Bac matematică M2 științe ale naturii 2019, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul a=(11−i−11+i)2\displaystyle a=\left(\frac{1}{1-i}-\frac{1}{1+i}\right)^2 este întreg, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fracțiile din paranteză la același numitor. Numitorul comun este (1−i)(1+i)\displaystyle (1-i)(1+i).
    11−i−11+i=(1+i)−(1−i)(1−i)(1+i)\displaystyle \frac{1}{1-i}-\frac{1}{1+i}=\frac{(1+i)-(1-i)}{(1-i)(1+i)}
  2. Calculăm numitorul cu formula diferenței de pătrate și folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1: (1−i)(1+i)=12−i2=1+1=2\displaystyle (1-i)(1+i)=1^2-i^2=1+1=2. Numărătorul este (1+i)−(1−i)=2i\displaystyle (1+i)-(1-i)=2i.
    (1+i)−(1−i)12−i2=2i2\displaystyle \frac{(1+i)-(1-i)}{1^2-i^2}=\frac{2i}{2}
  3. Simplificăm fracția cu 2\displaystyle 2 și obținem valoarea expresiei din paranteză.
    11−i−11+i=i\displaystyle \frac{1}{1-i}-\frac{1}{1+i}=i
  4. Ridicăm rezultatul la pătrat și folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1. Obținem un număr întreg.
    a=i2=−1, care este numa˘r ıˆntreg\displaystyle a=i^2=-1\text{, care este număr întreg}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați cel mai mare număr natural m\displaystyle m pentru care soluțiile ecuației x2−7x+m=0\displaystyle x^2-7x+m=0 sunt numere reale.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−7x+m=0\displaystyle x^2-7x+m=0 este de gradul al doilea, cu a=1\displaystyle a=1, b=−7\displaystyle b=-7, c=m\displaystyle c=m. Soluțiile sunt reale dacă discriminantul Δ\displaystyle \Delta este mai mare sau egal cu zero.
    Δ=b2−4ac=(−7)2−4⋅1⋅m\displaystyle \Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot 1\cdot m
  2. Calculăm (−7)2=49\displaystyle (-7)^2=49, deci discriminantul este Δ=49−4m\displaystyle \Delta=49-4m.
    Δ=49−4m\displaystyle \Delta=49-4m
  3. Impunem Δ≥0\displaystyle \Delta\ge 0, adică 49−4m≥0\displaystyle 49-4m\ge 0, de unde 4m≤49\displaystyle 4m\le 49, deci m≤494\displaystyle m\le\dfrac{49}{4}.
    m∈(−∞,494]\displaystyle m\in\left(-\infty,\frac{49}{4}\right]
  4. Avem 494=12,25\displaystyle \dfrac{49}{4}=12{,}25. Cel mai mare număr natural m\displaystyle m cu m≤12,25\displaystyle m\le 12{,}25 este 12\displaystyle 12.
    m=12\displaystyle m=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+3x+1+3x+2=117\displaystyle 3^x+3^{x+1}+3^{x+2}=117.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor am+n=am⋅an\displaystyle a^{m+n}=a^m\cdot a^n: 3x+1=3x⋅3\displaystyle 3^{x+1}=3^x\cdot 3 și 3x+2=3x⋅32\displaystyle 3^{x+2}=3^x\cdot 3^2.
    3x+1=3⋅3x\displaystyle 3^{x+1}=3\cdot 3^x,3x+2=9⋅3x\displaystyle \quad 3^{x+2}=9\cdot 3^x
  2. Dăm factor comun 3x\displaystyle 3^x în membrul stâng: 3x+3⋅3x+9⋅3x=117\displaystyle 3^x+3\cdot 3^x+9\cdot 3^x=117.
    3x(1+3+32)=117\displaystyle 3^x\left(1+3+3^2\right)=117
  3. Calculăm suma din paranteză: 1+3+9=13\displaystyle 1+3+9=13, deci 13⋅3x=117\displaystyle 13\cdot 3^x=117. Împărțim la 13\displaystyle 13: 3x=11713=9\displaystyle 3^x=\dfrac{117}{13}=9.
    3x=9\displaystyle 3^x=9
  4. Scriem 9=32\displaystyle 9=3^2, deci 3x=32\displaystyle 3^x=3^2. Funcția exponențială cu baza 3\displaystyle 3 este injectivă, deci exponenții sunt egali: x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 36\displaystyle 36 de submulțimi cu două elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu n\displaystyle n numărul de elemente ale mulțimii. Numărul submulțimilor cu două elemente este egal cu numărul de moduri de a alege 2\displaystyle 2 elemente din n\displaystyle n, adică Cn2\displaystyle C_n^2. Din enunț, acest număr este 36\displaystyle 36.
