Bac matematică M2 științe ale naturii 2014, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați rația progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1} cu termeni reali, știind că b2=1\displaystyle b_2=1 și b5=8\displaystyle b_5=8.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică cu rația q\displaystyle q, fiecare termen se obține din precedentul înmulțind cu q\displaystyle q. Deci b3=b2⋅q\displaystyle b_3=b_2\cdot q, b4=b2⋅q2\displaystyle b_4=b_2\cdot q^{2} și b5=b2⋅q3\displaystyle b_5=b_2\cdot q^{3}.
    b5=b2⋅q3\displaystyle b_5=b_2\cdot q^{3}
  2. Înlocuim b2=1\displaystyle b_2=1 și b5=8\displaystyle b_5=8 în relația b5=b2⋅q3\displaystyle b_5=b_2\cdot q^{3} și obținem 8=1⋅q3\displaystyle 8=1\cdot q^{3}, deci q3=8\displaystyle q^{3}=8.
    q3=8\displaystyle q^{3}=8
  3. Rația este reală, iar funcția x↦x3\displaystyle x\mapsto x^{3} este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Din q3=8=23\displaystyle q^{3}=8=2^{3} rezultă că ecuația are o singură soluție reală, q=2\displaystyle q=2.
    q=2\displaystyle q=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați (f∘f)(0)\displaystyle (f\circ f)(0) pentru funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+7\displaystyle f(x)=x^2+2x+7.
Vezi rezolvarea
  1. Compunerea (f∘f)(0)\displaystyle (f\circ f)(0) înseamnă f(f(0))\displaystyle f(f(0)), deci calculăm mai întâi f(0)\displaystyle f(0).
    (f∘f)(0)=f(f(0))\displaystyle (f\circ f)(0)=f(f(0))
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în f(x)=x2+2x+7\displaystyle f(x)=x^2+2x+7: f(0)=02+2⋅0+7\displaystyle f(0)=0^2+2\cdot 0+7.
    f(0)=02+2⋅0+7=7\displaystyle f(0)=0^{2}+2\cdot 0+7=7
  3. Deci (f∘f)(0)=f(7)\displaystyle (f\circ f)(0)=f(7). Înlocuim x\displaystyle x cu 7\displaystyle 7 în expresia lui f\displaystyle f: f(7)=72+2⋅7+7\displaystyle f(7)=7^2+2\cdot 7+7.
    f(7)=72+2⋅7+7=49+14+7\displaystyle f(7)=7^{2}+2\cdot 7+7=49+14+7
  4. Adunăm termenii: 49+14+7=70\displaystyle 49+14+7=70. Deci (f∘f)(0)=70\displaystyle (f\circ f)(0)=70.
    (f∘f)(0)=f(7)=70\displaystyle (f\circ f)(0)=f(7)=70
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log⁡5(x−3)=log⁡5(x−1)\displaystyle 2\log_5(x-3)=\log_5(x-1).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, adică x−3>0\displaystyle x-3>0 și x−1>0\displaystyle x-1>0. Rezultă x>3\displaystyle x>3.
    x∈(3,+∞)\displaystyle x\in(3,+\infty)
  2. Folosim regula logaritmului unei puteri: 2log⁡5(x−3)=log⁡5(x−3)2\displaystyle 2\log_5(x-3)=\log_5(x-3)^2. Această transformare este corectă deoarece x−3>0\displaystyle x-3>0. Ecuația devine log⁡5(x−3)2=log⁡5(x−1)\displaystyle \log_5(x-3)^2=\log_5(x-1).
    log⁡5(x−3)2=log⁡5(x−1)\displaystyle \log_5(x-3)^2=\log_5(x-1)
  3. Funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: (x−3)2=x−1\displaystyle (x-3)^2=x-1. Dezvoltăm pătratul: x2−6x+9=x−1\displaystyle x^2-6x+9=x-1. Mutăm totul în stânga și obținem ecuația de gradul al doilea x2−7x+10=0\displaystyle x^2-7x+10=0.
