Bac matematică M2 științe ale naturii 2010, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1} în care a1=3\displaystyle a_1=3 și a3=7\displaystyle a_3=7. Calculați suma primilor 10 termeni ai progresiei.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula termenului general: a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r. Înlocuim a1=3\displaystyle a_1=3 și a3=7\displaystyle a_3=7, deci 7=3+2r\displaystyle 7=3+2r.
    7=3+2r\displaystyle 7=3+2r
  2. Rezolvăm ecuația: 2r=4\displaystyle 2r=4, deci rația este r=2\displaystyle r=2. Primul termen este a1=3\displaystyle a_1=3.
    a1=3\displaystyle a_1=3, r=2\displaystyle \ r=2
  3. Calculăm al zecelea termen cu formula a10=a1+9r=3+9⋅2=3+18\displaystyle a_{10}=a_1+9r=3+9\cdot 2=3+18.
    a10=21\displaystyle a_{10}=21
  4. Aplicăm formula sumei primilor 10 termeni: S10=(a1+a10)⋅102\displaystyle S_{10}=\dfrac{(a_1+a_{10})\cdot 10}{2}. Înlocuim și calculăm: (3+21)⋅102=24⋅5=120\displaystyle \dfrac{(3+21)\cdot 10}{2}=24\cdot 5=120.
    S10=(a1+a10)⋅102=120\displaystyle S_{10}=\frac{(a_1+a_{10})\cdot 10}{2}=120
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care punctul A(m,−1)\displaystyle A(m,-1) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+1\displaystyle f(x)=x^2-3x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(m,−1)\displaystyle A(m,-1) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(m)=−1\displaystyle f(m)=-1, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa m\displaystyle m.
    f(m)=−1\displaystyle f(m)=-1
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu m\displaystyle m în expresia funcției și obținem ecuația m2−3m+1=−1\displaystyle m^2-3m+1=-1.
    m2−3m+1=−1\displaystyle m^2-3m+1=-1
  3. Aducem ecuația la forma generală, mutând −1\displaystyle -1 în membrul stâng: m2−3m+1+1=0\displaystyle m^2-3m+1+1=0, adică m2−3m+2=0\displaystyle m^2-3m+2=0.
    m2−3m+2=0\displaystyle m^2-3m+2=0
  4. Calculăm discriminantul ecuației de gradul al doilea: Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=9−8=1\displaystyle \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1.
    Δ=1\displaystyle \Delta=1
  5. Aplicăm formula soluțiilor: m=3±12\displaystyle m=\dfrac{3\pm 1}{2}. Obținem m1=3+12=2\displaystyle m_1=\dfrac{3+1}{2}=2 și m2=3−12=1\displaystyle m_2=\dfrac{3-1}{2}=1. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    m=2 sau m=1\displaystyle m=2\text{ sau }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(2x+3)=2\displaystyle \log_5(2x+3)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 2x+3>0\displaystyle 2x+3>0.
    2x+3>0\displaystyle 2x+3>0
  2. Rezolvăm inegalitatea: 2x>−3\displaystyle 2x>-3, deci x>−32\displaystyle x>-\dfrac{3}{2}. Domeniul de definiție este x∈(−32,∞)\displaystyle x\in\left(-\dfrac{3}{2},\infty\right).
    x∈(−32,∞)\displaystyle x\in\left(-\frac{3}{2},\infty\right)
  3. Trecem de la forma logaritmică la forma exponențială: log⁡5A=2\displaystyle \log_5 A=2 înseamnă A=52\displaystyle A=5^{2}. Deci 2x+3=52=25\displaystyle 2x+3=5^{2}=25.
