Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, model, test de evaluare 14: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numerele 11−5\displaystyle \sqrt{11}-\sqrt{5}, 6\displaystyle \sqrt{6} și 11+5\displaystyle \sqrt{11}+\sqrt{5} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim criteriul: numerele nenule a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă b2=a⋅c\displaystyle b^{2}=a\cdot c. Verificăm deci că produsul extremelor este egal cu pătratul termenului din mijloc. Toate cele trei numere sunt nenule, deoarece 11>5\displaystyle \sqrt{11}>\sqrt{5}.
    b2=a⋅c\displaystyle b^{2}=a\cdot c
  2. Calculăm produsul extremelor folosind formula (x−y)(x+y)=x2−y2\displaystyle (x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}, cu x=11\displaystyle x=\sqrt{11} și y=5\displaystyle y=\sqrt{5}.
    (11−5)(11+5)=(11)2−(5)2=11−5=6\displaystyle \left(\sqrt{11}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{11}+\sqrt{5}\right)=\left(\sqrt{11}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}=11-5=6
  3. Calculăm pătratul termenului din mijloc: (6)2=6\displaystyle \left(\sqrt{6}\right)^{2}=6. Obținem aceeași valoare ca produsul extremelor, deci numerele date sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
    6=(6)2, deci numerele date sunt \displaystyle 6=\left(\sqrt{6}\right)^{2}\text{, deci numerele date sunt }termeni consecutivi ai \displaystyle \text{termeni consecutivi ai }unei progresii geometrice\displaystyle \text{unei progresii geometrice}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,1)→R\displaystyle f:(-1,1)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡1+x1−x\displaystyle f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}. Demonstrați că funcția f\displaystyle f este impară.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm mai întâi că domeniul (−1,1)\displaystyle (-1,1) este simetric față de origine: dacă x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1), atunci și −x∈(−1,1)\displaystyle -x\in(-1,1). Astfel f(−x)\displaystyle f(-x) are sens pentru orice x\displaystyle x din domeniu.
    x∈(−1,1)⇒−x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1)\Rightarrow -x\in(-1,1)
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în formula funcției și simplificăm parantezele din fracție: f(−x)=ln⁡1+(−x)1−(−x)\displaystyle f(-x)=\ln\dfrac{1+(-x)}{1-(-x)}.
    f(−x)=ln⁡1+(−x)1−(−x)=ln⁡1−x1+x\displaystyle f(-x)=\ln\frac{1+(-x)}{1-(-x)}=\ln\frac{1-x}{1+x}
  3. Observăm că fracția 1−x1+x\displaystyle \dfrac{1-x}{1+x} este inversa fracției 1+x1−x\displaystyle \dfrac{1+x}{1-x}, deci o scriem ca puterea −1\displaystyle -1 a acesteia. Argumentul logaritmului este pozitiv, deoarece 1+x\displaystyle 1+x și 1−x\displaystyle 1-x sunt pozitive pe (−1,1)\displaystyle (-1,1).
    f(−x)=ln⁡1−x1+x=ln⁡(1+x1−x)−1\displaystyle f(-x)=\ln\frac{1-x}{1+x}=\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}
  4. Folosim proprietatea ln⁡(ak)=k⋅ln⁡a\displaystyle \ln(a^{k})=k\cdot\ln a, cu k=−1\displaystyle k=-1, și recunoaștem pe f(x)\displaystyle f(x): ln⁡(1+x1−x)−1=−ln⁡1+x1−x=−f(x)\displaystyle \ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^{-1}=-\ln\dfrac{1+x}{1-x}=-f(x).
    f(−x)=−ln⁡1+x1−x=−f(x)\displaystyle f(-x)=-\ln\frac{1+x}{1-x}=-f(x)
  5. Deoarece f(−x)=−f(x)\displaystyle f(-x)=-f(x) pentru orice x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1), iar domeniul este simetric, funcția f\displaystyle f este impară.
    f(−x)=−f(x), pentru orice x∈(−1,1), deci funcția f este impara˘\displaystyle f(-x)=-f(x)\text{, pentru orice }x\in(-1,1)\text{, deci funcția }f\text{ este impară}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x+2x=34\displaystyle 4^x+2^x=\frac{3}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 4x=(2x)2\displaystyle 4^x=\left(2^x\right)^2 și notăm t=2x\displaystyle t=2^x, cu t>0\displaystyle t>0. Ecuația devine t2+t=34\displaystyle t^2+t=\dfrac{3}{4}.
    t2+t=34\displaystyle t^{2}+t=\frac{3}{4}, t>0\displaystyle \ t>0
  2. Înmulțim ecuația cu 4\displaystyle 4 și mutăm totul în membrul stâng: 4t2+4t−3=0\displaystyle 4t^2+4t-3=0. Aceasta este ecuația din barem, scrisă cu 2x\displaystyle 2^x.
