Bac matematică M2 științe ale naturii 2022, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că numărul

\displaystyle N=\log_2 24-\log_2 12+3

este pătratul unui număr natural.

Vezi rezolvarea

Aplicăm formula diferenței logaritmilor cu aceeași bază: $\displaystyle \log_a x-\log_a y=\log_a\dfrac{x}{y}$ . Obținem $\displaystyle \log_2 24-\log_2 12=\log_2\dfrac{24}{12}$ .
$\displaystyle N=\log_2\frac{24}{12}+3$
Simplificăm fracția: $\displaystyle \dfrac{24}{12}=2$ , deci logaritmul devine $\displaystyle \log_2 2$ .
$\displaystyle N=\log_2 2+3$
Deoarece $\displaystyle \log_2 2=1$ , avem $\displaystyle N=1+3=4$ .
$\displaystyle N=1+3=4$
Scriem $\displaystyle 4=2^{2}$ , iar $\displaystyle 2$ este număr natural. Deci $\displaystyle N$ este pătratul unui număr natural.
$\displaystyle N=4=2^{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care punctul

\displaystyle A(a,a^2)

aparține graficului funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-1

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle A(a,a^{2})$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$ dacă ordonata sa este egală cu valoarea funcției în abscisă, adică $\displaystyle f(a)=a^{2}$ .
$\displaystyle f(a)=a^{2}$
Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ în $\displaystyle f(x)=2x-1$ și obținem $\displaystyle f(a)=2a-1$ . Condiția devine $\displaystyle 2a-1=a^{2}$ .
$\displaystyle 2a-1=a^{2}$
Mutăm toți termenii în același membru și obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle a^{2}-2a+1=0$ .
$\displaystyle a^{2}-2a+1=0$
Observăm că $\displaystyle a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}$ , deci ecuația devine $\displaystyle (a-1)^{2}=0$ .
$\displaystyle (a-1)^{2}=0$
Un pătrat este nul doar dacă baza este nulă, deci $\displaystyle a-1=0$ , de unde $\displaystyle a=1$ . Verificare: $\displaystyle f(1)=2\cdot 1-1=1=1^{2}$ .
$\displaystyle a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x^2-2x-2}=x-2

.

Vezi rezolvarea

Radicalul este mereu mai mare sau egal cu zero, deci trebuie ca $\displaystyle x-2\ge 0$ , adică $\displaystyle x\ge 2$ , iar expresia de sub radical să fie nenegativă: $\displaystyle x^{2}-2x-2\ge 0$ .
$\displaystyle x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2$
Ridicăm ambii membri la pătrat: $\displaystyle x^{2}-2x-2=(x-2)^{2}$ .
$\displaystyle x^{2}-2x-2=(x-2)^{2}$
Folosim formula $\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ și obținem $\displaystyle (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$ .
$\displaystyle x^{2}-2x-2=x^{2}-4x+4$
Reducem $\displaystyle x^{2}$ din ambii membri: $\displaystyle -2x-2=-4x+4$ . Mutăm termenii: $\displaystyle -2x+4x=4+2$ , deci $\displaystyle 2x=6$ .
$\displaystyle 2x=6$
Împărțim la 2 și obținem $\displaystyle x=3$ .
$\displaystyle x=3$
Avem $\displaystyle 3\ge 2$ . Înlocuim în ecuație: $\displaystyle \sqrt{3^{2}-2\cdot 3-2}=\sqrt{1}=1$ , iar $\displaystyle 3-2=1$ . Egalitatea este adevărată, deci soluția convine.
$\displaystyle x=3\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

\displaystyle A=\{1!,2!,3!,\ldots,10!\}

, acesta să fie divizibil cu

\displaystyle 9

.