    2x+3=25\displaystyle 2x+3=25
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: 2x=25−3=22\displaystyle 2x=25-3=22, deci x=11\displaystyle x=11.
    x=11\displaystyle x=11
  5. Verificăm condiția de existență: 11>−32\displaystyle 11>-\dfrac{3}{2}, deci x=11∈(−32,∞)\displaystyle x=11\in\left(-\dfrac{3}{2},\infty\right) convine. Soluția ecuației este x=11\displaystyle x=11.
    x=11∈(−32,∞)\displaystyle x=11\in\left(-\frac{3}{2},\infty\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu 3 elemente ale unei mulțimi care are 5 elemente.
Vezi rezolvarea
  1. O submulțime cu 3\displaystyle 3 elemente se obține alegând 3\displaystyle 3 elemente din cele 5\displaystyle 5, fără a conta ordinea în care sunt alese. Numărul lor este combinări de 5\displaystyle 5 luate câte 3\displaystyle 3: C53\displaystyle C_5^3.
    C53\displaystyle C_5^3
  2. Scriem formula combinărilor: Cnk=n!k! (n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}. Înlocuim n=5\displaystyle n=5 și k=3\displaystyle k=3.
    C53=5!3!⋅2!=5⋅4⋅3!3!⋅2\displaystyle C_5^3=\dfrac{5!}{3!\cdot 2!}=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2}
  3. Simplificăm cu 3!\displaystyle 3! și calculăm: 5⋅42=10\displaystyle \dfrac{5\cdot 4}{2}=10. Deci o mulțime cu 5\displaystyle 5 elemente are 10\displaystyle 10 submulțimi cu 3\displaystyle 3 elemente.
    C53=5⋅42=10\displaystyle C_5^3=\dfrac{5\cdot 4}{2}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,−2)\displaystyle A(-1,-2), B(1,2)\displaystyle B(1,2) și C(2,−1)\displaystyle C(2,-1). Calculați distanța de la punctul C\displaystyle C la mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2=−1+12\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-1+1}{2} și yM=yA+yB2=−2+22\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-2+2}{2}.
    xM=−1+12=0\displaystyle x_M=\dfrac{-1+1}{2}=0,yM=−2+22=0\displaystyle \quad y_M=\dfrac{-2+2}{2}=0
  2. Rezultă că mijlocul segmentului AB\displaystyle AB este originea reperului, M(0,0)\displaystyle M(0,0).
    M(0,0)\displaystyle M(0,0)
  3. Distanța de la C\displaystyle C la M\displaystyle M se calculează cu formula distanței dintre două puncte: CM=(xC−xM)2+(yC−yM)2\displaystyle CM=\sqrt{(x_C-x_M)^2+(y_C-y_M)^2}.
    CM=(xC−xM)2+(yC−yM)2\displaystyle CM=\sqrt{(x_C-x_M)^2+(y_C-y_M)^2}
  4. Înlocuim coordonatele lui C(2,−1)\displaystyle C(2,-1) și M(0,0)\displaystyle M(0,0) în formulă: CM=(2−0)2+(−1−0)2\displaystyle CM=\sqrt{(2-0)^2+(-1-0)^2}.
    CM=22+(−1)2=4+1\displaystyle CM=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}
  5. Adunăm cele două pătrate: 4+1=5\displaystyle 4+1=5, deci distanța căutată este 5\displaystyle \sqrt{5}.
    CM=5\displaystyle CM=\sqrt{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Triunghiul ABC\displaystyle ABC are AB=8\displaystyle AB=8, AC=8\displaystyle AC=8 și m(∠BAC)=30∘\displaystyle m(\angle BAC)=30^\circ. Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Unghiul A\displaystyle A este cuprins între laturile AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC, deci putem folosi formula ariei cu două laturi și sinusul unghiului dintre ele: A=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}
  2. Înlocuim valorile date: AB=8\displaystyle AB=8, AC=8\displaystyle AC=8 și știm că sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    AΔABC=8⋅8⋅122\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{8\cdot 8\cdot \frac{1}{2}}{2}
  3. Calculăm: 8⋅8=64\displaystyle 8\cdot 8=64, apoi 64⋅12=32\displaystyle 64\cdot\dfrac{1}{2}=32, iar 322=16\displaystyle \dfrac{32}{2}=16. Aria triunghiului este 16\displaystyle 16.