    4⋅22x+4⋅2x−3=0\displaystyle 4\cdot 2^{2x}+4\cdot 2^x-3=0
  3. Discriminantul este Δ=16+48=64\displaystyle \Delta=16+48=64, deci t=−4±88\displaystyle t=\dfrac{-4\pm 8}{8}, adică t=12\displaystyle t=\dfrac{1}{2} sau t=−32\displaystyle t=-\dfrac{3}{2}. Atunci 4t2+4t−3=(2t−1)(2t+3)\displaystyle 4t^2+4t-3=(2t-1)(2t+3).
    (2⋅2x−1)(2⋅2x+3)=0\displaystyle \left(2\cdot 2^x-1\right)\left(2\cdot 2^x+3\right)=0
  4. Factorul 2⋅2x+3\displaystyle 2\cdot 2^x+3 este strict pozitiv, deci nu se anulează (t=−32\displaystyle t=-\dfrac{3}{2} nu convine, fiindcă t>0\displaystyle t>0). Rămâne 2⋅2x−1=0\displaystyle 2\cdot 2^x-1=0, adică 2x=12\displaystyle 2^x=\dfrac{1}{2}.
    2x=12\displaystyle 2^x=\frac{1}{2}
  5. Cum 12=2−1\displaystyle \dfrac{1}{2}=2^{-1}, din 2x=2−1\displaystyle 2^x=2^{-1} rezultă x=−1\displaystyle x=-1.
    2x=12, deci x=−1\displaystyle 2^x=\frac{1}{2}\text{, deci }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de submulțimi ordonate cu 3\displaystyle 3 elemente ale mulțimii {1,3,5,7}\displaystyle \{1,3,5,7\}.
Vezi rezolvarea
  1. Submulțimile ordonate cu 3\displaystyle 3 elemente ale mulțimii cu 4\displaystyle 4 elemente {1,3,5,7}\displaystyle \{1,3,5,7\} sunt aranjamente de 4\displaystyle 4 luate câte 3\displaystyle 3, deoarece contează ordinea elementelor. Numărul căutat este A43\displaystyle A_4^3.
    A43\displaystyle A_4^3
  2. Aplicăm formula Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!} pentru n=4\displaystyle n=4 și k=3\displaystyle k=3.
    A43=4!(4−3)!=4!1!\displaystyle A_4^3=\frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1!}
  3. Deoarece 1!=1\displaystyle 1!=1, rămâne 4!=1⋅2⋅3⋅4\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4. Obținem 24\displaystyle 24 de submulțimi ordonate.
    A43=4!=24\displaystyle A_4^3=4!=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,−2)\displaystyle A(-1,-2), B(0,3)\displaystyle B(0,3) și C(−1,2)\displaystyle C(-1,2). Determinați ecuația dreptei AD\displaystyle AD, știind că ABCD\displaystyle ABCD este paralelogram.
Vezi rezolvarea
  1. Într-un paralelogram ABCD\displaystyle ABCD laturile opuse AD\displaystyle AD și BC\displaystyle BC sunt paralele, deci dreptele AD\displaystyle AD și BC\displaystyle BC au aceeași pantă. Calculăm mai întâi panta dreptei BC\displaystyle BC.
