Bac matematică M2 științe ale naturii 2023, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că numerele

\displaystyle 5-2\sqrt{6}

,

\displaystyle 1

și

\displaystyle 5+\sqrt{24}

sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Vezi rezolvarea

Se observă că $\displaystyle 2\sqrt{6}$ poate fi scris ca radical din $\displaystyle 24$ , pentru a putea folosi formula diferenței de pătrate în produsul primului și ultimului termen.
$\displaystyle 2\sqrt{6}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{24}$
Se calculează produsul dintre primul și ultimul termen ai progresiei, înlocuind $\displaystyle 5-2\sqrt{6}$ cu $\displaystyle 5-\sqrt{24}$ , și se aplică formula diferenței de pătrate $\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ .
$\displaystyle (5-2\sqrt{6})(5+\sqrt{24})=(5-\sqrt{24})(5+\sqrt{24})=5^{2}-\sqrt{24}^{2}$
Se efectuează calculele numerice: $\displaystyle 5^{2}=25$ și $\displaystyle (\sqrt{24})^{2}=24$ , deci produsul este $\displaystyle 25-24=1$ , care este egal cu pătratul termenului din mijloc ( $\displaystyle 1^{2}=1$ ). Cum produsul primului și ultimului termen este egal cu pătratul termenului din mijloc, rezultă că cele trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
$\displaystyle =25-24=1^{2}\text{, deci numerele }5-2\sqrt{6}\text{, }1\text{ și }5+\sqrt{24}\text{ sunt termeni consecutivi }$ $\displaystyle \text{ai unei progresii }$ $\displaystyle \text{geometrice}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=ax+1

, unde

\displaystyle a

este număr real nenul. Determinați numărul real nenul

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle (f\circ f)(1)=1

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia funcției $\displaystyle f$ și se calculează valoarea ei în punctul $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle f(x)=ax+1\Rightarrow f(1)=a\cdot1+1=a+1$
Se calculează $\displaystyle (f\circ f)(1)$ aplicând funcția $\displaystyle f$ valorii obținute anterior, $\displaystyle f(1)=a+1$ .
$\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1))=f(a+1)=a(a+1)+1$
Se pune condiția din enunț, $\displaystyle (f\circ f)(1)=1$ , obținând o ecuație în $\displaystyle a$ .
$\displaystyle a(a+1)+1=1$
Se simplifică ecuația, eliminând termenul $\displaystyle 1$ de pe ambele părți.
$\displaystyle a(a+1)=0$
Se rezolvă ecuația obținută, ținând cont că $\displaystyle a$ este număr real nenul, deci se elimină soluția $\displaystyle a=0$ și rămâne soluția finală.
$\displaystyle a(a+1)=0\text{, deci }a=0\text{ sau }a=-1\text{, iar cum }a\text{ este nenul, obținem }a=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2^{x}\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2-x}=32

.

Vezi rezolvarea

Se scrie baza $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ ca putere a lui $\displaystyle 2$ , folosind faptul că $\displaystyle 4=2^2$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{4}=2^{-2}$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{4}=2^{-2}$
Se ridică la puterea $\displaystyle (2-x)$ expresia obținută, aplicând regula $\displaystyle (a^m)^n=a^{mn}$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{4}\right)^{2-x}=\left(2^{-2}\right)^{2-x}=2^{-2(2-x)}=2^{-4+2x}$
Se înlocuiește în ecuația inițială și se folosește regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, $\displaystyle a^m \cdot a^n=a^{m+n}$ , pentru a scrie $\displaystyle 32$ tot ca putere a lui $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2^{x}\cdot 2^{-4+2x}=32\Rightarrow 2^{x+(-4+2x)}=2^{5}\Rightarrow 2^{3x-4}=2^{5}$
Deoarece bazele sunt egale (și pozitive, diferite de $\displaystyle 1$ ), exponenții trebuie să fie egali, obținându-se ecuația liniară în $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 2^{x}\cdot 2^{-4+2x}=32\Rightarrow 2^{3x-4}=2^{5}\text{, de unde obținem }3x-4=5$
Se rezolvă ecuația liniară obținută: se adună $\displaystyle 4$ în ambii membri, apoi se împarte la $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle 3x-4=5\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3$
Se obține soluția finală a ecuației.
$\displaystyle x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați numărul de submulțimi ordonate, cu câte două elemente, care se pot forma cu elementele mulțimii

\displaystyle M=\{0,1,2,3,4\}

.

Vezi rezolvarea

Se identifică datele problemei: mulțimea M are $\displaystyle 5$ elemente, iar submulțimile ordonate cu câte $\displaystyle 2$ elemente reprezintă de fapt aranjamente, deoarece ordinea elementelor contează.
$\displaystyle M=\{0,1,2,3,4\}$ , $\displaystyle \text{ } n=5$ , $\displaystyle \text{ } k=2$
Se scrie formula numărului de aranjamente de n elemente luate câte k, aplicată pentru $\displaystyle n=5$ și $\displaystyle k=2$ .
$\displaystyle A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}\Rightarrow A_{5}^{2}=\dfrac{5!}{(5-2)!}$
Se calculează diferența de la numitor: $\displaystyle 5-2=3$ , obținându-se forma cerută în barem.
$\displaystyle A_{5}^{2}=\dfrac{5!}{3!}=$
Se dezvoltă factorialul de la numărător pentru a putea simplifica cu $\displaystyle 3!$ de la numitor.
$\displaystyle \dfrac{5!}{3!}=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!}$
Se simplifică factorul $\displaystyle 3!$ de la numărător cu cel de la numitor, rămânând produsul $\displaystyle 5$ cu $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle \dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!}=5\cdot 4$
Se efectuează înmulțirea și se obține rezultatul final, numărul de submulțimi ordonate cu câte $\displaystyle 2$ elemente din M.
$\displaystyle =4\cdot 5=20$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-2,1)

și

\displaystyle B(2,5)

. Determinați ecuația dreptei

\displaystyle d

care trece prin punctul

\displaystyle B

și este perpendiculară pe dreapta

\displaystyle AB

.

Vezi rezolvarea

Se calculează panta dreptei $\displaystyle AB$ folosind formula pantei pentru două puncte date.
$\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5-1}{2-(-2)}=\dfrac{4}{4}=1$
Se folosește condiția de perpendicularitate dintre două drepte, produsul pantelor fiind $\displaystyle -1$ , pentru a determina panta dreptei d.
$\displaystyle m_{AB}=1\text{ și, cum }d\perp AB\text{, obținem }m_{d}=-1$
Se scrie ecuația dreptei d care trece prin punctul $\displaystyle B(2,5)$ și are panta $\displaystyle m_d$ , folosind formula ecuației dreptei printr-un punct cu pantă dată.
$\displaystyle y-y_B=m_{d}(x-x_B)\Rightarrow y-5=-1(x-2)$
Se aduce ecuația la forma explicită, obținându-se ecuația finală a dreptei d.
$\displaystyle y-5=-1(x-2)\text{, adică }y=-x+7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle (\text{tg}\,x+1)(\text{ctg}\,x-1)=2\,\text{ctg}\,2x

, pentru orice

\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)

.

Vezi rezolvarea

Se scriu condițiile de existență și se exprimă tangenta și cotangenta lui x în funcție de sinus și cosinus, știind că pentru $\displaystyle x \in (0, \pi/2)$ avem $\displaystyle \sin x \neq 0$ și $\displaystyle \cos x \neq 0$ .
$\displaystyle \text{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ , $\displaystyle \ \text{ctg}\,x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ , $\displaystyle \text{ cu }\sin x\neq 0$ , $\displaystyle \ \cos x\neq 0$
Se înlocuiește $\displaystyle \operatorname{tg} x$ și $\displaystyle \operatorname{ctg} x$ în expresia dată, obținând produsul a două fracții.
$\displaystyle (\text{tg}\,x+1)(\text{ctg}\,x-1)=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}+1\right)\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}-1\right)$
Se efectuează înmulțirea celor două paranteze, desfășurând termen cu termen.
$\displaystyle \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}+1\right)\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}-1\right)=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}-1$
Se simplifică primul termen (produsul tangentei cu cotangenta este $\displaystyle 1$ ) și se reduc termenii constanți, rămânând diferența dintre cotangentă și tangentă.
$\displaystyle =1-\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}-1=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}$
Se aduce expresia la același numitor comun, obținând forma cerută de primul pas de control din barem.
$\displaystyle (\text{tg}\,x+1)(\text{ctg}\,x-1)=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}+1\right)\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}-1\right)=\dfrac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\cos x\sin x}=$
Se folosesc formulele unghiului dublu: $\displaystyle \cos 2x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ și $\displaystyle \sin 2x = 2 \sin x \cos x$ , de unde $\displaystyle \sin x \cos x = \dfrac{1}{2} \sin 2x$ .
$\displaystyle \cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$ , $\displaystyle \quad \sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\sin 2x$
Se înlocuiesc aceste expresii în fracție, se simplifică raportul și se obține rezultatul final, valabil pentru orice $\displaystyle x$ din intervalul dat.
$\displaystyle =\dfrac{\cos 2x}{\dfrac{1}{2}\sin 2x}=2\,\text{ctg}\,2x\text{, pentru orice }x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1 & a+1\\ 1 & a & -1\\ 2 & -a & 4\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\begin{cases}ax+y+(a+1)z=a\\ x+ay-z=4\\ 2x-ay+4z=-4\end{cases}

unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(1))=-9

.