    AΔABC=16\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(311031003)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&1&1\\0&3&1\\0&0&3\end{pmatrix}, B=(034003000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&3&4\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și funcția f:M3(R)→M3(R)\displaystyle f:\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), f(X)=X2−3X+I3\displaystyle f(X)=X^2-3X+I_3, unde X2=X⋅X\displaystyle X^2=X\cdot X.

Calculați det⁡(I3+B)\displaystyle \det(I_3+B).
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm element cu element matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și B=(034003000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&3&4\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}.
    I3+B=(134013001)\displaystyle I_3+B=\begin{pmatrix}1&3&4\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Matricea I3+B\displaystyle I_3+B este superior triunghiulară, adică are zerouri sub diagonala principală, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonală.
    det⁡(I3+B)=1⋅1⋅1\displaystyle \det(I_3+B)=1\cdot 1\cdot 1
  3. Calculăm produsul: 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1, deci determinantul cerut este 1\displaystyle 1.
    det⁡(I3+B)=1\displaystyle \det(I_3+B)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(311031003)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&1&1\\0&3&1\\0&0&3\end{pmatrix}, B=(034003000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&3&4\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și funcția f:M3(R)→M3(R)\displaystyle f:\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), f(X)=X2−3X+I3\displaystyle f(X)=X^2-3X+I_3, unde X2=X⋅X\displaystyle X^2=X\cdot X.

Demonstrați că f(A)=I3+B\displaystyle f(A)=I_3+B.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Prima linie: 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9, apoi 3⋅1+1⋅3=6\displaystyle 3\cdot 1+1\cdot 3=6, apoi 3⋅1+1⋅1+1⋅3=7\displaystyle 3\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 3=7. Linia a doua: 0\displaystyle 0, 9\displaystyle 9, 3⋅1+1⋅3=6\displaystyle 3\cdot 1+1\cdot 3=6. Linia a treia: 0\displaystyle 0, 0\displaystyle 0, 9\displaystyle 9.
    A2=(967096009)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}9&6&7\\0&9&6\\0&0&9\end{pmatrix}
  2. Înlocuim X=A\displaystyle X=A în definiția funcției: f(A)=A2−3A+I3\displaystyle f(A)=A^2-3A+I_3.
    f(A)=A2−3A+I3\displaystyle f(A)=A^2-3A+I_3
  3. Calculăm 3A\displaystyle 3A, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu 3\displaystyle 3.
    3A=(933093009)\displaystyle 3A=\begin{pmatrix}9&3&3\\0&9&3\\0&0&9\end{pmatrix}
  4. Scădem 3A\displaystyle 3A din A2\displaystyle A^2, element cu element. Diagonala devine 9−9=0\displaystyle 9-9=0, iar celelalte elemente sunt 6−3=3\displaystyle 6-3=3, 7−3=4\displaystyle 7-3=4 și 6−3=3\displaystyle 6-3=3. Obținem exact matricea B\displaystyle B.
    A2−3A=(034003000)=B\displaystyle A^2-3A=\begin{pmatrix}0&3&4\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}=B
  5. Adunăm I3\displaystyle I_3 și folosim egalitatea A2−3A=B\displaystyle A^2-3A=B. Rezultă f(A)=B+I3=I3+B\displaystyle f(A)=B+I_3=I_3+B, adică ce trebuia demonstrat.
    f(A)=A2−3A+I3=B+I3=I3+B\displaystyle f(A)=A^2-3A+I_3=B+I_3=I_3+B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(311031003)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&1&1\\0&3&1\\0&0&3\end{pmatrix}, B=(034003000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&3&4\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}, I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și funcția f:M3(R)→M3(R)\displaystyle f:\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), f(X)=X2−3X+I3\displaystyle f(X)=X^2-3X+I_3, unde X2=X⋅X\displaystyle X^2=X\cdot X.