    AD∥BC⇒mAD=mBC\displaystyle AD\parallel BC\Rightarrow m_{AD}=m_{BC}
  2. Folosim formula pantei pentru punctele B(0,3)\displaystyle B(0,3) și C(−1,2)\displaystyle C(-1,2): mBC=yC−yBxC−xB\displaystyle m_{BC}=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}.
    mBC=2−3−1−0=−1−1=1\displaystyle m_{BC}=\dfrac{2-3}{-1-0}=\dfrac{-1}{-1}=1
  3. Cum AD∥BC\displaystyle AD\parallel BC, panta dreptei AD\displaystyle AD este egală cu panta dreptei BC\displaystyle BC.
    mAD=1\displaystyle m_{AD}=1
  4. Scriem ecuația dreptei care trece prin A(−1,−2)\displaystyle A(-1,-2) și are panta 1\displaystyle 1, folosind formula y−yA=m(x−xA)\displaystyle y-y_A=m(x-x_A).
    y−(−2)=1⋅(x−(−1))⇒y+2=x+1\displaystyle y-(-2)=1\cdot(x-(-1))\Rightarrow y+2=x+1
  5. Aducem ecuația la forma redusă, trecând termenul 2\displaystyle 2 în membrul drept. Aceasta este ecuația dreptei AD\displaystyle AD.
    y+2=x+1, deci y=x−1\displaystyle y+2=x+1\text{, deci }y=x-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Triunghiul ABC\displaystyle ABC are AB=10\displaystyle AB=10 și AC=5\displaystyle AC=5. Arătați că sin⁡C=2sin⁡B\displaystyle \sin C=2\sin B.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este același pentru toate laturile. Latura AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C, iar latura AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B.
    ABsin⁡C=ACsin⁡B\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}
  2. Înlocuim lungimile date, AB=10\displaystyle AB=10 și AC=5\displaystyle AC=5, în egalitatea din teorema sinusurilor.
    10sin⁡C=5sin⁡B\displaystyle \frac{10}{\sin C}=\frac{5}{\sin B}
  3. Din egalitatea de mai sus obținem raportul sinusurilor: sin⁡Bsin⁡C=ACAB=510\displaystyle \dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{10}, adică 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    ABsin⁡C=ACsin⁡B, deci sin⁡Bsin⁡C=ACAB=12\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\text{, deci }\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}
  4. Din sin⁡Bsin⁡C=12\displaystyle \dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{1}{2}, înmulțind cu 2sin⁡C\displaystyle 2\sin C, obținem 2sin⁡B=sin⁡C\displaystyle 2\sin B=\sin C. Ceea ce trebuia arătat.
    sin⁡C=2sin⁡B\displaystyle \sin C=2\sin B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(12−1−2−3024a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-2&-3&0\\2&4&a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+2y−z=−1−2x−3y=12x+4y+az=−2\displaystyle \begin{cases}x+2y-z=-1\\-2x-3y=1\\2x+4y+az=-2\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a))=a+2\displaystyle \det(A(a))=a+2, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) și aplicăm regula triunghiului: adunăm produsele de pe diagonala principală și cele din cele două triunghiuri paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și cele din triunghiurile paralele cu ea.
    det⁡(A(a))=∣12−1−2−3024a∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&2&-1\\-2&-3&0\\2&4&a\end{vmatrix}
  2. Calculăm termenii cu plus: produsul de pe diagonala principală este 1⋅(−3)⋅a=−3a\displaystyle 1\cdot(-3)\cdot a=-3a, iar în cele două triunghiuri avem 2⋅0⋅2=0\displaystyle 2\cdot 0\cdot 2=0 și (−1)⋅(−2)⋅4=8\displaystyle (-1)\cdot(-2)\cdot 4=8.
    −3a+0+8\displaystyle -3a+0+8
  3. Calculăm termenii cu minus: produsul de pe diagonala secundară este (−1)⋅(−3)⋅2=6\displaystyle (-1)\cdot(-3)\cdot 2=6, iar în cele două triunghiuri avem 2⋅(−2)⋅a=−4a\displaystyle 2\cdot(-2)\cdot a=-4a și 1⋅0⋅4=0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 4=0.
    6+(−4a)+0\displaystyle 6+(-4a)+0
  4. Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus: det⁡(A(a))=(−3a+0+8)−(6−4a+0)\displaystyle \det(A(a))=(-3a+0+8)-(6-4a+0). Scăderea lui −4a\displaystyle -4a devine adunarea lui 4a\displaystyle 4a.
    det⁡(A(a))=−3a+8+0−6−0+4a\displaystyle \det(A(a))=-3a+8+0-6-0+4a
  5. Grupăm termenii care conțin pe a\displaystyle a și termenii liberi: (−3a+4a)+(8−6)\displaystyle (-3a+4a)+(8-6). Rezultatul este valabil pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=−3a+4a+8−6=a+2 pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a))=-3a+4a+8-6=a+2\text{ pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(12−1−2−3024a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-2&-3&0\\2&4&a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+2y−z=−1−2x−3y=12x+4y+az=−2\displaystyle \begin{cases}x+2y-z=-1\\-2x-3y=1\\2x+4y+az=-2\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=0\displaystyle a=0, determinați inversa matricei A(a)\displaystyle A(a).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=0\displaystyle a=0 obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(12−1−2−30240)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-2&-3&0\\2&4&0\end{pmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după coloana a treia, care are două elemente nule: det⁡(A(0))=−1⋅∣−2−324∣=−1⋅(−8+6)=2\displaystyle \det(A(0))=-1\cdot\begin{vmatrix}-2&-3\\2&4\end{vmatrix}=-1\cdot(-8+6)=2. Cum det⁡(A(0))≠0\displaystyle \det(A(0))\neq 0, matricea este inversabilă.
    det⁡(A(0))=2≠0\displaystyle \det(A(0))=2\neq 0
  3. Calculăm transpusa matricei A(0)\displaystyle A(0), schimbând liniile cu coloanele.
    tA(0)=(1−222−34−100)\displaystyle {}^tA(0)=\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-3&4\\-1&0&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm matricea adjunctă A∗\displaystyle A^*, formată din complemenții algebrici ai elementelor din tA(0)\displaystyle {}^tA(0). De exemplu, pentru primul element: ∣−3400∣=0\displaystyle \begin{vmatrix}-3&4\\0&0\end{vmatrix}=0. Pentru elementul din linia 1, coloana 2: −∣24−10∣=−4\displaystyle -\begin{vmatrix}2&4\\-1&0\end{vmatrix}=-4. Pentru elementul din linia 1, coloana 3: ∣2−3−10∣=−3\displaystyle \begin{vmatrix}2&-3\\-1&0\end{vmatrix}=-3. Procedăm la fel pentru celelalte elemente.
    A∗=(0−4−3022−201)\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}0&-4&-3\\0&2&2\\-2&0&1\end{pmatrix}
  5. Aplicăm formula A−1(0)=1det⁡(A(0))⋅A∗\displaystyle A^{-1}(0)=\dfrac{1}{\det(A(0))}\cdot A^*, cu det⁡(A(0))=2\displaystyle \det(A(0))=2. Împărțim fiecare element al lui A∗\displaystyle A^* la 2\displaystyle 2.
    A−1(0)=(0−2−32011−1012)\displaystyle A^{-1}(0)=\begin{pmatrix}0&-2&-\frac{3}{2}\\0&1&1\\-1&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=5(x+2)(y+2)-2.

Arătați că x∗(−2)=−2\displaystyle x*(-2)=-2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∗y=5(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=5(x+2)(y+2)-2 și înlocuim y=−2\displaystyle y=-2, pentru un număr real x\displaystyle x oarecare.
    x∗(−2)=5(x+2)(−2+2)−2\displaystyle x*(-2)=5(x+2)(-2+2)-2
  2. Calculăm paranteza din al doilea factor: −2+2=0\displaystyle -2+2=0, deci produsul 5(x+2)⋅0\displaystyle 5(x+2)\cdot 0 este 0\displaystyle 0, oricare ar fi x\displaystyle x.
    5(x+2)⋅0=0\displaystyle 5(x+2)\cdot 0=0
  3. Rămâne doar termenul −2\displaystyle -2, deci rezultatul nu depinde de x\displaystyle x și egalitatea este adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗(−2)=0−2=−2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*(-2)=0-2=-2\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=5(x+2)(y+2)-2.

Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−105\displaystyle f(x)=\frac{e^x-10}{5}. Demonstrați că f(x+y)=f(x)∗f(y)\displaystyle f(x+y)=f(x)*f(y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul f(x)∗f(y)\displaystyle f(x)*f(y) folosind definiția legii: în locul lui x\displaystyle x punem f(x)\displaystyle f(x), iar în locul lui y\displaystyle y punem f(y)\displaystyle f(y).
    f(x)∗f(y)=5(f(x)+2)(f(y)+2)−2\displaystyle f(x)*f(y)=5\left(f(x)+2\right)\left(f(y)+2\right)-2
  2. Înlocuim f(x)=ex−105\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{x}-10}{5} și f(y)=ey−105\displaystyle f(y)=\dfrac{e^{y}-10}{5} în expresia obținută.