Vezi rezolvarea

Se înlocuiește $\displaystyle a=1$ în matricea $\displaystyle A(a)$ , obținând matricea $\displaystyle A(1)$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 4\end{pmatrix}$
Se scrie determinantul matricei $\displaystyle A(1)$ , care urmează să fie calculat prin regula lui Sarrus.
$\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 4\end{vmatrix}$
Se aplică regula lui Sarrus: se rescriu primele două coloane după determinant și se formează cele șase produse diagonale (trei cu semn plus, trei cu semn minus).
$\displaystyle \det(A(1))=(1\cdot 1\cdot 4+1\cdot(-1)\cdot 2+2\cdot 1\cdot(-1))-(2\cdot 1\cdot 2+(-1)\cdot(-1)\cdot 1+4\cdot 1\cdot 1)$
Se calculează fiecare produs în parte, obținându-se termenii numerici din sumă.
$\displaystyle \det(A(1))=(4-2-2)-(4+1+4)$
Se scriu toți termenii cu semnele corespunzătoare și se efectuează suma, obținând valoarea determinantului.
$\displaystyle =4-2-2-4-1-4=-9$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1 & a+1\\ 1 & a & -1\\ 2 & -a & 4\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\begin{cases}ax+y+(a+1)z=a\\ x+ay-z=4\\ 2x-ay+4z=-4\end{cases}

unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui

\displaystyle a

pentru care sistemul are soluție unică.

Vezi rezolvarea

Se scrie matricea sistemului asociată necunoscutelor $\displaystyle x, y, z$ , care coincide cu $\displaystyle A(a)$ , și se pregătește calculul determinantului prin dezvoltare după prima linie.
$\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a & 1 & a+1\\ 1 & a & -1\\ 2 & -a & 4\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}a & -1\\ -a & 4\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1 & -1\\ 2 & 4\end{vmatrix}+(a+1)\begin{vmatrix}1 & a\\ 2 & -a\end{vmatrix}$
Se calculează cei trei determinanți de ordin doi obținuți prin dezvoltare.
$\displaystyle \begin{vmatrix}a & -1\\ -a & 4\end{vmatrix}=4a-a=3a$ , $\displaystyle \quad \begin{vmatrix}1 & -1\\ 2 & 4\end{vmatrix}=4+2=6$ , $\displaystyle \quad \begin{vmatrix}1 & a\\ 2 & -a\end{vmatrix}=-a-2a=-3a$
Se înlocuiesc valorile calculate în expresia dezvoltării determinantului și se efectuează înmulțirile.
$\displaystyle \det(A(a))=a\cdot 3a-1\cdot 6+(a+1)\cdot(-3a)=3a^{2}-6-3a^{2}-3a$
Se reduc termenii asemenea și se obține forma finală a determinantului, valabilă pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \det(A(a))=-3a-6\text{, pentru orice număr real }a$
Se pune condiția ca determinantul sistemului să fie nenul (condiție necesară și suficientă, pentru sistem de tip Cramer, ca sistemul să aibă soluție unică) și se rezolvă ecuația $\displaystyle \det(A(a))=0$ .
$\displaystyle \det(A(a))=0\Leftrightarrow -3a-6=0\Leftrightarrow a=-2$
Se conclude mulțimea valorilor lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică, excluzând valoarea găsită mai sus.
$\displaystyle \det(A(a))=0\Leftrightarrow a=-2\text{; sistemul de ecuații are }$ $\displaystyle \text{soluție unică}\Leftrightarrow a\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1 & a+1\\ 1 & a & -1\\ 2 & -a & 4\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\begin{cases}ax+y+(a+1)z=a\\ x+ay-z=4\\ 2x-ay+4z=-4\end{cases}

unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că, dacă sistemul are soluția unică

\displaystyle (x_{0}, y_{0}, z_{0})

, atunci

\displaystyle x_{0}+y_{0}+z_{0}=2

.