Arătați că (f(A))3=I3+3B+3B2\displaystyle \left(f(A)\right)^3=I_3+3B+3B^2, unde (f(A))3=f(A)⋅f(A)⋅f(A)\displaystyle \left(f(A)\right)^3=f(A)\cdot f(A)\cdot f(A).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A, înmulțind matricea A\displaystyle A cu ea însăși.
    A2=(967096009)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}9&6&7\\0&9&6\\0&0&9\end{pmatrix}
  2. Calculăm f(A)=A2−3A+I3\displaystyle f(A)=A^2-3A+I_3. Avem 3A=(933093009)\displaystyle 3A=\begin{pmatrix}9&3&3\\0&9&3\\0&0&9\end{pmatrix}, deci A2−3A=B\displaystyle A^2-3A=B și astfel f(A)=I3+B\displaystyle f(A)=I_3+B.
    f(A)=B+I3\displaystyle f(A)=B+I_3
  3. Ridicăm la puterea a treia: (f(A))3=(I3+B)3\displaystyle \left(f(A)\right)^3=(I_3+B)^3. Matricele I3\displaystyle I_3 și B\displaystyle B comută, deci putem folosi formula cubului sumei.
    (f(A))3=(I3+B)3=I3+3B+3B2+B3\displaystyle \left(f(A)\right)^3=(I_3+B)^3=I_3+3B+3B^2+B^3
  4. Calculăm B2=(009000000)\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}0&0&9\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}. Apoi B3=B2⋅B\displaystyle B^3=B^2\cdot B: singura linie nenulă a lui B2\displaystyle B^2 este (0,0,9)\displaystyle (0,0,9), iar ultima linie a lui B\displaystyle B este nulă, deci toate elementele produsului sunt 0\displaystyle 0.
    B3=O3\displaystyle B^3=O_3
  5. Înlocuim B3=O3\displaystyle B^3=O_3 în dezvoltarea cubului și obținem egalitatea cerută.
    (f(A))3=I3+3B+3B2\displaystyle \left(f(A)\right)^3=I_3+3B+3B^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor întregi se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3 și x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3.

Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația x∘x=x∗x\displaystyle x\circ x=x*x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∘x\displaystyle x\circ x folosind definiția: x∘x=(x−3)(x−3)+3=(x−3)2+3\displaystyle x\circ x=(x-3)(x-3)+3=(x-3)^{2}+3.
    x∘x=(x−3)2+3\displaystyle x\circ x=(x-3)^{2}+3
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x folosind definiția: x∗x=x+x−3=2x−3\displaystyle x*x=x+x-3=2x-3. Observăm că 2x−3=2(x−3)+3\displaystyle 2x-3=2(x-3)+3.
    x∗x=2x−3=2(x−3)+3\displaystyle x*x=2x-3=2(x-3)+3
  3. Egalăm cele două expresii: (x−3)2+3=2(x−3)+3\displaystyle (x-3)^{2}+3=2(x-3)+3. Reducem termenul 3\displaystyle 3 și mutăm totul în membrul stâng.
    (x−3)2−2(x−3)=0\displaystyle (x-3)^{2}-2(x-3)=0
  4. Scoatem factor comun pe x−3\displaystyle x-3: (x−3)[(x−3)−2]=0\displaystyle (x-3)\left[(x-3)-2\right]=0, adică (x−3)(x−5)=0\displaystyle (x-3)(x-5)=0.
    (x−3)(x−5)=0\displaystyle (x-3)(x-5)=0
  5. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero: x−3=0\displaystyle x-3=0 sau x−5=0\displaystyle x-5=0. Ambele soluții sunt numere întregi, deci convin.
    x=3 sau x=5\displaystyle x=3\text{ sau }x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor întregi se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3 și x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3.

Determinați numărul întreg a\displaystyle a care are proprietatea că x∘a=3\displaystyle x\circ a=3, oricare ar fi numărul întreg x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția din enunț folosind definiția legii ∘\displaystyle \circ: x∘a=(x−3)(a−3)+3\displaystyle x\circ a=(x-3)(a-3)+3 și trebuie să fie egal cu 3\displaystyle 3 pentru orice x\displaystyle x întreg.
    (x−3)(a−3)+3=3\displaystyle (x-3)(a-3)+3=3, ∀x∈Z\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{Z}
  2. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem că produsul (x−3)(a−3)\displaystyle (x-3)(a-3) trebuie să fie zero pentru orice x\displaystyle x întreg.
    (x−3)(a−3)=0\displaystyle (x-3)(a-3)=0, ∀x∈Z\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{Z}
  3. Factorul x−3\displaystyle x-3 nu este zero pentru orice x\displaystyle x, de exemplu pentru x=4\displaystyle x=4 el este egal cu 1\displaystyle 1. Atunci egalitatea poate fi adevărată pentru toți x\displaystyle x doar dacă celălalt factor este zero, adică a−3=0\displaystyle a-3=0.
    a−3=0\displaystyle a-3=0
  4. Rezultă a=3\displaystyle a=3, care este număr întreg, deci convine. Verificare: x∘3=(x−3)⋅0+3=3\displaystyle x\circ 3=(x-3)\cdot 0+3=3 pentru orice x\displaystyle x.
    a=3∈Z\displaystyle a=3\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor întregi se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3 și x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3.

Rezolvați sistemul de ecuații {x∗(y+1)=4(x−y)∘1=5\displaystyle \begin{cases}x*(y+1)=4\\(x-y)\circ 1=5\end{cases}, unde x,y∈Z\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3 pentru x∗(y+1)\displaystyle x*(y+1): x∗(y+1)=x+(y+1)−3\displaystyle x*(y+1)=x+(y+1)-3.
    x∗(y+1)=x+y−2\displaystyle x*(y+1)=x+y-2
  2. Din x+y−2=4\displaystyle x+y-2=4 rezultă ecuația x+y=6\displaystyle x+y=6.
    x+y=6\displaystyle x+y=6
  3. Folosim definiția x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3 pentru (x−y)∘1\displaystyle (x-y)\circ 1: (x−y)∘1=(x−y−3)(1−3)+3=(x−y−3)(−2)+3\displaystyle (x-y)\circ 1=(x-y-3)(1-3)+3=(x-y-3)(-2)+3.
    (x−y)∘1=(x−y−3)(−2)+3\displaystyle (x-y)\circ 1=(x-y-3)(-2)+3
  4. Din (x−y−3)(−2)+3=5\displaystyle (x-y-3)(-2)+3=5 rezultă (x−y−3)(−2)=2\displaystyle (x-y-3)(-2)=2. Sistemul devine echivalent cu sistemul de mai jos.
    {x+y=6(x−y−3)(−2)=2\displaystyle \begin{cases}x+y=6\\(x-y-3)(-2)=2\end{cases}
  5. Împărțind a doua ecuație la −2\displaystyle -2 obținem x−y−3=−1\displaystyle x-y-3=-1, adică x−y=2\displaystyle x-y=2.
    x−y=2\displaystyle x-y=2
  6. Adunăm ecuațiile x+y=6\displaystyle x+y=6 și x−y=2\displaystyle x-y=2: 2x=8\displaystyle 2x=8, deci x=4\displaystyle x=4. Apoi y=6−4=2\displaystyle y=6-4=2. Perechea este formată din numere întregi, deci convine.