    f(x)∗f(y)=5(ex−105+2)(ey−105+2)−2\displaystyle f(x)*f(y)=5\left(\frac{e^x-10}{5}+2\right)\left(\frac{e^y-10}{5}+2\right)-2
  3. Scriem 2=105\displaystyle 2=\dfrac{10}{5} în fiecare paranteză. Termenii −10\displaystyle -10 și +10\displaystyle +10 se reduc, deci rămân doar fracțiile cu ex\displaystyle e^{x} și ey\displaystyle e^{y}.
    ex−105+2=ex5 și ey−105+2=ey5\displaystyle \frac{e^x-10}{5}+2=\frac{e^x}{5}\text{ și }\frac{e^y-10}{5}+2=\frac{e^y}{5}
  4. Înlocuim parantezele și simplificăm: 5⋅125=15\displaystyle 5\cdot\dfrac{1}{25}=\dfrac{1}{5}, iar ex⋅ey=ex+y\displaystyle e^{x}\cdot e^{y}=e^{x+y}.
    5⋅ex5⋅ey5−2=ex+y5−2\displaystyle 5\cdot\frac{e^x}{5}\cdot\frac{e^y}{5}-2=\frac{e^{x+y}}{5}-2
  5. Scriem −2=−105\displaystyle -2=-\dfrac{10}{5} și obținem exact f(x+y)\displaystyle f(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    ex+y5−105=ex+y−105=f(x+y), pentru orice numere \displaystyle \frac{e^{x+y}}{5}-\frac{10}{5}=\frac{e^{x+y}-10}{5}=f(x+y)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=5(x+2)(y+2)-2.

Determinați numărul real x\displaystyle x, astfel încât x∗x∗x=23\displaystyle x*x*x=23.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi x∗x\displaystyle x*x, înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: x∗x=5(x+2)(x+2)−2\displaystyle x*x=5(x+2)(x+2)-2.
    x∗x=5(x+2)2−2\displaystyle x*x=5(x+2)^{2}-2
  2. Folosim asociativitatea: x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Avem (x∗x)+2=5(x+2)2\displaystyle (x*x)+2=5(x+2)^{2}, deci x∗x∗x=5⋅5(x+2)2(x+2)−2\displaystyle x*x*x=5\cdot 5(x+2)^{2}(x+2)-2.
    x∗x∗x=25(x+2)3−2\displaystyle x*x*x=25(x+2)^{3}-2
  3. Punem condiția x∗x∗x=23\displaystyle x*x*x=23, adică 25(x+2)3−2=23\displaystyle 25(x+2)^{3}-2=23. Adunăm 2 în ambii membri: 25(x+2)3=25\displaystyle 25(x+2)^{3}=25.
    25(x+2)3=25\displaystyle 25(x+2)^{3}=25
  4. Împărțim la 25\displaystyle 25 și obținem (x+2)3=1\displaystyle (x+2)^{3}=1. Cum ecuația t3=1\displaystyle t^{3}=1 are în R\displaystyle \mathbb{R} singura soluție t=1\displaystyle t=1, rezultă x+2=1\displaystyle x+2=1, deci x=−1\displaystyle x=-1.
    (x+2)3=1⇔x+2=1, deci x=−1\displaystyle (x+2)^{3}=1\Leftrightarrow x+2=1\text{, deci }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x+5−x−2\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+4x+5}-x-2.

Arătați că f′(x)=x+2x2+4x+5−1\displaystyle f'(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}-1, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2+4x+5=(x+2)2+1>0\displaystyle x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci funcția cu radical este definită și derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2+4x+5=(x+2)2+1>0\displaystyle x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1>0
  2. Folosim formula (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, cu u=x2+4x+5\displaystyle u=x^{2}+4x+5 și u′=2x+4\displaystyle u'=2x+4.
    (x2+4x+5)′=2x+42x2+4x+5\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+4x+5}\right)'=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^{2}+4x+5}}
  3. Derivata lui −x−2\displaystyle -x-2 este −1\displaystyle -1. Adunăm derivatele celor doi termeni ai funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=2x+42x2+4x+5−1\displaystyle f'(x)=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^{2}+4x+5}}-1
  4. La numărător dăm factor comun pe 2\displaystyle 2: 2x+4=2(x+2)\displaystyle 2x+4=2(x+2).
    f′(x)=2(x+2)2x2+4x+5−1\displaystyle f'(x)=\frac{2(x+2)}{2\sqrt{x^{2}+4x+5}}-1
  5. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2 și obținem egalitatea cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=x+2x2+4x+5−1, x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}-1\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x+5−x−2\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+4x+5}-x-2.