Vezi rezolvarea

Mulțimea $\displaystyle A$ are 10 elemente: $\displaystyle 1!, 2!, \ldots, 10!$ . Acestea sunt numere distincte, deci numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 10$ .
$\displaystyle 10\text{ cazuri posibile}$
Un factorial $\displaystyle n!$ este divizibil cu $\displaystyle 9=3^{2}$ dacă în produsul $\displaystyle 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n$ apare factorul $\displaystyle 3$ de cel puțin două ori. Pentru $\displaystyle n\le 5$ apare doar factorul $\displaystyle 3$ din numărul $\displaystyle 3$ , deci o singură dată: $\displaystyle 3!=6$ , $\displaystyle 4!=24$ și $\displaystyle 5!=120$ nu se împart la $\displaystyle 9$ . Numerele $\displaystyle 1!$ și $\displaystyle 2!$ sunt mai mici decât $\displaystyle 9$ .
$\displaystyle 1!$ , $\displaystyle 2!$ , $\displaystyle 3!$ , $\displaystyle 4!$ , $\displaystyle 5!\text{ nu sunt divizibile cu }9$
Pentru $\displaystyle n\ge 6$ în produs apar și $\displaystyle 3$ , și $\displaystyle 6=2\cdot 3$ , deci apare cel puțin $\displaystyle 3^{2}$ . De exemplu $\displaystyle 6!=720=9\cdot 80$ , iar factorialii următori îl conțin pe $\displaystyle 6!$ ca factor, deci sunt divizibili cu $\displaystyle 9$ .
$\displaystyle 6!$ , $\displaystyle 7!$ , $\displaystyle 8!$ , $\displaystyle 9!$ , $\displaystyle 10!\text{, deci 5 cazuri }$ $\displaystyle \text{favorabile}$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

și punctul

\displaystyle D

mijlocul segmentului

\displaystyle BC

. Arătați că, pentru orice puncte

\displaystyle E

și

\displaystyle F

astfel încât

\displaystyle \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}

, are loc relația

\displaystyle 2\left(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}

.

Vezi rezolvarea

Descompunem vectorul $\displaystyle \overrightarrow{EB}$ prin relația lui Chasles, trecând prin $\displaystyle A$ : $\displaystyle \overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}$
Descompunem vectorul $\displaystyle \overrightarrow{FC}$ trecând prin $\displaystyle D$ : $\displaystyle \overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}$
Adunăm cele două relații. Din ipoteză, $\displaystyle \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}$ , deci $\displaystyle \overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{FD}$ , iar $\displaystyle \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{0}$ . Rămâne $\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$
Înmulțim cu $\displaystyle 2$ relația obținută.
$\displaystyle 2\left(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}\right)=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{DC}$
Deoarece $\displaystyle D$ este mijlocul lui $\displaystyle BC$ , avem $\displaystyle \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{DC}$ .
$\displaystyle 2\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}$
Înlocuim și folosim din nou relația lui Chasles: $\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ . Obținem relația cerută.
$\displaystyle 2\left(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle (\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=2\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm primul pătrat cu formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , unde $\displaystyle a=\sin x$ și $\displaystyle b=\cos x$ .
$\displaystyle (\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x$
Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ .
$\displaystyle (\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x$
Scădem cele două expresii: termenii $\displaystyle \sin^2 x$ și $\displaystyle \cos^2 x$ se reduc, iar cei doi termeni $\displaystyle 2\sin x\cos x$ se adună.
$\displaystyle (\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=2\sin x\cos x+2\sin x\cos x=4\sin x\cos x$
Folosim formula $\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$ , deci $\displaystyle 4\sin x\cos x=2\cdot(2\sin x\cos x)=2\sin 2x$ .
$\displaystyle 4\sin x\cos x=2\sin 2x$
Folosim formula $\displaystyle \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$ , cu $\displaystyle \alpha=2x$ , deci $\displaystyle \sin 2x=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)$ . Astfel, membrul stâng este egal cu membrul drept, pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 2\sin 2x=2\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x^2 & 1\\ x-1 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(-1))=3

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -1$ în matricea $\displaystyle A(x)$ . Elementul din stânga sus este $\displaystyle (-1)^{2}=1$ , iar elementul din stânga jos este $\displaystyle -1-1=-2$ . Celelalte elemente nu depind de $\displaystyle x$ .
$\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -2 & 1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul de ordin 2 al matricei obținute.
$\displaystyle \det(A(-1))=\begin{vmatrix}1 & 1\\ -2 & 1\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem $\displaystyle 1\cdot 1-1\cdot(-2)=1+2=3$ , deci $\displaystyle \det(A(-1))=3$ .
$\displaystyle 1\cdot1-1\cdot(-2)=1+2=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x^2 & 1\\ x-1 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Demonstrați că matricea

\displaystyle A(x)

este inversabilă, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Deci calculăm $\displaystyle \det(A(x))$ .
$\displaystyle A(x)\text{ inversabilă}\iff \det(A(x))\neq 0$
Calculăm determinantul matricei de ordinul doi: $\displaystyle \det(A(x))=x^{2}\cdot 1-1\cdot (x-1)$ .
$\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}x^2 & 1\\ x-1 & 1\end{vmatrix}=x^2\cdot 1-1\cdot(x-1)$
Desfacem parantezele: $\displaystyle x^{2}-(x-1)=x^{2}-x+1$ , pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \det(A(x))=x^2-x+1\text{, pentru orice număr real }x$
Studiem semnul trinomului $\displaystyle x^{2}-x+1$ . Discriminantul este $\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-3<0$ , iar coeficientul lui $\displaystyle x^{2}$ este $\displaystyle 1>0$ , deci trinomul este pozitiv pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle \Delta=-3<0\Rightarrow x^2-x+1>0\text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}$
Altfel, scriem $\displaystyle x^{2}-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}\geq \dfrac{3}{4}>0$ .
$\displaystyle x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}>0$
Concluzie: $\displaystyle \det(A(x))>0$ , deci $\displaystyle \det(A(x))\neq 0$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ , adică matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle \det(A(x))\neq 0\text{ pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x^2 & 1\\ x-1 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați matricea

\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

pentru care

\displaystyle A(1)\cdot X\cdot A(1)=A(2)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm matricea $\displaystyle A(1)$ , înlocuind $\displaystyle x=1$ în $\displaystyle A(x)$ : $\displaystyle x^{2}=1$ , $\displaystyle x-1=0$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Determinantul este $\displaystyle \det A(1)=1\cdot 1-1\cdot 0=1\neq 0$ , deci $\displaystyle A(1)$ este inversabilă. Inversa se obține schimbând semnul elementului $\displaystyle 1$ de deasupra diagonalei și păstrând elementele diagonale.
$\displaystyle (A(1))^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(2)$ , înlocuind $\displaystyle x=2$ în $\displaystyle A(x)$ : $\displaystyle x^{2}=4$ , $\displaystyle x-1=1$ .
$\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}4 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$
Înmulțim egalitatea $\displaystyle A(1)\cdot X\cdot A(1)=A(2)$ la stânga și la dreapta cu $\displaystyle (A(1))^{-1}$ . Cum $\displaystyle (A(1))^{-1}A(1)=A(1)(A(1))^{-1}=I_2$ , obținem $\displaystyle X=(A(1))^{-1}\cdot A(2)\cdot (A(1))^{-1}$ .
$\displaystyle X=(A(1))^{-1}\cdot A(2)\cdot (A(1))^{-1}$
Calculăm întâi $\displaystyle (A(1))^{-1}\cdot A(2)$ , înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: $\displaystyle 1\cdot 4+(-1)\cdot 1=3$ , $\displaystyle 1\cdot 1+(-1)\cdot 1=0$ , $\displaystyle 0\cdot 4+1\cdot 1=1$ , $\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 1=1$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}$
Înmulțim rezultatul la dreapta cu $\displaystyle (A(1))^{-1}$ : $\displaystyle 3\cdot 1+0\cdot 0=3$ , $\displaystyle 3\cdot(-1)+0\cdot 1=-3$ , $\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 0=1$ , $\displaystyle 1\cdot(-1)+1\cdot 1=0$ . Deci matricea căutată este cea de mai jos.
$\displaystyle X=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -3\\ 1 & 0\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru

\displaystyle x\circ y=xy-\sqrt{2}(x+y-1)+2

.

Arătați că

\displaystyle \sqrt{2}\circ 0=\sqrt{2}

.

Vezi rezolvarea

Scriem legea $\displaystyle x\circ y=xy-\sqrt{2}(x+y-1)+2$ pentru $\displaystyle x=\sqrt{2}$ și $\displaystyle y=0$ , adică înlocuim direct în definiție.
$\displaystyle \sqrt{2}\circ 0=\sqrt{2}\cdot 0-\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+0-1\right)+2$
Produsul $\displaystyle \sqrt{2}\cdot 0$ este $\displaystyle 0$ . Apoi $\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}$ .
$\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)=2-\sqrt{2}$
Înlocuim în expresie: $\displaystyle 0-\left(2-\sqrt{2}\right)+2=-2+\sqrt{2}+2$ . Termenii $\displaystyle -2$ și $\displaystyle 2$ se reduc, deci rezultatul este $\displaystyle \sqrt{2}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle -2+\sqrt{2}+2=\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru

\displaystyle x\circ y=xy-\sqrt{2}(x+y-1)+2

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \left(x-\sqrt{2}\right)\circ\left(x+\sqrt{2}\right)=x

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii pentru $\displaystyle a=x-\sqrt{2}$ și $\displaystyle b=x+\sqrt{2}$ : $\displaystyle a\circ b=ab-\sqrt{2}(a+b-1)+2$ . Egalăm rezultatul cu $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}\left(x-\sqrt{2}+x+\sqrt{2}-1\right)+2=x$
Calculăm produsul cu formula diferenței de pătrate: $\displaystyle \left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=x^{2}-2$ . În paranteză, radicalii se reduc: $\displaystyle x-\sqrt{2}+x+\sqrt{2}-1=2x-1$ .
$\displaystyle x^{2}-2-\sqrt{2}\left(2x-1\right)+2=x$
Desfacem paranteza: $\displaystyle -\sqrt{2}(2x-1)=-2\sqrt{2}x+\sqrt{2}$ . Reducem $\displaystyle -2$ cu $\displaystyle +2$ și mutăm pe $\displaystyle x$ în membrul stâng. Obținem o ecuație de gradul al doilea.
$\displaystyle x^{2}-\left(2\sqrt{2}+1\right)x+\sqrt{2}=0$
Calculăm discriminantul ecuației, cu $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-\left(2\sqrt{2}+1\right)$ , $\displaystyle c=\sqrt{2}$ : $\displaystyle \Delta=\left(2\sqrt{2}+1\right)^{2}-4\sqrt{2}=8+4\sqrt{2}+1-4\sqrt{2}$ .
$\displaystyle \Delta=9$
Aplicăm formula rădăcinilor, cu $\displaystyle \sqrt{\Delta}=3$ : $\displaystyle x=\dfrac{2\sqrt{2}+1\pm 3}{2}$ . Rezultă $\displaystyle x=\dfrac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1$ și $\displaystyle x=\dfrac{2\sqrt{2}+4}{2}=\sqrt{2}+2$ .
$\displaystyle x=\sqrt{2}-1\text{ sau }x=\sqrt{2}+2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru

\displaystyle x\circ y=xy-\sqrt{2}(x+y-1)+2

.

Determinați numerele raționale al căror simetric în raport cu legea de compoziție „

\displaystyle \circ

” este număr rațional.

Vezi rezolvarea

Determinăm elementul neutru $\displaystyle e$ din condiția $\displaystyle x\circ e=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Din $\displaystyle xe-\sqrt{2}(x+e-1)+2=x$ rezultă $\displaystyle x(e-\sqrt{2}-1)-\sqrt{2}e+\sqrt{2}+2=0$ pentru orice $\displaystyle x$ . Deci $\displaystyle e=\sqrt{2}+1$ , iar termenul liber se anulează: $\displaystyle -\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}+2=0$ .
$\displaystyle e=\sqrt{2}+1$
Legea este comutativă, deci $\displaystyle a'$ este simetricul lui $\displaystyle a$ dacă $\displaystyle a\circ a'=a'\circ a=e$ . Scriem condiția pentru $\displaystyle a$ și $\displaystyle a'$ raționale.
$\displaystyle aa'-\sqrt{2}(a+a'-1)+2=\sqrt{2}+1$
Desfacem parantezele: $\displaystyle aa'-\sqrt{2}(a+a')+\sqrt{2}+2=\sqrt{2}+1$ . Reducem $\displaystyle \sqrt{2}$ și mutăm constantele în membrul stâng.
$\displaystyle aa'+1-\sqrt{2}(a+a')=0$
Numerele $\displaystyle a$ și $\displaystyle a'$ sunt raționale, deci $\displaystyle aa'+1$ și $\displaystyle a+a'$ sunt raționale. Relația devine $\displaystyle aa'+1=\sqrt{2}(a+a')$ . Cum $\displaystyle \sqrt{2}$ este irațional, egalitatea este posibilă doar dacă $\displaystyle a+a'=0$ și $\displaystyle aa'+1=0$ .
$\displaystyle a+a'=0\text{ și }aa'=-1$
Din $\displaystyle a+a'=0$ obținem $\displaystyle a'=-a$ . Înlocuim în $\displaystyle aa'=-1$ și rezultă $\displaystyle -a^{2}=-1$ , deci $\displaystyle a^{2}=1$ , adică $\displaystyle a=-1$ sau $\displaystyle a=1$ . Verificare: simetricul lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle -1$ , iar simetricul lui $\displaystyle -1$ este $\displaystyle 1$ , ambele raționale, deci valorile convin.
$\displaystyle a=-1\text{ sau }a=1\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)

,

\displaystyle f(x)=x\left(1-\frac{1}{x}\ln\left(x^2+1\right)\right)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Distribuim factorul $\displaystyle x$ în paranteză: $\displaystyle x\cdot 1=x$ , iar $\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}\ln\left(x^{2}+1\right)=\ln\left(x^{2}+1\right)$ . Deci $\displaystyle f(x)=x-\ln\left(x^{2}+1\right)$ .
$\displaystyle f(x)=x-\ln\left(x^{2}+1\right)$
Derivăm termen cu termen. Derivata lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle 1$ , iar pentru $\displaystyle \ln u$ derivata este $\displaystyle \dfrac{u'}{u}$ , cu $\displaystyle u=x^{2}+1$ și $\displaystyle u'=2x$ . Obținem $\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x$ .
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x=1-\dfrac{2x}{x^{2}+1}$
Aducem la același numitor: $\displaystyle 1=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}$ . Scădem fracțiile și obținem la numărător $\displaystyle x^{2}-2x+1$ , care este pătratul perfect $\displaystyle (x-1)^{2}$ . Deci $\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}+1}$ pentru $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x+1}{x^{2}+1}=\dfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}+1}\text{, }x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)

,

\displaystyle f(x)=x\left(1-\frac{1}{x}\ln\left(x^2+1\right)\right)

.

Determinați numărul natural nenul

\displaystyle n

, știind că tangenta la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul

\displaystyle A(n,f(n))

este paralelă cu dreapta de ecuație

\displaystyle y=\frac{1}{5}x+1

.

Vezi rezolvarea

Simplificăm expresia funcției: distribuim factorul $\displaystyle x$ în paranteză, deoarece $\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1$ .
$\displaystyle f(x)=x-\ln\left(x^{2}+1\right)$
Derivăm funcția: $\displaystyle \left(\ln\left(x^{2}+1\right)\right)'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{2x}{x^{2}+1}$
Aducem la același numitor: $\displaystyle x^{2}+1-2x=(x-1)^{2}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}+1}$
Panta tangentei în $\displaystyle A(n,f(n))$ este $\displaystyle f'(n)$ . Dreapta $\displaystyle y=\dfrac{1}{5}x+1$ are panta $\displaystyle \dfrac{1}{5}$ , iar dreptele paralele au pante egale, deci $\displaystyle f'(n)=\dfrac{1}{5}$ .
$\displaystyle f'(n)=\dfrac{1}{5}\text{, adică }\dfrac{(n-1)^{2}}{n^{2}+1}=\dfrac{1}{5}$
Eliminăm numitorii (înmulțire în cruce): $\displaystyle 5(n-1)^{2}=n^{2}+1$ . Desfacem parantezele: $\displaystyle 5n^{2}-10n+5=n^{2}+1$ .
$\displaystyle 5(n-1)^{2}=n^{2}+1\Leftrightarrow 2n^{2}-5n+2=0$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle 2n^{2}-5n+2=0$ : $\displaystyle \Delta=25-16=9$ , deci $\displaystyle n=\dfrac{5\pm 3}{4}$ , adică $\displaystyle n=2$ sau $\displaystyle n=\dfrac{1}{2}$ . Cum $\displaystyle n$ este număr natural nenul, convine doar $\displaystyle n=2$ .
$\displaystyle n=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)

,

\displaystyle f(x)=x\left(1-\frac{1}{x}\ln\left(x^2+1\right)\right)

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este bijectivă.

Vezi rezolvarea

Simplificăm expresia funcției: distribuim $\displaystyle x$ în paranteză. Obținem $\displaystyle f(x)=x-\ln\left(x^{2}+1\right)$ .
$\displaystyle f(x)=x-\ln\left(x^{2}+1\right)$
Calculăm derivata pe $\displaystyle (0,+\infty)$ : $\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ . Aducem la același numitor, iar numărătorul devine $\displaystyle x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+1}$
Numărătorul $\displaystyle (x-1)^{2}$ este strict pozitiv pentru $\displaystyle x\neq 1$ , iar numitorul $\displaystyle x^{2}+1$ este mereu pozitiv. Deci $\displaystyle f'(x)>0$ pe $\displaystyle (0,1)$ și pe $\displaystyle (1,+\infty)$ . Funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$ , deci este strict crescătoare pe întreg intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }(0,1)\text{ și }(1,+\infty)\text{, }f\text{ continuă în }x=1\Rightarrow f\text{ strict crescătoare pe }(0,+\infty)$
O funcție strict crescătoare este injectivă: dacă $\displaystyle x_{1}<x_{2}$ , atunci $\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})$ , deci valori diferite ale lui $\displaystyle x$ dau valori diferite ale lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f\text{ este injectivă}$
Calculăm limita în $\displaystyle 0$ : $\displaystyle x\to 0$ , iar $\displaystyle \ln\left(x^{2}+1\right)\to\ln 1=0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=0-\ln 1=0$
Calculăm limita la $\displaystyle +\infty$ . Scriem $\displaystyle f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln\left(x^{2}+1\right)}{x}\right)$ . Cu regula lui L'Hôpital, $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(x^{2}+1\right)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{x^{2}+1}=0$ . Deci paranteza tinde la $\displaystyle 1$ , iar produsul tinde la $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă și strict crescătoare, cu $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=0$ și $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ . Deci ia toate valorile din intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$ (proprietatea lui Darboux), adică este surjectivă. Fiind și injectivă, $\displaystyle f$ este bijectivă.
$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=0\text{, }\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\Rightarrow f\text{ surjectivă, deci }$ $\displaystyle \text{bijectivă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{2\ln x}{x^3}

și funcția

\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=\frac{\ln x}{x^2}

, o primitivă a lui

\displaystyle f

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^e x^2\left(f(x)+\frac{2\ln x}{x^3}\right)dx=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{2\ln x}{x^{3}}$ în expresia de sub integrală.
$\displaystyle f(x)+\dfrac{2\ln x}{x^{3}}=\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{2\ln x}{x^{3}}+\dfrac{2\ln x}{x^{3}}$
Termenii $\displaystyle -\dfrac{2\ln x}{x^{3}}$ și $\displaystyle +\dfrac{2\ln x}{x^{3}}$ se reduc, deci rămâne doar $\displaystyle \dfrac{1}{x^{3}}$ .
$\displaystyle f(x)+\dfrac{2\ln x}{x^{3}}=\dfrac{1}{x^{3}}$
Înmulțim cu $\displaystyle x^{2}$ : $\displaystyle x^{2}\cdot\dfrac{1}{x^{3}}=\dfrac{1}{x}$ . Integrala devine $\displaystyle \int_1^e\dfrac{1}{x}\,dx$ , iar o primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ este $\displaystyle \ln x$ .
$\displaystyle \int_1^e x^{2}\left(f(x)+\dfrac{2\ln x}{x^{3}}\right)dx=\int_1^e\dfrac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_1^e$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \ln e-\ln 1$ , unde $\displaystyle \ln e=1$ și $\displaystyle \ln 1=0$ . Deci integrala este egală cu $\displaystyle 1$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \ln e-\ln 1=1-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{2\ln x}{x^3}

și funcția

\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=\frac{\ln x}{x^2}

, o primitivă a lui

\displaystyle f

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^{\sqrt{5}}x\cdot f\left(x^2+3\right)dx=-\frac{5\ln 2}{128}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle (x^2+3)'=2x$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}(x^2+3)'$ . Scriem integrala astfel încât să apară derivata argumentului lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle \int_1^{\sqrt{5}}x\cdot f\left(x^2+3\right)dx=\frac{1}{2}\int_1^{\sqrt{5}}\left(x^2+3\right)'\cdot f\left(x^2+3\right)dx$
Deoarece $\displaystyle F'=f$ , avem $\displaystyle \left(F\left(x^2+3\right)\right)'=\left(x^2+3\right)'\cdot f\left(x^2+3\right)$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \frac{1}{2}F\left(x^2+3\right)\Big|_1^{\sqrt{5}}$
Pentru $\displaystyle x=\sqrt{5}$ avem $\displaystyle x^2+3=8$ , iar pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle x^2+3=4$ . Înlocuim în $\displaystyle F(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\left(F(8)-F(4)\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\ln 8}{64}-\frac{\ln 4}{16}\right)$
Scriem $\displaystyle \ln 8=3\ln 2$ și $\displaystyle \ln 4=2\ln 2$ , apoi aducem fracțiile la numitorul $\displaystyle 64$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{3\ln 2}{64}-\frac{8\ln 2}{64}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{-5\ln 2}{64}=-\frac{5\ln 2}{128}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{2\ln x}{x^3}

și funcția

\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=\frac{\ln x}{x^2}

, o primitivă a lui

\displaystyle f

.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle \int_e^{e^2}x\cdot F(x)\,dx=\frac{a^2-1}{2}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle F(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}}$ în produs și simplificăm prin $\displaystyle x$ : $\displaystyle x\cdot F(x)=x\cdot\dfrac{\ln x}{x^{2}}$ .
$\displaystyle x\cdot F(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
Integrala devine $\displaystyle \displaystyle\int_e^{e^2}\dfrac{\ln x}{x}\,dx$ . Deoarece $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ , o primitivă a funcției $\displaystyle \dfrac{\ln x}{x}$ este $\displaystyle \dfrac{\ln^{2} x}{2}$ .
$\displaystyle \int_e^{e^2}\dfrac{\ln x}{x}\,dx=\dfrac{\ln^{2} x}{2}\Big|_e^{e^2}$
Aplicăm formula Leibniz-Newton. Avem $\displaystyle \ln e^{2}=2$ și $\displaystyle \ln e=1$ , deci integrala este egală cu $\displaystyle \dfrac{2^{2}-1^{2}}{2}$ .
$\displaystyle \dfrac{\ln^{2}\left(e^{2}\right)-\ln^{2} e}{2}=\dfrac{4-1}{2}=\dfrac{3}{2}$
Din condiția din enunț, $\displaystyle \dfrac{a^{2}-1}{2}=\dfrac{3}{2}$ , deci $\displaystyle a^{2}-1=3$ , adică $\displaystyle a^{2}=4$ .
$\displaystyle \dfrac{a^{2}-1}{2}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow a^{2}=4$
Din $\displaystyle a^{2}=4$ rezultă $\displaystyle a=-2$ sau $\displaystyle a=2$ .
$\displaystyle a=-2\text{ sau }a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2022, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani