Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 19: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numerele raționale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că 12−1+13+8=a+b2.\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}=a+b\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Raționalizăm prima fracție, amplificând cu conjugata numitorului, 2+1\displaystyle \sqrt{2}+1. Numitorul devine (2−1)(2+1)=2−1=1\displaystyle (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=2-1=1.
    12−1=2+12−1=2+1\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1
  2. Scriem 8=22\displaystyle \sqrt{8}=2\sqrt{2}, deci numitorul este 3+22\displaystyle 3+2\sqrt{2}. Amplificăm cu conjugata 3−22\displaystyle 3-2\sqrt{2}, iar numitorul devine 9−8=1\displaystyle 9-8=1.
    13+22=3−229−8=3−22\displaystyle \frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}
  3. Adunăm cele două rezultate și reducem termenii asemenea: 2+1+3−22=4−2\displaystyle \sqrt{2}+1+3-2\sqrt{2}=4-\sqrt{2}.
    2+1+3−22=4−2\displaystyle \sqrt{2}+1+3-2\sqrt{2}=4-\sqrt{2}
  4. Comparăm 4−2\displaystyle 4-\sqrt{2} cu a+b2\displaystyle a+b\sqrt{2}. Deoarece 2\displaystyle \sqrt{2} este irațional, iar a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt raționali, identificăm partea rațională și coeficientul lui 2\displaystyle \sqrt{2}: a=4\displaystyle a=4 și b=−1\displaystyle b=-1.
    a=4 și b=−1\displaystyle a=4\text{ și }b=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x^2+1}. Arătați că f(2020)+f(12020)=3\displaystyle f(2020)+f\left(\frac{1}{2020}\right)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2020)\displaystyle f(2020) înlocuind x\displaystyle x cu 2020\displaystyle 2020 în formula funcției.
    f(2020)=20202+220202+1\displaystyle f(2020)=\frac{2020^{2}+2}{2020^{2}+1}
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 12020\displaystyle \dfrac{1}{2020} în formula funcției: la numărător și la numitor apare (12020)2=120202\displaystyle \left(\dfrac{1}{2020}\right)^{2}=\dfrac{1}{2020^{2}}.
    f(12020)=120202+2120202+1\displaystyle f\left(\frac{1}{2020}\right)=\frac{\frac{1}{2020^{2}}+2}{\frac{1}{2020^{2}}+1}
  3. Amplificăm fracția cu 20202\displaystyle 2020^{2}, ca să scăpăm de fracțiile din numărător și numitor: numărătorul devine 1+2⋅20202\displaystyle 1+2\cdot 2020^{2}, iar numitorul 1+20202\displaystyle 1+2020^{2}.
    f(12020)=2⋅20202+120202+1\displaystyle f\left(\frac{1}{2020}\right)=\frac{2\cdot 2020^{2}+1}{2020^{2}+1}
  4. Adunăm cele două valori, care au același numitor 20202+1\displaystyle 2020^{2}+1. La numărător obținem 20202+2+2⋅20202+1=3⋅20202+3=3(20202+1)\displaystyle 2020^{2}+2+2\cdot 2020^{2}+1=3\cdot 2020^{2}+3=3(2020^{2}+1), iar apoi simplificăm fracția.
    f(2020)+f(12020)=20202+2+2⋅20202+120202+1=3(20202+1)20202+1=3\displaystyle f(2020)+f\left(\frac{1}{2020}\right)=\frac{2020^{2}+2+2\cdot 2020^{2}+1}{2020^{2}+1}=\frac{3(2020^{2}+1)}{2020^{2}+1}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−42x+32=−7\displaystyle 4^x-4^{\frac{2x+3}{2}}=-7.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem puterile cu baza 2. Avem 4=22\displaystyle 4=2^{2}, deci 4x=22x\displaystyle 4^{x}=2^{2x}, iar 42x+32=22⋅2x+32=22x+3\displaystyle 4^{\frac{2x+3}{2}}=2^{2\cdot\frac{2x+3}{2}}=2^{2x+3}.
    4x=22x și 42x+32=22x+3\displaystyle 4^{x}=2^{2x}\text{ și }4^{\frac{2x+3}{2}}=2^{2x+3}
  2. Înlocuim în ecuație și obținem 22x−22x+3=−7\displaystyle 2^{2x}-2^{2x+3}=-7.
    22x−22x+3=−7\displaystyle 2^{2x}-2^{2x+3}=-7
  3. Folosim 22x+3=22x⋅23\displaystyle 2^{2x+3}=2^{2x}\cdot 2^{3} și dăm factor comun 22x\displaystyle 2^{2x}: 22x(1−23)=−7\displaystyle 2^{2x}\left(1-2^{3}\right)=-7.
    22x(1−23)=−7\displaystyle 2^{2x}\left(1-2^{3}\right)=-7
  4. Calculăm 1−23=1−8=−7\displaystyle 1-2^{3}=1-8=-7, deci −7⋅22x=−7\displaystyle -7\cdot 2^{2x}=-7. Împărțind la −7\displaystyle -7 obținem 22x=1\displaystyle 2^{2x}=1.
    22x=1\displaystyle 2^{2x}=1
  5. Scriem 1=20\displaystyle 1=2^{0}, deci 22x=20\displaystyle 2^{2x}=2^{0}. Funcția exponențială este injectivă, deci 2x=0\displaystyle 2x=0, de unde x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de funcții f:{1,2,3}→{0,1,2}\displaystyle f:\{1,2,3\}\to\{0,1,2\} cu proprietatea că f(1)⋅f(2)⋅f(3)=0\displaystyle f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm toate funcțiile f:{1,2,3}→{0,1,2}\displaystyle f:\{1,2,3\}\to\{0,1,2\}. Pentru fiecare dintre cele 3 elemente 1,2,3\displaystyle 1, 2, 3 alegem independent una dintre cele 3 valori 0,1,2\displaystyle 0, 1, 2.
    3⋅3⋅3=33=27\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=3^{3}=27
  2. Produsul f(1)⋅f(2)⋅f(3)\displaystyle f(1)\cdot f(2)\cdot f(3) este nenul exact când niciuna dintre valori nu este 0\displaystyle 0. Atunci fiecare dintre f(1),f(2),f(3)\displaystyle f(1), f(2), f(3) se alege din mulțimea {1,2}\displaystyle \{1,2\}, deci avem 2 variante pentru fiecare.
    2⋅2⋅2=23=8\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=2^{3}=8
  3. Funcțiile cu produs egal cu 0\displaystyle 0 sunt toate funcțiile, fără cele cu produs nenul. Scădem: 27−8\displaystyle 27-8. Obținem că numărul funcțiilor căutate este 19\displaystyle 19.
    27−8=19\displaystyle 27-8=19
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră paralelogramul ABCD\displaystyle ABCD cu A(−1,3)\displaystyle A(-1,3), B(3,5)\displaystyle B(3,5) și C(−4,−2)\displaystyle C(-4,-2). Determinați ecuația dreptei AD\displaystyle AD.
Vezi rezolvarea
  1. Într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele, deci AD∥BC\displaystyle AD\parallel BC. Dreptele paralele au pante egale, deci mAD=mBC\displaystyle m_{AD}=m_{BC}.
    mAD=mBC\displaystyle m_{AD}=m_{BC}
  2. Calculăm panta dreptei BC\displaystyle BC cu formula m=yC−yBxC−xB\displaystyle m=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}, folosind B(3,5)\displaystyle B(3,5) și C(−4,−2)\displaystyle C(-4,-2).
    mBC=−2−5−4−3=−7−7=1\displaystyle m_{BC}=\dfrac{-2-5}{-4-3}=\dfrac{-7}{-7}=1
  3. Deoarece AD∥BC\displaystyle AD\parallel BC, obținem că panta dreptei AD\displaystyle AD este 1\displaystyle 1.
    mAD=mBC=1\displaystyle m_{AD}=m_{BC}=1
  4. Scriem ecuația dreptei prin A(−1,3)\displaystyle A(-1,3) cu panta 1\displaystyle 1, folosind formula y−yA=m(x−xA)\displaystyle y-y_A=m(x-x_A).
    y−3=1⋅(x+1)\displaystyle y-3=1\cdot(x+1)
  5. Desfacem parantezele și izolăm y\displaystyle y, obținând ecuația dreptei AD\displaystyle AD.
    y=x+4\displaystyle y=x+4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(π2,π)\displaystyle x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right), știind că tg⁡2x=−1\displaystyle \operatorname{tg}2x=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Din x∈(π2,π)\displaystyle x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right), înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem 2x∈(π,2π)\displaystyle 2x\in(\pi,2\pi).
    2x∈(π,2π)\displaystyle 2x\in(\pi,2\pi)
  2. Tangenta are perioada π\displaystyle \pi și tg⁡3π4=−tg⁡π4=−1\displaystyle \operatorname{tg}\dfrac{3\pi}{4}=-\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=-1, deci 2x=3π4+kπ\displaystyle 2x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi, cu k∈Z\displaystyle k\in\mathbb{Z}.
    2x=3π4+kπ\displaystyle 2x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi, k∈Z\displaystyle \ k\in\mathbb{Z}
  3. Alegem k\displaystyle k astfel încât 2x∈(π,2π)\displaystyle 2x\in(\pi,2\pi). Pentru k=1\displaystyle k=1 obținem 2x=3π4+π=7π4∈(π,2π)\displaystyle 2x=\dfrac{3\pi}{4}+\pi=\dfrac{7\pi}{4}\in(\pi,2\pi). Pentru k=0\displaystyle k=0 avem 3π4<π\displaystyle \dfrac{3\pi}{4}<\pi, iar pentru k=2\displaystyle k=2 avem 11π4>2π\displaystyle \dfrac{11\pi}{4}>2\pi, deci nu convin.
    2x=7π4\displaystyle 2x=\dfrac{7\pi}{4}
  4. Împărțind la 2\displaystyle 2, obținem x=7π8\displaystyle x=\dfrac{7\pi}{8}, care aparține intervalului (π2,π)\displaystyle \left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right), deoarece 4π8<7π8<8π8\displaystyle \dfrac{4\pi}{8}<\dfrac{7\pi}{8}<\dfrac{8\pi}{8}.
    x=7π8\displaystyle x=\dfrac{7\pi}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(12−10132−1a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&1&3\\2&-1&a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+2y−z=2y+3z=42x−y+az=2\displaystyle \begin{cases}x+2y-z=2\\y+3z=4\\2x-y+az=2\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real. Arătați că det⁡(A(1))=18\displaystyle \det(A(1))=18.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1).
    det⁡(A(1))=∣12−10132−11∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&2&-1\\0&1&3\\2&-1&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt produsul elementelor de pe diagonala principală și produsele elementelor de pe cele două paralele cu ea: 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1, apoi 2⋅3⋅2\displaystyle 2\cdot 3\cdot 2, apoi (−1)⋅0⋅(−1)\displaystyle (-1)\cdot 0\cdot(-1).
    1⋅1⋅1+2⋅3⋅2+(−1)⋅0⋅(−1)=1+12+0\displaystyle 1\cdot1\cdot1+2\cdot3\cdot2+(-1)\cdot0\cdot(-1)=1+12+0
  3. Termenii cu minus sunt produsul elementelor de pe diagonala secundară și produsele elementelor de pe cele două paralele cu ea: (−1)⋅1⋅2\displaystyle (-1)\cdot1\cdot2, apoi 1⋅3⋅(−1)\displaystyle 1\cdot3\cdot(-1), apoi 2⋅0⋅1\displaystyle 2\cdot0\cdot1.
    −2−3+0=−5\displaystyle -2-3+0=-5
  4. Scădem termenii cu minus din suma termenilor cu plus și calculăm. Rezultă că det⁡(A(1))=18\displaystyle \det(A(1))=18.
    det⁡(A(1))=1+0+12−(−2)−(−3)−0=1+12+2+3=18\displaystyle \det(A(1))=1+0+12-(-2)-(-3)-0=1+12+2+3=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(12−10132−1a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&1&3\\2&-1&a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+2y−z=2y+3z=42x−y+az=2\displaystyle \begin{cases}x+2y-z=2\\y+3z=4\\2x-y+az=2\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a\displaystyle a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, deci matricea sistemului A(a)\displaystyle A(a) este pătratică. Un astfel de sistem are soluție unică exact când determinantul matricei este nenul: det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0.
    det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0
  2. Calculăm determinantul dezvoltând după prima coloană: det⁡(A(a))=1⋅∣13−1a∣−0⋅∣2−1−1a∣+2⋅∣2−113∣\displaystyle \det(A(a))=1\cdot\begin{vmatrix}1&3\\-1&a\end{vmatrix}-0\cdot\begin{vmatrix}2&-1\\-1&a\end{vmatrix}+2\cdot\begin{vmatrix}2&-1\\1&3\end{vmatrix}. Primul minor este 1⋅a−3⋅(−1)=a+3\displaystyle 1\cdot a-3\cdot(-1)=a+3, iar ultimul este 2⋅3−(−1)⋅1=7\displaystyle 2\cdot 3-(-1)\cdot 1=7.
    det⁡(A(a))=(a+3)−0+2⋅7\displaystyle \det(A(a))=(a+3)-0+2\cdot 7
  3. Adunăm termenii: a+3+14=a+17\displaystyle a+3+14=a+17. Condiția det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0 devine a+17≠0\displaystyle a+17\neq 0, adică a≠−17\displaystyle a\neq -17. Deci sistemul are soluție unică pentru orice număr real a\displaystyle a, în afară de −17\displaystyle -17.
    det⁡(A(a))=a+17\displaystyle \det(A(a))=a+17, det⁡(A(a))≠0⇔a∈R∖{−17}\displaystyle \ \det(A(a))\neq 0\Leftrightarrow a\in\mathbb{R}\setminus\{-17\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(12−10132−1a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&1&3\\2&-1&a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+2y−z=2y+3z=42x−y+az=2\displaystyle \begin{cases}x+2y-z=2\\y+3z=4\\2x-y+az=2\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=1\displaystyle a=1, rezolvați sistemul de ecuații.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=1\displaystyle a=1 sistemul devine {x+2y−z=2y+3z=42x−y+z=2\displaystyle \begin{cases}x+2y-z=2\\y+3z=4\\2x-y+z=2\end{cases}, cu matricea A(1)=(12−10132−11)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&1&3\\2&-1&1\end{pmatrix}.
    A(1)=(12−10132−11)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&1&3\\2&-1&1\end{pmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: det⁡(A(1))=1⋅(1⋅1−3⋅(−1))−2⋅(0⋅1−3⋅2)+(−1)⋅(0⋅(−1)−1⋅2)=4+12+2=18\displaystyle \det(A(1))=1\cdot(1\cdot 1-3\cdot(-1))-2\cdot(0\cdot 1-3\cdot 2)+(-1)\cdot(0\cdot(-1)-1\cdot 2)=4+12+2=18.
    det⁡(A(1))=4+12+2=18≠0\displaystyle \det(A(1))=4+12+2=18\neq 0
  3. Deoarece det⁡(A(1))≠0\displaystyle \det(A(1))\neq 0, sistemul este compatibil determinat, deci are soluție unică. O aflăm prin substituție. Din a doua ecuație exprimăm y\displaystyle y în funcție de z\displaystyle z: y=4−3z\displaystyle y=4-3z.
    y=4−3z\displaystyle y=4-3z
  4. Înlocuim y\displaystyle y în prima ecuație: x=2−2y+z=2−2(4−3z)+z\displaystyle x=2-2y+z=2-2(4-3z)+z, deci x=−6+7z\displaystyle x=-6+7z.
    x=−6+7z\displaystyle x=-6+7z
  5. Înlocuim în a treia ecuație: 2(−6+7z)−(4−3z)+z=2\displaystyle 2(-6+7z)-(4-3z)+z=2, adică −12+14z−4+3z+z=2\displaystyle -12+14z-4+3z+z=2, deci 18z−16=2\displaystyle 18z-16=2, de unde 18z=18\displaystyle 18z=18.
    18z=18⇒z=1\displaystyle 18z=18\Rightarrow z=1
  6. Revenim la expresiile găsite: y=4−3⋅1=1\displaystyle y=4-3\cdot 1=1 și x=−6+7⋅1=1\displaystyle x=-6+7\cdot 1=1. Verificare: 1+2−1=2\displaystyle 1+2-1=2, 1+3=4\displaystyle 1+3=4, 2−1+1=2\displaystyle 2-1+1=2. Soluția sistemului este (x,y,z)=(1,1,1)\displaystyle (x,y,z)=(1,1,1).
    (x,y,z)=(1,1,1)\displaystyle (x,y,z)=(1,1,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−x−y+1\displaystyle x*y=2xy-x-y+1.

Arătați că 2∗12=12\displaystyle 2*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție: x∗y=2xy−x−y+1\displaystyle x*y=2xy-x-y+1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2}.
    2∗12=2⋅2⋅12−2−12+1\displaystyle 2*\frac{1}{2}=2\cdot 2\cdot\frac{1}{2}-2-\frac{1}{2}+1
  2. Calculăm produsul: 2⋅2⋅12=2\displaystyle 2\cdot 2\cdot\dfrac{1}{2}=2. Expresia devine 2−2−12+1\displaystyle 2-2-\dfrac{1}{2}+1.
    2−2−12+1\displaystyle 2-2-\frac{1}{2}+1
  3. Reducem termenii: 2−2=0\displaystyle 2-2=0, iar 1−12=12\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}. Obținem exact membrul drept, deci egalitatea este demonstrată.
    2−2−12+1=12, deci 2∗12=12\displaystyle 2-2-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\text{, deci }2*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−x−y+1\displaystyle x*y=2xy-x-y+1.

Determinați numărul real a\displaystyle a, astfel încât a∗x=a\displaystyle a*x=a, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția a∗x=a\displaystyle a*x=a folosind definiția legii: a∗x=2ax−a−x+1\displaystyle a*x=2ax-a-x+1. Obținem 2ax−a−x+1=a\displaystyle 2ax-a-x+1=a.
    2ax−a−x+1=a\displaystyle 2ax-a-x+1=a
  2. Trecem pe a din membrul drept în stânga și reducem termenii: 2ax−a−x+1−a=0\displaystyle 2ax-a-x+1-a=0, deci 2ax−2a−x+1=0\displaystyle 2ax-2a-x+1=0.
    2ax−2a−x+1=0\displaystyle 2ax-2a-x+1=0
  3. Grupăm termenii: 2a(x−1)−(x−1)=0\displaystyle 2a(x-1)-(x-1)=0. Scoatem factor comun pe x−1\displaystyle x-1 și obținem (2a−1)(x−1)=0\displaystyle (2a-1)(x-1)=0.
    (2a−1)(x−1)=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (2a-1)(x-1)=0\text{, pentru orice număr real }x
  4. Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x. De exemplu, pentru x=0\displaystyle x=0 factorul x−1=−1\displaystyle x-1=-1 este nenul, deci trebuie ca 2a−1=0\displaystyle 2a-1=0.
    2a−1=0\displaystyle 2a-1=0
  5. Din 2a−1=0\displaystyle 2a-1=0 rezultă a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}. Reciproc, pentru acest a\displaystyle a produsul (2a−1)(x−1)\displaystyle (2a-1)(x-1) este 0\displaystyle 0 pentru orice x\displaystyle x, deci condiția este îndeplinită.
    a=12\displaystyle a=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−x−y+1\displaystyle x*y=2xy-x-y+1.

Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1. Demonstrați că f(x∗y)=f(x)⋅f(y)\displaystyle f(x*y)=f(x)\cdot f(y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(x∗y)\displaystyle f(x*y) folosind definiția funcției: în expresia lui f\displaystyle f înlocuim variabila cu x∗y\displaystyle x*y, deci f(x∗y)=2(x∗y)−1\displaystyle f(x*y)=2(x*y)-1.
    f(x∗y)=2(x∗y)−1\displaystyle f(x*y)=2(x*y)-1
  2. Înlocuim x∗y\displaystyle x*y cu 2xy−x−y+1\displaystyle 2xy-x-y+1, conform legii de compoziție.
    f(x∗y)=2(2xy−x−y+1)−1\displaystyle f(x*y)=2(2xy-x-y+1)-1
  3. Desfacem parantezele: înmulțim cu 2\displaystyle 2 fiecare termen din paranteză.
    f(x∗y)=4xy−2x−2y+2−1\displaystyle f(x*y)=4xy-2x-2y+2-1
  4. Reducem termenii constanți: 2−1=1\displaystyle 2-1=1.
    f(x∗y)=4xy−2x−2y+1\displaystyle f(x*y)=4xy-2x-2y+1
  5. Calculăm produsul f(x)⋅f(y)\displaystyle f(x)\cdot f(y) și îl comparăm cu rezultatul. Avem (2x−1)(2y−1)=4xy−2x−2y+1\displaystyle (2x-1)(2y-1)=4xy-2x-2y+1, deci cele două expresii coincid.
    (2x−1)(2y−1)=4xy−2x−2y+1\displaystyle (2x-1)(2y-1)=4xy-2x-2y+1
  6. Concluzie: f(x∗y)=(2x−1)(2y−1)=f(x)⋅f(y)\displaystyle f(x*y)=(2x-1)(2y-1)=f(x)\cdot f(y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    f(x∗y)=(2x−1)(2y−1)=f(x)f(y), pentru orice numere \displaystyle f(x*y)=(2x-1)(2y-1)=f(x)f(y)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡(2x+1)\displaystyle f(x)=x-\ln\left(2^x+1\right).

Arătați că f′(x)=1−2xln⁡22x+1\displaystyle f'(x)=1-\frac{2^x\ln 2}{2^x+1}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x−ln⁡(2x+1)\displaystyle f(x)=x-\ln\left(2^x+1\right) este o diferență, deci o derivăm termen cu termen: f′(x)=x′−(ln⁡(2x+1))′\displaystyle f'(x)=x'-\left(\ln\left(2^x+1\right)\right)'.
    f′(x)=x′−(ln⁡(2x+1))′\displaystyle f'(x)=x'-\left(\ln\left(2^x+1\right)\right)'
  2. Avem x′=1\displaystyle x'=1. Pentru logaritm folosim derivata funcției compuse (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}, cu u=2x+1\displaystyle u=2^x+1.
    (ln⁡(2x+1))′=12x+1⋅(2x+1)′\displaystyle \left(\ln\left(2^x+1\right)\right)'=\frac{1}{2^x+1}\cdot\left(2^x+1\right)'
  3. Calculăm (2x+1)′\displaystyle \left(2^x+1\right)': folosim (ax)′=axln⁡a\displaystyle \left(a^x\right)'=a^x\ln a, deci (2x)′=2xln⁡2\displaystyle \left(2^x\right)'=2^x\ln 2, iar 1′=0\displaystyle 1'=0.
    (2x+1)′=2xln⁡2\displaystyle \left(2^x+1\right)'=2^x\ln 2
  4. Înlocuim în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x) și obținem rezultatul cerut, valabil pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece 2x+1>0\displaystyle 2^x+1>0.
    f′(x)=1−12x+1⋅(2x+1)′=1−2xln⁡22x+1\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{2^x+1}\cdot\left(2^x+1\right)'=1-\frac{2^x\ln 2}{2^x+1}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡(2x+1)\displaystyle f(x)=x-\ln\left(2^x+1\right).

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este crescătoare.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci o putem studia cu ajutorul derivatei. Pentru a arăta că f\displaystyle f este crescătoare, este suficient să arătăm că f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm derivata. Derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar pentru ln⁡(2x+1)\displaystyle \ln\left(2^x+1\right) folosim (ln⁡u)′=u′u\displaystyle \left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u} cu u=2x+1\displaystyle u=2^x+1 și u′=2xln⁡2\displaystyle u'=2^x\ln 2.
    f′(x)=1−2xln⁡22x+1\displaystyle f'(x)=1-\frac{2^x\ln 2}{2^x+1}
  3. Arătăm că fracția 2x2x+1\displaystyle \dfrac{2^x}{2^x+1} este între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1. Cum 2x>0\displaystyle 2^x>0, numărătorul și numitorul sunt pozitivi, deci fracția este pozitivă. În plus, 2x<2x+1\displaystyle 2^x<2^x+1, deci fracția este mai mică decât 1\displaystyle 1.
    0<2x2x+1<1\displaystyle 0<\frac{2^x}{2^x+1}<1
  4. Arătăm că ln⁡2\displaystyle \ln 2 este între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1. Cum 1<2<e\displaystyle 1<2<e și funcția ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare, obținem ln⁡1<ln⁡2<ln⁡e\displaystyle \ln 1<\ln 2<\ln e.
    0<ln⁡2<1\displaystyle 0<\ln 2<1
  5. Înmulțim cele două numere cuprinse între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1. Produsul a două numere pozitive subunitare este pozitiv și mai mic decât 1\displaystyle 1, deci 2x2x+1⋅ln⁡2<1⋅1\displaystyle \dfrac{2^x}{2^x+1}\cdot\ln 2<1\cdot 1.
    2xln⁡22x+1<1\displaystyle \frac{2^x\ln 2}{2^x+1}<1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  6. Din inegalitatea obținută rezultă 1−2xln⁡22x+1>0\displaystyle 1-\dfrac{2^x\ln 2}{2^x+1}>0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Prin urmare, funcția f\displaystyle f este crescătoare.
    f′(x)=1−2xln⁡22x+1>0, pentru orice numa˘r real x, deci f este cresca˘toare\displaystyle f'(x)=1-\frac{2^x\ln 2}{2^x+1}>0\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }f\text{ este crescătoare}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡(2x+1)\displaystyle f(x)=x-\ln\left(2^x+1\right).

Determinați ecuația asimptotei oblice spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre −∞\displaystyle -\infty are forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→−∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}, iar n=lim⁡x→−∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-mx\right).
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n,m=lim⁡x→−∞f(x)x\displaystyle \quad m=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x},n=lim⁡x→−∞(f(x)−mx)\displaystyle \quad n=\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Împărțim f(x)\displaystyle f(x) la x\displaystyle x: f(x)x=x−ln⁡(2x+1)x=1−ln⁡(2x+1)x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x-\ln\left(2^x+1\right)}{x}=1-\dfrac{\ln\left(2^x+1\right)}{x}.
    f(x)x=1−ln⁡(2x+1)x\displaystyle \frac{f(x)}{x}=1-\frac{\ln\left(2^x+1\right)}{x}
  3. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, 2x→0\displaystyle 2^x\to 0, deci 2x+1→1\displaystyle 2^x+1\to 1 și ln⁡(2x+1)→ln⁡1=0\displaystyle \ln\left(2^x+1\right)\to\ln 1=0. Numărătorul tinde la 0\displaystyle 0, iar numitorul la −∞\displaystyle -\infty, deci raportul tinde la 0\displaystyle 0. Rezultă m=1\displaystyle m=1.
    m=lim⁡x→−∞(1−ln⁡(2x+1)x)=1−0=1\displaystyle m=\lim_{x\to-\infty}\left(1-\frac{\ln\left(2^x+1\right)}{x}\right)=1-0=1
  4. Calculăm n=lim⁡x→−∞(f(x)−x)\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-x\right). Termenii x\displaystyle x se reduc: f(x)−x=−ln⁡(2x+1)\displaystyle f(x)-x=-\ln\left(2^x+1\right).
    f(x)−x=−ln⁡(2x+1)\displaystyle f(x)-x=-\ln\left(2^x+1\right)
  5. Cum 2x→0\displaystyle 2^x\to 0 când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, obținem n=−ln⁡1=0\displaystyle n=-\ln 1=0. Deci asimptota oblică spre −∞\displaystyle -\infty este y=x\displaystyle y=x.
    n=lim⁡x→−∞(−ln⁡(2x+1))=−ln⁡1=0, deci y=x\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}\left(-\ln\left(2^x+1\right)\right)=-\ln 1=0\text{, deci }y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)sin⁡x\displaystyle f(x)=(x+2)\sin x.

Arătați că ∫0π2f(x)x+2 dx=1\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{f(x)}{x+2}\,dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=(x+2)sin⁡x\displaystyle f(x)=(x+2)\sin x în integrala dată.
    ∫0π2f(x)x+2 dx=∫0π2(x+2)sin⁡xx+2 dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{f(x)}{x+2}\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{(x+2)\sin x}{x+2}\,dx
  2. Simplificăm prin x+2\displaystyle x+2, care este nenul pe [0,π2]\displaystyle \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right], deoarece x+2≥2>0\displaystyle x+2\geq 2>0.
    ∫0π2sin⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx
  3. O primitivă a lui sin⁡x\displaystyle \sin x este −cos⁡x\displaystyle -\cos x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫0π2sin⁡x dx=−cos⁡x∣0π2\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}
  4. Înlocuim limitele de integrare, folosind cos⁡π2=0\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{2}=0 și cos⁡0=1\displaystyle \cos 0=1.
    −cos⁡π2+cos⁡0=−0+1=1\displaystyle -\cos\frac{\pi}{2}+\cos 0=-0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)sin⁡x\displaystyle f(x)=(x+2)\sin x.

Calculați ∫0π2f(x) dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că sin⁡x=−(cos⁡x)′\displaystyle \sin x=-(\cos x)', deci integrala devine −∫0π2(x+2)(cos⁡x)′ dx\displaystyle -\int_0^{\frac{\pi}{2}}(x+2)(\cos x)'\,dx.
    ∫0π2(x+2)sin⁡x dx=−∫0π2(x+2)(cos⁡x)′ dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}(x+2)\sin x\,dx=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}(x+2)(\cos x)'\,dx
  2. Folosim formula ∫abu v′ dx=uv∣ab−∫abu′ v dx\displaystyle \int_a^b u\,v'\,dx=uv\Big|_a^b-\int_a^b u'\,v\,dx cu u=x+2\displaystyle u=x+2, u′=1\displaystyle u'=1 și v=cos⁡x\displaystyle v=\cos x.
    −∫0π2(x+2)(cos⁡x)′ dx=−(x+2)cos⁡x∣0π2+∫0π2cos⁡x dx\displaystyle -\int_0^{\frac{\pi}{2}}(x+2)(\cos x)'\,dx=-(x+2)\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx
  3. Pentru termenul integrat: cos⁡π2=0\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{2}=0 și cos⁡0=1\displaystyle \cos 0=1, deci −(x+2)cos⁡x∣0π2=−(π2+2)⋅0+2⋅1\displaystyle -(x+2)\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=-\left(\dfrac{\pi}{2}+2\right)\cdot 0+2\cdot 1.
    −(x+2)cos⁡x∣0π2=−(π2+2)cos⁡π2+(0+2)cos⁡0=2\displaystyle -(x+2)\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=-\left(\frac{\pi}{2}+2\right)\cos\frac{\pi}{2}+(0+2)\cos 0=2
  4. Pentru integrala rămasă: ∫0π2cos⁡x dx=sin⁡x∣0π2=sin⁡π2−sin⁡0=1−0\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin 0=1-0.
    ∫0π2cos⁡x dx=sin⁡π2−sin⁡0=1\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1
  5. Adunăm: 2+1=3\displaystyle 2+1=3.
    ∫0π2f(x) dx=2+sin⁡π2−sin⁡0=3\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,dx=2+\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)sin⁡x\displaystyle f(x)=(x+2)\sin x.

Determinați numărul natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\geq 2, pentru care ∫1n1sin⁡2xf2(x)dx=19\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{1}\frac{\sin^2 x}{f^2(x)}dx=\frac{1}{9}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f2(x)=(x+2)2sin⁡2x\displaystyle f^2(x)=(x+2)^2\sin^2 x. Pe intervalul [1n,1]\displaystyle \left[\dfrac{1}{n},1\right] avem x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1], deci sin⁡x≠0\displaystyle \sin x\neq 0 și putem simplifica prin sin⁡2x\displaystyle \sin^2 x.
    sin⁡2xf2(x)=sin⁡2x(x+2)2sin⁡2x=1(x+2)2\displaystyle \frac{\sin^2 x}{f^2(x)}=\frac{\sin^2 x}{(x+2)^2\sin^2 x}=\frac{1}{(x+2)^2}
  2. Integrala devine o integrală de fracție simplă, pe intervalul de la 1n\displaystyle \dfrac{1}{n} la 1\displaystyle 1.
    ∫1n11(x+2)2dx\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{1}\frac{1}{(x+2)^2}dx
  3. O primitivă a lui 1(x+2)2\displaystyle \dfrac{1}{(x+2)^2} este −1x+2\displaystyle -\dfrac{1}{x+2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    −1x+2∣1n1=−13+11n+2\displaystyle -\frac{1}{x+2}\Big|_{\frac{1}{n}}^{1}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{\frac{1}{n}+2}
  4. Amplificăm cu n\displaystyle n: 11n+2=n2n+1\displaystyle \dfrac{1}{\frac{1}{n}+2}=\dfrac{n}{2n+1}. Obținem valoarea integralei.
    −13+n2n+1\displaystyle -\frac{1}{3}+\frac{n}{2n+1}
  5. Egalăm cu 19\displaystyle \dfrac{1}{9} și mutăm −13\displaystyle -\dfrac{1}{3} în membrul drept: n2n+1=19+13\displaystyle \dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}.
    n2n+1=49\displaystyle \frac{n}{2n+1}=\frac{4}{9}
  6. Înmulțim în cruce: 9n=4(2n+1)\displaystyle 9n=4(2n+1), adică 9n=8n+4\displaystyle 9n=8n+4, deci n=4\displaystyle n=4. Este număr natural și n≥2\displaystyle n\geq 2, deci convine.
    n=4, care convine\displaystyle n=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.