Demonstrați că axa Ox\displaystyle Ox este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Axa Ox\displaystyle Ox are ecuația y=0\displaystyle y=0. Ea este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dacă lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. Calculăm această limită.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(x2+4x+5−x−2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x+5}-x-2\right)
  2. Limita are forma ∞−∞\displaystyle \infty-\infty. Scriem expresia ca x2+4x+5−(x+2)\displaystyle \sqrt{x^2+4x+5}-(x+2) și amplificăm cu conjugata x2+4x+5+x+2\displaystyle \sqrt{x^2+4x+5}+x+2.
    x2+4x+5−(x+2)=(x2+4x+5)2−(x+2)2x2+4x+5+x+2\displaystyle \sqrt{x^2+4x+5}-(x+2)=\frac{\left(\sqrt{x^2+4x+5}\right)^2-(x+2)^2}{\sqrt{x^2+4x+5}+x+2}
  3. Dezvoltăm (x+2)2=x2+4x+4\displaystyle (x+2)^2=x^2+4x+4 și scădem la numărător: x2+4x+5−x2−4x−4\displaystyle x^2+4x+5-x^2-4x-4.
    lim⁡x→+∞x2+4x+5−x2−4x−4x2+4x+5+x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+4x+5-x^2-4x-4}{\sqrt{x^2+4x+5}+x+2}
  4. La numărător se reduc x2\displaystyle x^2 și 4x\displaystyle 4x, iar rămâne 5−4=1\displaystyle 5-4=1.
    lim⁡x→+∞1x2+4x+5+x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}+x+2}
  5. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, numitorul tinde la +∞\displaystyle +\infty, deoarece x2+4x+5→+∞\displaystyle \sqrt{x^2+4x+5}\to+\infty și x+2→+∞\displaystyle x+2\to+\infty. Deci fracția cu numărător 1\displaystyle 1 tinde la 0\displaystyle 0. Așadar dreapta y=0\displaystyle y=0, adică axa Ox\displaystyle Ox, este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
    lim⁡x→+∞1x2+4x+5+x+2=0, deci dreapta y=0, adica˘ axa Ox, este asimptota˘ \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}+x+2}=0\text{, deci dreapta }y=0\text{, adică axa }Ox\text{, este asimptotă }orizontala˘ spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{orizontală spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x+5−x−2\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+4x+5}-x-2. Demonstrați că imaginea funcției f\displaystyle f este intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Derivata radicalului este 2x+42x2+4x+5\displaystyle \dfrac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x+5}}, iar derivata lui x+2\displaystyle x+2 este 1\displaystyle 1. Obținem:
    f′(x)=x+2x2+4x+5−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}-1
  2. Presupunem că f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Atunci x+2=x2+4x+5\displaystyle x+2=\sqrt{x^2+4x+5}. Ridicăm la pătrat și simplificăm: se obține 4=5\displaystyle 4=5, fals. Deci f′(x)≠0\displaystyle f'(x)\neq 0 pentru orice x\displaystyle x real. Observație: x2+4x+5=(x+2)2+1>0\displaystyle x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0, deci f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′(x)=0⇒x+2=x2+4x+5⇒x2+4x+4=x2+4x+5⇒4=5, fals, deci f′(x)≠0\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x+2=\sqrt{x^2+4x+5}\Rightarrow x^2+4x+4=x^2+4x+5\Rightarrow 4=5\text{, fals, deci }f'(x)\neq 0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Derivata f′\displaystyle f' este continuă și nu se anulează pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci are semn constant. Aflăm semnul calculând f′(0)=25−1\displaystyle f'(0)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}-1. Deoarece 5>2\displaystyle \sqrt{5}>2, avem 25<1\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{5}}<1, deci f′(0)<0\displaystyle f'(0)<0.
    f′(0)=25−1<0⇒f′(x)<0\displaystyle f'(0)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}-1<0\Rightarrow f'(x)<0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Cum f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pentru orice x\displaystyle x real, funcția f\displaystyle f este strict descrescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f este strict \displaystyle f\text{ este strict }descresca˘toare pe R\displaystyle \text{descrescătoare pe }\mathbb{R}
  5. Limita la −∞\displaystyle -\infty: x2+4x+5→+∞\displaystyle \sqrt{x^2+4x+5}\to+\infty și −x−2→+∞\displaystyle -x-2\to+\infty, deci suma lor tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty
  6. Limita la +∞\displaystyle +\infty: amplificăm cu conjugata. Deoarece x2+4x+5−(x+2)2=1\displaystyle x^2+4x+5-(x+2)^2=1, avem f(x)=1x2+4x+5+x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}+x+2}. Numitorul tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci limita este 0\displaystyle 0.
    f(x)=1x2+4x+5+x+2→0, deci lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}+x+2}\to 0\text{, deci }\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
  7. Funcția f\displaystyle f este continuă și strict descrescătoare, cu lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty și lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. Deci ia toate valorile din (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), fără a atinge 0\displaystyle 0. Prin urmare imaginea funcției este (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    Im⁡f=(0,+∞)\displaystyle \operatorname{Im}f=(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−x−1x2(x+1)\displaystyle f(x)=\frac{x^3-x-1}{x^2(x+1)} și F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x2+1x−ln⁡(x+1)\displaystyle F(x)=\frac{x^2+1}{x}-\ln(x+1).

Arătați că funcția F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f, trebuie să verificăm că F\displaystyle F este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și că F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x). Derivăm separat cei doi termeni ai lui F\displaystyle F.
    F′(x)=(x2+1x)′−(ln⁡(x+1))′\displaystyle F'(x)=\left(\dfrac{x^{2}+1}{x}\right)'-\left(\ln(x+1)\right)'
  2. Derivăm primul termen cu formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x2+1\displaystyle u=x^{2}+1 și v=x\displaystyle v=x. Derivata lui ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1) este 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1}.
    F′(x)=2x⋅x−(x2+1)⋅1x2−1x+1=2x2−x2−1x2−1x+1=x2−1x2−1x+1\displaystyle F'(x)=\dfrac{2x\cdot x-(x^{2}+1)\cdot 1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2x^{2}-x^{2}-1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x+1}
  3. Aducem fracțiile la numitorul comun x2(x+1)\displaystyle x^{2}(x+1).
    F′(x)=(x2−1)(x+1)−x2x2(x+1)\displaystyle F'(x)=\dfrac{(x^{2}-1)(x+1)-x^{2}}{x^{2}(x+1)}
  4. Desfacem parantezele de la numărător: (x2−1)(x+1)=x3+x2−x−1\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)=x^{3}+x^{2}-x-1. Scădem x2\displaystyle x^{2} și reducem termenii asemenea.
    x3+x2−x−1−x2=x3−x−1\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1-x^{2}=x^{3}-x-1
  5. Obținem F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), deci F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
    F′(x)=x3−x−1x2(x+1)=f(x), x∈(0,+∞), deci funcția F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=\dfrac{x^{3}-x-1}{x^{2}(x+1)}=f(x)\text{, }x\in(0,+\infty)\text{, deci funcția }F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−x−1x2(x+1)\displaystyle f(x)=\frac{x^3-x-1}{x^2(x+1)} și F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x2+1x−ln⁡(x+1)\displaystyle F(x)=\frac{x^2+1}{x}-\ln(x+1).

Calculați ∫12(x+1)f(x) dx\displaystyle \int_1^2 (x+1)f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim f(x)\displaystyle f(x) cu x+1\displaystyle x+1: factorul x+1\displaystyle x+1 de la numitor se simplifică, deci (x+1)f(x)=x3−x−1x2\displaystyle (x+1)f(x)=\dfrac{x^{3}-x-1}{x^{2}}.
    (x+1)f(x)=x3−x−1x2\displaystyle (x+1)f(x)=\frac{x^{3}-x-1}{x^{2}}
  2. Împărțim fiecare termen de la numărător la x2\displaystyle x^{2}: x3x2=x\displaystyle \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x, xx2=1x\displaystyle \dfrac{x}{x^{2}}=\dfrac{1}{x}, iar 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} rămâne neschimbat.
    ∫12(x+1)f(x) dx=∫12(x−1x−1x2)dx\displaystyle \int_1^2 (x+1)f(x)\,dx=\int_1^2\left(x-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)dx
  3. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, a lui −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x} este −ln⁡x\displaystyle -\ln x, iar a lui −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}} este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2].
    (x22−ln⁡x+1x)∣12\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{2}-\ln x+\frac{1}{x}\right)\Big|_1^2
  4. Calculăm primitiva în x=2\displaystyle x=2 și în x=1\displaystyle x=1: în 2\displaystyle 2 obținem 2−ln⁡2+12\displaystyle 2-\ln 2+\dfrac{1}{2}, iar în 1\displaystyle 1 obținem 12−ln⁡1+1\displaystyle \dfrac{1}{2}-\ln 1+1.
    2−ln⁡2+12−(12−ln⁡1+1)\displaystyle 2-\ln 2+\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}-\ln 1+1\right)
  5. Folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0 și reducem termenii: 2+12−12−1=1\displaystyle 2+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}-1=1. Rămâne 1−ln⁡2\displaystyle 1-\ln 2.
    1−ln⁡2\displaystyle 1-\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−x−1x2(x+1)\displaystyle f(x)=\frac{x^3-x-1}{x^2(x+1)} și F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x2+1x−ln⁡(x+1)\displaystyle F(x)=\frac{x^2+1}{x}-\ln(x+1).

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>1\displaystyle a>1, astfel încât ∫1af(x) dx=12−ln⁡a+12\displaystyle \int_1^a f(x)\,dx=\frac{1}{2}-\ln\frac{a+1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫1af(x) dx=F(x)∣1a=F(a)−F(1)\displaystyle \int_1^a f(x)\,dx=F(x)\Big|_1^a=F(a)-F(1).
    ∫1af(x) dx=F(a)−F(1)\displaystyle \int_1^a f(x)\,dx=F(a)-F(1)
  2. Calculăm F(1)=12+11−ln⁡(1+1)=2−ln⁡2\displaystyle F(1)=\dfrac{1^2+1}{1}-\ln(1+1)=2-\ln 2.
    F(1)=2−ln⁡2\displaystyle F(1)=2-\ln 2
  3. Înlocuim F(a)\displaystyle F(a) și F(1)\displaystyle F(1) și grupăm logaritmii: −ln⁡(a+1)+ln⁡2=−ln⁡a+12\displaystyle -\ln(a+1)+\ln 2=-\ln\dfrac{a+1}{2}.
    ∫1af(x) dx=a2+1a−ln⁡(a+1)−2+ln⁡2=a2+1a−ln⁡a+12−2\displaystyle \int_1^a f(x)\,dx=\frac{a^2+1}{a}-\ln(a+1)-2+\ln 2=\frac{a^2+1}{a}-\ln\frac{a+1}{2}-2
  4. Egalăm rezultatul cu valoarea din enunț: a2+1a−ln⁡a+12−2=12−ln⁡a+12\displaystyle \dfrac{a^2+1}{a}-\ln\dfrac{a+1}{2}-2=\dfrac{1}{2}-\ln\dfrac{a+1}{2}.
    a2+1a−ln⁡a+12−2=12−ln⁡a+12\displaystyle \frac{a^2+1}{a}-\ln\frac{a+1}{2}-2=\frac{1}{2}-\ln\frac{a+1}{2}
  5. Reducem termenii cu logaritm de pe ambele părți și mutăm −2\displaystyle -2 în dreapta: a2+1a=12+2=52\displaystyle \dfrac{a^2+1}{a}=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}.
    a2+1a=52\displaystyle \frac{a^2+1}{a}=\frac{5}{2}
  6. Înmulțim cu 2a\displaystyle 2a (cu a>0\displaystyle a>0): 2a2+2=5a\displaystyle 2a^2+2=5a, deci 2a2−5a+2=0\displaystyle 2a^2-5a+2=0.
    2a2−5a+2=0\displaystyle 2a^2-5a+2=0
  7. Discriminantul este Δ=25−16=9\displaystyle \Delta=25-16=9, deci a=5±34\displaystyle a=\dfrac{5\pm 3}{4}, adică a=2\displaystyle a=2 sau a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}. Cum a>1\displaystyle a>1, convine doar a=2\displaystyle a=2.
    a=2 sau a=12; cum a>1, obținem a=2\displaystyle a=2\text{ sau }a=\frac{1}{2}\text{; cum }a>1\text{, obținem }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.