Vezi rezolvarea

Adunăm ecuațiile a doua și a treia ale sistemului, pentru a elimina termenii cu y și cu a: $\displaystyle (x+ay-z)+(2x-ay+4z)=4+(-4)$ .
$\displaystyle 3x_{0}+3z_{0}=0$
Simplificăm prin $\displaystyle 3$ relația obținută, obținând legătura dintre $\displaystyle x_0$ și $\displaystyle z_0$ , conform primului pas de control.
$\displaystyle x_{0}+z_{0}=0$
Înlocuim $\displaystyle x_0=-z_0$ (din pasul anterior) în prima ecuație a sistemului: $\displaystyle a(-z_0)+y_0+(a+1)z_0=a$ , adică $\displaystyle -az_0+y_0+az_0+z_0=a$ .
$\displaystyle y_{0}+z_{0}=a$
Înlocuim $\displaystyle x_0=-z_0$ în a doua ecuație a sistemului: $\displaystyle (-z_0)+ay_0-z_0=4$ , adică $\displaystyle ay_0-2z_0=4$ .
$\displaystyle ay_{0}-2z_{0}=4$
Din relația $\displaystyle y_0+z_0=a$ exprimăm $\displaystyle z_0=a-y_0$ și îl înlocuim în $\displaystyle ay_0-2z_0=4$ , obținând $\displaystyle ay_0-2a+2y_0=4$ , adică $\displaystyle (a+2)y_0=2a+4=2(a+2)$ , deci $\displaystyle (a+2)(y_0-2)=0$ .
$\displaystyle (a+2)(y_{0}-2)=0$
Deoarece $\displaystyle a \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ , factorul $\displaystyle (a+2)$ este nenul, deci trebuie ca celălalt factor să fie zero, de unde obținem valoarea lui $\displaystyle y_0$ .
$\displaystyle y_{0}=2$
Calculăm $\displaystyle z_0$ din $\displaystyle y_0+z_0=a$ , apoi $\displaystyle x_0$ din $\displaystyle x_0+z_0=0$ : $\displaystyle z_0=a-y_0=a-2$ , iar $\displaystyle x_0=-z_0=2-a$ .
$\displaystyle z_{0}=a-2\text{, }x_{0}=2-a$
Sintetizăm toate rezultatele obținute pentru a scrie concluzia finală conform pasului de control din barem: relațiile $\displaystyle y_0+z_0=a$ și $\displaystyle ay_0-2z_0=4$ conduc la $\displaystyle (a+2)(y_0-2)=0$ , iar cum $\displaystyle a$ este diferit de $\displaystyle -2$ , rezultă $\displaystyle y_0=2$ , deci suma $\displaystyle x_0+y_0+z_0$ este.
$\displaystyle y_{0}+z_{0}=a\text{, }ay_{0}-2z_{0}=4\text{, deci }(a+2)(y_{0}-2)=0\text{ și, cum }a\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}\text{, obținem }y_{0}=2\text{, deci }x_{0}+y_{0}+z_{0}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^{3}-3X^{2}+2X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Pentru

\displaystyle m=6

, arătați că

\displaystyle f(-1)=0

.

Vezi rezolvarea

Se înlocuiește valoarea dată a parametrului, $\displaystyle m=6$ , în expresia polinomului.
$\displaystyle f=X^{3}-3X^{2}+2X+6$
Se calculează valoarea polinomului în $\displaystyle x=-1$ , înlocuind X cu -1 în expresia obținută.
$\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}+2(-1)+6=$
Se calculează fiecare putere și produs, apoi se efectuează adunările și scăderile pentru a obține valoarea finală.
$\displaystyle =-1-3-2+6=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^{3}-3X^{2}+2X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care polinomul

\displaystyle f

este divizibil cu polinomul

\displaystyle g=X^{2}+2

.

Vezi rezolvarea

Se efectuează împărțirea polinomului $\displaystyle f$ la $\displaystyle g$ , aplicând algoritmul de împărțire a polinoamelor. Primul termen al câtului se obține împărțind termenul de grad maxim al lui $\displaystyle f$ la termenul de grad maxim al lui $\displaystyle g$ : $\displaystyle X^{3}:X^{2}=X$ .
$\displaystyle X^{3}:X^{2}=X$
Se înmulțește acest termen cu $\displaystyle g$ și se scade rezultatul din $\displaystyle f$ pentru a obține primul rest parțial: $\displaystyle \left(X^{3}-3X^{2}+2X+m\right)-X\left(X^{2}+2\right)=-3X^{2}+m$ .
$\displaystyle -3X^{2}+m$
Se continuă împărțirea: se împarte termenul de grad maxim al restului parțial la termenul de grad maxim al lui $\displaystyle g$ , obținându-se al doilea termen al câtului: $\displaystyle -3X^{2}:X^{2}=-3$ .
$\displaystyle -3X^{2}:X^{2}=-3$
Se înmulțește acest termen cu $\displaystyle g$ și se scade rezultatul din restul parțial pentru a obține restul final al împărțirii: $\displaystyle \left(-3X^{2}+m\right)-\left(-3\right)\left(X^{2}+2\right)=m+6$ .
$\displaystyle m+6$
Astfel, câtul obținut este $\displaystyle X-3$ , iar restul este $\displaystyle 6+m$ , deci putem scrie $\displaystyle f$ sub forma de mai jos, valabilă pentru orice număr real $\displaystyle m$ .
$\displaystyle f=(X-3)(X^{2}+2)+6+m\text{, pentru orice număr real }m$
Polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle g$ dacă și numai dacă restul împărțirii este egal cu zero, adică $\displaystyle 6+m=0$ , de unde se obține valoarea lui $\displaystyle m$ .
$\displaystyle f\text{ este divizibil cu }$ $\displaystyle \text{polinomul }g\text{ dacă }6+m=0\text{, de unde obținem }m=-6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^{3}-3X^{2}+2X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=0

, unde

\displaystyle x_{1}

,

\displaystyle x_{2}

și

\displaystyle x_{3}

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se scriu relațiile lui Viète pentru polinomul $\displaystyle f=X^{3}-3X^{2}+2X+m$ , cu rădăcinile $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ : suma rădăcinilor este egală cu opusul coeficientului lui $\displaystyle X^2$ (coeficientul dominant fiind $\displaystyle 1$ ), suma produselor două câte două este egală cu coeficientul lui $\displaystyle X$ , iar produsul rădăcinilor este opusul termenului liber.
$\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=3\text{, }\;x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=2\text{, }\;x_{1}x_{2}x_{3}=-m$
Se calculează $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2$ folosind identitatea $\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)$ , de unde se izolează suma pătratelor.
$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})=3^{2}-2\cdot2=9-4=5$
Se calculează suma cuburilor rădăcinilor folosind identitatea $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3-3x_1x_2x_3=(x_1+x_2+x_3)\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2-x_2x_3-x_3x_1\right)$ , înlocuind valorile obținute anterior.
$\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=3x_{1}x_{2}x_{3}+(x_{1}+x_{2}+x_{3})\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{1}x_{2}-x_{2}x_{3}-x_{3}x_{1}\right)=3(-m)+3(5-2)=9-3m$
Se centralizează rezultatele obținute pentru sumele de puteri ale rădăcinilor, valabile pentru orice număr real $\displaystyle m$ , conform primului pas de control din barem.
$\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=3\text{ și }x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=2\text{, deci }x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5\text{ și }x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=9-3m\text{, pentru orice număr real }m$
Se pune condiția din enunț, ca suma cuburilor rădăcinilor să fie egală cu zero (condiția impusă asupra rădăcinilor polinomului), obținând o ecuație în $\displaystyle m$ .
$\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=0\;\Rightarrow\;9-3m=0$
Se rezolvă ecuația obținută și se determină valoarea lui $\displaystyle m$ .
$\displaystyle 9-3m=0\text{, deci }m=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{2x+1}{2e^{x}\sqrt{x+1}}

,

\displaystyle x\in(-1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Se identifică structura funcției ca sumă dintre $\displaystyle x$ și un cât de două funcții derivabile, apoi se aplică regula de derivare a sumei: derivata lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle 1$ , iar restul se derivează folosind regula câtului.
$\displaystyle f'(x)=1+\left(\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}\right)'$
Se calculează derivatele funcțiilor $\displaystyle u(x)=\sqrt{x+1}$ și $\displaystyle v(x)=e^{x}$ care intervin în regula câtului.
$\displaystyle u(x)=\sqrt{x+1}\Rightarrow u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\text{, }v(x)=e^{x}\Rightarrow v'(x)=e^{x}$
Se aplică regula câtului: $\displaystyle (u/v)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ , obținându-se forma derivatei funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot e^{x}-\sqrt{x+1}\cdot e^{x}}{e^{2x}}=$
Se dă factor comun $\displaystyle e^{x}$ la numărător, apoi se simplifică cu $\displaystyle e^{x}$ de la numitor, reducând puterea lui $\displaystyle e$ la exponentul $\displaystyle x$ .
$\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{e^{x}\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}\right)}{e^{2x}}=1+\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}}{e^{x}}$
Se aduce expresia de la numărător la un numitor comun $\displaystyle 2\sqrt{x+1}$ , scriind $\displaystyle \sqrt{x+1}$ ca $\displaystyle \dfrac{2(x+1)}{2\sqrt{x+1}}$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}=\dfrac{1-2(x+1)}{2\sqrt{x+1}}=\dfrac{1-2x-2}{2\sqrt{x+1}}$
Se înlocuiește expresia obținută în derivata lui $\displaystyle f$ , rezultând forma finală simplificată, valabilă pe tot domeniul de definiție.
$\displaystyle =1+\dfrac{1-2x-2}{2e^{x}\sqrt{x+1}}=1-\dfrac{2x+1}{2e^{x}\sqrt{x+1}}\text{, }x\in(-1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}

.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se reamintește definiția asimptotei oblice: dreapta $\displaystyle y=mx+n$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ pentru graficul lui $\displaystyle f$ dacă există și sunt finite limitele $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ și $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty} (f(x)-mx)$ . Deoarece $\displaystyle f$ este definită pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ , se studiază doar comportarea la $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle y=mx+n$ , $\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ , $\displaystyle \quad n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)$
Se scrie expresia $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}$ și se separă termenul rațional de cel exponențial, pregătind calculul limitei pentru panta $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x+\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}}{x}=1+\dfrac{\sqrt{x+1}}{x\cdot e^{x}}$
Se rescrie fracția $\displaystyle \dfrac{\sqrt{x+1}}{x e^x}$ sub forma $\displaystyle \dfrac{1}{e^x}\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}$ , prin ridicare la pătrat sub radical a lui $\displaystyle x$ , pentru a evidenția factorii care tind la $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{x+1}}{x\,e^{x}}=\dfrac{1}{e^{x}}\sqrt{\dfrac{x+1}{x^{2}}}=\dfrac{1}{e^{x}}\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}$
Se calculează limita pantei $\displaystyle m$ : cum $\displaystyle \dfrac{1}{e^x}\to 0$ și $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}\to 0$ pentru $\displaystyle x\to+\infty$ , produsul lor tinde la $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle m=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{e^{x}}\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}\right)=1$
Se calculează ordonata $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)$ . Deoarece $\displaystyle f(x)-x=\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^x}$ , se obține o limită de tipul $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , tratabilă cu regula lui L'Hopital.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}$
Se aplică regula lui L'Hopital: se derivează separat numărătorul și numitorul. Derivata lui $\displaystyle \sqrt{x+1}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$ , iar derivata lui $\displaystyle e^x$ este $\displaystyle e^x$ , obținându-se o nouă expresie a limitei.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\left(\sqrt{x+1}\right)'}{\left(e^{x}\right)'}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2e^{x}\sqrt{x+1}}$
Se evaluează limita finală: cum $\displaystyle e^x\to+\infty$ și $\displaystyle \sqrt{x+1}\to+\infty$ pentru $\displaystyle x\to+\infty$ , produsul de la numitor tinde la $\displaystyle +\infty$ , deci $\displaystyle n=0$ . Se concluzionează că dreapta $\displaystyle y=x$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2e^{x}\sqrt{x+1}}=0\text{, deci dreapta de ecuație }y=x\text{ este asimptotă oblică }$ $\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}

.

Demonstrați că

\displaystyle f(x)-x\leq\sqrt{\dfrac{e}{2}}

, pentru orice

\displaystyle x\in(-1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Se definește funcția diferență $\displaystyle g(x) = f(x) - x$ , care izolează partea cu radical și exponențială din f, și se scrie sub formă de produs pentru a putea deriva ușor.
$\displaystyle g:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\text{, }g(x)=f(x)-x=\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}=(x+1)^{1/2}\cdot e^{-x}$
Se derivează g folosind regula produsului: derivata lui $\displaystyle (x+1)^{1/2}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$ , iar derivata lui $\displaystyle e^{-x}$ este $\displaystyle -e^{-x}$ .
$\displaystyle g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot e^{-x}+\sqrt{x+1}\cdot(-e^{-x})=e^{-x}\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}\right)$
Se aduce expresia din paranteză la același numitor, obținându-se forma finală a derivatei lui g.
$\displaystyle g'(x)=e^{-x}\cdot\dfrac{1-2(x+1)}{2\sqrt{x+1}}=e^{-x}\cdot\dfrac{-2x-1}{2\sqrt{x+1}}=-\dfrac{2x+1}{2e^{x}\sqrt{x+1}}$
Se rezolvă ecuația $\displaystyle g'(x)=0$ , observând că numitorul este strict pozitiv pe domeniul $\displaystyle (-1,+\infty)$ , deci semnul lui $\displaystyle g'$ este dat de semnul numărătorului $\displaystyle -(2x+1)$ .
$\displaystyle g:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\text{, }g(x)=f(x)-x\Rightarrow g'(x)=-\dfrac{2x+1}{2e^{x}\sqrt{x+1}}\text{; }g'(x)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$
Se studiază semnul lui $\displaystyle g'(x)$ pe cele două subintervale determinate de punctul critic $\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}$ , folosind semnul expresiei $\displaystyle -(2x+1)$ .
$\displaystyle \text{Pentru }x\in\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right]\text{: }2x+1\leq0\Rightarrow g'(x)\geq0\text{; pentru }x\in\left[-\dfrac{1}{2},+\infty\right)\text{: }2x+1\geq0\Rightarrow g'(x)\leq0$
Din semnul derivatei se deduce monotonia lui g pe cele două subintervale, deci $\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}$ este punct de maxim (global) pentru g pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ .
$\displaystyle g\text{ este crescătoare pe }\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right]\text{ și descrescătoare pe }\left[-\dfrac{1}{2},+\infty\right)\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\text{ este punct de maxim }$ $\displaystyle \text{pentru }g$
Se calculează valoarea maximă a lui g, adică $\displaystyle g(-1/2)$ , înlocuind $\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}$ în expresia inițială a lui g.
$\displaystyle g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{-\dfrac{1}{2}+1}}{e^{-1/2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\cdot e^{1/2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}\cdot e}=\sqrt{\dfrac{e}{2}}$
Cum $\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}$ este punct de maxim global pentru g pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ , rezultă că $\displaystyle g(x)\leq g(-1/2)$ pentru orice x din domeniu, adică inegalitatea cerută pentru $\displaystyle f(x)-x$ .
$\displaystyle g'(x)\geq0\text{ pentru orice }x\in\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right]\Rightarrow g\text{ este crescătoare pe }\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right]\text{, }g'(x)\leq0\text{ pentru orice }x\in\left[-\dfrac{1}{2},+\infty\right)\Rightarrow g\text{ este descrescătoare pe }\left[-\dfrac{1}{2},+\infty\right)\text{, deci }g(x)\leq g\left(-\dfrac{1}{2}\right)\text{ pentru orice }x\in(-1,+\infty)\text{ și, cum }g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{e}{2}}\text{, obținem }f(x)-x\leq\sqrt{\dfrac{e}{2}}\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^{2}+x\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2}3\big(f(x)-x\ln x\big)\,dx=7

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia lui $\displaystyle f(x)$ și se calculează diferența $\displaystyle f(x) - x\cdot \ln x$ , pentru a simplifica integrandul.
$\displaystyle f(x)-x\ln x = x^{2}+x\ln x - x\ln x = x^{2}$
Se înlocuiește expresia simplificată în integrala dată, obținând o integrală de forma constantă ori $\displaystyle x$ la puterea a doua.
$\displaystyle \int_{1}^{2}3(f(x)-x\ln x)\,dx=\int_{1}^{2}3x^{2}\,dx$
Se determină o primitivă a funcției $\displaystyle 3x^{2}$ , folosind formula de integrare a puterilor: o primitivă este $\displaystyle x^{3}$ .
$\displaystyle \int 3x^{2}\,dx = x^{3}+C$
Se scrie integrala definită folosind primitiva găsită, aplicând formula Leibniz-Newton între limitele $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \int_{1}^{2}3(f(x)-x\ln x)\,dx=\int_{1}^{2}3x^{2}\,dx=x^{3}\Big|_{1}^{2}=$
Se evaluează primitiva la capetele intervalului și se calculează diferența pentru a obține valoarea finală a integralei.
$\displaystyle =8-1=7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^{2}+x\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{f(x)}{x^{3}}\,dx=2\left(1-\dfrac{1}{e}\right)

.

Vezi rezolvarea

Descompunem raportul $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^{3}}$ , scriind $\displaystyle f(x)=x^{2}+x\ln x$ , pentru a obține o sumă de doi termeni mai simpli de integrat.
$\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^{3}}=\dfrac{x^{2}+x\ln x}{x^{3}}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x^{2}}$
Scriem integrala cerută ca sumă a două integrale, corespunzătoare celor doi termeni obținuți prin descompunere.
$\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{f(x)}{x^{3}}\,dx=\int_{1}^{e}\dfrac{1}{x}\,dx+\int_{1}^{e}\dfrac{\ln x}{x^{2}}\,dx$
Pregătim a doua integrală pentru metoda integrării prin părți, observând că $\displaystyle \frac{1}{x^2}$ este derivata funcției $\displaystyle -\frac{1}{x}$ , deci alegem $\displaystyle u=\ln x$ și $\displaystyle dv=\left(-\frac{1}{x}\right)'dx$ .
$\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{\ln x}{x^{2}}\,dx=\int_{1}^{e}\left(-\dfrac{1}{x}\right)'\ln x\,dx$ , $\displaystyle \quad u=\ln x$ , $\displaystyle \ v=-\dfrac{1}{x}$ , $\displaystyle \ du=\dfrac{1}{x}dx$
Aplicăm formula de integrare prin părți, $\displaystyle uv|_{1}^{e} - \int v\,du$ , ținând cont că $\displaystyle v\,du = -\dfrac{1}{x^{2}}dx$ , ceea ce schimbă semnul integralei rezultate.
$\displaystyle \int_{1}^{e}\left(-\dfrac{1}{x}\right)'\ln x\,dx=-\dfrac{\ln x}{x}\Big|_{1}^{e}+\int_{1}^{e}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx$
Combinăm rezultatele celor două integrale ( $\displaystyle \int\dfrac{1}{x} dx = \ln x$ , respectiv integrarea prin părți pentru a doua integrală), obținând forma completă cerută de barem.
$\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{f(x)}{x^{3}}\,dx=\int_{1}^{e}\dfrac{1}{x}\,dx+\int_{1}^{e}\left(-\dfrac{1}{x}\right)'\ln x\,dx=\ln x\Big|_{1}^{e}-\dfrac{\ln x}{x}\Big|_{1}^{e}+\int_{1}^{e}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx=$
Evaluăm termenii obținuți: $\displaystyle \ln x|_{1}^{e} = 1-0=1$ , iar $\displaystyle \dfrac{\ln x}{x}|_{1}^{e} = \dfrac{1}{e} - 0 = \dfrac{1}{e}$ ; ultima integrală se calculează ca antiderivată $\displaystyle -\dfrac{1}{x}$ , evaluată de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle e$ , obținând rezultatul final simplificat.
$\displaystyle =1-\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{x}\Big|_{1}^{e}=2-\dfrac{2}{e}=2\left(1-\dfrac{1}{e}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^{2}+x\ln x

.

Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției

\displaystyle g:[1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=\dfrac{x+1}{f(x)}

, axa

\displaystyle Ox

și dreptele de ecuații

\displaystyle x=1

și

\displaystyle x=e

are aria strict mai mare decât

\displaystyle 1

.

Vezi rezolvarea

Se analizează semnul funcției de la numitor, $\displaystyle f(x)=x^{2}+x\ln x$ , pe intervalul $\displaystyle [1,e]$ : pentru $\displaystyle x\in[1,e]$ avem $\displaystyle x^{2}>0$ și $\displaystyle \ln x\geq0$ (deoarece $\displaystyle x\geq1$ ), deci $\displaystyle x\ln x\geq0$ .
$\displaystyle f(x)=x^{2}+x\ln x>0\text{, pentru orice }x\in[1,e]$
Se observă că și numărătorul este pozitiv pe intervalul dat, deoarece $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle x+1>0\text{, pentru orice }x\in[1,e]$
Din pozitivitatea numărătorului și numitorului rezultă că $\displaystyle g(x)\geq0$ pe $\displaystyle [1,e]$ , deci modulul se poate elimina, iar aria $\displaystyle \mathcal{A}$ se scrie ca integrala lui $\displaystyle g$ .
$\displaystyle g(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}+x\ln x}\geq0\text{, pentru orice }x\in[1,e]\text{, deci }\mathcal{A}=\int_{1}^{e}|g(x)|\,dx=\int_{1}^{e}\dfrac{x+1}{x^{2}+x\ln x}\,dx$
Se scoate factor comun $\displaystyle x$ la numitor, pentru a pregăti simplificarea fracției.
$\displaystyle x^{2}+x\ln x=x\left(x+\ln x\right)$
Se scrie fracția $\displaystyle \dfrac{x+1}{x(x+\ln x)}$ ca produs de doi factori, separând $\displaystyle \dfrac{x+1}{x}$ .
$\displaystyle \dfrac{x+1}{x^{2}+x\ln x}=\dfrac{x+1}{x}\cdot\dfrac{1}{x+\ln x}=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\cdot\dfrac{1}{x+\ln x}$
Se observă că expresia $\displaystyle 1+\dfrac{1}{x}$ este exact derivata funcției $\displaystyle x+\ln x$ , deci integrandul are forma $\displaystyle \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ cu $\displaystyle u(x)=x+\ln x$ .
$\displaystyle (x+\ln x)'=1+\dfrac{1}{x}\text{, deci }\dfrac{x+1}{x^{2}+x\ln x}=\dfrac{(x+\ln x)'}{x+\ln x}$
Se integrează folosind formula $\displaystyle \int \dfrac{u'(x)}{u(x)}dx=\ln|u(x)|+C$ și se aplică limitele de integrare.
$\displaystyle \int_{1}^{e}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\cdot\dfrac{1}{x+\ln x}\,dx=\int_{1}^{e}(x+\ln x)'\cdot\dfrac{1}{x+\ln x}\,dx=\ln(x+\ln x)\Big|_{1}^{e}$
Se calculează valorile expresiei $\displaystyle x+\ln x$ la capetele intervalului: pentru $\displaystyle x=e$ se obține $\displaystyle e+\ln e=e+1$ , iar pentru $\displaystyle x=1$ se obține $\displaystyle 1+\ln 1=1$ .
$\displaystyle \ln(e+\ln e)-\ln(1+\ln 1)=\ln(e+1)-\ln 1=\ln(e+1)$
Se compară rezultatul obținut cu $\displaystyle 1=\ln e$ , folosind monotonia strict crescătoare a funcției logaritm natural, deoarece $\displaystyle e+1>e$ .
$\displaystyle =\int_{1}^{e}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\cdot\dfrac{1}{x+\ln x}\,dx=\int_{1}^{e}(x+\ln x)'\cdot\dfrac{1}{x+\ln x}\,dx=\ln(x+\ln x)\Big|_{1}^{e}=\ln(e+1)>\ln e=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2023, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani