}{2}}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) și f(x)=excos⁡x\displaystyle f(x)=e^x\cos x, apoi le înlocuim în raportul de sub integrală.
    f(x+π2)f(x)=ex+π2cos⁡(x+π2)excos⁡x\displaystyle \frac{f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{f(x)}=\frac{e^{x+\frac{\pi}{2}}\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{e^x\cos x}
  2. Folosim ex+π2=ex⋅eπ2\displaystyle e^{x+\frac{\pi}{2}}=e^x\cdot e^{\frac{\pi}{2}}, deci ex\displaystyle e^x se simplifică, iar eπ2\displaystyle e^{\frac{\pi}{2}} este constantă. Folosim și formula cos⁡(x+π2)=−sin⁡x\displaystyle \cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin x.
    f(x+π2)f(x)=eπ2⋅−sin⁡xcos⁡x\displaystyle \frac{f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{f(x)}=e^{\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{-\sin x}{\cos x}
  3. Scoatem constanta în fața integralei. Observăm că −sin⁡x=(cos⁡x)′\displaystyle -\sin x=(\cos x)', deci integrala are forma ∫u′u\displaystyle \displaystyle\int\dfrac{u'}{u}, cu primitiva ln⁡(cos⁡x)\displaystyle \ln(\cos x). Pe [0,π3]\displaystyle \left[0,\dfrac{\pi}{3}\right] avem cos⁡x>0\displaystyle \cos x>0, deci logaritmul este definit.
    eπ2∫0π3−sin⁡xcos⁡xdx=eπ2ln⁡(cos⁡x)∣0π3\displaystyle e^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{-\sin x}{\cos x}dx=e^{\frac{\pi}{2}}\ln(\cos x)\Big|_0^{\frac{\pi}{3}}
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton, înlocuind limitele π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3} și 0\displaystyle 0.
    eπ2ln⁡(cos⁡π3)−eπ2ln⁡(cos⁡0)\displaystyle e^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\cos\frac{\pi}{3}\right)-e^{\frac{\pi}{2}}\ln(\cos 0)
  5. Calculăm: cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}, cos⁡0=1\displaystyle \cos 0=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Folosim și ln⁡12=−ln⁡2\displaystyle \ln\dfrac{1}{2}=-\ln 2. Obținem rezultatul cerut.
    eπ2ln⁡12−eπ2ln⁡1=−eπ2ln⁡2\displaystyle e^{\frac{\pi}{2}}\ln\frac{1}{2}-e^{\frac{\pi}{2}}\ln 1=-e^{\frac{\pi}{2}}\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.