Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, model, test de evaluare 6: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați media geometrică a numerelor x=log⁡68+log⁡627\displaystyle x=\log_6 8+\log_6 27 și y=22⋅33+62\displaystyle y=\sqrt{2^2\cdot 3^3+6^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Media geometrică a numerelor pozitive x\displaystyle x și y\displaystyle y este xy\displaystyle \sqrt{xy}. Trebuie deci să calculăm mai întâi x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    mg=xy\displaystyle m_g=\sqrt{xy}
  2. Folosim formula: suma logaritmilor în aceeași bază este logaritmul produsului. Astfel x=log⁡6(8⋅27)\displaystyle x=\log_6(8\cdot 27).
    x=log⁡6(8⋅27)=log⁡6216\displaystyle x=\log_6(8\cdot 27)=\log_6 216
  3. Observăm că 216=63\displaystyle 216=6^3, deci x=log⁡663=3\displaystyle x=\log_6 6^3=3.
    x=3\displaystyle x=3
  4. Calculăm expresia de sub radical pentru y\displaystyle y: 22⋅33=4⋅27=108\displaystyle 2^2\cdot 3^3=4\cdot 27=108. Adunăm 62=36\displaystyle 6^2=36 și obținem 108+36=144\displaystyle 108+36=144. Deci y=144=12\displaystyle y=\sqrt{144}=12.
    x=3\displaystyle x=3, y=144=12\displaystyle \ y=\sqrt{144}=12
  5. Înlocuim x\displaystyle x și y\displaystyle y în formula mediei geometrice: xy=3⋅12=36\displaystyle \sqrt{xy}=\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}, deci media geometrică este 6\displaystyle 6.
    xy=3⋅12=36=6\displaystyle \sqrt{xy}=\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+a\displaystyle f(x)=x^2+2x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care graficul funcției f\displaystyle f intersectează axa Ox\displaystyle Ox în două puncte distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul funcției intersectează axa Ox\displaystyle Ox în punctele în care f(x)=0\displaystyle f(x)=0, adică în soluțiile ecuației x2+2x+a=0\displaystyle x^{2}+2x+a=0. Graficul are două puncte distincte de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox exact când această ecuație de gradul al doilea are două soluții reale distincte.
    x2+2x+a=0\displaystyle x^{2}+2x+a=0
  2. O ecuație de gradul al doilea are două soluții reale distincte când discriminantul este strict pozitiv. Identificăm coeficienții: 1\displaystyle 1 pentru x2\displaystyle x^{2}, b=2\displaystyle b=2 și termenul liber c=a\displaystyle c=a.
    Δ=b2−4⋅1⋅a\displaystyle \Delta=b^{2}-4\cdot 1\cdot a
  3. Calculăm discriminantul: Δ=22−4a=4−4a\displaystyle \Delta=2^{2}-4a=4-4a. Condiția pentru două puncte distincte este ca discriminantul să fie pozitiv.
    Δ>0\displaystyle \Delta>0, deci 4−4a>0\displaystyle \text{ deci }4-4a>0
  4. Rezolvăm inegalitatea: 4−4a>0\displaystyle 4-4a>0 implică 4>4a\displaystyle 4>4a. Împărțim la 4\displaystyle 4, care este pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează. Obținem a<1\displaystyle a<1.
    a<1\displaystyle a<1
  5. Scriem răspunsul sub formă de interval: valorile cerute sunt cele din intervalul (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1), cu 1\displaystyle 1 exclus, deoarece pentru a=1\displaystyle a=1 discriminantul este 0\displaystyle 0 și graficul atinge axa într-un singur punct.
    a∈(−∞,1)\displaystyle a\in(-\infty,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 72−x2=72x−1\displaystyle 7^{2-x^2}=7^{2x-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația are aceeași bază 7\displaystyle 7, pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, în ambii membri, iar funcția exponențială este injectivă. Prin urmare, egalăm exponenții: 2−x2=2x−1\displaystyle 2-x^{2}=2x-1.
    2−x2=2x−1\displaystyle 2-x^{2}=2x-1
  2. Mutăm toți termenii în membrul drept: 0=x2+2x−1−2\displaystyle 0=x^{2}+2x-1-2, adică x2+2x−3=0\displaystyle x^{2}+2x-3=0.
    x2+2x−3=0\displaystyle x^{2}+2x-3=0
  3. Pentru a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=−3\displaystyle c=-3 calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=4+12=16\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=4+12=16.
    Δ=16\displaystyle \Delta=16
  4. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=−2±42\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2\pm 4}{2}. Rezultă x1=−2−42=−3\displaystyle x_{1}=\dfrac{-2-4}{2}=-3 și x2=−2+42=1\displaystyle x_{2}=\dfrac{-2+4}{2}=1. Ambele sunt soluții, deoarece exponenții sunt definiți pentru orice x\displaystyle x real.
    x=−3 sau x=1\displaystyle x=-3\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Arătați că produsul numerelor A52\displaystyle A_5^2, C62\displaystyle C_6^2 și A42\displaystyle A_4^2 este pătratul unui număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A52\displaystyle A_5^2 cu formula aranjamentelor Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}, deci A52=5!3!=4⋅5=20\displaystyle A_5^2=\dfrac{5!}{3!}=4\cdot 5=20.