    (x−3)2=x−1⇒x2−7x+10=0\displaystyle (x-3)^2=x-1\Rightarrow x^2-7x+10=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=49−40=9\displaystyle \Delta=49-40=9. Atunci x=7±32\displaystyle x=\dfrac{7\pm 3}{2}, deci x1=2\displaystyle x_1=2 și x2=5\displaystyle x_2=5.
    x1=2\displaystyle x_1=2, x2=5\displaystyle \ x_2=5
  5. Verificăm soluțiile cu condiția x>3\displaystyle x>3. Pentru x1=2\displaystyle x_1=2 condiția nu este îndeplinită, deoarece x−3=−1<0\displaystyle x-3=-1<0, deci logaritmul nu există și x1\displaystyle x_1 nu este soluție. Pentru x2=5\displaystyle x_2=5 avem 2log⁡52=log⁡54\displaystyle 2\log_5 2=\log_5 4, adică log⁡54=log⁡54\displaystyle \log_5 4=\log_5 4, deci x2\displaystyle x_2 verifică ecuația. Soluția ecuației este x=5\displaystyle x=5.
    x1=2 nu verifica˘ ecuația și x2=5 verifica˘ ecuația\displaystyle x_1=2\text{ nu verifică ecuația și }x_2=5\text{ verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea A={1,2,3,…,50}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,50\}, acesta să fie număr divizibil cu 11\displaystyle 11.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității clasice: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele din mulțimea A\displaystyle A divizibile cu 11\displaystyle 11 sunt multiplii lui 11\displaystyle 11 care nu depășesc 50\displaystyle 50: 11⋅1\displaystyle 11\cdot 1, 11⋅2\displaystyle 11\cdot 2, 11⋅3\displaystyle 11\cdot 3 și 11⋅4\displaystyle 11\cdot 4. Următorul multiplu, 11⋅5=55\displaystyle 11\cdot 5=55, este mai mare decât 50\displaystyle 50.
    11\displaystyle 11, 22\displaystyle \ 22, 33\displaystyle \ 33, 44\displaystyle \ 44
  3. Am găsit patru numere divizibile cu 11\displaystyle 11, deci există 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    11\displaystyle 11, 22\displaystyle \ 22, 33 și 44⇒4 cazuri favorabile\displaystyle \ 33\text{ și }44\Rightarrow 4\text{ cazuri favorabile}
  4. Mulțimea A={1,2,3,…,50}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,50\} are 50\displaystyle 50 de elemente, deci sunt 50\displaystyle 50 de cazuri posibile.
    50 de cazuri posibile\displaystyle 50\text{ de cazuri posibile}
  5. Înlocuim în formulă: p=450\displaystyle p=\dfrac{4}{50}, iar fracția se simplifică prin 2\displaystyle 2 și devine 225\displaystyle \dfrac{2}{25}.
    p=450=225\displaystyle p=\frac{4}{50}=\frac{2}{25}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care vectorii v⃗=2i⃗+(a+1)j⃗\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}+(a+1)\vec{j} și u⃗=i⃗+2j⃗\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+2\vec{j} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem coordonatele celor doi vectori: v⃗\displaystyle \vec{v} are coordonatele 2\displaystyle 2 și a+1\displaystyle a+1, iar u⃗\displaystyle \vec{u} are coordonatele 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    v⃗(2, a+1)\displaystyle \vec{v}(2,\ a+1),u⃗(1, 2)\displaystyle \quad \vec{u}(1,\ 2)
  2. Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale. Egalăm raportul coordonatelor de pe i⃗\displaystyle \vec{i} cu raportul coordonatelor de pe j⃗\displaystyle \vec{j}.
    21=a+12\displaystyle \frac{2}{1}=\frac{a+1}{2}
  3. Înmulțim ambii membri cu 2\displaystyle 2 și obținem a+1=4\displaystyle a+1=4.
    a+1=4\displaystyle a+1=4
  4. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem valoarea lui a\displaystyle a. Vectorii sunt coliniari pentru a=3\displaystyle a=3.
    a=3\displaystyle a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Rezolvați în mulțimea (0,π2)\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right) ecuația 2sin⁡x−1=0\displaystyle 2\sin x-1=0.