    Cn2=36\displaystyle C_n^2=36
  2. Scriem combinările cu formula Cn2=n!2! (n−2)!=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\dfrac{n!}{2!\,(n-2)!}=\dfrac{n(n-1)}{2}, deci ecuația devine n(n−1)2=36\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}=36, cu n\displaystyle n număr natural, n≥2\displaystyle n\ge 2.
    n(n−1)2=36\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=36
  3. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem n(n−1)=72\displaystyle n(n-1)=72, adică n2−n−72=0\displaystyle n^{2}-n-72=0.
    n2−n−72=0\displaystyle n^{2}-n-72=0
  4. Discriminantul este Δ=1+288=289\displaystyle \Delta=1+288=289, iar 289=17\displaystyle \sqrt{289}=17. Rădăcinile sunt n=1±172\displaystyle n=\dfrac{1\pm 17}{2}, adică 9\displaystyle 9 și −8\displaystyle -8. Cum n\displaystyle n este număr natural, convine doar n=9\displaystyle n=9. Verificare: 9⋅82=36\displaystyle \dfrac{9\cdot 8}{2}=36. Mulțimea are 9\displaystyle 9 elemente.
    n(n−1)2=36, deci n=9\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=36\text{, deci }n=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,1)\displaystyle A(-1,1), B(3,−3)\displaystyle B(3,-3) și C(3,0)\displaystyle C(3,0). Determinați ecuația medianei din C\displaystyle C a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din C\displaystyle C unește vârful C\displaystyle C cu mijlocul M\displaystyle M al laturii AB\displaystyle AB. Calculăm coordonatele mijlocului ca medii aritmetice ale coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2=−1+32\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-1+3}{2} și yM=yA+yB2=1+(−3)2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1+(-3)}{2}.
    xM=−1+32\displaystyle x_M=\dfrac{-1+3}{2}, yM=1−32\displaystyle \ y_M=\dfrac{1-3}{2}
  2. Efectuăm calculele: xM=22=1\displaystyle x_M=\dfrac{2}{2}=1 și yM=−22=−1\displaystyle y_M=\dfrac{-2}{2}=-1. Deci mijlocul laturii AB\displaystyle AB este M(1,−1)\displaystyle M(1,-1).
    M(1,−1)\displaystyle M(1,-1)
  3. Calculăm panta dreptei CM\displaystyle CM folosind C(3,0)\displaystyle C(3,0) și M(1,−1)\displaystyle M(1,-1): m=yC−yMxC−xM=0−(−1)3−1\displaystyle m=\dfrac{y_C-y_M}{x_C-x_M}=\dfrac{0-(-1)}{3-1}.
    m=12\displaystyle m=\dfrac{1}{2}
  4. Scriem ecuația dreptei care trece prin M(1,−1)\displaystyle M(1,-1) și are panta m=12\displaystyle m=\dfrac{1}{2}, folosind formula y−yM=m(x−xM)\displaystyle y-y_M=m(x-x_M).
    y+1=12(x−1)\displaystyle y+1=\dfrac{1}{2}(x-1)
  5. Desfacem parantezele: y+1=12x−12\displaystyle y+1=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}, deci y=12x−32\displaystyle y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}. Verificare: pentru x=3\displaystyle x=3 obținem y=32−32=0\displaystyle y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}=0, deci punctul C(3,0)\displaystyle C(3,0) se află pe dreaptă.
    y+1=12(x−1), deci y=12x−32\displaystyle y+1=\dfrac{1}{2}(x-1)\text{, deci }y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) pentru care cos⁡xsin⁡(π−x)−sin⁡xcos⁡(π+x)=1\displaystyle \cos x\sin(\pi-x)-\sin x\cos(\pi+x)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm formulele de reducere: sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x și cos⁡(π+x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(\pi+x)=-\cos x.
    sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x,cos⁡(π+x)=−cos⁡x\displaystyle \quad \cos(\pi+x)=-\cos x
  2. Înlocuim în ecuație: cos⁡xsin⁡x−sin⁡x⋅(−cos⁡x)=1\displaystyle \cos x\sin x-\sin x\cdot(-\cos x)=1, deci cos⁡xsin⁡x+sin⁡xcos⁡x=1\displaystyle \cos x\sin x+\sin x\cos x=1.
    cos⁡xsin⁡x+sin⁡xcos⁡x=1\displaystyle \cos x\sin x+\sin x\cos x=1
  3. Folosim formula sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x. Membrul stâng este 2sin⁡xcos⁡x\displaystyle 2\sin x\cos x, deci ecuația devine sin⁡2x=1\displaystyle \sin 2x=1.
    2sin⁡xcos⁡x=1⇔sin⁡2x=1\displaystyle 2\sin x\cos x=1\Leftrightarrow \sin 2x=1
  4. Din x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) rezultă 2x∈(0,π)\displaystyle 2x\in(0,\pi). Pe acest interval, sin⁡2x=1\displaystyle \sin 2x=1 doar pentru 2x=π2\displaystyle 2x=\dfrac{\pi}{2}.
    2x=π2\displaystyle 2x=\frac{\pi}{2}
  5. Împărțim la 2: x=π4\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}, valoare care aparține intervalului (0,π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).
    x=π4\displaystyle x=\frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a132a−11a−3a1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2&a&1\\3&2a-1&1\\a-3&a&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+ay+z=13x+(2a−1)y+z=1(a−3)x+ay+z=2a−1\displaystyle \begin{cases}2x+ay+z=1\\3x+(2a-1)y+z=1\\(a-3)x+ay+z=2a-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=−5\displaystyle \det(A(0))=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0 în matricea A(a)\displaystyle A(a): a=0\displaystyle a=0, 2a−1=−1\displaystyle 2a-1=-1, iar a−3=−3\displaystyle a-3=-3. Obținem matricea A(0)\displaystyle A(0) și scriem determinantul ei.
    det⁡(A(0))=∣2013−11−301∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}2&0&1\\3&-1&1\\-3&0&1\end{vmatrix}
  2. Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus. Produsele pe direcția diagonalei principale sunt 2⋅(−1)⋅1=−2\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 1=-2, 0⋅1⋅(−3)=0\displaystyle 0\cdot 1\cdot(-3)=0 și 1⋅3⋅0=0\displaystyle 1\cdot 3\cdot 0=0.
    2⋅(−1)⋅1+0⋅1⋅(−3)+1⋅3⋅0=−2\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 1+0\cdot 1\cdot(-3)+1\cdot 3\cdot 0=-2
  3. Produsele pe direcția diagonalei secundare, care se scad, sunt 1⋅(−1)⋅(−3)=3\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot(-3)=3, 2⋅1⋅0=0\displaystyle 2\cdot 1\cdot 0=0 și 0⋅3⋅1=0\displaystyle 0\cdot 3\cdot 1=0.
    1⋅(−1)⋅(−3)+2⋅1⋅0+0⋅3⋅1=3\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot(-3)+2\cdot 1\cdot 0+0\cdot 3\cdot 1=3
  4. Scădem: −2−3=−5\displaystyle -2-3=-5. Deci det⁡(A(0))=−5\displaystyle \det(A(0))=-5.
    det⁡(A(0))=−2+0+0−3−0−0=−5\displaystyle \det(A(0))=-2+0+0-3-0-0=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a132a−11a−3a1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2&a&1\\3&2a-1&1\\a-3&a&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+ay+z=13x+(2a−1)y+z=1(a−3)x+ay+z=2a−1\displaystyle \begin{cases}2x+ay+z=1\\3x+(2a-1)y+z=1\\(a-3)x+ay+z=2a-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem prima linie din a doua și din a treia linie: L2−L1\displaystyle L_2-L_1 și L3−L1\displaystyle L_3-L_1. Determinantul nu se schimbă. Obținem liniile (2, a, 1)\displaystyle (2,\ a,\ 1), (1, a−1, 0)\displaystyle (1,\ a-1,\ 0) și (a−5, 0, 0)\displaystyle (a-5,\ 0,\ 0).
    det⁡(A(a))=∣2a11a−10a−500∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}2&a&1\\1&a-1&0\\a-5&0&0\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după a treia coloană. Singurul element nenul este 1\displaystyle 1, din linia 1, cu semn plus. Minorul lui este ∣1a−1a−50∣=0−(a−1)(a−5)\displaystyle \begin{vmatrix}1&a-1\\a-5&0\end{vmatrix}=0-(a-1)(a-5).
    det⁡(A(a))=−(a−1)(a−5)=−a2+6a−5\displaystyle \det(A(a))=-(a-1)(a-5)=-a^{2}+6a-5
  3. Punem condiția det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0 și înmulțim ecuația cu −1\displaystyle -1. Obținem ecuația de gradul al doilea a2−6a+5=0\displaystyle a^{2}-6a+5=0.
    a2−6a+5=0\displaystyle a^{2}-6a+5=0
  4. Rezolvăm ecuația cu discriminantul: Δ=36−20=16\displaystyle \Delta=36-20=16. Rădăcinile sunt a=6−42=1\displaystyle a=\dfrac{6-4}{2}=1 și a=6+42=5\displaystyle a=\dfrac{6+4}{2}=5. Se poate verifica și prin factorizare: (a−1)(a−5)=0\displaystyle (a-1)(a-5)=0.
    a=1 sau a=5\displaystyle a=1\text{ sau }a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a132a−11a−3a1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2&a&1\\3&2a-1&1\\a-3&a&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+ay+z=13x+(2a−1)y+z=1(a−3)x+ay+z=2a−1\displaystyle \begin{cases}2x+ay+z=1\\3x+(2a-1)y+z=1\\(a-3)x+ay+z=2a-1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=1\displaystyle a=1, determinați soluțiile (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) ale sistemului pentru care x02=y0z0\displaystyle x_0^2=y_0z_0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în sistem. Obținem {2x+y+z=13x+y+z=1−2x+y+z=1\displaystyle \begin{cases}2x+y+z=1\\3x+y+z=1\\-2x+y+z=1\end{cases}.
    {2x+y+z=13x+y+z=1−2x+y+z=1\displaystyle \begin{cases}2x+y+z=1\\3x+y+z=1\\-2x+y+z=1\end{cases}
  2. Scădem prima ecuație din a doua: (3x+y+z)−(2x+y+z)=1−1\displaystyle (3x+y+z)-(2x+y+z)=1-1, deci x0=0\displaystyle x_0=0.
    x0=0\displaystyle x_0=0
  3. Înlocuim x0=0\displaystyle x_0=0 în prima ecuație și obținem y0+z0=1\displaystyle y_0+z_0=1. A treia ecuație dă aceeași relație, deci sistemul este compatibil nedeterminat.
    x0=0, deci y0+z0=1\displaystyle x_0=0\text{, deci }y_0+z_0=1
  4. Condiția x02=y0z0\displaystyle x_0^2=y_0z_0 cu x0=0\displaystyle x_0=0 devine y0z0=0\displaystyle y_0z_0=0.
    y0z0=0\displaystyle y_0z_0=0
  5. Dacă y0=0\displaystyle y_0=0, din y0+z0=1\displaystyle y_0+z_0=1 rezultă z0=1\displaystyle z_0=1. Dacă z0=0\displaystyle z_0=0, rezultă y0=1\displaystyle y_0=1. Ambele triplete verifică sistemul, deci soluțiile sunt (0,1,0)\displaystyle (0,1,0) și (0,0,1)\displaystyle (0,0,1).
    x02=y0z0⇒y0z0=0, deci soluțiile sunt (0,1,0) sau (0,0,1), care convin\displaystyle x_0^2=y_0z_0\Rightarrow y_0z_0=0\text{, deci soluțiile sunt }(0,1,0)\text{ sau }(0,0,1)\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5xy−5(x+y)+6\displaystyle x*y=5xy-5(x+y)+6.

Demonstrați că x∗y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=5(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∗y=5xy−5(x+y)+6\displaystyle x*y=5xy-5(x+y)+6. Desfacem paranteza prin distribuirea lui −5\displaystyle -5.
    x∗y=5xy−5x−5y+6\displaystyle x*y=5xy-5x-5y+6
  2. Scriem 6=5+1\displaystyle 6=5+1, astfel încât termenul 5\displaystyle 5 să poată fi folosit la factorizare.
    x∗y=5xy−5x−5y+5+1\displaystyle x*y=5xy-5x-5y+5+1
  3. Grupăm 5xy−5x=5x(y−1)\displaystyle 5xy-5x=5x(y-1) și −5y+5=−5(y−1)\displaystyle -5y+5=-5(y-1). Obținem x∗y=5x(y−1)−5(y−1)+1\displaystyle x*y=5x(y-1)-5(y-1)+1.
    x∗y=5x(y−1)−5(y−1)+1\displaystyle x*y=5x(y-1)-5(y-1)+1
  4. Scoatem factor comun (y−1)\displaystyle (y-1): 5x(y−1)−5(y−1)=5(y−1)(x−1)\displaystyle 5x(y-1)-5(y-1)=5(y-1)(x-1). Deci x∗y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=5(x-1)(y-1)+1, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=5(x-1)(y-1)+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5xy−5(x+y)+6\displaystyle x*y=5xy-5(x+y)+6.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care x∗x∗x<26\displaystyle x*x*x<26.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea de compoziție într-o formă mai comodă. Desfacem paranteza: 5(x−1)(y−1)+1=5xy−5x−5y+5+1\displaystyle 5(x-1)(y-1)+1=5xy-5x-5y+5+1, adică exact x∗y\displaystyle x*y.
    x∗y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=5(x-1)(y-1)+1
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x, luând y=x\displaystyle y=x în forma de mai sus.
    x∗x=5(x−1)2+1\displaystyle x*x=5(x-1)^{2}+1
  3. Calculăm x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Din forma lui x∗x\displaystyle x*x rezultă (x∗x)−1=5(x−1)2\displaystyle (x*x)-1=5(x-1)^{2}. Atunci (x∗x)∗x=5⋅5(x−1)2⋅(x−1)+1\displaystyle (x*x)*x=5\cdot 5(x-1)^{2}\cdot(x-1)+1.
    x∗x∗x=25(x−1)3+1\displaystyle x*x*x=25(x-1)^{3}+1
  4. Înlocuim în inegalitatea din enunț: 25(x−1)3+1<26\displaystyle 25(x-1)^{3}+1<26.
    25(x−1)3+1<26\displaystyle 25(x-1)^{3}+1<26
  5. Scădem 1 din ambii membri și obținem 25(x−1)3<25\displaystyle 25(x-1)^{3}<25. Împărțim la 25>0\displaystyle 25>0, deci sensul inegalității se păstrează.
    (x−1)3<1\displaystyle (x-1)^{3}<1
  6. Funcția t↦t3\displaystyle t\mapsto t^{3} este strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar 13=1\displaystyle 1^{3}=1. Deci x−1<1\displaystyle x-1<1, adică x<2\displaystyle x<2. Valorile căutate formează intervalul (−∞,2)\displaystyle (-\infty,2).
    x∈(−∞,2)\displaystyle x\in(-\infty,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5xy−5(x+y)+6\displaystyle x*y=5xy-5(x+y)+6.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n pentru care 1n2∗1(n+1)2∗1(n+2)2=−19\displaystyle \frac{1}{n^2}*\frac{1}{(n+1)^2}*\frac{1}{(n+2)^2}=-19.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în forma factorizată: 5xy−5(x+y)+6=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle 5xy-5(x+y)+6=5(x-1)(y-1)+1, deoarece 5(x−1)(y−1)=5xy−5x−5y+5\displaystyle 5(x-1)(y-1)=5xy-5x-5y+5.
    x∗y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=5(x-1)(y-1)+1
  2. Compunem de trei ori: (x∗y)∗z=5⋅5(x−1)(y−1)(z−1)+1\displaystyle (x*y)*z=5\cdot 5(x-1)(y-1)(z-1)+1, deci x∗y∗z=25(x−1)(y−1)(z−1)+1\displaystyle x*y*z=25(x-1)(y-1)(z-1)+1.
    x∗y∗z=25(x−1)(y−1)(z−1)+1\displaystyle x*y*z=25(x-1)(y-1)(z-1)+1
  3. Luăm x=1n2\displaystyle x=\dfrac{1}{n^{2}}, y=1(n+1)2\displaystyle y=\dfrac{1}{(n+1)^{2}}, z=1(n+2)2\displaystyle z=\dfrac{1}{(n+2)^{2}} și egalăm cu −19\displaystyle -19. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și împărțim la 25\displaystyle 25, deci produsul celor trei diferențe este −2025=−45\displaystyle -\dfrac{20}{25}=-\dfrac{4}{5}.
    (1n2−1)(1(n+1)2−1)(1(n+2)2−1)=−45\displaystyle \left(\frac{1}{n^{2}}-1\right)\left(\frac{1}{(n+1)^{2}}-1\right)\left(\frac{1}{(n+2)^{2}}-1\right)=-\frac{4}{5}
  4. Descompunem fiecare diferență cu diferența de pătrate: 1m2−1=(1−m)(1+m)m2\displaystyle \dfrac{1}{m^{2}}-1=\dfrac{(1-m)(1+m)}{m^{2}}. Obținem factorii (1−n)(n+1)n2\displaystyle \dfrac{(1-n)(n+1)}{n^{2}}, −n(n+2)(n+1)2\displaystyle \dfrac{-n(n+2)}{(n+1)^{2}} și −(n+1)(n+3)(n+2)2\displaystyle \dfrac{-(n+1)(n+3)}{(n+2)^{2}}. Înmulțim și simplificăm factorii comuni n\displaystyle n, n+1\displaystyle n+1 și n+2\displaystyle n+2 (cele două semne minus se reduc), iar ecuația devine o fracție egală cu −45\displaystyle -\dfrac{4}{5}.
    (1−n)(n+3)n(n+2)=−45\displaystyle \frac{(1-n)(n+3)}{n(n+2)}=-\frac{4}{5}
  5. Înmulțim pe diagonală: 5(1−n)(n+3)=−4n(n+2)\displaystyle 5(1-n)(n+3)=-4n(n+2). Desfacem parantezele: −5n2−10n+15=−4n2−8n\displaystyle -5n^{2}-10n+15=-4n^{2}-8n, de unde n2+2n−15=0\displaystyle n^{2}+2n-15=0.
    n2+2n−15=0\displaystyle n^{2}+2n-15=0
  6. Ecuația se scrie (n−3)(n+5)=0\displaystyle (n-3)(n+5)=0, deci n=3\displaystyle n=3 sau n=−5\displaystyle n=-5. Cum n\displaystyle n este număr natural nenul, rămâne n=3\displaystyle n=3.
    n=3\displaystyle n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−2(x−1)x\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}.

Arătați că f′(x)=x−2x2\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Avem f(x)=ln⁡x−2(x−1)x\displaystyle f(x)=\ln x-\dfrac{2(x-1)}{x}. Derivăm termen cu termen: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, iar al doilea termen este un cât, deci folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=(ln⁡x)′−(2(x−1)x)′\displaystyle f'(x)=(\ln x)'-\left(\dfrac{2(x-1)}{x}\right)'
  2. Pentru u=2(x−1)=2x−2\displaystyle u=2(x-1)=2x-2 și v=x\displaystyle v=x avem u′=2\displaystyle u'=2 și v′=1\displaystyle v'=1. Atunci (2(x−1)x)′=2⋅x−2(x−1)⋅1x2\displaystyle \left(\dfrac{2(x-1)}{x}\right)'=\dfrac{2\cdot x-2(x-1)\cdot 1}{x^{2}}.
    (2(x−1)x)′=2x−2(x−1)x2\displaystyle \left(\dfrac{2(x-1)}{x}\right)'=\dfrac{2x-2(x-1)}{x^{2}}
  3. Înlocuind în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x) obținem:
    f′(x)=1x−2x−2(x−1)x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2x-2(x-1)}{x^{2}}
  4. Aducem la numitorul comun x2\displaystyle x^{2}, amplificând prima fracție cu x\displaystyle x: f′(x)=x−(2x−2(x−1))x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-\left(2x-2(x-1)\right)}{x^{2}}. Desfacem parantezele: 2x−2(x−1)=2x−2x+2=2\displaystyle 2x-2(x-1)=2x-2x+2=2, deci numărătorul devine x−2x+2x−2\displaystyle x-2x+2x-2.
    f′(x)=x−2x+2x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-2x+2x-2}{x^{2}}
  5. Reducem termenii asemenea la numărător: x−2x+2x=x\displaystyle x-2x+2x=x, deci numărătorul este x−2\displaystyle x-2. Am obținut egalitatea cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=x−2x2, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-2}{x^{2}}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−2(x−1)x\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}.

Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f\displaystyle f în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este perpendiculară pe dreapta de ecuație y=x\displaystyle y=x.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta y=x\displaystyle y=x are panta 1\displaystyle 1. Două drepte perpendiculare au produsul pantelor egal cu −1\displaystyle -1, deci tangenta trebuie să aibă panta m\displaystyle m cu m⋅1=−1\displaystyle m\cdot 1=-1.
    m=−1\displaystyle m=-1
  2. Scriem funcția sub o formă mai ușor de derivat: 2(x−1)x=2−2x\displaystyle \dfrac{2(x-1)}{x}=2-\dfrac{2}{x}, deci f(x)=ln⁡x−2+2x\displaystyle f(x)=\ln x-2+\dfrac{2}{x}.
    f(x)=ln⁡x−2+2x\displaystyle f(x)=\ln x-2+\frac{2}{x}
  3. Derivăm funcția: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (−2)′=0\displaystyle (-2)'=0, (2x)′=−2x2\displaystyle \left(\dfrac{2}{x}\right)'=-\dfrac{2}{x^{2}}. Aducem la același numitor: f′(x)=1x−2x2=x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}=\dfrac{x-2}{x^{2}}.
    f′(x)=x−2x2\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x^{2}}
  4. Panta tangentei în punctul de abscisă a\displaystyle a este f′(a)\displaystyle f'(a). Impunem f′(a)=−1\displaystyle f'(a)=-1, adică a−2a2=−1\displaystyle \dfrac{a-2}{a^{2}}=-1.
    f′(a)=−1⇔a−2a2=−1\displaystyle f'(a)=-1\Leftrightarrow \frac{a-2}{a^{2}}=-1
  5. Înmulțim cu a2\displaystyle a^{2}, nenul deoarece a>0\displaystyle a>0: a−2=−a2\displaystyle a-2=-a^{2}. Mutăm toți termenii în stânga și obținem ecuația de gradul al doilea.
    a2+a−2=0\displaystyle a^{2}+a-2=0
  6. Rezolvăm ecuația: Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci a=−1±32\displaystyle a=\dfrac{-1\pm 3}{2}, adică a=−2\displaystyle a=-2 sau a=1\displaystyle a=1. Domeniul funcției este (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci a=−2\displaystyle a=-2 nu convine, iar a=1\displaystyle a=1 convine. Abscisa cerută este 1\displaystyle 1.
    a=−2, care nu convine sau a=1, care convine  ⇒  a=1\displaystyle a=-2\text{, care nu convine sau }a=1\text{, care convine}\;\Rightarrow\; a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−2(x−1)x\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x}.

Demonstrați că f(π2)<0\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)<0.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim fracția termen cu termen, ca să derivăm mai ușor: f(x)=ln⁡x−2+2x\displaystyle f(x)=\ln x-2+\dfrac{2}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f(x)=ln⁡x−2+2x\displaystyle f(x)=\ln x-2+\frac{2}{x}
  2. Derivăm termen cu termen: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (−2)′=0\displaystyle (-2)'=0, (2x)′=−2x2\displaystyle \left(\dfrac{2}{x}\right)'=-\dfrac{2}{x^{2}}. Aducem la numitor comun.
    f′(x)=1x−2x2=x−2x2\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}=\frac{x-2}{x^{2}}
  3. Pentru x∈(0,2)\displaystyle x\in(0,2) avem x−2<0\displaystyle x-2<0 și x2>0\displaystyle x^{2}>0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. Rezultă că f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (0,2)\displaystyle (0,2).
    f′(x)<0, pentru orice x∈(0,2)⇒f este strict \displaystyle f'(x)<0\text{, pentru orice }x\in(0,2)\Rightarrow f\text{ este strict }descresca˘toare pe (0,2)\displaystyle \text{descrescătoare pe }(0,2)
  4. Calculăm f(1)\displaystyle f(1): ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, iar fracția are numărătorul 2(1−1)=0\displaystyle 2(1-1)=0.
    f(1)=ln⁡1−2⋅01=0\displaystyle f(1)=\ln 1-\frac{2\cdot 0}{1}=0
  5. Vrem să plasăm π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} în intervalul (0,2)\displaystyle (0,2), la dreapta lui 1\displaystyle 1. Din 3<π<4\displaystyle 3<\pi<4 obținem 32<π2<2\displaystyle \dfrac{3}{2}<\dfrac{\pi}{2}<2, deci 1<π2<2\displaystyle 1<\dfrac{\pi}{2}<2.
    0<1<π2<2\displaystyle 0<1<\frac{\pi}{2}<2
  6. Cum f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (0,2)\displaystyle (0,2) și 1<π2\displaystyle 1<\dfrac{\pi}{2}, rezultă f(π2)<f(1)\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<f(1). Deoarece f(1)=0\displaystyle f(1)=0, obținem f(π2)<0\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<0.
    0<1<π2<2⇒f(π2)<f(1)=0, deci f(π2)<0\displaystyle 0<1<\frac{\pi}{2}<2\Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2}\right)<f(1)=0\text{, deci }f\left(\frac{\pi}{2}\right)<0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1. Arătați că ∫03f(x) dx=12\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^{2}+1 în integrala cerută: ∫03f(x) dx=∫03(x2+1)dx\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx=\int_0^3\left(x^{2}+1\right)dx.
    ∫03f(x) dx=∫03(x2+1)dx\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx=\int_0^3\left(x^{2}+1\right)dx
  2. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Deci o primitivă a lui f\displaystyle f este F(x)=x33+x\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+x și aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫03(x2+1)dx=(x33+x)∣03\displaystyle \int_0^3\left(x^{2}+1\right)dx=\left.\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\right|_0^3
  3. Calculăm F(3)=333+3=273+3=9+3=12\displaystyle F(3)=\dfrac{3^{3}}{3}+3=\dfrac{27}{3}+3=9+3=12 și F(0)=033+0=0\displaystyle F(0)=\dfrac{0^{3}}{3}+0=0.
    F(3)=12 și F(0)=0\displaystyle F(3)=12\text{ și }F(0)=0
  4. Scădem: F(3)−F(0)=12−0=12\displaystyle F(3)-F(0)=12-0=12. Prin urmare, integrala este egală cu 12\displaystyle 12, ceea ce trebuia arătat.
    273+3−0=12\displaystyle \frac{27}{3}+3-0=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1.

Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=xf(x)\displaystyle g(x)=\frac{x}{f(x)}, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Cum f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^{2}+1, obținem g(x)=xx2+1\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
    g(x)=xx2+1\displaystyle g(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x≥0\displaystyle x\ge 0 și x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0, deci g(x)≥0\displaystyle g(x)\ge 0 și ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x).
    g(x)≥0 pe [0,1]⇒∣g(x)∣=g(x)\displaystyle g(x)\ge 0\text{ pe }[0,1]\Rightarrow |g(x)|=g(x)
  3. Aria este A=∫01∣g(x)∣ dx=∫01xx2+1 dx\displaystyle \mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1|g(x)|\,dx=\int_0^1\dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx.
    A=∫01xx2+1 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1\dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx
  4. Deoarece (x2+1)′=2x\displaystyle \left(x^{2}+1\right)'=2x, avem xx2+1=12⋅(x2+1)′x2+1\displaystyle \dfrac{x}{x^{2}+1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x^{2}+1\right)'}{x^{2}+1}, deci o primitivă este 12ln⁡(x2+1)\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right). Argumentul logaritmului este pozitiv, deci nu avem nevoie de modul.
    ∫xx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)+C\displaystyle \int\dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx=\dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: A=12ln⁡(x2+1)∣01\displaystyle \mathcal{A}=\left.\dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)\right|_0^1.
    A=12ln⁡(x2+1)∣01\displaystyle \mathcal{A}=\left.\dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)\right|_0^1
  6. Calculăm: A=12ln⁡2−12ln⁡1=12ln⁡2−0\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\ln 2-\dfrac{1}{2}\ln 1=\dfrac{1}{2}\ln 2-0. Deci aria este 12ln⁡2\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln 2.
    A=12ln⁡2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1.

Demonstrați că există un unic număr real x\displaystyle x pentru care ∫0xef(t) dt=x\displaystyle \int_0^x e^{f(t)}\,dt=x.
Vezi rezolvarea
  1. Definim funcția h:R→R\displaystyle h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, h(x)=∫0xef(t) dt−x\displaystyle h(x)=\int_0^x e^{f(t)}\,dt-x. Ecuația din enunț este echivalentă cu h(x)=0\displaystyle h(x)=0. Cum f(t)=t2+1\displaystyle f(t)=t^2+1, avem ef(t)=et2+1\displaystyle e^{f(t)}=e^{t^2+1}.
    h(x)=∫0xet2+1 dt−x\displaystyle h(x)=\int_0^x e^{t^2+1}\,dt-x
  2. Funcția t↦et2+1\displaystyle t\mapsto e^{t^2+1} este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci x↦∫0xet2+1 dt\displaystyle x\mapsto\int_0^x e^{t^2+1}\,dt este derivabilă, cu derivata ex2+1\displaystyle e^{x^2+1}. Derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1. Rezultă:
    h′(x)=ex2+1−1\displaystyle h'(x)=e^{x^2+1}-1
  3. Pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x2≥0\displaystyle x^2\ge 0, deci x2+1≥1\displaystyle x^2+1\ge 1. Cum exponențiala este strict crescătoare, ex2+1≥e>1\displaystyle e^{x^2+1}\ge e>1. Prin urmare h′(x)>0\displaystyle h'(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    h′(x)≥e−1>0\displaystyle h'(x)\ge e-1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Cum h′(x)>0\displaystyle h'(x)>0 pe R\displaystyle \mathbb{R}, funcția h\displaystyle h este strict crescătoare, deci injectivă. Calculăm h(0)=∫00et2+1 dt−0=0\displaystyle h(0)=\int_0^0 e^{t^2+1}\,dt-0=0, deci x=0\displaystyle x=0 este soluție a ecuației h(x)=0\displaystyle h(x)=0. Din injectivitate, nu mai există altă soluție. Așadar ecuația ∫0xef(t) dt=x\displaystyle \int_0^x e^{f(t)}\,dt=x are o unică soluție reală.
    h strict cresca˘toare⇒h injectiva˘, h(0)=0, deci exista˘ un unic x (x=0)\displaystyle h\text{ strict crescătoare}\Rightarrow h\text{ injectivă, }h(0)=0\text{, deci există un unic }x\text{ (}x=0\text{)}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.