    A52=4⋅5=20\displaystyle A_5^2=4\cdot 5=20
  2. Calculăm C62\displaystyle C_6^2 cu formula combinărilor Cnk=n!k! (n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}, deci C62=6!2!⋅4!=5⋅62=3⋅5=15\displaystyle C_6^2=\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}=\dfrac{5\cdot 6}{2}=3\cdot 5=15.
    C62=3⋅5=15\displaystyle C_6^2=3\cdot 5=15
  3. Calculăm A42=4!2!=3⋅4=12\displaystyle A_4^2=\dfrac{4!}{2!}=3\cdot 4=12. Cu aceasta avem toate cele trei numere scrise ca produse de factori mici.
    A52=4⋅5\displaystyle A_5^2=4\cdot 5, C62=3⋅5\displaystyle \ C_6^2=3\cdot 5, A42=3⋅4\displaystyle \ A_4^2=3\cdot 4
  4. Facem produsul celor trei numere: 20⋅15⋅12=(4⋅5)(3⋅5)(3⋅4)\displaystyle 20\cdot 15\cdot 12=(4\cdot 5)(3\cdot 5)(3\cdot 4). Grupăm factorii egali: 4⋅4⋅3⋅3⋅5⋅5=42⋅32⋅52\displaystyle 4\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5=4^2\cdot 3^2\cdot 5^2.
    A52⋅C62⋅A42=42⋅32⋅52\displaystyle A_5^2\cdot C_6^2\cdot A_4^2=4^2\cdot 3^2\cdot 5^2
  5. Folosim a2b2c2=(abc)2\displaystyle a^2b^2c^2=(abc)^2: produsul este (4⋅3⋅5)2=602\displaystyle (4\cdot 3\cdot 5)^2=60^2, deci este pătratul numărului natural 60\displaystyle 60.
    A52⋅C62⋅A42=42⋅32⋅52=602\displaystyle A_5^2\cdot C_6^2\cdot A_4^2=4^2\cdot 3^2\cdot 5^2=60^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,a+1)\displaystyle A(-1,a+1), B(2,−3)\displaystyle B(2,-3) și C(3,1−a)\displaystyle C(3,1-a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C sunt coliniare dacă dreptele AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC au aceeași pantă. Abscisele punctelor (−1\displaystyle -1, 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3) sunt diferite, deci pantele există. Condiția este mAB=mBC\displaystyle m_{AB}=m_{BC}.
    mAB=mBC\displaystyle m_{AB}=m_{BC}
  2. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}. Obținem mAB=−3−(a+1)2−(−1)=−a−43\displaystyle m_{AB}=\dfrac{-3-(a+1)}{2-(-1)}=\dfrac{-a-4}{3}.
    mAB=−a+43\displaystyle m_{AB}=-\dfrac{a+4}{3}
  3. Calculăm panta dreptei BC\displaystyle BC: mBC=yC−yBxC−xB=(1−a)−(−3)3−2=4−a1=4−a\displaystyle m_{BC}=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\dfrac{(1-a)-(-3)}{3-2}=\dfrac{4-a}{1}=4-a.
    mAB=−a+43\displaystyle m_{AB}=-\dfrac{a+4}{3}, mBC=4−a\displaystyle \ m_{BC}=4-a
  4. Egalăm pantele: −a+43=4−a\displaystyle -\dfrac{a+4}{3}=4-a. Înmulțim cu −3\displaystyle -3 și obținem a+4=−3(4−a)\displaystyle a+4=-3(4-a), adică a+4=3a−12\displaystyle a+4=3a-12.
    a+4=3a−12\displaystyle a+4=3a-12
  5. Rezolvăm ecuația: 4+12=3a−a\displaystyle 4+12=3a-a, deci 16=2a\displaystyle 16=2a, de unde a=8\displaystyle a=8. Pentru a=8\displaystyle a=8 punctele sunt coliniare.
    a=8\displaystyle a=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați raza cercului înscris în triunghiul MNP\displaystyle MNP, dreptunghic în N\displaystyle N, știind că MN=12\displaystyle MN=12 și NP=16\displaystyle NP=16.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în N\displaystyle N, deci ipotenuza este MP\displaystyle MP. Aplicăm teorema lui Pitagora: MP2=MN2+NP2=122+162=144+256=400\displaystyle MP^{2}=MN^{2}+NP^{2}=12^{2}+16^{2}=144+256=400.
    MP=400=20\displaystyle MP=\sqrt{400}=20
  2. Semiperimetrul este p=MN+NP+MP2=12+16+202=482\displaystyle p=\dfrac{MN+NP+MP}{2}=\dfrac{12+16+20}{2}=\dfrac{48}{2}.
    MP=20\displaystyle MP=20, p=24\displaystyle \ p=24
  3. Aria triunghiului dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: AΔMNP=MN⋅NP2=12⋅162\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta MNP}=\dfrac{MN\cdot NP}{2}=\dfrac{12\cdot 16}{2}.
    AΔMNP=96\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta MNP}=96
  4. Raza cercului înscris este r=AΔMNPp\displaystyle r=\dfrac{\mathcal{A}_{\Delta MNP}}{p}. Înlocuim valorile: r=9624\displaystyle r=\dfrac{96}{24}.
    r=9624=4\displaystyle r=\frac{96}{24}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a2124−a1a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2&1\\2&4&-a\\1&a&-1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+2y+z=12x+4y−az=1x+ay−z=0\displaystyle \begin{cases}ax+2y+z=1\\2x+4y-az=1\\x+ay-z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=−3\displaystyle \det(A(1))=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matrice și scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(12124−111−1)⇒det⁡(A(1))=∣12124−111−1∣\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&-1\\1&1&-1\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(1))=\begin{vmatrix}1&2&1\\2&4&-1\\1&1&-1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Calculăm mai întâi produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei: 1⋅4⋅(−1)\displaystyle 1\cdot4\cdot(-1), 2⋅(−1)⋅1\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot1 și 2⋅1⋅1\displaystyle 2\cdot1\cdot1 (primul, al doilea și al treilea termen).
    1⋅4⋅(−1)+2⋅(−1)⋅1+1⋅2⋅1=−4−2+2=−4\displaystyle 1\cdot4\cdot(-1)+2\cdot(-1)\cdot1+1\cdot2\cdot1=-4-2+2=-4
  3. Calculăm produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei: 1⋅4⋅1\displaystyle 1\cdot4\cdot1, 1⋅(−1)⋅1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot1 și 2⋅2⋅(−1)\displaystyle 2\cdot2\cdot(-1), care se scad din suma anterioară.
    1⋅4⋅1+1⋅(−1)⋅1+2⋅2⋅(−1)=4−1−4=−1\displaystyle 1\cdot4\cdot1+1\cdot(-1)\cdot1+2\cdot2\cdot(-1)=4-1-4=-1
  4. Scădem suma produselor de pe diagonala secundară din suma produselor de pe diagonala principală: −4−(−1)\displaystyle -4-(-1). Obținem valoarea cerută.
    det⁡(A(1))=−4−(−1)=−3\displaystyle \det(A(1))=-4-(-1)=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a2124−a1a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2&1\\2&4&-a\\1&a&-1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+2y+z=12x+4y−az=1x+ay−z=0\displaystyle \begin{cases}ax+2y+z=1\\2x+4y-az=1\\x+ay-z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Calculăm deci det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)).
    A(a) inversabila˘⇔det⁡(A(a))≠0\displaystyle A(a)\text{ inversabilă}\Leftrightarrow \det(A(a))\neq 0
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: det⁡(A(a))=a∣4−aa−1∣−2∣2−a1−1∣+1⋅∣241a∣\displaystyle \det(A(a))=a\begin{vmatrix}4&-a\\a&-1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}2&-a\\1&-1\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}2&4\\1&a\end{vmatrix}.
    det⁡(A(a))=a(−4+a2)−2(−2+a)+(2a−4)\displaystyle \det(A(a))=a\left(-4+a^{2}\right)-2\left(-2+a\right)+\left(2a-4\right)
  3. Desfacem parantezele: a3−4a+4−2a+2a−4\displaystyle a^{3}-4a+4-2a+2a-4. Termenii −2a\displaystyle -2a și +2a\displaystyle +2a se anulează, iar +4\displaystyle +4 și −4\displaystyle -4 se anulează.
    det⁡(A(a))=a3−4a\displaystyle \det(A(a))=a^{3}-4a
  4. Condiția cere a3−4a≠0\displaystyle a^{3}-4a\neq 0. Scoatem factor comun pe a\displaystyle a: a(a2−4)\displaystyle a\left(a^{2}-4\right), apoi folosim diferența de pătrate a2−4=(a−2)(a+2)\displaystyle a^{2}-4=(a-2)(a+2).
    det⁡(A(a))=a(a−2)(a+2)≠0\displaystyle \det(A(a))=a(a-2)(a+2)\neq 0
  5. Un produs este nenul doar dacă fiecare factor este nenul, deci a≠0\displaystyle a\neq 0, a≠2\displaystyle a\neq 2 și a≠−2\displaystyle a\neq -2. Pentru toate celelalte valori reale matricea este inversabilă.
    a∈R∖{−2,0,2}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,0,2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a2124−a1a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2&1\\2&4&-a\\1&a&-1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+2y+z=12x+4y−az=1x+ay−z=0\displaystyle \begin{cases}ax+2y+z=1\\2x+4y-az=1\\x+ay-z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) astfel încât x0=y02=z03\displaystyle x_0=\frac{y_0}{2}=\frac{z_0}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem că există o soluție cu x0=y02=z03\displaystyle x_0=\dfrac{y_0}{2}=\dfrac{z_0}{3}. Notăm valoarea comună cu t\displaystyle t, deci x0=t\displaystyle x_0=t, y0=2t\displaystyle y_0=2t, z0=3t\displaystyle z_0=3t.
    x0=t\displaystyle x_0=t, y0=2t\displaystyle \ y_0=2t, z0=3t\displaystyle \ z_0=3t
  2. Înlocuim x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0, z0\displaystyle z_0 în cele trei ecuații și dăm factor comun pe t\displaystyle t. Prima ecuație: at+4t+3t=t(a+7)\displaystyle at+4t+3t=t(a+7). A doua: 2t+8t−3at=t(10−3a)\displaystyle 2t+8t-3at=t(10-3a). A treia: t+2at−3t=2t(a−1)\displaystyle t+2at-3t=2t(a-1).