Vezi rezolvarea
  1. Izolăm sinusul: adunăm 1\displaystyle 1 la ambii membri ai ecuației 2sin⁡x−1=0\displaystyle 2\sin x-1=0, apoi împărțim la 2\displaystyle 2.
    2sin⁡x=1\displaystyle 2\sin x=1
  2. După împărțirea la 2\displaystyle 2 obținem valoarea sinusului.
    sin⁡x=12\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}
  3. Intervalul dat este (0,π2)\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right), deci x\displaystyle x este un unghi ascuțit. Pe acest interval sinusul este strict crescător, deci ecuația are cel mult o soluție. Știm din tabelul valorilor că sin⁡π6=12\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.
    sin⁡π6=12\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}
  4. Deoarece π6∈(0,π2)\displaystyle \frac{\pi}{6}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), singura soluție a ecuației în acest interval este π6\displaystyle \frac{\pi}{6}.
    x=π6\displaystyle x=\frac{\pi}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1004)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix} și B=(1005)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅B=B⋅A\displaystyle A\cdot B=B\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B înmulțind linie cu coloană. Elementul de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) este 1⋅1+0⋅0\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 0, cel de pe (1,2)\displaystyle (1,2) este 1⋅0+0⋅5\displaystyle 1\cdot 0+0\cdot 5, cel de pe (2,1)\displaystyle (2,1) este 0⋅1+4⋅0\displaystyle 0\cdot 1+4\cdot 0, iar cel de pe (2,2)\displaystyle (2,2) este 0⋅0+4⋅5\displaystyle 0\cdot 0+4\cdot 5.
    A⋅B=(1⋅1+0⋅01⋅0+0⋅50⋅1+4⋅00⋅0+4⋅5)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot 1+0\cdot 0&1\cdot 0+0\cdot 5\\0\cdot 1+4\cdot 0&0\cdot 0+4\cdot 5\end{pmatrix}
  2. Efectuăm calculele și obținem matricea diagonală cu elementele 1\displaystyle 1 și 20\displaystyle 20.
    A⋅B=(10020)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&20\end{pmatrix}
  3. Calculăm acum produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A în același mod: pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) avem 1⋅1+0⋅0\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 0, pe (1,2)\displaystyle (1,2) avem 1⋅0+0⋅4\displaystyle 1\cdot 0+0\cdot 4, pe (2,1)\displaystyle (2,1) avem 0⋅1+5⋅0\displaystyle 0\cdot 1+5\cdot 0, iar pe (2,2)\displaystyle (2,2) avem 0⋅0+5⋅4\displaystyle 0\cdot 0+5\cdot 4.
    B⋅A=(1⋅1+0⋅01⋅0+0⋅40⋅1+5⋅00⋅0+5⋅4)=(10020)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1\cdot 1+0\cdot 0&1\cdot 0+0\cdot 4\\0\cdot 1+5\cdot 0&0\cdot 0+5\cdot 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&20\end{pmatrix}
  4. Comparăm cele două produse: ambele sunt egale cu aceeași matrice, deci A⋅B=B⋅A\displaystyle A\cdot B=B\cdot A.
    A⋅B=B⋅A=(10020)\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&20\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1004)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix} și B=(1005)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix}.

Verificați dacă det⁡(A+B)>det⁡A+det⁡B\displaystyle \det(A+B)>\det A+\det B.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A\displaystyle A și B\displaystyle B element cu element: pe diagonală obținem 1+1=2\displaystyle 1+1=2 și 4+5=9\displaystyle 4+5=9, iar în rest zerouri.
    A+B=(2009)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}2&0\\0&9\end{pmatrix}
  2. Matricea A+B\displaystyle A+B este diagonală, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonală: 2⋅9\displaystyle 2\cdot 9.
    det⁡(A+B)=2⋅9=18\displaystyle \det(A+B)=2\cdot 9=18
  3. Calculăm separat determinanții lui A\displaystyle A și B\displaystyle B, fiecare fiind produsul elementelor de pe diagonală: det⁡A=1⋅4\displaystyle \det A=1\cdot 4 și det⁡B=1⋅5\displaystyle \det B=1\cdot 5.
    det⁡A=4\displaystyle \det A=4,det⁡B=5\displaystyle \quad \det B=5
  4. Adunăm cei doi determinanți: det⁡A+det⁡B=4+5=9\displaystyle \det A+\det B=4+5=9. Cum 18>9\displaystyle 18>9, inegalitatea cerută este adevărată.
    det⁡A+det⁡B=4+5=9⇒det⁡(A+B)=18>9=det⁡A+det⁡B\displaystyle \det A+\det B=4+5=9\Rightarrow \det(A+B)=18>9=\det A+\det B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1004)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix} și B=(1005)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix}.