    {x=4y=2\displaystyle \begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∗→R\displaystyle f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x\displaystyle f(x)=x^3+\frac{3}{x}.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈R∗\displaystyle x\in\mathbb{R}^*.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția ca f(x)=x3+3⋅1x\displaystyle f(x)=x^{3}+3\cdot\dfrac{1}{x}. Derivata unei sume este suma derivatelor, iar constanta 3\displaystyle 3 iese în fața derivatei: f′(x)=(x3)′+3⋅(1x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{3}\right)'+3\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)'.
    f′(x)=(x3)′+3⋅(1x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{3}\right)'+3\cdot\left(\frac{1}{x}\right)'
  2. Aplicăm regula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle \left(x^{n}\right)'=n\cdot x^{n-1} pentru n=3\displaystyle n=3.
    (x3)′=3x2\displaystyle \left(x^{3}\right)'=3x^{2}
  3. Scriem 1x=x−1\displaystyle \dfrac{1}{x}=x^{-1} și aplicăm regula puterii: (x−1)′=−1⋅x−2\displaystyle \left(x^{-1}\right)'=-1\cdot x^{-2}, adică se obține formula pentru inversul lui x\displaystyle x.
    (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}}
  4. Înlocuim în f′(x)=(x3)′+3⋅(1x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{3}\right)'+3\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)' și obținem f′(x)=3x2+3⋅(−1x2)\displaystyle f'(x)=3x^{2}+3\cdot\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right), pentru x∈R∗\displaystyle x\in\mathbb{R}^*.
    f′(x)=3x2−3x2\displaystyle f'(x)=3x^{2}-\frac{3}{x^{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∗→R\displaystyle f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x\displaystyle f(x)=x^3+\frac{3}{x}.

Calculați lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Limita lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul x=1\displaystyle x=1.
    lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)
  2. Derivăm funcția f(x)=x3+3x\displaystyle f(x)=x^{3}+\dfrac{3}{x} termen cu termen, folosind (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2} și (3x)′=−3x2\displaystyle \left(\dfrac{3}{x}\right)'=-\dfrac{3}{x^{2}}.
    f′(x)=3x2−3x2\displaystyle f'(x)=3x^{2}-\frac{3}{x^{2}}
  3. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în expresia derivatei: f′(1)=3⋅12−312=3−3\displaystyle f'(1)=3\cdot 1^{2}-\dfrac{3}{1^{2}}=3-3. Deci limita cerută este 0\displaystyle 0.
    f′(1)=3−3=0\displaystyle f'(1)=3-3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∗→R\displaystyle f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x\displaystyle f(x)=x^3+\frac{3}{x}.

Determinați intervalele de monotonie ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este R∗\displaystyle \mathbb{R}^*. Calculăm derivata, ținând cont că (3x)′=−3x2\displaystyle \left(\dfrac{3}{x}\right)'=-\dfrac{3}{x^{2}} și (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}.
    f′(x)=3x2−3x2\displaystyle f'(x)=3x^{2}-\dfrac{3}{x^{2}}, x∈R∗\displaystyle \ x\in\mathbb{R}^*
  2. Aducem derivata la același numitor și descompunem numărătorul ca diferență de pătrate: x4−1=(x2−1)(x2+1)\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1).
    f′(x)=3(x4−1)x2=3(x−1)(x+1)(x2+1)x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3\left(x^{4}-1\right)}{x^{2}}=\dfrac{3(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Numitorul x2\displaystyle x^{2} este pozitiv pe domeniu, iar x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0 pentru orice x\displaystyle x, deci rămâne x−1=0\displaystyle x-1=0 sau x+1=0\displaystyle x+1=0.
    f′(x)=0⇔x1=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x_1=1, x2=−1\displaystyle \ x_2=-1
  4. Studiem semnul derivei. Factorii x2+1\displaystyle x^{2}+1 și x2\displaystyle x^{2} sunt pozitivi, deci semnul lui f′\displaystyle f' este semnul lui x2−1\displaystyle x^{2}-1. Pe (−∞,−1)\displaystyle (-\infty,-1) și pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, iar pe (−1,0)\displaystyle (-1,0) și pe (0,1)\displaystyle (0,1) avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0.