    {x0(a+7)=1x0(10−3a)=12x0(a−1)=0\displaystyle \begin{cases}x_0(a+7)=1\\x_0(10-3a)=1\\2x_0(a-1)=0\end{cases}
  3. Din prima ecuație, dacă x0\displaystyle x_0 ar fi 0\displaystyle 0, am avea 0=1\displaystyle 0=1, fals. Deci x0≠0\displaystyle x_0\neq 0. Din a treia ecuație, 2x0(a−1)=0\displaystyle 2x_0(a-1)=0, iar x0≠0\displaystyle x_0\neq 0, deci a−1=0\displaystyle a-1=0.
    x0≠0⇒a=1\displaystyle x_0\neq 0\Rightarrow a=1
  4. Pentru a=1\displaystyle a=1, prima ecuație devine 8x0=1\displaystyle 8x_0=1, deci x0=18\displaystyle x_0=\dfrac{1}{8}. A doua ecuație devine 7x0=1\displaystyle 7x_0=1, deci x0=17\displaystyle x_0=\dfrac{1}{7}. Cele două valori sunt diferite, deci sistemul nu are nicio soluție de forma cerută.
    a=1; x0(a+7)=1⇒x0=18 și x0(10−3a)=1⇒x0=17, ceea ce este imposibil\displaystyle a=1;\ x_0(a+7)=1\Rightarrow x_0=\frac{1}{8}\text{ și }x_0(10-3a)=1\Rightarrow x_0=\frac{1}{7}\text{, ceea ce este imposibil}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x3+y3−273\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3-27}.

Arătați că 2021∗(−2021)=−3\displaystyle 2021*(-2021)=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∗y=x3+y3−273\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3-27} pentru x=2021\displaystyle x=2021 și y=−2021\displaystyle y=-2021.
    2021∗(−2021)=20213+(−2021)3−273\displaystyle 2021*(-2021)=\sqrt[3]{2021^3+(-2021)^3-27}
  2. Cum (−2021)3=−20213\displaystyle (-2021)^3=-2021^3, expresia de sub radical devine 20213−20213−27\displaystyle 2021^3-2021^3-27.
    20213+(−2021)3−273=20213−20213−273\displaystyle \sqrt[3]{2021^3+(-2021)^3-27}=\sqrt[3]{2021^3-2021^3-27}
  3. Termenii 20213\displaystyle 2021^3 și −20213\displaystyle -2021^3 se anulează, deci rămâne −273\displaystyle \sqrt[3]{-27}.
    20213−20213−273=−273\displaystyle \sqrt[3]{2021^3-2021^3-27}=\sqrt[3]{-27}
  4. Deoarece (−3)3=−27\displaystyle (-3)^3=-27, avem −273=−3\displaystyle \sqrt[3]{-27}=-3, deci 2021∗(−2021)=−3\displaystyle 2021*(-2021)=-3.
    −273=−3\displaystyle \sqrt[3]{-27}=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x3+y3−273\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3-27}.

Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru e\displaystyle e trebuie să verifice x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Scriem egalitatea folosind definiția legii: x3+e3−273=x\displaystyle \sqrt[3]{x^3+e^3-27}=x.
    x3+e3−273=x\displaystyle \sqrt[3]{x^3+e^3-27}=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Ridicăm egalitatea la puterea a treia, echivalent pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece funcția cub este injectivă: x3+e3−27=x3\displaystyle x^3+e^3-27=x^3.
    x3+e3−27=x3\displaystyle x^3+e^3-27=x^3
  3. Reducem termenii x3\displaystyle x^3 din ambii membri și obținem e3=27\displaystyle e^3=27, deci e=3\displaystyle e=3.
    e3=27⇒e=3\displaystyle e^3=27\Rightarrow e=3
  4. Verificăm că e=3\displaystyle e=3 este element neutru: 3∗x=33+x3−273=x33=x\displaystyle 3*x=\sqrt[3]{3^3+x^3-27}=\sqrt[3]{x^3}=x. Legea este comutativă, deci x∗3=3∗x=x\displaystyle x*3=3*x=x pentru orice x\displaystyle x real.
    3∗x=33+x3−273=x33=x, deci e=3\displaystyle 3*x=\sqrt[3]{3^3+x^3-27}=\sqrt[3]{x^3}=x\text{, deci }e=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x3+y3−273\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3-27}.

Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+273\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x+27}. Demonstrați că f(x)∗f(y)=f(x+y)\displaystyle f(x)*f(y)=f(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(x)∗f(y)\displaystyle f(x)*f(y) folosind definiția legii a∗b=a3+b3−273\displaystyle a*b=\sqrt[3]{a^3+b^3-27}, în care a=f(x)\displaystyle a=f(x) și b=f(y)\displaystyle b=f(y).
    f(x)∗f(y)=f3(x)+f3(y)−273\displaystyle f(x)*f(y)=\sqrt[3]{f^{3}(x)+f^{3}(y)-27}
  2. Calculăm cuburile: f3(x)=(x+273)3=x+27\displaystyle f^{3}(x)=\left(\sqrt[3]{x+27}\right)^{3}=x+27 și analog f3(y)=y+27\displaystyle f^{3}(y)=y+27.
    f3(x)=x+27\displaystyle f^{3}(x)=x+27,f3(y)=y+27\displaystyle \quad f^{3}(y)=y+27
  3. Înlocuim cuburile sub radical.
    f(x)∗f(y)=(x+27)+(y+27)−273\displaystyle f(x)*f(y)=\sqrt[3]{(x+27)+(y+27)-27}
  4. Reducem termenii: 27+27−27=27\displaystyle 27+27-27=27, deci sub radical rămâne x+y+27\displaystyle x+y+27. Aceasta este exact f(x+y)\displaystyle f(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    f(x)∗f(y)=x+y+273=f(x+y), pentru orice numere \displaystyle f(x)*f(y)=\sqrt[3]{x+y+27}=f(x+y)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x6+7\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3}{x^6+7}.

Arătați că f′(x)=−3x2(x3−1)(x3+7)(x6+7)2\displaystyle f'(x)=\frac{-3x^2\left(x^3-1\right)\left(x^3+7\right)}{\left(x^6+7\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm formula de derivare a câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x3+3\displaystyle u=x^{3}+3 și v=x6+7\displaystyle v=x^{6}+7.
    f′(x)=(x3+3)′(x6+7)−(x3+3)(x6+7)′(x6+7)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(x^{3}+3\right)'\left(x^{6}+7\right)-\left(x^{3}+3\right)\left(x^{6}+7\right)'}{\left(x^{6}+7\right)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (x3+3)′=3x2\displaystyle \left(x^{3}+3\right)'=3x^{2} și (x6+7)′=6x5\displaystyle \left(x^{6}+7\right)'=6x^{5}. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=3x2(x6+7)−6x5(x3+3)(x6+7)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^{2}\left(x^{6}+7\right)-6x^{5}\left(x^{3}+3\right)}{\left(x^{6}+7\right)^{2}}
  3. Desfacem parantezele la numărător: 3x2(x6+7)=3x8+21x2\displaystyle 3x^{2}\left(x^{6}+7\right)=3x^{8}+21x^{2} și 6x5(x3+3)=6x8+18x5\displaystyle 6x^{5}\left(x^{3}+3\right)=6x^{8}+18x^{5}.
    3x8+21x2−6x8−18x5=−3x8−18x5+21x2\displaystyle 3x^{8}+21x^{2}-6x^{8}-18x^{5}=-3x^{8}-18x^{5}+21x^{2}
  4. Scoatem factor comun −3x2\displaystyle -3x^{2} la numărător.
    −3x8−18x5+21x2=−3x2(x6+6x3−7)\displaystyle -3x^{8}-18x^{5}+21x^{2}=-3x^{2}\left(x^{6}+6x^{3}-7\right)
  5. Descompunem x6+6x3−7\displaystyle x^{6}+6x^{3}-7. Notând t=x3\displaystyle t=x^{3}, avem t2+6t−7\displaystyle t^{2}+6t-7, cu rădăcinile 1\displaystyle 1 și −7\displaystyle -7, deci (t−1)(t+7)\displaystyle (t-1)(t+7).
    x6+6x3−7=(x3−1)(x3+7)\displaystyle x^{6}+6x^{3}-7=\left(x^{3}-1\right)\left(x^{3}+7\right)
  6. Înlocuim descompunerea în expresia derivatei și obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=−3x2(x6+6x3−7)(x6+7)2=−3x2(x3−1)(x3+7)(x6+7)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-3x^{2}\left(x^{6}+6x^{3}-7\right)}{\left(x^{6}+7\right)^{2}}=\dfrac{-3x^{2}\left(x^{3}-1\right)\left(x^{3}+7\right)}{\left(x^{6}+7\right)^{2}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x6+7\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3}{x^6+7}.