Determinați numărul matricelor X=(a00b)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix} pentru care X2=A\displaystyle X^2=A, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratul matricei diagonale X\displaystyle X înmulțind X\displaystyle X cu ea însăși: X2=(a00b)⋅(a00b)\displaystyle X^2=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}. Produsul a două matrice diagonale este o matrice diagonală, cu elementele de pe diagonală ridicate la pătrat.
    X2=(a200b2)\displaystyle X^2=\begin{pmatrix}a^2&0\\0&b^2\end{pmatrix}
  2. Egalăm X2=A\displaystyle X^2=A, adică (a200b2)=(1004)\displaystyle \begin{pmatrix}a^2&0\\0&b^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}, și comparăm elementele corespunzătoare. Elementele zero coincid, deci rămân două condiții: una pentru a\displaystyle a și una pentru b\displaystyle b.
    {a2=1b2=4\displaystyle \begin{cases}a^2=1\\b^2=4\end{cases}
  3. Rezolvăm fiecare ecuație în numere reale: din a2=1\displaystyle a^2=1 obținem a=±1\displaystyle a=\pm1, iar din b2=4\displaystyle b^2=4 obținem b=±2\displaystyle b=\pm2. Alegerile pentru a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt independente, deci numărul matricelor este 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot2=4: cele patru matrice sunt cu (a,b)∈{(1,2),(1,−2),(−1,2),(−1,−2)}\displaystyle (a,b)\in\{(1,2),(1,-2),(-1,2),(-1,-2)\}.
    a=±1\displaystyle a=\pm1, b=±2⇒sunt 4 matrice X care verifica˘ cerințele\displaystyle \ b=\pm2\Rightarrow\text{sunt 4 matrice }X\text{ care verifică cerințele}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3+X+a\displaystyle f=X^3+X+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=−2\displaystyle a=-2, arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=−2\displaystyle a=-2 polinomul f=X3+X+a\displaystyle f=X^3+X+a devine f=X3+X−2\displaystyle f=X^3+X-2.
    f=X3+X−2\displaystyle f=X^{3}+X-2
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1: f(1)=13+1−2\displaystyle f(1)=1^3+1-2.
    f(1)=13+1−2\displaystyle f(1)=1^{3}+1-2
  3. Avem 13=1\displaystyle 1^3=1, deci f(1)=1+1−2=2−2=0\displaystyle f(1)=1+1-2=2-2=0. Astfel f(1)=0\displaystyle f(1)=0, ceea ce trebuia arătat.
    f(1)=2−2=0\displaystyle f(1)=2-2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3+X+a\displaystyle f=X^3+X+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că (2−x1)(2−x2)(2−x3)=2\displaystyle (2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f\displaystyle f are gradul 3\displaystyle 3 și coeficientul dominant 1\displaystyle 1, iar rădăcinile lui sunt x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3. Deci f\displaystyle f se scrie ca produs de factori: f=(X−x1)(X−x2)(X−x3)\displaystyle f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3).
    f=(X−x1)(X−x2)(X−x3)\displaystyle f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2 în descompunerea lui f\displaystyle f. Produsul din enunț este chiar valoarea polinomului în 2\displaystyle 2.
    (2−x1)(2−x2)(2−x3)=f(2)\displaystyle (2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=f(2)
  3. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) din forma polinomului: 23=8\displaystyle 2^3=8, la care adăugăm 2\displaystyle 2 și a\displaystyle a.
    f(2)=23+2+a=10+a\displaystyle f(2)=2^3+2+a=10+a
  4. Din condiția din enunț, f(2)=2\displaystyle f(2)=2, deci 10+a=2\displaystyle 10+a=2. Rezultă a=2−10=−8\displaystyle a=2-10=-8.