    f′(x)>0 pe (−∞,−1)∪(1,+∞)\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }(-\infty,-1)\cup(1,+\infty),f′(x)<0 pe (−1,0)∪(0,1)\displaystyle \quad f'(x)<0\text{ pe }(-1,0)\cup(0,1)
  5. Unde f′>0\displaystyle f'>0, funcția este crescătoare. Includem capetele −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1, în care funcția este definită și continuă.
    f cresca˘toare pe (−∞,−1] și pe [1;+∞)\displaystyle f\text{ crescătoare pe }(-\infty,-1]\text{ și pe }[1;+\infty)
  6. Unde f′<0\displaystyle f'<0, funcția este descrescătoare. Intervalele nu se unesc, deoarece 0∉R∗\displaystyle 0\notin\mathbb{R}^*, deci le scriem separat.
    f descresca˘toare pe [−1;0) și pe (0;1]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }[-1;0)\text{ și pe }(0;1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,1]→R\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x2\displaystyle f(x)=x\sqrt{2-x^2}.

Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui f\displaystyle f în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫01f2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 f^2(x)\,dx.
    V=π∫01f2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 f^2(x)\,dx
  2. Calculăm f2(x)=(x2−x2)2=x2(2−x2)\displaystyle f^2(x)=\left(x\sqrt{2-x^2}\right)^2=x^2\left(2-x^2\right), deoarece (2−x2)2=2−x2\displaystyle \left(\sqrt{2-x^2}\right)^2=2-x^2 pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1].
    V=π∫01x2(2−x2)dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 x^2\left(2-x^2\right)dx
  3. Desfacem parantezele: x2(2−x2)=2x2−x4\displaystyle x^2\left(2-x^2\right)=2x^2-x^4.
    V=π∫01(2x2−x4)dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 \left(2x^2-x^4\right)dx
  4. O primitivă a lui 2x2\displaystyle 2x^2 este 2x33\displaystyle \dfrac{2x^3}{3}, iar a lui x4\displaystyle x^4 este x55\displaystyle \dfrac{x^5}{5}. Deci V=π(2x33−x55)∣01\displaystyle V=\pi\left(\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right)\Big|_0^1.
    V=π(2x33−x55)∣01\displaystyle V=\pi\left(\frac{2x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right)\Big|_0^1
  5. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 23−15=1015−315=715\displaystyle \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{10}{15}-\dfrac{3}{15}=\dfrac{7}{15}, iar pentru x=0\displaystyle x=0 valoarea este 0\displaystyle 0.
    V=π(23−15)=π⋅715\displaystyle V=\pi\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\right)=\pi\cdot\frac{7}{15}
  6. Volumul cerut este V=7π15\displaystyle V=\dfrac{7\pi}{15}.
    V=7π15\displaystyle V=\frac{7\pi}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,1]→R\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x2\displaystyle f(x)=x\sqrt{2-x^2}.

Calculați ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2−x2\displaystyle f(x)=x\sqrt{2-x^2} în integrala cerută: ∫01f(x) dx=∫01x2−x2 dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 x\sqrt{2-x^2}\,dx.
    ∫01x2−x2 dx\displaystyle \int_0^1 x\sqrt{2-x^2}\,dx
  2. Alegem substituția t=2−x2\displaystyle t=2-x^2. Atunci dt=−2x dx\displaystyle dt=-2x\,dx, deci x dx=−12 dt\displaystyle x\,dx=-\dfrac{1}{2}\,dt.
    x dx=−12 dt\displaystyle x\,dx=-\frac{1}{2}\,dt
  3. Schimbăm limitele: pentru x=0\displaystyle x=0 obținem t=2−0=2\displaystyle t=2-0=2, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem t=2−1=1\displaystyle t=2-1=1.
    x=0⇒t=2\displaystyle x=0\Rightarrow t=2,x=1⇒t=1\displaystyle \quad x=1\Rightarrow t=1
  4. Înlocuim în integrală: ∫01x2−x2 dx=−12∫21t dt\displaystyle \int_0^1 x\sqrt{2-x^2}\,dx=-\dfrac{1}{2}\int_2^1\sqrt{t}\,dt.
    ∫01x2−x2 dx=−12∫21t dt\displaystyle \int_0^1 x\sqrt{2-x^2}\,dx=-\frac{1}{2}\int_2^1\sqrt{t}\,dt
  5. Inversăm limitele, ceea ce schimbă semnul integralei: −12∫21t dt=12∫12t dt\displaystyle -\dfrac{1}{2}\int_2^1\sqrt{t}\,dt=\dfrac{1}{2}\int_1^2\sqrt{t}\,dt.
    12∫12t dt\displaystyle \frac{1}{2}\int_1^2\sqrt{t}\,dt
  6. O primitivă a lui t=t12\displaystyle \sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}} este t3232=23 tt\displaystyle \dfrac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}\,t\sqrt{t}. Atunci 12∫12t dt=12⋅23 tt∣12=tt3∣12\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_1^2\sqrt{t}\,dt=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\,t\sqrt{t}\Big|_1^2=\dfrac{t\sqrt{t}}{3}\Big|_1^2.
    tt3∣12\displaystyle \frac{t\sqrt{t}}{3}\Big|_1^2
  7. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 223−1⋅13=22−13\displaystyle \dfrac{2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{1\cdot\sqrt{1}}{3}=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{3}.
    22−13\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,1]→R\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x2\displaystyle f(x)=x\sqrt{2-x^2}.

Calculați lim⁡x→0∫0xf(t) dtx2\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(t)\,dt}{x^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm o primitivă a funcției f\displaystyle f. Facem substituția u=2−t2\displaystyle u=2-t^{2}, deci du=−2t dt\displaystyle du=-2t\,dt, adică t dt=−12 du\displaystyle t\,dt=-\dfrac{1}{2}\,du. Atunci ∫t2−t2 dt=−12∫u du=−13uu\displaystyle \int t\sqrt{2-t^{2}}\,dt=-\dfrac{1}{2}\int \sqrt{u}\,du=-\dfrac{1}{3}u\sqrt{u}.
    F(t)=−(2−t2)2−t23\displaystyle F(t)=-\frac{(2-t^{2})\sqrt{2-t^{2}}}{3}
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫0xf(t) dt=F(x)−F(0)\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt=F(x)-F(0). Avem F(0)=−223\displaystyle F(0)=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, deci integrala este calculată.
    ∫0xf(t) dt=223−(2−x2)2−x23\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt=\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{(2-x^{2})\sqrt{2-x^{2}}}{3}
  3. Înlocuim în limită: lim⁡x→0223−(2−x2)2−x23x2\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{(2-x^{2})\sqrt{2-x^{2}}}{3}}{x^{2}}. Numărătorul tinde la 223−223=0\displaystyle \dfrac{2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=0, iar numitorul x2\displaystyle x^{2} tinde la 0\displaystyle 0. Avem nedeterminare de tipul 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, deci aplicăm regula lui l'Hospital.
    00\displaystyle \frac{0}{0}
  4. Derivăm separat numărătorul și numitorul. Avem ((2−x2)3/2)′=322−x2⋅(−2x)\displaystyle \left((2-x^{2})^{3/2}\right)'=\dfrac{3}{2}\sqrt{2-x^{2}}\cdot(-2x). Derivata numărătorului este −13⋅322−x2⋅(−2x)=x2−x2\displaystyle -\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{2}\sqrt{2-x^{2}}\cdot(-2x)=x\sqrt{2-x^{2}}, iar derivata numitorului este (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x.
    lim⁡x→0x2−x22x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x\sqrt{2-x^{2}}}{2x}
  5. Simplificăm cu x≠0\displaystyle x\neq 0 și obținem lim⁡x→02−x22\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}}{2}. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 și rezultă limita cerută.
    lim⁡x→0∫0xf(t) dtx2=22\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(t)\,dt}{x^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.