Bac matematică M2 științe ale naturii 2011, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați numerele întregi

\displaystyle x

care verifică relația

\displaystyle -1 \le \frac{x+1}{3} < 1

.

Vezi rezolvarea

Avem de rezolvat dubla inegalitate $\displaystyle -1 \le \dfrac{x+1}{3} < 1$ . Înmulțim toți cei trei membri cu $\displaystyle 3$ , care este pozitiv, deci sensul inegalităților se păstrează.
$\displaystyle -3 \le x+1 < 3$
Scădem $\displaystyle 1$ din toți cei trei membri ca să izolăm $\displaystyle x$ : $\displaystyle -3-1 \le x < 3-1$ .
$\displaystyle -4 \le x < 2$
Alegem numerele întregi din intervalul $\displaystyle [-4,2)$ : capătul $\displaystyle -4$ este inclus, iar $\displaystyle 2$ este exclus. Obținem numerele întregi de la $\displaystyle -4$ până la $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle x \in \{-4,-3,-2,-1,0,1\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-1

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=x^2-2x+3

.

Vezi rezolvarea

Punctele de intersecție ale graficelor au aceeași abscisă și aceeași ordonată, deci egalăm expresiile celor două funcții: $\displaystyle f(x)=g(x)$ .
$\displaystyle 2x-1=x^{2}-2x+3$
Mutăm toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea: $\displaystyle x^{2}-2x-2x+3+1=0$ .
$\displaystyle x^{2}-4x+4=0$
Recunoaștem pătratul perfect $\displaystyle (x-2)^{2}=0$ , deci ecuația are soluția unică $\displaystyle x=2$ . Același lucru rezultă din discriminantul egal cu zero.
$\displaystyle (x-2)^{2}=0\Rightarrow x=2$
Calculăm ordonata punctului de intersecție înlocuind $\displaystyle x=2$ în $\displaystyle f$ : $\displaystyle f(2)=2\cdot 2-1=3$ . Verificăm cu $\displaystyle g$ : $\displaystyle g(2)=4-4+3=3$ , deci rezultatul coincide.
$\displaystyle f(2)=3=g(2)$
Graficele se intersectează într-un singur punct, de abscisă $\displaystyle 2$ și ordonată $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle A(2,3)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2-\sqrt{2-x}=x

.

Vezi rezolvarea

Izolăm radicalul: din $\displaystyle 2-\sqrt{2-x}=x$ obținem $\displaystyle 2-x=\sqrt{2-x}$ , adică $\displaystyle \sqrt{2-x}=2-x$ .
$\displaystyle \sqrt{2-x}=2-x$
Radicalul există dacă $\displaystyle 2-x\ge 0$ . Cum $\displaystyle \sqrt{2-x}\ge 0$ , trebuie ca și membrul drept $\displaystyle 2-x\ge 0$ . Ambele condiții dau aceeași restricție: $\displaystyle x\le 2$ .
$\displaystyle 2-x\ge 0\Rightarrow x\in(-\infty,2]$
Ridicăm ambii membri la pătrat: $\displaystyle \left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=(2-x)^{2}$ . Folosind formula pătratului diferenței, $\displaystyle (2-x)^{2}=4-4x+x^{2}$ , deci $\displaystyle 2-x=4-4x+x^{2}$ .
$\displaystyle 2-x=4-4x+x^{2}$
Mutăm toți termenii în dreapta și reducem termenii asemenea: $\displaystyle x^{2}-4x+x+4-2=0$ , adică $\displaystyle x^{2}-3x+2=0$ .
$\displaystyle x^{2}-3x+2=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=9-8=1$ . Rădăcinile sunt $\displaystyle x_{1}=\dfrac{3-1}{2}=1$ și $\displaystyle x_{2}=\dfrac{3+1}{2}=2$ .
$\displaystyle x_{1}=1$ , $\displaystyle \ x_{2}=2$
Verificăm condiția $\displaystyle x\le 2$ : ambele valori o respectă. Verificare directă: pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle 2-\sqrt{1}=1$ , iar pentru $\displaystyle x=2$ avem $\displaystyle 2-\sqrt{0}=2$ . Deci ambele soluții convin.
$\displaystyle x\in\{1,2\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați

\displaystyle \frac{P_5}{C_5^2+A_6^2}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm numărul de permutări de 5 elemente: $\displaystyle P_5=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$ .
$\displaystyle P_5=120$
Calculăm combinările de 5 luate câte 2 cu formula $\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ : $\displaystyle C_5^2=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{4\cdot 5}{2}$ .
$\displaystyle C_5^2=\frac{5!}{2!\,3!}=10$
Calculăm aranjamentele de 6 luate câte 2 cu formula $\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ : $\displaystyle A_6^2=\dfrac{6!}{4!}=5\cdot 6$ .
$\displaystyle P_5=120$ , $\displaystyle \ C_5^2=10$ , $\displaystyle \ A_6^2=30$
Adunăm termenii de la numitor: $\displaystyle C_5^2+A_6^2=10+30$ .
$\displaystyle C_5^2+A_6^2=40$
Înlocuim valorile în raport și simplificăm: $\displaystyle \dfrac{P_5}{C_5^2+A_6^2}=\dfrac{120}{40}$ .
$\displaystyle \frac{120}{40}=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În sistemul de coordonate

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,3)

și

\displaystyle B(-1,0)

. Scrieți ecuația dreptei

\displaystyle AB

.

Vezi rezolvarea

Scriem ecuația dreptei determinate de două puncte: $\displaystyle \dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}=\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}$ , cu $\displaystyle A(2,3)$ și $\displaystyle B(-1,0)$ .
$\displaystyle \frac{y-3}{0-3}=\frac{x-2}{-1-2}$
Efectuăm scăderile de la numitori: $\displaystyle 0-3=-3$ și $\displaystyle -1-2=-3$ .
$\displaystyle \frac{y-3}{-3}=\frac{x-2}{-3}$
Numitorii fiind egali, înmulțim ambii membri cu $\displaystyle -3$ și obținem $\displaystyle y-3=x-2$ .
$\displaystyle y-3=x-2$
Aducem ecuația la forma redusă, adunând $\displaystyle 3$ în ambii membri: $\displaystyle y=x+1$ . Verificare: pentru $\displaystyle A$ , $\displaystyle 3=2+1$ ; pentru $\displaystyle B$ , $\displaystyle 0=-1+1$ .
$\displaystyle AB:\ y=x+1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați perimetrul triunghiului

\displaystyle MNP

știind că

\displaystyle MN=2

,

\displaystyle MP=3

și

\displaystyle m(\measuredangle NMP)=120^\circ

.

Vezi rezolvarea

Perimetrul este suma celor trei laturi. Cunoaștem $\displaystyle MN$ și $\displaystyle MP$ , deci trebuie să aflăm latura $\displaystyle NP$ . Folosim teorema cosinusului în triunghiul $\displaystyle MNP$ , pentru unghiul din vârful $\displaystyle M$ .
$\displaystyle NP^2=MN^2+MP^2-2\cdot MN\cdot MP\cdot\cos(\measuredangle NMP)$
Înlocuim valorile cunoscute: $\displaystyle MN=2$ , $\displaystyle MP=3$ și unghiul de $\displaystyle 120^\circ$ .
$\displaystyle NP^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot\cos 120^\circ$
Cosinusul lui $\displaystyle 120^\circ$ este $\displaystyle -\dfrac{1}{2}$ . Calculăm: $\displaystyle NP^2=4+9-12\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=13+6=19$ . Rezultă $\displaystyle NP=\sqrt{19}$ .
$\displaystyle NP^2=4+9-12\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=19\Rightarrow NP=\sqrt{19}$
Adunăm cele trei laturi: $\displaystyle P=MN+MP+NP=2+3+\sqrt{19}$ . Perimetrul este $\displaystyle 5+\sqrt{19}$ .
$\displaystyle P=5+\sqrt{19}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}

.

Calculați determinantul matricei

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A$ , adică matricea cu bare verticale în loc de paranteze: $\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}$
Reamintim formula determinantului de ordin 2: $\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$ , adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$
Înlocuim elementele matricei: $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=2$ , $\displaystyle c=0$ , $\displaystyle d=1$ , deci $\displaystyle \det A=1\cdot 1-2\cdot 0$ .
$\displaystyle \det A=1\cdot 1-2\cdot 0$
Calculăm: $\displaystyle 1\cdot 1=1$ și $\displaystyle 2\cdot 0=0$ , deci $\displaystyle \det A=1-0=1$ .
$\displaystyle \det A=1-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}

.

Calculați

\displaystyle A^2-2A+I_2

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle A^2=A\cdot A$ cu matricea dată $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$
Calculăm elementele produsului, linie pe coloană: $\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 0=1$ , $\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 1=4$ , $\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0=0$ , $\displaystyle 0\cdot 2+1\cdot 1=1$ .
$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}$
Înlocuim în expresie $\displaystyle A^2$ , $\displaystyle A$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A^2-2A+I_2=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Înmulțim fiecare element al lui $\displaystyle A$ cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}$
Efectuăm operațiile element cu element: $\displaystyle 1-2+1=0$ , $\displaystyle 4-4+0=0$ , $\displaystyle 0-0+0=0$ , $\displaystyle 1-2+1=0$ . Obținem matricea nulă.
$\displaystyle A^2-2A+I_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}

.

Determinați matricele

\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

cu proprietatea

\displaystyle X^2=A

.

Vezi rezolvarea

Notăm $\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ , cu $\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle X^2=X\cdot X$ : elementul de pe linia 1, coloana 1 este $\displaystyle a\cdot a+b\cdot c$ , iar cel de pe linia 1, coloana 2 este $\displaystyle ab+bd=b(a+d)$ . La fel obținem celelalte elemente.
$\displaystyle X^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&d^2+bc\end{pmatrix}$
Din $\displaystyle X^2=A$ egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice.
$\displaystyle \begin{cases}a^2+bc=1\\b(a+d)=2\\c(a+d)=0\\d^2+bc=1\end{cases}$
Din $\displaystyle b(a+d)=2\neq 0$ rezultă $\displaystyle a+d\neq 0$ . Atunci din $\displaystyle c(a+d)=0$ obținem $\displaystyle c=0$ .
$\displaystyle c=0$
Cu $\displaystyle c=0$ , primele ecuații devin $\displaystyle a^2=1$ și $\displaystyle d^2=1$ , deci $\displaystyle a^2=d^2$ , adică $\displaystyle a=d$ sau $\displaystyle a=-d$ . Cum $\displaystyle a+d\neq 0$ , rămâne $\displaystyle a=d$ .
$\displaystyle a=d$
Înlocuind $\displaystyle d=a$ în $\displaystyle b(a+d)=2$ obținem $\displaystyle 2ab=2$ , deci $\displaystyle ab=1$ . Sistemul de rezolvat este:
$\displaystyle \begin{cases}a^2=1\\a=d\\ab=1\\c=0\end{cases}$
Din $\displaystyle a^2=1$ avem $\displaystyle a=1$ sau $\displaystyle a=-1$ . Dacă $\displaystyle a=1$ , din $\displaystyle ab=1$ rezultă $\displaystyle b=1$ și $\displaystyle d=1$ . Dacă $\displaystyle a=-1$ , din $\displaystyle ab=1$ rezultă $\displaystyle b=-1$ și $\displaystyle d=-1$ .
$\displaystyle (a,b,d)=(1,1,1)\text{ sau }(a,b,d)=(-1,-1,-1)$
Cu $\displaystyle c=0$ obținem două matrice, care verifică $\displaystyle X^2=A$ .
$\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ X=\begin{pmatrix}-1&-1\\0&-1\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12

.