    10+a=2⇒a=−8\displaystyle 10+a=2\Rightarrow a=-8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3+X+a\displaystyle f=X^3+X+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a≠0\displaystyle a\neq0, determinați un polinom de grad trei, având coeficienți reali, care are rădăcinile 1x1\displaystyle \frac{1}{x_1}, 1x2\displaystyle \frac{1}{x_2} și 1x3\displaystyle \frac{1}{x_3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru polinomul f=X3+X+a\displaystyle f=X^3+X+a, care are coeficienții 1, 0, 1, a\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ a.
    x1+x2+x3=0\displaystyle x_1+x_2+x_3=0, x1x2+x2x3+x3x1=1\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=1, x1x2x3=−a\displaystyle \ x_1x_2x_3=-a
  2. Deoarece a≠0\displaystyle a\neq 0, produsul x1x2x3=−a\displaystyle x_1x_2x_3=-a este nenul, deci niciuna dintre rădăcini nu este 0\displaystyle 0 și inversele există. Calculăm suma inverselor, aducând la același numitor: 1x1+1x2+1x3=x1x2+x2x3+x3x1x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}.
    1x1+1x2+1x3=1−a=−1a\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{1}{-a}=-\frac{1}{a}
  3. Calculăm suma produselor câte două ale inverselor, aducând la același numitor: 1x1x2+1x2x3+1x3x1=x3+x1+x2x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1x_2}+\dfrac{1}{x_2x_3}+\dfrac{1}{x_3x_1}=\dfrac{x_3+x_1+x_2}{x_1x_2x_3}. Numărătorul este 0\displaystyle 0.
    1x1⋅1x2+1x2⋅1x3+1x3⋅1x1=0−a=0\displaystyle \frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_2}\cdot\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_3}\cdot\frac{1}{x_1}=\frac{0}{-a}=0
  4. Calculăm produsul celor trei inverse: 1x1⋅1x2⋅1x3=1x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1}\cdot\dfrac{1}{x_2}\cdot\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{1}{x_1x_2x_3}. Astfel, cele trei relații Viète pentru inverse sunt determinate.
    1x1⋅1x2⋅1x3=−1a\displaystyle \frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}\cdot\frac{1}{x_3}=-\frac{1}{a}
  5. Un polinom monic cu rădăcinile y1,y2,y3\displaystyle y_1,y_2,y_3 este X3−S1X2+S2X−S3\displaystyle X^3-S_1X^2+S_2X-S_3, unde yi=1xi\displaystyle y_i=\dfrac{1}{x_i}. Cu S1=−1a\displaystyle S_1=-\dfrac{1}{a}, S2=0\displaystyle S_2=0 și S3=−1a\displaystyle S_3=-\dfrac{1}{a} obținem polinomul de mai jos.
    X3+1aX2+1a\displaystyle X^3+\frac{1}{a}X^2+\frac{1}{a}
  6. Înmulțim cu a≠0\displaystyle a\neq 0 pentru a elimina numitorii. Polinomul obținut are coeficienți reali, grad trei și aceleași rădăcini 1x1,1x2,1x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1},\dfrac{1}{x_2},\dfrac{1}{x_3}. Acesta este polinomul căutat.
    g=aX3+X2+1\displaystyle g=aX^3+X^2+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln x.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivata unei diferențe este diferența derivatelor, deci pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem f′(x)=(ln⁡(x+1)−ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=\left(\ln(x+1)-\ln x\right)' și derivăm separat cei doi termeni.
    f′(x)=(ln⁡(x+1))′−(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=\left(\ln(x+1)\right)'-\left(\ln x\right)'
  2. Folosim formula (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}. Pentru ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1) aplicăm derivata funcției compuse, (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}, cu u=x+1\displaystyle u=x+1.
    (ln⁡(x+1))′=(x+1)′x+1=1x+1\displaystyle \left(\ln(x+1)\right)'=\dfrac{(x+1)'}{x+1}=\dfrac{1}{x+1}
  3. Înlocuim cele două derivate în diferență și obținem rezultatul, valabil pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=1x+1−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln x.

Arătați că funcția f\displaystyle f este descrescătoare.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), fiind diferență de funcții logaritmice definite pe acest interval. Derivăm termen cu termen: (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle (\ln(x+1))'=\dfrac{1}{x+1} și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1x+1−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}
  2. Aducem fracțiile la același numitor x(x+1)\displaystyle x(x+1) și scădem numărătorii: x−(x+1)=−1\displaystyle x-(x+1)=-1.
    f′(x)=x−(x+1)x(x+1)=−1x(x+1)\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-(x+1)}{x(x+1)}=-\dfrac{1}{x(x+1)}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)
  3. Pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem x>0\displaystyle x>0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci x(x+1)>0\displaystyle x(x+1)>0 și 1x(x+1)>0\displaystyle \dfrac{1}{x(x+1)}>0. Cu semnul minus din față, derivata este strict negativă.
    f′(x)=−1x(x+1)<0\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x(x+1)}<0, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)
  4. Cum f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), funcția f\displaystyle f este strict descrescătoare pe acest interval, deci este descrescătoare.
    f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, pentru orice x∈(0,+∞)⇒f este descresca˘toare\displaystyle \text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ este descrescătoare}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln x.

Calculați lim⁡x→+∞xf(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln x în limita cerută: xf(x)=x(ln⁡(x+1)−ln⁡x)\displaystyle xf(x)=x\left(\ln(x+1)-\ln x\right). Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, f(x)→0\displaystyle f(x)\to 0, deci avem o nedeterminare de forma ∞⋅0\displaystyle \infty\cdot 0.
    lim⁡x→+∞xf(x)=lim⁡x→+∞x(ln⁡(x+1)−ln⁡x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x)=\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln x\right)
  2. Scriem x=11x\displaystyle x=\dfrac{1}{\frac{1}{x}}, deci produsul devine o fracție. Acum numărătorul ln⁡(x+1)−ln⁡x→0\displaystyle \ln(x+1)-\ln x\to 0 și numitorul 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0, deci avem nedeterminarea 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡x→+∞xf(x)=lim⁡x→+∞ln⁡(x+1)−ln⁡x1x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+1)-\ln x}{\frac{1}{x}}
  3. Derivăm numărătorul: (ln⁡(x+1)−ln⁡x)′=1x+1−1x\displaystyle \left(\ln(x+1)-\ln x\right)'=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}. Derivăm numitorul: (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    lim⁡x→+∞1x+1−1x−1x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}
  4. Aducem la numitor comun: 1x+1−1x=x−(x+1)x(x+1)=−1x(x+1)\displaystyle \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-(x+1)}{x(x+1)}=-\dfrac{1}{x(x+1)}.
    1x+1−1x=−1x(x+1)\displaystyle \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=-\frac{1}{x(x+1)}
  5. Fracția devine −1x(x+1)−1x2=x2x(x+1)=xx+1\displaystyle \dfrac{-\frac{1}{x(x+1)}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\dfrac{x^{2}}{x(x+1)}=\dfrac{x}{x+1}. Împărțind la x\displaystyle x, obținem 11+1x→1\displaystyle \dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}\to 1 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    lim⁡x→+∞xx+1=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+1}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx+2\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+2}.

Calculați ∫01(x+2)f(x) dx\displaystyle \int_0^1 (x+2)f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată: f(x)=xx+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x+2}.
    ∫01(x+2)⋅xx+2 dx\displaystyle \int_0^1 (x+2)\cdot\dfrac{x}{x+2}\,dx
  2. Pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] avem x+2>0\displaystyle x+2>0, deci putem simplifica factorul x+2\displaystyle x+2 de la numărător cu cel de la numitor. Integrandul devine x\displaystyle x.
    ∫01(x+2)f(x) dx=∫01x dx\displaystyle \int_0^1 (x+2)f(x)\,dx=\int_0^1 x\,dx
  3. Folosim o primitivă a lui x\displaystyle x, anume x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, și aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫01x dx=x22∣01\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\Big|_0^1
  4. Înlocuim limitele de integrare: la 1 obținem 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, la 0 obținem 0\displaystyle 0. Diferența este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    122−022=12\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx+2\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+2}.

Arătați că ∫20132014(f(x)+(x+2)f′(x))dx=1\displaystyle \int_{2013}^{2014}\left(f(x)+(x+2)f'(x)\right)dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f(x)=xx+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x+2} cu formula de derivare a câtului: f′(x)=x′⋅(x+2)−x⋅(x+2)′(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x'\cdot(x+2)-x\cdot(x+2)'}{(x+2)^{2}}.
    f′(x)=1⋅(x+2)−x⋅1(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x+2)-x\cdot 1}{(x+2)^{2}}
  2. Simplificăm numărătorul: x+2−x=2\displaystyle x+2-x=2.
    f′(x)=2(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{(x+2)^{2}}
  3. Calculăm (x+2)f′(x)=(x+2)⋅2(x+2)2\displaystyle (x+2)f'(x)=(x+2)\cdot\dfrac{2}{(x+2)^{2}}, simplificând cu x+2\displaystyle x+2, care este nenul pe (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty).
    (x+2)f′(x)=2x+2\displaystyle (x+2)f'(x)=\dfrac{2}{x+2}
  4. Adunăm: f(x)+(x+2)f′(x)=xx+2+2x+2=x+2x+2\displaystyle f(x)+(x+2)f'(x)=\dfrac{x}{x+2}+\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{x+2}{x+2}. Deci integrandul este constant egal cu 1 pentru orice x∈(−2,+∞)\displaystyle x\in(-2,+\infty).
    f(x)+(x+2)f′(x)=1 pentru orice x∈(−2,+∞)\displaystyle f(x)+(x+2)f'(x)=1\text{ pentru orice }x\in(-2,+\infty)
  5. Cum [2013,2014]⊂(−2,+∞)\displaystyle [2013,2014]\subset(-2,+\infty), înlocuim integrandul cu 1. O primitivă a funcției constante 1 este x\displaystyle x, deci integrala este x\displaystyle x evaluat între 2013 și 2014, adică 2014−2013\displaystyle 2014-2013.
    ∫201320141⋅dx=x∣20132014=2014−2013=1\displaystyle \int_{2013}^{2014}1\cdot dx=x\Big|_{2013}^{2014}=2014-2013=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx+2\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+2}.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=xf(x)\displaystyle g(x)=\frac{x}{f(x)}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția g\displaystyle g explicit. Cum f(x)=xx+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x+2} și x≠0\displaystyle x\neq 0 pe [1,2]\displaystyle [1,2], obținem g(x)=xf(x)=x⋅x+2x=x+2\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{f(x)}=x\cdot\dfrac{x+2}{x}=x+2.
    g(x)=x+2\displaystyle g(x)=x+2
  2. Aplicăm formula volumului corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox: V=π∫12g2(x) dx\displaystyle V=\pi\displaystyle\int_1^2 g^2(x)\,dx. Înlocuim g(x)=x+2\displaystyle g(x)=x+2.
    V=π∫12g2(x) dx=π∫12(x+2)2 dx\displaystyle V=\pi\int_1^2 g^2(x)\,dx=\pi\int_1^2 (x+2)^2\,dx
  3. Calculăm integrala: o primitivă a funcției (x+2)2\displaystyle (x+2)^2 este (x+2)33\displaystyle \dfrac{(x+2)^3}{3}, deci V=π⋅(x+2)33∣12\displaystyle V=\pi\cdot\dfrac{(x+2)^3}{3}\Big|_1^2.
    V=π (x+2)33∣12\displaystyle V=\pi\,\frac{(x+2)^3}{3}\Big|_1^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 433=643\displaystyle \dfrac{4^3}{3}=\dfrac{64}{3}, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem 333=273\displaystyle \dfrac{3^3}{3}=\dfrac{27}{3}. Atunci V=π⋅64−273\displaystyle V=\pi\cdot\dfrac{64-27}{3}.
    V=π 64−273=37π3\displaystyle V=\pi\,\frac{64-27}{3}=\frac{37\pi}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.