Determinați asimptotele graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Numitorul x6+7\displaystyle x^{6}+7 este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci funcția este definită și continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Prin urmare graficul nu are asimptote verticale.
    x6+7≥7>0⇒nu exista˘ asimptote \displaystyle x^{6}+7\geq 7>0\Rightarrow \text{nu există asimptote }verticale\displaystyle \text{verticale}
  2. Pentru limita la +∞\displaystyle +\infty, dăm factor comun termenul dominant la numărător (x3\displaystyle x^{3}) și la numitor (x6\displaystyle x^{6}) și simplificăm: f(x)=x3(1+3x3)x6(1+7x6)=1x3⋅1+3x31+7x6\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{3}\left(1+\dfrac{3}{x^{3}}\right)}{x^{6}\left(1+\dfrac{7}{x^{6}}\right)}=\dfrac{1}{x^{3}}\cdot\dfrac{1+\frac{3}{x^{3}}}{1+\frac{7}{x^{6}}}. Fracțiile cu x\displaystyle x la numitor tind la 0\displaystyle 0, iar 1x3→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{3}}\to 0.
    lim⁡x→+∞x3+3x6+7=lim⁡x→+∞1x3⋅1+3x31+7x6=0⋅1=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+3}{x^6+7}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{3}}\cdot\frac{1+\frac{3}{x^{3}}}{1+\frac{7}{x^{6}}}=0\cdot 1=0
  3. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty procedăm la fel: f(x)=1x3⋅1+3x31+7x6\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}\cdot\dfrac{1+\frac{3}{x^{3}}}{1+\frac{7}{x^{6}}}, factorul al doilea tinde la 1\displaystyle 1, iar 1x3→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{3}}\to 0 și pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞x3+3x6+7=0 și lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+3}{x^6+7}=0\text{ și }\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
  4. Deoarece limitele la −∞\displaystyle -\infty și la +∞\displaystyle +\infty sunt egale cu 0\displaystyle 0, dreapta y=0\displaystyle y=0 este asimptotă orizontală spre ambele capete. Cum nu există asimptote verticale, iar existența asimptotei orizontale exclude asimptotele oblice, aceasta este singura asimptotă.
    y=0 asimptota˘ orizontala˘ spre −∞ și spre +∞; graficul nu admite \displaystyle y=0\text{ asimptotă orizontală spre }-\infty\text{ și spre }+\infty\text{; graficul nu admite }asimptote verticale\displaystyle \text{asimptote verticale}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x6+7\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3}{x^6+7}.

Demonstrați că ∣f(x)−f(y)∣≤47\displaystyle |f(x)-f(y)|\le\frac{4}{7}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata lui f\displaystyle f cu formula de derivare a câtului: f′(x)=3x2(x6+7)−6x5(x3+3)(x6+7)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^{2}(x^{6}+7)-6x^{5}(x^{3}+3)}{(x^{6}+7)^{2}}. Numărătorul este −3x8−18x5+21x2\displaystyle -3x^{8}-18x^{5}+21x^{2}.
    f′(x)=−3x8−18x5+21x2(x6+7)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-3x^{8}-18x^{5}+21x^{2}}{(x^{6}+7)^{2}}
  2. Dăm factor comun −3x2\displaystyle -3x^{2} la numărător și descompunem x6+6x3−7=(x3+7)(x3−1)\displaystyle x^{6}+6x^{3}-7=(x^{3}+7)(x^{3}-1), deoarece x3=−7\displaystyle x^{3}=-7 și x3=1\displaystyle x^{3}=1 sunt rădăcinile ecuației de gradul al doilea în x3\displaystyle x^{3}.
    f′(x)=−3x2(x3+7)(x3−1)(x6+7)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-3x^{2}(x^{3}+7)(x^{3}-1)}{(x^{6}+7)^{2}}
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Numitorul este strict pozitiv, deci anulăm factorii numărătorului: x=0\displaystyle x=0, x3=−7\displaystyle x^{3}=-7 sau x3=1\displaystyle x^{3}=1.
    x=−73, x=0 sau x=1\displaystyle x=-\sqrt[3]{7}\text{, }x=0\text{ sau }x=1
  4. Studiem semnul derivei. Factorul −3x2\displaystyle -3x^{2} este negativ (zero doar în 0\displaystyle 0), deci semnul derivei este opus semnului produsului (x3+7)(x3−1)\displaystyle (x^{3}+7)(x^{3}-1). Acest produs este pozitiv pe (−∞,−73)\displaystyle (-\infty,-\sqrt[3]{7}), negativ pe (−73,1)\displaystyle (-\sqrt[3]{7},1) și pozitiv pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Deci f′\displaystyle f' este negativă, apoi pozitivă, apoi negativă. În x=0\displaystyle x=0 derivata se anulează, dar nu își schimbă semnul, deci f\displaystyle f rămâne crescătoare pe [−73,1]\displaystyle [-\sqrt[3]{7},1].
    f descresca˘toare pe (−∞,−73]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,-\sqrt[3]{7}], cresca˘toare pe [−73,1]\displaystyle \ \text{crescătoare pe }[-\sqrt[3]{7},1], descresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle \ \text{descrescătoare pe }[1,+\infty)
  5. Calculăm limitele la infinit. Gradul numitorului este mai mare decât gradul numărătorului, deci limitele sunt 0\displaystyle 0 în ambele direcții.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
  6. Calculăm valorile lui f\displaystyle f în punctele de extrem. Pentru x=−73\displaystyle x=-\sqrt[3]{7} avem x3=−7\displaystyle x^{3}=-7 și x6=49\displaystyle x^{6}=49, deci f(−73)=−7+349+7=−456\displaystyle f\left(-\sqrt[3]{7}\right)=\dfrac{-7+3}{49+7}=-\dfrac{4}{56}. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem f(1)=48\displaystyle f(1)=\dfrac{4}{8}.
    f(−73)=−114\displaystyle f\left(-\sqrt[3]{7}\right)=-\dfrac{1}{14}, f(1)=12\displaystyle \ f(1)=\dfrac{1}{2}
  7. Folosim monotonia și limitele. Pe (−∞,−73]\displaystyle (-\infty,-\sqrt[3]{7}] funcția f\displaystyle f scade de la 0\displaystyle 0 la −114\displaystyle -\dfrac{1}{14}, apoi crește până la 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, apoi scade spre 0\displaystyle 0. Deci minimul lui f\displaystyle f este −114\displaystyle -\dfrac{1}{14} și maximul este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}. Pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y avem f(x)≤12\displaystyle f(x)\le\dfrac{1}{2} și −f(y)≤114\displaystyle -f(y)\le\dfrac{1}{14}, deci f(x)−f(y)≤12+114=47\displaystyle f(x)-f(y)\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{14}=\dfrac{4}{7}. Analog, f(x)−f(y)≥−114−12=−47\displaystyle f(x)-f(y)\ge-\dfrac{1}{14}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{4}{7}. Rezultă că modulul diferenței este cel mult 47\displaystyle \dfrac{4}{7}.
    −114≤f(x)≤12⇒−47≤f(x)−f(y)≤47, deci ∣f(x)−f(y)∣≤47\displaystyle -\dfrac{1}{14}\le f(x)\le\dfrac{1}{2}\Rightarrow-\dfrac{4}{7}\le f(x)-f(y)\le\dfrac{4}{7}\text{, deci }|f(x)-f(y)|\le\dfrac{4}{7}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1e2x\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{e^{2x}}.

Arătați că ∫01e3xf(x)2x+1 dx=e−1\displaystyle \int_0^1\frac{e^{3x}f(x)}{2x+1}\,dx=e-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x+1e2x\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+1}{e^{2x}} în integrand: e3xf(x)2x+1=e3x⋅2x+1e2x2x+1\displaystyle \dfrac{e^{3x}f(x)}{2x+1}=\dfrac{e^{3x}\cdot\dfrac{2x+1}{e^{2x}}}{2x+1}.
    e3xf(x)2x+1=e3x⋅2x+1e2x2x+1\displaystyle \frac{e^{3x}f(x)}{2x+1}=\frac{e^{3x}\cdot\frac{2x+1}{e^{2x}}}{2x+1}
  2. Simplificăm factorul 2x+1\displaystyle 2x+1, care este nenul pe [0,1]\displaystyle [0,1], și obținem e3xe2x=e3x−2x=ex\displaystyle \dfrac{e^{3x}}{e^{2x}}=e^{3x-2x}=e^{x}. Deci integrala devine ∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx. O primitivă a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, deci integrala este ex∣01\displaystyle e^x\Big|_0^1.
    ∫01e3xf(x)2x+1 dx=∫01ex dx=ex∣01\displaystyle \int_0^1\frac{e^{3x}f(x)}{2x+1}\,dx=\int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ex∣01=e1−e0\displaystyle e^x\Big|_0^1=e^1-e^0. Cum e0=1\displaystyle e^0=1, obținem e−1\displaystyle e-1, adică exact valoarea cerută.
    e1−e0=e−1\displaystyle e^1-e^0=e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1e2x\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{e^{2x}}.

Calculați ∫01exf(x) dx\displaystyle \int_0^1e^xf(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în integrală și simplificăm: ex⋅2x+1e2x=(2x+1)e−x\displaystyle e^{x}\cdot\dfrac{2x+1}{e^{2x}}=(2x+1)e^{-x}. Deci integrala cerută este ∫01(2x+1)e−x dx\displaystyle \displaystyle\int_0^1(2x+1)e^{-x}\,dx.
    ∫01exf(x) dx=∫01(2x+1)e−x dx\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx=\int_0^1(2x+1)e^{-x}\,dx
  2. Observăm că (−e−x)′=e−x\displaystyle \left(-e^{-x}\right)'=e^{-x}, deci scriem e−xdx=(−e−x)′dx\displaystyle e^{-x}dx=\left(-e^{-x}\right)'dx și pregătim integrarea prin părți, cu u=2x+1\displaystyle u=2x+1 și v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}.
    ∫01(2x+1)e−x dx=∫01(2x+1)(−e−x)′dx\displaystyle \int_0^1(2x+1)e^{-x}\,dx=\int_0^1(2x+1)\left(-e^{-x}\right)'dx
  3. Aplicăm formula ∫uv′ dx=uv−∫u′v dx\displaystyle \int u v'\,dx=uv-\int u'v\,dx. Cum u′=2\displaystyle u'=2 și v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}, obținem un termen la limite plus ∫012e−xdx\displaystyle \int_0^1 2e^{-x}dx.
    ∫01(2x+1)e−xdx=−(2x+1)e−x∣01+∫012e−xdx\displaystyle \int_0^1(2x+1)e^{-x}dx=-(2x+1)e^{-x}\Big|_0^1+\int_0^12e^{-x}dx
  4. Calculăm termenul integrat: la x=1\displaystyle x=1 valoarea este −3e\displaystyle -\dfrac{3}{e}, iar la x=0\displaystyle x=0 este −1\displaystyle -1. Scăzând, obținem −3e+1\displaystyle -\dfrac{3}{e}+1.
    −(2x+1)e−x∣01=−3e+1\displaystyle -(2x+1)e^{-x}\Big|_0^1=-\frac{3}{e}+1
  5. Calculăm a doua integrală: o primitivă a lui 2e−x\displaystyle 2e^{-x} este −2e−x\displaystyle -2e^{-x}. Evaluăm între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1 și obținem −2e+2\displaystyle -\dfrac{2}{e}+2.
    ∫012e−xdx=−2e−x∣01=−2e+2\displaystyle \int_0^12e^{-x}dx=-2e^{-x}\Big|_0^1=-\frac{2}{e}+2
  6. Adunăm cele două rezultate: −3e+1−2e+2=3−5e\displaystyle -\dfrac{3}{e}+1-\dfrac{2}{e}+2=3-\dfrac{5}{e}. Aducem la același numitor și obținem 3e−5e\displaystyle \dfrac{3e-5}{e}.
    −3e+1−2e+2=3e−5e\displaystyle -\frac{3}{e}+1-\frac{2}{e}+2=\frac{3e-5}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1e2x\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{e^{2x}}.

Arătați că ∫121x(x+2)f(1x)dx=e−12e2\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x(x+2)}f\left(\frac{1}{x}\right)dx=\frac{e-1}{2e^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1x)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right) înlocuind x\displaystyle x cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} în f(x)=2x+1e2x\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+1}{e^{2x}}. Obținem f(1x)=2x+1e2x\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\frac{2}{x}+1}{e^{\frac{2}{x}}}.
    f(1x)=(2x+1)e−2x\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)=\left(\frac{2}{x}+1\right)e^{-\frac{2}{x}}
  2. Aducem paranteza la același numitor: 2x+1=x+2x\displaystyle \dfrac{2}{x}+1=\dfrac{x+2}{x}. Deci f(1x)=x+2x e−2x\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x+2}{x}\,e^{-\frac{2}{x}}.
    f(1x)=x+2x e−2x\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x+2}{x}\,e^{-\frac{2}{x}}
  3. Înmulțim cu 1x(x+2)\displaystyle \dfrac{1}{x(x+2)} și simplificăm factorul x+2\displaystyle x+2: 1x(x+2)⋅x+2x e−2x=1x2 e−2x\displaystyle \dfrac{1}{x(x+2)}\cdot\dfrac{x+2}{x}\,e^{-\frac{2}{x}}=\dfrac{1}{x^{2}}\,e^{-\frac{2}{x}}. Integrala cerută devine ∫121x2 e−2x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^2\dfrac{1}{x^{2}}\,e^{-\frac{2}{x}}\,dx.
    ∫121x(x+2)f(1x)dx=∫121x2e−2xdx\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x(x+2)}f\left(\frac{1}{x}\right)dx=\int_1^2\frac{1}{x^{2}}e^{-\frac{2}{x}}dx
  4. Observăm că (−2x)′=2x2\displaystyle \left(-\dfrac{2}{x}\right)'=\dfrac{2}{x^{2}}, deci 1x2=12(−2x)′\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{2}{x}\right)'. Atunci integrala este 12∫12(−2x)′e−2xdx\displaystyle \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^2\left(-\dfrac{2}{x}\right)'e^{-\frac{2}{x}}dx, iar o primitivă a lui u′eu\displaystyle u'e^{u} este eu\displaystyle e^{u}, cu u=−2x\displaystyle u=-\dfrac{2}{x}.
    ∫121x2e−2xdx=12∫12(−2x)′e−2xdx=12e−2x∣12\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x^{2}}e^{-\frac{2}{x}}dx=\frac{1}{2}\int_1^2\left(-\frac{2}{x}\right)'e^{-\frac{2}{x}}dx=\frac{1}{2}e^{-\frac{2}{x}}\Big|_1^2
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem −22=−1\displaystyle -\dfrac{2}{2}=-1, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem −21=−2\displaystyle -\dfrac{2}{1}=-2. Rezultă 12e−1−12e−2\displaystyle \dfrac{1}{2}e^{-1}-\dfrac{1}{2}e^{-2}.
    12e−1−12e−2=12e−12e2\displaystyle \frac{1}{2}e^{-1}-\frac{1}{2}e^{-2}=\frac{1}{2e}-\frac{1}{2e^{2}}
  6. Aducem fracțiile la numitorul comun 2e2\displaystyle 2e^{2}: 12e=e2e2\displaystyle \dfrac{1}{2e}=\dfrac{e}{2e^{2}}. Deci diferența este e−12e2\displaystyle \dfrac{e-1}{2e^{2}}, adică exact valoarea cerută.
    12e−12e2=e−12e2\displaystyle \frac{1}{2e}-\frac{1}{2e^{2}}=\frac{e-1}{2e^{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.