Demonstrați că

\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3

, oricare ar fi

\displaystyle x,y\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la membrul drept al egalității de demonstrat: $\displaystyle (x-3)(y-3)+3$ .
$\displaystyle (x-3)(y-3)+3$
Înmulțim parantezele termen cu termen: $\displaystyle x\cdot y=xy$ , $\displaystyle x\cdot(-3)=-3x$ , $\displaystyle (-3)\cdot y=-3y$ , $\displaystyle (-3)\cdot(-3)=9$ . Adăugăm și termenul $\displaystyle 3$ rămas.
$\displaystyle (x-3)(y-3)+3=xy-3x-3y+9+3$
Reducem termenii constanți: $\displaystyle 9+3=12$ , deci expresia devine $\displaystyle xy-3x-3y+12$ .
$\displaystyle xy-3x-3y+12$
Expresia obținută este exact definiția legii: $\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12$ . Deci $\displaystyle (x-3)(y-3)+3=x*y$ pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle (x-3)(y-3)+3=x*y$ , $\displaystyle \ \forall x$ , $\displaystyle y\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12

.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle x*x=19

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle xy-3x-3y+9=(x-3)(y-3)$ , deci $\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3$ .
$\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3$
Pentru $\displaystyle y=x$ obținem $\displaystyle x*x=(x-3)^{2}+3$ . Ecuația $\displaystyle x*x=19$ devine $\displaystyle (x-3)^{2}+3=19$ .
$\displaystyle (x-3)^{2}+3=19$
Scădem $\displaystyle 3$ din ambii membri și obținem $\displaystyle (x-3)^{2}=16$ .
$\displaystyle (x-3)^{2}=16$
Din $\displaystyle (x-3)^{2}=16$ rezultă $\displaystyle x-3=4$ sau $\displaystyle x-3=-4$ , deci $\displaystyle x=7$ sau $\displaystyle x=-1$ . Ambele valori sunt numere reale, deci sunt soluții.
$\displaystyle x\in\{-1,7\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12

.

Știind că legea

\displaystyle *

este asociativă, calculați

\displaystyle \sqrt[3]{1}*\sqrt[3]{2}*\ldots*\sqrt[3]{2011}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că legea se scrie sub formă factorizată: $\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3$ . Verificăm: $\displaystyle (x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9$ , deci adăugând $\displaystyle 3$ obținem $\displaystyle xy-3x-3y+12$ .
$\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3$
Calculăm $\displaystyle x*3$ folosind forma factorizată: al doilea factor este $\displaystyle 3-3=0$ , deci produsul se anulează și rămâne $\displaystyle 3$ . Legea este comutativă, deci și $\displaystyle 3*x=3$ . Prin urmare $\displaystyle 3$ este element absorbant.
$\displaystyle x*3=(x-3)\cdot 0+3=3=3*x$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Căutăm în șirul de radicali un termen egal cu $\displaystyle 3$ . Deoarece $\displaystyle \sqrt[3]{27}=3$ , iar $\displaystyle 27$ apare între $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 2011$ , termenul $\displaystyle 3$ se găsește în produs.
$\displaystyle \sqrt[3]{27}=3$
Cum legea este asociativă, putem grupa expresia astfel încât $\displaystyle 3$ să apară ca factor în mijloc, între produsul primilor $\displaystyle 26$ de termeni și produsul termenilor de la $\displaystyle \sqrt[3]{28}$ la $\displaystyle \sqrt[3]{2011}$ .
$\displaystyle \left(\sqrt[3]{1}*\sqrt[3]{2}*\ldots*\sqrt[3]{26}\right)*3*\left(\sqrt[3]{28}*\sqrt[3]{29}*\ldots*\sqrt[3]{2011}\right)$
Notăm cu $\displaystyle A$ prima paranteză și cu $\displaystyle B$ a doua. Folosim faptul că $\displaystyle 3$ este element absorbant: $\displaystyle A*3=3$ , apoi $\displaystyle 3*B=3$ . Rezultatul este $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle A*3*B=(A*3)*B=3*B=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x-x

.

Demonstrați că

\displaystyle f'(x)-f(x)=x-1

, oricare ar fi

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este $\displaystyle f(x)=e^{x}-x$ . Trebuie să arătăm că $\displaystyle f'(x)-f(x)=x-1$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f(x)=e^{x}-x$
Derivăm termen cu termen: $\displaystyle (e^{x})'=e^{x}$ și $\displaystyle (x)'=1$ . Deci $\displaystyle f'(x)=(e^{x}-x)'=e^{x}-1$ .
$\displaystyle f'(x)=e^{x}-1$
Înlocuim în diferență: $\displaystyle f'(x)-f(x)=(e^{x}-1)-(e^{x}-x)$ . Desfacem parantezele: $\displaystyle e^{x}-1-e^{x}+x$ .
$\displaystyle f'(x)-f(x)=(e^{x}-1)-(e^{x}-x)=e^{x}-1-e^{x}+x$
Termenii $\displaystyle e^{x}$ și $\displaystyle -e^{x}$ se reduc, deci rămâne $\displaystyle x-1$ . Așadar $\displaystyle f'(x)-f(x)=x-1$ , oricare ar fi $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)-f(x)=x-1$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x-x

.

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=0

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=0$ : $\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ , adică $\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)$ .
$\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)$
Calculăm $\displaystyle f(0)=e^{0}-0=1-0=1$ .
$\displaystyle f(0)=1$
Derivăm funcția: $\displaystyle f'(x)=(e^{x}-x)'=e^{x}-1$ .
$\displaystyle f'(x)=e^{x}-1$
Calculăm $\displaystyle f'(0)=e^{0}-1=1-1=0$ . Deci $\displaystyle f(0)=1$ și $\displaystyle f'(0)=0$ .
$\displaystyle f(0)=1$ , $\displaystyle \ f'(0)=0$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle y-1=0\cdot(x-0)$ , deci $\displaystyle y-1=0$ , adică $\displaystyle y=1$ . Tangenta este o dreaptă orizontală.
$\displaystyle y=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x-x

.

Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției

\displaystyle f

spre

\displaystyle -\infty

.

Vezi rezolvarea

Asimptota oblică spre $\displaystyle -\infty$ are ecuația $\displaystyle y=mx+n$ , unde $\displaystyle m=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ și $\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-mx\right)$ .
$\displaystyle y=mx+n$ , $\displaystyle \quad m=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}$ , $\displaystyle \quad n=\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-mx\right)$
Înlocuim $\displaystyle f(x)=e^x-x$ și despărțim fracția: $\displaystyle \dfrac{e^x-x}{x}=\dfrac{e^x}{x}-1$ .
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{e^x}{x}-1$
Când $\displaystyle x\to-\infty$ , avem $\displaystyle e^x\to0$ și $\displaystyle x\to-\infty$ , deci $\displaystyle \dfrac{e^x}{x}\to0$ . Rezultă $\displaystyle m=0-1=-1$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x-x}{x}=-1$
Calculăm $\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-(-1)\cdot x\right)=\lim_{x\to-\infty}\left(e^x-x+x\right)$ .
$\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)+x\right)=\lim_{x\to-\infty}\left(e^x-x+x\right)$
Termenii $\displaystyle -x$ și $\displaystyle x$ se reduc, iar $\displaystyle e^x\to0$ când $\displaystyle x\to-\infty$ . Rezultă $\displaystyle n=0$ .
$\displaystyle n=\lim_{x\to-\infty}e^x=0$
Înlocuind $\displaystyle m=-1$ și $\displaystyle n=0$ în $\displaystyle y=mx+n$ , obținem asimptota oblică spre $\displaystyle -\infty$ : $\displaystyle y=-x$ .
$\displaystyle y=-x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}

.

Calculați

\displaystyle \int_1^e\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$ în integrală: $\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x}$ , deoarece termenii $\displaystyle \dfrac{1}{x+1}$ se reduc.
$\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x}$
Integrala cerută devine $\displaystyle \int_1^e \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle \int_1^e\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$
O primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ este $\displaystyle \ln x$ , deci cu formula Leibniz-Newton obținem $\displaystyle \int_1^e\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln x\Big|_1^e$ .
$\displaystyle \ln x\Big|_1^e$
Calculăm la limite: $\displaystyle \ln e=1$ și $\displaystyle \ln 1=0$ , deci $\displaystyle \ln e-\ln 1=1-0=1$ .
$\displaystyle \ln e-\ln 1=1-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}

.

Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției

\displaystyle f

, axa

\displaystyle Ox

și dreptele de ecuație

\displaystyle x=1

și

\displaystyle x=2

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x>0$ avem $\displaystyle \dfrac{1}{x}>0$ și $\displaystyle \dfrac{1}{x+1}>0$ , deci $\displaystyle f(x)>0$ și $\displaystyle |f(x)|=f(x)$ pe $\displaystyle [1,2]$ . Aria este integrala funcției pe acest interval.
$\displaystyle A=\int_1^2 |f(x)|\,\mathrm{d}x=\int_1^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x$
O primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ este $\displaystyle \ln x$ , iar o primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{x+1}$ este $\displaystyle \ln(x+1)$ , pentru $\displaystyle x>0$ . Deci integrala devine:
$\displaystyle A=\left(\ln x+\ln(x+1)\right)\Big|_1^2$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm expresia în $\displaystyle x=2$ și scădem valoarea ei în $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle A=\left(\ln 2+\ln 3\right)-\left(\ln 1+\ln 2\right)$
Folosim $\displaystyle \ln 1=0$ și observăm că $\displaystyle \ln 2$ se reduce. Rămâne:
$\displaystyle A=\ln 3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}

.

Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei

\displaystyle Ox

a graficului funcției

\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=f(x)

.

Vezi rezolvarea

Volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g$ pe intervalul $\displaystyle [1,2]$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este $\displaystyle V=\pi\int_1^2 g^2(x)\,dx$ . Aici $\displaystyle g(x)=f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$ .
$\displaystyle V=\pi\int_1^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\right)^2\mathrm{d}x$
Dezvoltăm pătratul sumei cu formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ , unde $\displaystyle a=\dfrac{1}{x}$ și $\displaystyle b=\dfrac{1}{x+1}$ . Dublul produsului este $\displaystyle 2ab=\dfrac{2}{x(x+1)}$ .
$\displaystyle V=\pi\int_1^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{2}{x(x+1)}\right)\mathrm{d}x$
Termenul cu produs se descompune în fracții simple, deoarece $\displaystyle \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x(x+1)}$ . Deci $\displaystyle \dfrac{2}{x(x+1)}$ se scrie ca mai jos.
$\displaystyle \frac{2}{x(x+1)}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}$
Integrăm termen cu termen. Primitiva lui $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}$ este $\displaystyle -\dfrac{1}{x}$ și primitiva lui $\displaystyle \dfrac{1}{(x+1)^2}$ este $\displaystyle -\dfrac{1}{x+1}$ . Primitiva lui $\displaystyle \dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x+1}$ este $\displaystyle 2\ln x-2\ln(x+1)=2\ln\dfrac{x}{x+1}$ , pentru că $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle V=\pi\left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+2\ln\frac{x}{x+1}\right)\Big|_1^2$
Calculăm valoarea expresiei din paranteză pentru $\displaystyle x=2$ și pentru $\displaystyle x=1$ . Pentru $\displaystyle x=2$ obținem $\displaystyle -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+2\ln\dfrac{2}{3}$ . Pentru $\displaystyle x=1$ obținem $\displaystyle -1-\dfrac{1}{2}+2\ln\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle V=\pi\left[\left(-\frac{5}{6}+2\ln\frac{2}{3}\right)-\left(-\frac{3}{2}+2\ln\frac{1}{2}\right)\right]$
Scădem. Părțile raționale dau $\displaystyle -\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{-5+9}{6}=\dfrac{2}{3}$ . Logaritmii dau $\displaystyle 2\left(\ln\dfrac{2}{3}-\ln\dfrac{1}{2}\right)=2\ln\left(\dfrac{2}{3}\cdot 2\right)=2\ln\dfrac{4}{3}$ .
$\displaystyle V=\pi\left(\frac{2}{3}+2\ln\frac{4}{3}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2011, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani